ANUAL
s a t s e u p o r P s a t Pregun
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Trigonometría Razones trigonométricas de un ángulo agudo I 1.
4.
En el gráfico, calcule tanq+cot2q+cot(2q+a).
Se coloca un telescopio topográfico sobre un tripode que esta 5 pies por arriba del nivel del suelo, mide una elevación de qº sobre la horizontal a lo alto de un árbol que está alejado 12 pies. ¿Cuál es la altura del árbol?
θ
θ
13
( x+8) pies
α
A) 1 D) 4
pies
x
10
B) 2
2
C) 3 E) 5
θ
5 pies
12 pies
5.
Un peso de cables atados a ambos extremos de una viga horizontal, se aprecia en la figura.
A) 57 pies D) 13 pies 2.
B) 15 pies
En el gráfico, si sen A
1 =
3
Si tan α =
C) 10 pies E) 85 pies
1 2
y cotb=3, ¿cuál es la longitud a la
que está el peso con respecto a la viga?
sen B,
90 cm
calcule cos B · sec A+5tan A α
β
B
2 cm peso
A
A) 1 D) 3 3.
3
B) 2
C
A) 12 cm B) 3 cm C) 11 cm D) 14 cm E) 20 cm
C) 1/2 E) 1/3
En un triángulo ABC AB C recto en B , calcule 2 2 cot C – sec A. 6.
C
b
Si cos θ = calcule
a
21 29
, q es un ángulo agudo.
29 sen
A) 5 c
B
A) – 1 D) – 2
B) 1
A
C) 2 E) 0
B) 3 29 C) 2 D) 7 E) 10 2
θ + 2 · cot θ 2 2
Trigonometría Razones trigonométricas de un ángulo agudo II
9.
El área de una región triangular ABC , recto en B es 8
7.
En el gráfico se ilustra una grúa con un contrapeso, calcule la distancia entre los puntos A y B.
3u
2
. Si
10. 1 127° 2 7°
3 , calcule la longitud de
B) 12
C) 8
D) 10
B
10 u
=
la hipotenusa. A) 16
A
an C
10 u
E)
8 3
En el gráfico senC =0,8 =0,8 y AM =24. =24. Calcule BM – MC . B
M
A) 20 u B) 8
5u A
C) 32 u D) 10 E) 8.
2
A) 7 D) 6
6 10 u
Del gráfico, calcule cota, siendo ABP un triángulo isósceles y P es punto medio de AC . A
11.
C
B) 14
C) 12 E) 21
En el gráfico EFGH es un cuadrado, calcule el valor de la expresión csc x+sen x
120º x
P E
H
α
B
A) 2 B)
C)
C
3 3
105°
2
F
3 3
A) 2,5 B) 3,5 C) 4,5 D) 5,5 E) 6,5
D) 3 3 E)
3 3
G
Trigonometría 12.
Si
sec 45º csc 30º
15. = cos θ y BC =CM ,
calcule (
2
) tan α.
+1
Se sabe que q y a son complementarios, además se cumple 16sen q=seca. Calcule 15 · ta tan θ + csc θ
B
A) 3 D) 6 16. θ
θ
A
si
M
A) 2
A)
B) 3 C)
2
−
1
D)
D) 2 E) 1
17.
C) 5 E) 7
Siendo x un ángulo agudo, calcule cos( x – 5º),
α
C
B) 4
sen 35º + co c os 55º 2 tan 40 º ··ttan 50 º
2 2
B)
=
sen x
1 2
3
C) cos50º
E) cos40º
2
Calcule el valor de la expresión sen 1º · se sen 10 º · se sec 89 º
Razones trigonométricas de un ángulo agudo III
cos 80º ·c · cos 60 º ·s · sen 30 º 13.
Si sen(2 xº+12º) · csc52º=1 csc52º=1 y sen(3 yº+10º)=cos(2 yº+35º)
A) 1
calcule x – y. D)
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 14.
B)
18.
4 3
(I)
2 B – A=15º
(II)
B) 3 C)
A) 5º; 10º B) 1; 8 C) 14; 13 D) 15º; 15º E) 17º; 16º
3
Al multiplicar las 5 razones trigonométricas de un ángulo agudo se obtiene el valor de 3. Calcule la mayor tangente que se puede conseguir. A) 2 2
tan(3 A – 35º)=cot(90º – B)
C) 4
E) 4
3
Calcule A y B, a partir de las siguientes igualdades
3 3
D) E)
1 3 2 4
3 2
4
Trigonometría A) 2asenq B) 2acosq C) a(senq+cosq) D) a(senq+secq) E) a(cosq+cscq)
Resolución de triángulos rectángulos I 19.
Calcule CM en en función de q, si 4( BC )=5( )=5(CD). B
22.
M 9
OM OA
θ
D
. A
A) cos 10q B) sen10q C) sen5q · cos5q D) cos9q E) sen9q
C
A
En el gráfico, calcule
1
B 2 θ θ θ
O
C 3
θ
A) 4sen 2q
D
B) 5sen2q C) 4sen3q
10
D) 4cos2q
M
E) 5 · cos2q 23. 20.
En el gráfico, calcule
Del gráfico, calcule AM en en término de q y d .
EH MD
, si AM =a.
E
B
B
A) d sen sen2q
θ
B) d · · cos2q
H M
C) d · · senq D) d · · cosq E) d · · senq · cosq
d M
θ
A θ
A
C
A) 21.
En el gráfico, calcule QR+ PM .
B)
B
C)
Q
D)
M
a
θ
A
R
P 5
C
E)
a − b cos θ b a sen θ − b a b + a cos θ a ·cos θ b − a
a b − a sen θ a cos θ
D b
C
Trigonometría 24.
Si AD= MN , calcule cotq · cosq – senq. A
A) cota B) csca · cota
B
C) cosa · cota
N
θ
D) csca · cota · cosa E) seca · tana · sena M 27.
C
D
En el triángulo ABC , recto en B, calcule BD. B
A) 1/2 B) 1/3 C) 2 D) 3 E) 1
b
Resolución de triángulos rectángulos II
α
θ
A 25.
C
Del gráfico, calcule x. B
A) bcosa · cscq B) bsena · cscq
F
C) b · sena·senq
2
D) b · cosa · secq
M 30°
E) b · sena · senq
θ
A
x
C 28.
A) 8cotq
En el gráfico AC =CD, calcule x. B
B) 8cscq C) 4cotq
M
θ
D) 4cscq 2 n
E) 8senq 26.
D
P x
En el gráfico, calcule CD. A B
C
C α
A) ncscq B) ncotq
1
C) n D) ntanq
α
A
D
E) 2 n 6
D
Trigonometría 29.
En el triángulo ABC recto recto en B, calcule AB.
30.
En el gráfico, calcule AC en términos de a y q B
B
180° – 2θ
60°
1 M
50° A
P
α α
C A
A) csc10º · sec50º
A) 2cos q · cota
B) csc10º ·zcsc50º
B) 2senq · cota
C) csc50º · sen80º
C) 2csca · tanq
D) sen80º · sec50º
D) 2 · tana · cosq
E) sen50º · sen10º
E) 2senq · csca
CLAVES
7
2
β
β C
Trigonometría A) 2cot 2q D) 2sec2q
Resolución de triángulos rectángulos III 1.
B) 2csc2q
C) 2tan 2q E) 2tanq
Calcule el perímetro de la región sombreada. 4.
Calcule x en términos de q. θ
x α
α
6
2
A) 6(seca+1) B) 2(seca+3) C) 3(seca+2) D) 6(tana+1) E) 6(csca+1) 2.
5
A) 5 – 2cotq D) 5 – 2tan q
Calcule el área de la región sombreada en términos de q.
5.
B) 5+2tan q
C) 5+2cot q E) 5 – tan2q
De acuerdo al gráfico la luz se proyecta por medio de un espejo a la parte más elevada de un árbol. Calcule la tanq. A) 7 B) C)
3 θ
D)
1
A) 3tan 2q B) 3sec2q C) 3cotqcscq D) 3cot2q E) 3tanqsecq
E) 6.
3 2 1
u 0 1 2
θ
7
θ
2 3
50 u
40 u
7 3
En el gráfico. Si AB= AE , calcule tanb en términos del ángulo q. A
3.
Si AB=2, calcule MN en en términos de q.
B
θ
β
B
A θ
E
D
M
N
C
C
A) sec q+tanq B) secq – tanq C) tanq – secq D) secq –1 E) tanq –1 8
Trigonometría Introducción a la geometría analítica I 7.
10.
Del gráfico, calcule a+ b+c si ABCD es un cuadrado.
En un triángulo equilátero ABC , halle la suma de las coordenadas de B. A) 2 ( B) 3 ( C) 2 (
Y B (0;
Y
− 1) 3 − 1)
3
B
) D) 3 ( 3 + 1) E)
3
3
7)
+1
A (– 4;
4) C (a; b)
−1 A O
–4
X D (c;
UNMSM 2006 - II 8.
En el gráfico, las coordenadas del punto P son (3; 3 ) y las del punto Q son (3; 3). ¿Cuántos grados mide el ángulo POQ?
A) 5 D) 4 11.
Y Q
A) 10º D) 12º
X
B) 30º
C) 22,5º E) 15º
X
B) 6
C) 7 E) 8
Encuentre los puntos ( x; 5) cuya distancia al punto (– 2; 3) es 20 . A) (– 6; 5), (1; 5) B) (– 6; 5), (2; 5) C) (– 3; 5), (2; 5) D) (– 3; 5), (1; 5) E) (– 2; 5), (4; 5)
P
O
0)
12.
Calcule el perímetro de la región triangular ABC .
UNMSM 1997 Y 9.
Del gráfico, calcule tana+tanb. Y
B(8;
C
3)
3)
37º
X
α β
(4; 0) A
A(– 2;
X B(4;
(28; C (28;
A) D)
7 18
B)
4
C)
3
7
E)
24
9
25 24 9 16
– 7)
A) 20 u B) 21 u C) 22 u D) 23 u E) 24 u
– 5)
Trigonometría Introducción a la geometría analítica II 13.
16.
Si OM = MB, ON = NC y y G(a; b) el baricentro del triángulo OBC . Calcule
Del gráfico, calcule b – a. (4; C (4;
a b
.
Y
6)
B
P(a; b)
M (3; (3;
6) X
A(– 4;
2)
O
B(4;
– 4) (4; N (4;
A) 2 D) 5 14.
B) 3
C
C) 4 E) 1
A)
Calcule la suma de coordenadas del punto M si AB= MN .
1
B) 5
7
D) 6 17.
Y B(– 4;
– 5)
C) 7 E)
1 3
Calcule las coordenadas del baricentro del si OC = AO=OB. ABC si
0) Y
X
C
M
B
A θ θ
N (2; (2;
– 6)
X O
A) – 2 D) – 4
B) – 3
C) – 5 E) – 6 A(3;
15.
– 6)
Si AM = MC y y 2( PM )= )= BP, calcule el ángulo q. A) (1; 2) D) (2; 3)
Y B(2;
7) 18.
A) 15º D) 45º
M
El baricentro de un triángulo es el punto (1; 4) y
(7; C (7;
1)
to a dicho lado. A) (2; 9)
B) 30º
C) 37º E) 60º
1; 3 . 2 2
Determine las coordenadas del vértice opues-
X
θ
– 2)
C) (6; 5) E) (3; 2)
el punto medio de uno de sus lados es
P
A(– 3;
B) (2; 1)
D)
B) (1; 3)
3 ; 11 2 2
C) (2; 8) E) (–1; – 2)
10
Trigonometría Ángulos en posición normal I 19.
22.
Calcule tana+cotb. A(– 4;
Del gráfico, calcule tan2q+2.
Y
1)
Y
α β
X
6 X
45º (4; M (4;
θ
A) 10 D) 9
B) 12
A)
0)
D)
C) 7 E) 11 23.
20.
1
B) 0
2
C) −
15
E) −
4
2
15 4
Del gráfico, calcule 7tanq si AB = 5
Sea q un ángulo en posición estándar, perteneciente al tercer cuadrante, cuyo lado final pasa por los puntos A(– 4; x –1) y B( x+1; – 3), calcule el valor de x.
2.
Y
θ
37º
A) – 4 B) 0 C) – 2 D) − 13 E) 13 21.
1
X B
45º A
A) – 2 D) – 4
Del gráfico, calcule secq. 24.
B) –1
C) – 3 E) –1/2
En el gráfico, calcule cosφsenφ si OA=OB.
Y
Y B
( n; 2)
A
3 θ
X
A) −
D) −
5
B) −
3 3 5
3
C) −
2
3 2
E) − 2
5
11
5
φ
30º
O
A) − D) −
2
X
B) −
7 2 3 7
2
2 7
C) − E) −
2 7 3 3 7
Trigonometría Ángulos en posición normal II 25.
Si sen α tan α < 0, determine el signo resultante de las expresiones. expresiones. I. cosa · tana II. cota – csca III. III. cos cosa+cota A) –; –; + B) +; –; – C) +; –; + D) –; +; – E) –; –; –
26.
A)
D)
2 tan θ +
csc θ
1
D)
.
B) 3
2
C)
3
5 2
E) 2
5
Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones. I. Todo ángulo ángulo del IC IC es posi positiv tivo. o. II. Si cosb=2/3 → b ∈ IC ∨ IVC. III. III. Si a es negativo → sena es negativo. B) VVV
C) FVF E) FFF
.
B) 5
3
3
A) FFV D) VVF
3
2
13
De la siguiente igualdad 9(senq)2+3(senq) – 2=0, q ∈ IIC. Calcule cscq. A)
29.
Si q ∈ IIIC, además cos θ = − Calcule
27.
28.
30.
Del gráfico, determine los cuadrantes a los que pertenecen a y b, respectivamente.
C) 1 Y
13
E) –1
4
α 1
Si tan2 β = , β ∈ IIIC, calcule 9
A) 1
D) 3
B) −
1 3
β
10 se s en β − cot β.
C) −
X
1 4
E) – 4
A) III, III D) IV, IV, III
B) II, IV
CLAVES
12
C) II, III E) IV, IV, IV
Trigonometría Ángulos en posición normal III 1.
Determine
cuántos
ángulos
6.
Del gráfico Y
P(– 2; 3)
cuadrantales
existen entre – 541º y 181º. α
A) 7
B) 8
2.
β
C) 9
D) 10
E) 11 calcule
Calcule el valor de la siguiente expresión:
cos( α − β) + 13(sen α + cos β)
2(1 − 2 sen 270º + sec 2 180º )
A) – 1 D) 2
π 1 + 2(cos 2π) csc + sec2 2π 2 A) D) 3.
B) 2
2
7.
8
E)
5
4 3
A) – 2
sec θ + tan θ − 1
B) – 1
D) 1
A) csc q D) senq
C) 0
8.
; 0º < x < 90º ,
B) 0
D) 2 y
α
A) – 1 D) 2
C) 1 E) – 2
C) secq E) cos2q
n
sec
θ,
calcule el valor de n.
calcule sen(2 x+10º)+cos(4 x+20º)+cot(6 x+30º)
q
=
csc θ + 1
1 / 2
3 x 3 Si cos = 4 4
B) cosq
De la siguiente identidad, cot θ + cos θ
E) 2
A) – 1
Simplifique la siguiente expresión: 1 − cos θ + sen θ
Si K n= n,
Si
C) 1 E) – 2
C) 1
csc( 90º K3 ) + ta tan(90º K 4 )
5.
B) 0
α−β 4
sen
Identidades trigonométricas fundamentales I
3
c os( 90º K 2 ) calcule sen( 90º K1) − co
4.
X
9.
son ángulos cuadrantales positivos
C) – 2 E) 1/2
Si sen2q – 1=2sen q, calcule sen2q+csc2q A) 8 D) 10
y menores que una vuelta, que cumplen
B) 1
B) 4
C) 2 E) 6
tanq=senα+1. Calcule q+α. 10.
A) 360º B) 270º C) 360º D) 720º E) 450º
Reduzca la siguiente expresión:
(sen x )−1 ⋅ (sec x) −1 ⋅ (cot x )−2 −1 −1 (cos x ) ⋅ (csc x) A) tan 2 x D) sec x · csc x
B) cot2 x
13
C) 1 x E) cot x
Trigonometría 11.
Si sec θ − tan θ + 1 = n,
15.
sec θ
calcule senq – cosq A) 1 – n D) n – 2 12.
Si
sec2 θ − 2 tan θ + 1
Calcule
B) n+1
C) n – 1 E) 2 – n
= n,
1
− sec θ
sec θ − tan θ
A) n+1
B) – n
D) 2 n
C) n – 1 E) 1 – n
Si tan2 x+cot2 x=2 y x pertenece al segundo cuadrante, halle el valor de la expresión
16.
Sabiendo que
α es
un ángulo agudo, el cual
satisface la ecuación cotα +cscα=5, determine tan cot
81
x + cot 81 x + 4
el valor de la expresión 24tanα+26sen α.
21
x + tan7 x + cot 6 x
A) 10 A) – 4
B) 4
Identidades trigonométricas fundamentales II
17.
E) 5/13
Simplifique la expresión
1 + 2 {(sec x (t (tan x) −1 − tan x(s (sec x) −1) −1 − sen x ⋅(cos x) −2}
A) 2
Reduzca la siguiente expresión: 3
C) 15
E) – 6 UNMSM 2004 - II
13.
D) 5/12
C) 2
D) – 2
B) 20
B) – 1
C) 1 E) 2– 1
D) – 2
sec x − cos x
UNMSM 2007 - II
csc x − sen x 18.
x A) cot x B) tan x C) sec x D) csc x E) 1
Si cosq·cotq+2senq=3, entonces el valor de sen2q+csc2q es A) 11
B) 8
D) 9
C) 5 E) 7
2
14.
UNMSM 2008 - II
1 + cos α ⋅ csc α en función de Exprese A = sen α + cos α
tanα.
Identidades trigonométricas fundamentales III
A) 1+tan 2α B)
1−
19.
1 tan α
calcule sen6q+cos6q
C) 1 – tan2α D) (1+tanα)2 E)
1+
Si sec2q+csc2q=4,
A)
1 tan
2
α
D) UNMSM 2004 - I 14
1 4
1 16
B)
1 2
C)
E)
1 8 7 4
Trigonometría 20.
Identidades trigonométricas de ángulos compuestos I
Calcule el equivalente de la siguiente expresión: sec α ⋅ csc α − tan α
+1
sec α ⋅ csc α − cot α 25.
A) sec 2α B) csc2α C) sen2α+1 D) 2 E) cos2α+1
Reduzca la siguiente expresión: sen( A + B) − sen( A − B) cos( A − B) − cos( A + B)
A) tan A B) tan B
21.
Si 3+4cotq=5cscq, calcule tanq. A) 4/3 D) 3/8
C) cot B B A D) cot A
B) 2
E) tan A+tan B
C) 3/4 E) 1/2 26.
22.
Reduzca la siguiente expresión:
Simplifique la siguiente expresión: cos( x + y) + tan y co cos y se sen x
sen8q – (sen4q – cos4q)(1 – 2sen2qcos2q) A) sen8q
y A) cot y
B) – cos8q
B) – tan x
C) sen
23.
cos cos x sen sen y
4
q
C) tan y
D) cos8q
x D) cot x
E) – sen8q
E) – cot y y
Simplifique la siguiente expresión: 27.
sec4 θ csc4 θ − (sec2 θ − csc2 θ)2
calcule el valor aproximado de la expresión sen2 Acos2 B – sen2 Bcos2 A
sec2 θ + csc2 θ
A)
1
2
B) sen
2
q
D) cos2q
24.
A)
C) 4 E) 2
Elimine la variable q en secq+cscq=a y tanq+cotq= b, A) ( b – 1)2=a2 – 1 B) ( b+1)2=a2+1 C) ( b+1)2=1 – a2 D) ( b2+1)2=a2 2
2
E) ( b – 1) =a +1
Si A+B=30º y A – B=16º,
D) 28.
7 25
B)
7 50
16
C)
E)
50
5 24 3 50
Si a ⊗ b = ( a + b)2 − 1 x + y = 60º
calcule (cos x ⊗ sen y) ⊗ (sen x ⊗ cos y) A) 0 D) 3
B) – 1
15
C) 1 E) 2
Trigonometría 29.
Del gráfico, calcule senq.
30.
Calcule el valor aproximado de la expresión sen 29º
θ
1 ⋅ 2 sen 16º + 5
12
A) 16
5
B) 2 2 C)
A)
D)
3 65
B)
62
C)
65
63
E)
65
CLAVES
16
2
5 63 7 60
D) E)
2 2 17 2 50 31 2 2
Trigonometría Identidades trigonométricas de ángulos compuestos II
6.
Del gráfico, calcule el valor de x. 37º
1.
Si tan(45º+q), calcule sec2q. A)
15
B)
2
4 3
D) 3 2.
C)
13
5
7
13
E)
9
Calcule el valor de la expresión.
3 4 + tan θ 3 · tan (53º − θ) 1 − tan θ 4 A) 1/2 D) 1 3.
Si
tan θ =
B) – 1 n − 1 n + 1
A) 87/14 D) 83/4
C) 2 E) – 1/2
D) 5.
Si
7.
B) 2 n
B)
3
tan tan θ tan tan α =
C) 1/ n E) 1/2 n 1 2
B) C)
1 4
1 5
y
A) 12 D) 6 8.
C)
tan (θ − α ) =
1 4
,
2 9.
−
.
B) 3
sen 2º
cos 10º co cos 8º
A) D) 10.
C) 1/3 E) – 1/3
Calcule el valor de la siguiente expresión
1
+
cos12º co cos 10º
B)
7
1 3
3 −
4
−
tan 12º
1
C)
−
E)
−
7 1 3
Calcule el equivalente de la siguiente expresión 2
sen ( x + y ) sen ( x − y ) − sen x
1
E)
tan A − tan B
sen 2º
19
−
2
sec A − 1 − tan B
A) 2 D) – 3
5
9
D)
C) 9 E) 10
3
21
21
B) 8
Si sen( A+ B)=3cos Acos B, calcule
2
1
1
sen ( Ax ) , sen ( Bx )
,
E)
2
−
=
2
3
tan (θ + α ) =
tan 5 x − tan 3 x
calcule tan2a. A)
De la siguiente identidad
donde A > B > 0. Calcule A+ B.
calcule tan(q – a). 5
C) 87/5 87/5 E) 77/14
Identidades trigonométricas de ángulos compuestos III
, calcule calc ule tan(45º – q).
Si cota – cotq=5 y
A)
B) 83/14
tan 5 x + tan 3 x
A) n D) 1– 2 n 4.
2
x
sen y
10
9 14
A) – cos y D) – cot y
B) cos y
17
C) – sen y E) sen y
Trigonometría 11.
Simplifique la siguiente expresión 2
2
sen α − sen θ + sen
2
17.
Reduzca la siguiente expresión cot 30º + co c ot 37 º + co c ot 23 º
(α + θ )
cot 30º ta tan 53 º
2 sen α cos cos θ
A) cot13º D) cot23º
A) sen(a – q) B) senacosq C) senqcosa D) sen(a+q) E) senasenq
18.
B) cot21º
C) cot33º E) cot18º
Si A+ B+C =60º, =60º, calcule tan 3 A + tan 3 B + tan 3C tan 3 A tan 3 B
12.
Si tan(2q+a)=4, calcule tanq+tan(q+a)+4tanqtan(q+a) A) 5 D) 4
B) 3
C) 2 E) 1
Identidades trigonométricas de ángulos compuestos IV 13.
B) tan23 A
A) – tan3C D) tan3 B
C) tan3C E) – tan3 A
Reducción al primer cuadrante I 19.
Calcule el valor de la siguiente expresión
Calcule el valor de la expresión sen120º+cos240º+tan150º+sen150º A)
3 cos 10º −4 sen 10º
3
B)
6
5 3 6
3
C)
2
sen 27º
D) 0 A) 5 D) 1/5 14.
B) 10
C) – 5 E) –10
B)
D) 2
E)
21.
2
B) 7
B) 0
sen ( π + x ) sen (2π −
tan ( x + 2 y ) tan 3 z
.
C) – 2 E) 1
x)
tan ( π − x )
x + π + cos x 6
A) 5 D) 2
sen x
−
Simplifique la siguiente expresión
Calcule el máximo valor de la expresión 2 sen
16.
1
sen (2 y + 3 z )
A) 2 D) –1
C) 2 2
2
Si x+2 y+3 z=180º calcule
Calcule el valor de la siguiente expresión (sen20º+cos20º)sec25º 2 A) 2
15.
20.
E) 1
A) – sen2 x B) sen xcos x C) – cos2 x D) – sen xcos x E) sen x
C) 1 E) 3
En un triángulo ABC , se cumple que tan A 6
=
tan B
tan C
3
2
22.
,
=
2
calcule tan A. A) 12 D) 11/4
B) 11/9
C) 11 E) 10 18
Reduzca la siguiente expresión cos20º+cos40º+cos60º+...+cos140º+cos160º +cos180º A) 2 D) 1
B) –1
C) 0 E) 1/2
Trigonometría 23.
sen
A) D) 24.
A) – n3 D) – n– 3
Se cumple que a+b=300º, el valor de 2
α − sen 2 β + sen 120º sen (α − β ) −
1
B)
4
1
C)
2
1
−
1 4
1
−
es 27.
4
csc 240º
tan (90º + θ) =
cos 210º
C) n3 E) n–1 ,
calcule tanq.
E) 0
2
Si
B) n– 3
3
A)
Del gráfico, calcule tanq.
D)
B)
4
−
1 2
4 3
4
C)
−
E)
−
3 3 4
Y
28. 37º
cot
3 −
D)
−
4
B)
4 3
2
C) −
4
29.
3
4
2
3 2
D) 2 26.
Si cos50º= n, calcule cos 130º sec 310º csc 220º
B) –1/2
Si
3π − θ 2 = n, π cot + θ 2
sen 150º tan 225 º
B)
− α
B) cota
cos
cos (180º −θ) csc (270 º +θ)
1
π
C) tana E) – cota
Si a+q=90º, calcule sen(2a+q)csc(2q+a)cotq. A) 1/2 D) 2
30.
Simplifique la expresión
A)
3
3
Reducción al primer cuadrante II 25.
( π + α ) cot
A) – tan2a D) cot3a
E)
3
2
2 3π − α tan ( π + α ) tan 2
X
θ
A)
Calcule el equivalente de la siguiente expresión
C) 3
calcule sen2q.
E) 1
A) 1– n2 B) n2 C) n2 –1 D) 2 – n2 E) – n2
CLAVES
19
C) 1 E) –1
Trigonometría A) – 1 D) – 2
Reducción al primer cuadrante III 1.
Identidades trigonométricas del ángulo doble I
sen 2 θ A)
2cscq D) 2cosq
B) 2senq
C) 2secq E) 2sec2q
7.
Reduzca
sen x + cos x cos x − sen x sec x csc x sec x csc x
Reduzca la siguiente expresión sen( 5π + θ) sen (3π − θ) sen (6 π + θ)
A) sen4 x B)
A)
– cosq D) – tan q
B) cosq
C) – sen q E) sen q
Calcule el valor de la expresión
tan 29
A) − D) 4.
3 3
4
B)
2 3
8. 3
C) 2 E)
3
3
−
2
sec 780º
B) 2
2
D) - 2
sen 4 x
1 2 1 2
sen 2 x cos 4 x
El valor de x al simplificar la expresión
3
3
A) 1+sen 1+sena B) 1 – sen2 a C) 1 D) – 1 E) sen2a
− tan ( −37º )
1
A)
2
2 1 + tan α 1 − sen 2α x = 1 − tan α 1 + sen 2α
3
Calcule el valor de la siguiente expresión cos 4080º
5.
E)
π π + cot 31 3 3
1
C) cos2 x D)
3.
UNMSM 2 004 - I
C) 1 E)
1
9.
2
Del gráfico, calcule
Si 3sen(3600º 3sen(3600 º+q) – sen(360º – q)=1,
cos 15 calcule cos
A) D)
−
1
π
+ θ 2
4
B)
1 2
1
C) −
AB BD
D
1 2 θ
E) 1
4
en términos de q.
B
1
6.
C) 1 E) 0
Simplifique la siguiente expresión sen(720º +θ) − sen( θ + 180º )
2.
B) 1/2
θ
A
Si 2a+4q=p, calcule sen ( θ − α ) + sen (α − θ ) + cos ( −2α − 3θ ) cos θ
A) cotq D) tanq·senq
B) tanq
20
C) cotq·cosq E) 2tanq
Trigonometría cos α
10. Si sen θ =
2
cos 2θ
calcule
2
15.
,
calcule csc2q +
cos 2α + 1 2
sen α
A) 1 D) 4
sen θ
B) 2
A) 1 D) 4
C) 3 E) 5 16.
11.
Determine el equivalente de la expresión an
θ
2
⋅ (1 + cos θ) + cot
θ
2
C)
E) 12.
2 tan
D)
A) 0 D) – 2 17.
q
A)
B)
4
1
C)
12
2
E)
9
2
1
D) 18.
3
tan ( Bx )
sec x
8
=
3
−
tan x
B
tan x
−
1
=
2 , x
∈
0;
π
4
.
≠
rad
4 ≠
B)
≠
rad
8
rad
6
C) E)
≠
rad
3 ≠
rad
12
Determine el equivalente de la expresión
A) tan ta n280º B) cot280º C) cot240º D) tan220º E) tan240º
,
Identidades trigonométricas del ángulo doble III
B) 2
C) 3 E) 4
Si tan ( a + b) = 2 y tan2 b=1, calcule tan(2a). A) 3 D) 6
tan 2 x
2 2 2 2 2 2 1 − tan 10º 1 − tan 20º 1 − tan 40º
1
calcule B.
14.
Si
q
3
A) 1 D) 1/2
C) 1 E) 2
2 2
cot x
B) - 1
calcule x
Identidades trigonométricas del ángulo doble II
Si
cot 2θ
+ (cos 4θ )
q
UNMSM 2011 - I
13.
2 − 1, tan 2θ
Si cos4a+2sen 2a=0 y cos2a≠0, calcule cos2a. A)
Si tan θ =
C) 3 E) 5
⋅ (1 − cos θ)
2 2senq
D) 2 cos
B) 2
calcule (sen 4θ)
A) 2cos q B) 2 sen
Si tan2q-8tanq+1=0,
B) 4
C) 5 E) 7 21
19.
Reduzca la expresión cot x x – tan x – 2tan2 x– 4tan4 x A) 8cot4 x B) 8tan4 x C) 4tan8 x D) 8cot8 x E) 4cot8 x
Trigonometría 20.
Calcule el valor aproximado de la expresión
A) 2
π 2 π (cot 2 4º − tan 2 4º ) co c os − sen 2 8 8
D) 2 csc
B) 140 2
C) 70 E) 28
2
21.
Si
cos cos
x + sen x
6
x + sen x
8
+
sen
4 6
=
2,
10 + 6 cos 12 x
22.
Reduzca la expresión 2 csc
x − tan x 2 cot x − cot x 3 6 3 6 + x x cot tan 6 6
16
=
sen
A
A) – 2 D) 1 24.
x 3
( Bx ) +
(Cx ) + cos A ( Bx ) + cos D (Cx ).
calcule B+D B+D – A – C, B > C > 0.
calcule cos4 x A) 1 B) 2 C) – 2 D) 0 E) – 1
2 cot
Si la igualdad es una identidad 6 + 2 cos 4 x
2
E)
D
4
C) 0
x 3
23.
A) 70 D) 140
B) 1
B) – 1
Si se sabe que a +
1
a
≥ 2,
C) 0 E) 2 a > 0,
determine el mínimo valor que toma 4csc(2 x)+3, 0º< x < 90º A) 1 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
TRIGONOMETRÍA
22
Trigonometría Identidades trigonométricas del ángulo triple 1.
Simplifique la siguiente expresión
Transformaciones trigonométricas I 7.
3
sen 3θ + sen θ
Calcule el equivalente de la siguiente expresión. sen 5θ + sen 3θ
2
2 cos θ
cos θ
A) 3senq D) 3cotq 2.
B) 3tanq
C) 3cscq E) 3sen2q
A) 2sen4q D) 2cos3q 8.
Reduzca la expresión
+
3
cos 3θ − cos θ 3
sen θ
sen 7θ + sen θ 2 cos 3θ
B) 2cos2q
C) 2sen2q E) 2senq
Calcule el equivalente de la siguiente expresión. sen 2 x
+
sen 2 y
cos 2 x
+
cos 2 y
−
tan y
1 + tan ( x + y ) tan y
A) 3tan q D) – tan2q 3.
B) – 3cosq
C) 3senq E) – 3cotq
De la siguiente identidad 1+4cos 32q – 3cos2q= Acos N ( M q), calcule A+ N + M .
A) tan y D) tan x 9.
B) – tan x
C) – tan y E) 0
Calcule el valor de la siguiente expresión.
(sen 48º − sen 12º ) cos 36º 3
A) 6 D) 4 4.
B) 5
C) 8 E) 7
A) 1/2 D) 1/4
Calcule el equivalente de la siguiente expresión 2
10.
2
cos 3θ − sen 3θ 3
(sen 5θ + sen 3θ) cos θ
2
+ tan θ
A) 2tan q D) csc2q 5.
B) sec
C) 2csc E) 0
q
3 2
− sen θ
3 2
+ sen θ
csc θ
A) 10º D)
=
B) 20º
1
q
A) 2 D) 4 11.
B) 3
C) 1 E) 5
Calcule el valor de la expresión
8
cos 20º ⋅ cos 40º
;
θ∈
2
0º ; 90º
C) 8º E)
A) 1 B) 2 D) 4 12. Simplifique la expresión
37º 2
C) 4a E) 6a
C) 3 E) 5
cos y + cos ( y − 2 x ) 2
cos x ⋅ cos y +
Si sen10º+cos20º=4 sen10º+cos20º=4a, calcule sen310º+cos320º. B) 3a
sen ( M θ) ,
1 + 2 cos 20º
53º
A) 2a D) 5a
=
calcule el valor de M .
2
Determine el valor que asume q, para que se cumpla la igualdad
6.
1 + cos 2θ 2
C) 1/3 E) 2
De la siguiente identidad
4 cos 2θ − 3 cos 2θ
2
B) 1
A) cos x D) 2
1 2
sen 2 x ⋅ sen y
B) 1
C) cos( y – x) E) – cos x UNMSM 2007 - II
23
Trigonometría Transformaciones trigonométricas II 13.
Calcule el valor de la expresión 2sen70ºsen10º+2cos 240º A) 2 D) 3/2
14.
B) – 3/2
19.
Y
C) – 2 E) 1/2
B) 2
D)
5
B)
X C.T.
x1; – 33 6
C) 5 E) 6
2
10
A) −
1
C) 2
3
D) −
17
E)
4
−
1
C) −
3
1
E)
5
−
1 4
1 8
5
Calcule la longitud del segmento PO.
Calcule el valor de la siguiente expresión. A)
3 sen 2 0º + se s en 10º
Y
3 −1
5
cos 40º
A)
3
B)
2
2
6−
C) D) E)
C) – sen x E) – cos x
Elimine la variable angular x de las siguientes condiciones 2sen2 xsen x+cos3 x= n −
2 sen 2 x
A) m2+ n2=1
=
m
21.
E) n2= m2
D) n · m=1 24
C.T
2−
3
Calcule la abscisa de P.
A) − B)
(II)
B) n2 – m2=1 C) n+ m=1
X
4
D)
(
6
−
2
) Y
4 3
−
(I)
O
2
1
C) −
cos x
P
2
sen 4 x
B) – sen2 x
6
2
+
E) 1
A) sen x D) cos2 x
π
8
Simplifique la expresión cos 7 x ⋅ cos 2 x − cos 6 x ⋅ cos 3 x
cos 3 x
6
B)
2 C) 2
1
D) 2
18.
Q
B)
2
2 20.
17.
1 ; y 1 2
P
x+tan x, si Calcule cot x tan x=sen10º · cos20º+sen5º · cos5º
A)
16.
Del gráfico, calcule x1 · y1.
De la siguiente igualdad 2sen3qsenq+2cos22q= M cos cos N (q) calcule M + N . A) 3 D) 4
15.
Circunferencia trigonométrica I
C.T
2
15º
1 2
3 −1
E) –1
4
P
X
Trigonometría 22.
Calcule el área de la región triangular ABC . A)
B)
C) D) E) 23.
3
+ 1 2 u 4
3
u
Y
B
C.T
A
2
2 u
2
–2
2 3u
C.T
C
4 2
θ
π
3
A)
Si CM =3( =3( AM ), ), calcule la ordenada de R.
B) − C) − D) − E)
−
20º
X
3 3
A) −
Determine todos los arcos dirigidos que puede asumir q.
Y
+ 2 2 u 4
3 3
24.
π
9
(18 k + 10 ); k ∈ Z 0+
1 2
B)
Y 3 C.T
2
2 2
C) C
M
X
D)
3
4
R
9 π
9
(2 k + 1); k ∈ Z+0
(2 k + 10 ); k ∈ Z0+
A
5
1
π
E)
π
9
(18 k − 10 ) ; k ∈ Z0+
2π 9
(9 k + 15); k ∈ Z0+
CLAVES
25
X
Trigonometría Circunferencia trigonométrica II 1.
3.
En la circunferencia trigonométrica, calcule la ordenada del punto A.
Determine el área de la región sombreada en función de q.
Y
Y C.T.
X A X
θ
θ
A) A) B)
sen θ 2
1 + sen θ
B) −
2
sen θ 2
sen θ − 1
C) – senq
2
(
)
− sen θ + 1
C) D) E) 2.
D) senq
2 sen θ + 2
E)
2
−
sen θ 3
1 − sen θ 4.
2
De la circunferencia trigonométrica, calcule la P. abscisa de P.
Determine el área de la región sombreada. Y Y
θ
X X P
θ C.T.
A) D)
sen θ 4 sen θ 2
B) −
sen θ 2
C) − E)
sen θ 4
1 + sen θ 2
A) senq cosq B) cosq C) senq D) – cosq E) – senq
26
Trigonometría 5.
Del gráfico, determine el valor de x en términos de b y q.
C) (2 sen θ + 1) D) (2 cos θ + 1)
Y x
θ
E) b
8. X
cos θ 2 sen θ 2
cos θ − sen θ 2
De la circunferencia trigonométrica, calcule tanb+cotb. Y
C.T.
θ
A) – cosq D) 6.
cos
B)
sen θ
+ b
b
θ
C) E)
b
sen θ
X
− b
β
b sen
θ
b 1
A) − senq – 2cscq
Determine qué proposiciones son correctas I. sen2 sen20º 0º > sen sen17 170º 0º II. sen(– sen(– 40º) 40º) > sen(– 20º) 20º) III. sen250º=sen290º sen250º=sen290º
2
1
B) senq+2cscq 2
C) tanq+cotq A) solo I D) I y II
B) solo II
C) solo III E) I y III
1
D) − cosq – 2secq 2
1
E) cosq+2secq 2
Circunferencia trigonométrica III 7.
Calcule el área de la región sombreada.
9.
Calcule la longitud del segmento PQ. Y
Y
θ C.T.
P
Q X
X
C.T.
θ
A) (2 sen θ − 1) B) (2 cos θ − 1)
A)
cos θ 2 sen θ
D)
2
27
2 cos θ 1 − sen θ −2 cos θ
1 + sen θ
B)
2 cos θ 1 + sen θ
C)
−2 cos θ
1 − sen θ
E) – cosq
Trigonometría 10.
Calcule el área de la región sombreada en términos de q.
12.
Del gráfico, calcule senq+cosq. Y
θ Y
C.T.
X X
y=
A) A) senqcosq
B) cos q
C) −
2
D) sen q 11.
Si
OM = =
tan θ 2
D)
E) – senqcosq 3 2
2
x2+y2=1
θ
2
1 – x
1
B)
3
3
C)
5
2
E)
3
1 5 1 2
Circunferencia trigonométrica IV
, calcule el área de la región som-
breada.
13.
Si n =
sen θ − 11
, determine el número de valo-
3
res enteros que toma n. Y
A) 1 D) 4
θ
14. O
M
X
B) 2
C) 3 E) 5
Determine la variación de la expresión sen2q – 2senq, q ∈IIC B) 0;
A) 〈– 1; 1〉 C.T.
1 2
D) 〈0; 1〉
A) B) C)
(
)
15.
3 + 2 sen θ cos θ
(3 + 2 cos θ) sen θ 4
4
E)
4
(1 + 3 cos θ) sen θ 4
E) 〈– 1; 0〉 k + 3
A) 3 D) – 1
(2 + 3 sen θ) cos θ (2 + 3 cos θ) sen θ
2 2
5
y q ∈[37º; 143º ],
calcule la suma del máximo y mínimo valor que asume k.
4
16.
D)
Si sen θ =
1 1
C) − ;
B) 2
C) 1 E) – 2
π 3π Si θ ∈ ; ; calcule la variación de 2sen2q 8 8 A) 0; 2
B) 1; 2
D) 1; 2
C) 1; 2 E) 1; 2
28
Trigonometría 17.
Si θ ∈
π
6
;
5π 6
22.
, calcule, la variación de la expre-
cos θ + 1 cos θ + 2
sión csc3q+1. A) 〈1; 8〉 D) 〈2; 8〉 18.
C) [2; 9〉
B) 〈1; 9〉
E) 〈3; 7〉
Calcule el máximo valor de 4sen a – 3senq+2, si a y q son independientes entre sí. A) 4 D) 7
B) 9
C) 6 E) 3
¿Cuántos valores enteros adopta la expresión 3+8cos2q? A) 5 D) 7
20.
B) 4
23.
1 3 A) ; 4 4
CLAVES
29
1 2
5π 3π ; 4 2
, θ ∈
5
B)
2
3 2
D) 2
C)
3 4
E) 0
Determine la variación de la expresión
1 E) ; 1 4
3 5 D) ; 4 4
2
2 cos θ +
1 5 C) ; 4 4
1 B) ; 1 2
1
Calcule la suma del máximo y mínimo valor de de la expresión
A)
C) [– 1; 1; 2] E) [0; 4]
De la siguiente igualdad 2cosq=4 n – 3, q ∈ 〈– 10º; 190º 〉. Calcule la variación de n
1 2 ; 2 3
cos2 θ +
24. 21.
B)
1 2 E) ; 2 3
C) 6 E) 9
B) [0; 2]
3 5 ; 2 2
1 D) 0; 2
Determine la variación de la expresión cos2q+2cosq A) [– 1; 1; 3] D) [1; 5]
A)
C) 0;
Circunferencia trigonométrica V 19.
Si q ∈ IVC, calcule la variación de la expresión
π π + 2, θ ∈ 0; 2 4
A) [– 1; 1; 0] B) [0; 3] C) − 2; 2 + 2 D) [1; 3] E) [– 1; 1]
Trigonometría Ecuaciones trigonométricas I
6.
Calcule la suma de las soluciones de la ecuación tan2 x cos x=sen x, x ∈〈0; 2p]
1.
Calcule la menor solución positiva de la ecuación sen7 x+sen5 x=cos x
A) 4 p
A) p /36
D)
B) p /2
B)
7π
C) 3p
2
5π
E) 2p
2
C) p /18 Ecuaciones trigonométricas II
D) p /6 E) p /12 7. 2.
Calcule la suma de las soluciones de la ecuación (sen x – cos x)2=1, x ∈〈– 2p; 0〉.
Resuelva la ecuación 2cos2 x+cos2 x=0, x ∈〈0; p〉
A) – 2p A)
D)
3.
{ } π
;
π
3 2
B)
{
{ } π
π
π
6
;
5π 6
}
C)
E)
; 6 2
{ {
π
3 π
6
;
;
2π 3 2π 3
B) – 4p
} D) – 3p
}
8.
Calcule el número de soluciones de la ecuación
E)
sen3 x=– 1, x ∈ 0;
19 π
3sen x+2sen x – 1=0, x ∈〈0; 2p〉 B) 1
D) 5 4.
C) 4
A) 2
E) 3
D) 3
Calcule la menor solución positiva de la ecuación
9.
E) 1
A) (2 n + 1)
{
π
2
}
{4} C) { }
B)
nπ
(2 n + 1)
π
4
Calcule el número de soluciones de la ecuación ( 2sen x – 1)(9cos2 x – 1)=0, x ∈〈0; 2p〉 A) 5 D) 2
B) 3
C) 4 E) 6
2
C) 4
A) p /6
E) p /18
5π −
.
sen6 x+sen4 x+4cos x=0, n ∈Z
D) p /3
2
Calcule la solución general de la ecuación
B) p /8
5.
B) 5
6
sen3 x+cos3 x=1
C) p /12
3π
Calcule el número de soluciones de la ecuación
2
A) 2
C) −
D)
{2} nπ
{
E) (4 n + 1)
π
2
} 30
Trigonometría 10.
Resuelva la ecuación
Resolución de triángulos oblicuángulos I
sen2 x – 2cos x=0, x ∈〈0; 4p〉 13.
A)
{
π
2
; π;
3π 2
Si 5sena=3senq, calcule x
}
; 2π
θ
B)
{ {
3π 7π ; 2 4 2 4
π
;
π
;
}
C) ; 3π ; 5π ; 7π 2 2 2 2 D)
E)
11.
{ {
π
3π 5π 7π ; ; 2 4 2 4
π
π
4
;
; 3π;
5 π 5π ; 4 2
x
α
}
5
}
A) 3 B) 1/2 C) 1/3
}
D) 2 E) 10
Calcule el número de soluciones de la ecuación 14. 1
cos2 x+cos2 x= , x ∈ 2
A) 6
Del gráfico, calcule el valor de x
13π 25 π ; 4 4
B) 2
C) 5
D) 3
x
25
E) 4 32º
12.
16º
Calcule la solución general de la ecuación se n
2
3 x − sen 2 x = 0 2 2
{
A) (4 n + 1) B)
π
4
A) 24 D) 28
}
15.
nπ
{
C) (2 n + 1)
abc , 3 R
triángulo ABC .
}
A) 1 B) 4
D) { nπ}
C) 2 E)
E) 36
En un triángulo ABC de de lados a, b y c, respecti-
Calcule
2
C) 48
vamente, se cumple que sen Asen BsenC =1/4. =1/4.
{2} π
B) 20
D) 1/2
{4} nπ
E) 1/4 31
donde R es el circunradio del
Trigonometría 16.
Del gráfico, calcule el valor de x en términos
A) 1/2
de q
D) 2/3
B) 3/2
C) 3 E) 1/3
3
Resolución de triángulos oblicuángulos II
2 4 x
30º
19.
θ
1
Si sen θ = , calcule el valor de x. 8
A) B) C) D) E)
4 7 4 7 3 7 3 7 7 4
csc θ
3 sen θ
2 90º+θ
csc θ
x
sen θ
A) 5/2
C) 2
D) 2/5
E) 4
csc θ 20.
17.
B) 1/2
Si AB=2( BC ), ), calcule
sen ( θ − x )
x
Del gráfico, calcule x+ y
.
sen
θ – x – x
2
x
y 3
x
60º 8
B θ
A) 14
θ
A
D) 12
C
A) 1/2
B) 1
D) 4
C) 1/4
B) 18
21.
E) 10
En un triángulo ABC de de lados a, b y c respecti vamente, se cumple que
E) 2
(a+ b)2 – c2=3ab. 18.
Según el gráfico, calcule
sen θ sen (θ + 2α )
calcule mC . A) 30º
2 θ
B) 120º 3
α α
.
C) 15
C) 60º D) 150º E) 15º 32
Trigonometría 22.
Calcule el perímetro de la región sombreada
Miscelánea de problemas 25.
60º
De la figura, calcule tanq, siendo G baricentro del triángulo ABC .
2 x
x
B
G
1
A) 7
B) 10
D) 13 23.
30º
θ
C) 6
A
C
E) 3 5
A)
Si cos θ = , calcule el valor de n. 7
3
B)
5
1
C) 2
2
D) 3 n
n – 1
26.
E) 4
Reduzca la siguiente expresión 4
2
(
2
θ n+1
A) senq
B) – cosq
D) cosq A) 2
B) 5
)
2
cos θ − cos θ + 1 + cos θ se sen θ , q
C) – senq E) – cscq
C) 3
D) 6
E) 4
27.
3
Si tan θ = , calcule n. 4
24.
Calcule el área del triángulo ABC. θ
B
A
A)
D)
39 2
3
5
2
C
6
B)
39
C)
4
38
E)
4
33
38 2 41 4
2
A)
D)
13 3 7 3
∈ III C
n
B)
7 2
C)
E)
13 2
11 2
Trigonometría 28.
Simplifique la expresión
30.
sen( x+30º) – cos x – cos(120º – x) A) – 2
B) – 1
D) 2 29.
x+ 3 en térmiDel gráfico mostrado, halle cot x
nos de m y n.
C) 1 E) 0
m
Simplifique la siguiente expresión.
n
x+30º
x
sen 40º + se s en 20º 1 + cos 40º + co c os 20º
A)
2 m
B)
n
A) cot20º D) cot10º
B) tan10º
C) tan20º E) tan40º
D)
m
C)
n
n
m
E)
m
CLAVES
34
2 n m
2 n