TRIGONOMETRÍA TEMA 4
GEOMETRÍA ANALÍTICA ECUACIÓN DE LA RECTA I SNII2T4
DESARROLLO DEL TEMA I. CONCEPTO
III. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Sistema formado por dos rectas numéricas que se inter-
Sean las coordenadas de dos puntos cualesquiera P1 (x1; y1) y P2 (x2; y2) del plano cartesiano la distancia "d" comprendida entre ellos se determinan por:
sectan en un punto de coordenadas (o;o), llamado origen de coordenadas y forman un ángulo recto.
Al plano que lo determina se le llama "Plano Cartesiano" en honor a René Descartes y está dividido en 4 regiones
y
llamadas cuadrantes (C).
d d = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2
y
P1(x1; y1)
––– ––
+ Primer cuadrante + Segundo cuadrante + + +++ + x x' – – – – –O Cuarto cuadrante Tercer cuandrante
A(x1; y1)
y'
mk
P=
P
x 'x : Eje de los abscisas
y 'y : Eje de las ordenadas
O: Origen de coordenadas
nk
A cada punto del plano cartesiano le corresponde un par ordenado (x ; y) llamados "Coordenadas cartesianas". Abcisa
y
V. COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
Ordenado
Si M(x0;y0) es el punto medio del segmento que tiene por extremos: P1 (x1; y1) y P2 (x2 ; y2). Entonces las coordenadas del punto M se determina así:
ve c
to
r
y
io
M(x0; y0)
ra d O
nA + mB n+m
B(x2; y2)
II. UBICACIÓN DE UN PUNTO
x
IV. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN INDICADA
Donde:
P2(x2; y2)
x
x
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P1(x1; y1)
11
P2(x2; y2)
x0 =
x1 + x2 2
y0 =
y1 + y2 2
TRIGONOMETRÍA
TEMA 4
GEOMETRÍA ANALÍTICA - ECUACIÓN DE LA RECTA I
VI. COORDENADAS DEL BARICENTRO DE UN TRIÁNGULO
Sean P1 (x1; y1) , P2 (x2 ; y2) y P3 (x3; y3) los vértices de un triángulo. El punto G (x0; y0) es el baricentro de dicho triángulo.
LA RECTA I. ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y PENDIENTE
Dada un recta L al ángulo (tomado en sentido antihorario) formado por la dirección positiva del eje de abscisas y la recta se denomina ángulo de inclinación y
P3(x3, y3) G(x0, y0)
P1(x1, y1)
P2(x2, y2)
x0 =
x1 + x2 + x2 3
y0 =
y1 + y2 + y2 3
a la tangente de dicho ángulo se le llama pendiente (m).
El ángulo de inclinación a:0° ≤ a < 180°. Y L
VII. PROPIEDAD DEL PARALELOGRAMO B(x2; y2)
C(x3; y3)
La pendiente: m = Tana
La pendiente también se puede determinar conociendo
Sabemos que m = Tana, de la figura se deduce:
y1 + y3 = y2 + y4
x1 + x3 = x2 + x4
y2 – y1 M= x – x 2 1
VIII. ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR
x
dos puntos por donde pasa la recta.
D(x4; y4)
A(x1; y1)
a O
Sean P1(x1; y1) P2 (x2; y2) y P3 (x3; y3) los vértices de un
Y
triángulo. Entonces el área S de una región triangular en función de las coordenadas de los vértices esta dado por:
B
y2
1442443
y
y
P1(x1; y1)
y1
S
a x P3(x3; y3)
A
a 14444244443 x2 – x1 x1 x2
L y2 – y1
X
II. ECUACIÓN DE LA RECTA A. Conociendo un punto de la recta y su pendiente
P2(x2; y2)
Y
x 2 y1 x 1 x 3 y2 x 2 x x 1 y3 x 3 1 M
y1 x y 1 2 y2 x y 3 3 y3 x y1 3 y1 M
L (x1; y1)
(+) a O
X
Luego: S=
TEMA 4
y – y1 = m(x – x1)
1 |M – N| 2
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(Ecuación pun – pendiente)
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GEOMETRÍA ANALÍTICA - ECUACIÓN DE LA RECTA I
B. Conociendo los interceptos con los ejes coordenadas Y
De esta, se deduce que la pendiente: m =–
A ;B≠0 B
L
D. Rectas paralelas y perpendiculares
b a
X
O
Dada dos rectas no verticales L1 y L2 son paralelas si y sólo si tiene igual pendiente. Y
L1 L2
x y a + b =1 O
(Ecuación simétrica)
C. Ecuación general de la recta
Ax + By + C = 0 A, B, C ∈ R
m1 = m2
La ecuación general de una recta se representa así:
Dadas dos rectas no verticales L1 y L2 son perpendiculares si y sólo sí el producto de sus pendientes es –1.
PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 Determine as coordenadas del punto P. 2n
B(7; 4)
Problema 2 Calcular la pendiente de la recta L. Si BC = 2AB. C y
P(x, y)
n
B
D
A(1; 1) B) (2, 1) C) (5; 2) E) (2; 3)
Resolución: 2n n
B(7, 4)
37° A(3; 0) A) 2/11 D) 2/7 Resolución:
2(1; 1) + 1(7; 4) = 3P 14243 14243 (2; 2) + (7; 4) = 3P 14243 14243 (9; 6) = 3P (3; 2) = P
Respuesta: (3;2)
4 O
5
Problema 3 Determine el área de una región triangular limitada por los ejes cartesianos y la recta. L = 2x – 3y – 60 = 0 A) 100m2 B) 200 m2 C) 300m2 2 D) 400m E) 500m2 Resolución: 2x – 3y – 60 = 0 →Tabulando: Para x = 0 Graficando: y
10
37° 3 A(3; 0)
33
30
L1 D(11; 6) 8
6
20
S
(30, 0)
x
1 S = (30)(20) 2
x
(0, –20) S = 300m2
De la figura: OB = 4; OA = 3M; AB = 5 Desde el punto trazamos un perpendicular al eje "x". La recta 1 pasa por los puntos B y D. Cálculo de pendiente.
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6–4 2 = 11 – 0 11
Respuesta: 2/11
10 B (0; 4)
De la figura: 2A + 1 . B = (2 + 1)P
C) 11/2
C
y
P(x, y)
A(1, 1)
1
x
B) 3/4 E) 7/5
53 °
A) (3; 2) D) (–3; 2)
L
m=
2(0) – 3y – 60 = 0 y = –20 ⇒ (0; –20) Para y = 0 2x – 3(0) – 60 = 0 x = 30 ⇒ (30; 0)
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TEMA 4
GEOMETRÍA ANALÍTICA - ECUACIÓN DE LA RECTA I
PROBLEMAS DE CLASE EJERCITACIÓN 1. Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (–2; 2) y sea paralela a la recta L: x – y – 3 = 0 A) y = x + 4 B) y = –x + 4 C) y = 2x + 1 D) y = 2x – 1 E) y = –x + 1 2. Si los puntos A(2; 3); B(4; 6); C(6; 1) forman un triángulo ABC. Determine la ecuación de la recta que contiene a la altura relativa al lado AC. A) y = 3x + 1 B) y = 2x – 2 C) y = y – 4 D) y = 2x + 1 E) y = 2x – 3 3. Del gráfico mostrado, determine las coordenadas del punto P. B
S
2S
C(7; 4)
A(1; 1) A) (2, 3) C) (4, 2) E) (4; 3)
B) (2, 5/2) D) (3; 2)
4. Los puntos M(1/3; 4) y P(8/3; 5) son los puntos de trisección del segmentos AB. Calcule la longitud del segmento AB.
TEMA 4
A) 6
B) 7
C) 8
D) 57
SISTEMATIZACIÓN
E) 58 5. Calcule la distancia entre los puntos P(a + 1; b + 4), Q (a + 5, b + 1). A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
PROFUNDIZACIÓN 6. Determine el ángulo de inclinación de la recta L: x + y + 8 = 0. A) 30° B) 75° C) 105° D) 120° E) 135° 7. Determine el punto en el eje de ordenadas que equidistan de los puntos (3; 1) y (6; 4). A) (0; 3) B) (0; 4) C) (0; 5) D) (0; 6) E) (0; 7) 8. Calcular las coordenadas del punto medio del segmentos AB, si: A(a + 3; b + 4) A) (2; 3) B) (3; 2) C) (5; 3) D) (5; 5) E) (5; 4) 9. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (–1; 2) y que tiene como pendiente 2/3. A) 2x + 3y + 8 = 0 B) 2x + 3y – 8 = 0 C) 2x – 3y + 8 = 0 D) 2x – 3y – 8 = 0 E) 2x – 3y – 4 = 0
TRIGONOMETRÍA
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10. Determine la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y por el punto de intersección de las rectas: L1: 32x – 27y + 2 = 0 y L2: 23x + 15y – 8 = 0 A) 161x – 93y = 0 B) 151x + 91y = 0 C) 163x + 91y = 0 D) 127x – 91y = 0 E) 151x – 93y = 0 11.
Las rectas: L1: x – y + 2 = 0; L2: x + 2y – 7 = 0 y los tres puntos de intersección forman un triángulo. Calcule la tangente del menor ángulo interior. A) 1/4 B) 1/2 C) 3/4 D) 1 E) 4/3
12. Si los vértices de una región triangular son A(–3; –6), B(6; 9) y C(3; 12), determine la ecuación de la recta paralela a AB y que pasa por el baricentro de la región triangular mencionada. A) 5x + 3y + 5 = 0 B) 5x – 3y – 5 = 0 C) 5x – 3y + 5 = 0 D) 5x + 3y – 5 = 0 E) 5x + 3y + 15 = 0
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