Transformadas de Laplace

TRANSFORM TRANSFORM ADAS DE L APLACE CONCEPTO 

 Definición. Una función u(t) definida en 0 ·< t < 1 tiene transformada de Laplace si existe un real a > 0 tal que la integral

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converge para s > a.

 En este caso, la transformada de Laplace de la función u es la función ^u ^ u definida en el intervalo a < s < 1 cuyo valor en cada s está dado por

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 A veces conviene denotar la transformada de Laplace ^u de u mediante L{u}.

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 Recuérdese  Recuérdese que la integral impropia

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existe para todo B > 0 y si  Entonces, por definición,

converge si la integral finita

existe y es finito.

Tr ansf ansf ormada de L aplace Di recta

 La Transformada de Laplace es un método operacional que puede pu ede utilizarse para p ara resolver ecuaciones diferenciales lineales. Transforma ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas de una variable compleja s Transforma la integral de convolución en producto de funciones de variable compleja 

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Tr ansf ormada I nver sa de L aplace

 Debido a que los sistemas que se estudian son lineales y de coeficientes constantes, las  funciones transformadas son racionales en la variable s. Se pueden descomponer las expresiones racionales en fracciones simples y teniendo tabuladas las antitransformadas de las funciones elementales, se pueden hallar la antitransformada de la expresión primitiva 

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 Dada una función en el dominio de la frecuencia F(s), su inversa es una función de tiempo y viene dada por:

 La integral se conoce como integral de inversión compleja y la solución es de una naturaleza completamente diferente a las de las integrales tradicionales de variable real. En un curso de matemáticas avanzadas se estudia la manera de resolver la integral de inversión compleja. Usaremos métodos indirectos para determinar la inversa de una función F(s).  Básicamente son dos métodos, así:  Mediante tablas:  Mediante procedimientos algebraicos se expresa la función F(s) en expresiones canónicas simples cuyas inversas se pueden obtener de las tablas. Cuando F(s) es una función racional se procede a descomponer en fracciones parciales. De  ser necesario, se aplican las propiedades de la transformada.  Mediante la integral de convolución: Cuando la función dada F(s) se pueda expresar mediante un producto de la  forma F(s) = X(s)Y (s), la inversa viene dada por:

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APLICACIONES 

 La Transformada de Laplace es una herramienta útil para resolver ecuaciones y  sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Como comentamos en la introducción del tema, estas ecuaciones aparecen de forma natural en la teoría de circuitos eléctricos. Para ilustrar el método, consideremos el  siguiente ejemplo: la ecuación  junto con las condiciones iniciales

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 Básicamente se trata de aplicar la Transformada de Laplace y sus propiedades a (2.1) de manera que teniendo en cuenta (2.2), nuestro problema se convierte en el  problema algebraico

de donde

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Una vez obtenida L[y], hemos de usar la Transformada inversa para volver atrás y recuperar la solución del problema y. En este caso, L[y] satisface las condiciones del Teorema 14, por lo que:

una vez realizados los cálculos.