Transpose Matriks & Determinan Elkin Rilvani
[email protected]
Pertemuan 3
Aljabar Linear
Transpose Matriks • Operasi transpose terhadap suatu matrik akan menukar elemen-elemen dalam satu kolom menjadi elemenelemen dalam satu baris; demikian pula sebaliknya. Notasi matrik transpose adalah AT atau At. • Contoh , Operasi transpose terhadap matrik A & B
Contoh Transpose
• Sifat dari matriks transpose: 1. A B T AT BT
A 3. k AT kAT T T
P
2. A
4. AB T BT AT P
Determinan • Determinan adalah satu pokok bahasan yang termasuk dalam Aljabar Linear. • Determinan adalah nilai yang dapat dihitung dari unsur suatu matriks persegi. • Determinan matriks A ditulis dengan tanda det(A), det A, atau |A|. • Determinan dapat dianggap sebagai faktor penskalaan transformasi yang digambarkan oleh matriks.
Determinan matriks ordo 2 x 2 • Determinan matriks A di definisikan sebagai selisih antara perkalian elemenelemen pada diagonal utama dengan perkalian elemen-elemen pada diagonal sekunder. • Determinan dari matriks A dinotasikan dengan det A atau |A|. Nilai dari determinan suatu matriks berupa bilangan real. Misalkan A adalah matriks persegi ordo 2 × 2 dengan bentuk 𝑎 𝑏 • A= 𝑐 𝑑
Matriks ordo 2 x 2 • Berdasarkan definisi determinan suatu matriks, Anda bisa mencari nilai determinan dari matriks A, yaitu: 𝑎 𝑏 • det A = |A| = 𝑐 𝑑 • a × d – b × c = ad – bc
• Contoh : 1 2 •A= 3 4 1 • maka det A = |A| = 3
2 4
• 1.4 – 2.3 = 4 – 6 = -2
Matriks ordo 3 x 3 𝑎 • Misal A = 𝑑 𝑔
𝑏 𝑒 ℎ
𝑐 𝑓 𝑖
• Maka dari matriks A contoh diatas dapat diselesaikan dengan dua motode determinan yaitu : • Metode Sorrus & Ekpansi Kofaktor (Laplace)
Metode Sorrus • Dari matriks A contoh diatas maka untuk mendapatkan Determinan dengan cara : 1. Tulis kembali elemen kolom pertama dan kedua disebelah kanan matriks A seperti dibawah ini : 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 •A= 𝑑 𝑒 𝑓 𝑑 𝑒 𝑔 ℎ 𝑖 𝑔 ℎ
continue 2. Kalikan elemen secara diagonal, pertama kalikan searah sejajar dengan Diagonal utama(Du), & dilakukan penjumlahan 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 •A= 𝑑 𝑒 𝑓 𝑑 𝑒 𝑔 ℎ 𝑖 𝑔 ℎ
+ • Maka didapatkan (a.e.i)+(b.f.g)+(c.d.h)
continue 3. Lalu perkalian dengan searah diagonal sekunder (Ds) yang diambil dari bagian bawah matriks & lakukan pengurangan
𝑎 •A= 𝑑 𝑔
𝑏 𝑒 ℎ
𝑐 𝑎 𝑓 𝑑 𝑖 𝑔
𝑏 𝑒 ℎ
• Maka didapatkan (g.e.c)+(h.f.a)+(i.d.b)
continue • Untuk mendapatkan Determinan maka : hitung selisih antara Diagonal utama dan Diagonal sekunder det A = Du – Ds • det A = (a.e.i)+(b.f.g)+(c.d.h) – ((g.e.c)+(h.f.a)+(i.d.b))
Minor • Yang dimaksud dengan MINOR unsur aij adalah determinan yang berasal dari determinan orde ke-n tadi dikurangi dengan baris ke-i dan kolom ke-j. • Dinotasikan dengan Mij • Contoh Minor dari elemen a₁₁
Minor • Minor-minor dari Matrik A (ordo 3x3)
Kofaktor Matriks • Kofaktor dari baris ke-i dan kolom ke-j dituliskan dengan
cij= (-1) i+j Mij Contoh : • Kofaktor dari elemen a₁₁ • c₁₁ (-1) 1+1 Mij = M₁₁ • Kofaktor dari elemen a23 • c23 (-1) 2+3 Mij = -M23
Kofaktor Matrik • Cara cepat untuk menentukan apakah penggunaan tanda + atau tanda – merupakan penggunaan tanda yang menghubungkan Cij dan Mij berada dalam baris ke – i dan kolom ke – j dari susunan :
• Misalnya C11 = M 11, C21 = -M 21 , C 23 = -M 23, C 32 = -M 32
Determinan Matrik dengan Ekspansi •
•
• •
5 1 2 Misalkan kita punya matriks A = 1 4 3 3 2 4 ➢ Tentukan minor entri a₁₁, a ₁2, dan a ₁3 ! ➢ Tentukan juga kofaktor entri M₁₁, M₁2 dan M₁3 ! Penyelesaian : 4 3 minor entri a₁₁ adalah M₁₁ = = 4*4 – 2*3 =10 2 4 Kofaktor entri a₁₁ adalah C₁₁ = (-1) 1+1 * M₁₁ = 1*10 = 10
continue 8 5 3 • Hitung Det(P) bila P = 2 4 1 7 2 1 • Dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama 4 1 2 1 2 4 • 8 -5 +3 7 1 7 2 2 1 • 8(2)-5(-5)+3(-24) • -31
Soal 1 • A= 2 3
2 1 1
3 4 2
1 •B= 2 4
2 1 3 1 5 1
3 •C= 1 5
4 2 6
3 1 2
•N=
−6 3
−1 −2
7 10 •M= 5 6
Invers Matrik & Adjoint Elkin Rilvani
[email protected]
Pertemuan 3
Aljabar Linear
Invers • Invers suatu matriks (yang juga disebut “invers perkalian”) hampir sama dengan kebalikan suatu bilangan. • Matriks dapat memiliki invers matriks hanya jika jumlah kolomnya sama dengan jumlah barisnya. • Jika matriks Anda bukan merupakan matriks persegi, maka matriks Anda tidak memiliki invers.
Invers matrik 2 x 2 • Jika
dengan
• maka invers dari matriks A (ditulis
)
adalah sebagai berikut:
Sifat-sifat matriks persegi yang mempunyai invers:
Penyelesaian • Contoh 1 :
• Contoh 2 :
𝐵-1 =
• Penyelesian : • Penyelesian :
𝐵-1 =
1 −3.−2−(5.1)
𝐵-1 =
1 6−5
𝐵-1 = 1
𝐵-1 =
−3 −1 −5 −2
−3 −1 −5 −2
−3 −5
−3 −5
−1 −2
−2 1 5 −3 −1 −2
Invers matrik 3 x 3 • Untuk mencari invers matriks ordo nxn seperti untuk matriks 3x3 digunakan rumus seperti berikut: 1 • A-1== det(𝐴) . Adj(A) • Terlebih dahulu harus mencari Determinan
Langkah penyelesaian
Mencari Adjoint
Transpose
Adjoin didapat setelah oprasi Kofaktor selesai lalu di Transpose Sedang invers dilanjutkan sampai slide terakhir
