TUGAS ANALISIS REAL II
NAMA
: PUTRI WULANDARI NINGSIH NINGSIH
NIM
: 10-550-0254
KELAS
: MATEMATIKA 2011 C/ RECOS
BAB II BARISAN A.
BARISAN DAN LIMIT BARISAN Defini si 2.1 2.1 barisan bilangan real adalah fungsi yang didefinisikan pada
himpunan bilangan asli N dengan daerah hasilnya termuat dalam himpunan bilangan real
.
Contoh 2.1 Barisan Limit Tak Hingga
dapat atau . Barisan X =
juga ditulis dalam bentuk
Contoh 2.4 Barisan Limit Tak Hingga
maka barisan dapat ditulis sebagai barisan . Jika , maka diperoleh barisan untuk semua Defini si 2.2 2.2 Jika adalah barisan-barisan bilangan real, maka Jika
1. Limit Barisan
barisan bilangan real. Bilangan real disebut limit X jika untuk setiap , terdapat suatu bilangan asli , sedemikian hingga untuk setiap bilangan asli , maka suku-suku memenuhi | | . Jika adalah limit barisan X, maka dikatakan bahwa konvergen ke . Jika suatu barisan mempunyai limit, maka dikatakan Defi ni si 2.3 misalkan
barisan tersebut konvergen, dan jika suatu barisan tidak mempunyai limit, maka dikatakan barisan tersebut divergen. Teorema 2.1 (Ketunggalan limit). Suatu barisan bilangan real memiliki
paling banyak satu limit. Dengan kata lain, jika suatu barisan bilangan
mempunyai limit maka limitnya tungggal. Bukti: Misalkan adalah limit . Untuk setiap , terdapat sedemikian hingga | | , untuk setiap dan terdapat sedemikian hingga | | , untuk setiap . real
Misalkan:
*+
diperoleh | | | | | | | |
Dengan menggunakan ketaksamaan segitiga, untuk
adalah sebarang bilangan positif, maka dapat disimpulkan . Jadi limit tunggal. Teorema 2.2 Misalkan barisan bilangan real dan Karena
pernyataan berikut ekuivalen.
Untuk setiap lingkungan , terdapat bilangan asli sedemikian sehingga untuk setiap berlaku
a. X konvergen ke b.
, terdapat bilangan asli sedemikian sehingga untuk setiap berlaku d. Untuk setiap terdapat bilangan asli sedemikian sehinggga bentuk setiap berlaku | | Contoh 2.9 c. Untuk setiap
sebarang, untuk mendapatkan K, pertama yang harus kita lakukan adalah untuk maka Pilih K sedemikian hingga Untuk menyebabkan dan selanjutnya . Diberikan
Jadi dapat ditunjukkan bahwa limit barisan adalah nol. 2. Ekor Barisan Defi ni si 2.4 Misalkan X =
suatu barisan bilangan
maka ekor-m barisan X adalah | Contoh 2.11 Misalkan | barisan bilangan real dan . Maka ekor-m barisan X adalah | real dan
Ambil m = 3. Diperoleh
Teorema 2.3 Misalkan barisan bilangan real dan . Ekor-m dari X atau | dari |
konvergen jika dan hanya jika
.
konvergen. Dalam hal ini
dua barisan bilangan real, dan Jika untuk suatu C > 0 dan suatu berlaku | | ||d=sedemikian hingga Dan jika . Bukti : Misalkan diberikan sebarang. Karena maka ada sedemikian hingga untuk | | Teorema 2.4 Misalkan
Selanjutnya, jika
dan , maka | |
B.
TEOREMA-TEOREMA LIMIT
dikatakan terbatas jika terdapat bilangan real M > 0 sedemikian hingga | | untuk semua Artinya barisan terbatas jika dan hanya jika himpunan * + barisan bilangan real Defini si 2.15
terbatas di R. Contoh 2.15
| dan | masing-masing
adalah barisan terbatas.
| adalah barisan tak terbatas. Teorema 2.6 (a) Misalkan barisan bilangan real masing-masing konvergen ke x dan y, dan . . . Misalkan konvergen ke x dan barisan bilangan real angka nol konvergen ke z, dan jika maka Teor ema 2.7 Jika barisan bilangan real konvergen dan untuk semua maka ada Bukti : Andaikan maka Karena X konvergen ke x, maka ada sedemikian hingga untuk | | atau Pandang Jadi untuk Ini kontradiksi dengan . Jadi haruslah Teor ema 2.8 Jika dan barisan-barisan bilangan real yang konvergen dan untuk semua , maka Teor ema 2.9 Jika barisan konvergen dan untuk semua Contoh 2.16
barisan konvergen kex dan misalkan barisan konstan sedemikian sehingga barisan konstan sedemikian sehingga Bagi (i) dan (ii) diperoleh Bukti : Misalkan
Berdasarkan teorema 3.2.5; Dari (i) diperoleh
Dari (ii) diperoleh
Jadi Teor ema 2.10 Misalkan barisan-barisan bilangan real sedemikian sehingga
untuk semua Dan . Teor ema 2.11 Jika barisan konvergen ke maka | | konvergen ke | | Bukti : Menurut ketaksamaan segitiga, untuk || || | | Karena | | || || Teor ema 2.12 Jika barisan yang konvergen ke ( ) √ . Teor ema 2.13 Misalkan barisan bilangan real positif sedemikian sehingga Jika maka konvergen dan 1. Bukti : Berdasarkan teorema 3.2.4 . Misalkan r suatu bilangan yang bersifat L < r < 1 dan misalkan Jika bilangan sedemikian hingga untuk maka
Untuk
, maka
Selanjutnya jika maka diperoleh Misalkan , maka dapat kita lihat bahwa untuk Kerena 0 < r < 1, maka . Dan selanjutnya diperoleh 1. Barisan Monoton Teorema 2.14 Konver gensi M onoton
Barisan bilangan real monoton akan konvergen jika dan hanya jika barisan tersebut terbatas. Lebih lanjut:
barisan monoton naik dan terbatas, maka Jika barisan monoton turun dan terbatas, maka
a. Jika
b.
2. Subbarisan dan Teorema Bolzano-Weierstras Defi ni si 2.7 Misalkan
barisan bilangan real dan
barisan naik sejati bilangan-bilanagan asli. Barisan di R disebut subbarisan dari X. Teorema 2.15 jika barisan bilangan real konvergen ke bilangan real x maka setiap subbarisan jika konvergen ke x. Teorema 2.16 Misalkan barisan bilangan real. Maka pernyataan berikut ekuivalen. i) ii)
. Terdapat sedemikian sehingga untuk setiap ada sedemikian sehingga dan | | Barisan
dan sub barisan dari X sedemikian sehingga | | Teorema 2.17 Kriteria Divergensi. Jika barisan bilangan riil iii) Terdapat
memiliki salah satu sifat berikut ini maka X divergen. (i)
Jika X mempunyai dan subbarisan konvergen
yang limitnya tidak sama. (ii) Jika X tidak terbatas. Teorema 2.19 Barisan bilangan real yang terbatas mempunyai
subbarisan yang konvergen. Teorema 2.20 Misalkan
barisan bilangan real terbatas dan
mempunyai sifat bahwa setiap subbarisan konvergen dari X konvergen ke x. Maka X konvergen ke x. 3. Kriteria Cauchy
disebut barisan Cauchy jika untuk setiap ada bilangan asli sedemikian sehingga untuk setiap bilangan asli | | L emma 2.1 Jika barisan bilangan real konvergen maka X Defi ni si 2.8 barisan bilangan real
adalah barisan Cauchy.
konvergen maka ada. Jika , maka setiap diberikan selalu ada bilangan asli sedemikian hingga jika maka | | . Jika dan , maka | | | | | | | | | | | | Karena sebarang maka adalah barisan Cauchy. Bukti : Karena
L emma 2.2 Suatu barisan Cauchy adalah barisan terbatas. Teorema 2.21 (Kriteria Konvergensi Cauchy). Barisan bilangan real
konvergen jika dan hanya jika barisan tersebut adalah barisan Cauchy. Bukti : dengan menggunakan Lemma 3.5.2 dapat ditunjukkan bahwa
jika barisan bilangan real konvergen maka barisan tersebut adalah barisan Cauchy. Sebaliknya, misalkan
barisan Cauchy akan ditunjukkan bahwa
X konvergen ke suatu bilangan riil.
cauchy maka terbatas. Oleh karena itu pada subbarisan dari yang konvergen. Misalkan Karena barisan Cauchy, setiap diberikan selalu ada bilangan asli sedemikian hingga jika maka | | Karena subbarisan konvergen ke x, maka ada bilangan asli K yang termuat dalam himpunan * + sedemikian sehingga | | Karena , dan berdasarkan (1) untuk m = K diperoleh | | Selanjutnya karena , maka | | | | | | | | Karena . Jadi barisan X Misalkan
konvergen. 4. Barisan Konvergen Sejati Defi ni si 2.10 Misalkan
barisan bilangan real.
menuju ke dan ditulis Jika untuk setiap terdapat bilangan asli , maka (ii) Kita katakana bahwa menuju ke dan ditulis . Jika untuk setiap terdapat bilangan asli sedemikian sehingga jika , maka Barisan dinamakan barisan divergen sejati jika atau . Teorema 2.24 misalkan adalah dua barisan bilangan real dan . a) Jika b) Jika (i)
Kita katakana bahwa
Bukti :
dan jika diberikan , maka ada bilangan asli sedemikian sehingga jika berlaku Karena maka . Karena
a) Jika
b) Bukti serupa.
