BAHAN AJAR
Nama sekolah Mata Pelajaran Kelas/ Semester Waktu Pertemuan Materi
: SMP N : Matematika : VII/ satu : 2 X 45 menit : 5 dari 5 pertemuan : Transformasi
A. KOMPETENSI DASAR 3.9 Memahami konsep konsep tranformasi (translasi,refleksi,rotasi dan dilatasi) menggunakan obyek-obyek geometri. 4.6 Menerapkan prinsip-prinsip transformasi(translasi,refleksi,rotasi dan dilatasi) dalam memecahkan permasalahan nyata. B. TUJUAN PEMBELAJARAN A. Peserta didik dapat menjelaskan apa itu Transformasi ( transilasi,refleksi,rotasi dan dilatasi) B. Peserta didik dapat menyelesaikan tugas yang bersangkutan materi rotasi C. URAIAN MATERI a. URAIAN MATERI + ILUSTRASI Transformasi adalah suatu operasi yang memetakan setiap ti tik pada bidang cartesius ke titik lainnya di bidang tersebut. a. Jenis – Jenis – jenis jenis transformasi : Ada empat jenis transformasi titik ti tik pada bidang, yaitu : Translasi Refleksi Rotasi Dilatasi
a.
Translasi Adalah merupakan suatu transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang dengan jarak dan arah yang tetap. Dalam bentuk persamaa, suatu translasi dapat dituliskan sebagai berikut : x'= x + a y' = y + b persamaan diatas mengilustrasikan bahwa setiap absis bergeser sejauh a satuan sejajar sumbu X dan setiap ordinat bergeser sejauh b satuan sejajar umbu Y
Persamaan translasi diatas dapat ditulis kedalam bentuk persamaan matriks:
( ) = + ( ) =
adalah titik P' (x',y') yang ditentukan oleh persamaan vektor translasi ( ) = +
Bayangan titik P (x,y) oleh translasi T =
b. Refleksi Adalah transformasi linier, sehingga setiap titik yang dicerminkan terhadap suatu garis lurus. Garis lurus tersubut dapat dianggap sebagai cermin yang disebut sumbu cermin 1. Pencerminan terhadap sumbu x ( garis y = 0) Untuk mnetukan matrika transformasi pencerminan terhadap sumbu x, gambar titik (1,0) dan (0,1) yang merupakan komponen
pada bidang kartesius . dari pencerminan tersebut, (1,0) dan (0,1) (0,-1) sehingga diperoleh matriks
Matriks identitas I = diperoleh (1,0) transformasi. My=0 =
2. Pencerminan terhadap sumbu Y ( garis X=0) Pencerminan terhadap sumbu Y, titik (1,0) berpindah menjadi (-1,0) dan titik (0,1) tidak berpindah sebagai mana gambar (5.14) sehingga diperoleh matriks.
Mx=0 =
3. Pencerminan terhadap sumbu X=Y Pencerminan terhadap garis y=x, diperoleh. (1,0) (0,1) (0,1) (1,0) Seperti terlihat pada gambar 5.15 sehingga diperoleh matriks transformasi My=x =
4. Pencerminan terhadap y=-x Pencerminan terhadap garis y=-x diperoleh. (1,0) (0,-1) (0,1) (-1,0) Seperti terlihat pada gambar 5.16 sehingga diperoleh matriks My=-x =
c. Rotasi Rotasi adalah suatu transformasi yang memetakan se tiap titik pada bidang ke titik lainnya dengan cara memutar dengan pusat titik tertentu. Rotasi dengan arah berlawanan arah jarum jam disebut rotasi positif dan searah perputaran jarum jam disebut rotasi negatif. Jadi, dalam transformasi rotasi perlu diperhatikan hal-hal berikut : 1. Titik pusat rotasi 2. Besarnya sudut rotasi, dan 3. Arah rotasi. Dinyatakan dalam persamaan matriks, diperoleh:
( ) = = R menyatakan matriks transformasi rotasi dengan susut dengan R = rotasi sebesar θ.
θ
θ
Catatan: Rotasi khusus
= = =
1. R 90° 90° = 2. R 180° 180° 3. R 270° 270° 4. R -90 -90
Bayangan titik P (x,y) oleh rotasi berpusat di titik asal O (0,0) dan sudut rotasi sebesar θ adalah titik P (x',y') yang ditentukan oleh persamaan matriks.
( ) =
d. Dilatasi 2.1
Definisi dilatasi
Sebelum kita membahas definisi dilatasi ada baiknya kita melihat definisi transformasi terlebih dahulu. Transformasi adalah aturan secara geometris yang dapat menunjukkan bagaimana suatu titik atau bangun dapat berubah kedudukan dan ukurannya berdasarkan rumus tertentu. Dilatasi pada umumnya merupakan transformasi yang dapat mengubah ukuran suatu bangun. Secara lengkapnya dilatasi adalah suatu transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) suatu bangun tetapi tidak mengubah bentuk bangunnya. Pada dilatasi dil atasi juga dikenal faktor skala skal a dan titik pusat yang akan di bahas secara lebih rinci pada pembahasan di bawah ini.
2.2
Contoh dilatasi dalam kehidupan sehari – hari
Penerapan dilatasi banyak dijumpai dalam kehidupan sehari – hari . dalam makalah ini kami menyajikan beberapa contoh penerapan dilatasi dalam kehidupan sehari – sehari – hari hari yaitu :
Penerapan pertama adalah pada mikroskop atau alat pembesar. Gambar di bawah menunjukkan alat pembesar yang merupakan alat penting di laboratorium foto. Alat ini digunakan untuk memperbesar foto dari negatifnya (klisenya). Dengan
menggerakkan film di depan lensa, memungkinkan untuk mengubah ukuran foto yang dihasilkan.
Penerapan kedua, Skala pada peta. Pada umumnya skala peta bertuliskan 1 : 1000000 cm yang artinya jika skala pada peta 1 cm maka pada kenyataannya berjarak 1000000 cm
2.3
Tafsiran geometri dari dilatasi
1. Dilatasi terhadap titik pusat O(0,0) Bayangan akibat dilatasi ditentukan oleh titik pusat dan faktor skala (faktor perkalian). Dilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala
k (k ≠0)
, dirumuskan
dengan [O,k ]. ]. Jika titik P(x,y) didilatasi terhadap pusat O(0,0) dan faktor skala
k didapat
bayangan P’(x’,y’) maka x’ = k x dan y’ = k y. y. 2. Matriks yang bersesuaian dengan terhadap titik pusat O(0,0) Dilatasi pada umumnya berhubungan dengan matriks, ada matriks yang bisa digunakan untuk menyelesaikan masalah – masalah – masalah dalam dilatasi. Kali ini akan dibahas matriks yang bersesuaian dengan dilatasi pada titik pusat O(0,0). Dilatasi pada titik pusat O(0,0) dan faktor skala
k
mempunyai hitungan
maktriks sebagai berikut :
*+ * + *+ atau[ ] *+
Dilatasi terhadap titik pusat P(a,b) Jika P(x,y) didilatasikan terhadap titik pusat A(a,b) dengan faktor skala k, maka bayangannya adalah P`(x`,y`) dengan dengan
dengan persamaan matriks, hubungan di atas dapat ditulis:
( )
D. CONTOH SOAL
p 1. Tentukan hasil Translasi jika diketahui T 1 memetakan titik q A(1,2) ke titik A'(4,6) adalah Jawab : p q
T 1
A' 1 p, 2 q A1 4,6 A1,2 Diperoleh
1+p = 4 sehingga p = 3 2+q = 6 sehingga q = 4
3
Jadi translasi tersebut adalah T 1
4
2. Tentukan bayangan garis x + 2y = 4 jika dirotasikan dengan pusat o (0,0) dan sudut rotasi -90 °. Jawab:
dengan demikian diperoleh persamaan : ( ) = R = ( ) = Matriks transformasi R -90 -90 =
-90 -90
x' = y y = x' y'=-x x = -y' substitusikan nilai tersebut ke persamaan garis x + 2y=4 diperoleh -y'+2x= 4 2x'-y' =4 Jadi bayangan garis x + 2y = 4 oleh rotasi tersebut ters ebut adalah 2x-y=4
3. Tentukan bayangan titik A(3,-4) , jika dicerminkan terhadap sumbu x Jawab: Matriks transformasi pencerminan terhadap sumbu X adalah
bayangan titik A (3,-4) dapat ditentukan oleh ( ) = ( ) =
M y=0 =
Jadi, A ( 3,-4)
A' (3,4)
4. Tentukan bayangan titik A (2,-4) oleh dilatasi dengan pusat o (0,0) dan faktor skala K = 3. Jawab : Matriks transformasi yang bersesuaian dengan dilatasi tersebut adalah
. Bayangan titik A (2,-4) dapat ditentukan sebagai berikut. ( ) = D = =
D3 =
3
Jadi, bayangan titik A (2,-4) oleh dilatasi tersebut adalah A' (6,-12) E. LATIHAN SOAL A. Translasi
bayangan titik A (-3,4) adalah A' (1,-2), tentukan translasi T tersebut.
1. Karena translasi T =
2. Tentukan bayangan segitiga ABC dengan titik A (0,6)B(-1,1)dan
dan sketsakansegitiga asala dan segitiga bayangan 3. Tentukan persamaan kurva y = x oleh translasi T= C(3,2) oleh translasi T=
2
B. Rotasi 1. Tentukan bayangan titik A (2,-5) oleh rotasi terhadap titik o (0,0) sebesar 900 2. Tentukan bayangan titik A ( 2,-2) oleh rotasi terhadap titik asal o (0,0) sebesar 450 3. Tentukan bayangan garis x + 4y = 8 jika dirotasikan dengan pusat o (0,0) dengan sudut rotasi -90 c. Refleksi 1. Tentukan bayangan titik A(3,-4) jika dicerminkan terhadap terhadap sumbu Y 2. Tentukan bayangan titik A (2,-4) jika dicerminkan terhadap garis x=3 3. Tentukan persamaan bayangan bayangan kurva y =x 2, jika dicerminkan terhadap sumbu x
d. Dilatasi 1. Tentukan bayangan titik A (3,-5) oleh dilatasi dengan pusat o (0,0) dan faktor skala K=3 2. tentukan bayangan titik A(-2,5) oleh dilatasi dengan pusat P (1,-1) dan faktor skala K = 2 3. tentukan persamaan kurva y=x 2 oleh dilatsi dengan pusat o (0,0) dengan faktor skala K=-2 F. UMPAN BALIK G. KUNCI JAWABAN + SKOR
A. Translasi
“ Skor 5” A' (5,4), B (-1,1)
1. Jadi translasi tersebut T =
2. Jadi titik A(0,6) C(3,2) c'(8,0) . “ Skor 5 “
B'(4,-1),
adalah kurva y= x²-6x+11.
3. jadi translasi kurva y =x² oleh translasi T = “Skor 10”
B. Rotasi Jawaban: 1. Jadi oleh rotasi tersebut bayangan titik A (2,-5) adalah A'=(5,2) “ skor 5 “ 2. Jadioleh rotasi tersebut bayangan titik A (2,-2) adala h A' (2 ,0) “ skor 10” 3. Jadi bayangan garis x + 4y = 8 oleh rotasi tersebut ters ebut adalah 4x-y=8 “ skor 15”
√
C. Refleksi Jawaban : 1. Jadi A(3,-4) A' (-3,-4). “ Skor 5” 2. Jadi bayangan titik A (2,-4) adalah A'(4,-4) “ skor 5” 3. Jadi x'=y'² atau y = ±
√ . “Skor 10”
D. Dilatasi Jawaban : 1. Jadi, bayangan titik A (3,-5) oleh dilatasi ters ebut adalah A' (9,-15) “ skor 5” 2. Jadi bayangan titik A(-2,5) adalah A (-5,11) (-5,11) “ skor 10”
3. jadi bayangan kurva y=x 2 oleh dilatasi tersebut berubah menjadi y' = “Skor 10 “
x2
H. TINGKAT KEBERHASILAN = soal 1.Translasi :
A B C
X 100 Nilai
5 5 10 2. rotasi :
A B C
5 10 15 3. Releksi
A B C
5 5 10 4. Dilatasi
A B C
I.
5 10 10
DAFTAR PUSTAKA Johanes,kastolan,sulasim, kompetensi MATEMATIKA 3A. jakarta yudhistira