ESTADÍSTICA INDUSTRIAL Distribuciones de probabilidad La inferencia estadística consiste en extraer una manera de una población y analizar sus datos con el propósito de aprender acerca de ello. Muchas veces se tiene un conocimiento superficial de la función de masa de probabilidad o de la función de densidad de probabilidad de la población. En estos casos la función de masa o de densidad de probabilidad se aproxima mediante una de muchas familias comunes de curvas o funciones. Vamos a describir algunas de estas funciones comunes y las condiciones en que es apropiado utilizar cada una.
Distribución Bernoulli. En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Bernoulli (o distribución dicotómica), nombrada así por el matemático el matemático y científico suizo Ja suizo Jakob kob Bernoulli, Bernoulli, es una una distribución de probabilidad discreta, probabilidad discreta, que toma toma valor valor 1 para la la probabili probabilidad dad de de éxito éxito ( probabilidad de fracaso ( Si
) y valor valor 0 para la
).
es una variable aleatoria que mide "número de éxitos", y se realiza un único experimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso),
se dice que la variable aleatoria
se distribuye como una Bernoulli de parámetro
.
La fórmula será:
Su función de probabilidad viene definida por:
Ejemplos: 1) Cuando se lanza un dado hay una probabilidad de 1/6 de que salga 6; x=1 si el dado cae seis y X =0 en cualquier otro caso ¿cuál es la distribución de X?
Solución:
La probabilidad de éxito es P(X=1) o 1/6 por lo que X Bernoulli (0.167) 2) 10% de los componentes fabricados mediante determinado proceso esta defectuoso.Se selecciona un componente. Sea X=1 si el componente esta defectuoso y X=0 en cualquier otro caso ¿cuál es la distribución de x?.
Solución: La probabilidad de éxito es p= P(X=1) 0.1 por lo que X Bernoulli (0.1) 3) Cuando se aplica cierto Barniz a una superficie de cerámica 5% es la probabilidad de que se decolore; 20% de que se agriete; y el 23% de que se decolore o no se agriete o ambas . Sea X =1 si se produce una decoloración y X =0 en cualquier otro caso. Y =1 si hay alguna grieta y Y =0 en cualquier otro caso. Z=1 si hay decoloración o grieta, o ambas y Z =0 en cualquier otro caso a)
Sea P x la la probabilidad probabilidad de éxito éxito de X. determine PX.
b)
Sea Py la probabilidad probabilidad de éxito de Y. determine PY.
c)
Sea Pz la probabilidad probabilidad de éxito de Z determine determine Pz
4) Cuando se lanza al aire una moneda hay una probabilidad de 0.5 de que caiga en “cara”. Sea X=1 si la moneda cae en “cara” y X =0 X =0 si cae en “Cruz”. ¿Cuál es la distribución X?
5) Un jugador de Básquetbol esta a punto de tirar hacia la parte superior del tablero. La probabilidad de anote el tiro es de 0.55 a) sea X=1 Si anota el tiro, si no lo hace X=0 determine la media de X1.
Distribución Binomial La distribución binomial es una distribución una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p fija p de de ocurrencia del éxito entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p ocurrencia p y y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p - p.. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Y sus valores se denotarán como:
b(x; n, p) Ya que dependen del número de ensayos y de la probabilidad de éxito en un ensayo dado. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.
Características analíticas Su función de probabilidad es
Donde
las combinaciones de
Siendo
en
(
elementos tom ados de
en
)
Ejemplos: 1) Supongamos que se lanza un dado 50 veces y queremos la probabilidad de que el número 3 salga 20 veces. En este caso tenemos una X ~ B(X=20; 50, 1/6) y la probabilidad sería:
Bin(X=20; 50, 1/6) = 5.4303X10-5 2) La probabilidad de que cierta clase de componente sobreviva a una prueba de choque es de 3/4. Calcule la probabilidad de que sobrevivan exactamente 2 de los siguientes 4 componentes que se prueben. 3) Sea X~Bin(X;8,P) Determine: X
P
0
0.01679616
1
0.08957952
2
0.20901888
3
0.27869184
4
0.23224320
5
0.12386304
6
0.04128768
7
0.00786432
8
0.00065536
X~Bin
4) Si se toma una muestra de cinco elementos de una población grande en la cual 10% de los elementos esta defectuoso. X
P
0
0.59049
1
0.32805
2
0.07290
3
0.00810
4
0.00045
5
0.00001
X~Bin
5) La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad sanguínea es de 0.4. Si se sabe que 15 personas contrajeron la enfermedad, ¿cuál es la probabilidad de que: a) Sobrevivan al menos 10, b) sobrevivan de 3 a 8, c) sobrevivan exactamente 5. 6) STEREN le compra cierto tipo de dispositivo electrónico a un f abricante, el cual le indica que la tasa de dispositivos defectuosos es de 3%. a) El inspector de la cadena elige 20 artículos al azar de un cargamento. ¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos un artículo defectuoso entre estos 20? b) Suponga que el detallista recibe 10 cargamentos en un mes y que el inspector prueba aleatoriamente 20 dispositivos por cargamento. ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente tres cargamentos que contengan al menos un dispositivo defectuoso de entre los 20 seleccionados y probados?
Distribución Binomial
La media y la varianza de la distribución binomial b (x; n, p) son: 2 μ = np σ = npq. y 7) Se conjetura que hay impurezas en 30% del total de pozos de agua potable de cierta comunidad rural. Para obtener información sobre la verdadera magnitud del problema se determina que debe realizarse algún tipo de prueba. Como es muy costoso probar todos los pozos del área, se eligen 10 al azar para someterlos a la prueba. a) Si se utiliza la distribución binomial, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 3 pozos tengan impurezas, considerando que la conjetura es correcta? b) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 3 pozos tengan impurezas? c) Calcule la media y la varianza de la variable aleatoria binomial
Distribución de Poisson La distribución de probabilidad de la variable aleatoria de Poisson X, la cual representa el número de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo dado o región específicos (se denota con t), es:
Donde:
x = es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da la probabilidad de que el evento suceda precisamentek veces). λt =es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo de distribución de Poisson con λt = 4×10 = 40.
e = es la base de los logaritmos naturales (e = 2.71828 ...) Tanto la media como la varianza de la distribución de Poisson p(x; λt) son (λt).
Ejemplos: 1) Durante un experimento de laboratorio el número promedio de partículas radiactivas que pasan a través de un contador en un milisegundo es 4. ¿Cuál es la probabilidad de que entren 6 partículas al contador en un milisegundo dado? x = 6 partículas λt = 4 partículas en un milisegundo (4*1) ( 4 )(46 ) p(6;4) = =0.1042 6!
−
2) El número promedio de camiones-tanque que llega cada día a cierta ciudad portuaria es 10. Las instalaciones en el puerto pueden alojar maximo 15 camiones-tanque por día. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día determinado lleguen más de 15 camiones y se tenga que rechazar algunos? x > 15 λt = 10 camiones por día
1-P(x ≤ 15) =
=
( ;
) = 1-0.9512 = 0.04874
3) En cierta fábrica los accidentes ocurren con muy poca frecuencia. Se sabe que la probabilidad de un accidente en cualquier día dado es de 0.005, y que los accidentes son independientes entre sí. a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día de cualquier periodo determinado de 400días ocurra un accidente? b) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra un accidente cuando mas en tres días de tal periodo?
4) Un estudio de un inventario determina que, en promedio, el número de veces al día que se solicita un artículo específico en un almacén es 5. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día determinado este artículo se pida a) más de 5 veces? b) ninguna vez?
5) Se dice que en promedio, una persona de cada 1,000 com ente un error numérico al preparar su declaración anual de impuestos. Si seleccionan 10,000 declaraciones al azar y se examinan, encuentre la probabilidad de que 6, 7 u 8 de las formas contengan al menos un error.
6) Un empleado nuevo comete, en promedio, dos errores de procesamiento de texto por página en el primer borrador de un libro. ¿Cuál es la probabilidad de que en la siguiente página cometa: a) 4 o más errores? b) ningún error?
7) Cierta área del este de Estados Unidos resulta afectada, en promedio, por 6 huracanes al año. Calcule la probabilidad de que para cierto año esta área resulte afectada por a) menos de 4 huracanes; b) cualquier cantidad entre 6 y 8 huracanes.
8) Un fabricante de automóviles se preocupa por una falla en el mecanismo de freno de un modelo específico. En raras ocasiones la falla puede causar una catástrofe al manejarlo a alta velocidad. La distribución del número de automóviles por año que experimentará la catástrofe es una variable aleatoria de Poisson con λ = 5. a) ¿Cuál es la probabilidad de que maximo 3 automóviles por año de ese modelo específico sufran una catástrofe? b) ¿Cuál es la probabilidad de que más de un automóvil por año experimente una catástrofe?
9) Se sabe que para cierto tipo de alambre de cobre ocurren, en promedio, 1.5 fallas por milímetro.¿Cuál es la probabilidad de que no ocurran fallas en cierta parte de un alambre que tiene 5 milímetros de longitud? ¿Cuál es el número promedio de fallas en alguna parte de un alambre que tiene 5 milímetros de longitud? 10)Suponga que 0.03% de los contenedores plasticos producidos en cierto procesos tiene pequeños agujeros que lso dejan inservibles. X representa el numero de contenedores en una muestra aleatoria de 10000 que tienen este defecto. Determine: 1. P(X=3)= 0.2240 2. P(X<3)= 0.4232 3. P(1
Distribución normal La distribución normal es, sin duda, la distribución de probabilidad continua más importante del Cálculo de probabilidades y de la Estadística. Fue descubierta por De Moivre (1773), como aproximación de la distribución binomial. La distribución normal a menudo se denomina distribución gaussiana en honor de Karl Friedrich Gauss (1777-1855), quien también derivó su ecuación a partir de un estudio de errores en mediciones repetidas de la misma cantidad. La importancia de la distribución normal queda totalmente consolidada por ser la distribución límite de numerosas variables aleatorias, discretas y continuas, como se demuestra a través de los teoremas de límite central. Las consecuencias de estos teoremas implican la casi universal presencia de la distribución normal en todos los campos de las ciencias empíricas: biología, medicina, psicología, física, economía, etc. En particular, muchas medidas de datos continuos en medicina y en biología (talla, presión arterial, etc.) se aproximan a la distribución normal. Su gráfica, denominada curva normal o campana de Gauss, describe de manera aproximada muchos fenómenos que ocurren en la naturaleza, la industria y la investigación. Junto a lo anterior, no es menos importante el interés que supone la simplicidad de sus características y de que de ella derivan, entre otras, tres distribuciones (Ji-cuadrado, t de student y F de Fischer) que se mencionarán más adelante, de importancia clave en el campo de la contrastación de hipótesis estadísticas.
La distribución normal queda totalmente definida mediante dos parámetros: la media (Mu = μ O
Determinación de la media de una muestra:
) y la desviación estándar (Sigma= σ o s).
x1, x2, ..., xn = observaciones en una muestra n = número total de observaciones
La varianza de una muestra, denotada con s2 o σ2:
La desviación estándar:
σ=
σ2
=
− − (
(
)2
1)
=1 Ejemplo: 1) Para una muestra de n alumnos de la UPALT determine la media, varianza y desviación estándar.
La densidad de la variable aleatoria normal X, con media μ y varianza σ 2, es:
Donde: −∞ < x <∞,
π = 3.14159….
y e = 2.71828. . .
En excel: fx > DISTR.NORM(x, media,desv.estándar,acum) **Para el caso de un valor especifico de x, Acum = 0; para el acumulado de x (área bajo la curva del lado derecho de x) Acum = 1.
La distribución de una variable aleatoria normal con media 0 y varianza 1 se llama distribución normal estándar.
Área bajo la curva normal (Uso de la Tabla A.3) La tabla A.3 indica el área bajo la curva normal estándar que corresponde a P(Z < z) para valores de z que van de –3.49 a 3.49. Ejemplo: 1) Calculemos la probabilidad de que Z sea menor que 1.74. Primero, localizamos un valor de z igual a 1.7 en la columna izquierda, después nos movemos a lo largo del renglón hasta la columna bajo 0.04, donde leemos 0.9591. Por lo tanto, P(Z < 1.74) = 0.9591. En Excel: fx > =DISTR.NORM.ESTAND(z) 2) Para calcular un valor z que corresponda a una probabilidad dada se invierte el proceso. Por ejemplo, se observa que el valor z que deja un área de 0.2148 bajo la curva a la izquierda de z es –0.79. 3) Dada una distribución normal estándar, calcule el área bajo la curva que se localiza a) a la derecha de z = 1.84, y b) entre z = –1.97 y z = 0.86
4) Dada una distribución normal estándar, calcule el valor de k tal que a) P (Z > k) = 0.3015, y b) P (k < Z < −0.18) = 0.4197
5) Dada una variable aleatoria X que tiene una distribución normal con μ = 50 y σ = 10, calcule la probabilidad de que X tome un valor entre 45 y 62.
6) Dado que X tiene una distribución normal con μ = 300 y σ = 50, calcule la probabilidad de que X tome un valor mayor que 362.
7) Cierto tipo de batería de almacenamiento dura, en promedio, 3 años, con una desviación estándar de 0.5 años. Calcule la probabilidad de que una batería determinada dure menos de 2.3 años.
8) Una empresa de material eléctrico fabrica bombillas de luz cuya duración, antes de quemarse, se distribuye normalmente con una media igual a 800 horas y una desviación estándar de 40 horas. Calcule la probabilidad de que una bombilla se queme entre 778 y 834 horas.
9) En un proceso industrial el diámetro de un cojinete de bolas es una medida importante. El comprador establece que las especificaciones en el diámetro sean 3.0 ± 0.01 cm. Esto implica que no se aceptará ninguna parte que no cumpla estas especificaciones. Se sabe que en el proceso el diámetro de un cojinete tiene una distribución normal con media μ = 3.0 y una desviación estándar σ = 0.005. En promedio, ¿cuántos de los cojinetes fabricados se descartarán?
10) Se supone que el nivel de colesterol de los enfermos de un hospital sigue una distribución normal con una media de 179,1 mg/dL y una desviación estándar de 28,2 mg/dL. a) Calcule el porcentaje de enfermos con un nivel de colesterol inferior a 169 mg/dL. b) Cuál será el valor del nivel de colesterol a partir del cual se encuentra el 10% de los enfermos del hospital con los niveles más altos?
11) El coeficiente intelectual de 600 aspirantes de cierta universidad se distribuyen aproximadamente de forma normal con una media de 115 y una desviación estándar de 12. Si la universidad requiere un CI de al menos 95, ¿cuántos de estos estudiantes serán rechazados sobre esta base sin importar sus otras calificaciones?
12) El promedio de vida de cierto tipo de motor pequeño es 10 años con una desviación estándar de dos años. El fabricante reemplaza gratis todos los motores que fallen dentro del tiempo de garantía. Si está dispuesto a reemplazar sólo 3% de los motores que fallan, ¿de qué duración debe ser la garantía que ofrezca?
13) Un profesor de ingenieria de la UPALT va todos los días de su casa en Madero a la universidad en Altamira. El tiempo promedio para un viaje de ida es 24 minutos, con una desviación estándar de 3.8 minutos. ¿cuál es la probabilidad de que un viaje tome al menos ½ hora?
14) Se utilizan medidores para rechazar todos los componentes en los que cierta dimensión no esté dentro de la especificación 1.50 ± d. Se sabe que esta medida se distribuye normalmente con una media de 1.50 y una desviación estándar de 0.2. Determine el valor d tal que las especificaciones “cubran” 95% de las mediciones.
15) Cierta máquina fabrica resistencias eléctricas que tienen una resistencia media de 40 ohms y una desviación estándar de 2 ohms. Si se supone que la resistencia sigue una distribución normal y que se puede medir con cualquier grado de precisión, ¿qué porcentaje de resistencias tendrán una resistencia que exceda 43 ohms?
16) La calificación promedio para un examen es 74 y la desviación estándar es 7. Si 12% del grupo obtiene A y las califi caciones siguen una curva que tiene una distribución normal, ¿cuál es la A más baja posible y la B más alta posible?
Distribución T de Student La distribución de probabilidad de T se publicó por primera vez en 1908 en un artículo de W . S. Gosset. En esa época, Gosset trabajaba para una cervecería irlandesa que prohibía a sus empleados que publicaran los resultados de sus investigaciones. Para evadir la prohibición Gosset publicó su trabajo en secreto bajo el seudónimo de “Student”. Es por esto que a la distribución de T se le suele llamar distribución t de Student o simplemente distribución t. Para derivar la ecuación de esta distribución Gosset supuso que las muestras se seleccionaban de una población normal. Aunque ésta parecería una suposición muy restrictiva, se puede demostrar que las poblaciones que no son normales y que poseen distribuciones en forma casi de campana aún proporcionan valores de T que se aproximan muy de cerca a la distribución t.
La distribución t de Student es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño. A la teoría de pequeñas muestras también se le llama teoría exacta del muestreo, ya que también la podemos utilizar con muestras aleatorias de tamaño grande. Veremos un nuevo concepto necesario para poder entender la distribución t Student. Este concepto es "grados de libertad" y se denomina v y es igual a: Grados de libertad=número de mediciones-1
v = n-1
Apariencia La distribución de T se parece a la distribución de Z(normal) en que ambas son simétricas alrededor de una media de cero. Ambas distribuciones tienen forma de campana, perola distribución t es más variable debido al hecho de que los valores T dependen de las fluctuaciones de dos 2 2 cantidades, μ y σ y S ; mientras que los valores Z dependen sólo de los cambios μ en de una muestra a otra. En la siguiente figura se presenta la relación entre una distribución normal estándar (v = ∞) y las distribuciones t con 2 y 5 grados de libertad. Los puntos porcentuales(area bajo la curva) de la distribución t se dan en la tabla A.4.
Formula para el estadistico T de student:
μ =media de una poblacion = media de una muestra σ =desviacion estandar de una poblacion s = desviacion estandar de una muestra n = t amaño de la muestra(observaciones en una muestra)
α = nivel de confianza
El estadistico T se utiliza en n<30. Para n>=30 se utiliza la distribucion normal estandar. El valor t por arriba del cual se encuentra un área igual a α por lo general se representa con tα Ejemplos: 1) el valor t con 10 grados de libertad que deja un área de 0.025 a la derecha es t = 2.228. Como la distribución t es simétrica alrededor de una media de cero, tenemos t 1 – α = –tα; es decir, el valor t que deja una área de 1 – α a la derecha y, por lo tanto, una área de α a la izquierda es igual al valor t negativo que deja una área de α en la cola derecha de la distribución. Esto es, t 0.95 = –t0.05, t0.99 = –t0.01, etcétera. 2) El valor t con v = 14 grados de libertad que deja una área de 0.025 a la izquierda y, por lo tanto, una área de 0.975 a la derecha, es:
3) Calcule P (−t0.025 < T < t0.05)
4) La longitud de los tornillos fabricados en una fábrica tienen media μ=20 mm y desviación s=1 mm, calcular la probabilidad de que en una muestra de tamaño n=25, la longitud media del tornillo sea inferior a 20.5 mm.
5) Un ingeniero químico afirma que el rendimiento medio de la población de un cierto proceso de lotes es 500 gramos por mililitro de materia prima. Para verificar dicha afirmación muestrea 25 lotes cada mes. Si el valor t calculado cae entre –t0.05 y t0.05, queda satisfecho con su afirmación. ¿Qué conclusión debería sacar de una muestra que tiene una media = 518 gramos por mililitro y una desviación estándar muestral s = 40 gramos?
6) Un fabricante de bujias afirma que su producto durará un promedio de 500 horas de trabajo. Para conservar este promedio esta persona verifica 25 bujias cada mes. Si desea un nivel de confianza del 90%. ¿Qué conclusión deberá él sacar de una muestra de 25 bujias cuya duración fue?:
520
521
511
513
510
513
522
500
521
495
496
488
500
502
512
510
510
475
505
521
506
503
487
493
500
Distribución Chi-Cuadrada (X2) La distribución chi-cuadrada desempeña un papel fundamental en la inferencia estadística. Tiene una aplicación considerable tanto en la metodología como en la teoría. La distribución chi cuadrada es un componente importante de la prueba estadística de hipótesis y de la estimación estadística. Los temas en los que se trata con distribuciones de muestreo, análisis de varianza y estadística no paramétrica implican el uso extenso de la distribución chi-cuadrada. 2
En realidad la distribución chi-cuadrada es la distribución muestral de s . O sea que si se extraen todas las muestras posibles de una población normal y a cada muestra se le calcula su varianza, se obtendrá la distribución muestral de varianzas.
Propiedades de las distribuciones chi-cuadrada: Los valores de
2
X son mayores o iguales que 0. 2 2 La forma de una distribución X depende del gl=n-1. En consecuencia, hay un número infinito de distribuciones X . El área bajo una curva chi-cuadrada y sobre el eje horizontal es 1 (100%) 2 Las distribuciones X no son simétricas. Tienen colas estrechas que se extienden a la derecha; esto es, están sesgadas a la derecha. 2 Cuando n>2, la media de una distribución X es n-1 y la varianza es 2(n-1). 2 La moda de una distribución X se da en el valor (n-3).
−
El estadístico chi cuadrada esta dado por:
=
n = tamaño de la muestra(observaciones en una muestra) 2 s = varianza muestral 2 σ = varianza de la poblacion de donde se extrajo la muestra v = n-1Grados de libertad=número de mediciones-1
−
El estadístico chi-cuadrada también se puede dar con la siguiente expresión:
=
2
La siguiente figura ilustra tres distribuciones X . Nota que la moda aparece en el valor (n-3) = (gl-2).
2
La Tabla A.5 del libro de probabilidad y estadística de Walpole (Pag. 739) , la cual da valores críticos X α (gl) para veinte valores especiales de 2 2 α. Para denotar el valor crítico de una distribución X con gl grados de libertad se usa el símbolo X α (gl); este valor crítico determina a su derecha 2 2 un área de α bajo la curva X y sobre el eje horizontal. Por ejemplo para encontrar X 0.05 (6) en la tabla se localiza 6 gl en el lado izquierdo y α=0.05 a lo largo del lado superior de la misma tabla.
El cálculo de probabilidad en una distribución muestral de varianzas nos sirve para saber cómo se va a comportar la varianza o desviación estándar en una muestra que proviene de una distribución normal. Ejemplos: 1) Suponga que los tiempos requeridos por un cierto autobús para alcanzar uno de sus destinos en una ciudad grande forman una distribución normal con una desviación estándar σ=1 minuto. Si se elige al azar una muestra de 17 tiempos, encuentre la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 2. 2 Solución: Primero se encontrará el valor de chi-cuadrada correspondiente a s =2 como sigue:
=
− − =
( )
( )
=
El valor de 32 se busca adentro de la tabla en el renglón de 16 grados de libertad y se encuentra que a este valor le corresponde un área a la 2 derecha de 0.01.El valor de la probabilidad es P(s >2) = 0.01 = 1% 2) Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 observaciones, de una población normal con varianza σ=6 , tenga una varianza muestral: a. Mayor que 9.1 b. Entre 3.462 y 10.745
Estimación de la Varianza poblacional Despejar la fórmula para encontrar la varianza poblacional. 3) Se toma de una línea de producción de refrescos de 600ml, 10 m uestras de las cuales se obtienen los siguientes contenidos netos en mililitros: 601, 600, 599, 602, 598, 600.5, 601, 602.5, 597.5, 600, suponga que el proceso de llenado se comporta como una distribución normal. Calculé con un 95% de confianza, la varianza poblacional (del proceso) y la desviación estándar del proceso.
4) Los siguientes son los pesos, en gramos, de 10 paquetes de semillas de pasto distribuidas por cierta compañía: 46.4, 46.1, 45.8, 47.0, 46.1, 45.9, 45.8, 46.9, 45.2 y 46. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la varianza de todos los paquetes de semillas de pasto que distribuye esta compañía, suponga una población normal.
5) En trabajo de laboratorio se desea llevar a cabo comprobaciones cuidadosas de la variabilidad de los resultados que producen muestras estándar. En un estudio de la cantidad de calcio en el agua potable, el cual se efectúa como parte del control de calidad, se analizó seis veces la misma muestra en el laboratorio en intervalos aleatorios. Los seis resultados en partes por millón fueron 9.54, 9.61, 9.32, 9.48, 9.70 y 9.26. Estimar la varianza de los resultados de la población para este estándar, usando un nivel de confianza del 90%.
