Transformadas de Laplace aplicadas a sistemas de control

TRANSFORMADA DE LAPLACE – Aplicación a la teoría de control Introducción El presente trabajo pretende introducir conceptos básicos de la Teoría de Control Clásica y la aplicación de la Transformada de Laplace para resolver problemas simples de Sistemas de Lazo abierto.

Transor!ada de Laplace Si tenemos una función f(t dependiente del tiempo! de"nida para todo t#$! multiplicamos la misma por un valor y se inte%ra desde cero a in"nito como se muestra& − st 

e

f ( t ) dt =¿ L {f ( t ) } ∞

∫¿

 F ( s)=

0

Si dic'a inte%ral i nte%ral eiste! da como resultado una función de"nida en el dominio )s*! y la denominamos la transformada de Laplace de la función ori%inal. +e la misma forma! la función ori%inal es la transformada inversa de la función resultante& −1

 L

 F ( ) }= f ( ) { F  s

t 

Con esta 'erramienta! se resuelven ecuaciones diferenciales

y problemas de valor inicial si%uiendo los pasos& •

•

•

,rimer paso& transformamos transformamos la ecuación )difícil* en una ecuación simple (llamada subsidiaria Se%undo paso& resolvemos la misma simplemente con ecuaciones al%ebraicas  Tercer  Tercer paso& la solución solución de la ecuación ecuación se obtiene obtiene al aplicar la transformada inversa de la ecuación -ue ya fue trabajada.

Este cambio de operaciones de cálculo a operaciones al%ebraicas se denomina cálculo operacional. operacional.

Transor!ada de la deri"ada de #t$ En trminos %enerales! la derivación de funciones corresponde a la multiplicación de transformadas transformadas por )s*. Si f(t es continua para t#$ y derivable y eiste su transformada de Laplace! esta es&  L { f ' }= s L { f  } }−f ( 0)

,odemos etenderlo a la se%unda derivada L { f  }= s ( s L { f  }− f ( 0) )− f  (0 )

 L {f  }= s L { f  }− f  (0 ) ' ' 

' 

' ' 

' 

' 

L { f  }= s  L { f  }− s f (0 )−f  (0 ) ' ' 

2

' 

/inalmente! si la función es derivable n veces! su transformada será  L {f  } =s  L { f  }− s n

n− 1

n

f ( 0)− s

n−2  ' 

n− 1

f  ( 0)−( … ) − f 

( 0)

Linealidad de la transor!ada de Laplace +ecir -ue es una operación lineal! es a"rmar -ue para cual-uier par de funciones f(t) y g(t)! cuyas transformadas eistan! y cual-uier par de constantes a y b! se cumple& ∞

∫ e− ( a f ( ) +b g( )) dt 

 L {a f ( t )+ b g (t ) }=

st 

t 

t 

L {a f ( t ) + b g ( t ) }= a L { f (t ) } + b L { g(t ) }

0

Con"olución Si bien la adición de transformadas no presenta nin%0n problema como ya se mostró! la multiplicación de las mismas no es tan simple. La transformada de la multiplicación de funciones! por lo %eneral! no es i%ual al producto de sus transformadas L {f ( t ) } L { g(t ) } ≠ L { h( t ) }

Si f ( t ) g(t )= h( t )

,ara resolver este problema! utilizamos el teorema de la Convolución& si dos funciones f(t) y g(t) presentan sus transformadas / y 1! el producto de las mismas será 23/1! donde 2 es la transformada de la convolución de las primeras! h(t) t 

∫ f ( ) g( − )dτ 

h( t )= ( f ∗g ) ( t )=

τ 

1

τ 

0

Siste!as de control El control automático 'a sido vital en el avance de la in%eniería y l a ciencia y se lo puede encontrar como una parte inte%ral de sistemas de ve'ículos! sistemas robóticos! procesos industriales modernos y cual-uier proceso -ue re-uiera controlar la temperatura! 'umedad! presión! 4ujo! entre otros. El primer trabajo si%ni"cativo fue el re%ulador de velocidad centrífu%o de  5ames 6att para su má-uina de vapor! en el si%lo 78999. 8arios aportes fueron realizados en a:os posteriores! 'asta -ue alrededor del ;<=$! se desarrollaron los mtodos de respuesta en frecuencia -ue permitieron a los

in%enieros desarrollar sistemas lineales en lazo cerrado -ue cumplían los re-uisitos de comportamiento. Estos mtodos son n0cleo de la teoría de control cl%sica. En %eneral! estos sistemas son aceptables! pero no óptimos. >demás! la misma contempla sistemas con una sola entrada y salida. 2acia ;
De'niciones •

•

•

•

• •

• •

Sistema& Combinación de componentes -ue act0an juntos y realizan un objetivo determinado. Este concepto puede aplicarse a fenómenos abstractos y dinámicos (sistemas físicos! bioló%icos! económicos! etc. 8ariable controlada& cantidad o condición -ue se mide y controla. @ormalmente es la salida del sistema. 8ariable manipulada& cantidad o condición -ue el controlador modi"ca para afectar el valor de la variable controlada. Tambin es llamada se:al de control. Controlar& medir el valor de la variable controlada del sistema y aplicar la variable manipulada para corre%ir la primera (o limitar la variación a un límite aceptado. ,roceso& cual-uier operación -ue se va a controlar. ,erturbación& se:al -ue tiende a afectar ne%ativamente la salida del sistema. ,uede ser interna (si se %enera dentro del sistema o eterna (se %enera afuera del sistema y es una entrada. ,lanta& cual-uier objeto físico -ue se va a controlar. Sistema de lazo abierto& son a-uellos en los -ue la salida no tiene efecto sobre la acción de control. @o se mide la salida ni se realimenta para compararla con la entrada. La precisión del sistema depende de la calibración. >nte la presencia de perturbaciones! no realiza tareas deseadas. En la práctica es utilizado solamente si se conoce la relación entre la entrada y la salida y no eisten

•

perturbaciones. Bn ejemplo simple es la lavadora! ya -ue todas sus tareas son funciones solamente del tiempo no mide la limpieza de la ropa. Sistema de lazo cerrado& son a-uellos en l os -ue se mantiene una relación entre la salida y la entrada de referencia! comparándolas y utilizando la diferencia como medio de control. Son llamados tambin sistemas retroalimentados. Se alimenta al controlador con la se:al de error de actuación con el "n de reducir el error y llevar la salida a un valor deseado.

Modelo !ate!%tico Bn modelo matemático de un sistema dinámico se de"ne como un conjunto de ecuaciones -ue representan la dinámica del sistema con una precisión su"cientemente aceptable. Bn mismo sistema puede tener varios modelos diferentes! como consecuencia de -ue puede ser representado de muc'as maneras diferentes! dependiendo de cada perspectiva. La dinámica de muc'os sistemas se de"ne con la ayuda de ecuaciones diferenciales! obtenidas de la aplicación de principios -ue %obiernan el sistema en cuestión (leyes de @eDton para sistemas mecánicos! leyes de irc'oF para sistemas elctricos! etc. En estos casos tambin se asume válido el principio de causalidad! estableciendo -ue las salidas son dependientes solamente de las entradas pasadas (no de entradas futuras. @ormalmente! debe ele%irse entre simplicidad y precisión al momento de modelar un sistema. >l obtener un sistema razonablemente sencillo! debe tenerse en cuenta -ue la precisión de los resultados será menor! puesto -ue al simpli"car el planteo se consideran despreciables ciertos fenómenos o propiedades. Si los efectos de los mismos son realmente poco importantes! los resultados tendrán una buena precisión. ,ara mejorar la misma! deberían tenerse en cuenta todos los fenómenos y la posible no linealidad de las ecuaciones. @o obstante! es preferible -ue al plantear un problema! primero se realice un modelo simple para tener una idea de l a solución y lue%o comenzar a considerar los demás factores. Bn sistema se denomina lineal si cumple con el principio de superposición. Es decir! -ue la respuesta producida por m0ltiples entradas puede ser considerada como la suma de las respuestas de cada entrada! analizada de manera independiente. >l mismo tiempo! los sistemas lineales pueden ser invariantes en el tiempo. Es decir! las ecuaciones diferenciales -ue ri%en el fenómeno poseen coe"cientes -ue son constantes para todo el tiempo (como los circuitos elctricos en r%imen estacionario. Si dic'os coe"cientes están en función del tiempo! se dicen -ue son lineales variantes en el tiempo (como una nave espacial! en el -ue la masa varía de acuerdo al consumo de combustible! -ue aumenta su velocidad.

Función de transerencia Bna función de transferencia es un modelo matemático -ue relaciona! en un sistema lineal invariante en el tiempo! la respuesta de un sistema con la entrada! a travs de un cociente entre la transformada de Laplace de la

salida (función respuesta y la entrada (función de ecitación. Es un mtodo operacional para relacionar la variable de salida con la de entrada.  H (s ) =

  Salida  X ( s) =  Entrada Y (s ) +e esta relación podemos determinar el valor de salida

para cada valor de entrada Y ( s)= H ( s)∗ X ( s)

 G lue%o podemos llevarla al dominio del tiempo Y ( s) −1

 y ( t ) = L¿ ¿

Es una propiedad del sistema! independiente de la ma%nitud y la naturaleza de la entrada o función de ecitación. Como tan solo relaciona la entrada con la salida! no nos brinda información sobre la estructura física del sistema. Esta 'erramienta matemática nos permite probar el sistema para distintas entradas y poder determinar su estabilidad. Los sistemas pueden presentar H condiciones& • • •

Estable Críticamente estale 9nestable

La estabilidad puede ser analizada en función de los polos de la función de transferencia. Estos son los valores -ue 'acen cero el polinomio del denominador y pueden ser& • • •

Aeales distintas Aeales i%uales Complejas y conju%adas

Si las raíces son reales y ne%ativas! o complejas pero con la parte real ne%ativa! el sistema será estable.

E(e!plos pr%cticos )*Siste!a !ec%nico B3 /uerza eterna Consideramos una distancia  positiva desde tierra 'acia arriba

 Tenemos lo si%uiente! aplicando e-uilibrio de fuerzas  Fi + Fr + Fa = Fext 

+onde 2

 Fi =ma=m

 d  x 2

d t 

 dx Fa=CV =C  d t 

Fr =kx

2

 Fi + Fr + Fa= Fext 

>sí

 d  x  dx m 2 + C   + kx = Fext  d t  d t 

>plicando la transformada de Laplace a cada trmino m ( s − s x 0− x 0 ) + C ( x − x 0 ) + kx = Fext ( s) ' 

2

' 

Como condiciones iniciales&  x 0=0  x 0 =0  x ( s ) ( m s + Cs + k ) = Fext ( s) 2

 x ( s)  Fext ( s )

=

1

ms

2

+ Cs +k 

Iue es la función de transferencia para un sistema mecánico.

+*Siste!a el,ctrico #Circuito si!ple RLC$

Este sistema tambin depende del tiempo y tenemos como condiciones iniciales de corriente

i ( 0)= 0 i ' ( 0)=0

La tensión de cada uno de los elementos básicos del circuito es

V  ! = ! i (t )

V  L = L

d  i d t  ( t )

V C =

1

∫ i( ) dt 

C 

t 

>plicamos la ley de irc'oF de voltaje en malla y resulta V  ! + V  L + V C =Ve

! i( t )+ L

d 1  i ( t ) + d t  C 

∫ i( ) dt = Ve t 

>plicamos la transformada de Laplace  L ( s " ( s)−i ( ) ) + ! " ( s) + 0

 " ( s)

=Ve (s )

sC 

(

" ( s )  Ls + ! +

1

Cs

)

=Ve ( s)

" ( s ) ( LC s + !Cs + 1 )=Ve ( s) Cs 2

Entonces! la función de transferencia de este sistema es  " ( s) Ve ( s)

=

Cs

( LC s + !Cs + 1 ) 2

-*Siste!a .idr%ulico de ni"el de lí/uido Consideramos el 4ujo a travs del tubo -ue sale del tan-ue. Si consideramos el 4ujo como laminar podemos plantear un modelo lineal para describir el sistema. ,rimeramente tenemos -ue realizar dos de"niciones& Resistencia para el 0u(o lí/uido1 se de"ne como el cambio de diferencia de nivel necesario para producir un cambio en el caudal de salida. La relación entre el caudal en estado estable y la altura estable en el estado de restricción viene dada por # = $H  I3 Caudal del lí-uido en r%imen laminar 3coe"ciente 23altura en estado estable  !l =

%ambi& de diferen%ia de ni'el dh  H  = = %ambi& de %a(dal d) #

8emos -ue para el r%imen laminar! la resistencia es constante y análo%a a la elctrica Capacitancia del tan/ue1 se de"ne como el cambio necesario en la cantidad de lí-uido almacenado para producir un cambio en una unidad en el potencial (altura. C =

%ambi& enel &l(men del*)(id& alma%enad& %ambi&enlaalt(ra

Considerando el sistema de la "%ura! las variables se de"nen de la si%uiente manera&

´ # 3Caudal en el estado estable ´  H  3>ltura en estado estable )i

3pe-ue:a desviación del caudal en la entrada

)&

3pe-ue:a desviación del caudal en la salida

h 3pe-ue:a desviación de la altura a partir de su valor estable

Btilizamos el principio de conservación de masa! y sabemos -ue la diferencia del caudal a la entrada y a la salida debe ser i%ual a la cantidad de lí-uido almacenado en ese periodo de tiempo (asumimos la densidad constante. El tipo de lí-uido -ue entra es el mismo -ue el contenido y -ue el saliente. Entonces& Cdh=( ) i −) & ) dt 

> partir de la de"nición de resistencia

 h ) &=  !

Entonces! tenemos la ecuación diferencial (con el valor constante de resistencia  dh  !C   + h = ! )i dt 

Si aplicamos la transformada de Laplace a ambos trminos y consideramos valores iniciales nulos

( !C s + 1 ) H ( s)= ! #i (s ) Considerando

)i

 como la entrada y h como la salida! tenemos la función

de transferencia epresada de la si%uiente manera  H (s ) #i (s )

=

!  !C s + 1

Si decimos -ue

)i

 es la entrada! pero

)&

función de transferencia # & (s ) #i ( s )

=

1

 !C s + 1

+onde utilizamos la relación 1

#&( s )= H ( s)  !

2i&lio3raía 9n%eniería de control moderna J K%ata >dvanced En%ineerin% at'ematics M reyszi%

como la salida! tenemos la