Preguntas propuestas
5 2015
• Aptitud Académica • Matemática • Cultura General • Ciencias Naturales
Trigonometría Práctica
por
Circunferencia trigonométrica II
A) 〈0; 1] D) [– 1; 1]
NIVEL BÁSICO
1.
6.
Si se cumple que π π 4 ≥β≥ 3 3 halle la variación de 1 2sen 2β + 1 A) [0; 1]
4 E) 1; 3
7.
1 Si cos α ∈ −1, − ; además, a ∈ 〈0; 2p〉 deter2
A)
2π 4 π ; 3 3
B)
2π 5 π ; 3 3
2π 4 π D) ; 3 3
3.
C)
8.
5π B) ; 2π 4
C) [1; 2] E) 1 ; 3 3
5π 7π C) ; 4 4
NIVEL INTERMEDIO
1 2 3 E) 2 C)
D) 1
5.
5π 3π D) ; 4 2
1 Si − ≤ senβ ≤ 1; 0 ≤ b ≤ 2p, calcule la suma del 2 π máximo y mínimo valor de sen β − . 3 B) 0
3π π < θ < , ¿qué valores adopta la expre4 4 π sión cos θ − ? 4 Si −
4 1 C) − ; − 3 2
Si p ≤ x ≤ 2p; además, se tiene que 2sen4 x+3sen2 x – 2 ≥ 0, halle la variación de x.
A) [0; 2]
A) – 1
B) − 4 ; 1 3 2
E) 1 ; 3 2 4
A) π; 5π 4
D) [2; 3]
4.
Encuentre la variación de la siguiente expresión. cos x − 2 , x ∈R cos x − 2 + 1
Si 0 ≤ a ≤ p, halle la variación de la expresión sen2a+2sena. B) [0; 3]
C) π ; 4 π 3 3 4π E) 0; 3
D) 1 ; 1 4 2
2π 4 π ; 3 3
E) π; 4 π 3
π B) ; π 3
3 1 A) − ; − 4 2
mine el intervalo de a.
C) 〈– 1; 1〉 E) 〈– 1; 0〉
Si se cumple que senθ ≥ 3 cos θ; además, 0 < q < 2p, halle el conjunto de valores que adopta la variable q.
D) π ; 5π 3 3
1 4 C) ; 3 3
1 D) ; 1 3
2.
B) [0; 1]
π π A) ; 3 2
1 B) ; 1 2
Niveles
E) π; 7π 4
9.
Si 0 ≤ x ≤ p, halle la variación de la expresión. π π cos − x + sen + x 4 4 A) − 2; 2 D) − 2; 2
B) − 2; 0
C) − 2; 1 E) [0; 2]
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5
2
Trigonometría
Material Didáctico N.o 5
Academia CÉSAR VALLEJO
10. Si cos2q+cosq > 0
determine el conjunto de valores positivos y menores que una vuelta para la variable q. A) 0; π ∪ B) 0;
13. Si 4senθ = senx + 3 cos x; x ∈R, además,
5π ; 2π 3
p < q < 2p halle la variación para la variable q.
2π 5π ∪ ; 2π 3 3
A) π; 7π ∪ 11π ; 2π 6 6
C) 0; π ∪ 5π ; 2π 3 3
7π 11π B) ; 6 6
D) 0; π ∪ π; 5π 3 3 E) 0;
NIVEL AVANZADO
7π 3π C) ; 6 2
2π 5π ∪ π; 3 3
D) π;
π 8π
, halle los valores de a para los 11. Si β ∈ ; 7 7 cuales se verifica la siguiente igualdad 2a + 1 1 − sen 2 (β ) = . 5 A) [0; 1]
B) − 1 ; 1 3
C) [0; 2〉
D) − 1 ; 2 2
E)
1 − ;1 2
π 11π , halle la variación de 6 6 sen2a – sena+1.
12. Dado α ∈ ;
11π 6
11π E) ; 2π 6
14. Calcule la suma del máximo y mínimo valor de f(x) si f(x)=cos ( 3senx − cos x − 1)
A) 2sen 2 3 2 D) 2cos21
C) 2sen21 E) 2sen 2
se cumple que x cos 2 x − sen 2 < 0. 2 A) 0; π 3
B) 3 ; 7 4 4
B) 0;
2π 3
3 ;3 4
C) 0;
5π 3
3 D) ; 3 4
D)
π 5π ; 3 3
3 E) ; 3 4
E)
π 5π ; − {π} 3 3
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3 2
1 2
15. Para qué valores de x perteneciente a 〈0; 2p〉
A) 3 ; 7 4 4
C)
B) 2 cos 2
6
Trigonometría Práctica
por
Circunferencia trigonométrica III
A) tana – cotf B) cotf – cota C) cota – cotf D) tana – tanf E) cotf+cota
NIVEL BÁSICO
1.
π π ; además, tan − α = −1, calcule la 12 3 medida del ángulo 2a.
Si α ≤
A) B) C) D) E)
2.
4.
π 3 π 2 3π 4 2π 3 5π 6
En la circunferencia trigonométrica, calcule a si el área de la región sombreada es 3 + 1 2 u . 2 Y
5.
α
3.
B)
5π 4
C)
4π 3
E)
13π 12
Encuentre el conjunto de valores para x que pertenezca al intervalo 〈0; p〉 y que cumplan tan x con la condición > 0. 1 − tan 2 x A)
0;
π 2
B)
0;
π π ∪ ;π 4 2
C) 0;
π π 3π ∪ ; 4 2 4
D) 0;
π 3π ∪ ;π 4 4
E)
3π 4
0;
NIVEL INTERMEDIO
X
A) 7π 6 9π D) 8
Niveles
Determine los valores que admite la siguiente expresión. 3 π cot ( π + x ) + cot + x 4 2 Si x ∈
En la siguiente circunferencia trigonométrica, calcule el área sombreada en términos de a y φ. Y
2π 5 π ; . 3 6
A) −∞; −
1 1 ∪ − ;+∞ 2 2
B) − 1 ; 1 2 2
α
C) −∞; −
1 1 ∪ ;+∞ 6 6
D) −∞; −
1 1 ∪ ;+∞ 4 4
X φ
E) 〈– 2; 2〉
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4
Trigonometría
Material Didáctico N.o 5
Academia CÉSAR VALLEJO
6.
En la siguiente circunferencia trigonométrica, calcule el área sombreada.
Y B
Y A A'
X
X θ
A) −
cos θ 2
B)
cos θ 2
C) cosq
D) – senq
7.
E) −
senθ 2
Y
1 [cos (θ) − cot (θ)] 2
B)
1 [sen (θ) + tan (θ)] 2
1 [sen (θ) − tan (θ)] 2 D) 1 [ tan (θ) − sen (θ)] 2 E)
9. P
A)
C)
En la circunferencia trigonométrica mostrada, si OR ⊥ QP y m AP = θ, determine el área de la región OQR. R
P
B'
1 [tan (θ) − cot (θ)] 2
En la circunferencia trigonométrica mostrada, m AM = θ, calcule el área sombreada. Y C
A'
B
A X
O
A
Q M
A) cot(q) – tan(q) 1 [cot (θ) − tan (θ)] 2 1 C) sec (θ) csc (θ) 2 1 D) [ sec (θ) − csc (θ)] 2 B)
A) 1 (senθ − 1) −1 cot θ 2 B) 1 (cos θ − 1) −1 cot θ 2 C) 1 (cos θ − 1) −1 tan θ 2
1 E) sen (θ) cos (θ) 2
8.
En la circunferencia trigonométrica mostraAP = θ, determine el área de la región da, si m sombreada.
D)
1 (1 − cos θ) −1 cot θ 2
E)
1 (senθ − 1) −1 tan θ 2
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10
X
Trigonometría
Anual UNI
10. Se sabe que x ∈ 〈0; 2p〉. Determine la variación de x, si se cumple que 1 ≤ cos x ≤ 0. 2
−
1 ≤ cot x ≤ 3 y 3
Trigonometría
NIVEL AVANZADO
13. En la circunferencia trigonométrica mostrada, calcule PB en términos de q. Y
5π 4 π A) ; 4 3
P
B
5π 3π B) ; 4 2 C)
θ A'
π π ; 4 3
M
7π 4 π D) ; 6 3 E)
X
θ 2 E) 1 – cotq
B) 1+cotq C) 1 − cot
A) cotq
7π 4 π ; 6 3
D) 1 − tan
11. Halle el intervalo de variación de la siguiente expresión.
θ 2
14. De acuerdo con el gráfico, calcule x en términos de q.
sec x − 2 cos x π π ; x∈ − ; senx + cos x 4 2
Y
A) [2; +∞〉 D) 〈– 2; +∞〉
B) 〈2; +∞〉
x
45º
C. T.
C) 〈– ∞; – 2] E) 〈– 2; 2]
X
12. Determine para qué valores de x ∈ [0; 2p] se cumple que
θ
tan 2 x − 3 tan x + tan x − 3 > 0
A) 1+cosq – senq+cotq B) 1 – cosq+senq – cotq C) 1+cosq – senq – cotq D) 1 – cosq+senq+cotq E) 1+senq+cosq – cotq
A)
π 3π 4 π 3π ; ∪ ; 3 4 3 2
B)
π 3π 4 π 3π ; ∪ ; 3 4 3 2
C)
π 5π 7π ;π ∪ ; 2 4 4
D)
π 3π 4 π 7π π 3π ; ∪ ; − ; 3 4 3 4 2 2
E)
π π 5π 4 π ; ∪ ; 4 3 4 3
15. A partir de la condición
{ }
3 > cot θ ≥ −1 ¿cuántos valores enteros admite la expresión 2senq+1? A) 1 D) 4
B) 2
C) 3 E) 5
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6
Práctica
por
NivelesTrigonometría
Circunferencia trigonométrica IV D) cosq – cotq E) senq – cotq
NIVEL BÁSICO
1.
En la circunferencia trigonométrica mostrada, m AT = θ, PM = 13 y el punto T es de tangencia. Calcule senq.
M(– 3; 0)
4.
En la siguiente trigonométrica, calcule el área de la región sombreada. Y
B
A
X
θ θ
T
T P
P A) − D) −
2.
3 2
B) −
1 2
C) −
1 4
E) −
1 3
C) cot θ − cos θ 2 cos θ − csc θ D) 2 cos θ + csc θ E) 2
2 ; q ∈ IC, calcule el máximo valor Si 2 ≥ sec θ ≥ 3 de la expresión senq+tanq. A) 1 + 3 2 2
3
B)
C)
D) 2
3.
A) cos θ − cot θ 2 cos θ + cot θ B) 2
2 2
3 3 2
E) 2 3
En la circunferencia trigonométrica mostrada, calcule MQ si el punto M es de tangencia. Y M
5.
En la circunferencia trigonométrica mostrada, P es punto de tangencia, tal que secq=– 2. Calcule el área de la región sombreada. Y P θ
Q
M
θ O
P
A
X
X
A) tanq B) cotq C) – cotq
A)
1 2 u 2
D)
1 2 u 4
B)
C) E)
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3 2 u 2
14
3 2 u 4 3 2 u 4
Trigonometría
Anual UNI
Trigonometría
Y
NIVEL INTERMEDIO P
6.
4
Si se cumple que sec q ≥ 2sec q; además, p > q > 0, halle el conjunto de valores para la variable q, que verifiquen las condiciones iniciales.
cos θ + sec θ 2 cos θ D) − 2
C)
π 2
E) −
π π 3π ∪ ;π E) ; 4 4 2
8.
sec θ 2
10. En la siguiente circunferencia trigonométrica,
Calcule el mínimo valor de la siguiente expresión. sec4 x+4tan2 x+2 B) 2
AT = θ y el área sombreada es se tiene que m 1 u2. Calcule cosq+secq. Y T
C) 3 E) 6
A
X
Si se cumple que 2 > sec x ≥ 2 , halle el conjunto de valores que adopta la expresión cscx. 2 A) − 2; − ∪ 3
2 ; 2 3
A) − 2
B) 2
D) −2 2
B) 1; 2
C) 2 2 E) – 4
11. Determine los valores positivos de x que son π , y verifican la condición. 2 x x tan 2 + cos 2 + 2 > 4 2 2
menores que
C) [1; +∞〉 D) 〈1; +∞〉 E) 2; 3
9.
X
(cos θ − sec θ) 2 cos θ + sec θ B) − 2
π 3π C) 0; ∪ ; π 4 4
A) 1 D) 4
A
A) −
π B) 0; 4
7.
M N
C
π π π 3π A) ; ∪ ; 4 2 2 4
D) 0;
θ
2
En la circunferencia trigonométrica mostrada, m AP = θ. Calcule el área sombreada. Considere P como punto de tangencia.
A) 0;
π 6
D) 0;
π 4
B)
π π ; 6 2
C) 0; E)
π 3
π π ; 3 2
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15
8
Trigonometría
Material Didáctico N.o 5
Academia CÉSAR VALLEJO
12. En la circunferencia trigonométrica mostrada, m AT 1 = θ, m AT 2 = α y PQ=2. cos α − cos θ . Calcule 2 cos α cos θ Y
T1
A
B) – 2
X
sec (θ) − 1 2 cos (θ)
C) 1 E) 4
π 5π ∪ ; 2π 4 4
A)
0;
B)
π ;π 4
C) 0;
π 2
π π D) ; 4 2
NIVEL AVANZADO
13. En la circunferencia trigonométrica mostrada, si m AM = θ, determine el área de la región triangular APQ. Y P
E) π ; π ∪ π; 5π ∪ 3π ; 2π 4 2 4 2
15. En la circunferencia trigonométrica mostrada,
calcule MN si los puntos P y Q son de tangencia. Considere m AP = θ. Y
Q
A
M
E)
lores de senq, si 0 ≤ q ≤ 2p.
T2
A) 2 D) – 1
sec (θ) − 1 2sen (θ)
14. Si se verifica que secq ≥ cscq, obtenga los va-
P
Q
D)
A X
M Q
P B' N
A)
1 − csc (θ) 2sen (θ)
A) (tanq+cotq)cscq B) (tanq+cotq)csc2q C) (tanq+2cotq)csc2q D) cotq
( ) B) 1 + sec θ ( 2 cos θ) C)
1 − sec (θ) 2sen (θ)
E)
−2cot θ cos θ + sec θ
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16
X
Trigonometría Práctica
por
Funciones trigonométricas directas I
4.
NIVEL BÁSICO
1.
Halle el dominio de la función f definida por 3 f( x ) = sen 2 x − 4 si x ∈ 〈0; 2p〉
{ { { {
A) (4 k + 1) B)
}
π / k ∈Z 2
}
kπ / k ∈Z 2
C) (2 k + 1)
B) π ; π 3 2
π / k ∈Z 2
D) (4 k + 1)
C) π ; π 3
π / k ∈Z 4
E) {2kp / k ∈ Z}
5.
π 4 π 5π E) 0; ∪ ; 3 3 3
B) 0; π 4
{
Halle el dominio de la función definida por 1 f ( x) = π π sen x + + sen x − 3 3
{ { { {
B) R − k
C) R − (2 k + 1) D) R − k
}
π / k ∈Z 2
}
π / k ∈Z 3
E) R − (2 k + 1)
D)
E)
} }
} }
kπ / k ∈Z 4 kπ / k ∈Z 2
π , determine el conjunto de valores 2 para x, en el cual la expresión 3 sec x csc x − 4 no está definida en el campo de los números reales. Si x ∈ 0;
A)
π / k ∈Z 3
π π ; 6 2
B)
π π D) ; 6 3
19
}
π / k ∈Z 2
NIVEL INTERMEDIO
6.
π / k ∈Z 2
{ { {
C) (2 k + 1)
π 4
π π E) ; 4 2
A) R – {kp / k ∈ Z}
}
π / k ∈Z 4
B) {kp / k ∈ Z}
C) 0;
π D) ; π 4
} }
Halle los puntos de discontinuidad de la funπ ción f si f( x ) = tan ( π − 2 x ) + tan + 2 x . 2 A) (2 k + 1)
Definida la función f mediante f ( x ) = senx − cos x + cos x , tal que 0 < x < 2p. Calcule el dominio de f. π π A) ; 4 2
3.
Halle los puntos de discontinuidad de la funsec x − 1 ción f si f ( x ) = . 1 − senx
π 2π 4 π A) 0; ∪ ; 3 3 3
π 2π 4 π 5 π D) ; ∪ ; 3 3 3 3
2.
Niveles
π π ; 6 3
π π C) ; 6 3 E)
π π ; 3 2
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Trigonometría
Material Didáctico N.o 5
Academia CÉSAR VALLEJO
7.
8.
Halle el dominio de la función f, definida por
1 1 − cot x + sec x csc x f( x ) = 1 − tan x + sec x csc x tan 2 x − 1
f( x ) = cos (sen x ) + cos x. π π A) − ; 2 2
calcule el dominio de f.
π B) 0; 2
A) R −
π π C) R − − ; 2 2
B) R −
D) R
C) R − (2 k + 1)
E) [0; 2p]
D) R – {2kp / k ∈ Z}
Halle el dominio de la función f si
E) R −
f( x )
A) B) C) D)
cos 2 2 x + sen 2 4 x = −1 1 + sen 2 4 x
{ { { {
} } } }
kπ / k ∈Z 2
π ;π 2
}
kπ / k ∈Z 8
π 2π 4 π 5 π C) 0; ∪ ; ∪ ; 2π 3 3 3 3 1 + 1 − senx
1 senx −
halle el dominio de f si 0 < x < 2p.
B)
}
π / k ∈Z 4
π 5π 7π 11π B) 0; ∪ ; ∪ ; 2π 6 6 6 6
kπ / k ∈Z 8
π π ; 6 2
kπ / k ∈Z 4
π 2π 4 π 3 π A) 0; ∪ ; ∪ ; 2π 3 3 3 2
kπ / k ∈Z 3
A)
{
} }
kπ / k ∈Z 2
por g( x ) = 2 + sec x + 2 − sec x si x ∈ [0; 2p].
kπ / k ∈Z 4
Se define y = f( x ) =
{ { {
11. Determine el dominio de la función g definida
E) { p / k ∈ Z}
9.
10. Se define la función f
1 2
D) 0; 2π 3 E) 0; π ∪ 3π ; 2π 2 2 NIVEL AVANZADO
12. Calcule el dominio de la función
{}
f( x ) = cos
C) π ; 5π − π 6 6 2 D)
π 3π ; 2 4
A)
π ;π 4
E)
0;
π 2
D)
π π ; 4 2
2x x − cos 2 ; x ∈ 0; π 3 2 B)
C) 0;
π 4
π E) 0; 2
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π 3π ; 2 4
20
Trigonometría
Anual UNI
13. Calcule el dominio de la función definida por f( x ) =
1 ( sen7 x + sen5 x − sen3 x − senx ) cos2x
{ {
} }
correspondencia es senx + 2 cos 3 x f( x ) = ; ∀ n∈Z 1 + cos x − 2sen 2 x
} }
D) R − kπ / k ∈ Z 16
A) 2 nπ − π ; 2 nπ + π 3 3
kπ / k ∈Z 6
14. Calcule los puntos de discontinuidad de la función
π csc 2 x = tan (senx + cos x ) + ; n∈Z 2 tan x
A) {np}
{
B) (2 n + 1)
π 2
π 4
15. Halle el dominio de la función f, cuya regla de
C) R – {kp / k ∈ Z}
f( x )
π 2
E) {(2n+1)p}
B) R − kπ / k ∈ Z 8
E) R −
{ } { }
C) n
D) nπ +
kπ / k ∈Z A) R − 4
{ {
Trigonometría
}
21
π π B) nπ − ; nπ + 3 3 π π C) nπ − ; nπ + 6 6 D)
nπ π nπ π − ; + 2 3 2 3
E)
nπ π nπ π − ; + 2 6 2 6
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Práctica
por
NivelesTrigonometría Funciones trigonométricas directas II 7 A) ; 3 8
NIVEL BÁSICO
1.
6.
2.
Calcule el rango de f. 1 1 C) − ; 4 4 1 E) 0; 2
D) [– 2; 2]
3.
Calcule el rango de la función f, definida por π f( )=senx+cosx, si 0 ≤ x ≤ . 2 A) 1; 2
8.
D) 2 ; 1 2
E) −1; 2
NIVEL INTERMEDIO
4.
Si x ∈ π;
5π , determine el rango de la función 4
f( x ) = 1 + 2 senx cos x . A) 0;
2 2
B) 〈0; 1〉
C) 0; 2 E) 0; 2 + 1
D) 0; 3
UNI 2011 - I
5.
Sea la función f, cuya regla de correspondencia es f(x)=sen6x+sen4x+cos4x+cos6x. Calcule el rango de f.
9.
Calcule el mínimo valor de la función f si π f(x)=acos2x+bcosx; además, f = −1 y 2 f(2p)=5. B) – 1
C) 0 E) – 3
Si f es una función, definida por π 2senx cos x − 1 donde x ∈ − ; 0 , f( x ) = 2 1 − senx cos x determine el rango de f. A)
−∞; −
D)
4 −1; 3
4 3
B)
5 − ; −1 3
C)
4 − ;∞ 3
E) − 4 ; − 1 3
Determine el rango de la función f, definida sen9 x + sen3 x . por f( x ) = cos 3 x A) [– 2; 2] – {0} B) 〈– 2; 2〉 D) [– 1; 1]
C) [– 2; 2] E) 〈– 2; 2〉 – {0}
10. Calcule el rango de la función f, definida por la regla de correspondencia f(x)=vers(senx). A) [0; 1 – cos1] B) [0; 2] D) [0; 1+cos1]
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3 C) 0; 2 1 3 E) ; 2 2
A) 1 D) – 2
2 C) 0; 2
B) 0; 2
B) [0; 1]
1 D) ; 1 2
7.
1 1 B) − ; 2 2
A) [– 1; 1]
Determine el rango de la función f, definida 1 2π 2π por f( x ) = + cos 2 − x − sen 2 + x. 3 3 2 A) [– 1; 1]
Se define la función f mediante x f( x ) = senx 1 − 2 cos 2 (cos 6 x + cos 2 x ) . 2
7 C) ; 2 8 3 E) ; 1 4
3 D) ; 2 4
Definida la función f por f(x)=cot2x+2cscx+2 calcule el rango de f. A) [0; +∞〉 B) [1; +∞〉 C) [2; +∞〉 D) [3; +∞〉 E) [4; +∞〉
3 B) ; 3 4
24
C) [0; 1〉 E) [0; 1]
Trigonometría Anual UNI
Trigonometría
11. Si
π π x ∈ −29 ; − 14 6 3
A) 1 y f( x )
π x = tan − − sec x 4 2
calcule el rango de f. A)
B) 2 C) 1 + 2 D) 2 + 2 E) 2 2
3 ; 3 3
14. Obtenga el rango de f si
3 ; 3 B) 3
cos 2 6 x − cos 8 x f( x ) = cos 4 x cos 4 x − 1
3 C) ;3 3
1 1 A) − ; − {0} 2 2
D) − 3; −
3 3
1 1 B) − ; 2 2
3 E) − 3; − 3
1 1 C) − ; 2 2
NIVEL AVANZADO
12. Definimos la función f por
f(x)=7senxsen3x+5cosxcos3x
B) – 12
2 tan x 1 − tan 2 x + 2 1 + tan x 1 + tan 2 x calcule fmin+fmáx. f( x ) =
E)
1 1 − ; 2 2
f( x ) =
C) – 14 E) – 7
13. Dada la función f, definida por
1 1 − ; 2 2
15. Definida la función f mediante
calcule el mínimo valor de f(x). A) – 10 D) – 16
D)
3 cos 2 x − 2 sen2 x + 4sen 2 x cos x − senx
calcule el máximo valor de f(x). A) 13 B) 3 C) 10 D) 2 E) 4
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Anual UNI Circunferencia trigonométrica II 01 - D
04 - B
07 - A
10 - C
13 - A
02 - A
05 - A
08 - C
11 - D
14 - B
03 - B
06 - C
09 - A
12 - E
15 - E
Circunferencia trigonométrica III 01 - D
04 - C
07 - C
10 - A
13 - C
02 - C
05 - b
08 - C
11 - D
14 - C
03 - c
06 - B
09 - A
12 - D
15 - B
Circunferencia trigonométrica IV 01 - B
04 - A
07 - C
10 - D
13 - d
02 - e
05 - C
08 - A
11 - A
14 - E
03 - C
06 - a
09 - B
12 - d
15 - d
Funciones trigonométricas directas I 01 - D
04 - C
07 - D
10 - B
13 - B
02 - e
05 - D
08 - B
11 - C
14 - C
03 - A
06 - B
09 - C
12 - E
15 - A
Funciones trigonométricas directas II 01 - a
04 - B
07 - E
10 - A
13 - C
02 - C
05 - d
08 - E
11 - E
14 - C
03 - A
06 - B
09 - C
12 - e
15 - B
