Transformasi-z dan Invers serta aplikasinya
1
Kegunaan Transformasi -z Mengurangi perhitungan dalam operasi konvolusi dua sinyal Solusi persamaan beda dapat ditemukan dengan perhitungan aljabar yang lebih mudah Fungsi transfer pada sistem LTI
2
DEFINISI Transformasi-z, F(z), dari fungsi waktu diskrit f(n) adalah: ∞
Z [ f (n)] = F ( z ) =
∑ f (k ) z
−k
(1)
k = −∞
dengan z adalah variabel kompleks
Hubungan pada Pers. (1) Æ Transformasi-z bilateral. Pers. (1) dapat ditulis: 0
F ( z) =
∑
f (k ) z
−k
k = −∞
Jika f(n)=0 untuk n<0, maka: F ( z) =
∞
+
∑
f (k ) z − k
k =0
∞
∑
f (k ) z − k
(2)
k =0
Hubungan pada Pers. (2) Æ Transformasi-z unilateral (satu sisi)
3
Region Of Convergence (ROC) Karena Transformasi-z adalah deret pangkat tak hingga
Transforamsi-z hanya berlaku untuk nilai-nilai z yang konvergen Himpunan seluruh nilai z, agar F(z) konvergen Æ ROC
4
Contoh dan Soal-soal Latihan Tentukan Transformasi-Z dari sinyal berhingga waktu diskrit berikut serta ROC-nya: x 1 (n) = {1 , 2, 5, 7, 0, 1}
(n) = {1 , 2, 5, 7, 0, 1} ↑ x 3 (n) = δ ( n ) x
2
x
4
(n) = δ ( n − k ),
k > 0
x 5 (n) = δ ( n + k ),
k > 0
Tentukan juga transformasi-Z dari sinyal berikut: a) x(n)=u(n), sinyal step unit b) x(n)=anu(n), sinyal eksponensial untuk n >= 0 c) x(n)=n, sinyal ramp d) x(n)=e-2n e) x(n)=n e-2n f) x(n)=e2ncos(3n) 5
JAWAB x 1 (n) = {1, 2, 5, 7, 0, 1} ∞
X 1 (z) =
∑
x 1 (k)z
k = -∞
−k
5
=
∑
x 1 (k)z − k
k =0 −1
−0
= x 1 (0)z + x 1 (1)z + x 1 (2)z − 2 + x 1 (3)z −3 + x 1 (4)z − 4 + x 1 (5)z −5 = 1 + 2z −1 + 5z − 2 + 7z −3 + z −5
x 3 (n) = δ(n) ∞
X 3 (z) =
∑x
3 (k)z
−k
0
=
k = -∞
x
4
∞
∑x
k = -∞
3 (k)z
−k
= 1z 0 = 1
k =0
(n) = δ ( n − k ),
X 4 (z) =
∑x
4 (k)z
−k
=
k
k > 0
∑x
4 (k)z
−k
= 1z − k = z − k
k =k
6
JAWAB x(n) = u ( n ) ∞
X(z) =
∑
k = -∞
x(k)z
−k
∞
=
∑
u(k)z − k
k =0 −1
−0
= u(0)z + u(1)z + u(2)z − 2 + u(3)z −3 + L = 1 + z −1 + z − 2 + z −3 + L 1 z = = 1 − z −1 z − 1
x(n) = a n u ( n ) ∞
X(z) =
∑ x(k)z k =0 0 −0
−k
∞
=
1 −1
∑a
Deret geometri dengan a=1, r=z-1 a S∞ = 1− r
k −k
z
k =0
= a z + a z + a 2 z − 2 + a 3 z −3 + L = 1 + az −1 + a 2 z − 2 + a 3 z −3 + L 1 z = = 1 − az −1 z − a
7
Deret geometri dengan a=1, r=az-1 a S∞ = 1− r
Tabel Transformasi-z F(n)
δ(n) δ (n - k ), k > 0 u(n)
a na
ROC
F(n)
1
All z
n 2a
z z −1
(z − 1 ) 2
n
n
F(z)
2
z ( z + 1)
(z − 1 )3 z z− a
az
( z − a )2
z >1
sin(bn)
z >1
cos(bn)
z >1 z > a
(z − a ) zsin(b)
z > a
8
z >1
z 2 − 2zcosb + 1 z(z - cosb)
z >1
z 2 − 2zcosb + 1 azsin(b) 2
z − 2azcosb + a
2
z(z - acosb)
n
a cos(bn)
z >1
3
n
a sin(bn)
ROC
az ( z + a )
n
z ≠ 0
z-k
z
n
n
F(z)
2
z − 2azcosb + a
2
z > a z > a
Sifat-Sifat Trasformasi-z 1. 2. 3. 4.
Linearitas Time Shifting (pergesearan waktu) Convolusi Teorema nilai awal
9
Sifat-Sifat Transformasi-z 1. Linieritas jika maka
Ζ x 1 (n) ⎯⎯→ X 1 (z)
dan
Ζ x 2 (n) ⎯⎯→ X 2 (z) Ζ a 1 x 1 (n) + a 2 x 2 (n) ⎯⎯→ a 1 X 1 (z) + a 2 X 2 (z), a i konstan
ROC-nya adalah irisan dari x1(n) dan x2(n) Contoh: Tentukan transformasi-z dan ROC-nya x(n) = ( 3(2 n ) − 4(3 n )) u(n)
10
Sifat-Sifat Transformasi-z 2. Time Shifting/Pergeseran waktu jika Ζ x(n) ⎯⎯→ X(z)
maka
Ζ x(n − k) ⎯⎯→ z − k X(z)
ROC sama Contoh: Tentukan transformasi-z dari x(n-2) dan x(n+2) dan ROC-nya dari contoh sebelumnya x 1 (n) = {1, 2, 5, 7, 0, 1} x 2 (n) = x(n - 2) = {1, 2, 5, 7, 0, 1} ↑ 11
X 1 (z) = 1 + 2z −1 + 5z −2 + 7z −3 + z −5 X 2 (z) = ....
Sifat-Sifat Transformasi-z 3. Convolusi jika maka
Ζ x 1 (n) ⎯⎯→ X 1 (z)
dan
Ζ x 2 (n) ⎯⎯→ X 2 (z)
Z x 1 (n) * x 2 (n) ⎯⎯→ X 1 (z).X 2 (z)
ROC-nya adalah irisan dari x1(n) dan x2(n) Contoh: Tentukan transformasi-z dari konvolusi pada contoh sebelumnya (pembahsan konvolusi)
12
Aplikasi Transformasi-z pada sistem LTI Bentuk umum pers. Beda pada LTI a 0 y(n) + a 1 y(n - 1) + L + a N y(n - N) = b 0 x(n) + b 1 x(n - 1) + L + b M x(n - M)
Dengan menerapkan transf.z dan sifat time shifting, dengan:
maka
Ζ Ζ x(n) ⎯⎯→ X(z) dan x(n) ⎯⎯→ Y(z)
a 0 Y(z) + a 1 z -1 Y(z) + L + a N z -N Y(z) = b 0 X(z) + b 1 z -1 X(z) + L + b M z -M X(z) (a 0 + a 1 z -1 + L + a N z - N )Y(z) = ( b 0 + b 1 z -1 + L + b M z - M )X(z) Y(z) ( b 0 + b 1 z -1 + L + b M z - M ) ) = -1 -N X(z) (a 0 + a 1 z + L + a N z )
Fungsi transfer, H(z) 13
Contoh Tentukan fungsi transfer sistem LTI yang dinyatakan dalam pers. Beda berikut y(n) − 0.9 y(n - 1) = 0.1x(n), dengan x(n ) = u(n) y(n) − 3y(n - 1) - 4y(n - 2) = x(n) + 2x(n - 1), dengan x(n ) = 4 n u(n)
14
Invers Transformasi-z Invers transformasi-z didefinisikan sebagai: x(n) =
1 2πj
∫
x(z)z n −1 dz
c
dengan integralnya adalah integral kontur melalui lintasan tertutup c yang terdapat pada titik awal dan terletak dalam daerah konvergensi X(z) Karena perhitungan integral kontur sulit dan kompleks, maka untuk mencari invers dari transformasi-z dapat dengan melihat tabel, atau digunakan metode lain: Metode Ekspansi pecahan parsial
Metode Pembagian panjang
15
Penyelesaian Persamaan Beda dengan Transformasi Z Langkah-langkah: H(z) =
Y(z) X(z)
Y(z) = H(z)X(z)
z Y(z) An A1 A2 Y(z) = f(z) = + + L+ y(n) = x(n) z z − a1 z − a2 z − an z Lakukan ekspansi inverskan Pecahan parsial -1
Tentukan invers transformasi-z dari contoh sebelumnya
16
Pratikum Transformasi-z dan Invers serta aplikasinya
17
• Coba anda ulangi langkah-langkah program di atas untuk fungsi-fungsi yang diberikan Lakukan analisis kemudian simpulkan! Wajib menggunakan GUIDE
