Transformada de Laplace Con el objeto objeto de un mejor mejor entendimiento entendimiento de los temas centrales de nuestro desarrollo es conveniente recordar algunos conceptos previos, ya vistos, ellos son: Continuidad Seccional Una función real f (t) es f (t) seccionalmente continua en un intervalo [a, b], si una partición del mismo en numero finito de partes, en cada una de las cuales la función es continua y además tiene limites laterales finitos en los t extremos de cada subintervalos. a b 0 Es consecuencia de esta definición que toda función continua en un intervalo [a, b], es seccionalmente continua. En efecto, si se divide el intervalo [a, b], en dos o más partes se comprueba fácilmente que en cada una de ellas la función es continua y además verifica las condiciones enunciadas anteriormente. Funciones de Orden Exponencial Se dice que una función f (t) es de “orden exponencial ” cuando “t” tiende a infinito , o simplemente que es de “orden exponencial”, si dos constantes reales “M” y “” mayores que cero, tales que a partir de de un cierto valor de t H,
es : f (t) M . e t Se dice también que la función función f (t) está dominada dominada por la función M . e t ó que esta, es mayorante. Si la función es de orden exponencial t H , se verifica la doble desigualdad -M . e t f (t) M . e t La grafica de la función f (t), a partir de t H se encuentra entre las curvas simétricas de las funciones exponenciales exponenciales M . e t y - M . e t En el grafico siguiente aparecen algunos ejemplos de funciones de orden exponencial.
1
f(t) f(t)=a.t
e. M K
f(t)=K f(t)=A.cos a.t
M
H
t f(t)=sen a.t
-M
- M .e
Vemos para la función f (t) = k que t H es k M . e t
Transformada de Laplace Definición: Sea f (t) una función definida t R 0*+. Si la integral
s.t
0 e
f (t )dt existe,
es decir, si esta integral converge para pa ra algún valor de s , será una función del parámetro S. La función así obtenida recibe el nombre de Transformada de Laplace de la función f (t) Denotaremos a la transformada de Laplace de f (t) con cualquiera de las siguientes formas: ʆ
{ f (t)} = F (s)
f (t) F (s)
( se lee: la transformada transformada de f (t) es F (s) )
( se lee : f (t) tiene por transformada a F (s) ) 2
f(t) f(t)=a.t
e. M K
f(t)=K f(t)=A.cos a.t
M
H
t f(t)=sen a.t
-M
- M .e
Vemos para la función f (t) = k que t H es k M . e t
Transformada de Laplace Definición: Sea f (t) una función definida t R 0*+. Si la integral
s.t
0 e
f (t )dt existe,
es decir, si esta integral converge para pa ra algún valor de s , será una función del parámetro S. La función así obtenida recibe el nombre de Transformada de Laplace de la función f (t) Denotaremos a la transformada de Laplace de f (t) con cualquiera de las siguientes formas: ʆ
{ f (t)} = F (s)
f (t) F (s)
( se lee: la transformada transformada de f (t) es F (s) )
( se lee : f (t) tiene por transformada a F (s) ) 2
En la definición
ʆ
0
{ f (t)} =
f (t ).e s.t .dt F ( s ) se llaman
f (t) : es la función ORIGINAL F (s): es la IMAGEN o TRANSFORMADA e-st : es el NÚCLEO DE TRANSFORMACIÓN “S” : “VARIABLE SIMBOLICA” (que puede ser compleja)
Criterio de Existencia de la Transformada de Laplace Si una función es seccionalmente continua en un intervalo 0 t H, y de orden exponencial t H, entonces existe la transformada de Laplace de f (t) S . Demostración: Por las propiedades propiedades de los modulos de las integrales, integrales, sabemos: sabemos: s.t
0 e
. f (t )dt
e s.t e s.t s.t
0 e
s.t
0
e
. f (t ) dt
s.t
0 e
f (t ) dt , ya que es
y como f (t) M e.t , resulta : s.t ( s ).t t
f (t ).dt
0 e
M .e
resolviendo M 0 ( s ) P . li lim m e e = - S P
0 e
dt M
dt
expresión en la que si S
e( s ) P 0 cuando p . Esto indica que la integral converge para
valores de s , que la transformada existe y además que F (s) M / s - . Si la función fuera de orden exponencial en un intervalo (H, ) y seccionalmente continua en [0, H], podemos generalizar el resultado anterior descomponiendo el intervalo de integración [0, ] en dos partes por el punto H – En el primer intervalo [0, H] la integral existe por ser f (t) seccionalmente continua y en el intervalo [H, ] se repite el razonamiento anterior con lo que queda demostrado. 3
Condiciones Suficientes para la existencia de la Transformada Para que la transformada de Laplace de una función f (t) exista, y para que f (t) se pueda volver a encontrar a partir de su transformada F (s), es suficiente que: a) Que sea f (t) seccionalmente continua en el intervalo (0, H) y tenga a lo mas un numero finito de máximos y de mínimos y un numero finito de discontinuidades finitas. b) Que exista una constante real a tal que la integral impropia
0
e a.t . f (t ).dt
a.t
0 e
. f (t ) dt , sea convergente.
Frecuentemente la condición b) es reemplazada por otra más exigente, es decir por otra mas restrictiva: b´) Si existen constantes reales , M, H tales que :
e-.t f (t) M válido t H ò bien f (t) M .e.t
t H
Esta última condición restrictiva, no es otra cosa que la definición vista de funciones de orden exponencial. Es evidente, que en adelante la deducción de las propiedades fundamentales de las transformadas de Laplace implica, el operar con la integral st
0 e
. f (t ).dt
Esta es claramente impropia, ya que su límite superior es infinito, y también podría resultar impropia debido a las condiciones que puede presentar la función a transformar, en uno o más puntos del intervalo de integración. Sin embargo en tanto y en cuanto supongamos que f (t) sea seccionalmente continua, estas discontinuidades serán en el peor de los casos, saltos finitos, que se salvan fácilmente descomponiendo el intervalo de integración en intervalos parciales cuyos extremos son precisamente los puntos de discontinuidad. Por tanto, no prestaremos una atención especial a los posible saltos de f (t) . Pero los que requieren mayor observación, por ser mas serios, son los problemas relacionados con el limite superior infinito de la integral. Transformadas de funciones elementales Demostraremos a continuación las transformadas de las funciones elementales de uso mas frecuente: 4
Si f (t) = 1
1
ʆ {1} =
Demostración : s.t
0
ʆ {1} =
e
s 0
s
s. p p
P s.t e e dt lim p 0 p
.1.dt lim
e s. p e s.0 0 1 lim p s s s
Si f (t) = t
ʆ {t} =
s.t
0 e
ʆ {t} =
u=t
.t .dt
0
S 0
si
s 0
s 2
p s.t lim e .t .dt p 0
haciendo :
du = dt
dv = e-s.t. dt
v = e-s.t/-s t .e
lim
ʆ {t} = P
s
1
S
P
1 2
s. p
S .e
1 s.t e .dt 0 s
P .e s. P
P
s lim
0
= P lim
s.t p
resulta reemplazando:
0
s
0
lim
P
analicemos el primer término
aplicando L´ Hopital
s.e s. p
y cuando t = 0
t .e s.t
s
0
en consecuencia la integral dada será igual a: ʆ {t} =
1
s
.
0
1 1 e S .t .dt . ʆ {1} = 2 s s
s
0 5
Generalizando ʆ {t n} =
s
n! S n+1
0
con n = 1, 2, 3, …….
Ya hemos demostrado la regla para n = 1, supongamos se cumple para un valor de n = k , o sea se verifica que
k !
k
ʆ {t } =
s.t k 1
k+1
0 e
k 1
s.t
ʆ {t
}=
t =
.e
para un valor de n = k +1 tendremos :
1
S k
s
0
.t
.dt
resolviendo por partes
k 1 s.t k e .t .dt procediendo a un análisis similar al del 0 s
punto anterior vemos que el primer termino es cero, de donde nos queda k 1 k 1 k ! k 1! k+1 k ʆ {t }= . ʆ {t } = . k 1 = Así por el principio de S s s S K 2 inducción completa, queda probada la validez, de la formula para todo n natural. a .t Si f (t) = e
ʆ { e
a .t
}=
ʆ { e
s.t a.t
0
e
.e
a .t
}=
.dt =
cuando s a s – a 0
ʆ { e
a .t
e0 1 }= - 0 s a s a
1
s
s a
0
e
lim t
t .( s a )
s
e t ( s a )
.dt = s a
e t ( s a ) s a
a. Demostración
lim
t
0
1 ( s a ).et ( s a )
0
a
Veamos ahora algunas transformadas de funciones trigonométricas.
6
Si f (t) = sen a t ʆ { sen a.t } =
a
s
s 2 a 2
a
s.t
Demostración : ʆ { sen a.t } = 0 e . sen a.t .dt , podríamos realizar la demostración resolviendo en forma directa esta integral, pero recordemos que ei.a.t e i.a.t sen a.t = y aplicando la propiedad lineal de las transformadas, 2.i
tendremos
ei.a.t ei.a.t = ʆ { sen a.t } = ʆ 2 . i
=
1 2.i
.
1 s i.a
1 s i.a
=
1
1 2.i
2.i.a
2.i s 2 a 2
[ ʆ { e
=
i . a .t
} - ʆ { e
a 2 2 s a
s
Si f (t) = cos a.t ʆ { cos a.t } = 2 2 s a
i.a.t
}]=
s
a
s
a
e i.a.t e i.a.t
Para la demostración recordemos que cos a.t =
2
y aplicando las mismas propiedades que en punto anterior 1
ʆ { cos a.t } =
=
2. s
1 2 s
2
a2
2
=
[ ʆ { e s
s a 2
2
i . a .t
} + ʆ { e
s
i .a.t
}]=
1 2
.
1 s i.a
s s a 2
s
2
para la demostración recordamos que Ch . at = 1 2
[ ʆ { e
a .t
} + ʆ { e
1 s i.a
=
a
- Si f (t) = Ch .at ʆ { Ch . at } =
ʆ {Ch. at} =
a .t
}] =
1 2
.
1 s a
a
e a.t e a.t 2
1 s a
=
1
2. s
2 s 2 a 2 7
- Si f (t) = Sh .at
sabemos que Sh. at = ʆ {Sh. at} =
1 2
ʆ { Sh . at } = e a.t e a.t 2
s a 2
s
2
a
por lo que su transformada será:
a .t [ ʆ { e } - ʆ { e a.t }] =
1 2.a a = 2 2 2 s a s 2 a 2
a
1 2
1
.
s a
1 s a
si s a
Es posible, con el objeto de facilitar la búsqueda y calculo de las transformadas, confeccionar una tabla para las funciones elementales de uso frecuente :
f (t) 1 ; u (t)
F (s) 1 s 1 2 s
t n
t
e at
n!
“
n N
s n 1
sen at cos at
s a s 2
s
s 0
s a s
2
s a
2
2
2
a
2
s 2 a 2 a
Ch.at
“
1
s a a
Sh.at
s s 0
“ s a
“
Propiedades de la transformación de Laplace Propiedad Lineal Si f (t) F (s) g (t) G (s) , siendo A y B ctes. arbitrarias se demuestra 8
ʆ {A. f (t) B. g (t)} = A . F(s) B .G(s) esta propiedad como una consecuencia inmediata de la definición de la transformada, en razón de las propiedades lineales de las integrales.
Ejemplo : Hallar
ʆ { t 2 5.t e2.t 2 } = ʆ { t 2 } – 5 ʆ { t } + ʆ { e 2.t } – 2 ʆ {1} = 2
=
s 3
Propiedad de translación
5 s 2
1 s 2
2 s
a.t ʆ { e . f (t ) } = F (s - a)
Si f (t) F (s)
Demostración : por definición tenemos
a.t
ʆ { e . f (t ) } =
0
e s.t .ea.t . f (t ).dt =
t ( s a )
0
e
. f (t ).dt F ( s a)
Si la transformada de f (t) existe, esta ultima integral define una transformada de variable simbólica (s – a), por lo que la propiedad queda demostrada, veamos un ejemplo práctico : Hallar: ʆ { t 2 .e 3.t } 2
2
calculamos ʆ { t } = otro ejemplo
s
2
2
3.t
ʆ { t .e } = ( s 3)3
3
.t
ʆ { e .Ch.3.t }
Hallar
calculamos ʆ { Ch 3 t}=
s s 2 32
.t ʆ { e .Ch.3.t } =
( s ) ( s ) 2 9
Cambio de Escala Si f (t)
F (s)
ʆ { f (a.t)} =
1
a
a
. F s
Demostración: aplicando la definición ʆ {f (t.a)} =
s.t
0 e
. f (t .a).dt resolviendo 9
u = t .a
ʆ { f (a.t) } =
t=
u
dt = 1 .du
a
a
s
e
0
u .
a
1
1
. f (u ). .du F ( s ) a a a
Transformada de Laplace de Derivadas Si f (t) F (s) y posee derivadas sucesivas en cero se demuestra que: (n) n n 1 n2 n 3 ( n 2) ( n 1) ʆ { f ( z ) } = S . F ( s) S . f (o) S f (ó) S f (o´´) ....... S . f ( o) f (o)
a) Demostraremos en primer termino para la primera derivada Si f (t) F (s) ʆ { f (t)´.} =
u= e
s.t
s.t
0
e
ʆ { f (t)´.} = S. F(s) – f (o) p s.t
e 0 P
. f (t ´).dt lim
du = - s.e
. f ´(t ).dt
resolviendo
s.t
.dt
dv = f ´(t) dt v = f (t)
P P s.t s.t lim e . f ( t ) s e . f ( t ). dt = ʆ { f (t)´.} = 0 0 P
s. p 0 lim e . f ( p ) e f (o) s. lim =
P s.t
e 0 P
P
nos queda por demostrar
. f (t ).dt s. F ( s) f (o)
lim e s. p . f ( p) 0 , recordemos que f (t) es de
P
.t orden exponencial, cuando t o sea que f (t ) M .e ó también
e
s. p
. f ( p)
M .e . p .e s. p M .e p ( s )
10
si s el segundo miembro tiende a cero cuando p s. p . f ( p) 0 o sea lim e P
b) Transformada de la derivada segunda Si f (t) F (s) ʆ { f ´´(t)} = s 2. F(s) – s. f (o) – f ´(o) Aplicando el concepto demostrado en el punto anterior y pensando que f ´(t) es la primitiva de f ´´(t) tendremos ʆ { f ´´(t)} = s. ʆ { f ´(t)} – f ´(o) = s [ s. F(s) – f (o)] – f ´(o)
= s 2. F(s) – s .f (o) – f ´(o) con lo que queda demostrado Supongamos la regla se verifica para la derivada enésima (n) n n 1 n2 ( n 2) ( n 1) ʆ { f (t ) } = s . F ( s) s f (o) s . f ´(o) ...... s. f ( o ) f ( o )
( n 1) ( n) f f aplicando el procedimiento sabiendo que la primitiva de ( t ) es ( t )
(n)
( ) ( n 1) f f f ʆ { ( t ) } = s. ʆ { ( t ) } - ( o ) reemplazando los valores n
( n 1)
(n) } = s . [ s n . F ( s) s n 1. f (o) ...... f (no)1 ] - f ( o )
( n 1)
n1 n n1 ( n1) (n) } = s . F ( s) s f (0) s f ´(0) ..... s. f (0) f ( 0)
ʆ { f (t ) ʆ { f (t )
como vemos la regla se verifica para el orden (n+1) Transformada de Laplace de Integrales Si f (t) F(s)
t
f (u ).du 0
1 s
. F ( s) lo demostramos :
t
Supongamos que g (t) = 0 f (u ).du y sea p (u) una función de variable independiente u tal que su derivada sea p´(u) = f (u)
t
t
g (t) = 0 f (u).du p(u) c 0 p(t ) p(o) derivando :
g ´(t) = p´(t) y como p´(u) = f (u) g´(t) = p´(t) = f (t) además
11
0
la función g (t) en el punto cero será g (o) = 0 f (u).du 0 si hallamos la transformada de la igualdad g´(t) = f (t) ʆ { g´(t)} = s. ʆ { g (t)} – g (o)} ʆ { f (t)} = F(s)
s. ʆ { g (t)} = F(s) 1
ʆ { g (t)} =
s
.F(s)
ʆ {
despejando
t
f (u ).du } = 1 .F(s) 0 s
t
Ejemplo: Hallar ʆ {
senau.du } 0
1 a sen.u.a.du . 2 0 s s a 2
a
Sabemos que sen au
s 2 a 2
t
División por t Si f (t) F (s) f (t )
Llamemos a
t
f (t ) t
= g (t)
F (u).du , lo demostramos S
o sea
f (t) = t . g (t)
ʆ { f (t)} = ʆ { t . g (t)} supongamos que G(s) = ʆ { g (t)}, además ʆ { t . g(t)} = (-1) 1.
ʆ {f (t)} = F(s) ;
F(s) = -
s
d ds
o también
G( s)
F (u).du
s
g(t) =
t
f (t ) ʆ = t
ds
d du
.G(s) ,
por lo tanto:
.G(u ) G´(u ), integrando
s
s
P p
G´(u)du d .G(u) lim dG(u) lim G(u) p
G( p) G( s) = G(s) - plim
f (t )
F(u) = -
d
s
P
como este ultimo miembro es la transformada de
se deduce que :
F (u).du s
siendo F(s) f (t)
en esta demostración hemos supuesto que
lim G( p) 0 , en efecto
p
12
f (t )
la función G(u) = ʆ
= t
f (t ) t
0
e s .t .
f (t )
.dt por definición, además
t
f (t )
es de orden exponencial y se verificará
s .t
0
e
.
f (t ) t
.dt
s .t
0
e
.
f (t ) t
dt M .
t
0
.t M .e y M 0
e ( s ).t .dt G( s)
( s ).t dt M .0 e
como slim
0
e ( s ).t .dt 0 lim G ( s) 0 ó lim G( p) 0 s p
Calculo de Integrales impropias
Si f (t) F(s)
f (t )
0
t .
.dt
F (u).du 0
Demostración : Por el teorema anterior resulta:
0
e
s.t
lim
.
t
S 0 0
f (t )
e
sen x
0
x
S .t
.
f (t )
0
.dt
t
F (u).du
f (t )
.dt
dx
0
tomando limites para s o+
s
dt lim
F (u)du como
S 0 S
t
e S .t 1 si
s 0+
F (u)du 0
ds s 1 2
veamos una aplicación : p
lim arc.tg .S 0 p
lim arc.tg . P arc.tg 0
p
2
Transformada de Funciones Periódicas
Sea f (t) periódica de periodo primitivo “p”, será:
f (t) = f (t+p) t R y si f (t) es Laplace transformable: 13
1
P
s.t . e . f (t ).dt f (t ) entonces ʆ = s . p 0 1 e
Demostración :
s .t Por definición será : ʆ f (t ) = 0 e . f (t ).dt Descomponiendo el intervalo de integración (0, )
=
P
0
e
s .t
. f (t ).dt
2 P
P
e
s .t
. f (t ).dt
3 P
2 P
e s.t . f (t ).dt ...........
Sustituyendo en la primera integral t = u ; en la segunda t = u+p , en la tercera t = u + 2p, en la cuarta t = u + 3p ---------y en la n-sima integral a t = u + (n1).p tendremos : =
=
P
0
P
0
e
S .U
f (u)du
P
0
e
S (U P )
e SU . f (u ).du e SP
P
0
f (u p).du
P
0
e S (U 2 P ) f (u 2 p).du ..........
e SU . f (u )du e 2 SP
P
0
e S .U . f (u ).du ............
P
SU SP 2 SP e3SP ........) este ultimo factor en = 0 e f (u ).du.(1 e e la integral que no depende de u, representa la serie geométrica de razón q e SP , de valor absoluto 1 s 0 y primer termino a = 1, suma que
converge a
ʆ f (t ) =
S
a 1 q
1 1 e s. p
1 e SP
P
.
1
0
cuando n , como limite de esta
e s.u . f (u ).du y como u = t en (0, P)
queda así demostrada
Transformada de la Función Escalón Unidad Conceptos Previos : Definición Una función “escalón unidad ” de variable real “t” queda definida mediante la expresión : 14
0 si t a 1 si t a
u (t - a) =
a R su grafica es :
u
1
a
0
t
Como caso particular de esta función si a = 0, será : u
u (t) =
0 si t 0 1 si t 0
1
0
t
Propiedades Si una función f (t) está definida en R , se verificará : f (t) . u (t) =
f (t – a).u (t) =
0 si t 0 f (t) si t 0 0 si t 0 f (t – a) si t 0
f (t) .u (t – a) =
f (t – a). u (t – a) =
0 si t a f (t) si t a 0 si t a f (t – a) si t a
(1)
(3)
(4)
(2)
veamos algunos ejemplos gráficos de estas situaciones 15
(1)
y y
0
t f(t)
(2)
f(t).u(t)
y
y
0
(3)
t
0
a
t
a
0
f (t - a)
f (t - a) .u (t - a)
y
y
a
0
t
0
f (t - a)
a
t
f (t - a) . u (t)
(4) y
y
0
0 f(t)
a
t
f (t ) . u (t - a)
16
y
y
1
1
t
f(t)=sen t
u(t).sen t
y
0
0
t
y t
t
0
sen (t- )
u(t).sen (t- )
y
y
0
t
t
a
0
sen t
u.(t-a).sen t
y
y
0
sen (t- )
0
u.(t- ) .sen (t- )
En algunos problemas suele suceder que sobre un sistema que, debido a alguna perturbación ó señal inicial, entra en actividad en el instante t = 0 , actúa luego, por ejemplo en el instante t = a, otra perturbación. La representación analítica de 17
estas funciones y la naturaleza de su transformada de Laplace constituyen por lo tanto cuestiones de cierta importancia. Veamos algunos ejemplos en las que intervienen combinaciones de funciones escalones entre si, y con otras : Caso de función impulso rectangular ó “función filtro”
f(t)
f(t)
B
f A
u(t-a) t
1 0
a
1
b
0
t
b a
-u(t-b)
1
Como vemos la función impulso del grafico A puede interpretarse como la suma algebraica de dos funciones escalones sugeridas en B f (t) = u (t - a) – u (t – b) Sea ahora una g (t) una función de variable t y f (t) el impulso
g . f
g
f 0
1 a
t
0
t
b
a
g = g (t) f (t) = u (t – a) – u (t – b)
g . f = g (t).[ u (t – a) – u (t – b)]
g.f =
b
0 si t a g (t) si a t b 0 si t b
Veamos entonces sus transformadas : 1
a.s Si f (t) = u (t – a) ʆ u (t a) e s
18
Demostración :
Por definición =
=
a
0
e
será : ʆ u (t a) 0
s .t
.u (t a).dt
e s .t .1.dt
a
e
a
e s.t .u (t a).dt como u (t – a) =
s .t
s
e s.t .u (t a).dt
1
.e a. s
s 0
s
t a
como caso particular se verificará : si a = 0 u (t – a) = u (t) u (t) = 0 si t 0 1 si t 0
ʆ { u (t)} =
1 s
Demostración : Como el producto f (t – a) . u (t – a) = a
ʆ {f (t – a) . u (t – a)} = 0 =
0
e
luego será :
a. s e 1 cuando a = 0 , ya que
e a. s
Si f (t) F (s) f (t – a) . u (t – a) F (s).
0 si t a 1 si t a
s ( v a )
. f (v).dv e
0 si t a f (t – a) si t a
e s.t .0.dt
s.a
.
0
a
e s.t . f (t a)dt si t – a = v
e s.v . f (v).dv e s.a . F ( s)
Ejemplos: Dado un impulso rectangular, hallar su transformada f
Será : f (t) = 1 t (a, b) 0 t (a, b)
1
f (t) = u (t – a) – u (t – b)
t 0
a
b 19
ʆ { f (t)} = ʆ { u (t - a)} - ʆ { u (t - b)}=
1
s
(e a. s e b.s )
Definir y hallar la transformada de : f
t (0, a) 0 t (0, a)
f (t) =
la podemos definir también f (t) = (u (t) – u (t – a)) 0
t
a
1 1 a.s 1 e a. s ʆ { f (t)} = [ ʆ { u (t )} - ʆ { u (t - a)}= e = s s s a la misma expresión llegaríamos si aplicamos la definición :
ʆ { f (t)} =
0
e
s .t
. f (t ).dt
que resolviendo será : =
s
a
0
e
s .t
. .dt
e
s.t a 0
a
s
e
s .t
a
.0.dt e s.t .dt 0
1 e s .a
Definir y hallar la transformada de : 1 1 1 1 3 1 u t u t u t u (t 2) 1 F(t)= 2 2 2 2 2 2
f 1 1/2 t 0
1/2
1
3/2
2
s 3 s 1 2 s 2 s 2 e e e e ʆ { f (t)} = 2. s
Definir y hallar su transformada f (t) = u (t -1) – 2 u (t -2) + u (t -3)
20
1
ʆ { f (t)} = s e
s
2.e 2 s e 3 s
Multiplicación por t n
Propiedad
n n n n N * Si f (t) F (s) t . f (t ) (1) . F ( s) Demostraremos primero para n =1. Por definición tenemos: ( )
F ( s )
s.t
0 e
. f (t ).dt , si derivamos ambos respecto de “s” :
d s.t e . f (t )dt e s.t . t . f (t ).dt e s.t (t . f (t )).dt 0 0 ds 0
F ´( s)
F’(s) = - ʆ {t .f (t)}
ó también que ʆ {t .f (t)} = - F’(s)
podemos derivar nuevamente a la ultima integral respecto de “s”, aplicando
el mismo procedimiento, supongamos que la regla se cumple para un valor de n = k se verificará entonces que : ( k ) ( s )
ʆ {t f (t)} = (-1) . F k
k
es decir :
s.t k
0
e
( k )
.t . f (t ).dt (1) k . F ( s )
Derivando esta ultima, respecto de la variable “s”: d s.t k k ( k 1)
e 0 ds
.t . f (t ).dt (1) . F ( s )
S .t
0 e
k
. t .t . f (t ).dt
s.t k 1
0
e
.t
S .t k 1
0 e
.t
f (t ).dt pasando el signo
( k 1) f (t ).dt (1) k 1. F ( s ) ( k 1)
ʆ {t k+1 .f (t)} = (-1) k+1. F ( s )
y generalizando
(n)
ʆ {t n .f (t)} = (-1) n. F ( s ) con lo que queda demostrada. Ejemplo : Hallar la transformada de la función t 2 . sen.3.t sabemos que
21
sen3.t
3 s 2 9
, aplicando la propiedad :
d 2 3 18. s 2 18 t . sen.3.t (1) . 2 2 2 ds s 9 ( s 9)3 2
2
Trans formada Inver s a de Laplace
Si : ʆ {f (t)} = F(s) ʆ -1{F (s)} = f (t) Esto expresa que f (t) es la transformada inversa de F(s) donde ʆ -1 se denomina Operador transformada inversa. Veamos un ejemplo: Sabemos que
ʆ { e3.t } =
1
1
3.t
ʆ -1 = e 3 s s 3 podríamos expresar lo mismo con la siguiente notación : F(s) f (t) y se lee F(s) tiene por transformada inversa a f (t) Con el objeto de facilitar la búsqueda de las antitransformadas de una dada f (t) se confeccionan tablas al efecto, pero en realidad las tablas de transformadas son de doble entrada : F(s) 1 s 1 2 s 1 n s 1 s a 1 2 s a 2 s s 2 a 2 1 2 s a 2 s s 2 a 2
f(t)= ʆ -1{F (s)} 1 t t n- /(n-1)!
e a.t sen a.t /a cos a.t sh a.t /a Ch a.t
22
Propiedades de la Transformada Inversa 1- Linealidad F(s) = ʆ -1{f (t)} G(s) = ʆ -1{g (t)}
Sean a y b constantes,
Se demuestra que : ʆ -1{a .F (s) b .G(s)}= a . f (t) b . g (t) En efecto dado que ʆ {a . f (t) b . g (t)}= a. F(s) b. G(s) resulta que se verificará que ʆ -1{a .F(s) b .G(s)}= a . f (t) b . g (t) Ejemplo : calcúlese la transformada inversa de la función F(s) = 4 23. s 2 2 aplicando la propiedad s 2
: ʆ -1{F
(s)}=
s 16
s 4
1 -1 4 ʆ s 2 3.
s 2 -1 -1 . ʆ s 2 16 ʆ s 2 4 =
2.t = 4.e 3.cos .4.t sen2.t
2- Primera Propiedad de Traslación a .t e . f (t ) (s - a)}=
Si F(s) = ʆ { f (t) } En efecto, por la propiedad de traslación de la transformada directa vimos
ʆ -1{F
a .t e . f (t ) } = F (s – a) en consecuencia se verificará que que ʆ { a .t ʆ -1{F (s - a)}= e . f (t )
3- Segunda Propiedad de Traslación f (t – a) si t a Si F(s) f (t) ʆ -1{ e o sea ʆ -1{ e
a.s
a. s
. F ( s) } =
0
. F ( s) } = u (t – a).f (t – a)
sabemos que si f (t) F(s) f (t - a).u(t – a)
ʆ -1{ e
a.s
si t a
. F ( s) }= f (t - a).u (t – a) siendo a 0
e a.s F ( s) por tanto y
t a
23
4- Cambio de Escala
Si F(s)
f (t)
{ F(ks)} =
1 t f ; k k
Por definición sabemos que : F(s) =
demostración :
0
e s.t . f (t ).dt para una variable
e sk .t . f (t ).dt haciendo un cambio de variable
simbólica sk será F(sk) = 0 y llamando kt = u t = u/k dt = du/k , reemplazando 1 1 s.u s.u e . f ( u / k ) . du F(sk) = 0 = 0 e f (u / k ).du por lo tanto k k
F(sk)
1 k
f (t / k )
Transformadas Inversas de la Forma
P(s) / Q(s)
Primer caso: Q(s) tiene raíces “reales simples” Suponemos en todos los casos que Q(s) es de grado superior a P(s) ya que en caso contrario se podrá realizar el cociente indicado. También suponemos Q(s) polinómica de grado “n”, con coeficiente igual a uno
en su termino de mayor grado. Si Q(s) se anula para s = a ; s = b ; s = c ; ......... 1) hacemos P(s) / Q(s) = A B C donde los numeradores A, B, y C s a
s b
s c
son coeficientes a determinar, por ejemplo por reducción a común denominador y eliminando luego a estos resulta : P(s)= A (s-b) (s-c) +B (s-a) (s-c) + C (s-a) (s- b) , dando a “s” tres valores distintos cualesquiera se obtienen A, B y C, pero si hacemos en particular s = a P(a) = A (a-b) (a-c) A = P(a) / (a - b) (a - c) s = b P(b)= B (b-a) (b-c) B = P(b) / (b-a) (b-c) s = c P(c) = C (c-a) (c-b) C = P(c)/ (c-a) (c-b) Obtenidos así los coeficientes, aplicamos la prop. Lineal
ʆ -1{P(s)/Q(s)} = A .
1 -1 ʆ s a +
B
1 -1 . ʆ s b +
C
1 -1 . ʆ s c =
a.t b.t c.t ʆ -1{P(s)/Q(s)} = A.e B.e C .e
2) Otro método consiste en multiplicar sucesivamente por cada uno de los denominadores (s – a); (s – b); ......... a la igualdad 24
P(s) / Q(s) =
A s a
B s b
C s c
y luego tomar limite cuando s a, ó s b; ......
Así por ejemplo para hallar A, multiplicamos ambos miembros por (s – a) obteniendo P(s).(s-a)/Q(s) = A + W (s).(s-a) Notamos que el primer miembro de la ultima igualdad es una función continua en “a”, ya que Q(s) contiene un solo factor (s-a) que se simplificará con el del numerador. Por otra parte W(s) es la expresión con la que representamos las demás fracciones simples que no contienen a (s-a) en su denominador. Tomando limite para s a será : A = lim P ( s).( s a) / Q(s) S a
3) Tomando como base el segundo método podemos deducir un tercer método : Q( s ) como P(s).(s-a)/Q(s) también puede escribirse bajo la forma P(s)/ , ( s a)
tomando limite s a
lim P ( s ) A = lim = P ( s ) / Q( s) S a ( s a) lim ( s a )
P ( s) P (a) pero lim S a
Q( s)
Además
lim
S a
Q( s) ( s a)
lim
S a
S a
Q' ( s) 1
Q' ( a )
A
P (a) Q' ( a )
operando de igual manera con las raíces b, c, ..........obtenemos B, C, ....... Ejemplo : Hallar la transformada inversa de :
ʆ -1
s 1 3 2 s s 6 s
a) Aplicando el primer método Para s3 s 2 6.s 0 s.( s 2 s 6) 0 s1 = 0 de s 2 s 6 0 s2 = 2 s3 = -3 por lo tanto s 1 A B C A B C s 3 s 2 6. s s 0 s 2 s (3) s s 2 s 3
s +1 = A (s - 2) (s + 3) + B s.(s + 3) + C.s.(s - 2)
si : s = 0 s=2 s = -3
1 = -6A 3 = 10.B -2 = 15.C
A = - 1/6 B = 3/10 C = -2/15
reemplazando 25
s 1 s 3 s 2 6. s
1
6. s
3 10.( s 2)
2 15.( s 3)
por lo que su transformada
inversa será :
ʆ -1
1 1 s 1 -1 3 2 ʆ s + 6 s s 6. s
1 2 -1 ʆ s 2 10 15 3
1 -1 ʆ s 3
1 3 2.t 2 3.t s 1 f ( t ) e e 3 2 6 10 15 s s 6. s
ʆ -1
b) Obtención de los coeficientes por segundo método s 1
si
s.( s 2).( s 3)
A s
B s 2
C s 3
multiplicamos ambos miembros por el primer denominador “S” y luego tomamos limite para s 0, obteniéndose así el coeficiente A
A lim s 0
s 1
( s 2).( s 3)
1 6
multiplicamos ahora ambos miembros por (s – 2) y tomamos limite para s 2 tendremos : B lim
s 2
s 1 s.( s 3)
3 10
, finalmente para hallar C multiplicamos por (s+3) y
tomamos limite cuando s -3 C lim
s 3
s 1 s.( s 2)
2 15 2
c) Aplicando el tercer método tendremos : Q’(s) = 3 s
A
B
P (a) Q´(a)
P (b) Q´(b)
s 1 3. s 2. s 6 s 0 2
s 1 3. s 2. s 6 s 2 2
+ 2.s – 6
16 310 26
C
P (c) Q' (c )
s 1 3. s 2. s 6 s 3 2
215
Segundo Caso : Q (s) tiene raíces “Complejas Simples” Se trata de hallar la transformada inversa de una expresión P(s)/Q(s) cuyo denominador tiene raíces complejas para Q(s)= 0 que llamaremos a = + i b = - i . Se emplea cualquiera de los métodos vistos anteriormente para el caso de raíces reales simples así, P(s)/Q(s) =
A s a
B s b
W ( s ) siendo el
ultimo termino una función que contiene a todas las demás raíces posibles de Q(s), no siendo ninguna de estas iguales: a ó b. Por lo tanto resolviendo
ʆ -1 P ( s ) / Q( s ) A.e
a .t
B.eb.t ʆ -1{W(s)}, termino este ultimo que
no consideraremos su resolución; interesa para el calculo practico dar una forma real a la primera parte del segundo miembro a.t b.t ( i . )t B.e ( i. )t A.e .t .e i .t B.e .t .e i. .t así A.e B.e A.e
.t
= A.e
(cos .t i. sen .t ) B.e .t (cos .t i. sen .t )
y agrupando: e ( A B) cos .t ( A B)i. sen .t e .t C 1.cos .t C 2. sen .t .t
Ejemplo : Hallar la
6. s 2 2 s 9
Transformada inversa : ʆ -1
Si : s2 + 9 = 0 s1 = 3 i s2 = -3 i 6. s 2 s 2 9
por lo que
A s 3i
por tanto
B s 3i
6. s 2 = 2 s 9
ʆ -1
A.e3.i.t B.e3.i.t ó también
3.i.t
(A+B) cos 3 t + (A-B) i sen 3 t , en forma real que A.e B.e determinamos entonces los valores de A y B 3.i .t
27
A
B
P ( s1) Q´( s1) P ( s 2) Q´( s 2)
A+B=6
6. s 2
3
2. s
S 3.i
6. s 2
i 3
3
2. s
S 3.i
i 3
(A - B) i = -2/3 reemplazando estos valores 2
f (t) = 6. cos 3 t - sen.3.t que es el resultado buscado. 3
Tercer Caso : Q (s) tiene raíces “reales múltiples” Supongamos P(s)/Q(s) donde Q(s) es de grado mayor que P(s) y Q(s) = 0 tiene una raíz triple en s = a , podemos escribir : P(s)/Q(s) =
A ( s a)
3
B ( s a)
2
C
W ( s) , termino este ultimo que s a
contiene a todas las demás fracciones de las posibles raíces distintas de “a”.
Multiplicando ambos miembros por la mayor potencia de (s - a) que aparece en los denominadores, ó sea por (s – a)3, obtenemos P(s).(s - a) 3/ Q(s) = A B( s a) C .( s a) 2 ( s a)3.W ( s) …….(1) Llamando a la, función del primer miembro H(s) = P(s).(s-a)3/Q(s) H ( s) , ya que todos los demás términos del segundo Obtendremos A lim S a miembro se anulan cuando s = a , excepto A. Luego derivando sucesivamente la expresión (1) y tomando limite para s a, encontraremos los demás coeficiente B, C,.......; ejemplo 3 H ' ( s) H’(s) = B +2.C (s – a) + [(s – a) . W(s)]’ B = lim S a 3
H’’(s) = 2 ! c + [(s – a) .W(s)]’’
C = lim S a
H ' ' ( s) 2!
Podemos generalizar el método para un grado multiplicidad “n”
P ( s) Q( s)
A ( s a)
n
B ( s a)
n 1
............
N ( s a)
W ( s)
n siendo H(s)= P ( s).( s a) Q( s) ;A= H(a); B = H’(a),C=
H ' ' (a) 2!
H ((an)1)
; N (n 1)! 28
Ejemplo : Hallar la transformada inversa de F ( s)
s 2 s 5 2. s 4 s 3
s5 2. s 4 s 3 0 tendremos : s3.( s 2 2.s 1) 0 s1 = s2 = s3 = 0 s4 = s5 = 1 luego s 2 A B C D E
para
s 2. s s 5
4
3
s
3
s
2
s
( s 1)
2
( s 1)
para hallar los tres primeros coef. multiplicaremos por s 3 ambos miembros de la igualdad, y para hallar los restantes lo hacemos por (s – 1)2 y luego tomamos los limites correspondientes.Para la raíz triple s = 0 tenemos: s 2 P ( s).( s a) n ( s 2). s 3 H ( s) 3 2 = por lo que Q( s) s .( s 2. s 1) s 2 2. s 1 A lim H ( s) S 0
s 2 s 2. s 1 S 0 2
2
d s 2 s 5 B lim H ' ( s) lim . 2 3 S 0 S 0 ds s s ( 1 ) ( 1 ) C lim
H ' ' ( s )
1
S 0
( s 1) 3 3.( s 1) 2 .( s 5)
2 2! 2 ds ( s 1) 2.( s 1) 6 Para la raíz doble s = 1 tendremos : ( s 2).( s 1) 2 s 2 n L( s ) P ( s).( s b) Q( s) 3 los coeficientes s 3.( s 1) 2 s S 0
lim
d 2 s 2
5
L( s) lim serán D lim S 1 S 1 E lim L' ( s) lim S 1
f (t) =
S 1
ʆ -1
8
2
S 0
s 2
s 2. s 6 s
4
3
S 0
3
8
s 2 2 t t 5 4 3 = t 5.t 8 3.t .e 8.e s 2. s s
Cuarto Caso: Q(s) tiene raíces “complejas múltiples” El procedimiento en estos casos, es el mismo que se utilizó para el caso de raíces reales múltiples, teniendo cuidado de darle al resultado final la forma de una función real. 29
Ejemplo: Supongamos la ecuación diferencial, con valores iniciales y’’+ y = 2.cos t
ʆ
y’(o) = 0, aplicamos transformada
con y(o) = 0
{y’’} + ʆ {y} = 2 . ʆ {cos t} resolviendo estos términos
s 2 . ʆ {y} – s. y(o) – y’(o) + ʆ {y} =
s . ʆ {y} + ʆ {y} =
s 2 1
aplicando las condiciones iniciales del
y’(o) = 0 tendremos
problema y(o) = 0
2
2. s
2. s s 2 1
despejando
ʆ {y} ʆ {y} =
2. s ( s 2 1) 2
como
vemos cuando ( s 1) 0 tendremos raíces complejas repetidas a = i ; 2
2
b = - i ; c = i ; d = -i
2. s
( s 2 1) 2
A ( s i) 2
B ( s i) 2
C ( s i)
D
(1)
( s i)
Determinación del valor de los coeficientes Multiplicamos (1) por (s – i)2 y tomando limites para s i tenemos A lim S i
2. s ( s i ) 2
2.i (2.i ) 2
i 2
2.( s i ) 4. s 0 3 S i ds ( s i ) 2 ( s i) S i
C lim
d 2. s
Multiplicamos ahora (1) por (s+i) 2 y tomamos limite cuando s -i B lim
S i
2. s ( s i )
2
i
2 ; derivando respecto de s , será :
30
d 2. s
S i ds ( s i ) 2
C lim
2.( s i ) 4. s ( s i )
0
3 S i
2. s Por lo que ʆ -1 ( s 2 1) 2 A . ʆ -1 1 2 B. ʆ -1 1 2 ( s i) ( s i) i .t
y (t) = A.e .
1 i .t i .t i.t -1 1 2 = t . A.e B.e B e . 2 + ʆ s s
ʆ -1
debemos dar a esta expresión una forma real equivalente y(t) = t. [A.(cos t + i. sen t) + B (cos t – i sen t) ]= = t. [(A+B) cos t + i.(A-B).sen t] = t . sen t y(t) = t . sen t ya que A + B = 0 i (A - B) = 1 Veamos otro método de resolución : Convolucion De gran interés tanto teórico como practico son los resultados relativos al producto de transformadas, cuando se trata de hallar transformadas inversas de la forma ʆ -1 {F(s). G(s)} donde F(s) G(s) son conocidas. Veamos: Dada las funciones f (t) y g (t) definidas t 0 se llama Convolucion de f y g y lo representamos por f * g , a la función de t dada por la expresión f * g
t
f (t ). g ( ).d ; la Convolucion goza de las propiedades, 0
asociativas y conmutativa, así : f * (g * h) = (f *g)*h
t
t
f (t ). g ( ).d g (t ). f ( )d f*g= g*f ó sea 0 0 bajo estas condiciones se demuestra :
Si :
ʆ {f (t)} = F(s)
ʆ {g (t)} = G(s)
t
ʆ -1{F(s)
{F(s) . G(s)} = f * g ó también suele encontrarse bajo la forma : ʆ -1
.G(s)} =
f (t ). g ( ).d 0
ʆ {f (t)} . ʆ {g (t)} = ʆ {f * g}
Demostración : Por definición de transformada tenemos : ʆ {f * g} = ʆ
t
f (t ). g ( ).d = 0
S .t
e
t 0
.
t
0
f (t ). g ( ).d .dt
la doble integración define una región del plano t ; donde
31
0 t 0 t , se puede representar también por las siguientes inecuaciones equivalentes de la misma región de integración: 0 t de modo que la transformada de la convolucion es
= t
t S .t 0 S .t . f (t ). g ( ).d .dt .d .dt e g ( ). f (t ).e 0 t 0 t
haciendo t - =
ʆ {f * g} =
0
t- = t = +
g ( )
e
S ( u )
u 0
si t = u = 0 si t u
dt = du
f (u ).d .du
0
g ( ).e
S .
u 0
e S .u . f (u ).du.d
F(s) = F(s) .
g ( ).e S . .d = F(s) . G(s) por lo tanto : 0
si : ʆ {f * g} = F(s) . G(s) ʆ -1 {F(s) . G(s)} = f * g con lo que queda demostrado. Ejemplo:
; 2 s .( s 1 )
ʆ -1
1.- Hallar la transformada inversa 1 ʆ -1 1 ; ʆ -1 s
1
consideramos
sen.t s 1
1
2
1 * sen.t 2 s .( s 1 )
ʆ -1
entonces aplicando convolucion
t
t
1
1*sen t = 01. sen. .d cos . 0 = 1 – cos t
1
1 cos t 2 s.( s 1)
ʆ -1
1
2.- Hallar ʆ -1 2 2 consideramos : s ( s 1)
32
1 2 t s
ʆ -1
ʆ -1
sen.t s 1
1
así :
2
t 1 t * sen . t (t ). sen .d resolviendo : ʆ -1 2 2 0 s .( s 1)
(t ). sen. .d = (t ).cos . cos . .d t
t
0
0
ʆ -1
1 2 2 t sen.t s .( s 1 )
; 2 2 2 ( s 2) 3
3.- Hallar ʆ -1
1
aplicando prop. Traslación
2.t 1 e . ʆ -1 ʆ -1 2 2 2 ( s 2) 3 1 ( s 3 ) 2
2 2
t sen.t
1
.
1
( s 3 ) ( s 3 ) 2
2
2
2
1 2 2 2 ahora bien s 3
ʆ sen.3.t . ʆ sen.3.t por lo que
3
3
1 1 1 1 t sen.3.t * sen.3.t sen.3(t ). sen.3. .d 2 2 2 ʆ -1 3 9 0 ( s 3 ) 3
1 9
t
cos(6. 3.t ). cos .3.t .d
0
2
1 sen.3.t
18
3
t
1 sen(6 3.t ) . cos .3.t 18 6 0
e 2.t ( sen.3.t 3.t . cos.3.t ) t . cos .3.t f (t ) 54
Este ejemplo muestra como en ciertos casos, cuando el denominador de la transformada tiene factores cuadráticos repetidos, se puede utilizar el teorema de convolución, en lugar del método para raíces con repetición, considerándolo de la forma P(s)/Q(s) 33
- Teorema de Unicidad de la Transformada Inversa Si para una dada función F(s), existe una f (t) tal que ʆ {f (t)}= F(s), entonces llamamos a f la transformada inversa de Laplace de la función F.- Esta relación en la transformación entre f y F se describe simbólicamente mediante: f (t) = ʆ -1{F(s)}, esto significa solamente que si cumple que f (t) = ʆ -1{F(s)} ʆ {f (t)} = F(s) ; por ejemplo, hemos demostrado que ʆ {1} =
1
1 1. s
ʆ -1
por lo que es correcto decir que
s
Sin embargo, nos
enfrentamos aún con la cuestión de si este resultado encontrado es único o hay otras, cuyas transformadas inversas existen y es igual a uno. Es difícil encontrar ejemplos prácticos de funciones, laplace-transformables f g tales que ʆ {f (t)} = ʆ {g (t)} Veamos Sea la función de variable t , g (t) tal que: g
1 t 2 2 t=2
g (t) =
2 g(t)
1
t 0
2 s.t
Entonces ʆ {g (t)} = 0 en esos intervalos será : ʆ {g (t)} =
2 s.t
0
e
e
.1.dt
. g (t ).dt
s.t
2
e
2
s.t
2 e
.1.dt
. g (t ).dt como g (t) = 1
s.t
0
e
.dt ʆ {1} =
1
s
Lo que demuestra que “no tiene importancia” el valor de g en t =2 y su transformada es la misma que la transformada de la función constante, continua f (t) = 1, o que la función Escalón Unidad u(t) luego
ʆ -1
1 s
“no es única”
Para describir esta carencia de unicidad de la transformada inversa, necesitamos de otras definiciones como ser : 34
