INTRODUCCION
Este presente informe tiene como objetivo identificar la traslación de los ejes y reconocer su presencia en la naturaleza, así con mostrar ejemplos visuales de la aplicación de estas en diferentes ámbitos del desarrollo humano. Debemos precisar que no da una definición rigurosa de traslación de ejes, más bien intuitiva.
Traslación de ejes La traslación de ejes en el espacio tridimensional se realiza en forma similar que la traslación
´, , es un punto en el sistema cartesiano OXYZ, entonces en el punto ´ , , construiremos el nuevo sistema O´ X´ Y´ Z´ de tal manera de ejes en el plano cartesiano; si
que los rayos positivos de los nuevos ejes sean paralelos y tengan el mismo sentido que el sistema cartesiano original, es decir, en la forma: Un punto p en el espacio correspondiente al sistema OXYZ, tiene por coord enadas a
,,
,, y en el sistema O´ X´ Y´ Z´ tiene por coordenadas a ´,´,´ es decir ´,´,´. La relación entre estas coordenadas está dada por: es decir
= + ´ = + ´ = + ´
Ejercicio N° 01 graficar la superficie mediante una traslación
+ + − + − = Solución Completando cuadrados se tiene:
3 ( − 2) + + 2 + − 4 = 894 − + = 894 Donde:
´ ,−2,4
Ejercicio N°02: Dada la recta
+ + = , determine la ecuación de ella referida
a los nuevos ejes X´e Y´ que son paralelos con respecto a los ejes X, Y y con el nuevo origen en el punto (2, -3). Solución:
Las ecuaciones de traslación son:
= ´+ 2 = ´− 3 luego resulta: 3´ + 2 + 2´ − 3 + 5 = 0 3´ + 2 + 5 = 0
Ejercicio N°03: Si el origen se traslada a un punto (-3,5). ¿Cuáles son las coordenadas del punto (1,-2)?
ECUACIONES DE TRASLACION X=X’ + h Y= Y’ + k 0’ (-3,5)
,
P(1,-2)
A continuación se sustituyen valores X’ = X’-h
Y’=Y’-k
X’=1-(-3)
Y’=-2-5
X’=4
Y’=-7
Finalmente se encuentra las nuevas coordenadas P = (4,-7)
Ejercicio N°4: Mediante una traslación de ejes reduce la siguiente ecuación a otra que carezca de los términos lineales.
9x²+4y²-18x+16y-11=0. SOLUCION: las ecuaciones de translación son las siguientes. x=x’+ h y=y’+ k -Remplazamos las ecuaciones de translación en la ecuación que nos dan. 9(x’+ h)²+4(y’+ k)-18(x’+ h)+16(y’+ k)-11=0 -Desarrollar los binomios al cuadrado. 9[(x’)²+2x’h+h²]+4[(y’)²+2y’k+k²]-18(x’+ h)+16(y’+ k)-11=0 -
Los números multiplican a las expresiones de los corchetes y los paréntesis. 9(x’)²+18x’h+9h²+4(y’)²+8y’k +4k²-18x’-18h +16y’ +16k-11=0 -Juntamos los términos cuadráticos en X y Y ,también los términos lineales X y Y y por último los términos independientes. 9(x’)²+ 4(y’)²+ 18x’h-18x’+8y’k+16y’+9h²+4k²-18h+16k -11=0 -Factorizamos X´ y Y´ en los términos lineales 9(x’)²+ 4(y’)²+ x’(18h-18)+ y’(8k+16)+9h²+4k²-18h+16k -11=0 -Para que los términos lineales se eliminen el factor tiene que valer cero, igualamos a cero los factores para hallar el nuevo origen.
18h-18=0
8k+16=0
h =18/18
k = -16/8
h=1
k = -2
nuevo origen (1,-2) h,k -el nuevo origen sustituimos en los términos independientes. 9(x’)²+ 4(y’)²+9(1)²+4(-2)²-18(1)+16(-2) -11=0 9(x’)²+ 4(y’)²+9+16-18-32 -11=0
Respuesta:
9(x’)²+ 4(y’)²-36=0
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Dadas las rectas
2 − 3 + 6 = 0 Λ 4x + 3y −12 = 0, determine el nuevo origen
donde se deben trasladar los ejes X e Y de modo que las ecuaciones de las rectas dadas carezcan de términos libres. 2. Transformar la ecuación
3 + 4 − 3 + 4 − 11 = 0, por traslación paralela de
los ejes, de modo que la ecuación referida al nuevo sistema de coordenadas no tenga términos de primer grado. 3. Hallar las nuevas coordenadas del punto (-1, 3) cuando los ejes coordenados son trasladados primero al nuevo origen (4, 5) y después se gira un ángulo de 60°
CONCLUSIONES:
En este proceso de revisión, pudimos explorar los conceptos de traslación de
ejes en la parte de aplicación en la vida diaria.
Este trabajo nos permitió afianzar los conocimientos en el tema de traslación
de ejes al poder repasar con mayor detenimiento los valores, situación por medio de la cual pudimos obtener un mejor entendimiento y por ende un mejor dominio del tema.
DONDE LO PODEMOS APLICAR: Cuando caminamos de un sitio a otros.
Desplazamiento de un carro.
Cuando movemos un objeto
REFERENCIA BIBLIOGRAFICA
1. EDUARDO ESPINOZA RAMOS
“GEOMETRIA VECTORIAL EN R 3”
