TRANSFORMASI Z
Transformasi Z dalam bidang digital signal processing (DSP) processing (DSP) atau kontrol digital digunak digunakan an sebaga sebagaii alat untuk untuk memode memodelkan lkan sistem sistem secara secara diskrit diskrit (digital (digital), ), sedang sedangkan kan transformasi Laplace digunakan untuk memodelkan sistem analog. Persamaan sinyal diskrit h(n) : ∞
∑ h(n) z
−n
H ( z ) =
n = −∞
Blok diagram system diskrit : x(n)
y(n)
h(n) x(n)
Input : x(n) ……… X ( z ) =
H(z)
∞
y(n)
∑ x(n) z
−n
−∞
Proses : h(n) ……... H ( z ) =
∞
∑ h(n) z
−n
−∞
Output : y(n) …….. Y ( z ) =
∞
∑ y(n) z
−n
−∞
Persamaan output : Y(Z) = X(z) . H(z)
Secara geometris, bidang z merupakan suatu lingkaran. Akar-akarnya terletak pada lingkaran, sedangkan pada transformasi Laplace, bidang s merupakan bidang datar. Korelasi bidang-z bidang-z dengan dengan bilangan bilangan komple kompleks ks : z = r e jw r = jari-jari, r = x 2 + y 2 dimana r = 1 dikenal unit cycle. e jw = cos w + j sin w Untuk r = 1, maka z = e
jw
Hubungan transformasi-z dengan bidang frekuensi dapat dinyatakan dengan : ∞
H ( z ) = H (e ) = jw
∑ h( n) e
− jwn
n = −∞
Contoh : Suatu sinyal diskrit x(n) = (2, 1, 0.5). sinyal diskrit tersebut dinyatakan dalam bentuk :
1. Impuls respon : x(n) = 2δ(n) + δ(n-1) + 0.5(n-2) 2. Transformasi z : X ( z ) =
∞
∑ x(n) z
−n
= x (0) + x (1) z −1 + x (2) z −2
n=0
= 2 + z −1 + 0.5 z −2 3. Grafik X(n)
-1
0
1
2
3
Grafik sinyal x(n) = ( 2, 1, 0.5)
n
Tabel transformasi z No
x[n]
X(z)
ROC
1
δ (n)
1
Seluruh z
2
u[n]
3
-u[-n-1]
4
δ ( n − m)
5
a n u[n]
6
− a n u[− n − 1]
7
n a n u[n]
1
,
1 − z −1 z − 1 1 1 , 1 − z −1 z − 1 z − m 1 1 , 1 − az −1 z − a 1 1 , 1 − az −1 z − a a z −1 (1 − az −1 ) 2
8
1
a z −1
− n a n u[−n − 1]
(1 − az −1 ) 2
, ,
a z
|z|>1 |z|<1 M integer |z|>|a| |z|<|a| |z|>|α|
( z − a ) 2 a z
|z|<|α|
( z − a ) 2
Sifat-sifat Transformasi z yang umum digunakan pada DSP :
1. Linearity x1(n) ↔ X1(z) x2(n) ↔ X2(z) sehingga : a1 x1(n) + a2 x2(n) ↔ a1 X1(n) + a2 X2(n) dimana : a1 dan a2 adalah konstanta 2. Pergeseran/translasi Jika x(n) ↔ X(z), maka untuk sinyal pergeserannya/delay −n X(n-n0) ↔ z 0 X ( z ) −1 X(n-1) ↔ z X ( z ) +1 X(n-2) ↔ z X ( z )
3. Konvolusi (time domain) ∞
Konvolusi dari : x(n) * h(n) =
∑ x(k ) h(n − k )
k = −∞
Bila masing-masing sinyal dilakukan transformasi z pada masing-masing elemen maka berlaku hubungan : Z [x(n) * y(n)] = X(z) Y(z) Catatan : konvolusi dari transformasi z merupakan suatu perkalian biasa
Contoh :
1.
Tentukan transformasi z dari sinyal x(n) = {1, 2, 3, 4, 2, 3}
Jawab : X ( z ) = 1 z +2 + 2 z +1 + 3 z 0 + 4 z −1 + 2 z −2 + 3 z −3 X ( z ) = 1 z +2 + 2 z +1 + 3 + 4 z −1 + 2 z −2 + 3 z −3 2.
Tentukan dalam domain n dan z dari sinyal diskrit berikut : n x(n)
n<-1 0
-1 0
0 2
1 4
2 6
3 4
4 2
5 0
n>5 0
Jawab : Bentuk transformasi z : X(z) = 0z+2 + 0z+1 + 2 + 4z-1 + 6z-2 + 4z-3 + 2z-4 X(z) = 2 + 4z -1 + 6z-2 + 4z-3 + 2z-4 Bentuk n domain : x(n) = 2δ(n-0) + 4δ(n-1) + 6δ(n-2) + 4δ(n-3) + 2δ(n-4) + 0(n-5) x(n) = 2δ(n) + 4δ(n-1) + 6δ(n-2) + 4δ(n-3) + 2δ(n-4)
3.
Diketahui sinyal diskrit pada gambar dibawah ini, nyatakan sinyal diskrit tersebut dalam x(n) dan x(z) :
x(n)
-3
-2
-1
0
1
Jawab : x(n) = {0, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 0} X(z) = 1z3 + 2z2 + 3z1 + 4 + 3z-1 + 2z-2 + 1z-3
2
3
n
# INVERS TRANSFORMASI Z Invers transformasi z merupakan kebalikan dari transformasi z. h( n) = z −1 {h( z )} . Secara umum persamaannya adalah h( n) =
1
x( z ) z 2Π ∫
n − z
dz
c
Contoh : X ( z ) =
Z 2 ( Z − 1.2) ( z − 1) ( z − 0.5 + j 0.7) ( z − 0.5 − j 0.7) ( z − 0.8)
Zero :
z1 = 0
z2 = 1.2
z3 = -1
Pole :
p1= 0.5-j 0.7
p2 = -0.5+j0.7
p3 = 8
Contoh penyelesaian menggunakan program MATLAB
1.
5(6 s + 3) ( s − 2) ( s + 3) ( s − 5)
=
6.875 s − 5
−
1.875 s + 3
» num=5*[6 3]; » den=poly([2;-3;5]); » [res,poles,konst]=residue(num,den) res = 6.8750 -1.8750 -5.0000 poles = 5.0000 -3.0000 2.0000 konst = []
−
5 s − 2
+0
% pembilang dari suatu fungsi % penyebut dari suatu fungsi
2.
H ( s ) =
3 s 3 + 45 s 2 + 67 s s 4 + 2 s 3 + 3 s 2 + 4 s + 5
» num=[3 45 67]; » den=[1 2 3 4 5]; » [z,p,k]=tf2zp(num,den)
% tf2zp = konversi fungsi transfer ke zero-pole
z= -13.3238 -1.6762 p = 0.2878 + 1.4161i 0.2878 - 1.4161i -1.2878 + 0.8579i -1.2878 - 0.8579i k= 3 3. Tentukan invers transformasi z dari persamaan dibawah ini : a.
G ( z ) =
18 z 3 18 z 3 + 3 z 2 − 4 z − 1
» num=[18]; » den=[18 3 -4 -1]; » [r,p,k]=residue(num,den) r= 1.4400 -1.4400 -1.2000 p = 0.5000 -0.3333 -0.3333 k= []