U1 INTERPOLACION

UNIDAD 1. INTERPOLACIÓN

UNIDAD 1 INTERPOLACIÓN 1. Introducción. La idea básica de la interpolación es hallar un polinomio o función que cumpla con pasar por todos los puntos de datos

, , , , … , , 

, y poder estimar los valores

entre ellos por medio de un polinomio.

2. Interpolación de Lagrange.



Para un conjunto de puntos, el polinomio de Lagrange es:

donde

,   ,   ∑∏=  =≠

  ( −  )     =  = ( −  ) ≠

Coordenadas del punto interpolado.

Número de puntos empleados en el proceso. El grado del polinomio es

usual es emplear entre tres y cinco puntos.

−1

y lo más

Sirven para enumerar los puntos conocidos y los términos en la sumatoria y en el

producto.

Sumatoria que representa la suma de los términos colocados a su derecha. Indica multiplicación.

La expresión anterior se puede reescribir como

donde



   =    −    =  −  ≠

es llamado polinomios fundamentales fundamentales de Lagrange.

M. GUERRERO RODÍGUEZ

1

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UNIDAD 1. INTERPOLACIÓN Actividad 1. Escriba los polinomios de Lagrange para dos puntos, tres puntos y cuatro

puntos. Ejemplo 1. Dados los puntos (9.0, 2.1972), (9.5, 2.2513), (11.0, 2.3979), obtener un

polinomio cuadrático,



  

valores de . Calcular el valor de Solución.



, al introducir el vector u de los valores de , el vector v de de los , cuando

9. 2

.

La respuesta se presenta en Excel. x = u

y =v

9 9.5 11

2.1972 2.2513 2.3979

La gráfica de los valores anteriores, se muestra a continuación, nótese que esta gráfica no es totalmente una línea recta.

2.45 2.4 2.35 y

2.3 2.25 2.2 2.15 8.5

9

9.5

10

10.5

x

Un polinomio de segundo orden tiene la forma:

        

11

11.5










  9, 2 . 1 972 972 → 2. 1 972   9  9    9 81 9.11,5,22.2.3513 979 →→ 2.2.2513 513979   9.5  9.5   9.5 90.25 3979  1111  11   11 121 La solución del sistema de ecuaciones anterior se presenta enseguida, el cual es resuelto en Excel.

1  = 1 1

9 9.5 11

81 90.25 121



→

=

1

9

81

1

9.5

90.25

1

11

121

104.5

-132

28.5

-20.5 26.66 26.66666 66667 67 -6.1666666 -6.16666667 7 1 -1.33333333 -1.33333333 0.333 0.333333 33333 33

2.1972  = 2.2513 2.3979   =  

2.1972

→

2.2513 2.3979 0.77595

→ 0.20501667 -0.00523333

El polinomio de segundo orden queda de la forma siguiente:

 ..−.  La gráfica del polinomio, en Geogebra, se muestra enseguida:










9. 2 9.2 0.775950.20501667 05016679.2 −0.00523333 05233339.2

Evaluando el polinomio para

p(9.2) =

:

2.219154

Ejemplo 2. Dados los valores de la siguiente tabla

 

1

2

1.54

1.5

3

5

1.42 0.66

Encontrar el polinomio de interpolación de Lagrange. Solución.

El diagrama de dispersión de estos puntos se presenta a continuación en Geogebra









UNIDAD 1. INTERPOLACIÓN Polinomios fundamentales de Lagrange.

  −−−−−−  1 −− 2211 −− 3311 −− 55  − 18  −10 31−30 31−30   −−−−−−  2 −− 1122 −− 3322 −− 55  13  − 9 23−15 23−15   −−−−−−  3 −− 1133 −− 2233 −− 55  − 14  − 8 17−10 17−10   −−−−−−  5 −− 1155 −− 2255 −− 33  241  − 6 11−6 11−6 El polinomio de interpolación de Lagrange es

           −. . −..

Sustituyendo en la ecuación anterior cada uno de los polinomios fundamentales de Lagrange y los valores de (proporcionados en la tabla), resulta que el polinomio tiene la forma siguiente:

La gráfica del polinomio anterior, en Geogebra, es:










A continuación se presenta la solución en wxMaxima, se obtiene el diagrama de dispersión, el polinomio de Lagrange y su representación gráfica.











UNIDAD 1. INTERPOLACIÓN Diagrama de dispersión.

Gráfica del polinomio.









UNIDAD 1. INTERPOLACIÓN Actividad 2. Resolver el ejemplo 1 haciendo uso de una interpolación de Lagrange.

r esolver un problema de física, para lo cual requiere conocer Actividad 3. Un ingeniero debe resolver la densidad del agua a 43.7 0 C con la mayor precisión posible y recurre a una tabla de datos de un texto:

t, 0C

Densidad, g/cm3

Volumen de 1 g/cm3

0

0.99987

1.00013

2

0.99997

1.00003

4

1.00000

1.00000

6

0.99997

1.00003

10

0.99973

1.00027

20

0.99823

1.00177

50

0.98807

1.01207

75

0.97489

1.02576

100

0.95838

1.04343

Empleé: a) Interpolación gráfica. b) Un polinomio de segundo grado:

      

c) Un polinomio de Lagrange de tres puntos.

3. Método de diferencias divididas (Polinomio de Interpolación de Newton). N ewton). Definición.









UNIDAD 1. INTERPOLACIÓN el cual se conoce como polinomio de interpolación de Newton.

+, +  +[ [, , … , +] = ( − )

Al agregar un nuevo par de interpolación

, el nuevo polinomio es

Ejemplo 3. Dada la siguiente tabla, obtener el polinomio de interpolación de Newton.

 

2

4

6

8

4

8

14

16

Solución.

El ejemplo es resuelto en Excel. x

f 2

4

 2,4 = 4

8  2,4,6 =

8

0.25

3  2,4,6,8 2,4,6,8 = 14  4,6,8 = -0.5  6,8 = 1

 4,6 = 6

2

-0.125

16

Polinomio de interpolación interpolación de N ewton.

  = 4 + 2  − 2 + 0.25  − 2  − 4 − 0. 0.125  − 2  − 4  − 6









UNIDAD 1. INTERPOLACIÓN -5

92.375

0

8

10

8

11

-1.625

20

-392

A continuación se presenta un programa en wxMaxima para resolver este ejemplo.










4. Interpolación con splines cúbicos. Una función spline está formada por varios polinomios, cada uno definido en un intervalo y que se unen bajo ciertas condiciones de continuidad. Se ha observado que las splines cúbicas son las más adecuadas. Dada una partición

  {   <  <⋯<  }











UNIDAD 1. INTERPOLACIÓN b) Condiciones de continuidad (en nodos interiores).

+  ++, 0, 1 , … ,  −2 ′′ +++,, 0, 0,11,,2…,…, ,−2−2  + + + 4−2

c) Condiciones de suavidad (en nodos interiores).

Nótese que el número de ecuaciones es



, lo cual nos indica que para determinar el spline

de forma única es necesario tener dos condiciones adicionales. Las condiciones más habituales,

impuestas sobre los extremos del intervalo, son:

  0,    0, spline cúbico naturalral,   ,    , spline cúbico sujeto  

Ejemplo 4. Construir un spline cúbico sujeto que se ajuste a los datos de la siguiente tabla

0

1

2

3

0

1/2

2

3/2










Modelos matemáticos del spline cúbico para la tabla de datos pr oporcionada.

       si ∈[ [ ]   ∈ 0, 0 , 1           sisi ∈[ ∈∈ [[1,2,12,,23]]









UNIDAD 1. INTERPOLACIÓN De los intervalos se observa que las posibles discontinuidades de la derivada están en

2

.

1

y en

Las siguientes ecuaciones permiten hacer que la primera derivada sea continua:

3  2    3  2   12  4   12  4    [ ] 6 2 si ∈ 0, 0 , 1   [ ] si ∈[ ∈ 1, 1 , 2 ´´  662  2 si ∈ [2,2,3]

Ecuaciones de la segunda derivada de

.

También, se observa que las posibles discontinuidades de la segunda derivada están en

2

.

Para que la segunda derivada sea continua se obtienen las ecuaciones siguientes:

6  2  6  2 → 3    3  

1

y en










3  2    3  2   12  4   12  4       3   6    6    0.2 27  6    −1 3

Enseguida se tiene el sistema de ecuaciones en forma matricial. Matriz de coeficientes.

 =

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

8

4

2

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

8

4

2

1

0

0

0

0

0

0

0

0

2277

9

3

1

3

2

1

0

-3

-2

-1

0

0

0

0

0









UNIDAD 1. INTERPOLACIÓN Vector de términos independientes. 0 0.5 0.5 2 2  =

1.5 0 0 0 0 0.2 -1

Coeficientes del polinomio. a1 =

0.48

b1 =

- 0. 18

c1 =

0.2

d1 =

0

a2 =

- 1. 04

b2=

4.38

c2 =

- 4. 36

d2 =

1.52

a3 =

0.68











UNIDAD 1. INTERPOLACIÓN x

s0( x )

s1(x )

0

0

0.2

0.03664

0.4

0.08192

0.6

0.15888

0.8

0.29056

1

0.5

s2(x )

0.5

1.2

0.79808

1.4

1.14704

1.6

1.49696

1.8

1.79792

2

2

22

2 2 06704










, , , , … , ,    ++ −−  ,    ++ −−   −   

Para el siguiente conjunto de datos

, entre dos puntos consecutivos del

conjunto de datos se tiene una recta cuya pendiente es

Y que pasa por el conjunto inicial par de puntos es

, entonces la ecuación de la recta que interpola entre ese

Nótese que la interpolación lineal se hace por pedazos y no entrega un solo polinomio para todo el









UNIDAD 1. INTERPOLACIÓN Actividad 4. Empleando interpolación lineal calcule el valor del logaritmo de 4.7 . Use los datos

siguientes: Núm.

Logaritmo10

3

0.477121

4.5

0.653212

5

0.698970

a) Interpolar entre 3 y 5. b) Interpolar entre 4.5 y 5. Calcular el error relativo porcentual para ambos incisos, basado en el valor verdadero,

U1 INTERPOLACION

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