TUGAS
METODE NUMERIK
Oleh TRI MARGAWATI 2011 020 108
JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER (STMIK)HANDAYANI MAKASSAR 2013
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan atas kehadirat Allah SWT, karena karunia dan rahmat-Nya maka penulis dapat menyelesaikan tugas Metode Numerik. Penulisan makalah ini adalah merupakan salah satu tugas dan persyaratan untuk menyelesaikan tugas mata kuliah Metode Numerik di STMIK HANDAYANI. Dalam Penulisan makalah ini penulis merasa masih banyak kekurangan-kekurangan baik pada teknis penulisan maupun maupun materi, seperti pepatah mengatakan: “Tak ada gading yang tak retak”. Untuk itu kritik dan saran dari semua pihak sangat penulis harapkan demi penyempurnaan makalah ini. Semoga makalah ini dapat bermanfaat untuk pengembangan wawasan dan peningkatan ilmu pengetahuan bagi kita semua.
Makassar, Juni 2013
Penulis
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ...................................................................................................
i
DAFTAR ISI .............................................................................................................
ii
BAB I PENDAHULUAN...............................................................................................
1
1.1.
Latar Belakang .............................................................................................
1
BAB II PEMBAHASAN................................................................................................
2
2.1
Metode Newton Raphson ............................................................................
2
2.2
Metode Iterasi .............................................................................................
8
2.3
Penyelesaian Sistem Persamaan linier dengan metode numerik .......................
14
BAB III KESIMPULAN................................................................................................
19
BAB IV DAFTAR PUSTAKA .........................................................................................
20
BAB I PENDAHULUAN
1. Latar Belakang Metode terbuka adalah lawan dari metode tertutup, dimana pada metode tertutup diperlukan selang [a,b] dalam menentukan nilai hampiran akarnya. Dalam metode terbuka tidak diperlukan selang, tetapi yang diperlukan adalah nilai awalnya. Sehingga, hampiran akar diperoleh dari nilai hampiran akar yang ditentukan sebelumnya melalui iterasi yang dilakukan. Terkadang hasil dari iterasi dapat mencapai nilai yang konvergen, tetapi kadang-kadang menghasilkan nilai yang divergen. Tetapi apabila iterasinya konvergen, konvergensinya akan lebih berlangsung lebih cepat dibandingkan metode tertutup. Metode-metode yang termasuk ke dalam
metode
terbuka
diantaranya adalah metode Newton-Raphson, metode secant , dan metode iterasi titik tetap. Disebut metode tebuka karena akarnya tidak selalu konvergen. Tida k seperti pada metode tertutup, metode terbuka tidak memerlukan selang yang mengurung akar. Yang diperlukan hanya sebuah tebakan awal akar atau dua buah tebakan yang tidak perlu mengurung akar. Inilah alasannya mengapa metode ini dinamakan metode terbuka.Hampiran akar sekarang didasarkan pada hampiran akar sebelumnya melalui prosedur lelaran. Kadangkala lelaran konvergen ke akar sejati, kadangkala divergen. Namun, apabila lelarannya konvergen, konvergensinya itu berlangsung sangat cepat dibandingkan dengan metode tertutup.
BAB II PEMBAHASAN
2.1
Metode Newton Raphson Salah satu metode penyelesaian akar-akar persamaan non linier f(x), dengan
menentukan satu nilai
tebakan awal dari akar yaitu xiMetode Newton Raphson
merupakan salah satu metode terbuka untuk menentukan solusi akar dari persamaan non linier, diantara semua metode pencarian akar, metode Newton Raphson yang paling terkenal dan paling banyak dipakai dalam terapan sains dan rekayasa. Metode ini paling disukai karena konvergensinya paling cepat diantara metode lainnya, dengan prinsip utama sebagai berikut : 1) Metode ini melakukan pendekatan erhadap kurva f(x)dengan garis singgung (gradien) pada suatu titik nilai awal. 2) Nilai taksiran selanjutnya adalah titik potong antar a garis singgung (gradien) kurva dengan sumbu X. Metode ini paling banyak digunakan dalam mencari akar-akar persamaan, jika perkiraan awal dari akar adalah x i, maka suatu garis singgung dapat dibuat dari titik (x i, f (x i)). Titik dari garis singgung tersebut memotong sumbu-x , biasanya memberikan perkiraan yang lebih dekat dari nilai akar. Metode Newton-Raphson juga digunakan untuk menyelesaikan persamaan non linear f(x). Rumus penyelesaian
Sedangkan persamaan non linear dapat diselesaikan jika memenuhi syarat sebagaimana berikut :
dimana x1 adalah titik awal yang ditentukan sebelum melakukan iterasi
Pada Gambar, nampak bahwa turunan pertama pada x i adalah ekivalen dengan kemiringan, yaitu:
Gambar Prosedur Newton Raphson secara Grafis
Kelemahan
Jika fungsi f(x) mempunyai beberapa titik penyelesaian, maka akar-akar penyelesaian tersebut tidak dapat dicari secara bersamaan.
Tidak dapat mencari akar imajiner(kompleks).
Tidak dapat mencari akar persamaan yang tidak memenuhi syarat persamaan 2.4, meskipun sebenarnya persamaan memiliki akar persamaan.
Untuk persamaan yang sangat kompleks, pencarian turunan pertama dan kedua sangatlah sulit.
Algoritma Metode Newton-Raphson :
Mencari turunan pertama dan kedua dari persamaan yang ada.
Menentukan nilai x1sebagai nilai perkiraan awal dan kemudian mengecek apakah memenuhi persyaratan persamaan 2.4.
Jika memenuhi, maka iterasi dilakukan untuk mencari nilai xn.
Begitu seterusnya hingga antara xn-1-xn= 0 atau <= nilai e (error ). Nilai error ini dapat ditentukan sendiri.
Misal diketahui suatu fungsi f yang terdere nsialkan pada suatu selang yang memuat akar. Ambil sebarang nilai awal x 0 . Karena f terderensial di x0,maka f mempunyai garis singgung di x0. Asumsikan bahwa gradiennya tidak sama dengan 0. Akibatnya garis singgung tersebut akan memotong sumbu x, sebut di x1. Dengan cara yang sama, f di x1 juga mempunyai garis singgung yang ti dak
nol, sehingga garis singgung tersebut akan memotong sumbu x di x2. Proses berlanjut sehingga titik potong-titik potong tersebut akan konvergen keakar f.
Contoh Soal : Carilah persamaan non linear dibawah ini dengan Metode Newton Raphson:
Langkah pertama, mencari turunan persamaan tersebut.
Langkah kedua, menentukan nilai x1, misalnya x1= 1.
Jadi Karena syarat dipenuhi maka proses iterasi dapat dilanjutkan. Langkah ketiga, melakukan iterasi persamaan 2.3 untuk mencari x, n jika e (error) = Ex10-7.
Langkah keempat, karena selisih x lebih besar dari e dan bukan 0 maka
dan seterusnya hingga selisihnya sama dengan nol atau lebih kecil dari e. Contoh Soal 2 : Selesaikan persamaan x - e-x = 0 dengan titik pendekatan awal x0 =0
f(x) = x - e-x f’(x)=1+e-x
f(x0) = 0 - e-0 = -1
f’(x0) = 1 + e-0 = 2
x1 x0
f x0 f 1 x0
x1
1
2
0,5
f x1 f 1 x1
0,5
0,106531 0,566311 1,60653
f(x2) = -0,00130451 dan f1(x2) = 1,56762
x3 =
x2
0
f(x1) = -0,106631 dan f1(x1) = 1,60653
x2 =
f x2 f x2 1
0,566311
0,00130451 1,56762
0,567143
f(x3) = -1,96.10-7. Suatu bilangan yang sangat kecil.
Sehingga akar persamaan x = 0,567143.
x - e-x = 0 x0 =0, e = 0.00001
x + e-x cos x -2 = 0 x0=1
f(x) = x + e-x cos x - 2
f’(x) = 1 – e-x cos x – e-x sin x
Permasalahan pada pemakaian metode newton raphson
Metode ini tidak dapat digunakan ketika titik pendekatannya berada pada titik ekstrim atau titik puncak, karena pada titik ini nilai F1(x) = 0 sehingga nilai penyebut dari
sama dengan nol, secara grafis dapat dilihat sebagai
berikut:
Bila titik pendekatan berada pada titik puncak, maka titik selanjutnya akan berada di tak berhingga.
Metode ini menjadi sulit atau lama mendapatkan penyelesaian ketika titik pendekatannya berada di antara dua titik stasioner.
Bila
titik
pendekatan
berada
pada
dua
tiitik
puncak
akan
dapat
mengakibatkan hilangnya penyelesaian (divergensi ). Hal ini disebabkan titik selanjutnya berada pada salah satu titik puncak atau arah pendekatannya berbeda.
Penyelesaian Permasalahan pada pemakaian metode newton raphson :
Bila titik pendekatan berada pada titik puncak maka titik pendekatan tersebut harus di geser sedikit, xi = xi
dimana
ditentukan dengan demikian F 1 xi 0
adalah
konstanta yang
dan metode newton raphson tetap
dapat berjalan.
Untuk menghindari titik-titik pendekatan yang berada jauh, sebaiknya pemakaian metode newton raphson ini didahului oleh metode tabel, sehingga dapat di jamin konvergensi dari metode newton raphson.
2.2
Metode Iterasi Metode Iterasi Titik Tetap Metode ini merupakan metode iterasi yang cukup sederhana. Langkah-langkah dalam metode ini adalah sebagai berikut. Misal suatu persamaan fungsi f(x), maka akan dicari nilai hampiran akar dari f(x) dengan membuat f(x) = 0. Prosedur metode Iterasi Titik Tetap adalah sebagai berikut : 1. Ubahlah persamaan f(x) = 0 menjadi bentuk x=g(x). Lalu bentuklah menjadi bentuk prosedur iterasi sebagai berikut :
2. Tentukanlah nilai hampiran akar (nilai awal x 0). 3. Dari nilai awal x 0 , hitunglah nilai x1,x2,x3,…yang mudah-mudahan konvergen ke akar sejati s sedemikian hingga f(s ) = 0 dan s=g(s ). 4. Proses Iterasi akan berhenti apabila memenuhi kondisi dibawah ini.
atau apabila menggunakan galat relatif hampiran
Dengan nilai
dan
sudah ditentukan sebelumnya.
Contoh soal : Carilah nilai hampiran dari fungsi
dengan metode iterasi titik
tetap, dengan nilai Penyelesaian : Terdapat beberapa kemungkinan iterasi yang dapat dilakukan, karena kita dapat mengubah fungsi f (x ) kedalam tiga bentuk berikut :
Dari tiga kemungkinan tersebut dapat diperoleh iterasi yang berbeda-beda.
Metode iterasi sederhana adalah metode yang memisahkan x dengan sebagian x yang lain sehingga diperoleh : x = g(x). Contoh :
x – ex = 0 ubah x = ex atau g(x) = ex g(x) inilah yang menjadi dasar iterasi pada metode iterasi sederhana ini
Metode Iterasi Sederhana
Contoh Soal : 1. Carilah akar pers f(x) = x2-2x-3 x2-2x-3 = 0 X2 = 2x + 3
x 2 x 3
Tebakan awal = 4 E = 0.00001
xn
1
2 xn 3
Hasil = 3
Contoh Soal : 2. x2-2x-3 = 0 X = (x2-3)/2
Tebakan awal = 4
E = 0.00001
Hasil divergen
Syarat Konvergensi : Pada range I = [s-h, s+h] dengan s titik tetap
Jika 0
Jika -1
Jika g’(x)>1 untuk setiap x Є I, maka iterasi divergen monoton.
Jika g’(x)<-1 untuk setiap x Є I, maka iterasi divergen berosilasi.
xr 1
2 xr 3
g ( x) 2 xr 3 g ' ( x)
1 2 2 xr 3
Tebakan awal 4
G’(4) = 0.1508 < 1
Konvergen Monoton
xr 1
g ( x )
3 ( xr 2)
g ' ( x )
3 ( x 2)
3
( x 2) 2
Tebakan awal 4
G’(4) = |-0.75| < 1
Konvergen Berisolasi
g ( x)
( x 2 3)
g ' ( x) x
2
2.3
Tebakan awal 4
G’(4) = 4 > 1
Divergen Monoton
Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Dengan Metode Numerik
1. Pendahuluan Informasi dalam bidang sains dan matematika seringkali ditampilkan dalam bentuk baris-baris dan kolom-kolom yang membentuk jajar empat persegi panjang yang disebut matriks Matriks seringkali merupakan tabel-tabel data numerik yang diperoleh melalui pengamatan fisik, tetapi dapat juga muncul dalam berbagai macam konteks matematis. Charless (1993: 49) mendefinisikan matriks adalah suatu bilangan yang berbentuk persegi panjang. Cara yang biasa digunakan untuk menuliskan sebuah matriks dengan m baris dan n kolom, dan salah satu cara apli kasi penggunaaan matriks untuk mempersingkat sistem persamaan linear cara seperti ini disebut matriks diperbesar (Rorres, 2004: 25). Aplikasi matriks yang disusun dalam bentuk matriks diperbesar banyak mengilhami penyelesaian sistem persamaan linear, penyelesaian tersebut meliputi aturan Crammer, Eliminasi Gauss, Invers Matriks, dalam penggunaan metode-metode tersebut digunakan berbagai sifat-sifat operasi matriks.
2.Pengertian Metode Numerik Metode Numerik adalah teknik-teknik yang digunakan untuk memformulasikan masalah matematis agar dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan
Tujuan Metode Numerik Sebelum komputer digunakan untuk penyelesaian komputasi, dilakukan dengan berbagai metode yang memiliki kendala-kendala. Metode yang digunakan antara lain : •
Metode Analitik ,
Solusi ini sangat berguna namun terbatas pada masalah sederhana.
Sedangkan Masalah real yang komplek dan non linier tidak dapat diselesaikan. • Metode Grafik , metode ini digunakan Sebagai pendekatan kompleks. Kendalanya bahwa metode ini Tidak
penyelesaian yang
akurat, sangat lama, dan banyak
membutuhkan waktu. • Kalkulator dan Slide Rules, Penyelesaian numerik secara manual. Cara ini cukup lama dan mungkin bisa terjadi kesalahan pemasukan data. Penggunaan metode numerik diharapkan dapat mengatasi berbagai
kelemahan-kelemahan metode yang ada
sebelumnya. Dapat dipahami pula bawa pada umumnya permasalahan dalam sains dan teknologi digambarkan dalam persamaan matematika. Persamaan ini sulit diselesaikan dengan model analitik sehingga diperlukan penyelesaian pendekatan numerik. Dengan metode numerik, manusia terbebas dari hitung menghitung manual yang membosankan . Sehinggga waktu dapat lebih banyak digunakan untuk tujuan yang lebih kreatif, seperti penekanan pada formulasi problem atau interpretasi solusi dan tidak terjebak dalam rutinitas hitung menghitung. Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan/aritmetika biasa (tambah, kurang, kali, dan bagi). Metode artinya cara, sedangkan numerik artinya angka. Jadi metode numerik secara harafiah berarti cara berhitung dengan menggunakan angka-angka. Perbedaan utama antara metode numerik dengan metode analitik terletak pada dua hal. Pertama, solusi dengan menggunakan metode numerik selalu berbentuk angka. Bandingkan dengan metode analitik yang biasanya menghasilkan solusi dalam bentuk fungsi matematik yang selanjutnya fungsi mateamtik tersebut dapat dievaluasi untuk menghasilkan nilai dalam bentuk angka. Kedua,
dengan
metode
numerik,
kita
hanya
memperoleh
solusi
yang
menghampiri atau mendekati solusi sejati sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi hampiran (approxomation) atau solusi pendekatan, namun solusi hampiran dapat dibuat seteliti yang kita inginkan. Solusi hampiran jelas tidak tepat sama dengan solusi sejati, sehingga ada selisih antara keduanya. Selisih inilah yang disebut dengan galat (error).
1. Sistem Persamaan Linear
Suatu sistem sebarang dari m persamaan linear dengan n faktor yang tidak diketahui dapat dituliskan sebagai:
dimana x1, x2, ... xn adalah faktor yang tidak diketahui, dan a dan b dengan subskrip merupakan konstanta. Sebagai contoh, suatu sistem umum yang terdiri dari tiga persamaan linear dengan empat faktor yang tidak diketahui dapat ditulis sebagai:
Penulisan dua subkrip pada koefisien yang tidak diketahui merupakan yang berguna untuk menyatakan lokasi koefisien dalam sistem tersebut. Subkrip yang pertama pada koefisien aij menunjukkan persamaan di mana koefisien tersebut berada dan subskrip yang kedua menunjukkan faktor yang tidak diketahui yang dikalikan dengan koefisien tersebut. Sehingga a12 terletak pada persamaan pertama dan dikalikan dengan faktor yang tak diketahui x2. Matriks yang Diperbesar Jika kita dapat mengingat lokasi-lokasi dari +, x dan =, maka suatu system persamaan linear yang terdiri dari m peramaan dengan n faktor yang tidak diketahui dapat disingkat dengan hanya menuliskan deretan bilangan-bilangan dalam jajaran empat persegi panjang.
Ini disebut Matriks diperbesar (augment matrix) dari sistem tersebut, (Istilah matriks) digunakan dalam matematika untuk menyatakan jajaran empat persegi panjang dari
bilangan-bilangan. Matriks muncul dalam banyak konteks, khususnya dalam penyelesaian sistem persamaan linear. Alternatif Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Secara Numerik dengan Maple
Invers Matriks Rorres (2004: 66), Jika A adalah suatu matriks n x n yang dapat dibalik, maka untuk setiap matriks b, n x 1, sistem persamaan Ax=b memiliki tepat satu solusi, yaitu x = A-1b. A dapat dibalik (det (A) ≠ 0).
Metode Crammer Rorres (2004: 123), Jika Ax = b adalah suatu sistem dari n persamaan linear dengan n faktor yang tidak diketahui sedemikian sehingga det 0, maka sistem ini memiliki solusi yang unik, solusinya adalah
di mana Aj adalah matriks yang diperoleh dengan mengganti entri-entri pada kolom ke-j dari A dengan entri-entri pada matriks.
Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss diperkenalkan Karl Friendrich Gauss (1777 1855) dengan melakukan mengubah matriks diperbesar dari suatu sistem persamaan linear menjadi matriks eselon baris tereduksi. Rorres (2004: 13) setiap matriks memiliki bentuk eselon baris tereduksi yang unik; artinya kita akan memperoleh eselon baris tereduksi yang sama untuk matriks yang tertentu bagaimanapun variasi operasi baris yang dilakukan. (Bukti hasil ini terdapat pada artikel The Reduced Row Echelon Form of a Matrix Is Unique: A Simple Proof, oleh Thomas Yuster, Matematichs Maganize, Vol 57 No 2 1984: 93-94), Sebaliknya Bentuk eselon baris dari matriks tertentu adalah tidak unik: urutan-urutan operasi baris yang berbeda akan menghasilkan bentuk-bentuk eselon baris yang berbeda pula. Algoritma Eliminasi Gauss (Rorres, 2004: 9) adalah: mengubah matriks menjadi matriks sehingga memenuhi sifat-sifat sebagai berikut:
1. Jika satu baris tidak seluruhnya nol, maka bilangan tak nol pertama pada baris itu adalah 1. Bilangan 1 ini disebut 1 utama (leading 1). 2. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka baris-baris ini akan dikelompokkan bersama-sama pada bagian paling bawah dari matriks. 3. Jika terdapat dua baris berurutan yang tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka1 utama pada baris yang lebih rendah terdapat pada kol om yang lebih kanan dari 1 utama pada baris yang lebih tinggi. 4. Setiap kolom yang memiliki 1 utama memiliki nol pada tempat -tempat lainya.
Metode Iterasi Sistem persamaan linear yang terdiri dari n persamaan dengan n variabel x1, x2, ..., xn dinyatakan dengan
Sistem diatas dapat diekspresikan dengan bentuk perkalian matriks. Sistem persamaan linear dapat diselesaikan dengan metode langsung atau metode iterasi.Kedua metode tersebut mempunyai kelemahan dan keunggulan. Metode yang dipilih akan menentukan keakuratan penyelesaian sistem tersebut. Dalam kasustertentu, yaitu sistem yang besar, metode iterasi lebih cocok digunakan. Dalam menentukan penyelesaian sistem persamaan linear, metode iterasi menggunakan algoritma secara rekursif. Algoritma tersebut dilakukan sampai diperoleh suatu nilai yang konvergen dengan toleransi yang diberikan. Ada dua metode iterasi yang sering digunakan, yaitu metode Jacobi dan metode Gauss-Seidel. MetodeJacobi dikenalkan oleh Carl Jacobi (1804-1851) dan metode Gauss-Seidel dikenalkanoleh Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) dan Philipp Ludwig vonSeidel (1821-1896).
BAB III KESIMPULAN
3.1 Kesimpulan Berbagai cara yang digunakan untuk menentukan solusi suatu system persamaan linear maupun persamaan nonlinier kelebihan dan kekurangan tersebut dapat ditutupi satu sama lain, tinggal kita sebagai pemakai jeli dalam mengaplikasikannya, perkembangan teknologi tidak membuat kita semakin malas untuk mencoba dengan cara manual, tetapi menjadi suatu tantangan dan menjadi alat pengetes dari apa yang kita peroleh dengan metode manual, terkadang ada persoalan-persoalan yang kita dapatkan tidak bisa diselesaikan dengan teknologi yang berkembang saat ini, demikian sebaliknya.
BAB IV DAFTAR PUSTAKA
http://asimtot.files.wordpress.com/2010/06/sistem-persamaan-linear-metode-iterasi.pdf http://mohtar.staff.uns.ac.id/files/2009/05/kuliah-2.pdf http://199.91.153.62/qcu2qqst9akg/ycq2gzz2uirdgre/Metode+Numerik5.pdf http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/196909291994122DEWI_RACHMATIN/HANDSOUT_METODE_NUMERIK/untuk_dprint_HAND_OUT_metnum. pdf
