Transformada de Laplace Ejercicios resueltos parte 1

Profr. Joel A. García García Vargas Facult ad de Ingeni ería

Ecuacion es Diferenciales 2013-2 2013-2 Grupo Grup o 02

EJERCICIOS ADICIONALES ADICIONALES DEL CAPÍTULO 4, TRANSFORMADA DE LAPLACE PARTE 1

1. TRANSFORMADAS DE LAPLA LA PLACE CE APLICANDO LA DEFINICIÓN DEFINICIÓN 1) f (t ) = t e at

{ } ∫

L t e at =

∞

0

(

)

e −st t e at dt =

∫

∞

0

t e − t(s −a) dt

Integrando por partes, se tiene que : + e - t(s -a)

t

+

1 0

e

-

s-a - t(s - a)

(s - a) 2

{ }= lim ( →∞

L te

-

e - t(s -a)

at

β

− t e − t(s- a) s-a

-

e − t(s -a) (s - a)

2

β

) = lim ( β →∞

0

−t (s - a) e

t(s - a)

-

 β 

1 2

(s - a) e

t(s - a)

2) f (t ) = t sen at L{t sen at} =

∫

∞

0

e −st (t sen at ) dt

Integrando por partes resulta que : u = e -st ;

du = -s e .st dt

dv = t sen at dt;

v =-

t cos at

integrando por partes t sen at t

sen at

1

+

-

0

-

-

cos at a sen at a2

a

+

sen at a2

=

) 0

1 (s - a) 2

:s > a

Por lo tanto, para la integral original, resulta que : L{t sen at} =

−

s

a∫

∞

∫

∞

0

β

s  t cos at sen at  + 2 at  + 2 e (t sen at ) dt = lim − st β →∞  ae a e 0 a − st

e − st t cos at dt =

s

a

s

a∫

−

∞

e − st t cos at dt =

0 a s +a Integrando por partes una vez más, se tiene que : 0

u = e -st ;

2

2

2

s

∫

∞

0

1

a s +a 2

2

e − st sen at dt

−

s

a∫

∞

0

e − st t cos at dt

du = -s e .st dt

dv = t cost at dt;

t sen at

v=

cos at

+

a

a2

integrando por partes t cos at t

cos at

1

+

0

-

sen at a cos at

-

a2 s

β

s  t sen at cos at  L{t sen at} = - lim  + 2 at  + 2 2 2 st a s +a a β →∞  a e a e 0 a s

L{t sen at} =

s

1

a s +a 2

s2

L{t sen at}(1 + L{t sen at} =

1

a2

)=

2

s

+

a

s

3

s2

−

a s +a 3

1

2

s

+

a s2 + a 2

a

a2

2s

s

a (s 2 + a 2 ) (s 2 + a 2 )

3

2

−

s2

−

s2 a

2

∫

0

s

a 3 s2 + a 2 2sa

=

(s 2 + a 2 ) 2

∞

∫

∞

0

e − st cos at dt +

Por definición cosh at = L{cosh at} =

∫

∞

0

e

− st

2

e at + e −at 2

1

dt =

=

;

s a 2 + s3 + s a 2 − s3 a 3 (s 2 + a 2 ) s>0

;

1

2  ∫

∞

0

e − t(s −a) dt +

∫

∞

0

e − t(s + a) dt 

∞



 1 1 1  L{cosh at} = lim ( − − =  +  st st  2 β →∞ (s − a) e (s + a) e  0 2  (s − a) (s + a)  L{cosh at} =

1

1

2s

2 s −a 2

2

=

1

s s − a2 2

;

s> a

2. TRANSFORMADAS DE LAPLACE UTILIZANDO TEOREMAS 4) f (t ) = 3 sen 2t + 6 cos 2t

a

∫

∞

0

=



e − st t sen at dt 

e −st t sen at dt

3) f (t ) = cosh at

e at + e −at

s

2s a2 a 3 (s 2 + a 2 )



L{3 sen 2t + 6 cos 2t} = L{sen 2t}+ L{cos 2t } =

6

+

s +4 2

6s

; s>0

s +4 2

5) f (t ) = 4 t 2 − 6t + 3 e -4t 8

L{4t 2 − 6t + 3e − 4t } = 4 L{t 2 }− 6 L{t }+ 3 L{e − 4t } =

s

6

-

3

s

2

+

3 s+4

s>0

;

6) f (t ) = (t + 2 ) = t 3 + 6t 2 + 12 t + 8 3

{

} {}

{ }

L t 3 + 6t 2 + 12t + 8 = L t 3 + 6 L t 2 + 12 L{t}+ 8 L{1} =

6

+

4

s

12 s

3

+

12 s

8

+ ;

2

s>0

s

7) f (t ) = (5 - 2 e 2t ) = 25 − 20 e 2t + 4 e 4t 2

L{25 − 20e 2t + 4e 4t } = 25 L{1}− 20 L{e 2t }+ 4 L{e 4t } =

25 s

−

20 s−2

+

4 s−4

;

s>4

8) f (t ) = (e t − e − t ) = e 5t − 5 e 3t + 10 e t − 10 e − t + 5 e −3t − e −5t 5

L{e 5t − 5e 3t + 10e t − 10e − t + 5e −3t − e −5t } = L{e 5t }− 5L{e 3t }+ 10L{e t } − 10L{e −T } + 5L{e −3t } − L{e −5t } L{e 5t − 5e 3t + 10e t − 10e − t + 5e −3t − e −5t } =

1 s−5

−

5 s−3

+

10 s −1

−

10 s +1

+

5 s+3

−

1 s+5

; s>5

9) f (t ) = 2 sen 3t sen 2t f (t ) = 2 sen 3t sen 2t = cos t - cos 5t L{2 sen 3t sen 2t} = L{cos t}− L{cos 5t } =

s s +1 2

−

s s + 25 2

; s>0

3. TRANSFORMADAS DE LAPLACE (1er. TEOREMA DE TRASLACIÓN): 10) f (t ) = e -3t cos 3t

{

} {

L e − 3t cos 3t = L cos 3t

}

s →s + 3 =

s s 2 + 3 s →s + 3

=

s+3

(s + 3)2 + 3

=

s+3 s 2 + 6s + 12

; s>0

11) f (t ) = 4e 2t sen 7 t

{

}

{

L 4e 2t sen 7 t = 4L sen 7 t

}

s →s − 2

=

4 7 s + 7 s →s − 2 2

=

4 7

(s − 2) + 7 2

=

4 7 s − 4s + 11 2

; s>0

4. TRANSFORMADAS INVERSAS: 5 −1  2!  5 2  4s − 5  −1  1  −1  1   = 4 L  2  − 5 L  3  = 4 t − L  3  = 4 t − t ; s > 0 3 2!  s  2  s  s  s  2 5 −1  2!  9 −1  3!  5 2 3 3 −1 12 s − 5 s − 9  −1  1  L  3  − L  4  = 12 t − t − t ; s>0 13) L   = 12 L  2  − 4 s s 2 ! s 3 ! s 2 2        

12) L−1 

 3

14) L−1 

s

3

+

 3 −1  2!  48 −1  11  s  −1  = + − L L 2 L        3 5 2 s 5 − 11 s 2 − 25  2!  s  11  s − 11  s − 25  48

−

2s

 3

L−1 

3

+

 3 2 48 t + senh 11 t − 2 cosh 5t = 5 2 s − 11 s − 25  2 11 48

−

2s

s 2     4 4 1   28 −1  1!  28 −1  3!  7 −1  5!  1     −1   2 15) L 7  − 3   = L−1 7  2 − 4 + 6  = L  2 − L  4 + L  6    s s     s  3!  s  5!  s    s s s   1! 2  1    14 7 5  −1   2 L 7  − 3   = 28 t − t 3 + t ; s>0 3 120   s s    3 2  (s + 1)3  3 3 1 −1  s + 3s + 3s + 1 −1 1 L L = = + + + 4 16) L      4 4 2 3 s s s s s s       3 3 3 1 3 −1  2!  1 −1  3!  −1  (s + 1)  −1 1 −1 1  −1  1  L   = L  + 2 + 3 + 4  = L   + 3L  2  + L  3  + L  4  4 s s s s  s   s  2!  s  3!  s   s 

−1

 (s + 1)3  3 2 1 3 L  1 3t t + t ; s>0 = + +  4 s 2 6   −1

 3 s −1  s −1 4 6 −1  -1  2!  -1 1  -1  1  2L 6L 3L L − + + = + +          3 2 3  s s s − 2 s − 1 s  s  s − 2   (s − 1)(s + 1)  3 s −1  4 6 + 2  = 2t 2 − 6 + 3e 2t + e − t ; s > 2 L−1  3 − +  s s s − 2 s − 1    1  3s 5  1  1  s  5 −1  8  + 2 − 2  = L−1  + 3L−1  2  − L  2 18) L−1    8  4s + 1 s − 9 s + 8  4  s + 1  s − 9  s + 8   4 17) L−1 

3s 5  1 5  1 sen 8 t + 2 − 2  = = e − t/4 + 3cosh3 t − 4 8  4s + 1 s − 9 s + 8 

L−1 

  6 4  1 6 4  1 −1  1  4 −1  7   1 −1  −1  3!  19) L−1  + 4− 2 + 4− 2 L  2 =L   = L  2+L  4 −  5s 2 s s 7 5s 2 s s 7 5 s − − − − 7       s − 7  s −   5 6 4  1 − 2t/5 4  1 L−1  senh 7 t + 4− 2 + t3 − = e 7  5s − 2 s s − 7  5 4s − 5  5 −1  7  s  5 −1  11   5 −1  − = − + L 4 L L  2       2 2 2 2  s + 49 s − 11 7  s + 49   s − 11 11  s − 11

20) L−1 

4s − 5  5 5  5 − 2 senh 11 t  = sen7 t − 4cosh 11 t + 2 7 + − s 49 s 11 11  

L−1 

  4  s  4  1 −1  4!  4 −1  1  10s − 4 1 −1  −1  + 5+ 21) L−1  2  = 10L  2 −L  2 + L  5 + L  2 + s 16 s 3s 2 s 16 s 16 + + +       4!  s  3  s +   3 4  1 4 4 − 2t/3 10s − 4 1 + 5+ L−1  2 ; s>0  = 10 cos 4t − sen 4t + t + e 24 3  s + 16 s 3s + 2   s +1 s  4 −1  3   2s − 4 4s + 4  −1  −1  2L L 4 L + = − +        2 2 2 2  s + 9 s −1  s + 9  3 s + 9   ( s − 1)( s + 1) 

22) L−1 

4  2s − 4 4s + 4  + 2  = 2cos3t − sen3t + 4e t 2 3  s + 9 s −1 

L−1 



; s>0

  Por fracciones parciales s 2 s 3 s 6 − − − ( )( )( )  

23) L−1 

5

5

(s − 2)(s − 3)(s − 6 )

=

a1 s−2

+

a2 s−3

+

a3 s−6

Opción 1 : Formar el sistema de ecuaciones algebráico : a 1 (s − 3)(s − 6 ) + a 2 (s − 2 )(s − 6 ) + a 3 (s − 2 )(s − 3 ) = 5

(

)

(

)

(

)

a 1 s 2 − 9s + 18 + a 2 s 2 − 8s + 12 + a 3 s 2 − 5s + 6 = 5 (a 1 + a 2 + a 3 )s 2 + ( −9a 1 − 8a 2 − 5a 3 )s + (18a 1 + 12a 2 + 6a 3 ) = 5 a1 + a 2 + a 3 = 0

− 9a 1 − 8a 2 − 5a 3 = 0 18a 1 + 12a 2 + 6a 3 = 5 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 − 9 − 8 − 5 0 ↔ 0 1    4 0 ↔ 0 1 4 0       0 − 6 − 12 5 0 0 12 5  18 12 6 5

⇒ a3 = 

5 12

; a2 = −

5 3

; a1 =

5 4

 5 −1  1  5 −1  1  5 −1  1  = L  − L  + L   − − − − − ( )( )( ) ( ) ( ) s 2 s 3 s 6 4 s 2 3 s 3       12  (s − 6 )   5 2t 5 3t 5 6t 5 L−1  = e − e + e ; s>0 3 12  (s − 2 )(s − 3)(s − 6 ) 4 L−1 

5

5

=

(s − 2 )(s − 3)(s − 6 )

a1 s−2

+

a2

+

s −3

a3 s−6

Opción 2 : Valuar en cada uno de los polos : a 1 (s − 3)(s − 6 ) + a 2 (s − 2 )(s − 6 ) + a 3 (s − 2 )(s − 3 ) = 5 5

Para s = 2; a 1 (s − 3)(s − 6 ) = 5 ⇒

a1 =

Para s = 3; a 2 (s − 2 )(s − 6 ) = 5 ⇒

a2 =

 para s = 6; a 3 (s − 2 )(s − 3) = 5 ⇒

a3 =

4

−5 3 5 12

Por tanto:



 5 −1  1  5 −1  1  5 −1  1  = L  − L  + L    (s − 2 )(s − 3)(s − 6 ) 4  (s − 2 ) 3  (s − 3 ) 12  (s − 6 )   5 2t 5 3t 5 6t 5 L−1  = e − e + e ; s>0 − − − s 2 s 3 s 6 3 12 ( )( )( )   4 5

L−1 

La opción 2 para polos reales diferentes, es más práctica.



 = + s s 4 ( )   1

24) L−1 

2

Por fracciones parciales: (un polo es nulo y los otros dos son complejos)

(

1

s s +4 2

)

a1

=

s

+

a 2s + a 3 s2 + 4

Cálculo de coeficientes : a

1

a

2

=

(1)( s)

(

s s +4 2

+ a3 = (

)

s

=0

=

1 4

(1)( s 2 + 4)

(

s s +4

− a2 + a3 = ( Es claro que

2

)

- a1

(1)( s 2 + 4)

(

s s +4 2

)

s

+4

)

s

- a1

a3 = 0

2

s

2

+4 s

y que

s

)

=1

s

1

1

4

4

= 1− 5 = −

= −1

1

1

4

4

= −1 − (−5) =

a2 = −

1

4  1  1 −1 1  1 −1  s  1 1 L−1  2  = L  - L  2  = − cos 2t s s + 4  4 s  4 s + 4  4 4

(



)

; s>0

  1 −1  =6L  2  Todos los polos son complejos, por tanto, la fracción 2 s 1 s 4 s 1 s 4 ( + )( + ) ( + )( + )    

25) L−1 

6

2

2

parcial se escribe como:

1

(s

2

+ 1)(s + 4 ) 2

=

a 1s + a 2 s +1 2

+

a 3s + a 4 s2 + 4

2 2 (a 1s + a 2 )(s + 4) + (a 3s + a 4 )(s + 1) = 1 3 2 3 2 a 1s + 4a 1s + a 2 s + 4a 2 + a 3s + a 3s + a 4 s + a 4 = 1 3 2 (a 1 + a 3 )s + (a 2 + a 4 ) s + ( 4a 1 + a 3 )s + ( 4a 2 + a 4 ) = 1

a1 + a 3 = 0

(1)

a2 + a4 = 0

(2)

4a 1 + a 3 = 0

(3)

4a 2 + a 4 = 1

(4)

De (1) y (3), resulta que

a1 = a 3 = 0

De (2) y (4), se tiene que

a2 =

1 3

ya 4 = −

1 3

Por  tan to



  6 −1  1  6 −1  2  1 −1  6 L =    = L  2 − L  2  2 2 2 2  (s + 1)(s + 4 )  (s + 1)(s + 4 ) 3  s + 1 6  s + 4    6 L−1  2 ; s>0  = 2 sen t − sen 2t 2 s 1 s 4 ( + )( + )   L−1 

6