Preguntas propuestas
2
2015
• Aptitud Académica • Matemática • Cultura General • Ciencias Naturales
Trigonometría Introducción a la geometría analítica I
A) (– 1; 4) D) (– 2; 1)
NIVEL BÁSICO 4. 1.
Calcule las coordenadas del punto M si OA=5, OB=15 y AM = MB.
B) (– 2; 3)
C) (– 1; 3) E) (– 3; 2)
Calcule 13 (sen β − cos β ) si ABCD es un cuadrado, tal que AM = MD. Y B(1; 7)
Y B M
C (5; 4)
A A θ
53º
37º
O
2.
A)
5 ; 15 2 2
D)
1; 7 2 2
B)
D
X
3; 7 2 2
C)
1 ; 15 2 2
A) 3/2 D) 2/3
B) –1/2
C) –1 E) – 3/2
E) (1; 3) 5.
De acuerdo con el gráfico se cumple que 5tanq – 2=0. Determine las coordenadas del punto F si AM = MB. B(11;
Calcule el valor de A) – 2 D) 2
8) 6.
M
θ
A(1;
A) (10; 0) D) (15; 0)
0)
F
B) (11; 0)
X
C) (12; 0) E) (16; 0)
En el gráfico, OABC es un cuadrado y B(3; 5). Calcule las coordenadas del punto A. B
A
b
. C) 1 E) 3
Tres de los vértices de un paralelogramo ABCD son A(3; 1), B(4; 2) y C (5; 0). Calcule el área de la región paralelográmica. B) 3/2 u2
C) 2 u2 E) 3 u2
Del gráfico, calcule a+ b. A) 7/2 B) – 3/2 C) 3/2 D) 2 E) 5/2
P(a; b)
Y
53º 53º 2
C O
a + d
B) –1
A) 1 u 2 D) 2,5 u2 7.
Y
Los vértices de un paralelogramo ABCD son A(a; – a – 6); B(c; c – 4); C ( d ; – d – 4) y D( b; – b – 6).
Y
3.
X
X M (– 4; 0)
X
2
Trigonometría Y
NIVEL INTERMEDIO 8.
C (–
3 ; 3)
Si ABCD es un cuadrado, determine la abscisa del punto H si OD=4.
B
O
Y
C
X
A B D X
30º
H
A
9.
) 3)
B)
3
(
D)
1 ; 2
O 12.
A) − (4 − D) − (8 +
A)
−
(2 + 4
3
) C) − (4 + 3 ) E) − (4 + 4 3 )
En el gráfico, se conoce las coordenadas de los puntos B(– 6; 4) y C (– 2; – 3). Calcule cota
3; 1)
B) (1; 3 )
3
2
C)
3 1 ; 2 2
E)
(
3 ; 2)
La base de un triángulo isósceles tiene por extremos los punto A(2, –1) y B(–1; 2). Los lados iguales miden cada uno 17 . Calcule las coordenadas del vértice opuesto a la base. A) (–1; –1) y (3; 3) B) (– 2; – 2) y (1; 1) C) (– 2; – 2) y (3; 3)
B
Y
D) (– 1; –1) y (2; 2) E) (– 3; – 3) y (2; 2)
A 13.
α
O
X
Si ABCD es un trapecio, calcule las coordenadas del baricentro del triángulo ACD si AB 18 , CD 10 y BC =4. =
=
C Y
A) 4 D) 7 10.
C) 6 E) 8
B
Si P es un punto que pertenece a la mediatriz del segmento de extremos A(– 3, –1) y B(2; 3), calcule la ordenada de P si su abscisa es – 3. A) 33/8 D) 7/8
11.
B) 5
B) 11/8
C) 4/11 E) 7/5
Si ABC es un triángulo equilátero y AO=OB. Halle las coordenadas del punto B. 3
C
A(1; 0)
A)
13 ; 1 3 13 ; 2 6
D)
B) (6; 1)
D(9; 0)
C) (5; 2) E)
13 ; 1 6
X
Trigonometría 15.
NIVEL AVANZADO 14.
Del gráfico mostrado, calcule tanq+cotq si el área de la región sombreada es 4 u2. Considere 13 el radio vector del punto A.
Si AB=CO=1 y BC =2, calcule la ordenada del punto P.
Y
A
Y A
B
C
O θ
θ
X
θ
C (3; – 2)
P
A) 2 A) − 3 B) 2 C) − 5 D) − 6 E) −2 2
B(5; 0)
θ
X
B) 10/3 C) 13/6 D) 5/2 E) 4
4
Trigonometría Introducción a la geometría analítica II
5.
Del gráfico, calcule CM si A(– 2; –1), B(4; 7) y C (6; – 2).
NIVEL BÁSICO 1.
Y
Calcule el área de la región triangular formado por las rectas L 1: x – 4=0 L 2: x+ y=10 y el eje x.
B M
X A C
2
2
A) 18 u D) 36 u2 2.
2
B) 24 u
C) 32 u E) 48 u2
Determine la naturaleza del triángulo cuyas coordenadas de los vértices son A (3; 8), B(–11; 3) y C (– 8; – 2).
A) 3 D) 6 6.
A) rectángulo isósceles B) rectángulo C) isósceles D) equilátero E) escaleno
B) 1/7
C) 2/7 E) 1
Si los puntos A(– 2; 3); B=(1; 6) y C (4; n) son colineales. Calcule el valor de n.
Se tiene una recta cuya ecuación es (3 k+ n – 2) x+(5 k – 2 n+1) y+(3 k – 4 n+2)=0 y pasa por los puntos (– 2; 1) y (2; 0). Calcule el valor de 68( k+ n).
A) 6 D) 9
A) 97 D) 100
B) 7
C) 8 E) 12 8.
NIVEL INTERMEDIO 4.
C) 5 E) 7
Calcule el valor de la tangente del menor ángulo formado por las rectas L 1: x – 2 y+3=0 L 2: 3 x+ y –1=0 A) 7 D) 1/3
7. 3.
B) 4
En el gráfico, calcule OP si P(–1; n), Q(1; 2) y R(4; 4).
9.
R
Q O
A)
2 3
D)
26
B)
15
X
C)
2 5
E)
22
5
C) 99 E) 37
¿Para qué valor de C , la recta L : 4 x+5 y+c=0 forma, con los ejes coordenados, una región triangular de 2,5 u2 de área? A) ± 5 D) ± 20
Y
P
B) 47
B) ± 10
C) ± 15 E) ± 25
Dada la ecuación de una recta 2 x+3 y+4=0, halle la ecuación de la recta que pasa por el punto M (2; 1) y forma un ángulo de 45º con la recta dada. A) x – 3 y+2=0; 3 y+2 x –1=0 B) x+2 y – 2=0; 3 x+2 y – 3=0 C) x – 5 y+3=0; 5 x+ y –11=0 D) 3 x – 5 y+8=0; 2 x+ y –11=0 E) x+ y=0; x – y+1=0
Trigonometría 10.
Dados los vértices A( –2; 4) y B(6; – 2) de un triángulo ABC , y el punto H (1;3), intersección de sus alturas, halle el vértice C .
NIVEL AVANZADO 13.
A) (– 4; 10) B) (2; 13) C) (13; 19) D) (–10; 20) E) (7; 13) 11.
Dadas las rectas paralelas L 1: 10 x+15 y – 3=0 L 2: 2 x+3 y+5=0 L 3: 2 x+3 y – 9=0 determine la razón en que se divide la distancia entre ellas. A) 2/3 D) 3/5
12.
B) 1/3
A) 1 D) 4 14.
11 ; − 35 14 14
11 ; − 45 14 14 11 55 C) ; − 17 17 B)
1; − 5 3 3 11 55 E) ; − 7 7 D)
B) 2
C) 3 E) 7
Si AB=2 BC , obtenga la pendiente de la recta L . B(2 ; 2)
C) 4/3 E) 8/9
A(– 6 ; 0)
Señale el punto Q, simétrico del punto P(–1; 5), respecto de la recta que pasa por A(2; 1) e intercepta al eje Y en un punto cuya ordenada es igual al triple de su pendiente. A)
El área de la región triangular ABC es 8 u2. Dos de sus vértices son los puntos A(1; 2) y B(2; 3); y el tercer vértice C , se encuentra en la recta de ecuación 2 x+ y – 2=0. Calcule la suma de coordenadas del punto C .
C
A) –2/3 D) – 2/9 15.
B) 2/3
L 1
C) –1/6 E) 2/9
Determine las coordenadas del punto Q, simétrico al punto P(– 5; 13) relativo a la recta de ecuación 2 x – 3 y – 3=0 A) (1; 1) B) (–11;) C) (11; –11) D) (3; –11) E) (11; 1)
6
Trigonometría Ángulos en posición normal I
4.
De acuerdo con el gráfico, calcule tanq+cotq. Y
NIVEL BÁSICO
1.
Q(– 3; – a) P(a; 1)
Del gráfico, calcule secqcsca+1 si AC = AB.
θ
Y
X C
B(2; 1)
A
A) – 4 θ
D)
X
α
5.
A) – 5
B) – 4
C) – 5/2
D) – 2 2.
B) – 2
−2
3
3
3
C)
−
E)
−4
3 3
3
En el gráfico mostrado, calcule el valor de tanatanb. Y
E) – 3/2
α
Calcule el valor de cos 240º + 2 sec 240º
X
β
cos 120º
A) 7 D) – 9
3.
B) 9
C) – 7 E) –11
A) – 2 D) –1/3
B) –1
C) –1/2 E) – 1/5
5
Del gráfico mostrado, calcule rm si sec θ = − . 4
NIVEL INTERMEDIO
Y
6.
r
El punto O es el centro de la semicircunferencia. Calcule cotq. Considere T como de tangencia.
X
θ
Y
T
P(– 4; m)
A) –12
θ
53º/2
B) –15
O
C) –18 D) –20
A) – 3/4 D) – 3/2
E) – 24
7
B) – 4/3
X
C) – 2/3 E) – 2
Trigonometría 7.
Si AB= BC , calcule 12tanq –1.
10.
De acuerdo con el gráfico, calcule 13 ( 2 sen α + 3 sec θ) .
Y
C
Y A(– 3a; 2a)
B 37º
A
α
X θ
X
θ
A) – 40 D) – 46 8.
B) – 42
A) 13 D) 19
C) – 44 E) – 48
En el gráfico, ABCD es un cuadrado. Calcule el valor de tanatanb.
11.
B) 15
C) 17 E) 21
Si OP=OQ y AM = MQ, calcule tanq. Y
Y
C
A(– 6; 2 3 ) D(0; 12)
B
60º P
β A(5; 0)
α
B) – 5/12
C) – 7/12 E) – 5/9
−
(
D) − 9.
En el gráfico, AB= BC . Calcule sec(180º – w) – cosw. A
O X
θ
X
A) A) – 5/13 D) – 3/7
Q
M
12.
Y
3
+
2
)
B)
−
+ 2 C) − 2
3
+ 2 4
3
E)
−
B(– 2; 8)
M α
C (1; 4) θ
ω
X
X
B) – 60/13
C) 45/32 E) 194/65
+ 2 5
3
Si las coordenadas del punto M son (– 6; 8), calcule 5(sena+cosq) – 6cscq. Y
A) 41/39 D) – 50/13
+ 2 3
3
A) – 9 D) 9
B) – 3
8
C) 3 E) 17
Trigonometría 13.
Los puntos A(a+ b; b) y B( b; a – b) pertenecen al lado terminal del ángulo en posición normal a. Calcule csc2a+tan2a si b > 0. A) 5 D) 8
B) 6
C) 7 E) 9
A) D) 15.
a+ b a− b
B)
a+ b
b − a
C) E)
a+ b
a+b b − a a + 2b 2a − b
Del gráfico mostrado, calcule tana. Y
NIVEL AVANZADO 14.
a− b
L : 40 x – 9 y=0 α
Del gráfico mostrado ( b > a), determine la tana en términos de a y b.
θ θ
Y
45º (a; b)
X
α
9
A) 0,4 B) 0,5 C) 0,6 D) 0,7 E) 0,8
X
Trigonometría Ángulos en posición normal II
6.
NIVEL BÁSICO 1.
Halle el valor de secq – tanq si 15cscq+17=0 y q ∈ IIIC. A) – 2 D) – 5
2.
Si
9
B) – 3
A) 9 D) 14 C) – 4 E) – 6
7.
csc x
81
=
2 3 cos x +
A) – 6 D) 3
3 cot x .
B) –1
C) 1 E) 6
8.
5 13
entre dichos puntos.
4.
9.
sen 270º + cos 90º − tan 0º
R =
cos 450º + cot 270º + sec 180º
B) –1
Si a es un ángulo en posición normal que satisface la ecuación 5 cos2 α + 5 cos α − 2 = 0 y, además cota > 0 y sen a < 0, calcule el valor de (csca+2seca)2. A) 16 D) 20
B) 18
C) 19 E) 21
tan θ sen θ − cos θ
A) +, +, + B) –, +, – C) –, +, + D) –, –, + E) –, –, –
C) 1/2 E) 2
NIVEL INTERMEDIO 5.
Si se tiene que sen q > cosq y q ∈ IIIC, halle el signo de las siguientes expresiones. M =sen2q – cos2q N =senq – cosq
Calcule el valor de
A) – 2 D) 1
cot θ = − sen θ y
A) a ∈ IC y q ∈ IIIC B) a ∈ IIC y q ∈ IVC C) a ∈ IIC y q ∈ IIIC D) a ∈ IIIC y q ∈ IIC E) a ∈ IVC y q ∈ IIIC
pertenecen a su lado final. Calcule la distancia
C) 12 E) 25
C) – 2,3 E) – 2,2
tan2qcosa < 0, encuentre los cuadrantes respectivos para los ángulos a y q.
. Los puntos P y Q tienen por coor-
B) 10
B) – 2,5
Si se cumple que sen α
denadas (– 15; a) y ( b; – 24) respectivamente,
A) 8 D) 13
C) 12 E) 16
Si se cumple que 15sen2a –14sena – 8=0 donde a es un ángulo en posición normal del tercer cuadrante, calcule el valor de cotacosa. A) –2,4 D) – 2,1
Si q es un ángulo en posición normal, cos θ = −
B) 10
sen 20 º − cos 70º +1,
además cot x < 0, calcule el valor de
3.
Si 2 tan α = 2 + 2 + 2 + ... y a es un ángulo en posición normal del tercer cuadrante, calcule − 2 (sen α + 4 sec α ) .
10.
Si se cumple que a y q son positivos y menores a una vuelta que cumplen 1 − sen θ +
sen θ − 1 + csc α = sen
3π 2
calcule cos2q+tan6a. A) – 2 D) 1
B) –1
10
C) 0 E) 2
Trigonometría 11.
Si a y b son ángulos cuadrantales, de modo que 0 < a < b < 2p, además senacos2b=1, sen α + sen β calcule . cos α + cos β A) 0 D) 1/2
B) –1
A) FVVV D) VFFF
C) 1 E) 2
calcule A) – 2 D) 1
1
sen α = − cos β − , 3
A) 7 o 9 D) 7 o 8
15.
B) 9 o 12
C) 7 o 10 E) 6 o 7
tan
x 2
y + 2 cos x + . 2
B) –1
Si se cumple que . Señale la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. sec θ
− tan φ > 0 y
sen φ − cos θ tan θ < 0
11
C) 0 E) 2
Sean a y b ángulos en posición normal, tales que sus lados finales están en el tercer y segundo cuadrante, respectivamente. Si los sumandos de la expresión − tan 2 α + 4 tan α − 4 +
13.
C) VFVV E) VFFV
Si se cumple que sen x+sec y=0; 0 < x < y < 2p
Si se verifica que
calcule tan2b+seca.
B) FFFV
14.
NIVEL AVANZADO 12.
I. f ∈ IIC y q ∈ IVC II. senfcotq > 0 III. f ∈ IIIC y q ∈ IVC IV. cot fcosq < 0
números reales, calcule A) – 5 D) – 8
B) – 6
sen β − sen
2
β−
1 4
son
5 sec α + 2 3 cos β.
C) – 7 E) – 9
Trigonometría Identidades trigonométricas fundamentales I
7.
Reduzca la siguiente expresión. 2
cos θ − cos3 θ +1 3 sen θ − sen θ
NIVEL BÁSICO 1.
Obtenga el equivalente de (cosa – senacosa)(seca+tana)+sen2a A) 1 D) cos2a
B) 1/2
C) sen2a E) – sen2a
A) sen2q D) sec2q 8.
B) tan2q
De la siguiente igualdad 4
tan x
4
−
sec x
=
1
A −
1 2.
Simplifique 2
1 − tan θ 2
+
1 − cot θ
D) 4.
2
A) 2 D) 5 C) sen2q E) – cos2q
B) 1
2
2,
calcule sen3q+cos3q.
B) 1
2
C)
9.
B) 3
(1 + sen x + cos x )2
2
(sen x + tan x ) (cos x + cot x )
A) sen x D) 1
B) cos x
10.
1 + cos θ . calcule cot θ 1 + sen θ B) k /2
k C) 2/ E) 2 k
Simplifique la expresión (csc x+cot x+1)–1+(csc x – cot x+1)–1 A) 1 D) sec x
11.
B) sen x
sen
A) 1 D) tan2 x
2
x cos
2
x
B) sen2 x
cos A
12.
Calcule el valor de 2+2sec2qtan2q – sec4q – tan4q A) – 2 D) 1
B) –1
calcule
=
3,
1 + cos A sen A
A) –1 D) 1
C) cos2 x E) cot2 x
.
B) 1/2
C) – 2 E) 2
Obtenga el equivalente de A, si se cumple que A = (1 + tan θ) =
C) 0 E) 2
C) tan x E) csc x
Si se cumple que 1 sen A
Simplifique
(tan2 x − sen 2 x ) (cot 2 x − cos 2 x )
C) tan x E) 2
csc θ + cot θ
−
6.
C) 4 E) 6
E) –1
2
A) k D) 1/ k 5.
x
Simplifique la siguiente expresión.
2
sec θ + tan θ
B
NIVEL INTERMEDIO
Si se cumple que k =
sen
calcule A+ B.
cos θ + 1
Si sen θ + cos θ = A) −
−
sec θ + 1
A) –1 D) – sen2q 3.
2
C) cot2q E) csc2q
A) – 2secq D) – 3secq 12
sec θ − 1 sec θ + tan θ
B) 2secq
−
sec θ + 1 sec θ − tan θ
C) 3secq E) 4secq
Trigonometría 13.
De la condición sec x+cos x=– 2, calcule el vasec
lor de
2
x +
sec
2
2 sen
x −
A) –1
2
x sec x
2 sen
2
B) 1
16.
sec α +
.
tan α +
cos α
A) 2 m B) 2( m+1)
E) 4
NIVEL AVANZADO
C)
2 ( m + 1)
D)
m + 1
E) 17.
14.
sen α
x
C) 0
D) 2
Si seca+sena+tana= m, calcule el valor de
A partir de la condición
2
m + 1
Si sen x+sen 2 x+sen 3 x=1, halle el valor de sen3 x+csc x.
2
tan a tan b 2 2 sen x − tan x = tan a − tan b
A) 1
18.
tan a + 1
Si tan x=1– sen x, calcule sen xcos x. 2
A)
2tan a
2
B)
+1
2
C)
−1
2 2 3
tan b
D)
tan b
C)
3 3
E)
−1
tan a
19.
D)
sen x(1+sen x)=1
tan b
calcule sen2 x+sec2 x.
sec x csc x
tan tan
Si se cumple que
tan a
E) tana+tan b Si
E) 5
tan b − 1
B)
15.
C) 3
D) 4
halle cos x. A)
B) 2
4 4
x −
cot
x +
cot
4 4
=
A) 1 5;
C) 3
D) 3/2
0 < tan x < cot x, calcule
x
B) 2
20.
E) 4
Calcule tan x+tan2q, si
x
2
2
tan θ =
sec θ sen
2
x
− cos
2
x
1 − sen x cos x
A) −
D)
5 7
5 5 7
B)
2 5 7
C)
3 5
E) −
13
7
considere tan x ≠ 0.
3 5
A) – 2
7
D) 1
B) –1
C) 0 E) 2
2
−1
2
Anual UNI
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA I
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA II
ÁNGULOS
EN POSICIÓN NORMAL I
ÁNGULOS
EN POSICIÓN NORMAL II
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES I
