TRANSFORMADA DE LAPLACE
APUNTE 3
Elaborado por Marina Salamé S.
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1.TRANSFORMADA DE LAPLACE
1.1 Introducción. Muchos tipos de problemas que surgen en el campo de las ciencias exigen un cálculo complicado. Algunos de estos problemas se pueden hacer más operativos mediante las transformadas de Laplace. Con el método de la transformada de Laplace se resuelven ecuaciones diferenciales y problemas con valor inicial. La transformada de Laplace es un método que transforma una ecuación diferencial en una ecuación algebraica más fácil de resolver.
Comportamiento descrito mediante una ecuación diferencial Dominio del tiempo
Transformación de Laplace
Manipulación algebraica de las ecuaciones Dominio de s
Transformación inversa de La lace
Solución en función del tiem o. Dominio del tiempo
El matemático francés Pierre Simón Laplace (1749-1827) descubrió una forma de resolver ecuaciones diferenciales, multiplicando cada término de la ecuación por e − st y, así, integrando cada uno de los términos respecto al tiempo desde cero hasta infinito; donde s es una constante con unidades de 1/ tiempo. Este resultado es lo que se conoce como la transformada de Laplace.
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1.2 Transf ormada de Lapl ace. Definición 1 (Transformada de Laplace) Sea f(t) una función de t definida para t > 0. La transformada de Laplace de f(t), denotada por
L {f(t)}
, se define como
∞ L {f(t)} =
∫e
−s t
f(t) dt = F(s)
0
Se dice que la transformada de Laplace existe cuando la integral converge para algún valor de s; de otra manera, se dice que no existe.
Ejemplo 1: Obtener la transformada para la función escalón unitario. Esta función se describe como un cambio abrupto en alguna cantidad, y con frecuencia se emplea para describir el cambio en la entrada al sistema cuando se hace un cambio súbito en su valor; por ejemplo, el cambio de voltaje aplicado a un circuito cuando este se enciende de manera súbita. El gráfico muestra la forma que toma una entrada escalón cuando tiene lugar un cambio abrupto en la entrada en el tiempo t = 0 y la ⎧ 1 ⎪ magnitud del escalón es la unidad. La función esf(t) = ⎨ ⎪ 0 ⎩
t>0 t<0
f(t)
1
t
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La transformada de Laplace de esta función escalón, para los valores mayores que 0, es
Solución : ∞ L {1} =
∫ 1⋅ e
−s t
dt
0 b
= lim
b→∞
∫e
−s t
dt
0
= lim
− e− s t s
b →∞
= lim
b
0
− e− sb − − e−0
(
)
s
b →∞
=
1 lim − e− sb + e0 s b→∞
=
1 ⎛ 1 ⎞ + e0 ⎟ lim ⎜ − s b→∞ ⎝ esb ⎠
=
1 1 lim − s b→∞ esb
=
=
(
0
+
)
1 lim e0 s b→∞
1 1 lim e0 b →∞ s
1 para s > 0 s
Podemos concluir que la transformada es: L {1} =
1 s
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Ejemplo 2:
Supongamos ahora que en lugar de una señal de entrada escalón de altura una unidad se tiene uno de altura c unidades. Entonces, para todos los valores de t mayores que 0 se tiene, f(t) = c. Obtener la transformada de esta función. Es decir calcular L { c }
,
c es un
número real.
Solución :
∞ L {c} =
∫e
−s t
c dt
0 b
= limc b→∞
= lim c b→∞
= lim c b→∞
= c
∫e
−s t
dt
0
− e−s t s
b
0
− e − sb + 1 s
para s > 0
s
Podemos concluir que la transformada de una constante es: L {c} =
c s
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Ejemplo 3: Obtener la transformada de Laplace para la función rampa de pendiente unitaria, f(t) = t .
Solución : ∞
∫e
L {t} =
−s t
t dt
0 b
= lim
b→∞
∫te
−s t
dt
0
usando integración por partes:
⎡ t = lim ⎢ − e− s t b→∞ ⎢ s ⎣
b
⎡ t = lim ⎢ − e− s t b→∞ ⎢ s ⎣
b
b
1 s
+ 0
−
−s t
⎤
dt ⎥
⎦⎥
0
1 s
0
∫e
2
e −s t
1 −s t ⎤ ⎡ t = lim ⎢ − e− s t − e ⎥ b→∞ s2 ⎣ s ⎦
b⎤
⎥
⎥ 0⎦
b
0
⎡ ⎛ b 1 ⎞ ⎛ 0 = lim −⎢ ⎜ − e− sb −− 2− e −sb ⎟ ⋅ ⎜− ⋅ −e b→∞ ⎣ ⎝ s s ⎠ ⎝ s ⎡ b 1 = lim− −⎢ + b→∞ ⎢ s esb sesb ⎣
= lim − b→∞
L {t} =
b s esb
0
− lim
b→∞
1
s0
s2
e
s0
⎞⎤ ⎟⎥ ⎠⎦
1⎤
⎥
s2 ⎦⎥
1 s esb
0
+
lim
b→∞
1 s2
1 s2
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Ejemplo 4:
{ }
Obtener L t 2
Solución : ∞ L {t
2
} = e − s t t 2 dt
∫ 0
b
= lim
b→∞
∫ te 2
−s t
dt
0
Usando integración por partes:
⎡ 2 t = lim ⎢ − e−s t b→∞ ⎢ s ⎣ ⎡ 2 t = lime − ⎢ + −−s t b→∞ ⎢ s ⎣ ⎡ 2 t = lim − ⎢ − e− s t b→∞ ⎢ s ⎣
b
+ 0 b
b
2 s
∫
⎤
−s t t ed t⎥
⎥ ⎦
0
2 ⎛ t −s t −⎜ e s⎜ s
⎝
0 b
−
2t s
0
2
b
e −s t
0
b
1 s
0
2
2
e −s t
e−s t
3
s
⎞⎤ ⎟⎥ ⎟ 0⎠⎥ ⎦
b
b⎤ 0
⎥ ⎥ ⎦
b
= lim− ⎢⎡ t−2 e−s t− 22t e −s t b→∞ ⎢ s s ⎣
2 e−s t ⎥⎤ s3 ⎦⎥
0
⎡ ⎛ b2 −sb 2 b −sb 2 − sb ⎞ = lim ⎢ ⎜ − e − 2 e − 3 e −− ⎟ ⎟ b→∞ ⎢ ⎜ s s ⎠ ⎣ ⎝ s ⎡ b2 2b = lim− ⎢ − sb − 2 +sb b→∞ ⎢ s e s e ⎣
= lim − b→∞
L {t
2
}=
b2 s esb
0
− lim
b→∞
22 s3 esb
2b s2 esb
⎛⋅ − 02 ⋅ −s 0 ee− ⎜⎜− ⎝ s
⋅ −2⋅ 0
s2
s 0
2 s3
⎤ ⎥
s3 ⎥⎦
0
− lim
b→∞
2 s3 esb
0
+ lim
b→∞
2 s3
2 s3
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e
s 0
⎞⎤ ⎟⎟ ⎥ ⎠ ⎦⎥
Del ejemplo 3 y 4, podemos deducir, por la definición que: L{t
Ejemplo 5:
n
}=
n!
para n = 1, 2, 3,........
sn + 1
Obtener { e a t }
Solución : L
e −s t e a t dt {e a t } = ∞∫ e−s t e a t dtl= bim →∞ ∫ b
0
0
b
e b→∞ ∫
= lim
−s t
b
e a t dt = lim →∞ b
0
∫e
− (s − a) t
dt
0
Integrando :
= −lim
b→∞
⎡ = lim−⎢ b→∞ ⎢ ⎣
1 − s−a t e =( − ) s−a
lim
→∞b
0
⎛ ⎞ 1 ⎜ −− s − a b ⎟ ( ) ⎜ ⎟ ⎝ (s − a ) e ⎠
⎛ ⎞ 1 ⎟ = lim ⎜ − (s − a)b ⎟ b →∞ ⎜ ⎝ (s − a ) e ⎠
L
{e a t } = s −1 a ,
b
b
1
( s − a ) e (s − a) t
0
⎛ ⎞⎤ 1 ⎜ ⎟⎥ ⋅ s − a 0 ( ) ⎜ ⎟⎥ ⎝ (s − a ) e ⎠⎦
0
+
⎛ 1 ⎞ ⎟ s−a ⎠
lim ⎜
b→∞ ⎝
s >a
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Ejemplo 6: Obtener
L{
f(t) } si
⎧ 0, ⎪
0 ≤ tt<
⎪3 ⎩
t ≥1
f(t) = ⎨
Solución : ∞
1
L
{e a t } = ∫ 0 ⋅ e−s t dt
+
0
∫ 3e
−s t
dt
1
3
= lim −
s
b→∞
b
e −st
= 1
3 s
e −s
1.3 Propiedades de la transfor mada de Laplace Teorema 1: Propiedad de linealidad La transformada de Laplace es un operador lineal. Si 1c y c2 son constantes y f1(t) y f2(t) son funciones cuyas transformadas de Laplace son, respectivamente, F1(s) y F2(s), entonces: L
{ c1 f1(t) +
cf2
}2 (t) { =} c1 L{ }f1(t) +
c 22L
f (t)
= c1 F1(s) + c 2 F(2 s)
Teorema 2: Traslación sob re el eje s.( Primera propiedad de traslaci ón) Si
L
{f(t) } = F(s) entonces
L
{ea t f(t)} = F( s − a ),a
∈
Demostración: ∞ L
{e a t f(t)} = ∫ e−s t e a t f(t) dt 0
∞
=
∫e
− (s − a) t
f(t) dt
0
= F( s − a)
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Teorema 3: Segun da pro piedad de traslació n Si
L
L
⎧ f (t− a) t >0 ⎪
{f(t) } = F(s) y
g(t) = ⎨
⎪ 0 ⎩
entonces
t <0
{g(t) } = e − as F(s)
Teorema 4: Propiedad de cambio de e scala Si
L
{f(t) } = F(s) entonces L { f (at) } =
1 ⎛s⎞ F⎜ ⎟ a ⎝a⎠
Teorema 5: Transfor mada de las derivada Si
L
{f(t) } = F(s) entonces L{ f(′} t) =()s Fs − f ( 0 )
Demostración: ∞ L
{f ′(t)} = ∫ e−s t f ′(t) dt 0
u = e−s t
=− du
dv = f ′(t) dt −s t
se
= dt
v ∞
∞
∫e 0
−s t
f ′(t) dt =
f(t) e
f (t) ∞
+ s e −s t f(t) dt
∫
st 0
0
= − f(0) + s {f(t)} L
{f(′ t)} = sF( s) − f(0)
Procediendo de la misma forma se obtiene:
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L
{ f(′′ }t) = s()2
− s f ( 0 ) − f′( 0 )
L
{ f ′′′ (t) } = s()3 Fs− −
Fs
s2 f ( 0−) ′ s f (′′0 )
f( 0 )
Generalizando :
L
{ f(n t) } = sFn
−( s )
n−1 s− f ( 0 )− sn−2 f−′ ( −0 )
sn−3 f ′′ ( 0 )
f
n −1
(0)
n Esta igualdad se cumple siempre que f ′,f ′′,f ′′′,......f ( ) sean continuas n en t ≥ 0 y de orden exponencial y, además, f ( ) sea seccionalmente
continua en t >0.
Teorema 6: Transfor mada de integr ales ⎧
Si
L
Teorema 7: Multiplicación por t Si
L
L
⎫
⎩⎪ 0
⎭⎪
1 1 L {f (t)} = F(s) s s
n
{f(t) } = F(s) entonces L { tfn
Teorema 8: Divisi ón por t Si
t
⎪ ⎪ {f(t) } = F(s) entonces L ⎨ ∫ f (u) du ⎬ =
}
(t) =− ( 1)n
dn dsn
F(s) =−
n ( 1)n F( ) (s)
n
⎧ {f(t) } = F(s) entonces L ⎨
∞
f(t) ⎫ ⎬ = f (u) du ⎩ t ⎭ s
Siempre que exista lim
t →0
∫
f(t) t
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Teorema 9: Funcio nes periód icas Sea f(t) con periodo T > 0 tal que f ( t + T ) = f (t) T
∫e
Entonces
L
{ f(t) } =
−st
f (t)d t
0
1 − e −sT
Teorema 10 : Compor tamiento de F(s) cuando Si
L
{f(t) } = F(s) entonces
s→ ∞
lim F(s) = 0
s →∞
Teorema 11 : Del valor inic ial lim f(t) = lim sF(s) si existen los límites
t →o
s →∞
Teorema 12: Del valor final lim f(t) = lim sF(s) si existen los límites
t →∞
s→ 0
1.4 Métod os para calcul ar transf orm adas de Laplace 1.- Método dir ecto. Haciendo uso directo de la definición. 2.- Divers os métod os. Comprenden diferentes artificios como los indicados en los teoremas anteriores.
3.- Mediante el us o de tabl as. Véase la tabla siguiente.
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1.5 TABL A DE TRANSFORMADAS DE LA PLACE ∞ L {f(t)} =
∫e
−s t
f(t) dt = F(s)
0
f(t)
1
1
2
t
L {f( t)}
1, s 1 s2 n!
tn
s n +1
3 n = 0,1,2,......
F(s) s>0 s>0
,
s >0
,
n!=12 ⋅ ⋅ 3 n,
1 , s−a
4
e at
5
sen ωt
6
cos ωt
7
senh ωt
8
cosh ωt
9
tn e a t
10
e a t ⋅ sen ωt
11
e
ω s2 + ω2 s s2 + ω2
ω
0! =1
s>0
s>0
s>0
s> ω
s2 − ω2 s
s> ω
s2 − ω2 n!
( s − a)
n +1
ω
( s − a ) 2 + ω2 s−a
at
⋅ cos ωt
( s − a ) 2 + ω2
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12
t ⋅ sen ωt
13
t ⋅ cos ωt
2ωs
(s
2
+ ω2
2
)
s2 − ω2 2
( s 2 + ω2 ) 3
14
sen
t−
t cos
t
15
sen
t+
t cos
t
16
sen at + senh at
17
ea t f(t)
2ω
2
( s 2 + ω2 ) 2 ω s2
2
( s 2 + ω2 ) 2 a s2
s 4 + 4 a4 F( s − a )
( − t )n f (t),
18
F n (s)
n = 1,2,3........ f n (t)
19
n = 1,2,3.......
n sF
( s ) − sn−1 f (−0 )
sn−−2 −f ′ ( 0 )
t
0
21
f (t − a)U(t − a), a > 0
22
∫ f( u) g(t − u) du
n −1
(0)
1 F(s) s
∫ f (u) du
20
f
e −a s F(s )
t
F(s) G(s)
0
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2.TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
2.1 Transform ada inv ersa de Laplace. Definición 1 (Transformada inversa de Laplace) L {f(t)} =
Si
−1 F(s) , entonces L {F(s)} = f(t)
se llama transformada
inversa de F(s)
2.2 Propiedades de la transf orm ada inv ersa de Laplace Teorema 1: Propiedad de linealidad La transformada inversa de Laplace es lineal. Si 1c y c2 son constantes y F1(s) y F2(s) son las transformadas de Laplace de 1f(t) y f2(t), respectivamente, entonces: −1
{ cF 1
L
1(s)
+ c 2 F}2 (s) {=}c1
L
−1
{ }F1(s) +
c2 L
−1
F2 (s)
= c f (t) + c f( t) 1 1
2 2
Teorema 2: Traslación sob re el eje s.( Primera propiedad de traslaci ón) Si
L
−1
{ F(s) } = f(t)
entonces
−1 L
{ F( s − a ) } =
ea t f(t)
Teorema 3: Segun da pro piedad de traslació n Si
L
−1
L
−1
{ F(s) } = f(t)
{ e − a s F(s) } =
entonces
⎧ f (t − a) t >0 ⎪ ⎨ ⎪ 0 t <0 ⎩
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Teorema 4: Propiedad de cambio de e scala Si
L
−1
1 ⎛t⎞ entonces L −1{ F(ks) } = f ⎜ ⎟ k ⎝k⎠
{ F(s) } = f(t)
Teorema 5: Transfor mada inv ersa de Laplace de las derivadas Si
L
−1
{ F(s) } = f(t)
entoncesL
−1
{ F( ) (s)} = ( −1)
n n
n
t s f(t)
Teorema 6: Transfor mada inv ersa de Laplace de las integrales Si
L
−1
⎧∞
⎫
f(t)
⎪⎩ 0
⎪⎭
t
⎪ ⎪ {F(s) } = f(t) entonces L − 1 ⎨ ∫ f (u) du ⎬ =
Teorema 7: Multiplicación por s n Si
−1
L
{F(s) } = f(t)
Teorema 8: División por s Si
L
y
f(0) = 0, entonces L
−1
{ sFn (s) } = f(′ t)
n t
−1
F(s) = f(t)
{
⎧ F(s) ⎫ entonces L ⎨ ⎬ = f (u) du ⎩ s ⎭ 0
∫
}
f(t) Siempre que exista lim t →0 t
Teorema 9: Propieda d de convo lución. Si
L
L
−1
−1
{F(s) } = f(t)
y
L
−1
{ G(s) } = g(t) , entonces
t
{F(s) ⋅ G(s)=}
− g( t=⋅ u)d u ∫⋅f(u)
f g
0
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2.3 Métod os para calcul ar transf orm adas inv ersa de Laplace 1.- Método de las fracci ones parci ales. Cualquier función racional
P(s) Q(s)
, donde P(s) y Q(s), son polinomios en los
cuales el grado de P(s) es menor que el de Q(s), puede escribirse como una suma de fracciones parciales. A
P(s)
( as +) b(
n
P(s)
(as
2
n
)(
++bs c P(s)
P(s)
( s ++s) 1(
2
A1s + B1
=
)(
++ as A
=
3
2−) s 1(+ ( s + )(
2
A
A
3 1 2 = ++ + 12 +) as ( +b) ( + as ) b ( + )as b
)
(
bs++ c B
+
) ( 2
1
++ s
2
)
2
s 1++
=
s 1
)
s
A 2s − 3
(
++
+ )+bs
c
2
n
An s + Bn
+
as2
bs c
n
D
s 1
2
s 1
3
Cs + D
+
1
2
C
++
As + B
=
as b
A 2 s + B2 as
(s)− 2 −( ) s −1( )
P(s)
( 2 s − 3 ) (++s2
+
1
)
2
An
3
+
)(
s 1
2
BsC+ 1 2 s 1 s++
)
+
DsE+ 2
s2
s 1
2.- Divers os métod os. Comprenden diferentes artificios como los indicados en los teoremas anteriores.
3.- Mediante el us o de tabl as. Véase la tabla siguiente.
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2.4 TAB LA DE TRANSFORMADAS INVERSAS DE LAPLA CE
L
1
5 6 7
1
1
2
4
f(t)
f (t)
1 s
1
3
F(s)
t
s2 1 s n +1
tn
n= 0,1,2 ,3
n! 1 s−a
e at
1
sen ωt
s2 + ω2
ω
s s2 + ω2
cos ωt
1
senh ωt
s2 − ω2
ω
s
8
s2 − ω2
cosh ωt
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Ejemplo 1 Raíces reales en el denomi nador
Dada la función F(s) =
Solución:
2 s2 − 9
, determinar f(t) = L −1 {F(s) }
Usando fracciones parciales 2 2 3 −s s2 − 9 = ( s + )( 2 = A (−s) ( +) 3
A
) 3+ = s−
+ B s
2 = As −
3A + + Bs
2 = (A +
B )+− s
B 3 + s
3
( s + 3 )( s − 3 )
3 3B
+( 3A
3B )
A + B = 0⎫ ⎬ −3A + 3B = 2 ⎭
1 3
Resolviendo el sistema: A = − , B =
L
⎧ −1 ⎪
⎪2 ⎪⎫ ⎨ 2⎬ ⎨ = ⎩⎪ s − 9 ⎪⎭
=
L
1 por lo tanto, 3
−1 ⎧ ⎪
2 ⎫ ⎬ 3 s −) 3 ⎪ ⎩⎪ ( s + )( ⎭
L
⎧ −1 ⎪
⎧ −1 ⎫⎪ 1 ⎪⎫ −1 ⎪ ⎨ ⎬+ L ⎨ ⎬ 3 s + 3 3 s − 3 ( ) ( ) ⎪⎭ ⎩⎪ ⎩⎪ ⎭⎪
=−
⎧ 1⎫ ⎪ ⎧ 1 ⎫−1 ⎪ 1 ⎪ 1 −1 ⎪ L ⎨ ⎬+ L ⎨ ⎬ 3 ⎩⎪ ( s)+ 3 ⎭⎪ 3( ) ⎩⎪ s − 3 ⎪⎭
=−
1 −3t 1 3t e + e 3 3
1 3t
=3e
1 −3t
−3e
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Ejemplo 2 Raíces reales en el denomi nador
Dada la función F(s) =
Solución:
2s + 1 s3 − 3s2 + 2s
, determinar f(t) = L −1 {F(s) }
Usando fracciones parciales 2s + 1 2 s +1 1− s2)=+ s3 − 3s2 + 2s = s ( s −)(
2s1+=
A− ( s) − (1s2 + )
2s +=1
A− s2+ +3s
A
+−s
− ( + Bs ) s− ( )2
(
) −2( + B) s( −2 )2s
(
) 2(−) +B (s2−
= A s−2 +3s +
= (A + + B) ( C+−s−2
B
− s Cs s
1
C s2
s
C s2
2s
C s2
1
−) 3A+ 2B C s
s
s ( s − 1)( s − 2 )
)
2A
A + B+C = 0 ⎫ ⎪ −3A− 2B − = C 2⎬ 2A
= 1 ⎭⎪
Resolviendo el sistema: A =
L
⎪ −1 ⎧
2s +⎪1 ⎪ ⎫ = ⎨ 3 2⎬ ⎨ ⎩⎪ s − 3s + 2s ⎭⎪
L
1 − = , B 2
=3, C
5 por lo tanto, 2
−1⎪⎧
⎫ 2 s +1 ⎬ 1 s− ) 2 ⎭⎪ ⎩⎪ s ( s −)(
=
1 −1 ⎧⎫1 L ⎨⎬ 2 ⎩⎭s
⎧ ⎫ 1⎧ 5 −1 1 ⎫ − ⎨3L⎬−1 ⎨ + L ⎬ 2 s − 2⎭ ⎩ ⎭ s −⎩1
=
1 5 2t − 3et + e 2 2
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Ejemplo 3 Raíces reales repetidas s2
Dada la función F(s) =
Solución:
3
( s +)1(
s) + 5
, determinar f(t) = L −1 {F(s) }
Usando fracciones parciales s2 3
( s (+) 1+)
= s 5 3
s2 = +A ( s )+ 1+
A
+
B
+
(s++ )5 ( + )s
C
+
1
3
s
1
D
( +B ) s +(5+ )(C+) s +1( s +)(5)
3
( s + 1) ( s + 5 )
( s + 1)
2
D s
1
2
s 5
Evaluando en s = - 5 3
25 = A ( − 4 )
despejando A = −
25 64
Evaluando en s = - 1 1= B ( 4 ) despejando A =
1 4
Igualando los coeficientesde las potencias de s s3 : 2
s :
D = 0⎫ ⎪
A +
⎬
3A + C + 7D1= ⎪ ⎭
Resolviendo el sistema: D =
L
⎧ s2 ⎪ ⎪ ⎫ = ⎨ 3 ⎬ ⎨ ⎩⎪ ( s +)1( s) + 5 ⎭⎪
−1 ⎪
L
=−
−
25 , 64
C=−
9 por lo tanto, 16
−1⎪⎧
⎫ 2 s +1 = ⎬ s−1 (⎪⎩ s )( ) s − 2 ⎪⎭
⎧⎪ ⎫⎪ 25 −1 ⎧ 1 ⎫ 1 1 L ⎨ ⎬ +⎨ L −⎬1 3 64 4 ⎩s + 5 ⎭ ⎩⎪ ( s + 1) ⎭⎪ ⎧⎪25 ⎫⎪ 9 −1 ⎧ 1⎫ ⎪ ⎪ −1 L ⎨ ⎬ 2 +⎨ L⎬ 16 ⎪ ( s)+⎪1 ⎪64 ( )⎪ ⎩
25 −5t
= − 64 e + ⋅
⎭
⎩
1 1 2 −t −t e + 4 2!
Elaborado por Marina Salamé S.
⎭
1 s+1
9 16 t e
−t
1
25
−t
64 e
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Ejemplo 4 Raíces com plejas: comp letar el cuadr ado.
Dada la función F(s) =
6s−4 s2 − 4s + 20
, determinar f(t) = L −1 {F(s) }
Solución: L
⎧ −1 ⎪ ⎨
6 s −⎪4 ⎪ ⎫
⎬ ⎨
2
=
L
−⎪1
⎧
6s−4
⎬
⎫
2
⎪⎩ s − 4s + 20 ⎭⎪
⎩⎪ ( s − 2 ) + 16 ⎭⎪ =
L
⎧ + 8 ⎫⎪ ⎨ ⎬ 2 ⎪⎩ ( s − 2 ) + 16 ⎪⎭
−1 ⎪ 6 ( s − 2 )
⎧ ⎫⎪ ⎧ s− 2 4 −1 ⎪ ⎨ ⎬ + 2L ⎨ 2 2 s 2 ⎪⎩ ( )s − +2 ⎭ 16 ⎪⎩ ( ) − + ⎪ ⎭
−1 ⎪
=6
L
= 6e
2t
⎫⎪ ⎬ 16 ⎪
cos 4t + 2 e2t sen 4t
Ejemplo 5 Raíces imagin arias pur as repetidas s3
Dada la función F(s) =
(s Solución:
2
+9
)
2
, determinar f(t) = L −1 {F(s) }
Usando fracciones parciales s3 2
( s +) 9 ( 2
=
As + B
)s
2
+9
2
+
Cs + D
( s2 + 9 )
Elaborado por Marina Salamé S.
Página 22de 43
s3
( s)
2
+9
(
2
As
=
)s (+ 9 ) +
Cs
( ) ( s2 + 9
s3 = As + + B+
B
+
2
2
s
+
2
3D
( s2 + 9 )
)
3 s2 + 9
s2 + 9C( sD
(
2
+9
2
)
)
Igualando los coeficientesde las potencias de s s3 :
C= 1 ⎫
2
D=0 ⎪
s : s : 1= s0 :
⎪
⎬ ⎪ ⎪ B + 9D0= ⎭ A + 9C0=
Resolviendo el sistema: A= -9, B = 0, C = 1, D = 0. reemplazando,
⎧
L
⎫ ⎧ 3 ⎪⎪s ⎪⎪ ⎨ ⎬ ⎨ ⎪ 2⎪ ⎪ ⎩⎪ s ⎭⎪+⎩⎪9
⎪ −1 ⎪
( )
2
=
L
⎫ −⎪⎪9s ⎬ 2 ⎪ s ⎭ ⎪+ 9
−1
( )
2
(
=−
1 t sen 3t +⋅ 2⋅3
3 t sen3 +t ⋅ 2
2
(s
⎧ ⎪⎪ s = − 9L − 1 ⎨ ⎪ s2 + 9 ⎩⎪ =−9
1s
+
)
2
+ 9
⎫ ⎪⎪ ⎬ + ⎪ ⎭⎪
) ⎧
L
⎫ s ⎪ ⎨ 2 ⎬ ⎪ s +9 ⎪ ⎩ ⎭
−1 ⎪
(
)
1 cos 3t 3
1 sen 3t 3
Elaborado por Marina Salamé S.
Página 23de 43
Ejemplo 6 Raíces com plejas repetidas.
Dada la función F(s) =
6s + 7
(s
2
+ 6s + 25
)
2
, determinar f(t) = L −1 {F(s) }
Solución: 6s + 7
(s
2
+ 6s + 25
)
2
6 ( s + 3 ) − 11
=
⎡ ( s + 3 )2 + 4 2 ⎤ ⎥⎦ ⎣⎢ s+3
=6
⎡( s)+ 3+ ⎢⎣ ⎥⎦ 2
⎧
L
⎪ −1 ⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
⎫ ⎪⎪ ⎬ ⎨ = 2 s2 + 6s⎪+ 25 ⎪ ⎪⎭ 6 s +⎪ 7
(
)
2
− 11 4 ( )+ + ⎡ s ⎢⎣ ⎥⎦ 2⎤
1
2
3
2
42 ⎤
2
⎧ ⎫ ⎪ s+3 ⎪−1 ⎪ 6 L⎬ 2 ⎪ ⎡ ( s + 3 )2 + 4 2 ⎤ ⎥⎦ ⎭⎪ ⎩⎪ ⎣⎢ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ 1 ⎨ ⎬⎪ 2 ⎪ ⎡ ( s + 3 )2 + 4 2 ⎤ ⎪ ⎥⎦ ⎭⎪ ⎩⎪ ⎣⎢
− 11 L −1 ⎪
f(t) = 6 e4t
⎛ 1 ⎞ 1 1 t sen 4t − 11e4t ⎜ sen 4t − t cos 4t ⎟ 2⋅4 ⎝ 2 ⋅ 43 2 ⋅ 22 ⎠
Elaborado por Marina Salamé S.
Página 24de 43
3. APLICACIONES A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
dy − 3y = e2t con la condición : y ( 0 ) = 1 dt
Ejercici o 1.Paso 1.-
Se aplica la transformada de Laplace a toda la ecuación término a término.
Paso 2.-
{y}′ − 3{L}
= − y (0) {=y′} −s Y(s)
L
{e2t }
s Y(s) 1 =
;
L
1
{e2t }
s−2
Reemplazando en el paso 1 se obtiene: 1
sY (s) − 1 − 3Y(s) =
Paso 4.-
y =
Desarrollando y aplicando condición inicial: L
Paso 3.-
L
s−2
Se factoriza la transformada : s Y(s) − 3Y(s) = sY (s) − 3Y(s) =
1
+ 1
s−2
1+ s −2 s−2
s −1
( s − 3 ) Y(s) = s − 2 s −1 s −) 3
Paso 5.-
Se despeja la transformada: Y(s) =
Paso 6.-
Descomponemos en fracciones parciales s −1
=
A
=
A
2 − s ) 3(− ) s ( s −)( (− 2 ) s −1
2 − s ) 3(− ) s ( s −)( (− 2 )
B
+
s
3 B
+
s
3
s −= 1
A− ( s3 + ) −
s −= 1
A − +s
s −1 =
A+ s − B−s
3A
2B
s1− =
+( A −) B( s+
3) A
2B
3A −
( B)
2 ( s − )(
( s − 2)( s − 3 )
s 2
Bs
2B
Igualando los coeficientes de los dos polinomios obtenemos:
Elaborado por Marina Salamé S.
Página 25de 43
A + B = −3 A2 − B=−
1 ⎫
⎬
1 ⎭
Resolviendo el sistema: A = - 1, B = 2 Reemplazando: Y(s) =
Paso 7.-
s −1
−1
=
2 − s ) 3(− ) s ( s −)( (− 2 )
+
2 s
3
Aplicando la transformada inversa a toda la ecuación: ⎧ 1⎪
⎫ ⎪⎧ −s − 1 ⎪ +⎬ L− ⎨ ⎨= L ⎪⎩ ( s −)(−2 )s ⎪⎭ 3 ⎪⎩−( ⎧ 1 ⎫⎪ ⎪⎧ 1 ⎫⎪ −1 ⎪ y(t) = − L −1 ⎨ ⎬ + 2 L⎨ ⎬ ( ) ⎩⎪ s − 3 ⎪⎭ ⎩⎪ ( s)− 2 ⎭⎪ − y(t) = L −1={L Y(s) }
Paso 8.-
⎪⎫ ⎬ ⎪⎭)
1
⎪⎧ −1⎪⎫ ⎨ ⎬ ⎪⎩ s−(⎪⎭2 )
2
1
s
3
Obteniendo la transformada inversa mediante las fórmulas: y(t) = − e2t + 2 e3t
Resultado
Paso 9.- Gráfica y
3
2
1
t
0 -1
Ejercici o 2.- y ′′ − 2 y ′ +
0
1
y = 3 e t con las condiciones () : y 0 (=) 1,
Elaborado por Marina Salamé S.
′ y0
=1
Página 26de 43
Paso 1.-
Se aplica la transformada de Laplace a toda la ecuación término a término.
Paso 2.-
L
{y2 }′′ L− { L} y′ { +}L
{e t }
y =3
Desarrollando y aplicando las condiciones iniciales: s2 Y ( )s − −s( )y 0 ( ) −y ′ 0 } {
−2 {s+Y ( s=)
(y) 0 }
{y′}
2
s Y)( s − s−− 1 )2 ( {s−Y+ s
=1}
Paso 3.- Factorizando :
Paso 4.-
Paso 5.-
Y ( s)
3
+− = s 1 s −1 Despejando la transformada: Y(s) =
s2 − 2+s4
(
s
2
− 2 s1s +
L
L
{y′′}
L
= (s2 − +2 s1 ) Y(s)
Y (s)
− +s2 =
) ( − 1)
{y}
3 s −1
3 s −1
s2 − 2 s + 4 s−1
2s
( s − 1)
4 3
Descomponemos en fracciones parciales Y(s) =
s2 − 2 s + 4
= +
( s)− 1
s2 − 2 s + 4
3
A
=
( s)− 1 3
A
B
+
s −(1 )
B
=
(
A s− + 2s +
)
−1
3
s −1
s −1 3
−A+ ( s1) − +( )B s 1 2
s −1
C
+
( )s − 1 2 2
s2 − 2s + =4
C
+ 2 s −(1 ) ( )s − 1
(
3
)
C
B ( s 1) + C
Al igualar los coeficientes de potencias iguales a s, A −B + C =
−2 A +
=−
B
=
A
4 ⎫
⎪
2 ⎬ 1 ⎪ ⎭
Resolviendo el sistema obtenemos: A = 1, B = 0, C = 3
Reemplazando: Y(s) =
1
( s − 1)
+
3 3
( s − 1)
Elaborado por Marina Salamé S.
Página 27de 43
Paso 6.-
Aplicando la transformada inversa a toda la ecuación:
⎧ 3 ⎫⎪ ⎨ 3⎬ ⎪⎩ ( s − 1) ⎪⎭ ⎧ ⎫ ⎧⎪ 1 ⎫⎪ 2 ⎪ −1 ⎪ 3 y(t) = L −1 {Y(s) } = L −1 ⎨ ⎬+ L ⎨ ⎬ 3 ⎪⎩ 2 ( s − 1) ⎪⎭ ⎩⎪ ( s − 1) ⎭⎪ y(t) = L −1 {Y(s) } =
Paso 7.-
L
⎪ −1 ⎧
⎫ 1 ⎪ ⎨ ⎬+ ⎩⎪ ( s − 1) ⎭⎪
L
−1 ⎪
Obteniendo la transformada inversa mediante las fórmulas: 3 y(t) = et + t2 et 2
Resultado
Paso 8.- Gráfica y 3
2
1
t
0 -7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
-1
Ejercici o 3.- y ′′ + 3 y = sen 5 t con las condiciones() : y Paso 1.-
0 = ()0,
′ y0
=0
Se aplica la transformada de Laplace a toda la ecuación término a término.
L
{y}′′ + 3{}L y{ = L}
sen 5t
Elaborado por Marina Salamé S.
Página 28de 43
Paso 2.-
Desarrollando y aplicando las condiciones iniciales: s2 Y ( s ) − −s( )y 0 ( ) +y′ 0 }= {
{y}
L
{y′′}
( )s + 3(Y )
s2 + 25
L
2 sY
5
3 Y (s)
5
s =
2
s + 25
Paso 3.- Factorizando :
Paso 4.-
(
5 2 s + 3 Y ( s ) = s2 + 25
)
Despejando la transformada: Y (s) =
Paso 5.-
5
(s
2
)(
+ 25 s2 + 3
)
Descomponemos en fracciones parciales Y ( s) =
Y ( s) =
5
(
)(
)
s2 + 25 s2 + 3 5
( s + 25 )( 2
2
=
)
s +3
(
5 = ( As + Bs+ ) 2+ +25
)
=
As + B s2 + 3 As + B s2 + 3
+( CsDs )
(
2
+
+
Cs + D s2 + 25 Cs + D
(
s2 + 25 3
)(s2 + 25)
s2 + 3
)
Al igualar los coeficientes de potencias iguales a s, 25 B + 3D = 5 ⎫ 25 A + 3C = 0 ⎪ ⎪ B+
D =0
A +
C =0
⎬ ⎪ ⎪⎭
Resolviendo el sistema obtenemos: A = 0, B =
5 5 , C = 0, D = − 22 22
Reemplazando: Y (s) =
5 22 2
s +3
− 5 +
22
2
s + 25
Elaborado por Marina Salamé S.
Página 29de 43
Paso 7.-
Aplicando la transformada inversa a toda la ecuación:
⎧5
⎫1 ⎧ ⎪ −⋅ 2 ⎬ 22 s + 3 ⎭⎪ ⎩⎪
−1 ⎪ {}L y⋅ + ⎨
y(t) = L −1 {Y(s) =}
L
−1⎫⎪
5 1 ⎪ ⎨ ⎬ 2 22 s 25 ⎪ + ⎩⎪ ⎭
Como L
⎪ ⎫⎪ 3 −1 ⎧
⎧⎪ = sen 3 t ,⎨ ⎨ ⎬2 ⎪⎩ ⎩⎪ s⎭⎪ + 3
⎫⎪ ⎬ ⎭⎪
L
−1
5 s2 + 25
= sen 5 t
Entonces Y(s) se debe escribir como: 5 3 Y (s) = ⋅ − ⋅ 22 3 s2 + 3 y(t) = L −1 {Y(s) } =
Paso 8.-
1 5 22 s2 + 25 5
L
22 3
⎪ −1 ⎧
⎫3 ⎪ ⎧ 1 ⎫−1 ⎪ 5 ⎪ L ⎨ 2 ⎬ − ⎨ 2 ⎬ 22 ⎩⎪ s + 3 ⎭⎪ ⎩⎪ s + 25 ⎪⎭
Obteniendo la transformada inversa mediante las fórmulas: y(t) =
5 22 3
sen 3 t −
1 22
sen 5 t
Resultado
Paso 9.- Gráfica y
t
0 - 2
- 1
0
1
2
3
4. APLICACIONES
Ejercicio 1 .-
Se conectan en serie una resistencia de R ohmios y un condensador de C faradios con un generador de E voltios. En t = 0
Elaborado por Marina Salamé S.
Página 30de 43
q(t) = 0, I(t) =0. Obtener la carga y la corriente para cualquier tiempo t > 0.
Paso 1.-
Aplicando la segunda ley de Kirchhoff: Vtotal = VV bobina +
dI
resistencia
+ Vcapacitor
Paso 2.-
Vbobina = L
Paso 3.-
Sustituyendo: 2
dI q + 16 I + = 300 dt 0,02
simplificando: 2
dI + 16 I + 50 q = 300 dt
dt
; Vresistencia = I R ; Vcapacitor =
q c
dI + 8 I + 25 q = 150 dt
Paso 4.-
Resolver primero para q(t) : y como I = d ⎛ dq ⎞
dq
dt ⎝ d t ⎠
dt
⎜
⎟+ 8
dq dt
sustituyendo:
+ 25 q = 150
Elaborado por Marina Salamé S.
Página 31de 43
Paso 5.-
Modelo matemático del circuito dq d2 q +8 + 25 q = 150 dt dt
Paso 6.-
Aplicando la transformada a toda la ecuación L
Paso 7.-
+ 8{ } {q}′′ L
150
Aplicando las propiedades:
{s2 Q ( s) Paso 8.-
qL′ +{L }25 { }q =
− s( )q−0 ( )+ q′ 0
} − 8 {+s Q( ) s =( )q 0 }
150 s
Aplicando las condiciones iniciales q(0) = 0, I(0) = 0, q(′ 0) = 0 s2 Q ()s + 8 s () Q s +() 25 Q s =
Paso 9.-
25 Q ( s )
150 s
Factorizando la transformada:
( s2 + 8 s + 25) Q ( s)
=
150 s
Paso 10.- Despejando la transformada: Q ( s) =
150 s s2 + 8 s + 25
(
)
Paso 11.- Aplicando la transformada inversa a toda la ecuación: ⎧ ⎪
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ s s2 + 8 s + 25 ⎪ ⎩ ⎭
q(t) = L − 1 {Q ( s )} = L − 1 ⎨
150
(
)
Paso 12.- Simplificando la expresión, en una suma de fracciones parciales:
Elaborado por Marina Salamé S.
Página 32de 43
q(t) =
=
=
=
150
(
s s2 + 8 s + 25
6 s
−
)
6s + 48 s2 + 8 s + 2 5
6 (s + 4) + 2 4 6 − 2 s (s + 4) + 9 6 s
−
6 (s + 4) + 2 4 2
( s +) 4+
−
( 9 )+ +s
24 4
2
9
Paso 13.- Sustituyendo: ⎧ ⎪
⎫ ⎪ ⎬ ¨ ⎪ s s2 + 8 s + 25 ⎪ ⎩ ⎭
q(t) = L − 1 {Q ( s )} = L − 1 ⎨
150
(
⎧6 6 (s + 4) + 2 4 ⎪ = L−1 ⎨ − − 2 s ⎪⎩ ( s +) 4+ ( 9 )+ +s
)
24 4
2
⎫ ⎪ ⎬ 9⎪ ⎭
Paso 14.- Obteniendo la transformada inversa mediante las fórmulas: q(t) = 6 − 6 e − 4 t cos 3t − 8 e − 4 t sen 3t
I(t) =
dq dt
Resultado
= 50 e− 4 t sen 3t Result ado
Paso 15.- Gráfica de la carga :
q(t) = 6 − 6 e − 4 t cos 3t − 8 e − 4 t sen 3t
Elaborado por Marina Salamé S.
Página 33de 43
q (t)
6
4
2
t
0 0123
Paso 16.- Gráfica de : I(t) =
dq dt
= 50 e − 4 t sen 3t
Elaborado por Marina Salamé S.
Página 34de 43
I (t) 12
10
8
6
4
2
t
0 0123
Para grandes valores de t, los términos de q o de I en que aparece e − 4 t son despreciables y se llaman los términos transitorios o la parte transitoria de la solución. Los otros términos se llaman los términos permanentes o la parte permanente de la solución.
Ejercicio 2 .-
Se conectan en serie una resistencia de R ohmios y un condensador de C faradios con un generador de E voltios. En t = 0
Elaborado por Marina Salamé S.
Página 35de 43
q(t) = 0, I(t) =0. Obtener la carga y la corriente para cualquier tiempo t > 0.
Solución : Paso 1.-
Aplicando la segunda ley de Kirchhoff: Vtotal = VV bobina +
dI
Paso 2.-
Vbobina = L
Paso 3.-
Sustituyendo: 2
dt
resistencia
+ Vcapacitor
; Vresistencia = I R ; Vcapacitor =
dI dt
+ 16 I +
q 0,02
q c
= 100 sen(3t)
Elaborado por Marina Salamé S.
Página 36de 43
simplificando:
Paso 4.-
dI + 8I + 25 q = 50 sen(3t) dt
Resolver primero para q(t) : y como I =
dq dt
sustituyendo:
dq d ⎛ dq ⎞ + 25 q = 50 sen (3t) ⎜ ⎟+ 8 dt ⎝ d t ⎠ dt
Paso 5.-
Modelo matemático del circuito dq d2 q +8 + 25 q = 50 sen(3t) dt dt
Paso 6.-
Aplicando la transformada a toda la ecuación L
Paso 7.-
{}q′′ +L{8}
q = } 50 sen(3t)
Aplicando las propiedades:
{s2 Q ( )s Paso 8.-
qL′{}+L25 {
− s( )q−0 ( ) + q′ 0
} − 8 {+s Q( ) s =( )q 0 }
25 Q ( s )
150 s2 + 9
Aplicando las condiciones iniciales q(0) = 0, I(0) = 0, q(′ 0) = 0 150
2
s Q ()s + 8 s () Q s +() 25 Q s = s2 + 9
Paso 9.-
Factorizando la transformada:
( s2 + 8 s + 25 ) Q ( s )
=
150 s2 + 9
Paso 10.- Despejando la transformada: Q ( s) =
150
( s )(+ 9s 2
2
)
+ 8 s + 25
Paso 11.- Aplicando la transformada inversa a toda la ecuación:
Elaborado por Marina Salamé S.
Página 37de 43
⎧ ⎪
⎫ ⎪ ⎬ 2 2 + 8 s + 25 ⎪ ⎪ s + 9s ⎩ ⎭
q(t) = L − 1 {Q ( s )} = L − 1 ⎨
150
( )(
)
Paso 12.- Simplificando la expresión, en una suma de fracciones parciales: q(t) =
150
( s2 )(+ 9s
= − + 8 s + 25
)
2
Paso 13.- Sustituyendo:
751 + 26 s2 + 9
⎧ ⎪
75 s 52 s2 + 9
75 52
s+ 4 2 (s + 4) + 9
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ s2 + 9s 2 + 8 s + 25 ⎪ ⎩ ⎭
q(t) = L − 1 {Q ( s )} = L − 1 ⎨
150
( )(
)
⎧⎪ 75 1 75 s 75 s+4 = L−1 ⎨ − + 2 52 s2 + 9 52 ( s + 4 )2 + ⎪⎩ 26 s + 9
⎫⎪ ⎬ 9⎪ ⎭
Paso 14.- Obteniendo la transformada inversa mediante las fórmulas: q(t) =
25 75 25 −4t sen − 3t + cos 3t+ e sen3t 26 52 26
q(t) =
25 ( 2−sen+3t 52
I(t) = 75 ( 3+sen3t − 52
)3 cos (3t +
25 −4t e) 52
)2cos(3t + 25 52
e−)4t
75 −4t e cos 3t 52
2 sen3t
3 cos 3t
Resultado
17 sen3t
6 cos 3t
Resultado
Para grandes valores de t, los términos de q o de I en que aparece e − 4 t son despreciables y se llaman los términos transitorios o la parte transitoria de la solución. Los otros términos se llaman los términos permanentes o la parte permanente de la solución.
Elaborado por Marina Salamé S.
Página 38de 43
Paso 15.- Gráfica de la carga: q(t) =
25 ( 2−sen+3t 52
)3 cos (3t +
25 −4t e) 52
2 sen3t
3 cos 3t
q (t) 2
1
t
0 012345
-1
-2
Paso 16.- Gráfica de : I(t) =
75 ( 3+sen−3t 52
)2 cos(3t +
25 −4t e) 52
17 sen 3t
6 cos 3t
4
2
t
0 012345
-2
-4
-6
Elaborado por Marina Salamé S.
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GUÍA DE EJERCICIOS 1-. Encontrar la transformada de Laplace de las siguientes funciones:
Respuestas:
4
a) f(t) = 4 e −3t
s+3
1
b) f(t) = et − 2
e2 ( s − 1)
6 s2 − 2
c) f(t) = 6 − t 2
(
s3
)
d) f(t) = t 2 + 1
s 4 + 4s2 + 24
2
s3
e) f(t) = ( sen t − cost )
2
s2 − 2s + 4
(
s s2 + 4
)
2-. Usar la definición para obtener la transformada de Laplace.
Respuestas:
⎧ 2t, ⎪ a) f(t) = ⎨ ⎪ 1, ⎩
0≤t≤5 t >5
2 s2
( 1− e−5s ) − 1s0 e−5s
Elaborado por Marina Salamé S.
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⎧ 1, ⎪ b) f(t) = ⎨ ⎪ t, ⎩
0
⎧ 3, ⎪ c) f(t) = ⎨ ⎪ 0, ⎩
0 < t <1
1 s
t ≥3
2
⎛
3 ⎜−
⎝
t ≥1
1 1 − e−3s s s
+
1 −s 1 −s 1 ⎞ e − e + ⎟ 2 s s s2 ⎠
3-. Calcular: Respuestas:
6
{t3e−3t }
a)
L
b)
L
c)
L
{ e2t (3s en 4t − 4 cos 4t ) }
d)
L
{
e)
L
(s + 3)
4
8
{ 2 e3t sen 4t }
(
s2 − 6s + 25
)
20 − 4s
f)
tcosat
s2 − a 2
}
( s2 + a 2 )
{ t (3 sen 2t − 2 cos 2t ) }
⎧⎪ e −at − e−bt ⎫⎪ ⎬ t ⎩⎪ ⎭⎪
L⎨
s2 − 4s + 20
2
8 + 12s − 2s2
( s2 + 4 )
2
⎛ s+b ⎞ ⎟ ⎝ s+a⎠
ln ⎜
Elaborado por Marina Salamé S.
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g)
L
⎧ cos at − cos bt ⎫ ⎨ ⎬ t ⎩ ⎭
1 ⎛ s2 + b 2 ln ⎜ 2 ⎜⎝ s2 + a2
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
4-. Encontrar la transformada de Laplace de las siguientes funciones:
Respuestas: a)
L
−1
b)
L
−1
c)
L
−1
d)
L
−1
e)
L
−1
f)
g)
L
−1
L
⎧⎪ 1 ⎫⎪ ⎨ ⎬ ⎩⎪ s2 + 9 ⎭⎪
3
⎧⎪ 6s − 4 ⎫⎪ ⎨ 2 ⎬ ⎩⎪ s − 4s + 20 ⎭⎪
2 e 2t ( 3 cos 4t + sen 4t )
⎧⎪ ⎫⎪ 1 ⎨ ⎬ ⎩⎪ 2s + 3 ⎭⎪
−
1 2π
1
−
3t
t 2e 2
⎧2 1 1 ⎫ ⎨ 3 − + ⎬ s s−4⎭ ⎩s
t 2 − 1 + e4 t
⎧⎪ 2s − 1 ⎫⎪ ⎨ 2 ⎬ ⎩⎪ s ( s + 1 ) ⎭⎪
3 − t − 3 e −3t
⎧ ⎪ s+4 ⎨ 2 2 ⎪ s s + 16 ⎩
(
−1
sen 3t
)
⎧⎪ s − a ⎫⎪ ⎨ 3 ⎬ ⎩⎪ s ( s + a ) ⎭⎪
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
1 t ( 1 − cos 4 t − sen 4t ) + 16 4
2 a
2
e− at −
t2 2
+
2t a
Elaborado por Marina Salamé S.
−
2 a2
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h)
L
−1
⎧ ⎫ 3 ⎪ ⎪ ⎨ 3 2 ⎬ ⎪s s − 9 ⎪ ⎩ ⎭
(
1 1 senh 3t − t 9 3
)
5-. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales con valor inicial, usando la transformada de Laplace. Respuestas: y ′ + y = 0,
y = e −t
y(0) = 1
a) b) y ′′ + =4y
c) y ′′ + 1=6y
d) y ′′ + =y
e) y ′′′ − 3 y′′+ y(0) = 1,
2,= y(0) = 0,
4, =
0
y=
1 ( 1c− os 2t ) 2
y ′(0)
0
y=
3 1 cos 4t + 4 4
y(0)= 1,
1,−= y(′ 0)
t, =y(0)
3 −′y=
y ′(0)
y
t 2 et ,
2
y = t + cos t − 3 sen t
y = e−t −tet
t 2 et
t 5 et
2
60
+
y ′(0) = 0, y(′′ 0) = − 2
Elaborado por Marina Salamé S.
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