Sumário Prefácio
ix
1
1
Introdução 1.1
1.2
2
Aproximação Direta para Sistemas Discretos 2.1 2.2
2.3 2.4 2.5 2.6
3
9 9 12 14 16 19 22 24 28
29 29 32
3.1
33 33 35 36 37 39 40 45 46 47 47
3.6
3.7
3.8
3.9 3.10
Formulação Forte em Problemas Unidimensionais 3.1.1 Formulação Forte para uma Barra Elástica Carregada Axialmente 3.1.2 Formulação Forte para Condução de Calor Unidimensional 3.1.3 Difusão Unidimensional Formulação Fraca Unidimensional Continuidade Equivalência entre as Formulações Fraca e Forte Análise de Tensões Unidimensional com Condições de Contorno Arbitrárias 3.5.1 Formulação Forte para Análise de Tensões Unidimensional 3.5.2 Formulação Fraca para Análise de Tensões Unidimensional Condução de Calor Unidimensional com Condições de Contorno Arbitrárias 3.6.1 Formulação Forte para Condução de Calor Unidimensional com Condições de Contorno Arbitrárias 3.6.2 Formulação Fraca para Condução de Calor Unidimensional com Condições de Contorno Arbitrárias · Problema de Valor de Contorno com Dois Pontos com Condições de Contorno Generalizadas 3.7.1 Formulação Forte para Problemas de Valor de Contorno com Dois Pontos com Condições de Contorno Generalizadas 3.7.2 Formulação Fraca para Problema de Valor de Contorno com Dois Pontos com Condições de Contorno Generalizadas Advecção-Difusão 3.8.1 Formulação Forte da Equação de Advecção-Difusão 3.8.2 Formulação Fraca da Equação de Advecção-Difusão Energia Potencial Mínima Integrabilidade Referências Problemas
Aproximação de Soluções Tentativas, Funções Peso e Quadratura de Gauss para Problemas Unidimensionais 4. 1 4.2
-
Descrição do Comportamento de um Elemento de Barra Simples Equações para um Sistema 2.2.1 Equações para Montagem 2.2.2 Condições de Contorno e Solução do Sistema Aplicações a Outros Sistemas Lineares Sistemas de Treliças Bidimensionais Lei da Transformação Sistemas de Treliças Tridimensionais Referências Problemas
1
6 8
Formulações Forte e Fraca para Problemas Unidimensionais
3.2 3.3 3.4 3.5
4
Histórico Aplicações de Elementos Finitos Referências
Elemento Linear com Dois Nós Elemento Quadrático Unidimensional
47 47 48 48 50 50 50 5I 52 55
56 56
60 61 63
vi
SUMÁRIO
4.3 4.4 4.5 4.6
Construção Direta das Funções de Forma em uma Dimensão Aproximação das Funções Peso Aproximação Global e Continuidade Quadratura de Gauss Referência Problemas
Formulação de Elementos Finitos para Problemas Unidimensionais
5
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6
5.7
Desenvolvimento da Equação Discreta: Caso Simples Matrizes Elemento para Elemento com Dois Nós Aplicação a Problemas de Condução e Difusão de Calor Desenvolvimento de Equações Discretas para Condições de Contorno Arbitrárias Problema de Valor de Contorno com Dois Pontos com Condições de Contorno Generalizadas Convergência do MEF Convergência por Experimentos Numéricos 5.6.1 Convergência por Análises 5.6.2 MEF para a Equação de Advecção-Difusão Referências Problemas
Formulações Forte e Fraca para Problemas de Campo Escalar Multidimensionais
6
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6
7
Teorema da Divergência e Fórmula d~ Green Formulação Forte Formulação Fraca A Equivalência entre as Formulações Forte e Fraca Generalização para Problemas Tridimensionais Formulações Forte e Fraca para Advecção-Difusão Escalar em Regime Permanente Bidirnensional Referências Problemas
Aproximações de Soluções Tentativas, Funções Peso .e Quadratura de Gauss para Problemas Multidimensionais 7.1 7.2
7.3 7.4
7.5 · 7.6
7.7 7.8
· - ·7.9
Completude e Continuidade Elemento Triangular com Três Nós Aproximação Global e Continuidade 7.2.1 Elementos Triangul~Jres de Ordem Superior 7.2.2 Derivadas de Funções de Forma para o Elemento Triangular com Três Nós 7 .2.3 Elementos Retangulares com Quatro Nós Elemento Quadrilateral com Quatro Nós Continuidade de Elementos Isoparamétricos 7.4.1 Derivadas de Funções de Forma lsoparamétricas 7 .4.2 Elementos Quadrilaterais de Ordem Superior Coordenadas Triangulares Elemento Triangular Linear 7.6.1 Elementos Triangulares Isoparamétricos 7.6.2 Elemento Cúbico 7 .6.3 Elementos Triangulares pelo Colapso dos Elementos Quadrilaterais 7.6.4 Completude de Elementos lsoparamétricos Quadratura de Gauss em Duas Dimensões Integração sobre Elementos Quadrilaterais 7.8.1 Integração sobre Elementos Triangulares 7 .8.2 --- · Eementos Tndimensionais Elementos Hexaéd.ricos 7.9 .1 Elementos Tetraédricos 7.9.2 Referências· Problemas
6 Formulação de Elementos Finitos para Problemas de Campo Escalar Multidimensionais 8.1 8.2 8.3
L.
Formulação de Elementos Fmitos para Problemas de Condução de Calor Bidimensionais Verificação e Validação Equação de Advecção-Difusão Referências Problemas
64 65 65 67 70 70
72 72 76 77 82 87 88 90 92 94 96 96
102 104 108 111 112 113 114 115 116
118 119 120 123 124 125 125 127 129 130 131 134 134 136 137 137 138 139 139
140
i4I 141 143 145 145
147 147 157 160 163 163
SUMÁRIO vi i
9
Fonnulação de Elementos Finitos para Problemas de Campo Vetorial Elasticidade Linear 9.1
9.2 9.3 9.4
9.5 9.6 9.7
Elasticidade Linear Cinemática 9.1.1 Tensão e Tração 9.1.2 9.1.3 Equilibrio 9.1.4 Equação Constitutiva Formulações Forte e Fraca Discretização de Elementos Finitos Elemento Triangular com Três Nós 9.4.1 Matriz de Força de Campo do Elemento 9.4.2 Matriz de Força de Contorno Generalização das Condições de Contorno Discussão Equações da Elasticidade Linear em Três Dimensões Problemas
10 Formulação de Elementos Finitos para Vigas 10.1
10.2 10.3
10.4 10.5
Equações de Governo da Viga 10.1.1 Cinemática da Viga 10.1.2 Lei da Tensão-Deformação 10.1.3 Equilíbrio 10.1.4 Condições de Contorno Formulação Forte para Formulação Fraca 10.2.1 Formulação Fraca para Formulação Forte Discretização de Elementos Finitos 10.3.1 Aproximações da Solução Tentativa e da Função Peso 10.3.2 Equações Discretas Teorema da Energia Potencial Mínima Observações sobre Elementos de Casca Referência Problemas
167 167 168 170 171 172 173 175 177 178 178 179 185 186 187
192 192 192 194 195 196 197 198 199 199 201 201 205 208 208
11 Thtoriais para o Programa Comercial de Elementos Finitos ABAQUS pela
ABAQUS, Inc.
212
11.1
212 212 213 213 215 215 216 216 216 218 219 219 220 220 221 221 221 222 222 223 223 224 224 225 225 225 226 227
11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8 11.9 11.10 11.11 11.12 11.13 11.14 11.15 11.16 11.17 11.18 11.19 11.20 11.21 11.22 11.23 11.24 11.25
-
Introdução 11.1.1 Exemplo de Condução de Calor em Regime Permanente Preliminares Criando um Objeto Criando uma Definição do Material Definindo e Designando Propriedades de Seção Montando o Modelo Configurando a Análise Aplicando uma Condição de Contorno e uma Carga ao Modelo Gerando Malhas no Modelo Criando e Submetendo um Trabalho para Análise Examinando os Resultados da Análise Resolvendo o Problema Usando Quadrilaterais Refinando a Malha 11.13.1 Curvatura de uma Viga Curta em Balanço Copiando o Modelo Modificando a Definição do Material Configurando a Análise Aplicando uma Condição de Contorno e uma Carga ao Modelo Gerando Malhas no Modelo Criando e Submetendo um Trabalho para Análise Examinando os Resultados da Análise 11.20.1 Placa com um Furo sob Tensão Criando um Novo Modelo Criando um Objeto Criando uma Definição do Material Definindo e Designando Propriedades de Seção Montando o Modelo
viíi
SUMARIO 11 .26 11.27 11.28 11.29 11 .30 11.31
Configurando a Análise Aplicando uma Condição de-Contorno e uma Carga ao Modelo Gerando Malhas no Modelo Criando e Submetendo um Trabalho para Análise Examinando os Resultados da Análise Refinando a Malha
227 227 229 230 231 231
12 Program ação de Elementos Finitos com MATLAB (no síte www.ltceditora.com.br) Apêndice Rotação do Sistema de Coordenadas em Três Dimensões Teorema do Produto Escalar Fórmula de Taylor com Resto e o Teorema do Valor Médio Teorema de Green Força em um Ponto (Fonte) Condensação Estática Métodos de Solução Soluções Diretas Soluções Iterativas Condicionamento Referências Problemas
A. l A.2 A.3 A.4 A.5 A.6 A. 7
Índice
.
'
232 232 233 233 233 235 236 236 237 238 238 239 239
PREFÁCIO xl
UM BREVE GLOSSÁRIO DA NOTAÇÃO Escalares, Vetores, Matrizes a, B Escalares a, B Matrizes ã,B Vetores a,. Bu Componentes matriciais ou vetoriais Inteiros Número de pontos nod~is Número de elementos Número de pontos de Gauss Número de nós do elemento índice do elemento Delta de Kronecker
e Conjuntos V U
n E C
Para todo União Interseção Pertence Está contido
Espaços, Continuidade U Espaço de soluções tentativas U0 Espaço de funções peso C" Funções cujas /'1""" derivadas em O :S j :S n são contínuas H' Um espaço de funções com s derivadas do quadrado integrável Formulações Fortes- Geral Domínio do problema f Contorno do domínio n = (n,, n) Normal unitário a r(n = :t 1 em lD) (x, y) Coordenadas físicas (x em I D)
n
A, As
Matrizes gradiente e gradiente simétrico
~
Vetor gradiente
Formulação Forte- Condução de Calor Temperatura T q = (q.,. qy Fluxo (q em lD) Contorno essencial Contorno natural s Fonte de calor q,'t Fluxo de contorno e temperatura Matriz de condutividade D Condutividades (k em lD) k.tr, k..,. k.rr
rr r,
.
Formulação Forte - Elasticidade u = (u,, ul Deslocamentos (u em lD) üx, ü)' Vetores tensão agindo sobre os planos normais às direções x e y e, u Matrizes deformação e tensão (e eu em ID) -r Tensor tensão e.., e,., y.rr Componentes de deformação fi.... fi,.. fi.rr Componentes de tensão b = (b,, bY Forças de campo (bem lD) t = (t,, t l Trações E, v Módulo de Young e coeficiente de Poisson D Matriz módulos do material i= (ix, iyf Tração prescrita (f em lD) ü = (üx, Deslocamentos prescritos (ü em lD) r .. r, Contornos essencial (deslocamento) e natural (tração)
ü,.l
---
Formulação Forte -Vigas u'f (x) Deslocamento em x na linha central m(x) Momento interno s(x) Força de cisalbamento interna p(x) Carregamento distribuído I Momento de inércia K Curvatura u Deslocamentos verticais Rotações é Momentos prescritos e forças de cisalhamento m,s üy,ê Deslocamentos verticais prescritos e rotações Contorno natural: momentos e cisalbamento r ... r, Contorno essencial: deslocamentos verticais e rotações r.. r, Elementos Finitos - Geral O• Domínio do elemento e (/'em ID) A' Área do elemento e (área da seção transversal em lD) xf,yf Coordenadas do nó/ no elemento e N', N Matrizes função de forma do elemento e global B', B Matrizes derivada da função de forma do elemento e global Matriz reunião r Matriz com coeficientes dispersos Matriz jacobiano J' 9',fl' Soluções tentativas do elemento e global w',wl Funções peso do elemento e global Pesos da quadratura de Gauss ~ Coordenada de referência/natural g, 11· gl x(g, 1/) Mapeamento da coordenada x y(g, 'l'J) Mapeamento da coordenada y K E' K ,. Ku Partição em E e F nós w Matriz global de funções peso R' Matriz rotação do elemento para o sistema de coordenada global
v v
Elementos Finitos - Condução de Calor 7.' Temperatura do elemento finito d, d' Matrizes de temperatura global e do elemento K, K• Matrizes de condutãncia global e do elemento f r, rf Matrizes de fluxo de contorno global e do elemento f n, fó Matrizes fonte global e do elemento r Matriz residual global f Matriz de fluxo global Elementos Finitos -Elasticidade Deslocamentos do elemento finito Deslocamentos no nó/ do elemento nas direções x e y, respectivamente d,d' Matrizes deslocamento global e do elemento K,K• Matrizes de rigidez global e do elemento fr,rf Matrizes força de contorno global e do elemento fn,fó Matrizes força de campo global e do elemento f, f' Matrizes força global e do elemento r Matriz força de reação global Elementos Finitos - Vigas Deslocamentos verticais do elemento finito d' Matriz deslocamento do elemento K, K' Matrizes de rigidez global e do elemento f r, fj. Matrizes força de contorno global e do elemento fn, fó Matrizes força de campo global e do elemento f, f' Matrizes força global e do elemento r Matriz força de reação global
u;.
1 Introdução 1. 1 HISTÓRICO uitos fenômenos em engenharia e ciências podem ser desctitos em tennos de equações diferenciais parciais. Em geral, solucionar essas equações por meio de métodos analíticos clássicos para geometrias arbitrárias é quase impossível. O método de elementos finitos (MEF) é uma aproximação numérica com a qual essas equações diferenciais parciais podem ser resolvidas de modo aproximado. Do ponto de vista da engenharia, o MEF é um método para resolver problemas de engenharia, tais como análise de tensões, transferência de calor, escoamento de fluidos e eletromagnetismo, por simulações de computador. Milhões de engenheiros e cientistas em todo o mundo usam o MEF para prever o comportamento estrutural, mecânico, ténnico, elétrico e químico de sistemas, tanto na etapa de projeto quanto na de análise de desempenho. Sua popularidade pode ser atribuída ao fato de que mais de US$ 1 bilhão é gasto por ano nos Estados Unidos em programas de computador sobre MEF e em tempo computacional. Em 1991, uma lista de referências bibliográficas (Noor, 1991) foi publicada com cerca de 400 livros sobre elementos finitos escritos em inglês e outros idiomas. Uma pesquisa feita na internet em 2006 para a frase "elementos finitos", usando o programa Google, encontrou mais de 14 núlhões de páginas de resultados. Mackerle (http://ohio.ikp.liu.se/fe)relaciona 578 livros de elementos finitos · publicados entre 1967 e 2005. Para explicar a base da aproximação do MEF, considere uma placa com um furo, como mostrado na Figura 1.1, sobre a qual desejamos encontrar a distribuiÇão de temperatura. É conveniente.escrever uma equação de balanço de calor para cada ponto da placa. Contudo, a solução da equação diferencial parcial resultante para uma geometria complicada. como a de um bloco de motor, é impossível pelos métodos clássicos, como o da separação de variáveis. Métodos numéricos, como os métodos de diferenças finitas, são igualmente muito complicados de aplicar a fonnas arbitrárias; os desenvolvedores de programas computacionais não têm comercializado programas com base em diferenças finitas capazes de lidar com geometrias complicadas, comumente encontradas na engenharia. De modo - --·-------semelhante, a análise-1Je-tensões-requer a solução-de-equações diferenciais pareiais,-que-são-muito difíceis-de-serem resolvidas por métodos clássicos, exceto para formas muito simples, como as retangulares, e problemas de engenharia raramente têm tais formas simples. A idéia básica do MEF é dividir o corpo em elementos finitos, muitas vezes chamados apenas de elementos, conectados por n6s, e obter uma solução aproximada como mostra a Figura 1.1. Esta é chamada de malha de elementos finitos e o processo para a sua construção é conhecido como geração da malha. O MEF provê uma metodologia sistemática com a qual a solução (no caso do nosso exemplo, o campo de temperatura) pode ser determinada por meio de um programa de computador. Para problemas lin~s. a solução é deternúnada pela resolução de um sistema de equações lineares; o número de incógnitas (que são as temperaturas nodais) é igual ao número nodal. Para obter uma solução razoavelmente exata, milhares de nós são geralmente necessários, assim os computadores são essenciais para resolver essas equações. Geralmente, a exatidão da solução melhora com o aumento do número de elementos (e nós), mas o tempo computacional e, em conseqüência o custo, também aumentam. O programa em elementos finitos determina a temperatura em cada nó e o fluxo ~e calor por meio de
M
2 CAPITuLO UM
Elemento Finito Triangular
Placa com um Furo
Modelo de Elemento Finito
Modelo Refinado de Elemento Finito
Figura 1.1 Geometria. cargas e malhas de elementos finitos.
cada elemento. Os resultados são geralmente apresentados como visualizações computacionais, tais como gráficos de contorno, embora os resultados selecionados sejam freqUentemente produzidos em monitores. Essa informação é então usada nas etapas do projeto de engenharia. A mesma abordagem básica é usada em outros tipos de problemas. Na análise de tensões, as variáveis de campo são os deslocamentos; em sistemas químicos, as variáveis de campo são as concentrações das substâncias; e em eletromagnetismo, procura-se o campo de potencial. O mesmo tipo de malha é usado para representar a geometria da estrutura ou do componente e para desenvolver as equações dos elementos finitos. E para um sistema linear, os valores nodais são obtidos por meio da solução de grandes sistemas (de 103 a 106 equações são comuns atualmente, e em aplicações especiais, 109) de equações algébricas lineares. Este texto é limitado à análise de elementos finitos lineares (AEF). A maioria das análises por elementos finitos em projetos de engenharia é, ainda hoje, feita com um MEF linear. Na condução de calor, a linearidade requer que a condutância seja independente da temperatura. Na análise de tensões, um MEF linear é aplicável apenas se o comportamento elástico do material for linear e os deslocamentos, pequenos. Essas suposições são .discutidas com mais profundidade em outras partes do livro. Em análise de tensões, para muitos estudos de cargas operacionais, a análise linear é adequada, pois, em geral. é indesejável trabalhar com cargas que possam conduzir o material ao comportamento não-linear ou a grandes deformações. Para simulações de cargas extremas, tais como cargas de choque e testes de perda de componentes eletrônicos, a análise não-linear é necessária. 9 MEF foi desenvolvido nos anos 1950 pela indústria aeroespacial. Os principais envolvidos foram a Boeing_:_ a Bell Aeroespacial (há muito tempo extinta), nos Estados Unidos e a Rolls Royce no Reino Unido. Em 1956, M.J. Tumer, R.W. Clough, H.C. Martin e L.J. Topp publicaram um dos primeiros artigos no qual expuseram as principais idéias crumer er ai., 1956). Eles estabeleceram os procedimentos de montagem da matriz de elementos e folJl)Ula: ções para os elementos que você aprenderá neste livro, mas não usaram o termo elementos finitos. O segundo autor desse artigo, Ray Clough, era professor em Berkeley, quando foi à Boeing para um trabalho de verão. Em seguida, ele escreveu um artigo no qual foi usado pela primeira vez o termo elementos finitos, e ganhou muitos créditos como um dos criadores do método. Ele trabalhou com elementos finitos por poucos anos, e então retomou aos métodos experimentais, mas o seu trabalho acendeu uma grande chama em Berkeley, conduzida por jovens professores, principalmente E. Wilson e R .L. Taylor e por estudantes de pós-graduação como T.J.R. Hughes, C. Felippa e K.J. Bathe, e Berkeley tomou-se o centro de pesquisas em elementos finitos por muitos anos. Essa pesquisa coincidiu com o rápido crescimento da potência de computadores, e o método foi rapidamente usado de modo amplo nas indústrias de energia nuclear, de defesa, automotiva e aeronáutica. Inicialmente, a maior parte da comunidade científica viu o MEF de forma muito céptica, e alguns dos periódicos de maior prestígio se recusaram a publicar artigos sobre o método: a típica resistência da humanidade (e, em parti-
I
~·-:---...--------------------------
lrrtrodução 3
cular, das comunidades acadêmicas) para o novo. Sem criticar, vários pesquisadores competentes reconheceram logo as vantagens do método, mais notadamente, O.C. Zienlàewicz e R.H. Gall~(em..Comell)_O~C-Zienkie.\!licz fundou um renomado grupo em Swansea no País de Gales, que incluiu B. Irons, R. Owen e muitos outros que criaram conceitos novos, como os elementOSisoparamétricos e os métodos de anális~ não-linear. Outros colaboradores novos e importantes foram J.H. Argyris e J.T. Oden. Posteriormente, matemáticos descobriram um artigo de f._ourant, de 1943...no qual ele usou elementos triangulares com princípios variacionais para .resolver problemas de vibraÇão. Em conseqüência, muitos matemáticos reclamam que esta foi a descoberta original do método (isso lembra um pouco a reclamação de que foram os Vlki.ngs que descobriram a América, e não Colombo). É interessante que por muitos anos o MEF necessitou de uma base teórica, isso é, não havia uma prova matemática de que as soluções por elementos finitos davam a resposta correta. No início dos anos 1960, essa área despertou o interesse de muitos matemáticos, que mostraram que, para problemas lineares, tais como aqueles que abordaremos neste livro, as soluções por elementos finitos convergem para a solução correta da equação diferencial parcial (desde que certos aspectos do problema sejãin suficientemente contínuos). Em outras palavras, mostrou-se que se o número de volumes de controle aumentar, as soluções melhoram e tendem, no limite, ·· a ser a solução exata das equações diferenciais parciais. E. Wilson desenvolveu um dos primeiros programas em eiementos finitos que foi amplamente usado. A rápida popularidade se deve ao fato de ele ser livre (gratuito), o que era muito comum no início dos anos 1960, pois o valor comercial dos programas não era reconhecido naquela época. O programa era limitado à análise de tensões bidimensional. Ele foi"usado e modificado por muitos grupos acadêmicos de pesquisa e laboratórios industriais e foi um instrumento que comprovou a força e aversatilidade de elementos finitos a muitos usuários. Então, em 1965. a NASA iniciou um projeto para desenvolver um programa com objetivo. geral em elementos finitos com um grupo da Califórnia liderado por Dick MacNeal. Esse programa, que ficou conhecido como NASTRAN. i_ncluiu um amplo conjunto de possibilidades, tais como a aríáliSede tensões em duas e trêS dime.ns.õ.es,..em..vig~ elementos de casca, para análise de estruturas complexas, como armaduras de avião, e análise de vibra~ões e resp.QS.tas. transientes de car~as dinâmicas. A NASA despendeu US$ 3 milhões nesse projet9 (o .equivalente a US$30 milhões hoje); O programa inicial foi de domínio público, mas ele tinha muitos problemas. Logo após a finalização do progtama, Dick MacNeal e Bruce McCormick fundaram uma empresa que cuidou mais dos problemas do programa, comercializando-o para a indústria. Por volta de 1990, o programa foi o cavalo de batalha de grandes empresas, e a companhia MacNeal-Schwendler contava com um patrimônio financeiro de US$100 milhões. Mais ou menos na mesma época, John Swanson desenvolveu um programa em ele~ntos.finitos.para.a...W.estinghous.e Electric Corp. para â análise de reatores nucleares. Em-1-969, Swanson deixou a Westinghouse para lançar no mercado um programa chamado ANSYS. O programa tinha capacidade para resolver problemaS lineares e não-!ineare:;, e foi logo amplamente adotado por muitas companhias. Em 1996, q~~ti[tomoú-se público, e em 2006 teve uma capi-' . talização de US$1,8 bilhão. Um outro pacote computacional não-linear de safra mais recente é oLJê-~W~'. Esse pro~ foi PF!!l~k~ mente desenvolvido no Livermore National Laboratocy pQr John.Hallquist. Em 1989, John Hallquist deixou esse iãbõfãtórioifulidõüãSüápiópriã""cõmpãnhia:·a. LTvermoreS-;;~·are and T~hnology, que comercializao programa. Inicialmente, o programa tinha apenas capacidade para resolver problemas dinâmicos e não-lineares. .E era usado principalmente para ensaios de impactos, laminação de metais e simulações padtões, como teste de perdas. Mas, Hallquist rapidamente acrescentou várias capacidades, assim como análises estáticas. Por volta de 2006, a companhia tinha uase 60 empregados. p Q~ foi desenvolvido por uma companhia chamada HKS, uefoi fundada em 1978. O ~a co~o objetivo inicial as aplicações não-lineares, mas gradualmente também foram adicionadas capacidades para aplicações lineares. O programa foi amplamente usado por pesquisadores, porque HKS introduziu portas no prográma e com isso pennitiu que os usuários adicionassem novos modelos e elementos. Em 2005, a companhia foi vendida para a Dassault Systemes por US$ 413 milhões. Como se pode notar, 5% das ações dessas companhias geraram um belo pé-de-meia.·É por isso que osjovens deveriam sempre pensar em abrir·se~ próprios negócios; geralm~nte, isso é muito mais lucrativo e excitante do que trabalhar para uma grande corporação. Em muitos projetos industriais, o banco de dados de elementos finitos toma-se um componente-chave do produto desenvolvido, pois é usado para uma grande quantidade de diferentes análises, embora em muitos casos a malha precise ser moldada para aplicações específicas. Um banco de dados de elementos finitos tem interface com o banco de dados CAD*., e é freqUentemente gerado a partir do banco de dados .~ . Infelizmente, em ambientes atuais, os - - -- ··------ ----- --dois-são substancialmente-diferentes.-Portanto;-sistemas-de-elemento&finitos-contêm-tradutores; que geram·maihas . de ele.mentos finitos a partir do banco de dados CAD; eles podem também.gerar màJ.has de elementos finitos a p~r da digitação de dados da superfície analisada. A necessidade de duas bases de dados causa grandes dores de cabeça e é um dos maiores obstáculos em análises computacionais atualmente, pois as duas bases não são compatíveis. A disponibilidade de uma grande variedade de capacidades de análises em um programa toma possíveis as análises de muitos problemas complexos da vida real. Por exemplo, o escoamento em·tomo de um carro e pelo compartimento do motor pode ser obtido por um solucionador de equações diferenciais de fluidos, chamado em inglês de computational fiuid dynamics (CFD). Iss!) permite aos projetistas prever o fator de arrasto e a forma do escoamento no compartimento do motor. O escoamento pelo çompartimento do motor é então usado como uma base para os cálculos
• A sigl_a ÇAJ) significa eril ingl!s Comp
4 CAPITULO UM
da transferência de calor no bloco do motor e no radiador. Esses cálculos levam à distribuição de temperaturas, que são combinadas com as cargas, para se obter uma análise de tensões do motor. De modo similar, no projeto de um computador ou microdispositivo, as temperaturas nos componentes podem ser determinadas pela combinação da análise de fluidos (para o ar escoando em torno dos componentes) e da análise de condução de calor. As temperaturas resultantes podem então ser usadas para determinar as tensões nos comp
•
•Pequen~ rotaç~o de
um
~vião
em tomo de seu próprio ei~o longitudin~l. (N.T.)
Introdução 5 106
lo'
., .......... -=·-.. .,o
•
CRAYC90
lol
•
PC
Q.
gc:;
~6 10-2
l
1950
1960
1970
1980
1990
2000
Anos
Figura 1.2 Evolução histórica da velocidade dos computadores.
eletrônica de chips é uma área onde houve uma tremenda melhora no preço e no desempenho, e isso mudou nossas ·· vidas e a prática em engenharia. O preço de um programa computacional em elementos finitos também diminuiu, mas só um pouco. Nos anos 1980, as taxas corporativas de uso de programas NASTRAN eram da ordem de US$200 mil a US$ 1 milhão. Ati uma peql.!ena empresa teria de pagar na ordem deUS$ 100 mil. Hoje, um programa NASTR.AN ainda custa cerca de US$65 ~por inst,alação, o custo do ABÀQUS começa em US$ 10 mil e o LS-DYNA custa US$ 12 mil. Felizmente, todas essas" companhias fazem versões disponíveis para estudantes por muito menos. A versão para estudante do ABAQUS é livre na compra deste livro; uma licença universitária para o LS-DYNA custa US$ 500. Assim, hoje você pode resolver problemas. em elementos finitos· no seu PC tão amplamente quanto aqueles resolvidos por supercomputadores nos anos 1990. Como as pessoas vivenciaram o rápido crescimento das possibilidades em engenharia ocasionado por computadores nos anos 1980, muitas previsões fantasiosas foram aventadas. Uma estória da Costa Oeste contava que, no século seguinte (este que estamos vivendo agora), quando um engenheiro fosse trabalhar usaria um capacete capaz de ler os seus pensamentos. O engenheiro então pegaria o esboço do projeto a ele conferido e visualizaria a solução. O computador geraria um banco de dados e uma tela, a qual o engenheiro modificaria com poucos retoques de sua caneta laser e "alguns pensamentos. Uma vez que o engenheiro considerasse o projeto visualmente satisfatório,·ele então pensaria na 'análise PelO MEF', o que lev"a ria o computador a gerar uma malha e uma tela de ten~ões. Ele então me?'eria em poucos lugares do p.rojeto, usandÓ uma caneta la5er ou a sua mente, e refaria algumas análises, até que o projeto ficasse bom. Então, o engenheiro apertaria um botão, um protótipo cairia na sua frente e ele poderia ir.surfar. ~om, isto não aconteceu. Hoje, de fato, a construção de malhas consome ~a significativa parte do tempo da produtos engenharia. e. é freqüentemente . . , ' tediosa e causa muitos atrasos no processo do projeto. Mas a qualidade dos
Tabela 1.1 Custos de alguns computadores e itens selecionados para uma estimativa de dólar sem inflação (de Hughes-Belytschko Curso Breve de MEF Não-Linear). Custo 1968
Computador CDC 6600 (0,5-1 Mftop) Computador 512 Beowulf cluster (2003) 1 Tftop PC (200-1.600 Mflops) Salário inicial de um Engenheiro Mecânico nos Estados Unidos Salário inicial de um Professor Assistente de Engenharia nos Estados Unidos Um ano de.aplicação na Northwestem Carro sedan GM, Ford ou Ctuysler Carro Mercedes SL Diminuição real de custo da potência computacional Alguns valores slio aproximados
2005
US$ 8.000.000
USS 9.000 11.000 US$ 1.800 uss 3.000 7.000
uss
uss
US$500.000 uss 500-3.000 USS 51.000 US$75.000 uss 31.789 uss 22.000 USS90-120K 107 para 101
6 CAPíTULO UM
que podem ser projetados com a ajuda do CAD e do MEF é bastante surpreendente, e pode ser feita muito mais rapidamente do que antes. A próxima década assistirá provavelmente algumas importantes mudanças, e, em vista do risco de.previsões, não faremos nenhuma, mas indubitavelmente o MEF exercerá um papel em sua vida em tUdo o que você fizer.
1.2 APLICAÇÕES DE ELEMENTOS FINITOS Na seqüência, daremos alguns exemplos de aplicações de elementos finitos . A faixa de aplicaÇões de elementos finitos é muito ampla para listar, mas para dar uma idéia da sua versatilidade listamos as seguintes: a. análise de tensões e térmica de peças industriais tais como chips eletrônicos, dispositivos elétricos, válvulas, tubos, vasos de pressão, motores automotivos e aeronáuticos; b. análises sísmicas de represas, plantas de potência, cidades e arranha-céus; c. análise de impacto de carros, trens e aeronaves; d. análise do escoamento de líquidos refrigerantes, poluentes e contaminantes1 além de ar em sistemas de ventilação; e. análise eletromagnética de antenas, transistores e componentes de aeronaves; f. análise de procedimentos cirúrgicos, tais como cirurgias plásticas, reconstrução maxilar, correção de escoliose e muitas outras. Esta é uma lista muito pequena que dá a você apenas uma idéia da amplitude das áreas de aplicação do método. Novas áreas de aplicação estão constantemente surgindo. Assim, há poucos anos, a comunidade médica ficou muito excitada com as possibilidades de uma medicina preventiva para pacientes específicos. Uma aproximação em medicina preventiva tem por objetivo usar a visualização médica e o monitoramento de dados para construir um modelo de.u.ma parte da.anatomia e da fisiologia de um indivíduo. Por exemplo, a Figura 1.3(a) mostra uma mão ferida e uin modelo de elementos finitos. Esse modelo pode ser usado para planejar o procedimento cirúrgico e aperfeiçoar a sutura do local. Modelos de coração, como aquele mostrado na Figura 1.3(b), são ainda tópicos preliminares de pesquisa, mas espera-se que eles sejam usados para projetar substituições de válvulas e muitos outros procedimentos cirúrgicos. Uma outra área em que elementos finitos foram usados por um longo período de tempo é o projeto. de próteses,. tais como mostrado na Figura 1.3(c). A maioria dos. projetos de próteses ainda é genérica, isto é, uma simples prótese é projetada para todos os pacientes com algumas variações no tamanho. Contudo, com a medicina preventiva, é ainda possível analisar as características de um paciente em particular tais como andadura, estrutura óssea e muscular, e chegar a um projeto ótimo de uma prótese. A AEF de componentes estruturais reduziu significativamente o tempo do ciclo de um projeto e realçou a qualidade geral do produto. Por exemplo, na indústria automobilística, a AEF linear é usada em análise de acústica para reduzir barulhos no interior do carro, para análise de vibrações, para melhorar o conforto, para otimizar a rigidez do chassi e para aumentar o tempo de vida por fadiga dos componentes da suspensão no projeto do motor, de modo que as temperaturas e tensões sejam aceitáveis, e em muitas outras tarefas. Já mencionamos anteriormente análises em CFD do bloco e dos compartimentos do motor. Os MEF usados nessas análises são exatamente como os descritos neste livro. A AEF.não-linear é usada para análise de impactos com modelo tanto para o carro quanto para os o.cupantes; um modelo em elementos finitos para análise de impacto é mostrado na Figura 1.4(a) e um modelo em elementos finitos para análise da previsão de rigidez é mostrado na Figura 1.4(c). Observe o extraordinário detalhamento do último; esses modelos ainda necessitam de centenas de horas de trabalho para serem desenvolvidos. A importância de tal modelagem é que o número de protótipos necessários no processo de projeto pode ser reduzido significativamente.
(a)
(b)
Figura 1.3 Aplicações em medicina preventiva. (a) Malha de cobertura de um modelo de mão perto da ferida.' (b) Seção transversal de modelo de.coração.2 (c) Porção do quadril. para: substituição: objeto físico e modelo em elementos finitos. 3
'Com permissão de Mimic Technologies. 'Conesia de Chandrajit Bajaj, Universidade do Texas em Austin. • Engineering Ditectorate, Lav.,.enc·e Livennore National Laboratory.
3Conesia de
Introdução 7
(3)
para impacto do Ford Taurus;) (b) modelo Figura 1.4 Aplicações em projeto de avião e segurança contra impactos de veículo: (a) modelo em elementos finitos tomo de um carro.' em escoamento (c) e massa• de centro e empenagem em elementos finitos da fuselagem do C-130,
é impeA Figura l.4(b) mostra um modelo em elementos finitos para um avião. No projeto de urna aeronave, a conduzam não repetitivas, algumas raras, muito algumas cargas, de rativo que as tensões incursas de milhares evolutivo processo um seguia projeto tal AEF, da ade disponibilid da Antes fadiga. por ou catastrófica falha uma as cargas. pesado (em que os novos projetos baseavam-s e nos antigos), como a realização de testes para todas direção a em como assim estrutural, projeto no mudanças muitas fazer Isso não é prático. Com a AEF, é possível materiaís compósitos. de Em uma veia completamente diferente, elementos finitos também desempenluim um amplo papel na criação dispersão da visualização uma é 1.5 Figura a exemplo, Por leis ambientais e na redução de danos ao meio ambiente. por cores, de um aerossol químico no meio de Atlanta, obtida por AEF; a concentração de aerossol é representad a arranhados virtude em área desta complexa topografia a que Observe vermelho. em o concentraçã maior a coin Outras análise. essa por ente detalhadam céus, a qual é crucial para a determinação da dispersão, pode ser tratada terrede modelagem à respeito dizem es, possibilidad áreas de redução de danos, na qual a AEF oferece grandes das sísmica resistência a melhorar para usadas sendo estão quaís as , motos e às respostas sísmicas de construções chaminés das proveniente calor de dispersão a e estruturas as sobre vento do efeitos dos modelagem construções, a ifusão, que de usinas de eletricidade. Essa dltima, como a dispersão de aerossóis, envolve a equação de advecção-d de dispersão a modelar para usada ser pode é um dos tópicos deste livro. A equaÇão de advecção-difusão também extensa envolve tópicos diferentes esses para equações dessas drogas no corpo humario. Naturaimente, a aplicação tópico de modelagem, que é o valor adicionado por engenheiros com experiência e conhecimen to, e constitui o 9. e 8 Capítulos nos tratado é que validação,
Figura 1.5 Dispersão de agentes químicos e biológicos em Atlanta. As cores vermelha e azul representam os concentração de contaminantes.'
'Cortesia de Engineering Directorate. Lawrencc Livennore National Laboratory. 'Cortesia de Mercer Engineering Research Center. 'Cortesia de Marlc Shephanl, Rensselaer. 'Cortesia de Shahtouz Ali:lbadi.
níveis maiores e menores da
8 CAPITULO UM
Álgebra Matricial e Programas de Computador Recomenda-se que os estudantes se familiarizem com álgebra matricial e programação antes de se dedicarem a este livro. Uma introdução em álgebra matricial e aplicações em MATLAB é dada em um capítulo em versão eletrônica (Capítulo 12) que' está disponível no endereço www. wileyeurope/college!Fisb. Essa página eletr9nica também inclui o programa MATLAB, que é mencionado neste livro, e outros programas MA1LAB para análise em elementos finitos. Escolhemos usar uma versão eletrônica de capítulo para este material para fornecer uma opção de atualização desse material em MATI.AB e para fazer a mudança de programas. Convidamos os leitores que desenvolveram outros programas em elementos finitos no MATLAB a entrar em contato com o primeiro autor (Jacob Fish) sobre a inclusão de seus programas. Também criamos um blog, onde estudantes e professores podem trocar idéias e programas alternativos em elementos finitos. Esse fórum de debates é apresentado em http://lcoursefem.blogspot.com/
REFERÊNCIAS Courant, R. (1943) Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibrations. Bull. Am. Mcuh. Soe., 42, 2165-86. Mackerle, J. Linkoping lnstirute of Technology, S-581 83 Linkoping, Sweden, http://ohio.U..']l.liu.se/fe Noor, A.K. (1991) Bibliography of books and monographs on tini te element technology. Appl. Meeh. Rev., 44 (8), 307-17. Tumer. MJ., Clough, R.W., Martin, H.C. and Topp, LJ. (1956) Stiffness and deftection analysis of complex structures. J. Aeronaut. Sei., 23, 80.5-23.
2 Aproximação Direta para Sistemas Discretos o
método de elementos finitos (MEF) consiste nos seguintes cinco passos:
1. Pré-processamento: subdivisão do donúnio do problema.em elementos finitos. 2. Formulação dos elementos: desenvolvimento de equações para os elementos. 3. Montagem: obtenção do sistema global de equações a partir das equações individuais dos elementos. 4. Resolu~ão das equações. da visu5. Pós-processamento: determinaçã o de valores de interesse, tais como tensões e deformaçõe s, e a obtenção alização das respostas. auxiliada por O passo 1, a subdivisão do domínio do problema em elementos finitos em ambiente de engenharia treliças, tais de problemas computador es (CAE) atuais, é executado automaticam ente por geradores de malhas. Para a descrição 2, passo O finito. elemento um por como o mostrado na Figura 2.1, cada membro da treliça é representado para parciais diferenciais equações das ento desenvolvim o exige gerabnente do comportame nto de cada elemento, em situações Todavia, capítulos. próximos dos objetivo principal o será Isso fraca. formulação sua a e o problema diretamente , simples, tais como sistemas de molas ou treliças, é possível descrever o comportame nto de um elemento fraca. formulação sua a ou sem a consideraçã o de uina equação diferencial parcial de governo elementos Neste capítulo, colocaremo s em evidência o passo 3, como combinar as equações que governam os Antes matricial. forma na expressos são equações das elementos Os sistema. do equações as obter para individuais 2. passo o treliças, e molas de conjunto disso, desenvolvemos algumas matrizes de elementos finitos simples para resultados. de amento pós-process o para Também introduzimos os procedimen tos
2.1
DESCRIÇÃO DO COMPORTAMENTO DE UM ELEMENTO DE BARRA SIMPLE S freqUenUma estrutura de treliça, como a mostrada na Figura 2.1, consiste em uma coleção de elementos delgados, apreque modo de temente chamados de barras. Esses elementos de barra são considerado s suficient~mente finos, de dobragem, de forças as emente, Conseqüent . sentam resistência à torção, dobragem e cisalhament o desprezíveis forças as são barras em importantes internas forças únicas As . cisalhamento e de torção são consideradas inexistentes elementos de axiais internas, de modo que o comportame nto desses elementos é similar a0 das molas. Alguns dqs arbitrário tf>, ângulo um em barra na Figura 2.1 estão alinhados h~rizontalmente, enquanto outros estão posicionado s em nós, agindo nodais, internas forças como mostrado na Figura 2.2(b). Nesta seção, mostramos como relacionar unidibarra a para ente, respectivam e(~. F;) , (Fpor denotados para os deslocamentos Mdais corresponde ntes, 1 (F~•• F~... F;,, F;) e são elemento um de nodais forças as dimensões, duas Em 2.2(a). Figura na mostrada mensional os deslocamen tos nodais são (~ •• u~... u'lz, u;,) .
u;>.
10 CAPITULO DOIS
Figura 2.1 Uma ponte àe treliças.
Notação . Em todas as partes deste livro-texto, a seguinte notação é usada. Os índices referentes ao elemento aparecem como sobrescritos. Os índices àos nós aparecem como subscritos; quando a variável é um vetor com componentes. a indicação da componente vem depois do índice do nó. Quando a variável tem apenas um elemento sobrescrito, então o índice do nó é uma indicação local; caso contrário, ela é um índice do nó global. A distinção entre índice do nó local e global será descrita depois desta seção. Por exemplo, u~: é a componente y do deslocamento do nó 2 do elemento 5. Iniciaremos considerando elementos alinhados horizontalmente na Seção 2.1. Problemas bidimenslonais serão considerados na Seção 2.4. Considere um elemento de barra posicionado ao longo do eixo x, como mostrado na Figura 2.2(a). A forma da seção transversal é bastante arbitrária, como mostrado na Figura 2.3. Neste capítulo, consideraremos que a barra é inflexível, seu material obedece a lei de Hooke e que pode suportar apenas carregamento axial, isto é, ela não transmite esforços de dobramento, cisalhamento e torção. O módulo de Young do elemento e será denotado por E', a sua seção transversal por A' e o seu comprimento por/'. Por causa das suposições sobre as forças no elemento, a única força interna é uma força interna axial, que é colinear com o comprimento do eixo da barra. A força interna através de alguma seção transversal da barra é denotada por p'. Supõe-se que a tensão axial é constante na seção transversal e é dada pela força interna dividida pela área de seção transversal. p•
u' = -
{2.1)
A'
A força e a tensão axial são positivas na tração e negativas na compressão. As seguintes equações governam o comportamento da barra: 1. Equihôrio do elemento, isto é, a soma das forças internas nodais atuando no elemento é igual a zero:
F1 +Fi= o.
(2.2)
2. A lei da tensão-deformação elástica, conhecida como lei de Hooke, que estabelece que a tensão O' é uma função linear da deformação e':
a• =E'e'.
(2.3)
3. A deformação da estrutura deve ser compaúvel, isto é , fendas ou sobreposições não se podem desenvolver na estrutura depois da deformação.
É importante reconhecer a diferença entre a convenção de sinal para a força interna axial (e para a tensão) e aquela para as forças internas nodais. A força interna p' é positiva na tração e negativa na compressão, isto é, p' é positiva quando aponta para fora da superfície sobre a qual está agindo; as forças internas nodais são positivas quando elas apontam na direção positiva x e não são associadas com superfícies (veja Figura 2.4).
-..=------=>+ . ~· ~
~. ~
I
2
(:I)
(h)
Figura 2.2 Diferentes configurações de elementos de barra: (a) barra alinhada horizontalmente e (b) elemento de barra posicionado sob um ângulo arbitrário em duas dimensões (veja Seção 2.4).
'·,.
Aproximação Direta para Sistemas Discretos 11
T Figura 2.3 . Ex~ . pios de seções . transversais de
'um elemento de barra
Também necessitaremos de uma definição de defonnação para aplicar-se a lei de Hooke. Apenas a deformação axial
e• é diferente de zero, sendo definida como a razão entre a elongação f/ pelo comprimento original do elemento: ó•
e• =F·
(2.4)
.Agora, desenvolveremos a matriz de rigidez do elemento, que relaciona forças internas nodais dos elementos aos deslocamentos nodais do elemento. A matriz de força interna do elemento é denotada por F" e a matriz de deslocamento do elemento por d•. Para esse elemento de dois nós, essas matrizes são dadas por:
- [~1 "2J'
~= [~].
d. -
A matriz K• de rigidez do elemento que relaciona essas matrizes será agora desenvolvida. A matriz é obtida pela aplicação da lei de Hooke, das equações de tensão-deformação e das condições de equih'brio: Fi = p' =A'cr definição de tenSão (Equação [2. i)) = A'f:t' lei de Hooke
(2.5)
A~e 6'
definição de deformação (Equação [2.4])
e•
A elongação de um elemento pode ser expressa em termos dos deslocamentos nodais (veja ;Figura 2.4) por:
ó' = UÍ- u~,
(2.6)
que é obtida assim: como z:_ = I• + u; + u~. então de f/ = I:_, ~ l', segue (2.6). N~te que quando u; = u;, que corresponde à translação de corpo rígido, a elongação desaparece. A substiruição · d.e (2.6) em (2.5) fornece: (2.7) onde k' é dado por A'E" fé=-.
(2.8)
z•
:Oa condição de equilíbrio do elemento de barra (2.2) e (2. 7), segue-se que
Ff =-Fi= ~<"i- &4).
(2.9)
As Equações (2.7) e (2.9) podem ser escritas na forma matricial como
[Fj]
f~ ......_.......
= [ k'
-k']
--- -r - - ----K•jc
~/I I c
u•I
-
(2.10)
d"
)oi
......
I'
2l
2
r
["i]
-k' k' z4 . _____......._.......
)oi
4
, lo
c ·
p'
p•
F{
9-+
u•1
F1gura 2.4 Elongação de um elemento e diagramas de corpos livres, mostrando o sentido positivo de p' e
'' · .~
..
F;.
12
CAPITULO DOIS
Usando as definições assinaladas, podemos escrever a relação entre as forças nodais e os deslocamentos nodais como , [ ~ -~] A'E' [ I (2.11) F'= K•d•, 1 . - l ~ =T onde K = -~
-1]
Aqui, K• é a chamada matriz de rigidez do elemento. Podemos usar essa rigidez do elemento para alguma área constante do elemento de barra em uma dimensão. Essa universalização das matrizes de rigidez do elemento de barra é um dos atributos do MEF que leva à sua versatilidade: para qualquer elemento de barra com área constante A' em uma dimensão, a Equação (2.11) fornece a matriz de rigidez. Depois, desenvolveremos matrizes que se aplicarão a qualquer elemento triangular ou quadrilateral com base na solução fraca de equações diferenciais em vez de usar argumentos físicos. A Equação (2.10) descreve a relação entre as forças nodais e os deslocamentos para um elemento simples, isto é, descreve o comportamento de um elemento. Observe que isto é uma relação linear: as forças nüdais são linearmente relacionadas com os deslocamentos nodais. Essa linearidade surge da linearidade de todos os ingredientes que descrevem esse comportamento do elemento: a lei de Hooke, a linearidade entre as forças e tensões axiais e a linearidade da expressão para a deformação. Uma característica importante da matriz de rigidez do elemento é que ela é simétrica, isto é, K' = KtT.
2.2 EQUAÇÕES PARA UM SISTEMA O objetivo desta seção é descrever o desenvolvimento das equações para o sistema completo de matrizes de rigidez dos elementos. Introduziremos as operações de dispersão dos coeficientes e de montagem das matrizes que são usadas para esse propósito. Essas são usadas em todas as partes do MEF, inclusive nos problemas mais complexos, assim, o domínio desse procedimento é essencial ao aprendizado do MEF. Descreveremos o processo de desenvolvimento dessas equações por meio de um e:~Cemplo. Para isso, considere o sistema· de duas barras mostrad9 na Figura 2.5, que também dá as propriedades dos materiais, das cargas e as condições de apoio. Em um·dos apoios, o deslocamento é um valor dado; nós o especificaremos depois. Os deslocamentos nodais e as forças nodais são positivas na direção positiva x. O primeiro passo na aplicação do MEF é dividir a estrutura em elementos. A seleção e geração de uma malha para modelos em elementos finitos é um tópic9 e:~Ctenso que será discuúdo em capítulos subseqüentes. No caso de uma estrutura discretizada como esta, é necessário apenas colocar nós onde as cargas estão aplicadas e em pontos onde as propriedades da seção ou do material mudam; assim, a malha do elemento finito constituída dos dois elementos mostrados na Figura 2.5(b) é adequada. Os elementos são numerados por 1 e 2, e os nós são numerados de 1 a 3; nem os nós nem os elementos necessitam ser numerados em urna ordem específica no MEF. Comentaremos sobre a numeração de nós na Seção 2.2.2. Em cada nó, ou as forças externas ou os deslocamentos nodais são conhecidos, mas não os dois; por exemplo, no nó 1 o deslocamento u 1 = u1 é prescrito, por isso a força a ser subseqüentemente referida como reação r 1 é desconhecida. Nos nós 2 e 3 as forças externas.!; e.t; são conhecidas, e por isso os deslocamentos u2 e u3 são desconhecidos. Para cada elemento mostrado na Figura 2.6, as forças internas são relacionadas com os deslocamentos por meio da matriz de rigidez dada na Equação (2.11 ). As equações de rigidez dos elementos, obtidas na Seção 2.1.1, são repetidas aqui por conveniência (e:::: 1, 2): ou
F' = K''d'"
F1] = .[ -/.;k'.r [Fí
(2.12)
As equações do sistema global serão construídas forçando-se a compatibilidade entre as condições de equillôrio dos elementos e dos nós. Para desenvolver o sistema de equações, escreveremos as equações de equilíbrio para os três nós. Com essa finalidade, construímos diagramas de corpo livre dos nós mostrados na Figura 2.7(c). Observe que as forças sobre os elementos são iguais e opostas às forças correspondentes sobre os nós pela terceira lei de Newton.
(a)
(b)
••
cC:JG•';.•u.l~rz t;..•u~.tr'í· ü, 3
(1 l
2
(2)
I
Figura 2.5 (a) Estrurura constituída de duas barras e (b) modelo de elemento finito (os números dos elementos estão entre parênteses).
·---·
------ ------ ------ ------
Aproximação Direta para Sistemas Discretos 13 ~·· ,,, ... r.", ·~·'':
Figura 2.6 Separação da estrutura da Figura 2.5 em dois elementos.
(2.13)
Cada linha da equação matricial anterior é uma equação de equilíbrio de um nó. No lado direito estão as forças externas aplicadas e as reações, que são dispostas na matriz f e r, respectivamente. A matriz f consiste nas forças externas prescritas (conhecidas) nos nós,f2 ef3, a matriz r consiste na força desconhecida no nó 1, denotada •• . por r 1• A equação anterior pode ser resumida assim: a soma das forças internas dos elementos é igual à soma das forças externas e das reações. Isso difere um tanto da bem conhecida condição de equillbrio na qual a soma das forças em um ponto precisa anular-se. A razão para essa diferença é que as forças nodais dos elementos, que são forças que aparecem na matriz de rigidez do elemento, atuam sobre os elementos. As forças exercidas pelos elementos sobre os nós são iguais e opostas. Note que as forças dos elementos são indexadas com os subscritos 1 e 2; esses são fndices nodais locais. Os nós da malha são os fndices nodais globais. Os índices nodais locais de um elemento de barra são sempre os ntlmeros 1 e 2, na direção positiva x. Os índices globais nodais são arbitrários. Os índices nodais globais e locais para este exemplo são mostrados na Figura 2.7(a) e (b), respectivamente. Usaremos agora as equações de rigidez do elemento para expressar as forças nodais internas do elemento (lado esquerdo da Equação [2.13]), em termos dos deslocamentos nodais globais do elemento. Para o elemento), os índices nodais globais são os ntlmeros 2 e 3, e a equação de rigidez (2.12) fornece (2.14)
Note que substituímos os deslocamentos nodais por deslocamentos nodais globais. Tal substituição força a compatibilidade, pois assegu.-a que os deslocamentos de elementos com nós comuns fiquem idênticos.
Para o elemento 2, os índices nodais globais são 1 e 2, e a equação de rigidez (2.12) fornece
[~1::] = [~~~~)
1;~> ][ :~].
(2.15)
As expressões anteriores para forças nodais internas não podem ser substituídas diretamente no lado esquerdo da Equação (2.13), porque as matrizes não são do mesmo tamanho. Por isso, ampliamos as matrizes de força interna em (2.14) e (2.15) acrescentando zeros; similarmente, ampliamos as matrizes de deslocamento. Os termos ~s matrizes de rigidez dos elementos em (2.14) e (2.15) são rearranjados e a matriz é ampliada ainda mais do que as outras e zeros são adicionados onde esses termos não t!m efeitos. Os resultados são
-~
(a)
~
......ú~-4 a....-~~ 2
(b)
t
?." ~ (c)~ Figura 2.7 Diagramas de corpo livre dos nós e dos elementos (as forças externas são mostradas acima dos nós, mas atuando na mesma linha): (a) sistema completo com os índices globais. dós nós; (b) diagramas de corpo livre dos elementos com os índices locais dos nós, e (c) diagramas de corpo livre dos nós.
14 CAPITULO DOIS
[),··l [~ F
~ F(tl
=
o
k(l) -k{l)
-~(') k{l)
l[: l
:F10 = :K11>d .
ou
(2.16)
U3
...____....
:K!tl
d
Observe que adicionamos uma linha de zeros na linha 1 correspondente à força do nó 1, de modo que o elemento 1 não exerce força sobre o nó 1, e uma coluna de zeros na coluna 1, de modo que o deslocamento do nó 1 não afeta o elemento 1 àiretamente. De modo similar, uma equação ampiiada para o elemento 2é
ou
(2.17)
As matrizes nas equações anteriores são agora do mesmo tamanho que na Equação (2.13) e podemos substituir as Equações (2.16) e (2.17) pela Equação (2.13) para obter
ou na forma matricial (2.18)
Essa expressão representa o conjunto das equações de rigidez e a variável entre parênteses é o conjunto das matrizes de rigidez, que nesse caso é dado por
(2.19)
A matriz de rigidez K é singular, como pude facilmente ser visto pelo cálculo do determinante. Para obter um sistema solucionável, as condições de contorno devem ser prescritas. Resumiremos agora o que fizemos para obter a matriz de rigidez global. Primeiram ente, expandimos as matrizes de rigidez, dispersando os seus coeficientes acrescentando zeros aos espaços vagos. As novas matrizes assim obtidas são de tamanho s iguais, de acordo com o fndice global de n6s. Então, adicionam os essas matrizes para obter a matriz global de rigidez. Então, o processo de obtenção da matriz global de rigidez consiste em dispersão e adição de matrizes. Isto é resumido na Tabela 2.1. Podemos pular a adição de zeros e montar a matriz global diretamente apenas adicionan do os termos nos elementos de rigidez de acordo com o seu índice de nó global como mostrado na Tabela 2.1. Esse processo é chamado montagem direta. O resultado é equivalent~ ao da matriz com coeficientes dispersos e de adição. A montage m da matriz de rigidez em programas de computadores é feita por meio da montagem direta, mas o conceito de matriz com coeficientes dispersos e matrizes adicionadas é útil, pois explica como a compatib ilidade e o equilíbrio são forçados no âmbito global.
· 2.2. 1 Equações para Montag em A seguir, desenvolveremos os procedimentos de montagem em termos de equações . Nessa aproximação, a compatibilidade entre elementos é forçada relacionando-se os deslocamentos nodais do elemento à matriz global de deslocamento d = [u 1 u2 u)]T pelas equações. Essas equações são escritas a seguir:
d (2)
= [ UI(2) J = ·r o J2l
-l
1
1
o
[ü o1 o
..._____,_ _....
1
U2
l
(2.20)
U3
L (2l
ou em geral
d'
= L•d.
(2.21)
Aproximação Direta para Sistemas Discretos 15 montagem direta Tabela 2.1 Matriz com coeficientes dispersos, matrizes adicionadas e
Matriz com os coeficiebte:s dispersos e adicionados • Dispersão dos coeficientes do elemento 1, nós 3 e 2
k<•> -k<'> ( -k(l) k{l) ] .
K <•) --
~
K- <•> --
[oo. o
ko<•>
-k{l)
-ko<•> k{l)
l
Dispersão dos coeficientes dÔ elemento 2, nós 2 e I
Matrizes adicionadas
Montagc~ direta
(!)- [
K
-
(3] {2)- [ k(2)
K
-
-k<2l
[2]
[
~,,
k(l) -k< 1l] [3] -k
K
=
-~(2l
-k(2) k (t)
+k(2)
- k{l)
[2]
[1]
[2]
o k(l)
-k(ll
]1'(2]1 [3]
[3]
-k<2>] [2] k(2)
[1]
[1 J
deriva do fato de que essas matrizes ret1nero As matrizes V são chamad as de matrizes reunidas. O nome reunida que essas equaçõe s afumarn que o deslocaos deslocamentos nodais de cada element o da matriz global. Observe ndente, o que é equivalente a forçar a correspo global nto mento do element o em um nó é o mesmo que o desl~e compatibilidade. por coeficientes iguais a um e zero. As manizes L• são matrizes Boolean as, que são constituídas estritamente is relacionando o elemento às ÍÍ!atricia ~s Elas desemp enham um importante papel no desenvolviMento de express matrizes globais. como Usando a Equação (2.11), as equaçõe s do element o podem ser escritas
(2.22)
K•Jfd =F".
A compatibilidade é automaticamente foiçada pela Equação (2.20). (2.13) pode ser expresso como Pode ser observado que o primeiro termo do primeiro membro da Equação
[A·']= [~ ~] [4::]
=
--------------~
F<'l 1-
1 O ~
1
L
F2
- - - -- - - - - -
é igual a ao passo que o segundo tenn:o do segundo membro da Equação (2.13)
ição das duas equaçõe s anteriores na Observe que (V)T dispersa as forças nodais na matriz global. A substitu Equação (2.13) fornece (2.23)
b
16
CAPITULO DOIS
Embora tenhamos mostrado a relação entre as forças interna e externa e as reações para um exemplo específico, a Equação (2.23) sempre ocorre. A relação geral é obtida na Seção 2.5. Para eliminar as forças internas do elemento (incógnitas) da Equação (2.22), pré-multiplicamos a Equação (2.22) por vr e então as adicionamos em conjunto. Assim, a pré-multiplicação das equações do elemento (2.22) por vr fornece
e= 1,2. Agora vamos definir o sistema de equações para o sistema inteiro. Pela adição das equações do elemento (e= 1, 2), obtemos (2.24)
Kd =f+r, onde K é chamado de matriz global de rigidez e é dado por
K
= fuTKtL'
(2.25)
e~ I
onde n,1 é o nílrnero dos elementos; nesse caso, n,, = 2. A equação anterior dá o procedimento de montagem em termos de uma equação. Ela é equivalente à montagem direta e à montagem pela matriz com coeficientes dispersos e das matrizes adicionadas. Sempre que essa equação aparece, indica montagem das matrizes do elemento na matriz global (para malhas gerais, o intervalo de e será de 1 a n). Pela comparação com a Equação (2.19), podemos ver que (2.26) Logo, a matriz de rigidez com coeficientes dispersos corresponde à pré- e pós-multiplicação de K• por vr e L', respectivamente. A substituição das expressões das matrizes de rigidez dos elementos (2.12) em (2.24) e usando (2.25) fornece a equação global (2.27)
Esse sistema de três equações pode ser resolvido para as três incógnitas u2, uJ e r 1,como descrito na próxima seção.
2.2.2 Condições de Contorno e Solução do Sistema Agora prosseguimos com o processo de solução do sistema de equações globais. Para isso, vamos considerar os deslocamentos prescritos Ü 1 = 4/Jél) no nó I e nas forças externas f; = -4 e f, = 10 atuando nos nós 2 e 3, como mostrado na Figura 2.8. O sistema de equações globais (2.27) é então: (2.28)
Existem várias formas de modificar essas equações para impor as condições de contorno de deslocamento. No primeiro método, o sistema global é partido, dependendo se o deslocamento do nó é prescrito ou não. Partimos o sistema de equações em E nós e F nós. Os E nós são aqueles nos quais os deslocamentos nodais são conhecidos (E refere-se a essencial, cujo significado ficará claro em capítulos posteriores), enquanto F nós são aqueles nos quais os deslocamentos não são conhecidos (ou são livres). Os subscritos E e F na matriz global de deslocamento, d na matriz global de força, f
= [::].
= [ ~:]. e na matriz de reação, r = [ ~:]. denotam os blocos correspondentes; r
F
= O
porque não há reações nos nós livres; presume-se que as forças externas neste capítulo correspondentes aos E nós desaparecerãO, fE = 0.
..t; =lO
(I)
h= -4
~ 3
kfll
2
~-
c:!)
kfll
4
~I,=Fzi
I
lj
Figura 2.8 Dois elementos de estruturas de treliça com forças externas aplicadas e condições de contorno.
.~ --------------------------------------------------................. ......
Aproximação Direta para Sistemas Discretos 17
Por conveniência, quando resolvemos as equações, seja manualmente ou por utilização do programa MA'Il...AB (Capítulo 12), os E nós são numerados inicialmente. Em _Beral, a numeração ótima é baseada em considerações de eficiência computacional. O sistema da Equação (2.28) é então partido como a seguir:
fii---::Zm-j-[-~!l;;-~-_:4] [!~~;i--kc~f~~ 10 0 ! ~-kl 1 )
(2.29)
ou
u3J
k(l)
f
onde
KEF = [-k<2l Oj, re=
hl.
As incógnitas nesse sistema de equações são ~ e segunda linha da Equação (2.29), teremos
enquanto
rE,
dE, fP 1!11 e JP>são conhecidas. Se escrevermos a
1 Se subtrairmos o primeiro termo de ambos os lados da equação antericr e pré-mi.Jltiplicannos por K; , obteremos
dp = Kf" 1(fp - KL:dE)·
(2.30)
Essa equação nos pennite obter os deslocamentos nodais desconhecidos . A partição também nos pennite obter a força de reação, r E. Escrevendo a primeira linha de (2.29), obtemos (2.31) Como ~ é conhecido da Equação (2.30), podemos avaliar o segundo membro da equação anterior para obter a reação r ePara o problema das duas barras, a solução dos deslocamentos desconhecidos pela Equação (2.30) usando (2.29) gera
u2 ]
[ UJ
_ -
[k<1>+k<2> -k] k{l ) _ ,t(l)
1
{[-4) _[-k< >]r 1 (2)1} 2
10
0
14
k
'
que fornece
A força de reação é encontrada da Equação (2.31) e é dada por r1
= - 6.
Pode ser mostrado que ~é definido positivo (veja Problema 12.3 no Capítulo 12). O segundo método para imposição das condições de contorno do deslocamento consiste em substituir as equações correspondentes aos deslocamentos prescritos por equações triviais que ajustam os deslocamentos nodais aos seus valores corretos, ou e.m cálculos manuais, para modificá-los todos juntos. Pomos o produto da primeira coluna de K e no segundo membro e substituímos a. primeira equação por u 1 = ü'1• Isso leva a
u1
. --- -
_
_j
01 0
k(l)
o k(l) +
-k(l)
o
JJ;J• = [-4 - (
-k(l)
U2
k{l)
U3
-k(l))ÜJ Üt
l .
(2.32)
-~_!E - (0)~~ .
pode-se ver que as equações anteriores podem ser resolvidas manualmente considerando apenas as duas · últimas equações. As reações podem ser então calculadas pela avaliação das linhas das equações totais de rigidez: que dão as reações. · Da linha 1 da Equação (2.29), obtemos
Novam~nte,
, ~ [•(" -<"'o][:;] ~
-6
O terceiro método para iuiposição das condições' de contorno é o método da penalidade. Este é um método muito simples para programar, mas deve ser usado apenas para matrizes de tamanhos moderados (até aproximadame nte 10.000 incógnitas) porque ele tende a reduzir o condicioname nto das equações (veja Saad [1996] e George e Liu
18 . CAPÍTULO DOIS
[1986]). Nesse método, os deslocamentos prescritos são impostos pondo um número muito grande na entrada correspondente ao deslocamento prescrito. Assim, para o exemplo considerado, mudamos as equações para (2.33)
onde {3 é um número muito grande. Por exemplo, em um computador com oito dígitos de precisão, tomamos {3 107 em média (K;). Os outros termos na linha 1 e na coluna 1 então ficam irrelevantes porque eles são muito menores que o termo da primeira diagonal, e as equações são quase idênticas àquelas de (2.32). O método pode ser fisicamente compreendido em análises de tensões como na união de uma mola muito rígida entre o nó 1 e o suporte, o qual é deslocado por ü'1• A mola rígida então força o nó 1 a mover-se com o suporte. O método da penalidade é mais facilmente compreendido quando üi = O; nesse caso, ele corresponde a uma mola presa a um suporte estacionário e o deslocamento do nó I é muito pequeno. As reações podem ser avaliadas como foi feito para os métodos anteriores. Entraremos em detalhes sobre o método da penalidade nos Capítulos 3 e 5.
Exemplo2.1 Três barras estão unidas como mostrado na Figura 2.9. As extremidades esquerda e direita são fixas, isto é, o deslocamento prescrito vale zero·para ambas as extremidades. Há uma força de 5 N atuando sobre o nó intermediário. Os nós são numerados a partir daqueles onde os deslocamentos são prescritos. As matrizes de rigidez dos elementos são
[lj K (l} --
[ k(l} - k(l)
[3)
[i] [1] K(2) [3] '
= [ k< 2>2
[lJ K(3l [3),
-k< )
=[
3
k( ) -k(J)
onde os índices globais correspondentes aos nós estão indicados acima de cada coluna e à direita de cada linha. Pela montagem direta, a matriz global de rigidez é
[2]
o k(3) -k(3)
[3] -k(l)- k(2) -k< 3> k(l)
+ k(2) + k(3)
l
[1]
[2] [3)
As matrizes de deslocamento e de força são
O sistema global de equações é dado por
Como os primeiros dois deslocamentos são prescritos, partimos a matriz depois de duas linhas e duas colunas
Figura 2.9 Exemplo de problema com três barras.
Aproximação Direta para Sistemas Discretos 19 ou
onde
fp=
[5]
O sistema reçluzido de equações é dado por (k(t)
+ k( 2) + k(31)u3 =
5,
que leva a
5
U)
=
k(l)
+ k(2) + k (3) •
2.3 APLICAÇÕES A OUTROS SISTEMAS LINEARES1 Os métodos descritos para barras unidimensionais podem também ser usados diretamente para outros sistemas. Para os métodos serem aplicáveis, os sistemas devem ser caracterizadas por
1. uma lei de balanço ou conservação para o fluxo; 2. uma lei linear relacionando o fluxo ao potencial; 3. um potencial contínuo (isto é, um potencial compatível) Dois exemplos são descritos a seguir: escoamento de cargas elétricaS. em regime permanente em um circuito e escoamento de fluido em um sistema de tubulação hidráulica Em um sistema elétrico, o potencial é a voltagem e o fluxo é a corrente. Um elemento de um circuito é mostrado na Figura 2.1O. Pela lei de Ohm, a corrente do nó .1 para o nó 2 é dada por (2.34)
fio.
Essa é a lei linear entre o fluxo e o potenonde e; e~ são as voltagens (potenciais) nos nós e R' é a resistência do cial. Pela lei de conservação da carga, se a corrente está em regime permanente,
i'j+ií =0,
. (2.35)
que é a primeira das condições anteriores sobre o ·elemento em questão. Escrevendo (2.34) e (2.35) na forma matricial, temos (2.36)
A continuidade da voltagem nos nós é forçada por
d'
= L'd.
Figura 2.10 Um elemento de resistência para um circuito e um elemento pani: unia rede de bombeamento; o fluxo nodal~ positivo quando ele sai do domínio do elemento.
'Recome.ndado para ttajetórias de Ci!ocia e Engenharia.
(2.37)
20
CAPiTuLO DOIS
O balanço de corrente nos nós dá
(2.38) Detalhes podem ser vistos no Exemplo 2.2. O sistema de equações pode então ser obtido forçando a condição de que a soma das correntes em qualquer nó é igual para quaisquer fontes externas de correntes. O processo é idêntico ao que fizemos para os elementos de barra. n.,
r+ r = I:>•TF' ·~·
pela Equação (2.38)
"" = l::VTK•d•
pela Equação (2.36)
•~1
"·' = L:>•TK•Vd
pela Equação (2.37).
..______., tcJ
K Como indicado pelo destaque, a montagem da matriz do sistema é dada por
n_, K = LL'TK~·.
(2.39)
t:l
Esse sistema é obtido pela seqüência das operações de dispersão dos coeficientes e de adição das matrizes, que corresponde à montagem direta. Para um sistema de tubos, um procedimento similar pode ser desenvolvido se a vazão de escoamento for linearmente relacionada com a queda de pressão entre dois pontos. Um modelo de circuito é construído como mostrado na Figura 2.11. Nós são necessários apenas onde dois tubos se conectam ou onde o fluido é retirado ou acrescentado. Em cada elemento, a vazão nodal~ que sai do nó é proporcional à queda de pressão nodal (P;- P~) (veja Figura 2.10), assim (2.40)
onde K' depende da área da seção transversal do tubo, da viscosidade do fluido e do comprimento do elemento. U:is lineares deste tipo aplicam-se sobre uma grande faixa de escoamentos. A conservação de fluido em um elemento é expressa por (2.41)
Qj +~ =0.
As equações do sistema são então obtidas ao escrever a equação para a conservação de fluido nos nós e ao usar a continuidade do campo de pressão. O processo é idêntico àquele usado na obtenção da Equação (2.39). Isso é deixado como um exercício, embora fique evidente no exemplo. A similaridade desses diferentes sistemas é surpreendente e pode fornecer uma compreensão mais profunda dos sistemas lineares. Todos esses sistemas possuem um potencial e uma lei de conservação. Na mecânica da barra, o potencial não é tão óbvio: ele é o deslocamento. O deslocamento tem todas as propriedades de um potencial: ele precisa ser contínuo (compatível) e sua mudança determina o fluxo , que nesse caso é a tensão.
~
Exemplo 2.2
(
~ 1o \ t
..;>
)
Prepare as equações discretas para os sistemas mostrados na Figura 2.11 e resolva-as. Todos os três sistemas mostrados na Figura 2.11 têm a mesma topologia básica, isto é, a mesma relação entre nós e elementos. Primeiro, montamos a matriz do sistema pela dispersão dos coeficientes e da adição das matrizes. Então, as equações espe1 cíficas são preparadas, forçando constantes no fluxo ou no potencial. Usamos k' -J; tt para denotar os coeficientes dos elementos para os três diferentes sistemas. As operações de dispersão dos coeficientes das matrizes geram então o seguinte (/e J dão os índices globais nodais do elemento): Elemento 1,/ = 1, J = 4:
= =
K ltl = k(t) [ 1 -1
-1] 1
-(I ) -
=> K
-
[
k~)O O~ O~ - k {l)
Elemento 2, I = 4, J = 2:
o o
.
I
j,
i
Aproximação Direta para Sistemas Discretos 21
2
Figura 2.11 Exemplo 2.2: sistemas mecânico, elc!lrico e hidráulico com uma esttutura de re9e id!ntica.
~c<2J
K
Elemento 3, I = 1, J
[ 1 -1
-1 ] 1
~
K (l) =
[~o
o
= 3: K<3J = k(3J [ 1 .
- 1
k (3)
-1]~ K 1
-(3)-
-
[
o
- /c(3)
o
k<3l
o
o o
o
o
- k<3J
Elemento 4,!'"' 4, J- 3:
K(4J
= ~c<4J [ -11
[~ ~ -1] 1 =>K = O O - (4)
·o o
o o
fc(4) -k(4)
Elemento 5,1 = 3, J = 2:
K (S)
= fc(S) [ 1 - 1
Matriz global do sistema:
Equações para o sistema mecânico:
- [~O -1] 1 => K (S)
=
o fc(S)
-fc(S)
o o
o
22 CAPÍTULO DOIS
onde a matriz solução para o sistema mecânico, de tubos e elétrico é
A partição. da matriz anterior após duas linhas e duas colunas fornece "k(3)+k(4) +k(S) -k{4)
l
- k(4)
+ k{2) + k{4)
k(l)
] dF
=
[0] jJi)10 0
-
r-k(S)] -k(2)
Fazendo k' = 1 para e = 1 a 5 e resolvendo a equação anterior, obtemos
2.4 SISTEMAS DE TRELIÇAS BIDIMENSIONAIS2 Estruturas de treliças, como a mostrada na Figura 2.1, consistem em elementos de barras posicionados sob ângulos arbitrários no espaço e ligados por uniões parecidas a pinos que não podem transmitir momentos. Par-a analisar tais estruturas de treliças em geral, é necessário desenvolver uma matriz de rigidez de elemento para um elemento de barra alinhado arbitrariamente em duas ou três dimensões espaciais. Primeiramente, vamos considerar o caso bidimensional, no qual os elementos de barra estão no plano xy mostrado na Figura 2.2(b). As treliças diferenciam-se dos circuitos, tais como nos sistemas elétricos em que os deslocamentos nodais em problemas mulúdimensionais são vetores. As incógnitas do ~istema são então as componentes do vetor, de forma que o número de incógnitas por nó é 2 e 3 em duas e três dimensões, respectivamente. Começar.e mos pelo desenvolvimento da matriz de rigidez do elemento para um elemento de barra em duas dimensões. Um elemento de barra genérico é mostrado na Figura 2.12, juntamente com deslocamentos nodais e forças nodais. Em cada nó, a força nodal tem duas componentes; de modo similar, como pode ser visto na Figura 2.12, cada deslocamento nodal tem duas componentes, de modo que as matrizes de força e de deslocamento dos elementos são, respectivamente,
Para obter uma relação geral entre as forças internas F' e os deslocamentos d', vamos iniciar com as equações de rigidez no sistema de coordenadas locais x'•, y''; como mostrado na Figura 2.12, x'' é alinhado junto à direção axial do elemento de barra e. é positivo do nó 1 para.o nó 2. O ângulo t/J' é definido como positivo no sentido anti-horário.. No sistema de coordenadas (x'•, y''), a rigidez do elemento dada pela Equação (2.10) aplica-se, portanto
-~] [ li,•
k' [ -k'
k'
Jt
[ F',• ]
]
=
F~
.
F;;=
A equação anterior pode ser exp;mdida pela adição das equações F;~= O. Essas componentes de força nodal perpendicul~ ao eixo do elemento podem ser consideradas nulas porque consideramos que o elemento é tão delgado que os esforços de cisalhamento são desprezíveis.
I
/f
/.
I'''
!!~·· , " ·, ,·,, .J'''
.r
Figura 2.12 Elemento de treliça em duas dimensões em um sistema de coordenadas locais x':, y':.
' Recomendado para a trajetOria de Mecânica Estrutural..
Aproximação Direta para Sistemas Discretos 23
Segundo a teoria para pequenos deslocamentos, as forças nodais no elemento são independentes dos deslocamentos normais. Isso se justifica porque a·elongação é uma função quadrática do deslocamento nodal normal à barra. Como os deslocantentos nodais são considerados pequenos, o efeito dos deslocamentos normais sobre a elongação é, por isso, de segunda ordem, e daí os efeitos dessas componentes de deslocamentos sobre a tensão e a deformação podem ser desprezados. Assim, a matriz de rigidez no sistema de coordenadas do elemento é dada por
ou em termos da nomenclatura de sobrescritos
F"= K'.d".
(2.42)
É fácil ver que para essa matriz de rigidez, as componentes y'• das forças nos dois nós sempre desaparecem e que as componentes y'• dos deslocamentos não têm efeito nas forças nodais; a matriz de rigidez em (2.42) é simplesmente a matriz (2.11) embutida em uma matriz de zeros. Em outras palavras, vamos simplesmente dispersar os coeficientes de tigidez axial da barra em uma matriz maior; isso é válido quando o sistema de coordenadas é alinhado com o eixo do elemento. Para os nós (1 = 1, 2), a relação entre as compOnentes dos deslocamentos nos slstemas de duas coordenadas, mostrado na ~gura 2.12, é obtida por meio da relação para transformações vetoriais: u~ =
u~
ui. cos 4>• + uJ1 sen 4>•
= -u.i.. sen 4>• + u~ cos 4>•
Essas equações podem ser escritas na forma matricial,como a seguir:
d'• = R•d•,
(2.43)
onde
d• =
n u~>'
u•2x
14,
R• =
[=·· .....
- sen 4>' cos 4>'
o o
'
-
o o
o o oos.i>• -sen4>•
J.. ] cos 4>'
R• é a matriz rotacional. As duas equações anteriores combinam a transformação vetorial em dois nós. Como essas transformações são independentes uma da outra, os blocos da matriz relacionando diferentes nós são nulos; por exemplo, bloco superior direíto 2 X 2 é nulo, pois os componentes dos elementos dos deslocamentos nodais no nó 1 são independentes dos deslocamentos no nó 2. Observe que R• é uma matriz ortogonal: a sua inversa é igual a sua transposta, isto é, (R•)TR• = R• (R•)T = I ou (2.44) Pré-multiplicando a Equação (2.43) por (R•)T, obtemos
R'Td'' = R'TR'd'
= d•,
onde a segunda igualdade decorre da relação de ortogonalidade (2.44). Os componentes das matrizes de força dos elementos estão relac~onadas pela mesma regra de transformação de componentes: (2.45) Estamos agora em condições de de~ar a relação entre F' e d'.
F'= R'TF'·
Iniciand~ com
(2.4Sb),
pela Equação (2.45b)
= R'TK"d''
pela Equação (2.42)
= !{'T~'•R: d'
pela Equação (2.43)
K• O termo destacado, indicado anteriormente, é a rigidez do elemento no sistema de coordenadas globais:
K' = R'TK'•R•.
(2.46)
24 CAPiTULO DOIS
l
Uma expressão explicita para K' é obtida pela substituição das expressões matriciais para K' e R• na Equação (2.46), que fornece
cos2 tjl cos tjl sen4>' - cos2 4>' - c os 4>'2sen 4>' 2 -seo 4>' sen 4>' - cos 4>' sen 4>' K' = k' cos 4>' sen4>' 2 cos 4>' sen 4>• · - cos 4>' 4>' cos 2 4>' [ - cos 4>• - cos 4>• seo 4>• -sen2 4>' cos 4>' sen 4>' sen 2 4>'
(2.47)
Pode ser visto que K• é uma matriz simétrica.
2.5 LEI DA TRANSFORMAÇÃ03 Na seqüência, vamos desenvolver um método mais geral para transformação de matrizes de rigidez por meio de conceitos de energia. Aqui, transformação significa uma rotação de um sistema de coordenadas para outro ou uma operação de dispersão de coeficientes de um elemento para o sistema global de coordenadas. Denotaremos tal transformação matricial por T'. A matriz T' transforma a matriz de deslocamento do elemento de um sistema de coordenadas em que a relação de rigidez K.• é conhecida para outro sistema de coordenadas no qual a matriz. de rigidez K.• não é conhecida. Começamos com (2.48) No caso de rotação de um sistema de coordenadas para outro (Seção 2.4), d'' = R'd', de modo que T' = R', d'' = d' e d' = d'; no caso da operação de dispersão de coeficientes (Seção 2.2), d' = V d, de modo que 1" = V , d' = d' e d = d'. Na seqüência, descreveremos como relacionar F- a F• e como estabelecer a relação de rigidez F' = K.
Vamos considerar que F< é a matriz de força interna do elemento e &i• é urna matriz de deslocamento arbitrário e infinitesimal do elemento. As forças nodais internas precisam ser escolhidas de modo que o trabalho realizado pelas forças internas, denotado por ôW;,.• seja dado por (2.49) Observe que &i• tem que ser infinitesimal para que a matriz. de força interna F' permaneça constante quando o elemento deforma. Por exemplo, para o elemento de dois nós em uma dimensão, o trabalho realizado pelo elemento e é ôW;,. = ôu~?. + ôu;fr;. Agora, mostraremos que se (2.48) se verifica, então (2.50)
Primeiro, vamos mostrar que se (2.48) se verifica então (2.51) O conceito chave ql!e torna essa prova possível é que _o ~balho interno expresso em termos de
&í• e F' precisa
igualar-se ao trabalho interno expresso em termos de ôd' e F', de modo que
óW;.,
= ód'TF< = ód'TF.
(2.52)
Vejamos porque isso precisa ser verdade. Vamos substituir a primeira parte de (2.48) em (2.52), o que fornece (2.53) Rearranjando os termos dessa equação, obtemos (2.54)
Como essa equação precisa ser verificada para qualquer l>d•, o resultado (2.51) vem do teorema do produto escalar de vetores (veja Apêndice A2). A seguir, provamos a relação (2.50) como se segue: de = T'Tí{'(J'
pela (2.48b)
=~ T'TK'T' d'
pela {2.48a).
:K
'Opcional para rodas as trajetórias.
(2.51 )
Aproximação Direta para SistemaS Discretos 25
Como a última linha dessa expressão define a matriz transformada de rigidez do elemento, (2.50) está provada. A prova apresentada é baseada no fato de que quaisquer duas representações válidas para um elemento precisam ser consistentes do ponto de vista da energia, isto é, o elemento precisa absorver a mesma quantidade de energia independente do sistema de coordenadas no qual ele é descrito. Uma forma de explicar isso é demonstrando que a energia é um escalar, de modo que é independente do alinhamento do sistema de coordenadas. Variáveis físicas escalares, como pressão, temperarura e energia, não dependem do sistema de coordenadas que é escolhido. Além disso, a energia tem que ser independente dos modos generalizados de deformação que são usados para descrever a deformação do sistema. A energia tem um papel único e muito importante na física e na mecânica: a sua invariância com respeito ao referencial de análise do problema leva a resultados importantes, tais como o princípio do trabalho virtual e o teorema da energia potencial mínima, e isso aparece em todas as partes nas análises por elementos finitos.
~ Exemplo 2.3 A Figura 2.13 mostra propriedades de materiais, geometria, cargas e condições de contorno da estrutura de duas barras. Neste exemplo, enfatizamos os quatro principais passos no método de elementos finitos (MEF), a saber: (1) pré-processamento, (2) construção do comportamento local (elemento), (3) montagem das matrizes locais para obter o comportamento global e (4) pós-processamento. O passo 1, mostrado na Figura 2.13. consiste em subdividir a estrutura em elementos, assinalando os números dos elementos para cada barra, e os números dos nós para cada junção, começando com os nós nos quais os deslocamentos são prescritos. O modelo dos elementos finitos consiste em dois elementos numerados 1 e 2 e três nós. O passo 2 trata da formulação de cada elemento começando com o elemento 1. Elemento 1: 1 O elemento 1 está numerado com os nós globais 1 e 3. Ele é posicionado segundo o ângulo 4f > = 90° com respeito à direção positiva do eixo x como mostrado na Figura 2.14. As outras relaçõeS são as seguintes:
cos 90°
= o,
sen90°
o o 1 o o o o o -1 o
~,,_AE [~ l
[1J
= 1,
~·]
1<1> =I,
A< 1lE{t) AE k(l ) = -- - = l J(l)
'
{11 [3J
(3J
Elemento 2:
O elemento 2 está numerado com os nós globais 2 e 3. Ele está posicionado em um ângulo = 45° com respeito à direção positiva do eixo x, como mostrado na Figura 2.14. As outras relações são as seguintes: 1 0 cos 4 5 =..fi'
1 o sen 45 =..fi'
Figura 2.13 Estrutura de treliça com dois elementos.
·-
f.ll =..til,
26
CAPITULO DOIS
2
F igura 2.14 Sistema de coordenadas locai (elemento) e global.
1
K(2l
2
2
2
2
1
1
1
I
= AE 2 -./21
2
2
2
-2
2
2
2
2
2
2
2
[2)
[21
[3)
[3)
Passo 3: trata da construção do comportamento global. (3a) Montagem direta:
o o o 1 o o K=AE I
o o
o o
o o
I
1
2-./2
I
1
I
I
1
1
I
-I
-2-./2
1
1
2-./2
2-./2
e
d=
o o o o u:u
[31
2v'2
[3)
l:
r~x
r=
r,1 r2x rz.,.
o
~
UJy
1+-
2v'2
r~
r~
[2]
I
I
- 2v'2 -2-./2 [2)
[1 I
I
-2-./2
o o -2-./2 -2-./2 o
-2-./2
-2-./2
2-./2
[I)
-I I
I
2-./2 2-./2
o
o o
o
Mais uma vez observamos que se a componente da força externa em um nó é prescrita, então a componente correspondente do deslocamento nesse nó é desconhecida. Por outro lado, se uma componente do deslocamento em um nó é prescrita, então a componente que corresponde à força nesse nó é desconhecida. (3b) Sistema global de equações:
o o
o
o o o
o
o o
o o
I
1
I
2-./2
2v'2
I
I
AE O
O
2-./2 I
2v'2 I
-2-./2 -2-./2
o
-2vÍ2 -2-./2
1
-2-./2
1
o o
-2-./2
-2-./2
o o
1
1
UJ.r
2-./2
2-./2
I
1
o o -1
-2-./2
o -1 I
I
2-./2
1
I+ 2-./2
Aproximação Direta para Sistemas Discretos TI
(3c) Sistema global reduzido de equações: O sistema global é partido depois de quatro linhas e quatro colunas:
-
de-
[:~]- [~] _
-
0
U2,x
=
F
=
[10) 0 '
KF =
[2~ 2~ -
l '
2~
-1 1
1
KEF =
l
1+-
o
o o
[~] ,
I
2~
O
Üzy
re
f
,
-2v'2 -2v'2 1
rzy
1
- 2·/'i -2-./2
l
A matriz desconhecida dos deslocamentos é encontrada da solução do sistema reduzido de equações
2~
[U3x] = [10]
1 +-1-
0
U3y
2..fi
e é dada por
[
U3x] =_I [10+20~]. -10
AE
UJy
A matriz desconhecida r das reações é
re=
['"
Tty
r2.x
= Kede + KJ;F«iF =
o
o o
-1
1
1
1
rzy
[IO+Wv2] = [ : ]· -10 -10
-2..fi -2..fi 1
-10 .
-2..fi -2..fi
Pode ser facilmente verificado que as equações de equilíbrio são satisfeitas:
Finalmente, no passo.do pós-processamento as tensões nos dois elementos são calculadas como a seguir.
~~
~ = ·E" r4 -I• ~~ = E"ze !-I
O 1 O]
~~ u'{x
= E"J• [ -1
O I OjR'd'
~ E"
-
.
= - [ - cos c/>' - sen tP' cos tP• sen tP' Jde. I• . - ·---·- - · -·- · -·- - · - · · Para- o e1emeriioT iemós:__ __ __ _ _____
tP(l) =90°
Ut. xl _ . [ U!y
d(l) _ -
(costP{I) =0, sentP(l)
[
U)x
-
t
l _l_
O 0 10+20~
AE'
-10
U3y
a
= 1),
O 1]
o
j
1 -10 .r;;-=-. A
[ l0+20v2 A -10
2B CAPITuLO DOIS
Para o elemento 2, temos:
2
q( )
1 Í = -(-1/V ..fi
O
20v'2 -1/VÍ 1/VÍ 1/VÍ] 10 +o
[
l
1
10J2
A= -A- .
- 10
2.6 SISTEMAS DE TRELIÇAS TRIDIMENSIONAIS4 o elemento tem resistência Considere um elemento de barra em três dimensões como mostrado na Figura 2.15. Corno nodais e os deslocaforças as apenas para deformação em direção a sua extensão, podemos escrever a relação entre mentos nodais no sistema de coordenadas locais como
= k' [ 1 [ F;~] -1 F'{.
-1 ] [ li1~] • "i. I
(2.55)
aqueles envolvidos na rigidez Os graus de liberdade inclusos nessas matrizes de deslocamento e de força são apenas do sistema. translação nas direções x, y O elemento nas três direções terá três graus de liberdade por nó: as componentes de e z, portanto (2.56) Como a matriz de força precisa ser consistente do ponto de vista da energia, (2.57)
e (2.56), respectivamente, Para obter a equação de rigidez em termos das forças nodais e dos deslocamentos (2.57) vetor unitário ao longo do o que vamos agora construir a matriz rotacional R• para treliças tridimensionais. Observe elemento é dado por (2.58) onde _x-; 1 =
x; -
então X' e assim por diante. Se tratarmos os deslocamentos nodais como vetores, (2.59)
para I= 1 e 2. à ortogonalidade dos Tornando um produto escalar dos termos com i' dessa expressão, encontramos (devido vetores unitários) que (2.60)
x'
·~ i
Figura 2.15 Um elemento de treliça tridimensional na coordenada local.
'Opcional para todlU lU ~r.~jetórias.
,.
Aproximação Direta para Sistemas Discretos 29
Da Figura 2.15 pOdemos ver que substituindo (2.58) em (2.60) encontramos que (2.61) Usando essa expressão para escrever as relações entre d'• e d•, temos (2.62)
R' que define a matriz R•. A rigidez global é então dada por (2.50) K' = R'T K" R', 6x2 2x2 2x6
onde K'• é a mai:riz dada em (2.55) e R' é a dada em (2.62). O resultado é uma matriz 6 X 6. Não vale a pena multiplicar as matrizes; isso pode ser feito facilmente com um programa de computador. Esse procedimento pode também ser usado para obter a rigidez do elemento em duas dimensões: a matriz R' então seria a matriz 2 X 4 com as colunas com z;, termos interrompidos e o resultado idêntico a (2.47).
REFERÊNCIAS George, A. and Liu J.W. (1986) Computer Solution of Largt Sparst Poritivt Definire Systems, Prentice Hall, Englew.ood Cliffs, NJ. Saad, Y. (1996) lteralive Metlwds for Spam Linear Systems, PWS Publ.ishing Company, Boston, MA.
Problemas
/
r
\-('I
r Problema 2.1 I Para o sistema de molas dado na Figura 2.16,
a. b. c. d.
Numere os elementos e os nós. Monte a matriz global de rigidez e de força. Parta o sistema e resolva para os deslocamentos nodais. Calcule as forças de reações.
Figura 2.16 Dados do Problema 2.1.
.i!illf Problema 2.2 Mostre que a rigidez equivalente de uma mola alinhada na direção x para a barra de ~sura t com um furo retangular centrado mostrado na Figura 2.17 é 5Etab k= (a+b)l'
---
.. -. ---·-----·····---- . onde E é o módulo de Young e t é a largura da barra (Sugestão: subdivida a barra 1com um furo retangulâr elementos). --·-- - ~~- ---
{
Figura 2.17 Dados do Problema 2.2.
fm f --
30
C~ÍTULO DOIS
Problema 2.3 igual a 10 N atua no nó C, Considere a estrutura de treliça dada na Figura 2.18. Os nós A e B são fixos. Uma força é E = 1011 Pa e as áreas Young de módulo O metros. em dadas são junções das as coordenad As x. na direção positiva 1 1. das seções transversais de todas as barras são A = 2 ·1 o- m a. b. c. d.
Numere os elementos e os nós. Monte a matriz global de rigidez e de força. Parta o sistema e resolva para os deslocamentos nodais. Calcule as tensões e as reações.
Figura 2.18 Dados do Problema 2.3. ~
Problema 2.4 3 como mostrado na Figura Considere a estrutura de três barras sujeita a carga prescrita no ponto B igual a 10 N, 2 2 11 m e as áreas das barras 2XI0é BC barra da transversal seção da área a Pa, 10 E= é 2.19. O módulo de Young as das junções são coordenad BD e BF são 10-2 m 2• Observe que o ponto D é livre para se mover na direção x. As dadas em metros.
a. Construa a matriz global de rigidez e a matriz de carga. nto em direção x do b. Parta as matrizes e resolva para os deslocamentos desconhecidos no ponto B e o deslocame ponto D. c. Encontre as tensões nas três barras. d. Encontre as reações nos nós C, D e F.
.,. Figura 2.19 Dados do Problema 2.4.
Problema 2.5 s por molas lineares. Em cada uma das duas estruturas planas mostradas na Figura 2.20, blocos rígidos são conectado reduzidas globais equações as escreva caso, cada Em . pennitidos sejam horizontais ntos Imagine que apenas deslocame aplicadas fr cargas das e u idos desconhec 1 de equilíbrio em termos da rigidez k< da mola, dos deslocamentos nodais prescritos são ntos deslocame os quais nos aqueles que modo Você deve refazer o problema numerando os nós, de ente. sejam numerados primeiram
(h)
Figura 2.20 Dados do Problema 2.5.
Aproximação Direta para Sistemas Discretos 31
Problema 2.6 A estrutura plana mostrada na Figura 2.2 t consiste em uma-barra rígida e leve e em molas lineares de rigidezes k!- 11 e Jé.'ZI. Apenas pequenos deslocamentos verticais são permitidos. A matriz reduzida de rigidez Kdessa ~trutura é 2 X 2, mas pode ter várias formas, dependendo da escolha da matriz global de deslocamento. Determine Kpara cada uma das seguintes escolhas de translações laterais: a. u1., em x = Oe u2,. em x =L (veja Fig!JI3. 2.21, a direita). b. u11 emx = Oeui\Yemx L/2. c. u2r em x = L e u81 em x = 2L.
=
I
r"·
.. 2
L
~
L
., X
B
A
~k(Zl
1;ku'
<>
Gmus de liberdade para a Parte (a)
~
Figura 2.21 Dados do Problema 2.6.
~ Problema 2.7
Modifique o código de elementos finitos d~MA.TI..AB para forçar condições de contorno de deslocamentos usando o método da penalidade (veja Equação [2.33]).
a. Resolva para os deslocamentos nodais e tensões da estrutura mostrada na Figura 2.22. b. Trace a estrutura deformada com o MATLAB. Para isso, acresceo~ o mag X deslocamento às coordenadas nodais. O fator mag é para aumentar os desloc!'IDentos, de modo que eles sejam visíveis.
E = J.S · 1011Pa A= 10-:m: para todas as barras
Figura 2.22 Dados do Problema 2.7.
Problema 2.8
Jlf Usando o código de elementos finitos do MATLAB:' encontre os d~locamentos e as forças nas duas estru~ dadas na Figura 2.23. Para a estrutura (b), explore a simetria. Para as duas treliças, verifique o equilibrio no nó I. Considere o módulo de Young E= 10 11 Pa, as áreas de todas as seções transversais de barra IQ-1 m1, as forças F= 101 N e L=2m.
2
F
s L
L
(b)
{a) Figura 2.23 Dados do Problema 2.8.
3 Formulações Forte e F~aca .para Problemas Unidimensionais este capítulo, são desenvolvidas as formulações forte e fraca para diversos problemas físicos unidimensionais. A formulação forte consiste nas equações de governo e das condições de contorno para um sistema físico. As equações de governo são normalmente equações diferenciais parciais, mas no caso unidimensional elas tornam-se equações diferenciais ordinárias. A formulação fraca é uma forma integral dessas equações, que é necessária para formular o método de elementos finitos. Em alguns métodos numéricos para resolver ~uações diferenciais parciais, estas podem ser discretizadas diretamente (isto é, escritas como equações algébricas lineares adequadas para soluções computacionais). Por exemplo, no método de diferenças finitas, podemos escrever diretamente as equações algébricas lineares discretas das equações diferenciais parciais. Entretanto, isso não é possível no método de elementos finitos. Um esquema para o desenvolvimento do método de elementos finitos é mostrado na Figura 3.1. Como pode ser visto no esquema, existem três ingredientes distintos que são combinados para chegar até as equações discretas (também chamadas de sistemas de equações; para análises de tensões elas são chamadas de equações rígidas), as quais em seguida são resolvidas por um computador. Esses ingredientes são 1. a formulação forte, que consiste nas equações de governo para o modelo e nas condições de contorno (essas também são necessárias para qualquer outro método); 2. a formulação fraca; 3. as funções de aproximação.
N
As funções de aproximação são combinadas com a formulação fraca de modo a se obter as equações de elementos finitos discretas.
Equações discretas (Capítulo 5) Aproxi ma\-ão de funçõ~~
(Capítulo 4) Figura 3.1 Esquema para o desenvolvimento do método de elementos finitos.
Formulações Forte e Fraca para Problemas Unidimensionais 33
Portanto, o caminho para as equações diferenciais de governo é substancialmente mais complicado do que. aquele para os métodos de diferenças finitas. No método de difen:nças finitas, não existe necessidade de uma formulação fraca; a formulação forte é .di.re~nte convertida para um conjunto de equações discretas. A necessidade de uma formulação fraca toma o método de elementos finitos intelectualmente mais desafiador. Um número de pontos sutis, tais como a diferença entre várias condições·de contorno, deve ser estudado para o uso inteligente do método. Entretanto, para compensar essa complexidade àdicional, os métodos de elementos finitos podem lidar mais facilmente com as formas complicadas, que necessitam ser analisadas em projeto de engenharia. . ' · Para demonstrar os passos oáSicos na5 formuláções forte e ·fraca, considera.rémos os prÕbl~mas .tanto de b~as elásticas carregadas axialmente como o de condução de calor unidimensional. As formulações fortes para esses problemas serão desenvolvidas juntamente com as condições de contorno. Em seguida, desenvolveremos as formulações fracas para esses problemas e mostraremos que elas são equivalentes às formulações fortes. Também examinaremos vários graus de continuidade, ou suavidade, os quais terão um papel importante no desenvolvimento dos métodos de elementos finitos. A formulação fraca é a parte mais intelectualme.nte desafiadora no desenvolvimento dos elementos finitos, de forma que um estudante pode encontrar algumas dificuldades na compreensão desse conceito; ele é provavelmente diferente de qualquer outra coisa que o estudante tenha visto antes em análise de engenharia. Entretanto, uma compreensão desses procedimentos e as implicações em resolver uma formulação fraca são cruciais para a compreensão do caráter das soluções de elementos finitos. Além disso, os procedimentos são de fato bastante simples e repetitivos, de forma que uma vez. seja compreendido para uma formulação forte, os procedimentos podem ser facilmente aplicados a outras formulações fortes .
3.1 FORMULAÇÃO FORTE EM PROBLEMAS UNIDIMENSIONAIS 3. 1.1 Formulação Forte para uma Barra Elásti ca Carregada Ax_i almente Considere a resposta estática de uma barra elástica de seção transversal variável, tal como a mostrada na Figura 3.2. Esse é um exemplo de um problema em análise de tensão linear ou elasticidade linear, em que procuramos determinar a distribuição de tensão o{x) na barra. A tensão resultará da deformação do corpo, que é caracterizada por deslocamentos de pontos do corpo, u(x). O deslocamento resulta em uma tensão denotada por e(x); a deformação é uma variável adimensional. Como mostrado na Figura 3.2, a barra é submetida a uma força de campo ou a um carregamento distribuído b(x). A força de campo poderia ser em razão de gravidade (se a barra fosse colocada verticalmente em vez de horizontalmente, conforme mostrado) a uma força magnética ou a uma tensão térmica; no caso unidimensional, consideraremos a força de campo por unidade de comprimento, então as unidades de b(x) são força/comprimento. Além disso, as cargas podem ser aplicadas nas extremidades da barra, onde o deslocamento não é prescrito; essas cargas são chamadas de trações e indicadas por r.Essas cargas estão em unidades de força por área e, quando multiplicadas pela área, fornecem a força aplicada. A barra precisa satisfazer as seguintes condições: 1. Estar em equilíbrio. 2. Estar de acordo com a lei da tensão-deformação elástica, conhecida como lei de Hooke: o{x) == E(x) e(x). 3. O campo de deslocamento precisa ser compatível. 4. Estar de acordo com a equação deslocamento-deformação.
A equação düere~cial
~~~.!!b!Ííl.~JQtÇ,..asjl!_tell:@S.P(~-e..daúotÇas..extemas..h(x)
~~~~~"-""-~'iG'~~·~~.l14l~!J.Q..i.QJlg~).. Considere
o equilíbrio de um segmento de barra ao longo do eixo x, conforme mostrado na Figura 3.2. A somatória das forças na direção x fornece
~p(x) + b(x+ ~)Lll+ p(x+ .ó..t) =O.
x=O
-X .r= I
Figura 3.2 Um problema de análise de tensões (elasticidade) unidimensional.
34 CAPITuLO TRÊS
Rearranjando os termos nessa equação e dividindo por t:.x, obtemos
O b(x+ !:u) 2 = .
p(x + .ó.x)- p(x) '
tu
T
Se tomarmos o limite dessa equação quando 6.x..,.. O, o primeiro termo é a derivada dp/dx e o segundo termo tornase b(x). Portanto, essa equação pode ser escrita como b( ) -O dp(x) dt+:c- .
(3.1)
Essa é a equação de equilíbrio expressa em termos da força interna p. A tensão é definida como a força dividida pela área da seção transversal: u(x) =
~t:~ ,
p(x) = A(x)a(x) .
então
(3.2)
A equação deslocamento-deformação (ou cinemática) é obtida pela aplicação da definição de engenharia que utilizamos no Capítulo 2 para um segmento infinitesimal da barra. O alongamento do segmento é dado por u(x + ó.x) u(x) e o comprimento original é 6.x; portanto, a deformação é dada por
alongamento
s(x) = comprimento original =
u(x + ll.:c) - u(x)
~x
Tomando o limite dessa expressão quando 6.x ..... O, reconhecemos que o lado direito da equação é a derivada de u(x). Portanto, a equação deslocamento-deformação é r.(x)
du
= dx.
(3.3)
A lei de tensão-deformação para um material elástico linear é a lei de Hooke, que já vimos no Capítulo 2:
a(x) =E(x)li(x),
(3.4)
em que E é o módulo de Young. Substituindo (3.3) por (3.4) e o resultado por (3.1) temos d ( AE du) dr dt
+ b = O,
o< X< I.
Essa é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem. Nela, u(x) é a variável dependente, que é a função desconhecida, e x é a variável independente. Na equação (3.5) e em outras equações, a dependência das funções sobre x será freqüentemente omitida. A equação diferencial (3.5) é uma forma específica da equação de equilíbrio (3.1). A equação (3.1) aplica-se a materiais lineares e não-lineares, ao passo que (3.5) considera a linearidade na definição da deformação (3.3) e da lei de tensão--defonnação (3.4). A compatibilidade é satisfeita pela exigência do deslocamento ser continuo. Posteriormente, discutiremos mais sobre o grau de suavidade, ou continuidade, que é exigido. Para resolver a equação diferencial (3.5), necessitamos prescrever as condições de contorno nas duas extremidades da barra. Com o objetivo de ilustrar, consideraremos as seguintes condições de contorno específicas: em x = l, o deslocamento, u(x = l), é prescrito; em x = O, a força por unidade de área, ou tração, denotada por T, é prescrita. Essas condições são escritas como a (O) = u(l)
(E-dul dx
.t<:O
_ p(O} = -1 =A(O)- '
(3.6)
= ii.
Observe que a barra superposta indica um valor de contorno prescrito nessa equação e em todo este livro. A tração T tem as mesmas unidades que a tensão (força/área), porém seu sinal é positivo quando age na direção positiva do eixo x, sem considerar sobre qual face ela está agindo, enquanto a tensão é positiva em tração e negativa em compressão, de forma que sobre unia face negativa uma tensãg positiva corresponde a uma tração negativa; isto será esclarecido na Seção 3.5. Note que tanto a carga quanto o deslocamento podem ser especificados em um ponto de contorno, mas não em ambos. A equação diferencial de governo (3.5), juntamente com as condições de contorno (3.6), é chamada defonnulclção forte do problema. Para resumir, a formulação fone consiste na equação de governo e nas condições de contorno, as quais para esse exemplo são
... .
(a)
d ( AE du) dx dx
(b)
u(x =O)
{c)
u(x
+ b = O sobre o< X< I,
= (Ed~) =
= /)= ü .
dx x=O
-1,
(3.7)
e
fOrmiJiações Forte 'Fraca para Problemas Unidimensionais 35
q(.x)A(x)
Revestimento Papel de Isolamento
-----.x ---~
f.(----·- · Fi~ 3.3
Um problema de condução de calor unidimensional
Deve ser notado que T, ü e b são dados. Eles são os dados que descrevem o problema. A incógnita é o deslocamento u(.x).
3.1.2 Formulação Forte para Condução de Calor Unidimensionaf1 O fluxo de calor ocorre quando existe uma diferença de temperatura no interior de um corpo ou entre o corpo e o meio ·que o cerca. O calor é:transferido na forma de condução';' convecção e fll:diação ,téfmie& O escoamento de calor pela parede de uma sala aquecida nÓ inverno é um éxemplo de condução de Calor. Por outro lado, na transferência de calor por convecção. a energia transferida para o corpo depende da diferença de temperatura entre a superfíci~ do corpo e o meio ambiente. Nesta Seção, daremos ênfase à condução de calor. U:ma discussão envolvendo a convecção é apresentada na Seção 3.5. · Considere uma seção transVersal de espessura da parede I, conforme mostrado ná Figura 3.3. Nosso objetivo é determinar a distribuição da temperatura. Seja A(x) a área normal para a direção do fluxo de calor e seja .s(x) o calor gerado por unidade de espessura da parede, 1. Isso é freqtientemente chamado de uma fonte de calor. Um exemplo comum de uma fonte de calor é o calor gerado em um fio elétrico devido à resistência. No caso unidimensional, a taxa de geração de calor é medida em tinidades.de energia por tempo; no Sistema lnterilaci.onal de Unidades (SI), as unidades de energia por unidade de cOmprimento e tempo são, respectivamente, joule (J) pór metro (m) e segundo (s). Lembre-se de que a unidade de potência é watt (1 W = 1 J s-1). Uma fonte de calor .s(x) é considerada positiva quando o calor é gerado, isto é, adicionado ao sistema, e negativa quando o calor é retirado do sistema. O fluxo de calor, indicado por q(x), é definido corno uma taxa de fluxo de calor sobre uma superfície. Suas unidades são a taxa .d e calor por unidade de área; si.S~ma Inteniaclonal de Unidades, W m-l. O fluxo de calor é positivo quando o calor escoa na direção positiva do eixo x. Consi~~mos um problema em regime pemianente, isto é, um sistema que não está Variando com o tempo. ~~ es'iatieiecer a'equas;ão diferencial que governa o,sisteiDa:'considerainos·o balánço de energia (ou a c.onservação de energia) em um volume de controle da parede. balanço de energia exige que a taxa de energia sob a forma de calor (qA), que é gerada no volume de controle, precisa ser igual à energia sob a fonna de calor saindo do volume de controle, visto que a temperatura e conseqüentemente a energia no volilme de controle são constantes em um problema em regime permanente. A energia sob a forma de calor saindo do volume de controte é a diferença entre o fluxo entrando no lado esquerdo, qA, e o fluxo saindo no lado direito, q(x + ó.x)A(x + àx). Portanto, o biuanço de energia para o volume de controle pode ser escrito como
o
s(x + l:u/2)Àx + q(x)A(x)- q(x + Àx)A(x+ .clx) =O.
-------· ---
·'-- ·
.._____._..... calor P'QdO
'--v---'
Aaxo de calor
Cmllindo
'
,....,_::::;,: . no.ao de ca1ot ainda
.
,
----- - - - -- ---- --- - -- ---- ·- - - - - -
··'
Observe que os fluxos de calor.são multiplicados pell!- área para ob~r a taxa de calor, enquanto a fontes é multiplicada pelo comprimento do segmento. Rearranjando os termos nessa equação e dividindo _por ó.x, obteinos q(x + tu)A(x +
~) - q(x)A(x) =
~
s(x + ~/
2).
Se tomarmos o limite dessa equação quando ó.x ~ O, o primeiro termo coincide com a derivada d(qA)/dx e o segundo termo reduz-se para s(x). Portanto, essa equação ~e ser escrita como
'Recomendado para a Trajetória de Engenbaria e Ci!ncias.
. .....
·
36 CAPITULO TRES
d(qA )
(3.8)
d;"" = s.
na à temperatura, é conhecida como lei de Fourier e é A equação característica para o fluxo de calor, que o relacio dada por dT (3.9) q=- k-. dr
de a (que precisa ser positiva); no Sistema Internacional (SI) em que T é a temperatura e k é a condutividade térmic o porque (3.9) em e aparec vo negati sinal W m·• oc-•. Um unidades, as dimensões da condutividade térmica são direção à rio contrá. é, isto (frio), baixa mais é ela onde para calor emana de onde a temperatura é mais alta (quente) do gradiente do campo de temperatura. Inseri.ndo (3.9) em (3.8) obtemos (
dT) + s =O.
(3.10)
o< X< I.
d dt Ak dr
Quando Ak é constante, obtemos
y·üY0}
d~T
Ak-d:r·,+s= O,
~~
0"'
o< X< I.
(3.11)
o fluxo quanto a temperatura precisam serfprescritos; essas Nas duas extremidades do domúUo do problema, tanto em ões de contorno específicas da temperatura prescrita f são as condições de contorno. Consideraremos as condiç isto batra, da fora q é positivo se o calor (energia) escoa para x = I e o fluxo prescrito q em x = O. O fluxo prescrito de condução de calor é então dada por ma proble o para é, q(x 0) = -q. A formulação forte
=
(Ak dT) ~ dt dr - q
..L,
s = O em O < ·r < I·
dT
= k dr = q
em x
(3.12)
= O,
T =f em .r= I.
3. 1.3 Difus ão Uníd imen síonaf2
por movimento atômico. Assim , na ausência do moviA difusão é o processo em que um material é transportado fluido são difundidos por toda a parte do fluido pelo movimento de um fluido, os materiais que se encontram no em perfume quando uma pessoa fortemente perfumada entra mento atômico. Alguns exemplos são a difusão de um por a salgad ficará água o de sal em um copo com água (a uma sala, a difusão de contarninantes em um lago e a difusã . fluido) do ento difusão, mesmo na ausência de movim s mais simples de difusão em sólidos ocorre quando A difusão também ocorre em sólidos. Uma das forma dois mecanismos básicos para a difusão em sólidos: m dois materiais entram em contato um com o outro. Existe s em por lacunas ocorre primeiramente quando os átomo difusão por lacunas e difusão intersticial. A difusão . mover se para sólido outro no o necessita de uma lacuna difusão são de tamanhos similares. Um átomo em difusã é o difusã em átomo um o quand na Figura 3.4, ocorre A difusão intersticial, representada esquematicamente s do outro sólido. Esse tipo de difusão não exige falhas átomo os entre entar movim se para nte pequeno o suficie 2 de lacunas. e de átomos m· 3 • O fluxo de átomos, q(x) (átomos m· Seja c a concentração de átomos em difusão, dada na unidad ida tração. A relação entre o fluxo e a concentração é conhec s·•), é positivo na direção da maior para a menor concen como primeira lei de Fick, que é dada por de q= -k- , d\· 1 2 o de balanço para a difusão em regime permanente pode em quek é o coeficiente de difusão, dado em m· s· • A equaçã imento que usamos para deduzir a equação de condução ser desenvolvida a partir da Figura 3.4 pelo mesmo proced em e de átomos e pela lei de Fick. As equações são idênticas de calor pela imposição da conservação de cada espéci eis: variáv e ntes consta nas te e diferem somen estrutura para a condução de calor em regime permanente
de) = O em
-d ( Akdr dr
' Recomendado para a Trajetória de Engenharia e Ci!ncia.
O< x
< I.
Fonnulações Forte-e Fraca para Problemas Unidimensionais 37
Atomos em treliça X
difusão q(x)A(X)
:
- - ..11~:
'
: f/.X
I '
+
Ã.t)A(.t
+
Â.t)
• . ;_
.
.
Figura 3.4 Di..fusão intersticial em uma treliça atômica.
3.2 FORMULAÇÃO FRACA UNIDIMENSIONAL Para desenvolver as equações de elementos finitos, as equações diferenciais parciais precisam ser reformuladas em uma forma integral chamadajormuiação fraca. Uma formulação fraca das equações diferenciais é equivalen~ à equação de governo e suas condi ões de contorno, isto é, à formulação forte. Em muitas disciplinas, a formulação aca possUI nomes específicos; por exemplo, ela é chamada o princípio do trabalho virtual em análise de tensões. Para mostrar como as formulações fracas são desenvolvidas, primeiramente consideramos a formulação forte do problema de análise de tensões dada em (3.7}.lniciamos pela mulnpucação dã equaçãõde governo (3-:'?a) e a condição de contorno de tração (3.7b) por uma função arbitrária w(x) e pela integração sobre os seus domínios de ação: para a equação de governo, o domínio pertinente é o intervalo [O,l), enquanto para a condição de contorno de tração, o domínio é a área da seção transversal em x = O(não é necessária uma integral porque essa condição age somente em um ponto, mas multiplicamos a condição pela área A). As duas equações resultantes são I
(a)
f w[!(AE:) +b] dx=O
Vw,
o
(3.13)
A função w(x) é chamada de junção peso; em tratamentos mais matemáticos, ela também é chamada de função teste. Nessa equação, 'r/w denota que w(x) é uma função arbitrária, isto é, (3.13) deve ser válida para todas as funções w(x). A arbitrariedade da função peso é crucial, como por outro lado uma formulação fraca não é equivalente à formulação forte (veja Seção 3.7).A função peso pode ser pensada como uma função que força uma solução: tudo o que for multiplicado por ela é forçado a ser zero por sua arbitrariedade. Você deve ter notado que não forçamos a condiÇão· de contorno sobre o deslocamento em (3.13) pela função peso. Veremos que é fácil construir soluções tentativas ou candidatas u(x) que satisfaçam essa condição de contorno de deslocamento, de modo que consideraremos que todas ás soluções candidatas da Equação (3.13) satisfaçam essa condição de contorno. Do mesmo modo, em breve veremos que é conveniente ter todas as funções peso correspondendo a w(l) =O.
(3.14)
De forma que impomos essa condição ao conjunto de funções peso.
Conforme você verá, na solução de uma formulação fraca, é considerado um conjunto de soluções admissfveis
- ·----~rqüe safisfaçã·cena:s condiÇões. Essas solüÇ'õCS'sãõ ênaniadã:s'l:!esol üçõe.nentativas: EláS"Uütioeilfsão·chamadas de soluções candidatas. Poderíamos usar (3.13) para desenvolver um método de elementos finito~. mas por causa da derivada segunda de u(x) na expressão, soluções tentativas muito suaves seriam necessárias; tais soluções tentativas muito suaves seriam difíceis de construir em m~s que uma dimensão. Al6m disso, a matriz de rigidez resultante não seria simétrica, porque a primeira integral não é simétrica em w(x) e u(x). Por essa razão, iremos transformar (3.13) em uma formulação que contenha somente a derivada primeira. Isso levará primeiramente a matrizes de rigidez simétricas, e nos permitirá usar soluções menos suaves e simplificará o tratamento da condição,de contorno de tração. Por conveniência, reescrevemos (3.13a) na forma equivalente: I
I
f IV! (AE~;)dx +f wbdt . . ... o
"
= 0
Vw.
(3.15)
38 CÀPITULO TR~
Para obter uma formulação fraca. na qual somente as derivadas primeira apareçam, primeiramente recordemos da regra para a derivada de um produto: dw d df dw d/ d = - (wf) - fdx. => w-(»f) = w-+Jdx dx dx dx dx Integrando essa equação sobre o domínio [0, l), obtemos
f w! = f ~(uf)dx- f f: I
I
I
dx
dx.
o
o
o
O teorema fundamental do cálculo estabelece que a integral da derivada de uma função é a própria função. Esse teorema nos permite substituir a primeira integral oo segundo membro por um conjunto de valores de contorno e reescrever a equação como
f IV~
I
I
I
dx
f
= (~tf)l~- f~ dx =(~tf).<=l- (wf)..-=
0 -
o
o
f f~
(3.16)
dt.
o
Esta fórmula é conhecida como integração por partes. Descobriremos que a integração por partes é útil sempre que relacionamos as formulações forte e fraca. Para aplicar a fórmula da integração por partes à (3.15), seja f= AE(duldx). Portanto, (3.16) pode ser escrita como (3.17)
Usando (3.17), (3.15) pode ser escrita como segue:
du wAE(
~ (J
)
f
1
1
I
du wbdt=O -AE-dx+ - Jdw dr dx o o o
Vw com w(l)
= O.
(3.18)
Notamos que pela lei da tensão-deformação e pelas equações de deslocamento-deformação, o termo destacado é a tensão u (como mo.strado), de forma que essa equação pode ser reescrita como I
I
(wAu)x=J- (wAa).t=o- f~ AE: dt
o
+f
wbdx =O
'v'w com w(l)
= O.
o
O primeiro termo nessa equação desaparece por causa de (3.14): isso é porque é conveniente construir funções peso que desapareçam nos contornos de deslocamento prescritos. Embora o termo pareça bastante insignificante, ele levaria à perda de simetria nas equações finais. De (3.13b), podemos ver que o segundo termo é igual a ~wAt\. 0 , de. modo que essa equação torna-se
fo dx AEdu dx = (wAt)_ .••o + of' wbdx 1
dw
dx
Vw com w(l) =O.
(3.19)
Vamos recapitular o que fizemos. Multiplicamos a equação de governo e contorno de tração por uma função peso suave, arbitrária, e integramos o produto sobre o domínio de ação. Adicionamos as expressões e transformamos a integral, de modo que as derivadas são de ordem mais baixa. Agora, chegamos ao ponto mais importante desse desenvolvimento: Estabelecemos que a solução tentativa que satisfaz o que foi citado anteriormente para todas as funções suaves w(x) com w(l) == O é a solução. Então a solução é obtida como se segue: Determinar u(x) dentre as funções suaves que satisfaçam u(l) = ü tal que o
I
I
~~AE~dx=(wAi).~..o+
f
wbdx
'v'w com w(/) =O.
(3.20)
o
o
Essa equação é chamada de formulação fraca. O nome tem origem no fato de que as soluções para a formulação fraca não necessitam ser tão suaves quanto às das soluções da formulação forte, isto é, elas possuem exigências de continuidade mais fracas. Isso será explicado mais tarde. ;
Formulações Forte e Fraca para Problemas Unidimensionais 39
,
Compreender como uma solução para uma equação diferencial pode ser obtida por essa instrução um tanto abstrata, e por que ela é uma solução útil, não é fácil. Exige-se que a maior parte dos estudantes tenha considerável raciocínio e experiência para compreender o processo. Para facilitar, daremos dois exemplos nos quais uma solução é obtida para um problema específico. Mostraremos na próxima seção que a formulação fraca (3.20) é equivalente à equação de equih'brio (3.7a) e à condição de contorno de tração (3.7b). Em outras palavras, a solução tentativa que satisfaz (3.20) é a solução da formulllção fone. A prova dessa afirmação na Seção 3.4 é um passo fundamental na teoria dos elementos finitos. Na obtenção de (3. 19), passamos por um conjunto de etapas matemáticas que está correto, mas não temos base para dizer que a solução para a formulação fraca é uma solução da formulação forte, a menos que possamos mostrar que (3.20) implica (3.7). É importante lembrar que as solÚções tentativas u(x) precisam satisfazer as condições de contorno de deslocamento (3. 7c). Satisfazer as condições de contorno de deslocamento é essencial para as soluções tentativas, de modo que essas condiçOês âe contorno são íieqüeÓtemente chamadaS· dé condições 'de contorno essenciais. Veremos na Seção 3.4 que as condições de contorno de tração emanam na~ente da formulação fraca (3.20), de forma que as soluções tentativas não necessitam ser construídas para satisfazer as condições de contorno de tração. Portanto, essas condições de contorno são chamadas de condições de contorno naturais. Outras exigências de suavidade sobre as soluções tentativas serão discutidas nas Seções 3.3 e 3.9. Uma solução tentativa suave e que satisfaz as condições de contorno essenciais é chamada de admissfvel. Do mesmo modo, uma função peso que seja suave e que desapareça nos contornos ~sendais é admissfvel. Quando as formulações fracas são usadas para resolver um problema, as soluções tentativas e as funções peso devem ser admissíveis. Observe que em (3.20), a integral é simétrica em w eu. Isso levará a uma matriz de rigidez simétrica. Além disso, a derivada de maior ordem que aparece na integral é de primeira ordem: isso terá implicações importantes sobre a construção dos métodos dos elementos finitos.
3.3 CONTINUIDADE Embora já tenhamos desenvolvido a formulação fraca, ainda não especificamos quão suaves as funções peso e as soluções tentativas devam ser. Antes de examinar esse tópico, examinaremos o conceito de suavidade, isto é, de continuidade. Uma função apresenta um grau de continuidade C", se as suas derivadas de ordemj para O s j s n existem e são funções contínuas em todo o domínio. Ficaremos preocupados principalmente com as funções com graus de continuidade CO, c-• e c•. Tais exemplos estão ilustrados na Figura 3.5. Como se pode ver, uma função com grau de continuidade CO é sucessivamente derivável por partes, isto é, sua derivada primeira é contínua, exceto em pontos selecionados. A derivada de uma função com grau de continuidade C' é uma função com grau de continuidade c-•. Então, por exemplo, se o deslocamento é uma função com grau de continuidade CO, a deformação é uma função com grau de continuidade c-•. Do mesmo modo, se um campo de temperatura e a condutividade térmica são funções com grau de continuidade CO, o fluxo é uma função com grau de continuidade c-•. Em geral, a derivada de uma função com grau de continuidade C" é uma função com grau de continuidade C'- 1• As suavidades de funções com graus de continuidades CO, c-• e C 1 podem ser relembradas por meio de alguns artifícios mnemônicos simples. Como pode ser visto na Figura 3.5, uma função com grau de continuidade c-• pode ter torções ou saltos. Uma função com grau !ie continuidade CO não possui saltos, isto é, descontinuidades, porém possui torções. Uma função com grau de continuidade C1 não possui saltos ou torções. Assim, existe uma progressão de suavidade conforme o sobrescrito aumenta, e que está resumida na Tabela 3.1. Na literatura, os saltos na função são freqUentemente chamados de descontiüuidades fortes, enquanto as torções são chamadas de descontinuidades fracas. · É importante mencionar que as bases de dados do CAD para superfícies suaves normalmente empregam funções com grau de sua~dade no mínimo igual a C 1; as mais comuns são as funções "splines". De outra maneira, a superfície apresentaria torções provocadas pela função descritiva da geometria, por exemplo, em um carro existiriam torções na chapa metálica, em que o grau de continuidade de C 1 não fosse observado. Veremos que os elementos finitos normalmente empregam funções com grau de continuidade CJ.
•
Flgun 3.5 Exemplos de funções com graus de continl,lidade c-•, C" e C'.
40
CAPiTuLO TRÊS
Tabela 3.1 Suavidades de funções. Suavidades
Dobras
Saltos
Comentários
c-•
Sim Sim Não
Sim Não Não
Continua por panes, Derivável continuamente por panes Derivável continuamente
Cl
3.4 EQUIVALÊNCIA ENTRE AS FORMULAÇ ÕES FRACA E FORTE Na seção anterior. construímos a formulação fraca a panir da formulação forte. Para mostrar a equivalência entre as duas, agora mostraremos o inverso: a formulação fraca subentende a formulação forte. Isso garantirá que quando resolvermos a formulação fraca, teremos uma solução para a formulação forte. A prova de que a formulação fraca implica a formulação forte pode ser obtida pela simples inversão dos passos pelos quais obtivemos a formulação fraca. Dessa forma, em vez de usar--ª integração por partes para eliminar a derivada segunda de u(x), invertemos a fórmula para obter uma integral com uma derivada maior e um termo de contorno. Para isso, trocamos os termos em (3.17), que fornece
Substituindo essa equação em (3.20) e colocando os termos da integral no lado esquerdo e os termos de contorno no lado direito obtemos 'r:lw com w(/) =O.
(3.21)
O segredo para fazer a possível prova é a arbitrariedade de w(x). Ela pode ser assumida como sendo algo que precisamos para comprovar a equivalência. Nossa seleção de w(x) é gwada por ter visto essa prova antes -O que faremos não é imediatamente óbvio, mas você verá que funciona! Primeiramente, seja
(3.22) em que 1/J(x) é suave, 1/J(x) > Osobre O< x < l e 1/J(x) desaparece nos contornos. Um exemplo de uma função que satisfaz essas condições é rjl(x) = x(l - x). Em razão de como rjl(x) é construída. segue-se que w(l) = O, então, a condição de que w = Ono contorno de deslocamento prescrito, isto é, no contorno essencial, é satisfeita. Inserindo (3.22) em (3.21) obtemos (3.23) O termo de contorno desaparece porque construímos a função peso, de forma que w(O) = O. Como o integrando em
(3.23) é o produto de uma função positiva e o quadrado de uma função, ele precisa ser positivo em cada ponto no domínio do problema. Então, a única forma da igualdade em (3.23) ser satisfeita é se o integrando for igual a zero em cada ponto! Portanto, segue-se que d (
du) + b = O,
d~ AE d~
o< X< I.
(3.24)
que é precisamente a equação diferencial na formulação forte, (3.7a). De (3.24) segue que a integral em (3.21) desaparece, e ficamos com
(wA(i + a)),,=O =O
'r:lw com w(l)
= O.
(3.25)
Como a função peso é arbitrária, nós a selecionamos, de forma que w(O) = l e w(l) = O. É mwto fácil construir tal função, por exemplo, (I - x)!l é uma função peso adequada; qualquer função suave que você possa esboçar sobre o intervalo {0, 1] e que desapareça em x = l é também adequada. Como a área da seção transversal A(O) #: O e w(O) #: O, segue-se que (3.26)
a= -7 em x =O, que é a condição de contorno natural (tração prescrita), a Equação (3.7b).
.............
~--------------------------------------------------------
Fonnulações Forte e Ftaca para Problemas Unidimensionais 41
A última equação restante da formulação forte, a condição de contorno de deslocamento (3.7c), é satisfeita por todas as soluções tentativas por construção, isto é, como pode ser visto de (3.20), exigimos que u(l) = ü. Portanto, podemos concluir que a solução tentativa que satisfaz a fdrmulação fraca satisfaz a formulação fone. Outra forma de provar a equivalência com a formulação forte partindo de (3.20) e que é mais instrutiva sobre a natureza da equivalência é a seguinte. Primeiramente fazemos
e Tl)
= A(O)u(O)
+i.
A variável r(x) é chamada de o resíduo; r(x) é o erro na Equação (3.7a) e r0 é o erro na condição de contorno de tração (3.7b). Note que quando r(x) =O, a equação de equih'brio (3.7a) é exatamente satisfeita e quando r0 = O, a condição de contorno de tração (3.7b) é exatamente satisfeita. A Equação (3.20) pode então ser escrita como
f I
w(x)r(x) dx + w(O)ro =O
Vw com w(l) = O.
(3.27)
o
'*
O. Em seguida Agora provamos que r(x) = O por contradição. Considere que em algum ponto O < a < l, r(a) mostrado na como a, = x de vizinhança pequena uma em zero de diferente ser deve suave, é r(x) considerando que Figura 3.6(a). Temos a extensão completa na construção de w(.x), visto que esta é urna função suave arbitrária. Assim, a construímos como mostrado na Figura 3.6(b). A Equação (3.27) então se toma
f
I
w(x)r{x) dx + w(O)ru ::::::
4r(a)6 :;é O.
o Essa expressão implica que (3.27) é violada, e por contradição r(a) não pode ser diferente de zero. Isso pode ser repetido em qualquer outro ponto do intervalo aberto O < x < l, então se segue que r{x) = Opara O < x < I, isto é, a equação de governo (3.27) é Satisfeita. Façamos agora w(O) = 1; como a integral desaparece porque r(x) = O para O < x < /, segue-se de (3.27) que r0 = Oe, portanto, a condição de contorno de tração é também satisfeita. · Do que foi exposto, podemos ver por que dizemos que a equação é forçada quando ela, ou mais precisamente o resíduo, é multiplicada pela função peso: isso ocorre por causa da arbitrapedade da função peso, qualquer coisa que ela multiplica deve desaparecer. As provas da equivalência das formulações forte e fraca são de modo crítico ligadas na validade da formulação fraca para qualquer função suave. Na primeira prova (Equações [3.7]-
[3.20]), selecionamos uma função peso arbitrária especial (baseada n;i previsão de como a prova evoluiria) que
tem que ser suave, enquanto na segunda prova, usamos a arbitrariedade e a suavidade diretamente. A função peso na Figura 3.6(b) pode não parecer particularmente suave, mas ela é tão suave quanto se necessita para essa prova.
Figura 3.6 Dustração da equivalência entre as formulações fraca e forte: (a) um exemplo da funçli.o residual; (b) escolha da função peso e (c) produto das funções residual e peso. À esquerda, o procedimento~ mostrado para uma função com grau de continuidade CO; à direita, para uma funç!o com grau de continuidade c- 1•
42
CAPÍTULO TR~S
~ Exemplo 3.1
Desenvolva a formulação fraca da formulação forte:
(b)
~ (AE Ex du) + lOA.r = O, llx:O E u(O) = 10-4,
(c)
a..,.2
(a)
O< x< 2,
d"t"
(3.28)
= (E:).=l= 10.
A Equação (3.28c) é uma condição sobre a derivada de u(x), então é uma condição de contorn_Q_natural; (3.28b) .é ~a..QQI}~ão sobre u(x), então é uma condição d<:_~!Qmn~ F:~~tç, como a função peso precisa desaparecer nos contornos essenciais, consideraniôii todas as funções peso suaves w(x) tal que w(O) = O. As solu-, ções tentativas u(x) precisam satisfazer a condição de contorno .essencial u(O) = w-•. Começamos multiplicando a equação de governo e a conàição de contorno natural sobre os domínios de ação por uma função peso arbitrária: \t'w(x),
(3.29)
du (b) (wA(E dx- 10))..._ 2 =O
Vw(2).
Em seguida, integramos a primeira equação por partes, exatamente conforme fizemos indo de (3.13a) para (3.17): 2
1
[
du)] · ( du) ~.r-2 dw du dx AE dx dt = ivAE d.x x=odx AEdx dx. 2
w
(
d
/
o
(3.30)
o
Construímos as funções peso de forma que w(O) = O; portanto, o primeiro termo do segundo membro da equação anterior desaparece em x = O. Substituindo (3.30) por (3.29a) temos 2
-
2
du) IOwAtdx+ ( wAEdx
dwdu / AEdt~+
/
o
o
,=0
Vw(x) com w(O)
= O.
(3.31)
-
Substituindo (3.29b) pelo último termo de (3.31) obtemos (após urna mudança de sinal) 2
2
dwdu / AE d\' dt drJOwAtdx- JO(wA)_•• 2 =O / o o
V'11'(x) com w(O)
= O.
(3.32)
Portanto, a formulação fraca é como se segue: encontre a função u(x) tal que para todas as funções u(x) suaves com u(O) = 10-•, tal que (3.32) seja verificada para todas as funções W(x) suaves com w(O) = O.
~ Exemplo 3.2
Desenvolva a formulação fraca para a formulação forte: d 2u
dr2 ·= O em
( du) dx
= 2,
I
< .t < 3, u(3)
(3.33)
= I.
,rei
As condições sobre a função peso e as soluções tentativas podem ser deduzidas das condições de contorno. O ponto de contorno x = 1 é uma condição natural, visto que a derivada nele é prescrita, enquanto o contorno x = 3 é um contorno. essencial, visto que a própria solução.é prescrita. Portanto, é necessário que w(3) =O e que a solução tentativa satisfaça a condição de contorno essencial u(3) = I. Em seguida, multiplicamos a equação de governo pela função peso e integramos sobre o donúnio do problema; de modo similar, multiplicamos a condição de contorno natural pela função peso, que leva a 3
(a)
f
I
{b)
.
d2u
w d,x2 dx = O, ,
(w(:- 2) ).=,=O.
(3.34)
FonnulaÇões Fórte e Fraca para Problemas Unidimensionais 43
A integração por partes do integrando em (3.34a) fornece
Jwd2~dx= (wdu) .l
I
dx
dx
x• 3
- .(wdu) dx
x-t
-!3 dw~dx. I
dx dx
(3.35)
Como w(3) = O, o primeiro termo do segundo membro na equação anterior desaparece. Substituindo (3.35) em (3.34a) obtemos 3
-
!
dwdu ( du) dx dx dx - w dx x-1 =
o.
(3.36)
I
Adicionando (3j4b) a (3.36)'obtemos 3
/
dwdu dx dxdx+ 2w(l) =O.
(3.37)
I
Então, a formulação fraca é: encontre uma função suave u(x) com u(3) = 1 para a qual (3.37) seja verificada para todas as funções w(x) suaves com w(3) = O. Para mostrar que a formulação fraca implica a formulação forte, invertemos os passos precedentes. A integração por partes do primeiro termo em (3.37) fornece
(w du) 13- Jw d2u dx dx dx2 •
3
3
J
dwdu dx = dxdx
(3.38)
1
I
I
Em seguida, substinúmos (3.38) por (3.37), obtendo
(w:) - (w:) x•3
3
x• 1
-jw~dx+2w(l) =0. I
(3.39) .
Como no contorno essencial, a função peso desaparece, isto é, w(3) = O, retira-se o primeiro termo da equação anterior. Coletando os termos e mudando sinais, obtemos 3
..
j w:;dx+ (w(: -2)) =0. s-
(3.40)
1
I
Agora usamos os mesmos argumentos que para as Equações (3.22)-(3.26). Como w(x) é arbitrário, fazemos -·'·(
)~u(x)
W-'I'X
em que
t/t(x)= {
0, x= 1, :;:-O,l
Então (3.40) torna-se 3
.,
j t/t(x)(:;)
2
dx =O.
1' - _ ............ __ - -- -- -- - -
Como o integrando é positivo no intervalo [1,3), s.egue-se que a dnica forma do integrando desaparecer é se d2u(.x)
~=
O
para
I
que é a equação diferencial na formulação forte(3.33). . . Agora, seja w(x) uma função suave que desapareça em x = 3, mas que'seja ig\ial a um em x = 1. Você pode esboçar um número infinito de tais f\J.nções: qualquer curva entre esses pontos com os valores finais especificados servirá. Como já sabemos que a integral em (3.40) desaparece, ficamos com
(du -2) =0, d.x
..,,
.·
-·
44 CAPITULO TRÊS
é satisfeita por de modo que a condição de contorno natural é satisfeita. Como a condição de contorno essencial para a formusolução a é fraca formulação da solução a que concluir então podemos todas as soluções tentativas, lação forte.
Exemplo 3.3
í
e funções peso da Obtenha uma solução para a formulação fraca no Exemplo 3.1 utilizando soluções tentativas forma u(x) = ~ + 2,x. w(x) =Pu+ fi,:c.
que A é consem que a 0 e a 1 são parâmetros desconhecidos e /30 e {3 1 são parâmetros arbitrários. Considere /30 = O. Para que modo de O, = x em er desaparec precisa peso tante e E= 105. Para ser admissível, a função w-•, Jogo = u(O) essencial contorno de condição a satisfazer precisa esta l, admissíve a solução tentativa ser
ao=
w-•.
m, e Dessa simplificação, resulta que apenas um parâmetro desconhecido e um parâmetro arbitrário permanece du(x) ~ = ::!t: (3.41) dw w(x) = {J,x. dx = fi,.
Substituindo essa equação na formulação fraca (3.32) obtemos
I
I •
>
p,-:x ,Edr:-
fi 1x 2 10dx- (fi 1x
10).,~ 2 =O.
[I
(l
Avaliando as integrais e fatorando sobre 13, obtemos
P1( 2a1E-
°-20)
8 3
=o
precisa desaComo a equação anterior precisa ser verificada para todo 13" segue-se que o termo entre parênteses indiX w-•. Substituindo esse resultado em (3.41) obtemos a formulação fraca, que parecer, então a = ;~ = 1
j
1 w-•o + ~ x) e camos pelo sobrescrito '!in', visto que é obtida a partir de soluções tentativas lineares: u i• = 7 na Figura a';• = ~ (a lei tensão-deformação precisa ser usada para obter as tensões). Os resultados são mostrados
3.7 e comparados com a solução exata dada por u'"(x) = 10- 4 (1 + 3.r- .r'/6).
a•x(x) == 10(3 -
.r/2).
resultado razoavelObserve que mesmo essa aproximação linear muito simples para uma solução tentativa fornece um finitos. elementos em soluções nas exatidão de carência mesma essa Veremos exato. é não ele mas mente preciso, s quadrática Repita esse exemplo com soluÇões tentativas e funções peso
u(:r)
= IXO + ?:,x + 1X2r.
w(x)
= {J0 + {J,x +fi~.
o os campos anteComo antes, em razão das condições nos contornos essenciais, a0 = 1o-• e 130 = O. Substituind obtemos fraca formulação na 13 e a de dados valores os riores com 0 0
f
f (/J1x+/]2.~)10xd\' - ((JJ1.r+/]1x~) !
2
(/11 + 2P1x)(E('.t:r
+2:z~x))dx-
10).,"1 =0.
o
o
Integrando, fatorando sobre 131 e /32 e rearranjando os termos obtemos
P1[ E(2a1+4~)-
~ ]+ ~((4a + 32? )E-80 )=o
1 0
1
{3 e {3 arbitrários. Como a equação anterior precisa ser válida para funções peso arbitrárias, ela precisa valer para 1 2 que fornece escalar), produto do teorema do (lembre-se r Portanto, os coeficientes de 13, e 132 precisam desaparece Cl.z: e a seguinte equação linear algébrica em a 1
.[2 324][a] =[140] 3
E
4
3
I
a2
80
Formul,ções Forte e Fraca para Problemas Unidimensionais 45 35~----~----~----~----~
60
5õ
50
f' o
... X
~"' 41
E
45 40
,;
,;
,;
;;
/.
.,.,25
,;
35
= 8
30
o"'
25
o;
,;
, ,;
,,
/ ,; .,;
20
,;
•O
~
/"'" U"'()X
{E 20
,;
...... .... ---,---~~~......------u"" (x)
,;
,
••••••• ,
u""'" (x) 15
/ / /
"' · 1
0.5
10L-----~----~------~----~
1.5
o
2
0.6
1
2
1.5
(b)
(a)
Figura 3.7 Comparação entre as aproxinútções linear (lin) e quadrática (quad) para a solução exata de (a) deslocamentos e (b) tensões.
A solução é a 1 = 1~ X 10-• e a 2 = -0,5 X 10-•. Os deslocamentos e as tensões resultantes são
f
uquliJd = 10-c( 1 + 1 x- O,Si!),
,...,..
= 10( 1f - x).
A solução fraca é mostrada na Figura 3.7, da qual você pode ver que a solução' tentativa quadrática de dois párãmetros aproxima-se mais da solução exata que a solução tentativa linear de um parâmetro.
3.5 ANÁLISE DE TENSÕES UNIDIMENSIONAL COM CONDIÇÕES DE CONTORNO ARBITRÁRIAS 3.5.1 Fonnulação Forte para Análise de Tensões Unidimensional Agora consideraremos uma situação mais geral, onde em vez de especificar uma condição de contorno de tensão em X= o e uma condição de contorno de deslocamento em X= I, as condiçPe-s de contorno de deslocamento e tensão pqdem ser prescritas em cada extremidade. Para isso, necessitaremos de uma notação mais geral para os contornos: O contorno do domínio unidimensional, que consiste em dois pontos extremos, é denotado por r. A porção do contorno onde os deslocamentos sãp prescritos é denotada porf.; o çontorno onde a tração é prescrita é denotado por r,. Nessa notação geral, tarito r. como r, podem ser conjuntos vazios (sem pontos), com um ponto ou dois pontos. A tração e o deslocamento não podem ser ambos prescritos no mesmo ponto de contorno. Fisicamente, pode-se. ver que isso é impossível, considerando uma barra tal como a mostrada na Figura 3.2. Se pudéssemos prescrever tanto o d~loc~ento quanto a força sobre o lado direito, isso significaria que a deformação da barra seria independente da força aplicada. Significaria também que as propriedades do material não teriam efeito sobre o comportamento · força-deslocamento da barra Obviamente, isso não é ,realista do ponto de vista físico, de forma que qualquer ponto . de contorno existe: ou uma tração ou um deslocamento prescritos. ltscrevêmos isso como r, n r.= o. Iremos ver nos exemplos subseqüentes que issd pode ser generalizado para outros sistemas: condições de contorno naturais e condiçõe~ de contorno essenciais não podem ser aplicàdas nos mesmos pontos de contorno. Freqüentemente, os contornos com condições de contorno essenciais serão denominados contornos essenciais; do mesmo modo, os contornos com condições de contorno naturais serão denominados éontornos naturais. Podemos então dizer que um contorno não pódé ser ao mesmo tempo uin contorno essencial e natural. Também resulta da teoria dos problemas de valor de contorno que um tipo de condiÇão de contorno é necessário em cada ponto de contorno, isto é, não podemos ter qualquer contorno no qual não seja aplicada uma condição de contorno essencial ou natural. -P.ortanto. _qualqJJ,CLCQD19.rno é_QJJ J.Un~Q!ltorni_~sencial ou um contorno natural, e sua união é o contorno inteiro. Matematicamente, isso pOde ser ês~rito como r, U r • = --------·-··-----~----·--·- -~-Para resumir o que foi dito anteriormente, em qualquer contorno, tanto a função qu~to a sua derivada precisam ser especificadas, porém estas não podem ser especificadas no mesmo·contorno. Assim qualquer contorno precisa ser um contorno essencial ou um contorno natural; mas não pode ser os dois ao mesmo tempo. Essas condições são muito importantes e pooem ser matematicamente expressas pelas duas condições que estabelecemos anteriormente:
r-.
. .-..--
r~nr., =O.
I
··- -
(3.42)
Os dois contornos são ditos complementares: o contorno essencial mais seu corpplemento, o contorno natural, constitui o contorno total. e vic.e-versa. · · Usando a notaçã~ anterior, resumimos a formulação forte para análise de tensões unidimensional (3.7) no Quadro 3.1.
•
r~
•~
,
46 CAPITULO TR~ ~
Quadro 3.1 Formulação forte para análise de tensões unidimensional
:t(AE~) +b=O, du dx
_
un=En-=1 em
u=ü em
O
r
(3.43)
,,
ru.
No Quadro 3.1, adicionamos um vetor unitário normal ao corpo e o indicamos por n: como pode ser visto da Figura 3.2, n = -1 em x = O e n = + 1 em x = l. Esse arúfício nos permite escrever a condição de contorno em termos das trações aplicadas nas extremidades. Por exemplo, quando uma força positiva por unidade de área é aplicada no primeiro membro da barra na Figura 3.2, a tensão naquela extremidade é negativa, isto é, ela é compressiva. e 0'71 = -u = T. Em qualquer ponto de contorno do segundo membro, n = + I e! portanto, 0'71 = u = T.
3.5.2 Formulação Fraca para Análise de Tensões Unidimensional Nesta seção, desenvolveremos a formulação fraca para análise de tensões unidimensional (3.43), com condições de contorno arbitrárias. Primeiramente, reescrevemos a fórmula para integração por partes na notação introduzida na Seção 3.2:
f
df
w dt dx
= (wfil)lr- f f dw dx dt = (ufil)lr. + {nfo)lr, -
fi
ff
dw
(3.44)
dx dt.
P.
fi
Na equação anterior, o subscrito n na integral indica que a integral é avaliada sobre o domínio do problema unidimensional, isto é, a notação n indica quaisquer limites de integração, tais como [0,1), (a, b]. o subscrito r indica que a quantidade precedente é avaliada em todos os pontos de contorno, enquanto os subscritos r. e r, indicam que as quantidades precedentes são avaliadas sobre os contornos de deslocamento e de tração prescritos, respectivame.nte. A segunda igualdade resulta da complementaridade dos contornos de tração e deslocamento: visto que, como indicado por (3.42), o contorno total é a soma dos contornos de tração e de deslocamento, o termo contorno pode ser expresso como a soma dos contornos de tração e de deslocamento. As funções peso são construídas de forma que w = O em r •' e as soluções tentativa são construídas de maneira queu = üemr•. Multiplicamos as duas primeiras equações na formulação forte (3.43) pela função peso e as integramos sobre os domínios nos quais elas agem: o domínio Q para a equação diferencial e o domínio r, para a condição de contorno de tração. Isso fornece (a)
f w(:t (AE:) +b)
dx=O
Vw,
(3.45)
11
{b)
(wA(i- an))lr,=O
Vw.
Denotando f= AE(du/dx) e usando a integração por partes (3.44) do primeiro termo em (3.45a) e combinando com (3.45b) obtemos · (wAan)lr.
+ (wAt._)I r, -
fdw
·f wb
n
n
du dx AE dx dx +
dx =O
Vw com w =O em
r •.
(3.46)
O termo de contorno em r. desaparece porque wlr. =O. A formulação fraca então se torna
f dw AEdu dx
u
_ +f
dx dx = (wAt)lr,
wbdx
Vw com
IV=
o em r.,.
n
Neste ponto, introduzimos alguma notação nova, de modo que não necessitaremos continuar repetindo a frase 'u(x) é suave o suficiente e satisfaz a condição de contorno essencial'. Para esse objetivo, indicaremos o conjunto de todas as funções que são suficientemente suaves por Efl. As funções lf apresentam grau de continuidade ()l. Matematicamente, isso é expresso como H 1 C ()l, Entretanto, nem todas as funções ()lsão soluções tentativas adequadas. Trabalharemos adicionalmente sobre isso na Seção 3.9; H1 é um espaço de funções com derivadas de quadrados integráveis. Denotamos o conjunto de todas as funções que são soluções tentativas admiss(veis por U, onde (3.47)
Qualquer função no conjunto U deve satisfazer todas as condições que seguem a barra vertical. Assim, a expressão anterior denota o conjunto de todas as funções que são suficientemente suaves (a primeira condição depois da barra) e satisfaz a condição de contorno essencial (a condição depois dà vírgula). Portanto, podemos indicar que uma função u(x) é uma solução tentativa admissível afirmando que u(x) está contida no conjunto U, ou u(x) E U.
~~-----------~--------------------------------------------.....................
Fonnulaç6es Forte e Fraca para Problemas Unidimensionais 47
De modo similar, indicaremos o conjunto de todas as funções peso admissfveis por
Uo = {w(x)jw(x) E 1t, w =O emT11 }.
(3.48)
Observe que esse conjunto de funções é idêntico a U, exceto que as funções peso precisam desaparecer nos contornos essenciais. Esse espaço é distinguido de U pelo subscrito zero. Tais conjuntos de funções são freqUentemente chamadas de junção espaços ou somente espaços. A função espaço 1f1 contém um número infinito de funções. Por essa razão, ela é chamada de um conjunto fufi.nito-dimensional. Para uma discussão de vários espaços, o leitor pode desejar consultar Ciarlet (1978), Oden e Reddy (1978) e Hughes (1987). Com essas definições. podemos escrever a formulação fraca ([3.45], (3.47]) e [3.48]) no Quadro 3.2.
~
Quadro 3.2 Formulaç§o fraca ·para análise de tensões unidimensional
Determine u(x) E U tal que
~~AE~dx= (wAt) lr, + j
(3.49)
Vwe Uo.
wbdx
n
n
Observe que as funções w(x) e u(x) aparecem simetricamente na primeira integral em (3.49), enquanto isso não acontece em (3.45a). Em (3.49), tanto as soluções tentativas quanto as funções peso aparecem como derivadas primeira, enquanto na primeira integral em (3.45a), as funções peso aparecem diretamente e as soluções tentativas aparecem como uma derivada segunda. Veremos em conseqüência que (3.49) levará a uma matriz de rigidez simétrica e a um conjunto de equações algébricas lineares simétricas, enquanto isso não acontecerá com (3.45a).
3.6 CONDUÇÃO DE CALOR UNIDIMENSIONAL COM CONDIÇÕES DE CONTORNO ARBITRÁRIAS3 3.6.1 Fonnulação Forte para Condução de Calor Unidimensional com Condições de Contorno Arbffrárlas Seguindo o mesmo procedimento da Seção 3.5.1, a porção do contorno onde a temperatura é prescrita. isto é, o COntorno ~Sencial, é denotada por r Te OCOntorno Onde OflUXO é prescritO é denotado por r,; esses SãO OS COntornOS com as c:ondições de contorno naturais. Esses contornos são complementares, então
r.,nrr = o.j
(3.50)
Com o vetor normal unitário usado em (3.43), podemos expressar a condição de contorno natural como qn = ij. Por exemplo, o fluxo positivo q causa entrada de calor (q negativo) sobre o ponto de contorno à esquerda onde qn = - q = q e saída de calor (ij positivo) sobre o ponto de contorno à direita onde qn = q =: ij. Podemos então reescrever a formulação forte (3.12) como mostrado no Quadro 3.3.
~
Quadro 3.3 Formulação forte para problemas de condução de calor unidimensional
! (Ak ':) + =o s
dT
qn = -kndX = T= T em
q
em
em
n,
(3.51)
rq,
rT.
3.6.2 Fonnulação Fraca para Condução de Calor Unidimensional com Condições de Contorno Arbffiárias Novamente multiplicamos as duas primeiras equações na formulação forte (3.51) pela função peso e integramos sobre os domínios nos quais elas agem, o domínio n para a equação diferencial e o domínio para a condição de contorno de fluxo, que leva a
rq
'Recomendado para a trajetória de Engenharia c Ci!ncias.
48 CAPITULOTRÉS
(a)
f :t w
(Ak : ) dt +
(b)
f
ws dr = O
(3.52)
n
n
(wA(q11-
q))lr =O •
\fw .
O uso-da integração por partes do primeiro termo em (3.52a) fornece
f
-:- dr -dw Ak dr ux dr
)I f
dr + = ( wAk-n r· d(
\fw com w
wsdt
=o em rr.
(3.53)
!I
!!
Recordando que w = Oem r r e combinando (3.53) com (3.52b) obtém-se
Quadro 3.4 Formulação fraca para problemas de condução de calor unidimensional Determine T(x) E U tal que
J
dT dw -Ak~dr
n
dr
d..-
(3.54)
= - (wAq) Ir. + j w.nb'
Vw E Uo.
n
Observe a similaridade entre (3.54) e (3.49).
3. 7 PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO COM DOIS PONTOS COM CONDIÇÕES DE CONTORNO GENERALIZADA54 3. 7.1 Formulação Forte para Problemas de Valor de Contorno com Dois Pontos com Condições de Contorno Generalizadas As equações desenvolvidas neste capítulo para problemas de condução de calor, difusão e elasticidade são todos da seguinte forma:
d ( dO)
dt AK dt +f
=o
em
n.
(3.55)
Tais problemas unidimensionais são chamados de problemas de valor de contorno de dois pontos. A Tabela 3.2 fornece o significado específico das variáveis e dos parâmetros anteriores para diversas aplicações. As condições de contorno naturais podem também ser generalizadas como (baseado em Becker et al. [1981])
( d8-) ~'dt-lf>
-
+ ft(B -8)= 0 em
r4o.
(3.56)
A Equação (3.56) é uma condição de contorno natural porque a derivada da solução aparece na mesma. A Equação (3.56) se reduz às condições de contorno naturais padrão consideradas nas seções prévias quando {3(x) = O. Note que a condição de contorno essencial pode ser·recuperada como um caso lin:lite de (3.56) quando f3(x) é um parâmetro de penalidade, isto é, um número grande (veja Capítulo 2). Nesse caso, r !!!! r 4> e a Equação (3.56) é chamada de condição de contorno generalizada. Um exemplo dessa condição de contorno generalizada é uma barra elástica com uma mola fixada como mostrado na Figura 3.8. Nesse caso, f3(l) = k e (3.56) se reduz a
( E(l) n(l) ~; (!) -
1) + k( u(/) - li) =Oem
x
= I,
ü - ku(l)
T
Figura 3.8 Um exemplo do contorno generalizado para problema de elasticidade.
' Recomendado para a Traje16ria Avançada.
(3.57)
Formulações Forte e·Fraca para Problemas Unidimensionais 49 ~la 3.2 Tabela de conversão para equaÇões físicas aplicáveis à forma geral (3.55) e (3.56).
Campo/parâmetro
Elasticidade
Condução de calor
6
u
T
Difusão a.Jf
c
E
k
k
f
IJ
s
s
4)
I
-q
-q
8
ü
f
c
r.
r,
r,
K
r,
r.
rr
r• rt
f3
k
h
h
em que {3([) = k é a constante da mola. Se a rigidez da mola for estabelecida em um valor muito grande, a condição de contorno anterior implica u(l) = ü; se fizermos k =O, a condição de contorno anterior corresponde ao contorno de tração prescrito. Na prática, tais condições de contorno generalizadas (3.57) são freqUentemente usadas para modelar a influência do ambiente. Por exemplo, se a barra é um modelo simplificado de um edifício e de sua fundação, a mola pode ser representada pela rigidez do solo. Outro exemplo da aplicação dessa condição de contorno é a transfe~ncia de calor por convecção, na qual a energia é transferida entre a superfície da parede e o meio ambiente. Suponha que ocorra transferência de calor por convecção em x = l. Seja T(l) a temperatura da parede ~m x = l e f a temperatura do meio ambiente. Então o fluxo no contorno · x = l é dado por q(l) = h(T(l) - f de forma que {3([) = h e a condição de contorno é d.lt kn dx + h(T(l) - T) =O,
(3.58)
em que h é o c.oeficiente de transferência de calor por convecção, o qual possui dimensões de W m-2 oc- 1• Note que quando o coeficiente de transferência de calor por convecção é muito grande, a temperatura f é imàdiatamente sentida em x l e, assim, a condição de cont9nw «?s_sen~ial_é novamente fo!ça~ ~~mo um caso limite da condição de contorno natural. · • · . Existem duas aproximações para tratar com a condição de contorno (3.56). Nós as chamaremos de métodos da penalidade e da panição. No método da penalidade, a condição de contorno essencial é forçada a um caso limite da condição de contorno natural, igualando-se {3(x) a um parãn:i.etro de penalidade. A formulação forte resultante para o método da penalidade é dada no Quadro 3.5.
=
~
Quadro 3.5 Formulação forte geral para problemas unidimensionais- método da penalidade
·~ (A~ dO) +f= Oem dx (
d~
Kll d(}-
dr ·
O. .
cr;) + p(8- 8) =o
(3.59) em
r.
Na aproximação da partição, o contorno total é partido no contorno natural, r~· e no contorno essencial comple-. __ mentar,T,.. A ç_onQi.ção d~_ç_Q!ltQillQ nawrai.P.Q~§~iJtf.Q.J:ID.it&!
~
Quadro 3.6 Formulação forte geral para problemas unidimensionais -método da partição
d8) +f = O
(a)
d ( A~~: dx dx
(b)
d(} - ) ( M d:c- ~
em 0,
+ {3((}- -8) =
0 em r~.
(3.60)
50
CAPITULO TRts
3.7.2 Formulação Fraca para Problema de Valor de Contorno c om Dois Pontos com Condições de Contorno Generalizadas Nesta seção, deduziremos a formulação fraca geral para problemas de valor de contorno com dois pontos. Os métodos da penalidade e da partição descritos na Seção 3.7.1 serão considerados. Para obter a formulação fraca geral para o método da penalidade, multiplicamos as duas equações na formulação forte (3.59) pela função peso e integramos sobre os domínios nos quais elas agem: o domínio Q para a equação diferencial e o domínio r para a condição de contorno generalizada. (a)
f w(:r (AN-!~) +f)
dr =O
\fw,
(3.61)
11
(b)
wA(("': -<$) +P
'v'll".
Após integrar por partes o primeiro termo em (3.6la) e adicionar (3.61 b), a formulação fraca geral para problemas unidimensionais está resumida no Quadro ~.7.
~
Quadro 3.7 Formulação fraca geral para problemas unidimensionais - método da penalidade Determine 6(x) E H 1 tal que
/ n
dw dx dr ·dx AK dO
f
-
- Ir=
nfd.r- 11-A(1>- {l(B- O))
(3.62)
O
n
Observe que no método da penalidade, r~ c; r. a função peso é arbitrária em r, isto é, V'w(x) E !fi, e a solução não 1 é, em princípio, forçada a desaparecer sobre o contorno essencial, isto é, 8(x) E H • A condição de·contorno essencial grande, isto é, um parâmetro muito {3(x) fazer se ao natural contorno de é obtida como um caso-limite da condição de penalidade. No método da partição, a formulação fraca geral para problemas unidimensionais é dada no Quadro 3.8.
~ .
'
Quadro 3.8 Formulação fraca geral para problemas unidimensionais - método da partição Detetmine 6(x) E V tal que
f
d8 -dw At>-drdt
dx
!!
f
-
- Ir.
ltfdx- wA(
=O
'v'w E
Uo,
(3.63)
I!
em que V e V 0 são dados em (3.47) e (3.48), respectivamente. Note que na aproximação da partição, a função peso desaparece sobre o contorno essencial, r~· isto é, Vw E V0 • Os contornos r,e r ~são complementares.
3.8 ADVECÇÃO-DIFUSÃ05 Em muitas situações, uma substância é transportada e difundida por um meio. Por exemplo, um poluente em um aqüífero é disperso tanto por difusão quanto pelo movimento da água no aqüífero. Em tanques de resfriamento para plantas de potência, a energia sob a forma de calor move-se pelo tanque tanto por difusão quanto por transporte em virtude do movimento da água. Se adicionarmos açúcar em uma xícara de café, ele irá se dispersar através da xícara por difusão; a dispersão é acelerada pela agitação, que causa advecção no açúcar. A dispersão devido ao movimento do fluido possui diversos nomes além de advecção: convecção e transporte são outros dois nomes largamente utilizados.
3.8.1 . Formulação Forte da Equação de Advecção-Dif usão Considere a advecção-difusão de uma espécie em um modelo unidimensional de área de seção transversal A(x), que poderia ser um tubo ou um aqüffero; a concentração da espécie ou a energia é denotada por O(x). Em um aqüífero, o escoamento pode estender-se a uma grande distância notmal ao plano, de modo que consideraremos uma unidade de
'Recomend.ldo para a Trajetória Avançada.
f11rmulações Forte e Fraca para Problemas Unidimensionais . 51- -
profundidade, onde a profundidade é a dimensão perpendicular ao plano. Nunúubo, A(x) é simplesmente a área da seção transversal. A velocidade do tubo é denotada por (x), e ela é considerada constante na seção transversal a cada ponto ao longo do eixo, isto é, para cada x. Uma fonte s(x) é éonsiderada; ela pode ser positiva ou negativa. Esta última indica o declínio ou a eliminação das espécies. Por exemplo, no transporte de um contaminante radioativo, s(x) é a variação em um isótopo específico, o qual pode diminuir devido ao decaimento ou aumentar em razão da formação. O fluido é considerado incompressível, o que acarreta algumas implicações que veremos posteriormente. O princípio da conservação estabelece que a espécie (seja um material, uma energia ou um estado) é conservada em cada volume de controle lu. Portanto, a quantidade da espécie que entra menos a quantidade que sai é igual à quantidade produzida (um volume negativo quando as espécies decaem). Neste caso, temos dois mecanismos para escoamentos que entram e saem do volume de controle, a advecção, que é (Av8)z' e a difusão, que é q(x). O princípio da conservação pode ser então expresso como ·
(Av8).r .
+..(Aq).r- (Av8).r+ãr- (Aq).r+t..r + !:usx+t..r/2 =O.
Dividindo por tu e tomando o limite quando tu--+ O, obtemos .(após uma troca de sinal)
d{~v9) + d<:.xq)- s =o.
(3.64)
Agora, consideraremos a incompressibilidade do fluido. Para um fluido incompressfvel, o volume de material entrando em um volume de controle é igual ao volume de material saindo, que fornece
(Av)x = (Av).r+t..r· Passando o segundo membro para o primeiro membro dessa equação e dividindo por Ax e fazendo Ax--+ O, obtemos
d(Av) = O.
(3.65)
dx Se usarmos a regra da derivada do produto no primeiro termo de (3.64), obtemos
d(Av9)
= d(Av) e+ Av dB
dx
dx
(3.66)
dx '
em que o primeiro termo no segundo membro desaparece por (3.65), então substituindo (3.66) em (3.64) obtemos
dB
d(Aq)
Av dx +~-s= O.
(3.67)
Essa é a equação da conservação para uma espécie em um fluido incompressível em movimento. Se a difusão for linear, a primeira lei de Fick é verificada, então
d8 q= -k- , dx
(3.68)
em que k é a difusividade. Substituindo (3.68) em (3.67) obtemos (3.69)
Essa é chamada equ::.ção de advecção-difusão. O primeiro termo leva em conta a advecção {algumas vezes chamada de transporte) do material. O segundo termo leva em conta a difusão. O terceiro termo é o termo de fonte. Consideraremos as condições de contorno essencial e natural usuais ·
(a) (b)
8=8
em
r 9,
d9 -kdxn=qn=q em
(3.70)
rq,
- ---- -- - -- - -- -
r, r,
em que e são complementareS, veja (3.50). A equação de advecção-difusão é importante por si própria, mas ela é também um modelo para muitas outras equações. Equações similares à equação de advecção-difusão são encontradas por meio do campo da mecânica dos fluidos computacional. Por exemplo, a equação da vorticidade é dessa forma. Se. substituirmos 8 por 11, então o segundo termo em (3.66) corresponde ao termo de transporte nas equações de Navier-Stokes, que são as equações fundamentais da dinâmica dos fluidos.
3.8.2 Fonnu/ação Fraca da Equação de AdvecçãcrDifusão Obtemos a formulação fraca de (3.69) multiplicando a equação de governo por uma função peso arbitrária w(x) e integrando sobre o donúnio. Do mesmo modo, a declaração fraca das condições de contorno naturais é obtida pela multiplicação de (3. 70b) pela função peso e pela área A. As equações fracas resultantes são
52
CAPíTULO TRÊS
Vw. (3.71)
Os espaços de solução tentativa e função peso são exatamente como antes, veja (3.47) e (3.48). Podemos ver que o segundo termo na Equação (3.7la) não é simétrico em w e 8e envolve uma derivada segunda, a qual deseja."11os evitar visto que ela requereria soluções tentativas mais suaves que o conveniente. Podemos reduzir a ordem da derivada por integração por partes. O primeiro termo em (3.71a) é intrincado, visto que envolve somente uma derivada primeira, mas não é simétrico. Daí não podemos fazer esse termo simétrico via integração por partes, visto que o integrando torna-se (dwldx)Av8: nesse caso, a integração por partes somente muda a derivada da solução tentativa para a função peso. Então deixemos esse termo como ele é. Integrando por partes o segundo termo em (3.71a) e combinando com (3.7lb) obtemos
kwAv(:)dr +In ~;·Ak(:)dx -lo wsdr+
(Awq)L
=O,
(3.72)
A formulação fraca é então: encontre a solução tentativa 8(x) E U tal que (3.72) seja válida para todos w(x) E U0 . Não provaremos que a formulação fraca implica a formulação forte; o procedimento é exatamente o mesmo daquele anterior e consiste na simples inversão dos passos precedentes. Uma propriedade importante de (3. 72) é que o primeiro termo não é simétrico em w(x) e 8(x). Portanto, as equações discretas para essa formulação fraca não serão simétricas. A Equação (3. 72) e suas c~ndições Çe contorno tornam-se complicadas quando k = O. Neste caso, não existe difusão, somente transporte. O tratamento deste caso especial está além deste livro, veja Donea e Huerta (2002). Em vez da condição de contorno de fluxo (3.70b), o influxo total de entrada de material no contorno é freqüentemente prescrito pela condição de contorno alternativa d8
(3.73)
( -k dx + vfJ)n = lír·
Integrando o primeiro termo em (3.72) por partes e adicionando o produto da função peso, área A e (3.73), obtemos (3.74) A formulação fraca então consiste na equação (3.74) juntamente com uma condição de contorno essencial (3.70a) e a condição de contorno generalizada (3.73).
3.9 ENERGIA POTENCIAL MÍNIMA6 Uma aproximação alternativa para o desenvolvimento das equações de elementos fulltos, que é amplamente utilizada, é baseada nos princfpios variacionais. A teoria que lida com os princípios variacionais é chamada de cálculo variaciónal, e à primeira.vista seu entendimento pode ser um pouc~ difícil para estudantes de graduação. Aqui, daremos uma simples introdução no contexto para a análise de tensões e a condução de calor unidimensional. Também mostraremos que o efeito desses princípios variacionais é equivalente à formulação fraca para sistemas simétricos, tais como condução de calor e elasticidade. Portanto, as equações de elementos finitos são também idênticas. Finalmente, mostraremos como os princípios variacionais podem ser desenvolvidos das formulações fracas. O princípio variacional correspondent e à formulação fraca para a elasticidade é chamado de teorema da energia potencial mínima. Esse teorema é estabelecido no Quadro 3.9.
Quadro 3.9 Teorema da energia potencial mínima A solução da formulação forte é minimizada de
pn~ 'v'u(:r) E U onde W(u(x)) =~f AE(:) dr2
W(u(x))
ubdl'+
(uAi)lr,)
I!
H
'Recomendado para as Trajetórias Avançada e de Mecânica EstrUtural.
(!
~
'-------~-----J
W;nt
W.xt
(3.75)
Fonnulaç6es Forte e Fraca para·Problemas Unldlmensionals 53
Na elasticidade, W é a energia potencial do sistema. lndicail}oS pelos subscritos 'int' e 'ext' que fisicamente o primeiro termo é a energia interna e o segundo termo é a energia externa. Mostraremos agora que o minimizador de W(u(x)) corresponde à formulação fraca, a qual, como já sabemos, implica a formulação forte. Mostrar que a equação para o minimizador de W(u(x)) é a formulação fraca implica que o minimizador é a solução, conforme já mostramos que a solução para a formulação fraca é a solução da formulação forte. Uma das maiores barreiras intelectuais no aprendizado do cálculo variacional é compreender o significado de W(u(x)). W(u(x)) é uma função de u1714junção. De tal modo, uma função de uma função é chamada de funcional. Examinaremos agora como W(u(x)) varia conforme a função u(x) é mudada (ou variada). Uma mudança infinitesimal em uma função é chamada de uma variação da junção e denotada por ôu(x) • tw(x), em que w(x) é uma função arbitrária (usaremos ambos os símbolos) e O < t < < l, isto é, t é um número positivo muito pequeno. A -mud8nça cÕrrespOIÍdente-no funcioiiãl é-chamada
óW = W(u(x)
+ (w{x)) -
W(u (x))
=W(u(x) + óu(x))- W(u(x)).
(3.76)
Essa equação é análoga à definição de um diferencial, exceto que nessa última considera-se uma mudança na variável independente, veja Oden e Reddy (1983) e Reddy (2000) para detalhes sobre cálculos variacionais. Um diferencial fornece a mudança em uma função devido à mudança da variável independente. Uma variação de um funcional fornece a mudança em um funcional devido a uma variação na função. Se você substitui 'função' por 'funcional' e 'variável independente' por 'função' na primeira sentença, você tem a segunda sentença. Do enunciado do teorema da energia potencial mínima dado no Quadro 3.9, está claro que a função u(x) + tw(x) deve ainda ser U. Para obter essa condição, w(x) precisa ser suave e desaparecer no contorno essencial, isto é (3.77)
w(x) E Uo.
Vamos avaliar a variação do primeiro termo em ôW1... Da definição da variação de um funcional, Equação (3.76), segue-se que
1f AE (d" dx - dx--If AE (du) - + (dw) dt 2 dx dx 2 2
2
óW~nl I
=-
11
ll
. ((dr)2 +2Ç(i;d;+( ( )2) dt- 2f AE (du)? dt dx. =1.f AE I
du
dudw
2
(3.78)
-
I
dw dx
ll
ll
O primeiro e o quarto termos nessa equação se cancelam. O terceiro termo pode ser desprezado porque pequeno, então seu quadrado é um termo de segunda ordem. Ficamos com
t é muito (3.79)
A variação no trabalho externo é avaliada pela utilização da definição de uma variação e do se~ndo termo na Equação (3.75); é dividida em partes devido à força de campo e de tração para maior clareza. Isto fornece
ów;.~ =
j
(u + (w)bdx-
n
cSw!:, = 6Wm
fn
ubdx
(u + (w)Ailr, -(ui)Air,
=6W!:, + 6w!;, =(
(!
= c:j wbdx n
= <.(wAí)lr,
(3.80)
wbdx + (wA1)1,,)
(3.81)
No mínimo de W(u[x}), a variação do funcional precisa desaparecer, justamente como os diferenciais ou as derivadas de uma função desaparecem no mínimo de uma função. Isso é expresso como ôW = O. Portanto, temos (3.82) O= óW = óWint - 6Wext· Substituindo (3.79)-{3.81) na equação anterior e dividindo por!; obtemos o seguinte: para u(x) EU,
ôW/( =
f (dw) (du) f AE dx
li
dx dx-
li
-~r =O, wbdx- (wAt)
w(.t) e Uo.
(3.83)
•
Você reconhece a equação anterior? Ela é precisamente a declaração da formulação fraca, a Equação (3.49) que desen· volvemos na Seção 3.6. Também relembre que mostramos na Seção 3.4 que a formulação fraca implica a formulação forte, de forma que o minimizador do funcional da energia potencial fornece a formulação forte.
54
CAPITULO TRES
Para ser preciso, somente mostramos que um ponto estacionário da energia corresponde à formulação forte. Pode também ser mostradó que o ponto estacionário é um minirnizador, veja Equação (3.75) ou Becker, Carey e Oden
(1981, pp. 60--62). Na maior parte dos livros sobre princípios variacionais, a mudança na função u(x), em vez de ser denotada por tw(x), é denotada por óu(x). A Equação. (3.83) é então escrita como se segue. Determine u E V tal que
óW =
(dll) (d(5u)) dr- f óubdx- (6uAr}_1r,= O
Jr AE dX
~
't/óu E Uo.
(3.84)
li
li
Isso pode ser adicionalmente simplificado pelo uso da equação da deformação--deslocamento e a lei da tensão--deformação nos primeiros termos no primeiro integrando de (3.84), que fornece
óW - [ M 6""' - ([ bóudx +
..__.,
~Aóu )I,·.) - O
(3.85)
óW<~<
c5W; 01
A equação anterior é chamada de o princípio do trabalho vinual: o campo de deslocamento admissível (u E U) para o qual a variação no trabalho interno o~ é igual à variação no trabalho externo õW.., para todo Vôu E U0, satisfaz o equihôrio e as condições de contorno naturais. Note que (3.85) é idêntica às formulações fracas (3.49) e (3.83), somente a nomenclatura é diferente. Uma característica muito interessante do princípio da energia potencial núnima a sua relação com a energia do sistema. Considere o tenno W "''na Equação (3.75). A substituição da equação da deformação--deslocamento (3.3) e da lei de Hooke (3.4) permite-nos escrevê-la como
..
e
W;n 1
f . =21/ "
=
n)n(
A dx
AEc dx.
(3.86)
!!
li
Se examinarmos um gráfico de uma lei linear como o da Figura 3.9. podemos ver que a energia por unidade de volume é wint = (l/2)Ee2• Portanto, w;..•a integral da densidade de energia sobre o volume, é a energia interna total dp sistema, o que justifica o subscrito 'int', que é a abreviatura de 'interna', e que está indexando esse termo. Essa energia também é chamada de energia de deformação, que é a energia potencial estocada em um corpo quando ele é deformado. Essa energia pode ser recuperada quando o corpo é liberado. Pense em uma régua de metal que está curvada ou em uma mola comprimida; quando a força é liberada, elas se descomprimem, liberando a energia estocada. O segundo termo é também uma energia, pois os dois termos que compreendem w.., são produtos da força (b ou 7) e do deslocamento u; em qualquer caso, ele deve ser uma energia para que a equação seja dimensionalmente consistente. Podemos reescrever o funcional na Equação (3.75) como IV
= W;., -
W....
(3.87)
pelo uso das definições ressaltadas e pelo princípio variacional, que é óW = O. Isto esclarece o significado físico do princípio da energia potencial mínima: a solução é o minirnizador (isto é, um ponto estacionário) da energia potencial W dentre todas as funções de deslocamento admissíveis. Muitos textos de elementos finitos usam o teorema da energia potencial roínüna como um modo de fonnular o método dos elementos finitos. A questão natural que emerge nessa aproximação para ensinar elementos finitos é: como esse teorema surgiu e os princípios correspondentes podem ser desenvolvidos para outtas equações diferenciais? De fato, o desenvolvimento dos princípios variacionais consumiu muitos anos e foi um tópico de intensa pesquisa nos séculos XVITI e Xrx. Os princípios variacionais não podem ser construídos por regras simples como as que utilizamos para as formulações fracas: Entretanto, algumas fonilulações fracas podem ser convertidas em princípios variacionais, e na próxima seção, mostraremos como construir um princípio variacional para análises de.tensão e de condução de calor unidimensionais.
Figura 3.9 Definição da densidade de energia interna ou densidade de energia de defonnação w"".
Fonnulações Forte e Fraca para Problemas Unidimensionais 55
Uma característica atrativa do teorema de energia potencial é que ele vale para qualquer sistema eiástico. Assim, se escrevemos a energia para qualquer outro sistema, podemos rapidamente deduzir as equações de elementos finitos para aquele sistema; isso ·será visto no Capítulo lO para ·vi gás. Os princípios variacionais também são muito úteis .nó estudo da precisão e da convergência de elementos finitos. A desvantagem da apro?dmação variacional é que existem muitos sistemas para os quais·ela não é prontamente aplicável. Os princípios variacionais simples não podem ser desenvolvidos para a equação de advecção-difusão, para a qual desenvolvemos uma formulação fraca na Seção 3.8 pelo mesmo procedimento direto como para as outras equações. Os princípios variacionais somente podem ser desenvolvidos para sistemas que são auto-adjuntos. A formulação fraca para a equação de advecção-difusão não é simétrica, e ela não é um sistema auto-adjunto (veja Becker, Carey e Oden (1981) para definição de sistemas auto-adjuntos). Os princípios.variacionais idênticos àqueles para elasticidade aplicam-se à transferência de calor e a outras equações de difusão. !sso não é uma surpresa, visto que as equações são idênticas, exceto para os parâmetros. Como um exemplo1-o princípio yariacional para condução de calor é dado no Quadro 3.10.
Quadro 3.1O Princípio variacional para condução de calor S•ja W(T(x))
= ~ [ Ak ( : ) 'dx ..._______...
V
W;..,
r. dx -
(TAq) [,.).
Wex,
então a solução da formulação forte de (3.51) é o minimizador de W(2\x)) para VT(x) E U.
O funcional nesse princípio variacional não é uma energia física; de fato, a temperatura por si só corresponde à energia física. Entretanto, o funcional é freqUentemente chamado de urna energia mesmo para equações de difusão; nós o chamaremos de uma energía matemática. A prova da equivalência desse princípio para a formulação fraca (e, portan~o. para a formulação forte) das equações de condução de calor .envolve somente a substitução dos símbolos em (3.78)-{3.83) de acordo com a Tabela 3.2; a matemática é idêntica independentemente dos símbolos.
3.101NiEGRAs1UDADE 1
IIJP e; t~ •'MA-\~I
Até o momento deixam.os a dÍscussão da suavidade das funções peSO e -das ·soluções·tentativas um tanto nebulosa. Definiremos agora maiS.precisamente o grau de suavidade.exigi!lo na.S formulaÇões fracas. Muitos leitores podem desejar passar p<)r cima desse material em uma leitura prellininar, vist que o rest9 do livro é bastante claro sem uma compreensão deste materiâl. · O grau de suavidade que é requerido nas funções peso e tentativa é determinado pelo quão suaves elas necessitam ser, de forma que as integrais na formulação fraca, tais como (3.54), poss~ ser avaliadas. Isto é chamado de. integrabilidade da fornuilação fraca. Se as funções peso e tentativa são muito irregulares. então as integrais não podem ser avaliadas, .então obviamente a formulação fraca não é utilizável. · Em seguida, examinamos, de forma grosseira, o quão suave essas funções devem ser. Se você olhar para uma função cem grau de continuidade c-' que não é singular (não tende para o infinito), você pode ver que obviamente ela é ~tegrável, conforme a área sob tal função é bem definida. Mesmo a derivada de uma função com grau de continuidade c-• é integrável, para um ponto de descontinuidade· X= a de magnitude p, a derivada é a função delta de · Dirac pô(x - a). Pei.a definição ~e uma função delta de birac (Veja Apêndice A5), '
·-
Então, a integral da derivada de uma função com grau de continuidade c-1 é bem definida. Entretanto, o produto das derivadas das funções peso e tentativa aparece na formulação fraca. Se essas funções tiverem grau de continuidade -c-1,'easaesconfinuiàâOes ocorrerem no- mesmo ponto, digamos X-=- a, -entãÕ-ã fônnülãÇãOfiãCa COÍiteraô-termo ·,ró(x - a )2 dx. o integrando aqui pode ser considerado como um 'quadrado infinito': não existe forma significati~a para obter essa integral. Assim, o com grau de continuidade c-' das funções peso e tentativa não é suficiente. Ao contrário, se as funções peso e tentativa tiverem grau de continuidade CO e não forem singulares, então as derivadas são funções com grau de continuidade c-' e o integrando será o produto de duas funções com grau de continuidade c-'. Você pode esboçar algumas funções e ver que o produto das derivadas de duas funções com grau de continuidade c-' também será UJA3 função com grau de continuidade c- 1 enquanto as funções forem limitadas (não tendendo para infinito). Visto que uma função com grau de continuidade c- 1 e limitada é integrável, a função com grau de continuidade CO é suave o suficiente para as funções peso e tentativa.
r:
'Recomen~o para a Trajetória Avançada.
'
~o···
56
CAPITuLO TR~
da fisicamente. Por exemplo, na análise de tensão, um Essa exigênc ia de continu idade pode também ser justifica 1 falhas ou superpo sições nos pontos de descontinuiteria campo de desloca mento com grau de continuidade cmento. Embora as falhas possam ser tratadas desloca de campo do e dade da função. Isso violaria a compatibilidad estão dentro do escopo dos métodos que estamos em método s mais avançados para modelar as falhas, elas não um campo de temperatura com grau de continuidade desenvolvendo aqui. De modo sinúlar, na condução de calor, inuidade, os quais não são fisicamente razoáveis. descont de pontos nos c-' acarretaria um fluxo de calor infinito bilidade da formulação fraca, também possui uma Portanto, as noções de suavidade exigidas, que surge da integra base física. feita uma descrição mais precisa do grau de suaviNos tratamentos matemáticos do método de elementos finitos, é derivadas dos quadrados integráveis. Uma derivada dade exigido: as funções peso e tentativa são exigidas por possuir como de u.-na função u(x) é chamada quadrado integrdvel se W,.(O), definido
W;m(B)
=~f KA (~~r ck
(3.88)
n
chamad o de uma norma de energia. Para é limitado, isto é, W1.,(9) < oo. O valor de Jwin:(O) é freqüentemente > O e () = u e (3.88) corresponde à energia E(x) = K(x) ade, elasticid Em condução de calor, () = Te K(x) = k(x) >O. mínima. de deformação, que aparece no princípio da energia potencial idade CO, isto é, H' C CO, assim qualquer função em ff continu de grau de ço subespa um é H' que provado ser Pode o inverso não é verdadeiro: existem funções com grau nto, Entreta é também uma função com grau de continu idade CO. 1 função com grau de continuidade CO, mas que não de continuidade CO que não existem em H • Um exemplo de uma funções não são normalmente do tipo encontrado na está contida em H 1, é examinado no Problema 3.8. Contudo, tais , de modo que a maior parte dos leitores acharão fratura) da ca mecâni análise padrão em elementos finitos (exceto na com grau de continuidade CO é suficiente. que a especificação do grau de suavidade exigido para uma função
REFERÊNCIAS tion. vol. I. Prentice Hall. Englewood E. B.. Carey. G. F. and Oden. J.T. ( 1981) Finilt' Elenu:lll.f: An intmduc Cliff~. NJ. s, Nonh-Holland. New Yort. Ciarlet. P.G. (1978) The Finilt• Elemenl Method Jtn· Ellipric Problem s. John Wiley & Sons. Ltd. Chichester. Pmb/t>m F/oll' Donea. J. and Huem. A. (1002) Finite Elemem Merhodsfor od Clirr.~. NJ. Englewo Hall. Prt:ntice . .\1/etfwd F.lemem Hughes. T. J. R. (1987) 'Tiu: Finiu alica/ TheOt)' uf Fini1e Elt!ments. ;\cadcm ic Prcs.~. Odcn. J. T. and R.:dd)'. J.N. ( 1978) t\n lmmducricmwtlu: McllhC'm Ncw Yort. TlteoreliC'cll Mec/1(/IIÍCS. 2nd ed .. Springer-Verlag, Oden. J. T. and Reddy. J. N. (1983) V(lrimio nal Methods in Nt:w Yort. in Appliecl Me,·hanh·s. 2nd cd .. John \Vilt:y. Rcddy. J. N. (2002) Enagy Principies i.llld Vt.trillliona/ Metlwd.<
B~cker.
NCI\'
York.
Problemas
Problema 3.1 Mostre que a formulação fraca de
du) du) o-(1} = (E-d
-d ( AE- +2>:= 0 em d\' d\' X
u(3)
I
= 0,1. x-1
= 0,001
é dada por
VIl'
<.:Om
11'(3}
=0.
Problema 3.2 ção forte. Mostre que a formulação fraca no Problema 3. I implica a formula
Problema 3.3
a + a 1(x- 3) e uma função peso da mesma forma. Considere uma solução tentativa (candidata) da forma u(x) = 0 . Cheque a equação de equilíbrio na formulação forte Obtenha uma solução para a formulação fraca no Problema 3.1 no Problem a.3.1; ela é satisfeita? , Cheque a condição de contorno natural; ela é satisfeita?
Formulações Forte e Fraca para Problemas Unidimensionais SI
Problema 3.4 Repita o Próblema 3.3 com a solução tentativa u(x)
A 7]§§1e~ ~:§] -'
= a 0 + ·a,(x -
3) +
a.,_(x -
3)'.
··
Obtenha a formulação fraca para a equação da condução de calor com as condições de contorno T(O) q(IO) hT. A segunda condição é uma condição de convecção.
=
J ,r~~;;;~~ 3.6
= 100 e
7
/~ ~ãfu~o forte para o problema de condução de calor numa placa circular: O< r$ R. condição de contorno natural: condição de contorno essencial: em que R é o raio total da placa, s é a fonte. de calor por unidade de comprimento ao longo do raio da placa; T é a temperatura e k é a condutividade térmi.ca. Considere que k, s, e R são dados: a. Construa a formulação fraca para a formulação forte anterior. b. Use .soluções tentativas (candidatas) quadráticas da forma T = a 0 + a 1r + a.,_r e funções peso da mesma forma · para obter uma solução da formulação.fraca.· c. Resolva a equação diferencial com as condições de contorno e mostre que a distribuição de temperatura ao longo do raio é dada por
Problema 3.7 Dada a formulação forte para a b~ circular em torção (Figura 3.10):
d ( . dc/1) + tn = O,
dx JG dx
condição de contorno natural:
M(:r = /)
= (JG.~) =
M,
1
condição de contorno essencial:
=4>,
em que m(lt) é uma quantidade de movimento distribuída por unidade de comprimento, M é a quantidade de movimento de·torção, 4> é o ângulo de rotação, G é o módulo de cisalhamento e J é o momento polar de inércia dado por J = -rrC4/2, onde C é o raio do eixo circular.
a.
Construa a formulação fraca para a barra circUlar em torção. b.. Considere que m(x) = O e integre a equação diferencial dada. Determine as constantes de integração usando as condiÇões de contorno.
Problema 3.8 Considere um problema no intervalo O s x
s l que possui uma solução da forma
X=
0
·I
x=I
Figura 3.10 Barra cilíndrica em torção do Problema 3.7. ·
58
CAPITULO TR~
a. Mostre que para À > Oa solução u tem grau de continuidade CO no intervalo O s x s !. b. Mostre que para O < À s 1/2 a solução u não está contida em H 1•
Problema 3.9 Considere uma barra elástica com uma mola variável distribuída p(x) ao longo de seu comprimento conforme mostrado na Figura 3.11. A mola distribtúda impõe uma força coaxial sobre a barra proporcional ao deslocamento. Considere uma barra de comprimento I, área de seção transversal A(x), módulo de Young E(x) com força de campo b(x) e condições de contorno conforme mostrado na Figura 3.11. a. Construa a formulação forte. b. Construa a formulação fraca .
.Jf ,. '
[Problema 3.1õ] Considere uma barra elástica na Figura 3.2. A barra está sujeita a um campo de temperaturas T(x). A temperatura causa a expansão da barra e a lei de tensão-deformação é O'(x)
= E(x)(t(x)- tt(x)T(x)),
em que a: é o coeficiente de expansão térmica, o qual pode ser uma função de x. a. Desenvolva a formulação forte pela substituição da lei de Hooke padrão pela lei citada anteriormente na equação de equilíbrio; use as condições de contorno dadas no Problema 3.1. b. Construa a formulação forte para (3.43) quando ;~lei citada anteriormente for válida.
.~
Ziii?E~j.11J Determine a formulação fraca para a seguinte formulação forte: n., /. são constantes O < x
sujeita a u(O)
= 1 e u(l) =
koblema 3.12
< I,
-2.
J.
O movimento de um fluxo de carga elétrica qv é proporcional ao gradiente de potencial elétrico. Isto é descrito pela lei de Ohm: dV qv = -kv dx ,
em que kv é a condutividade elétrica e V é o potencial elétrico. Denote Qv como a fonte de carga elétrica. Construa a formulação forte pela imposição da condição de que a carga elétrica é conservada.
Problema 3.13 Determine a formulação fraca para a seguinte formulação forte: d~u X dtl
du
+ dt - X =
·
O,
O~x~
I,
Figura 3.11 Barra elástica com molas distribuídas do Problema 3.9.
Fonnulaçiles Forte e Fraca para Problemas Unidimensionais 59
Figura 3.12 Barra elástica sujeita a força de campo linear ào Problema 3.14.
sujeita a u(O)
= u(l) =O.
Problema 3.14 Considere uma barra na Figura 3.12 sujeita a uma força de campo linear b(x) = ex. A barra possui uma á"ea de seção transversal A e módulo de Young E. Considere a solução tentativa quadrática e a função peso
em que a, são parâmetros indeterminados.
a. Para que valor de ar u(x) é cinematicamente admissível? b. Usando a formulação fraca, estabeleça equações para a, e resolva-as. Para obter as equações, expresse o prin-
cípio do trabalho virtual na forma {32(. ••) + {33( •••) = O. Pelo teorema do produto escalar, cada um dos termos em parênteses, isto!, os coeficientes de 13r precisam desaparecer. c. Resolva o problema na Figura 3.12 usando elementos de dois DÓS considerados DO Capítulo 2 de igual tamanho. Aproxime a carga externa no nó 2 pelã integração da força de campo de x = U4 at! x = 3U4. Do II).esmo modo, calcule a carga externa no nó 3 pela integração da força de campo de x = 3U4 até x L.
=
Problema 3.15 Considere a barra no Problema 3.14.
a. Usando uma solução aproximada da forma u(x) = a 0 + arT +~.determine u(x) pelo teorema da energia poten-
cial mínima. Sugestão: ap6s forçar a ~ssibilidade, substitua a solução tentativa anterior em (3. 75) e minimize com respeito aos parâmetros independentes.
b. Compare a solução obtida na parte (a) para uma solução exata da equação c. Para as soluções aproximadas u(L) O?
=
d. Cheque se a tensAo obtida a partir de u(x) por q
=E:
E::;+
ex= O.
satisfaz o equilíbrio. f
!
,.
4 Aproximação:·.de Soluções·Tentativas, Funções Peso e Quadratura de Gauss·para Problemas Unidimensionais C
onsideremos agora o próximo ingrediente importante do método de elementos finitos (MEF): a construção das aproximações. No Capítulo 3, obtivemos formulações fracas para problemas de elasticidade e de condução em uma dimensão. As formulações fracas envolvem funções peso e soluções tentativa para a temperatura, os deslocamentos, as concentrações de solutos, e assim por diante. No MEF, as funções peso e as soluções tentativas são construídas pela subdivisão do domínio do problema em elementos e pela construção de funções intrínsecas de cada elemento. Essas funções devem ser cuidadosamente escolhidas de modo que o MEF seja convergente: a precisão de um MEF corretamenre.desenvolvido aumenta com o refinamento da malha, isto é, quando o tamanho do elemento, indicado por h, diminui, o resultado tenõe·à correta solução. Essa propriedade·do MEF é de grande importância prática, por isso o refinamento da malha é realizado pelos usuários para controlar a quaÜdade das soluções por elementos.fi·nitos. Por exemplo, a exatidão de uma solução é freqüentemente checada refazendo-se o mesmo problema com uma malha mais fina; se a diferença entre as soluções com a malha fina e a mais grossa é pequena, pode-se concluir que a solução da malha grossa é bastante exata. Ao contrário, se uma solução muda significativamente com o refinamento da malha, a solução da malha grossa é inexata, e até mesmo a malha mais fina pode ainda.ser inadequada. Embora a teoria matemática de convergência esteja além da finalidade deste livro, podemos dizer, de forma simples, que as duas condições necessárias para a convergência do MEF são a continuidade e a completude. Isso pode esquematicamente ser expresso como
Por continuidade entendemos que as soluções tentativas e as funções peso sejam suficientemente suaves. O grau de suavidade exigido depende dii ordem das derivadas que aparecem na (ormulação fraca. Para as equações diferenciais de segunda ordem consideradas no Capítulo 3, em que as derivadas na formulação fraca são derivadas primeira, vimos que as funções peso e as soluções tentativa devem apresentar grau de continuidade CO. Completude é um termo matemático que se refere à capacidade que uma série de funções tem de se aproximar de uma dada função suave com exatidão arbitrária. Para a convergência do MEF, é suficiente que à.medida que os tamanhos dos elementos se aproximem de zero, as soluções tentativa e as funções peso e as suas derivadas, incluindo até a · derivada de ordem superior que aparece na formulação fraca, sejam capazes de assumir valores constantes. Isso pode ser interpretado fisicamente para vários tipos de problemas. Por exemplo, em elasticidade, isso exige que os campos
de Gauss Aproximação de Soluções TentatiVas, Funções Peso e Quadratura
para Problemas Unidimensionais 61
(2)
{J)
fi'l(x) ·~
2
(2)
Cllda elemento. Figura 4.1 Uma malha de dois elementos e as aproximações em
elementos finitos possam representar exatamente o de deslocamento possam tomar valores constantes para que os tes. movimento de corpo rígido e os estados de deformação constan mos de dizer algumas palavras sobre a nossa notação gostaría tude, comple e idade continu sobre mos discutir Antes de soluções tentativa serão chamad as como um todo e peso e nomenclatura. As funções em elementos finitos, funções as funções neste capítulo, sejam elas temperatura, de aproximações ou funções. Usaremos o símbol o 8(x) para todas em elementos finitos será indicada por e"(x)_i_ essa deslocamento ou qualquer outra variável. A aeroxima.x.ão global e é considerado que ll"(x) é diferente de zero apenas função para um elemento específico e será indicada por-ll"(x), cos referem-se a um elemen to específico. Para numéri ritos no elemento e. Como nos capítulos anteriores, os sobresc relacionadas com um elemento, ~ão usados nodais is variáve para nó; do variáveis nodais, um subscrito'denota o índice x do local do nó 1 do elemento e. útdices locais e nodais; assim, por e~templo, ~ é a coordenada re um domínio unidimensional modelado por dois Para fixar os conceitos de continuidade e completude, conside ir uma aproxim ação contínu a no domíni o constru como aremos elementos como mostrad o na Figura 4.1. Examin inteiro por meio do MEF. amos próxima a aproximação em cada elemento Na construção de uma aproximação por elementos finitos, tom forma da B"(x) io por ll"(x). Em cada elemento, empregamos um polinôm
ff =
aô + cxjx + i j + cx).xl + · .' · ,
idade seja satisfeita. Pode ser visto dessa expressão onde oc são os coeficientes selecionados de modo que a continu a. Contudo, para val.o res arbitrários de ~· a aproque e~ cada elementO a aproximação lft i) é obviamente contínu exigência de grau de continuidade CJ, o campo e"(x) ximação não será contínua entre elementos. Para encontrar a 2 é necessário que 8Cil(x'~l) ~ l(_t;.1_na Figura 4.1. precisa ser contínuo (ou compatível) entre elementos, isto é, em termos dos. valores nodais, será fácil construir Veremos na seqüência que se os coeficientes ~são expressos aproximações contínuas. é a completude. Segundo o guia dado no parágrafo A segunda exigência para o MEF convergir p2fi! a solução correta são completos. O termo aõ pode representar qualqu er anterior, elementos com uma aproximação linear 8" = ~ + ct;x r função com uma derivada constante. Portanto, qualque ntar função, já que ele é arbitrário, e o termo ct;x pode represe convergirão. e ser usado ara construir aproximações de elemento. finitos gue o polinômio 8" = + ~x completa, tais linear ação aproxim com uma oluções tentativas aproximadas por polinômios incomp etos, mas . Contudo, lineares ações aproxim de àquela ável + ~. convergirão, mas a uma taxa compar como 8" = ~ + to finito. elemen um lver desenvo Para usada ser pode não + uma aproximação incompleta, tal como 8" = aõ partida de ponto como usada Conseqüentemente, quando ela é Ness~a aproximação, falta o necessário termo linear. em. converg não tes tos resultan para construir uma aproximação de elemento finito, os elemen
=
«.x
4.1
ct;r.
NÓS DOIS AR COM 4- --·- ---- --·-·--
ELEM ----- -- LINE 4- ENTO ·-·-
nós como mostrado na Figura 4.2. Os valores nodais Considere o elemento unidimensional mais simples, com dois desenvolveremos um procedimento para construir Agora, s (xl) 8' e das funções são indicados por 8" (~) a tr. elemento. Como indicamos na seção precedente, para uma função completa e com grau de continuidade CO para esse to em termos de valores nodais. obter a continuidade, e~tpressaremos a aproximação no elemen
e;.
r-
I''
---1
~
2
.rf • ···'·· ····;-.... . ..... e ~t'Í I
·· Figura 4:2 Um elemento·com dois nós. -
62 CAPITULO QUATRO ~a encontrar a
condição de completu~. precisamos escolher pelo menos um polinômio linear
= aô + ~x.
B"(x)
(4.1)
Observe a bela coincidência: Se selecionamos dois nós nas extremidades do elemento, temos o mesmo número de valores nodais como parâmetros em (4.1), de modo que devemos ser capazes de expressar os parâmetros unicamente em termos de valores nodais. Passaremos agora a fazer isso. Podemos escrever (4.1) na forma matricial como
B'(x)
=I.._,_, 1 xJ [~ ] = p (x)cr. a,
(4.2)
p (x) ~ A seguir, expressamos os coeficientes ~ e ~ em termos dos valores da aproximação nos nós 1 e 2:
if(xí) = Bí B"(xí) = 8i
= cxõ +~xj = cxõ +~xí
(4.3)
em que d ' é a matriz nodal para o elemento e, que é definido como em (4.3). Na forma matricial, a inversa de (4.3) é dada por
a.'= CM'r'd'.
(4.4)
A substituição de (4.4) em (4.2} gera
B"(x)
= N'(x)d',
onde
N'(x)
= p(x)(M')- 1.
(4.5)
A linha matricial N• (x) = [N~ (x) N; (x)] = p(x) (M•)- 1 é chamada de função matrizjonna do elemento. Ela consiste nas funções de forma do elemento associadas ao elemento e. Veremos que as funções de forma exercem um papel central no MEF; funções de forma de várias ordens e dimensões permitem ao MEF resolver problemas de vários tipos com variação do grau de exatidão. A seguir, desenvolvemos as expressões para a função matriz forma do elemento N' pela avaliação das matrizes em (4.5). Da expressão para M• dada em (4.3), segue que
(M'r' = - 1 - [ x2 xí -xj -1
-xj] = .!_/< [ -1 xí -xj] 1 • 1
em que !• é o comprimento do elemento e. Então, usando (4.5), obtemos
N' = INf
NíJ = p(,t)(MT 1 =I 1
xJ [ XÍ -1
(4.6)
Nesta equação, Nr(x) e N;(x) são as funções forma correspondentes aos nós 1 e 2. respectivamente. Essas funções de forma são mostradas na Figura 4.3. Observe que elas são diferentes de zero apenas ao longo do elemento e. Pode-se observar que as funções de forma são lineares no elemento, como esperado. Além disso, as funções de forma possuem as seguintes propriedades:
Nf(xj) = 1, =O,
N2(~)
Nf(.tí) =O, Ni(.tí) = 1.
Na notação concisa, esta equação pode ser escrita como
Ni(xj ) = óu ,
N'I I I
I I
1 -------------- ---------------,-1
x't .
.
Figura 4.3 Funções de fonna do eleménto de dois nós.
(4.7)
Aproximação de Soluções Tentativas, Funções Peso e Quadratura de Gauss para Problemas Unidimensionais 63
- em que 511 é chamado de delta de Kronecker (que é definido exatamente como a matriz unitária) e é dado por c
uu =
{
1 se I'= J, O se I :f:. J.
(4.8)
A Equação (4.7) é conhecida como a propriedade delta de Kronecker e está relacionada com a propriedade fundamental das funções de forma chamada de propriedade de interpolação. Interpolantes são funções que passam exatamente por meio dos dados. Se pensarmos em Valores nodais como dados, então funções de forma serão interpolantes dos dados nodais. De fato, as funções de forma podem ser usadas como interpolantes para ajustar quaisquer dados. Para mostrar a propriedade de interpolação, escrevemos (4.5) em termos das funções de forma e dos valores nodais: n,.
tr(x) = N'(x)d' = LNí(x)D;. 1=1
em que n.,. é o número de nós do elemento; neste caso, n.., = 2. Queremos mostrar 9'(x1 ) = ~ Para isso, fazendo x = ~ na equação anterior, obtemos 2
ot(.xj) = 2:Nj(.xj)B;
2
= 2:óuD; =
Oj,
/• I
/• 1
em que usamos (4.7), e o último passo resulta na definição do delta de Kronecker (4.8). Portanto, a aproximação em elementos finitos é exatamente igual aos valores nodais nos nós. Isto não é uma surpresa, pois avaliamos os coeficientes a; com essa finalidade. Na formulação fraca desenvolvida no capítulo anterior, foi necessário avaliar as derivadas das soluções tentativas e das funções peso. Para o elemento com dois nós, podemos deduzir uma· expressão para as derivadas como a seguir:
doe _
M d' _ dNf Ml + dN2 d (N'd•) _ dN' -ul --u -dx ' dx dx dx
---
dx
Na fornia matricial, isso pode ser escrito como :
=
[~Í ~~][~] =B'd•,
(4.9)
1[ -dN~] ze -1 dx =-
(4.10)
em que
- dx B• = [dNf
+lJ .
O último passo em (4.10) resulta do uso das derivadas dos teimos em (4.6). Como já mencionamos, em cada elemento usamos uma expansão polinotnial completa, de modo a satisfizer a exigência de completude. Expressamos a função em termos de valores nodais, por isso será fácil construir de modo global as funções com grau de continuidade CO. Examinaremos a exigência de continuidade mais detalhadamente na Seção 4.5.
4.2 ELEMENTO QUADRÁTICO UNIDIMENSIONAL Para desenvolver um elemento quadrático, começaremos com uma aproximação completa polinomial de segunda ordem:
___
~(x),.aõ+<é,x+<$'-)~: x'J!~J -p(x).. p(x)
_ ·-
(4.11)
..__, a•
O elemento é mostrado na Figura 4.4. Precisamos de três nós, pois não seria possível de outra maneira expressar a;> em termos de valores nodais da solução tentativa: B<(r.) = ~. B'(r,) = de modo único as constantes (crõ, Dois dos nós são colocados nas extremidades do elemento, de modo que a aproximação global será 9'(~) =
o;.
o;.
a;.
e 2
3
Figura 4.4 Um elemento de·tr!s·nós.
64 CAPITULO QUATRO
N'I
X
Figura 4.5 As funções de forma quadráticas para um elemento de três nós.
contínua. O terceiro nó pode ser colocado em qualquer lugar, mas é conveniente e simetricamente agradável colocá-lo no centro do elemento. Em geral, esses elementos funcionam melhor se o terceiro nó estiver no ponto central. Para obter as funções de fonna, primeiro expressamos (ex~. ex~. ex;) em termos de valores nodais dos valores (9;. 8;) da função nodal:
e;.
Bj ~ ~
= aó + aí.xí + Cl;xr
= ClÓ +aí~ +Clíxf =aO + ~4 + Cl;xf
(4.12)
Como mostrado nessa expressão, podemos escrever (4.12) na forma matricial como d' · (4.11) e (4.12) gera
()' = p(M•)- 1 d• = N•d• = ~
= M'o:'. A combinação de
..
,
LN;(x)8j,
(4.13)
1=1
em que n •• = 3. As funções de fonna são dadas por
N•
= 1~ [(;c- ;c2)(x- x;)
-2(x- xr)(x -
x;)
(x- x!)(x- ;c2)J.
(4.14)
Pode ser facilmente mostrado que essas funções satisfazem a propriedade delta de Kronecker. As funções de forma são mostradas na Figura 4.5. Como pode ser visto, por causa da propriedade delta de Kronecker, cada função de fonna é diferente de zero apenas em um único nó, no qual o seu valor é unitário. Dentro do elemento, as funções de foooa são quadráticas; a função de forma no nó central pode ser facilmente reconhecida tomo uma parábola com a concavidade para baixo.
4.3 CONSTRUÇÃO DIRETA DÃS FUNÇÕES DE FORMA EM UMA DIMENSÃO As funções de forma em uma dimensão que desenvolvemos são chamadas de interpolantes de Lagrange. A teoria da interpolação de Lagrange é muito útil para a construção de interpolantes de várias ordens, particularmente as funções de ordens maiores, tais como quadráticas ou cúbicas. Como será visto por meio de exercícios, os elementos de ordem superior podem fornecer muito mais exatidão do que elementos lineares. Em vez de usar a: descrição dada no parágrafo anterior, os interpolantes de Lagrange podem ser desenvolvidos de forma mais direta por meio de um procedimento que utiliza as vantagens da propriedade do delta de Kronecker das funçõe5 de forma. Por causa dessa propriedade, a função de forma I precisa ser zero em todos os nós, exceto no nó /, e deve ser igual ao nó/. Para ver como usamos essas propriedades para construir as funções de forma, considere as funções quadráticas para um elemento de três nós. Primeiro construiremos N'_,(x). Como a. função de formaN~(;c) é quadrática pelo menos em x, consiste em um produto de dois monômios lineares em x. A forma mais geral de um tal produto quadrático de monômios é
,,.() _ (x-a)(x-b) c
"l X
'
em que a, b e c são constantes com valores estabelecidos, de modo a satisfazer a propriedade delta de Kronecker. Queremos que N~(x) seja igual a zero em x; ex;. o que pode ser conseguido deixando a = .x; e b = x;. Isso fornece
N~(x)
= (x- ~)(x- xV, c
~~·------------------------------------------------------.......................m
Aproxlrn~
--
,
.,.,~
Gauss para Problemas Unidimensionais 65 ..
-- ........ ..Ni
'
-
Figura 4.6 Funções de fonna cl1bicas do elemen!O unidimensional com quatro nós; observe que cada função de fonna é diferente de zero apenas em um nó. · · ·· -~-onde ela é'a unidade.
Encontramos agora duas das condições da função de fonna: que ela precisa ser nula nos nós 2 e 3. Falta satisfazer a condição que ~(r.) = I. Essa condição é encontrada deixando o denominador c igual ao numerador avaliado em que fornece
r..
Nf (x)
= /) r
Deixamos para o leitor mostrar que N1 (~) tica dando
=
(x- x2)(x - xj) . xj)
(~ - x2)(~ -
As outras duas funções de fonna são construídas de maneira idên-
1
r.-
As equações anteriores dão o mesmo resultado que (4.14), se observarmos que/' = X) O mesmo p rocedimento pode ser usado para construir as funções de fonna cúbicas. O elemento com função de fonna cúb ica terá quatro nós, pois existem quatro constantes em um polinômio cúbico arbitrário. As funções de forma são
N' _
(x- x; )(x- xj)(x- ,r.)
I-(~ -~) (~ -xj)(~
N~
=
-r.) '
(x-~)(x-xj)(x-r.) , (x2- .x1)(~ - xj){x2- r.)
(x-~)(x -~)(x -,r.)
M_ 3 -
Nt _ 4 -
{xj - ~)(xj- ~)(xj
-,r.)'
(x -~)(x-~)(x -xj) ·
Essas funções de fonna são mostradas na F~gura 4.6.
4.4 APROXIMA ÇÃO DAS FUNÇÕES PESO Não é exigido que as funções peso sejam aproximadas pelos mesmos interpolantes que são usados para a aproximação das soluções tentativas; contudo, para a maioria dos problemas, é vantajoso usar a mesma aproxiin:ação para as funções peso e para as soluções tentativas, e essa é a prática mais comum. O método resultante é chamado de MEF Galerkin. Esse método é usado nd material apresentado neste livro. AS funções peso e suas derivadas são então dadas por
w(x) =N•(x)w'",
dw" = B'w". dx
-4-:s-- A-P ROXIMAÇÃ O Gt:OBA'L E· CON·TINU/DAt:)E· · · Nas seções anteriores deste capítulo, aproximamos as soluções tentativas e as funções peso em cada elemento separadamente. A aproximação global das soluções tentativas e das funções peso, indicádas a seguir por f1' e wA, respectivamente, é obtida pelo conjunto das contribuições dos elementos. individuais. Para uma malha de net elementos,
fi'= :tN'd' = t=l
.J' =
( i : N' L')d, ~-1
f:N•wt = (f:N·v)w, t>SI
(4.15)
tal
. . em que usamos d' = V d ,.de acordo com .a Equação..{2.21). As .funções.de fosma globais..são definidas como
•..·-. r
.... .
66 CAPITULO QUATRO n,,
N = LN'L',
(4.16)
t=i
e pode ser visto por (4.15) q11e a aproximação global das soluções tentativas e das funções peso pode ser expressa como
fi'
= Nd = 't,l'hd,, 1=1
(4.17)
l:r:p
w" = Nw = LN,wr, /c I
em que n.P é o número de nós da malha. Observe que (4.15) e (4.17) são funções idênticas, como pode ser visto pela substituição de (4.16) por (4.17). Escrever a aproximação na forma global é muito útil para estudar as propriedades de continuidade e convergência da solução em elementos finitos. As matrizes de funções de forma globais N(x) e de funções de forma de elemento N'(x) são ambas matrizes linha. Para expressar as funções de forma em uma matriz coluna, tomamos a transposta de (4.16) n,
Nr = 'L:L'rN.r.
(4.18)
t=l
A Equação (4.18) mostra que as funções de forma globais podem ser obtidas por um conjunto que é idêntico àquele usado no Capítulo 2 para montar a matriz força. Para explícar as características das funções de fo!Jlla globais, consideremos a malha de dois elementos representada na Figura 4.7. Aqui os nós globais foram numerados seqüencialmente; relembramos que a presença de um sobrescrito em uma variável indica que o subscrito refere-se a índices nodais locais. Para o exemplo na Figura 4.7, as matrizes com os coeficientes dispersos L', que foram introduzidas no Capítulo 2, são dadas por
De (4.16), obtemos (4.19)
O número de funções de forma globais é igual ao número de nós. As funções de forma globais indicadas em (4.19) são mostradas na Figura 4.8. Observe que as funções de forma globais e de elementos são idênticas sobre o domínio de um elemento. Pode-se ver que as ii.Jnções de forma globais também satisfazem a propriedade delta de Kronecker. Uma das características salientes das funções de forma globais é que elas apresentam um grau de continuidade C!. Como pode ser visto de (4.17), as soluções tentativas e as funções peso em elementos finitos são combinações lineares das funções de forma. Como as funções de forma globais apresentam grau de continuidade C!, qualquer combinação linear precisa apresentar esse mesmo grau de continuidade, de modo que o grau de continuidade fY é garantido tanto para fi' quanto para w".
(I)
(l)
(2)
(I)
2
2
·· .. Figtira 4.7 indiú·s nodAis &lobais'e'locais para'ilma malha de elementos finitos.
"'·- -----------------------·
· Aproximação de Soluções TentatiVas, Funções Peso e Quadratura de Gauss para Problemas Unldirtlensiónais õl
·
Nr
X
2
3
N'I
N (l)( I
) X
J.-11
I i
X
3
2
Figura 4.8 Funções de fo~ lineares globais (em cima) e de elem~ntos (embaixo) para uma malha de dois elementos.
Além disso, como essas funções de forma são pOlinomiais, as integrais resultante$ na formulação fraca são finitas, de modo que a exigência da integrabilidade do quadrado das soluções tentativas e das funções peso, discutida na Seção 3.10, é encontrada. Matematicamente, dizemos que as funções de forma são IJL, isto é, N1 E lfl (veja Seção 3.5.2 para a definição de Ef1).
·4.6 QUADRATURA DE GAUSS Em geral, a formulação fraca obtida no Capítulo 3 não pode ser integrada analiticamente.. Por isso, a integração numérica é necessária. Embora existam muitas técnicas de integração numérica, a quadratura de Gauss, que é descrita nesta seção, é uma das técnicas mais eficientes para funções que são polinomiais ou aproximadamente polinomiais. No MEF, as integrais geralroente envolvem polinômios, de modo que a quadratura de Gauss é uma escolha natural.
Considere a seguinte integral; I=
1b
f(x)dx =?
(4.20)
As fórmulas da quaci.ratura de Gauss são sempre dadas sobre um domínio de referência [ -1, 1). Por isso, mapearemos o do.mfnio unidimensional do domínio de referência [-1, 1) para o domínio ffsico [a, b] usando um mapeamento linear como mostrado na Figura 4.9. Observe que em x = a, ~ = -1 e em x = b, ~ = 1. Isto nos dá,a seguinte equação relacionando x e ~; 1
.
1
x = 2(a +b) +z~(b -a).
(4.21)
.Esse mapa também pode ser escrito diretamente em termos das ·funções de forma lineares: :
1-~
.
e+t
x = X1N1 (e)+ x2N2{e) = a -- + b -- · 2 2
---'-'---------- . -·--
···--·-·
..
- ··- --
.De (4.21), obtemos o seguinte; âx
-1
o
1
l
2
2
=- (b- a) de= -de= Jcte,
I . ... s "1
(4.22)
lillo X
a
b
68 CAPITULO QUATRO
(4.20) como em que J é o Jacobiano dado por J = (b - a)n. Agora, escrevemos a integral I
I
I= J
f
f(Ç)clÇ
= Ji,
i=
em que
j f(Ç)clÇ. - I
- I
integral por No procedimento da integração de Gauss delineado a seguir, aproximamos a
(4.23)
avaliado. em que ~são os pesos e {são os pontos nos quais o integrando está para ser o, de modo que o polinômio A idéia básica da quadratura .de Gauss é escolher os pesos e os pontos de integraçã ft {) é aproximada por um função a fórmula, essa obter Para te. de maior ordem possível seja integrado exatamen polinômio como
l
/(()~«,+«,(+•,('+···= ~ ~p(l;)«. [:
(4.24)
.....___._., a
.I
nos pontos de integração: A seguir, expressamos os valores dos coeficientes ex; em termos da função ft{)
= llj +
f(f.l)
(J
f,~
{2
E.i
ou
f(f.n)
f.n
ç;
'---v--"
M
f
il2
(4.25)
!tn .....___._., (X
Baseado em (4.25) e (4.23), a integral/ será escrita como (4.26) uma integral exata de um polinômio A quadratura de Gauss fornece os pesos e os pontos de integração que geram da quadratura devem ter, integramos pontos os e pesos os que valores os quais ar de uma dada ordem. Para determin o polinômio fi{):
1=
j /(() = j [ I
d{
(
('
('
· · ·j
[::; a,
= [2
O
~
O · .. ] a
l
d(
= [Ç
e e e .. ·11 a 2 3 4 -I
(4.27)
= Pcx.
p iguala-se com i em (4.26), de modo Os pesos e os pontos da quadratura são selecionados, de modo que i em (4.27) ordem. Isso fornece que a fórmula da quadrarura dá a integral exata para um polinômio de uma dada W 7 Mcx
= Pcx '*
I Mrw =
pT
j.
(4.28)
desconhecidas Me W. A Equação (4.28) é um sistema de equações algébricas não-lineares para as matrizes ser integrado exatamente pode que p ordem de o polinômi o Observe que se n P é o número de pontos de Gauss, 1
é dado por
p::; ingp-
1.
Aproximação de Soluções Tentativas, Funções Peso e Quadratura de Gauss para Problemas Unidimensionais 69
A razão para isso é que um polinômio de ordem pé definido por p + 1 parâmetro. Como ambos, os pesos e os pontos de integração, são ajustáveis, os n19 pontos do esquema da int:gração de Gauss têm 2n19 parâmetros que podem ser ajustados para integrar um polinômio de ordem p exatamente. Portanto, uma fórmula de Gauss com n19 pontos pode integrar um polinômio de ordem (2n"' - 1) exatamente. Conclui-se que o número de pontos de integração necessários para integrar um polinômio de ordem p exatamente é dado por ngp;:::
p+1
-2-.
Por exemplo, para integrar um polinômio quadrático (p = 2) exatamente, necessitamos de um número mínimo de pontos de integração n19 2.
=
~ Exemplo 4.1 Quadratura de Gauss Avaliar a integral a seguir usando a quadratura de Gauss com dois pontos.
2ngp - 1
=3
::::}
ngp = 2.
Como n = 2 (dois pontos de integração), essa integral pode ser avaliada exatamente. Usamos (4.28) para calcular 19 (Wt, Çt) e (W2' ~):
Para obter essa solução de quatro equações algébricas não-lineares com quatro incógnitas, observe que pela simetria W1 = W2 e g, = - ~- A primeira equação JX>de então ser usada para obter os pesos e a terceira equação, os pontos de integração. A seguir, usaremos (4.22) com a= 2 e b = 5 para expressar xe/em termos de g:
1 1 x = 2(a + b) +7:Ç(b -a)= 3.5 + 1.5Ç,
f(Ç) = (3.5 + 1,5Ç)3 + (3,5 + l.5Ç) 2 . Us.ando (4.23), a integral fica I
I= JJ =~f ((3,5 + l.5Ç)
3
2
+ (3.5 + 1,5Ç) ) dÇ
-I
l
3
2
l
3
2
=2W,((3,5+1.5Çt) +(3,5+1.5Ç,) )+ W2 ((3,5+1,5Ç2 ) +(3,5+1.5{2)) 2 = 37,818 + 153.432 = 191,25. Nesse caso, como a quadratura de Gauss é exata, podemos checar o resultado pela execução da integração anali· - -~-- ·-·- ------ ·- - - ·· ... - -- - -- ----- · ---· - .. - ·ticamênte·;·qué"fõmec:e- ·
f
s
2
;r?
(xl +xl)dx = .
5
(~ +1') 1 = 197.917-6.667 = 191.25. .
2
.
Os pontos da quadratura de Gauss e os pesos (W" g) podem ser calculados para qualquer número de pontos de integração. Ess~s resultados são apreSentados na Tabela 4.1. No programa de elementos finitos, esses valores podem ser programados, de modo que (4.28) não tem que ser repetidamente resolvida..
As fórmulas de Gauss de ordem superior são geralmente obtidas de funções especiais chamadas de polinômios de Bernstein, veja Bemstein (1912):· · r ·•" ,. - .
70 CAPfruLO QUATRO
Tabela 4.1 Posição de pontos de Gauss e pesos correspondentes. Localização,~-
Pesos, W;
0,0
2,0
2
±l/ ..f3 = ±0,5773502692
1,0
3
±0,7745966692 0,0
0,555 555 5556 0,888 888 8889
4
±0,8611363116 ±0,3399810436
0,347 854 8451 0.652 145 1549
5
±0,9061798459 ±0,5384693101 0,0
0,236 926 8851 0,478 628 6705 0,568 888 8889
6
±0,9324695142 ±0,6612093865 ±0,2386191861
0,1713244924 0,360 7615730 0,467 913 9346
REFERÊNCIA Berostein, S. (1912) Démonstration du lhéoreme de Weierstrass fondée sur !e calcul des probabilities. Commun. Soe. Math. Kharlwv, 13, 1-2.
Problemas
Problema 4.1 Considere um elemento cúbico com quatro nós em uma dimensão. O comprimento do elemento é 3 com x 1 = -1; os nós restantes são igualmente espaçados. a. Construa as funções de forma do elemento. b. Encontre o campo de deslocamento no elemento quando
c. Avalie a matriz B' e encontre a deformação para o campo de deslocamento encontrado em (b). d. Trace o gráfico do deslocamento u(x) e da deformação e(x). e. Encontre o campo de deformação quando os deslocamentos nodais são ct•T = (1 1 1 1]. Por que este resultado é esperado?
(;o~~:~ ~.2 R-~1/ /3- f<.. .._ Considerê um elémento com cinco nós em uma dimensão. O comprimento do elemento é 4, coro o nó 1 em x = 2 e os nós restantes são igualmente espaçados ao longo do eixo x. a. Construa as funções de forma para o elemento. b. As temperaturas nos nós são dadas por T1 = 3°C, T1 = 1oc, T3 = 0°C, T4 = -1 °C, T, = 2°C. Encontre o campo de temperatura em x = 3,5 usando as funções de forma construídas em (a).
Problema 4.3 Obtenha as funções de forma para um elemento unidimensional com dois nós com grau de continuidade C'. Note que as funções de forma obtidas no Capítulo 4 apresentam grau de continuidade CJ. Para forçar o grau de continuidade C', é necessário forçar a continuidade dos deslocamentos e de suas derivadas. Comece considerando uma aproximação cúbica completa u' = a~ + a;x + a;r + a~ e obtenha quatro funções correspondentes ao deslocamento e as suas derivadas em cada nó. Para claridade de notação, denote as derivadas nos nós por 4>r i = 1, 2.
ve
e_ .f::.tJv \. ~ A l I~ K ~Sx:>( Problema 4.4 .. ·-. Consid~re o campo c!e desloc~ento u(x). = xl, O s x s 1. Escreva um programa MATLAB que execute as seguintes ' · tarefas. (O seu professor deve especificar quantas dessas partes devem ser feitas.)
"·-------------------------------..
~
Apruxlma~o de Soluções Tentativas, Funções Peso
e auauratura·de Gauss para Priiblenias UnldiiilenSkiilals · 71
a. Subdivida o intervalo [0, 1) em dois elementos. Calcule o campo de deslocamento em cada elemento fazendo os deslocamentos nodais serem dados por u1 e usando um.elemento linear com dois nós, de modo que o campo de deslocamento em cada elemento seja dado por u'(x) = N•(x)d• = N•(x)Vd, onde N'(x) são funções de forma lineares dadas por (4.6). Trace, em um mesmo gráfico, u(x) e o campo de elementos finitos u'(x) no intervalo [0, 1]. b. Calcule a deformação em cada elemento por e'(x) = B•(x)d' = B•(x)Vd e trace o gráfico da deformação por elementos finitos e o da deformação exata. Como essas deformações se comparam? c. Repita as partes (a) e (b) para malhas de quatro e oito elementos. A interpolação da deformação melhora? d. O erro de uma interpolação é geralmente medido pela chamada norma L,. O erro na norma L 2, que é denotado por e, é dado por
=r,
.
.
em que, nesse caso, u(x) = x'. Calcule o erro e para malhas de dois, quatro e oito elementos de deslocamento linear. Use a quadratura de Gauss para integração. Então, trace o gráfico (isso pode ser feito à mão) do erro versus o tamanho do elemento, usando uma escala logarítmica na abscissa e na ordenada. Isso deve ser quase uma reta. O que representa a sua inclinação? Essa inclinação é indicativa da razão de convergência do elemento. e. Repita a parte (d) usando elementos quadráticos com dois nós.
Problema 4.5 Modifique as funções NmatrizlD.m e BmatrizlD.m na Seção 12.4 para incluir elementos de quatro nós.
Problema 4.6 Use a quadratura de Gauss para obter valores exatos para as seguintes integrais. Verifique por integração analítica: 4
f (~+ l ) dx,
(a)
o I
(b)
f
2{2) <1{.
-I
(c) Escreva um código MATLAB que utiliza funções gauss.m e executa integrações de Gauss. Cheque seus cálculos manuais contra os do código M.ATLAB,
Problema 4.7 Use a quadratura de Gauss de três pontos para avaliar as seguintes integrais. Compare à integral analítica. I
(a)
f f
{2
~ 1 dx,
- I
I
(b)
.
2
cos 11"(
-I
. Escreva um código MATI.AB que utiliza funções gauss.m e executa integrações de Gauss. Cheque seus cálculos manuais contra os do código MATLAB.
Problema 4.8 I
A integral
f (3çJ + 2 )
. ~E...~i§ão é I=W:.::. eta = da=...:::: se:........_ __
- ---- ----- -
.
--- -·-
a. a quadratura com um ponto é empregada; b. a quadratura com três pontos é empregada. Cheque seus cálculos manuais contra os do código MA1LAB.
Problema 4.9 Verifique que as funções de forma de elementos de dois, três e quatro nós deduzidas neste capítulo satisfazem as seguintes condições:
· · Explique'J>or que esta condição ·sempre teili"de ser satisfeità.
5 Formulação de Elementos Finitos para Problemas Unidimensionais gora já preparamos todos os ingredientes necessários para a formulação das equações dos elementos finitos: ( 1) a formulação fraca, que é equivalente à formulação forte que desejamos resolver, e (2) as funções peso e tentativa para elementos finitos, que serão conectadas na formulação fraca. Então, estamos prontos para desenvolver as equações dos elementos finitos para os sistemas físicos que descrevemos no Capftulo 3: condução de calor, análise de tensões e a equação de advecção-difusào. Este é o último passo no esquema mostrado na Figura 3.1 . Esse passo é freqüentemente chamado de discretização, em razão de agora obtermos um número finito de equações discretas a partir da formulação fraca. O procedimento é similar àquele usado no Exemplo 3.3. Primeiramente, construímos funções peso admissíveis e soluções tentativas em termos de parâmetros arbitrários. Entretanto, no método de elementos finitos, os parâmetros são os valores nodais das funções. Da arbitrariedade dos valores nodais para a função peso. deduzimos as equações dos elementos ~tos, que são equações algébricas lineares, freqüentemente chamadas de equações discretas do sistema de: equações; na análise de tensões, são chamadas de equações 'de rigidez. O procedimento da análise de elementos finitos é freqUentemente dividido em quatro passos:
A
1. 2. 3. 4.
pré-processamento, no qual a malha é construída; formulação das equações discretas dos elementos finitos; solução das equações discretas; pós-processamento, em que a solução é exibida e, diversas variáveis, que não emanam diretamente da solução, são calculadas.
Em uma dimensão, o pré-processamento e o pós-processamento são bastante diretos, de forma que teremos pouco a dizer sobre isso neste capítulo. Entretanto, em problemas multidimensionais, esses passos são bastante desafiadores e imponantes para usuários de programas computacionais.
5. 1 DESENVOL VIMENTO DA EQUAÇÃO DISCRETA: CASO SIMPLES De forma a minimizar a abstração dessa descrição, consideramos primeiramente o problema específico discutido na Seção 3.2, com um modelo de elementos finitos consistindo em dois elementos lineares, como mostrado na Figura 5.1 a. Como pode ser visto emx =O, o problema possui uma condição de contorno (natural) de tração, e uma condição de contorno essencial é aplicada em x l. Os nós sobre o contorno essencial são primeiramente numerados como
=
mostrado na Figura S.la. A formulação fraca foi desenvolvida no Capítulo 3 e é dada a seguir.
Formulação de Elementos Finitos para Problemas Unidimensionais 73
.l/r..
(a)
2
•
(1)
~~X
(2)
X1
= ·f
(b) .
(2)
(1)
(c)
''
:' u3
3i
2
l
1: ül
u2
X
(2)
(1)
Figura 5.1 (a) Malha com dois elementos, (b) funções de forma global e (c) um exemplo de uma solução tentativa que satisfaz uma condição de contorno essencial.
Determine u(x) dentre as soluções tentativas suaves que satisfaçam a concliçllo de contorno essencial u(l) tal que
lot
(dw)T {wTbdx- (wT-tA) I-o= O dx AE (du) dx dx- lo
=Ü
1
1
'v'w(x) com w(l) =O.
(5.1)
Nesta equação, tomamos a transposta das funções peso; como w(x) é um escalar, essa operação não muda o valor da expressão, mas é necessária para a consistência quando substituímos expressões de matriz por w(x) ou sua deri· vada. O procedimento que seguiremos é similar ao Exemplo 3.3: avaliaremos a formulação fraca para soluções tentativas e funções peso dos elementos finitos. Em seguida, invocando a arbitrariedade das funções peso, deduziremos um conjunto de equações (cliscretas) algébricas lineares. As funções peso dos elementos finitos são
w(x) ~ wh(x)
= N(x)w,
(5.2)
em que = denota aproximação e N(x) é a matriz das funções de forma. Para essa malha. w(x) = w 1N1(x) + w/'2(x) + w/'3(x). As soluções tentativas dos elementos finitos são aproximadas pelas mesmas funções de forma:
u(x) ~ Ji(x) ,.; N(x)d. .
(5.3)
Para essa malha. u(x) = u1N 1(x) + u/l,(x) + u/f3(.x). Note que nos referimos às funções peso e soluções tentativas no plural, visto que estas são inúmeras; o nosso trabalho será deter:miDar qual s~lução tentativa satisfaz a formulação fraca. Diversas funções de fcrma foram desenvolvidas no Capítulo 4, e o proceclimento que desenvolveremos será aplicável a todas elas, porém, primeiramente colocaremos em evidência o elemento com dois nós e as funções de forma linear. Essas funções de forma dos elementos finitos, como mostrado no Capítulo4, são suficientemente suaves· para serem empregadas na formulação fraca. As soluções tentativas precisam ser construídas de forma que satisfaçam às condições de contorno essenciais. Isso pode ser facilmente realizado fazendo ---
·- - (5.4)
Os outros deslocamentos nodais são desconhecidos e serão determinados pela solução da formulação fraca. As funções de forma global são mostradas na Figura 5.1(b). Note que elas são funções triangulares que descrevemos no Capítulo 4. A aproximação dos elementos finitÕs é uma combinação linear dessas funç~ de forma. Um exemplo de uma solução tentativa dos elementos finitos é mostrado na Figura 5.l(c). Por causa de (5.4) e da suavidade da apro. ximação dos elementos finitos, todas as soluções tentativas são admissíveis. Sobre o contorno essencial, as funções peso precisam desaparecer. Para obter essa exigência, esta~lecemos (5.5)
,,
..
'•
~\
Os valores nodais remanescentes, w2 e w3 , são arbitrários, ·visto que as funções peso precisam ser arbitrárias. As matrizes elemento e global estão relacionadas com as matrizes reunião, como mostrado no Capítulo 2, então ,. . '-• • ,; · •, temos
74 CAPiruLO-GINCO
w =L'w,
d'
= L'd.
(5.6)
As matrizes reunião se originam da relação entre os índices nodais local e global. Como as furições dos elementos finitos e suas derivadas possuem, respectivamente, curvas e saltos nas interfaces do elemento (veja Figura 3.5), a integração eficiente da formulação fraca (5.1) necessita de avaliação da integral sobre [0, l), como uma soma de integrais sobre os domínios específicos do elemento [~, ~). Então substituímos a integral sobre o domínio inteiro em (5.1) pela soma das integrais sobre os domínios do elemento: (5.7)
em que colocamos o sobrescrito 'c' nas funções peso e tentativa para indicar que elas são parte daquelas funções que pertencem ao elemento e. Em cada elemento e, a função peso (5.2) e a solução tentativa (5.3) podem ser escritas como
u'(x)
= N'd', (5.8)
em que d' e w' são dados em termos dos valores nodais globais por (5.6). A Equação (5.8) tem a mesma abordagem que a (5.2) e a (5.3), e essas funções são também admissíveis. Elas são uma localização das aproximações globais para os elementos e surgem pelo fato de que, no elemento e, as funções global N e de forma do elemento N• são idênticas (veja Figura 4.8). Daqui em diante, escreveremos as aproximações dos elementos finitos no nível do elemento na forma (5.8); as condições de contorno essenciais seiâo encontradas sobre o nível global e será implicito que d' e w< são dados em função dos valores nodais globais por (5:6). Substituindo (5.8) por (5.7) obtemos
r,
f
r,
1
B' A'eB'dxd'-
~
f N'Tbdx -(~)r-=0 ~
~
'----.,----"
K'
fCl'
=0.
(5.9)
~
Na equação anterior, definimos duas matrizes que serão bastante úteis no método dos elementos finitos (MEF): (i) a matriz de rigidez do elemento
=f B'rA'eB'dx= hB' A'eB'ctx; -'1
K'
1
(5.10)
r, (i i) a matriz de força externa do elemento
(5.11)
em que r; é a porção do contorno do elemento sobre o contorno natural e fn e fj. em (5.11) são o corpo externo do elemento e as matrizes de força no contorno, respectivamente. As matrizes do elemento terão o mesmo papel fundamental como na análise dos sistemas discretos no Capítulo 2: elas são os blocos de construção das equações globais. Mais tarde, examinaremos essas matrizes para análise de tensões e condução de calor detalhadameote. Em (5.10) e (5.11), as expressões mais à direita usam uma notação que introduziremos na próxima seção. Substituindo (5.10) e (5.11) por (5.9) e usando (5.6) obtemos
(5.12)
Na dedução da.Equação (5.12),lembre-se de que w não é uma função de x mas é uma matriz global, portanto, pode ser tomada fora do somatório. Além do mais, o operador de dispersão L' não é uma função de x, mas é dependente ....do elemeritó. Por essa razão, foi colocado fora da integral, mas deve permanecer nos somatórios dos elementos.
Fonnulação de Elementos Rnltos para Problemas Unidimensionais 75
Se você compara o primeiro somatório ·em (5.12) com a Equação (2.25), a expressão pode ser reconhecida como a matriz (de rigidez) do sistema montado · n.,
K= LLeTK•L•.
(5.13)
•-I
• • •
• • • I
A matriz do sistema para a equação diferencial é montada exatamente pelas mesmas operações como para os sistemas discretos: matriz de coe;.ficientes dispersos e adição, que também é equivalente à montagem direta. Devemos ressaltar que não necessitamos realizar as grandes multiplicações de matrizes indicadas anteriormente para montar as matrizes globais. Os processos de montagem são idênticos aos procedimentos de montagem que aprendemos no Capítulo 2. O segundo termo em (5.1.2) é a.matriz de força externa reunida •
'
\
I
• I I
•
n,.
f=
:L>•Tfl.
(5.14)
· =I
1
Essa é a operação montagem da matriz coluna, que éonsiste em uma matriz coluna com coeficientes dispersos e em adição e é realmente mais fácil de ser aprendida do que a matriz montagem; isso será ilustrado nos exemplos a seguir. Substituindo as Equações (5.13) e (5.14) pela Equação (5.12) obtemos wT (K d -f) =O
I
Vw exceto w1 = w(l) =O,
r
(5.15)
em que indicamos a arbitrariedade dos valores nodais, w, que emanam da arbitrariedade das funções peso no estabelecimento da formulação fraca (5.1) e da restrição sobre w, (5.5). Seja r ,.= Kd-f,
(5.16)
em que r é chamado de.resíduo. Então (5.15) toma-se Vw exceto wi
= O.
(5.17)
.•
.
Se escrevermos a Equação (5.15) para o modelo específico na Figura 5.1, obtemos w2r2 + w3r3 = O,
em que o primeiro termo desapareceu porque w 1 = O. Como a equação anterior vale para w2 e w3 arbitrários, podemos deduzir que r2 = r3 = O, mas não podemos dizer nada sobre r1• De fato, como r1 é uma força não balanceada no nó 1, então ·é a força de reação. Se escrevemos as equações, obtemos
(5.18) j
Rearranjando o termo em (5.18) obtemos
[
Kn K21
·I
.J
K12 K22
(5.19)
K31 . Kn I
A Equação (S.19) é um sistema de três equações com três incógnitas, u2, u3 e r1• É similar à Equação (2.27) deduzida no Capítulo 2. Diversos procedimentos de solução, tais como os métodos da partição e da penalidade, foram discutidos no Capítulo 2. Por exemplo, usando a aproximação da partição, os deslocamentos nodais u1 e u3 são determ,i· - - - ---- -nados-primeiramente..pela.solução.de- -- -- - - - - - - - - - ----- - - -·- - --- - ·- -- -------- ---------- - - ·
[~: ~:] [~~] = {~: =~:~:~ seguida pelo cálculo das reações desconh~das no nó 1:
'•
~f, - (Ku
K., K.,J
},
•• I
l
[H
•
Como as equaçoCs para sistemas discretos, a Equação (5.19) pode ser vista como equações de equilíbrio discreto nos nós. O primeicQ membro é a matriz das forças internas e o segundo membro é aquele das forças externas e reações. Note que a matriz de rigidez.em (5.19) é am·da-singütar. Entrétàítto, "ã aproXima_ção da'p:arti~ão não exige a sua inversão.
-· .l
1 .. ..... . . •
il
76 CAPITULO CINCO
Figura S.Z Elemento com dois nós com distribuição linear de força de campo.
5.2
MATRIZE S ELEMENT O PARA ELEMENT O COM DOIS NÓS Considere um elemento linear com dois nós, área de seção transversal constante A' e módulo de Young E< sujeito a uma distribuição linear de forças de campo, como mostrado na Figura 5.2. Nesta seção, deduzimos a matriz de rigidez do elemento e a matriz de força externa. Lembre-se de que na Seção 4.1 mostramos que as funções de forma de elementos com dois nós e suas derivadas são dadas como
.
N =
B'
)[ (xí - x) (x -xD] , x-xj] rx-~ - =-- xj-~
= =~N' dx
~-xj
I•
(5.20)
(-.!_
1) . .!.) =.!_[-1 t• I• I•
Portanto, a matriz de rigidez do elemento é
A'F! [ 1 - 1
= (1•)2
A'E' [ I K'= - I• - -1
~I] (y). -1] 1
(5.21)
.
Observe que esse resultado é idêntico àquele do elemento de barra deduzido no Capítulo 2 com base em argumentos físicos. Em outras palavras, a'matriz de rigidez do elemento com dois nós com área de seção transversal constante e módulo de Young constante, quando deduzida da formulação fraca, é idêntica àquela obtida por argumentos físicos. Você pode pensar então: por que ter todos esses problemas? A razão é que, para elementos de ordem superior e em multidimensões, os procedimentos descritos no Capítulo 2 não funcionam, enquanto a formulação fraca pode ser aplicada para elementos de ordem superior em duas e três dimensões. Agora, voltando à avaliação das forças de campo nodais externas, o primeiro termo na Equação (5.11) é: r,
fó =
f
N•Tb(x) dx.
~
Como a distribuição da força de campo é linear, pode ser expre~a em termos de funções de forma lineares, como
b(x) = N'b,
b
= [~]·
A matriz de força de campo do elemento é, portanto, dada como
(~- x)(x
-.xj)]
d.xb
(x- xj)2
Pode-se ver que a soma das forças que agem sobre o elemento é I'(b 1 + b2)12, que é exatamente a integral da força de campo sobre o donúnio do elemento, isto é, a força total. Conforme esperado, para b 1 = b2, metade da força vai para o nó 1 e metade para o nó 2.
Fonnulaçáo de Bementos Finitos para Probl~ Unidimensionais
n
Tabela 5.1 Tenninologia para matrizes em elementos finitos.
Matrizes
Elasticidade
Difusão
Condução de calor
K
Rigidez
Difusividade Fluxo Concentração
Coodutância Fluxo Temperâtllra
r
Força
d
Deslocamento
5.3 APLICAÇÃO A PROBLEMAS DE CONDUÇÃO E DIFUSÃO DE C~.LOR 1 As expressões para condução de calor e outras equações de difusão podem ser obtidas pela mera substituição dos campos e parâmetros lisando a tabe~ de conversão introduzida no Capítulo 3{.I'abela3.2). A terminologia das matrizes nas equações discretas de condução de calor e difusão está resumida na Tabela 5.1. As matrizes do elemento são dadas por
Ke =
re
L
BtTA •~t;• B'• d:c,
=h Nafd:c+(N.TA.~)I r: .._,___._,
(5.22)
~
ro
rr
com parâmetros definidos pelo uso das equivalências dadas na Tabela 3.2.
~ Exemplo 5.1 Condução de calor
Primeiramente usaremos um problema de condução de calor para ilustrar como o procedimento dos elementos finitos é aplicado. Esse exemplo ilustrará a construção e solução das equações de elementos finitos e discutirá a exatidão das soluções de elementos finitos. A maior parte dos procedimentos e discussão nesse ~emplo aplicase igualmente à análise de tensões. Considere uma barra com uma fonte de calor uniformemente distribuída de s = 5 W m- 1• A barra po~ uma área de seção transversal uniforme de A = 0.1 m2 e condutividade térmica de k - 2 W oc;-t m- 1 _g .comprimento da barra é de 4 m. As condições de contorno são T(O) = ooc e if(x = 4) - 5 W m- 1, conforme mostrado na Figura 5.3. Divida o domínio do problema em dois elementos com dois nós de temperatura linear e resolva pelo MEF. Pré-pnocessa~nto
Iniciamos por numerar os nós sobre r r A malha de elementos finitos é mostrada na Figura 5.4. Matriz de condutância do elemento
As funções de forma do elemento com dois nós, suas derivadaS e E' por k' em [5.2i]) · K• =
amatriz de condutâricia resultante (substitua
f B•TA•k"B~ = A;: [_~ -~] dx
fl'
- ---- ·
--ti{i~4Yi1=if=swm-z ~
\ s=Swm-1
x=O
x=4m
t f t f t t t t f f f t f f f f f f f f ft F igura 5.3 Definição do problema do Exemplo S.l.
.,
·.::
'Rec:Omendado para a trajetória dé Ciencias e Engenharia.
- ..
78 CAPilULO CINCO fr
\I Xt
(1)
(2)
2
3 X
.x-2=2 .
=0
.x-3=4
Figura 5.4 Malba de elementos finitos do Exemplo 5.1. .
foram deduzidas na Seção 5.2. Note que esse resultado é similar ao do elemento de barra, exceto que o módulo de Young é substituído pela condutividade térmica. Para o elemento 1, temos (l) X I
o
-
K(tl
~(:) ""'2
'
= 0,2 [ 2
-
2
-
[(I)=
'
=[
1 -1] -1 1
2,
= 0,2,
(Ak)(l)
O, 1 -0,1 ]· -0,1 o, 1
e similarmente para o elemento 2: K (2)
=[
0,1 -0,1
- 0,1] 0,1 .
Matriz de condutância
A matriz de condutância (global) é obtida pela operação de montagem da matriz: K
,.,, = L L'TK'L' = L(I)TK(l)L(l) + L(2)TK (2)L(2).
(5.23)
•=I
Podemos usar a montagem da matriz direta para obtê-la, mas para mostrar que os dois procedimentos são idênticos primeiramente obteremos a matriz de condutância global a partir da equação anterior. Moiltaremos a matriz de condutância completa, sem levar em consideração as condições de contorno essenciais. Isso significa que, exatamente como no Capítulo 2, obteremos equações em que o segundo membro contém incógnitaS. Entretanto, pela montagem de todas as equações, estaremos aptos para avaliar a matriz de fluxo no contorno dos contornos essenciais. .Os operadores reunião para os dois elementos são
d<'l
~ ~::] ~ [~:] ~ [~ ~] [~:l ~L<'Id,
d<'l
=[
0
[
~:] = [~:] = [~ ~ ~l[~:l =
L'''d
A dispersão dos coeficientes das matrizes de condutância fornece K(l)= L(l)TK (I) L (l) =
uq[ o
K'''= L''''K'''L0l = [~o
0,1 -0,1
1
~]1 [~·0,1
0.1 -0,1] [ 1 o 0o ] = [ -~,1 0,1 o 1
-o,1 ][o 1 0,1 o o
n~ [~
-0,1 0,1
o
o. 0,1 -0,1
~]
-o.~] 0,1
A rigidez total é obtida pela adição da rigidez dos elementos dispersos dados anteriormente
0,1
K=
K:
-o.1
0,2
-0,1
o] -0,1 . 0,1
(5.24)
Na prática, os produtos triplos anteriores não são calculados, mas uma montagem direta é empregada, como descrito previamente no Capítulo 2. A montagem direta para o proeesso é mostrada a seguir:
Fonnulação de Elementos Finitos para Problemas Unidimensionais 79 K(I )
= [ Ó,l
-0,1
-0,1] 0,1
[1]
[2]
!I I (2]
K(2)
..
= [ 0,1
-0,1
-0,1] 0,1
[2J
[3]
[21 [3]
A matriz de condutância global resultante é
K=
[
0,1
-0,1
-0,~
0,2
[1 I
-0,1 [2]
o] [IJ(2).
-0,1 0,1 [3]
(3)
Essa matriz, obtida por montagem direta, é idêntica à Equação (5.24) .
Matriz dejisuo àe contorno As matrizes de fluxo de contorno do elemento são calculadas por (5.11), em que t foi substituído por -ij de acordo com aTabela 3.2
r,.
Observe que as funções de forma para o elemento 1 (mostrado na Figura 5.5) desaparecem sobre Somente as funções de forma que não são zero sobre o contorno natural contribuirão para o fluxo de contorno nodal. Por conseguinte, no cálculo da matriz de fluxo de contorno necessitamos considerar somente aqueles elementos que estão sobre o contorno natural. Usando a equação anterior, as matrizes de fluxo de contorno do elemento para os dois elementos são
r,
A dispersão dos ·c oeficientes (ou processo de montagem direta) então fornece a matriz de fluxo de contorno global: ·
fr=
o]
[
[o o]
oI 1 [~]+ 1 o [_~ 5 ]= o o o 1 •
[ oo ]li](2]. -0,5
[3)
Observe que esse resultado é o mesmo que especificando (-Aij)lr para o nó em que o fluxo é prescrito e zero para todos os outros nós. Dessa forma, a matriz de contorno pode sh calculada direta,mente.
Matriz tfe fluxo da fonte A matriz de fluxo da fonte do elemento é deduzida na Seção 5.2 e dada por
N~o
~~
.........
............ í
1
}
:2
i[ = 5 em x3 A= 0,1 =constante
3
0~~~------------~~--------------~--~~x 0 X1 (1) ~ (2) XJ
Figüra S.S Funções de.'forrna para o elemento l.
....
~
.
80 CAPITuLO CINCO
·t
0
_,...
q
= 5 ern x3 A= 0,1 =constante
,
. . . ' it I I
(I)
XI
2
I
,,
I
2
I
o
N(2)
N fl
X
(2)
x2
X)
Figura 5.6 Funções de fonna para o elemento 2.
em que bem (5.11) foi substituído por s de acorào com a Tabela 3.2. Como s, reduz a
= s2 = s, a equação anterior se
1]
!'s [ 1 fó=2
.
Pode-se ver que metade do calor vai para o nó 1 e metade para o nó 2. Isso também acontece pelo fato de que a integral das funções de forma lineares sobre o elemento podem ser calculadas como uma área de um triângulo com altura igual a 1 e a base igual ao comprimento do elemento; isso pode ser visto facilmente nas Figuras 5.5 e 5.6. No presente exemplo, zm = /(21 = 2 e s = 5, fornecem
t•> _ rl2l -_ f n-n
[5] 5·
A matriz de fluxo da fonte do elemento é, portanto, montada:
Na prática, em seu lugar uma montagem direta é usada:
r(l> _ n -
f!2l n
[1] [5] 5 [2]
[2] = [5] 5 (3)
[5 ~ 5][3)gj.
fn =
=?
5
Partição e solução
O sistema global de equações é dado por
[
0,1 -0,1 -0,1 0.2
o
-0, I
o][o] T2 = [5] + [O T.1
-0,1
10
O
O, I
5
-0,5
l ["] +
O
=
[r,+5]
O
10
.
4,5
Como o nó 1 está sobre o contorno essencial, partimos após a primeira linha, o que fornece [ 0.2
-0,1
-0,1] [ T2] T3 0.1
10] = [4.5
:::}
_ [ 145] [T2] T3 - 190 .
Pós-processamento
O gradiente de temperatura é dado como d:f{I) = Bll)L(I)d
=! (-1
o
~] [::J -72.5,
dT(2) = Bl2lLI2ld
=! (-1 1] [O 1 o o 2
~] [·~+22,5
dx
dx
2
1] [ 1
o
190
Observe que o gradiente de temperatura é constante por partes e, como será visto em seu gráfico, esse gradiente · é uma função com grau de continuidade c- 1•
Formulação de Elementos,Finitos para Próble~ ~nidlmenslonals 81
Ava(iando a qualidade da solução
A solução de elementos finitos agora será comparada à solução analítica exata. Esse tipO de comparação pode ser feito somente para alguns tipos de problemas simples (principalmente em uma dimensão) para os quais a solução exata é conhecida. Iniciamos a partir da formulação forte no Capítulo 3:
!(
Ak: )
+ s = 0,
d ( dT) dx 0.2dx +5=0
. T(O) =O,
0<
X
< l,
2
=>
d T
dx2=-25,
. . dT q(4) = -k dx nl.r=o~
=5
=>
àT
5
dx (4) = -2
= -2,5.
A integração da equação diferencial de governo fornece ~T d,x2
dT = -25 => dT dx = -25x + CJ => dx (4) =
-2,5 = -25 X4 +
CJ
=> CJ = 97,5.
A expressão para a temperatura é obtida pela integração do gradiente de temperatura, que fornece
dT dx = -25x + 97,5 => T = -12,5xl + 97,5x + c2 ,
T(O) = 0 => -12,5(0)2 + 97 ,5{0) + Cz = 0 => Cz = 0. Portanto, a temperatura exata e ~ g~diente de temperatura são
rx =
-12,5x2 + 91,5x,
drex
(h""= -25x + 97 ,5.
A Figura 5.7 compara a solução do MEF com a solução exata. Pode-se ver que as temperaturas nodais para o MEF são exatas. Essas são anomalias não usuais das soluções de elementos finitos em uma dimensão e não devem ocorrer em soluções multidímensíonais. Isso é explicado por Hughes (1987) p. 25. Observe que a condição de contorno essencial é rigorosamente satisfeita. Isso não é surpreendente visto que a solução tentativa foi construída de forma a satisfazer a condição de contorno essencial. Em soluções de elementos finitos, as condições de contorno essenciais sempre serão exatamente satisfeitas. A Figura 5.8 compara a derivada da solução de elementos finitos com a derivada da solução exata (a derivada
é proporcional ao fluxo). Como pode ser visto na Figura 5.8 e mencionado anteriormente, a derivada é uma função
com grau de continuidade c-•; a derivada da temperatura e, conseqüentemente, do fluxo na solução de elementos finitos é descontínua entre os elementos. Como apontado na Figura 5.8, a condição de contorno natural em x 4 não é satisfeita pela solução de elementos finitos. Entretanto, veremos em outros exemplos e em exercícios que a condição de contorno natural é encontrada com mais exatidão conforme a malha é refinada. Portanto, embora não tenhamos que construir aproximações de elementos finitos para satisfazer as condições de contorno naturais, elas são obtidas aproximadamente. Também é informativo ver quão bem a equação de condução de calor é satisfeita pela solução dos elementos finitos. Lembre-se da equação de condução de calor (3.12) e substitua a solução dos ele~nentos finitos para a temperatura:
=
T _ 11.5 - . - - - 150 125
100 75
50
2
3
4
Figura.5.7 Comparação entre a ·solução exata e a solução por elementos finitos para a temperatura.
82
CAPITULO CINCO
*
100
75
50
25
~h----/ X
00
2
4
3
Figura 5.8 Comparação entre a solução exata e a solução por elementos finitos para o gradiente de temperatura.
Ak
dx
d2 2
(N(x)d)
+ s(x) = err(x).
(5.25)
Na equação anterior, substituímos o zero no segundo termo da equação de condução de calor por 'err', visto que o desvio de zero é indicativo do erro na solução dos elementos finitos. O primeiro termo da Equação (5.25) desaparecerá no interior de um elemento, visto que as funções de forma são lineares em x. Portanto, no interior dos elementos, o erro na equação de condução de calor será err(x)
= s(x)
para x ':/; x1•
Esse erro realmente parece ser bastante grande e, além disso, não diminuiria com o refinamento da malha. O comportamento nos nós é mais complicado e não será considerado aqui. Desse modo, tanto a condição de contorno natural quanto as equações de balanço são satisfeitas aproximadamente somente pela solução dos elementos finitos. Entretanto, pode-se mostrar que a solução dos elementos finitos converge para a solução exata conforme a malha é refinada, embora isso não seja facilmente evidente a partir da formulação fraca . A convergência da solução dos elementos finitos para a solução exata é discutida na Seção 5.6.
5.4
DESENVOLVIMENTO DE EQUAÇÕES DISCRETAS PARA CONDIÇÕES DE CONTORNO ARBITRÁRIAS Consideraremos agora o desenvolvimento das equações dos elementos finitos para a formulação fraca com condições de contorno arbitráriàs, a Equação.(3.49). Por conveniência, a escrevemos novamente: determine u(x) e U tal que
f (:rAE:dx- f n
wTbd.x-(wTAi)i ~
n
=0
V'wEUo.
(5.26)
Considere a malha de elementos finitos mostrada na Figura 5.9. Os elementos podem ser de qualquer tamanho e, como veremos posteriormente, os elementos menores são normalmente usados onde são necessários para exatidão. Os nós sobre o contorno essencial são numerados primeiramente, visto que usaremos o método da partição descrito no Capítulo 2. Os dados reais não necessitam estar naquela forma, visto que os nós podem ser renumerados no programa; a maior parte dos programas computacionais comerciais não usa a partição. Porém, para o objetivo do desenvolvimento seguinte, é considerado que os nós do contorno essencial aparecem primeiramente em todas as matrizes.
•1
(1)
x=a
•2
(2) I
I
I
I
e
•
•
n,t
• ..
nnp
x=b Figura 5.9 Malha dos elementos finitos em uma dimens.ão.
X
Fonnulação de Elementos Rnltos para Problemas Unidimensionais 83
Tendo selecionado a mallia dos elementos finitos e construido funções de aproximação suaves sobre os domínios do elemento específico (5.8), agora expressamos a integral_sobre O como a soma das integrais sobre os domínios do elemento:
'r/we
Uo,
(5.27)
em que .O.• são os domínios do elementos; a integração sobre .O.• é equivalente à integração sobre o intervalo[~,
r ••J
Usaremos as mesmas aproximações globais para as funções peso e soluções tentativas, (5.2) e (5.3), respectivamente. Para tratar com condições de contorno arbitrárias, partiremos as matrizes da solução global e da função peso como
A parte da matriz marcada pelo subscrito 'E' contém os valores nodais sobre os contornos essenciais. Como indicado pela barra sobre dE, esses valores da solução são estabelecidos para satisfazer as condições de contorno essenciais, de forma que podem ser considerados como conhecidos. As submatrizes marcadas pelo subscrito 'F' contêm todos os valores nodais remanescentes: essas entradas são arbitrárias P.ara a função peso e são incógnitas para a solução tentativa. As funções peso resultantes e as soluções tentativas serão, portanto, adnússfveis. Substituindo (5.8) por (5.27) obtemos
t~T{ f Ba~A'B' dx-d'- f N'Tbdx- (N'TA'I)I .,.,
Sl'
Sl'
r;
}
=o
(5.28)
Observe que (5.28) é válida para todo wF (arbitrário), como wEnão é arbitrário, W8 precisa ser zero. Substituindo (5.10) e (5.11) por (5.28) e usando (5.6), w' = L•w e d• = L'd, obtemos
(5.29)
O sistema anterior pode ser escrito como (5.30) em que r= Kd- Ccomo em (5.16). Apartição de r na Equação (5.30) congruente com w fqmece
[wE wp]T [ ~=]
= wi,r.e + w~rF = O ·
Y/wp.
(5.31)
Como we =O e wF é arbitrário, logo o teorema do prodúto escalar r,= O. A Equação (5.16) pode então ser escrita na forma partida como
.. .
---------
em que ~. ~ e ~ são partidas para serem congruentes com as partições de d e r. - - --A-equação-anterior-pode-seneescrita·como- ·-- ·~---~----- - · (5.32) Usando a aproximação de dois passos discutida na Seção 5.1, resolvemos primeiro para a solução discreta desconhecida ~ pela utilização da segunda linha na equação anterior: (5.33) Uma vez que dFé conhecida. as reações desconhecidaS podem ser calculadas da primeira linh~ de (5.32):
· re = K.ed.e-+ Kudp- C~:..
(5.34)
84 .CAPÍTULO CINCO E= 8 Pa
A= 2x
I
(X=
6)
=o
x=2
x=6 Figura 5.10 Geometria, cargas e condições de contorno do Exemplo 5.2.
Para a finalidade de pós-processamento, os deslocamentos e as tensões são calculados em cada elemento usando a Equação (5.8) e a lei de tensão-deformação:
u'(x)
= N' (x)d' ,
cr(x) = e(x)B'(x)d'.
Os valores dos elementos nodais são obtidos pela reuruão do operador V usando d' = Vd. Uma parte importante do pós-processamento é a descrição visual desses resultados. Esses são inestimáveis para a interpretação dos resultados e para avaliar se o modelo é apropriado e foi resolvido corretamente. A variedade e a riqueza da visualização em problemas urudimensionais são limitadas, porém veremos que a visualização em duas dimensões é bastante importante.
~ [ Exemplo S.ijBarra elástica cônica Considere um problema de uma barra elástica carregada ax.ialmente como mostrado na Figura 5.1 O. As dimensões estão em metros. Resolva para as tensões e os deslocamentos desconhecidos com uma malha de elementos finitos (n., = 3, nd = 1) que se constitui em um elemento simples com três nós (n.1 = 3, ncl = l) como mostrado na Figura 5 .11. Lembre-se de que as funções de forma para o elemento quadrático com três nós são
e a matriz B correspondente é (I)
B~l) = dN2 = ~ (4 -
B11 l
dt
2
dN(I)
x),
,.<31)
-
=4I !(x- 5) (8- 2x) (x- 3)].
Matriz de rigidez
A matriz de rigidez do elemento é dada por
o
x\ 11 = 2
2
3
o
o ' o
x~ 11 = 4
p
I
= _ dx3_ =-4 (x -
x~l) = 6
Figura 5.11 Malha dos elementos finitos do Exemplo 5.2.
3)
,
l
Formulação de Elementos AnHos para Problemas Unidimensionais 85
K(t) = K =
f~,
6
B(l)TA{l),E(llB(ll dx
6 [
j 2
[
{x- 5)
{8- 2x) {2x){8) ~ ({x- 5) (8- 2x) {x - 3)) dx
l
(x - 3)
2
"'
=
= f~
2
x(x - 5)(8 - 2x} x(x- 5)(x- 3) x(x- 5) x(8- 2x)(x- 3) dx. x(8 - 2x)2 x(8 - 2x)(x- 5) x(x- 3)2 x(x- 3)(x- 5) x(x- 3}(8- 2x)
Pode-se ver que o integrando é cúbico (p = 3). Então o número de pontos da quadratura exigidos para a integração exata é 2niP - 1 2: 3, isto é, "~~> 2: 2, que é a quadratura de Gauss adequada para a integração exata do integrando. O Jacobiano é
b-a 1 = -- ·= 2. 2
Escrevendo x em termos de ~ e transformando para o domínio de referência, temos
j
j
f(x) dx = 2
2
f(x(Ç)) d{ = 1
l~f(x(~t)) + ~f(x({2))] = 2[/(xi) + f(x2)], 1
I
-1
(5.35)
em que
x. =x(e.}=4+2e• = 4 +2 ( X2
~) =2,8453,
4
4
= x(el) = + 2{2 = + 2(~) = 5,1547.
Usando (5.35), K 11 é dado por
f
6
K 11 =
x(x- 5)2 dx
= 2{2,8453(2,8453 -
2 5) 2 + 5,1547(5,1547 - 5) )
= 26,667.
2
A matriz de rigidez é dada por
K=
26,67 [ sim
5,33 -32 85,33 -53,33
l
=
[26,67
48
- 32 5,33
-32 5,33] 85,33 -53,33 . 48 -53,33
Observe que a. matriz de rigidez é simétrica e que a soma dos termos em cada linha (ou coluna) é igual a zero. Isso vem do fato de que sob movimento de corpo rígido (p. ex., quando os deslocamentos nodais são todos iguais a 1) as forças nodais resultantes precisam ser zero.
Matriz. de força de campo A matriz de forças de campo nodais é obtida pela adição das contribuiçõeS do carregamento distribuído b (primeiro termo em [5.36]) :: da força no ponto P (segundo termo em [5.36]). .1")
Co
=r~l =f N'Tbdx + za
..
~
(5.36)
__ contribuição da_força_RQolllal __ __
_______
Os detalhes da dedução das forças de campo nodais que surgem das forças pontuais são dados no Apêndice AS. Observe que o segundo termo em (5 ..36) consiste em um produto das funções de forma do elemento avaliadas no ponto em que a força pontual está agindo e do valor da força pontual (positivo se age na direção positiva de x) . Por exemplo, se a força pontual está agindo no meio de um elemento linear, o valor da função de forma no meio é metade, então metade da força vai para cada nó. No exemplo presente, (5.36) fornece
f
6 [
fn =
2
0,125(x- 4}(x - 6) -0,25(x- 2){x- 6} 0,125(x - 2)(x- 4)
l [ x 8 dx +
l
0,125(x- 4)(x- 6) x24. -0,25(x- 2)(x- 6) 0,125(x- 2)(x- 4) .=s
A quadiàtura de Gauss de doís pontos é necessári'â porque a funçlib é quadrática, então· ·
86 CAPITULO CINCO 6
j f(x) dx = 2[f(xJ) +f(x2)). 2
Portanto,
fn
[
=8
2[N~ >(x.)+NP>cx2)] ] 1
2(Ni•>cx:) + Ni•>cx2}) 2{N~•> cx.) + N~!l(x2)J
+
[ 3(5-4)(5-6) -6(5- 2)~5- 6) 3(5- 2)(:>- 4)
l
2((2,8453- 4)(2,8453- 6) + (5,1547- 4)(5,1547- 6)) -4((2,8453- 2)(2,8453- 6) + (5,1547 - 2)(5,1547- 6)) [ 2((2,8453- 2)(2,8453- 4) + (5,1547- 2)(5,1547- 4))
=
l
+ soma= 24
5,33] 21,33 [ 5,33.
=
+
~
8. 4
[-3] 18 9
=
[2,33] 39,33 . 14;33
"-v-'
24
Observe que a matriz de força no contorno desaparece, exceto para a reação no nó 1. Portanto, o segundo membro de (5.32) é: f
TJ
+r=
[
+2,33] 39,33 . 14,33
O sistema global resultante de equações é
em que a partição das equações foi feita após a primeira linha e primeira coluna. O sistema de equações reduzido é:
Resolvendo o sistema antérior
85,33 [ -53,33
-53,33] 48
[uz ] = [39,33] '* [uU32 ] = [2,1193] · U3 14,33 2,6534
Pós-processamento Uma vez que os deslocamentos nodais foram calculados, o campo de deslocamento pode ser obtido por (5 .3). Escrevendo essa equação para o elemento com três nós obtemos
u
= Nl 1)Ut +Ni1) Ui
+N~1 >u3,
d
=
d(l)
=
[2,1~93] . 2,6534
1
-l
1
u(x) = s
= -0,19815~ + 2,248 55x- 3,7045. O campo de tensões é dado por u(x) =Edu= dx
E~(N< 1 ld( 1 l) = EB< 1ld< 1l dx
=8~((x-5) (8 - 2x) (x - 3))[2,1~93] = - 3,17x+l7,99. . . . . 2,6534 .
Fonnulação de Elementos Rnitos para Problemas Unidimensionais 87
-36-4x .-
·-..··.·../X ·.·.
·.·.·..
24- 4x
···o X
4
2
6
Figura 5.12 Comparações dos elem::atos finitos (linha contínua) e tensões exatas (li.'lha pontilhada) para o Exemplo 5.2.
Estimativa da qualidade da solução Para sermos breves, somente a qualidade das tensões será avaliada. Como o problema é. determinado estaticamente, o campo de tensões exato pode ser calculado a partir da força axial p(x) pela sua divisão pela área da seção transversal o"' =
pt).
A Figura 5.12 compara a solução por elementos finitos do campo de tensões (mostrado por
uma linha contínua) com o campo de tensões exato (mostrado.por uma linha pontilhada). Observe que o campo de tensões por elementos finitos não captura o salto que ocorre na localização da força pontual.
5.5 PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO COM DOIS PONTOS COM CONDIÇÕES DE ~
CONTORNO GENERALIZADAS2 Agora consideraremos um problema de valor de contorno com dois pontos e condições de contorno generalizadas. Primeiramente consideraremos o método da penalidade (Equação [3.62]), seguido pelo método da partição (Equação [3.63]). No método da penalidade, as çondições de contorno essenciais são consideradas como um caso limite das condições de contorno naturais; portanto, o contorno natural se estende por todo o contorno. A formulação fraca é repetida ~ui por conveniência: determine 6(x) E 1f1 tal que
f
o
dw d9 -AK-dxdx dx
f
-
Ir
wfdx-wA(il!-fJ(8-Õ) ) =0
n
(5.37)
em que os campos e os parâmetros são definidos na Tabela 3.2. Nessa aproximação, não existem condições de contorno essenciais, de maneira que todos os valores nodais em d e.w são livres. A ~tegração da formulação fraca (5.37) sobre os domínios do elemento e a substituição dos interpolantes (5.8) na formÚlação fraca fornece
t~T{! B•TK•A•B•dxd.+(N•TA•,8i{'}1 1
c=l
11'
,
d•I'<
f N.Tfdx-(N•TA•(~+/JB))I} =0
11'
"'w.
I'<
(5.38)
em que P é uma porção do contorno do elemento sobre o contorno externo. Definimos as matrizes dos elementos finitos: -
-
K~ =
f B~TK·A·B· -
_.. .
-------- ~- -
dx + (N'TAt JJN•) I'<
n(5.39)
r=
f
n-
'Rec:omendado'Jlant. a Trajetória Avançada.
N•Tt dx + (N"TAt (~ + fJÕ))Ir•.
-
Substituindo (5.39) por (5.38), usando W' = Vw, d' = L'd e definindo as matrizes globais por (5.13) e (5.14) obtemos a formulação fraca discreta (5.40)
Vw, em que r é a matriz residual definida em (5.16).
Devido~
r= Kd -f= O
arbitrariedade de w, segue-se que ou
Kd = f .
(5.41)
Em (5.41), não é requerida partição ou renumeração dos nós; as condições de contorno essenciais são facilmente forçadas pela seleção de {3 para ser um parâmetro de grande penalidade. Agora voltemos ao método da partição, que foi usado na Seção 5.1. A formulação fraca geral está estabelecida (veja Quadro 3.6) como: detennine 8(x) E U tal que
J
dw dx AK. dB dx dx-
n
f
-
- I
~ dx- wA(ii> - P(x)(B(x)- B(x))) r. =O
"v'w E Uo.
(5.42)
n
As matrizes globais são partidas como se segue:
A parte da matriz denotada pelo subscrito 'E' contém os valores nodais sobre os contornos essenciais. Como indicado pela sobrebarra em dE esses valores são conhecidos. As submatrizes denotadas pelo subscrito 'F' contêm todós os graus remanescentes de liberdade: essas entradas são arbitrárias, ou livres, para a função peso e desconhecidas para a solução tentativa. Substituindo (5.27) na formulação fraca dada em (5.42), obtemos
(5.43) Note que (5.43) é similar a (5.38) exceto que os termos de contorno em (5.43) são definidos para r~ e que (5.43) é arbitrária para wF e não para w. As matrizes do elemento resultantes são idênticas a.(5.39) exceto que o termo de contorno é sobre r 4>"
tj)~5.6
CONVERGÊNCIA DO M EF Na avaliação da qualidade da solução para vários tipos de elementos, necessita-se de uma medida melhor para o desempenho do elemento do que o resíduo "observado" na diferença entre uma solução exata e uma solução por elementos finitos. Nesta seção, descrevemos alguns métodos gerais para quantificar o erro em uma solução por elementos finitos. Para isso, uma solução exata é necessária, porém como veremos no Capítulo 8, tal solução pode geralmente ser construída pela 'fabricação' da solução. A questão básica abordada nesta seção é: como pode o erro em uma solução por elementos finitos uh(x) ser quantificado, se conhecemos à solução exata? Obviamente, a comparacão da solução por elementos finitos com a solução exata em um único ponto pode não ajudar; se o ponto é um nó, a solução por elementos finitos em uma dimensão sempre fornece o valor exato, e não existe erro. A resposta para nossa questão é fornecida por normas de funções. Uma nonna de uma função é uma medida do 'tamanho' da função, exatamente como o comprimento de um vetor é uma medida do tamanho do vetor. O comprimento de um vetor ã, algumas vezes chamado de norma do vetor e marcado por 1 1ãll, é dado por (5.44)
em que n é o número de componentes do vetor. Esta é a fórmula padrão para o comprimento de um vetor; para exemplo em duas dimensões, n = 2 e as componentes do vetor em x e em y são dadas por a, = a 1 e aY = a2. Então (5.44) fornece 11 a 11= )ai+ a;, que é a fórmula para o comprimento de um vetor em duas dimensões. A norma de uma função é definida por
(5.45)
Formulação de Elementos Rnltos para Problemas Unidimensionais 89
em que [x,, x 2 ] é o intervalo sobre o qual a função é definida. Essa norma é chamada de norma Lebesq.ue (L2). A similaridade entre a norma de um vetor e a norma de u~a função pode ser vista quando normalizamos (5.44), dividindo pelo número de componentes, o que fornece 1 "
llã 11= ( -I>~ n /ai Agora, se fizennos a(x) = a,~ tu
)!.
(5.46)
= ~ e n ~ oo, então essa equação toma-se
Portanto, a nonna de uma função é como o comprimento de um ·vetor com n componentes, com n tendendo para o infinito. Como o comprimento precisa ser positivo, e como o comprimento de um vetor mede a sua magnitude, a norma de uma função mede a magnitude da função. Usando essa definição de uma norma, podemos definir o erro em uma solução por elementos finitos como
11 •11..,-11uu(x)- u'{x) 11-
u
1
(u"'(x)- u'(x))'w) ' ,
(5.47)
em que u'"(x) é a solução exata e il'(x) é a solução por elementos finitos, e o erro ponto a ponto é u'"(x) - il'(x). Se pensarmos nas normas como medidas da distância entre duas funções, então a Equação (5.47) é uma medida da distância entre a solução exata e a solução do deslocamento por elementos finitos. O erro em qualquer ponto no intervalo contribui para essa medida de erro, porque o integrando é o quadrado do erro em qualquer ponto. Essa equação pode ser considerada uma medida da raiz quadrada média do erro. Portanto, fornece uma medida do erro que não é afetada por uma ausencia acidental de erros em alguns pontos. Na comparação de erros de diferentes soluções, é preferível nonnalizar o erro pela norma da solução exata. O erro normalizado é dado por
(5.48)
O erro normalizado pode ser interpretado facilmente: se o erro normalizado eL2 é da ordem de 0,02, então o erro médio no deslocamento é da ordem de 2%. Embora o erro Lz no deslocamento seja bastante útil, estamos freqUentemente mais interessados no erro da derivada da função. Por exemplo, na análise de tensões, o erro na tensão, que é proporcional ao erro na deformação, é, com frequencia, de interesse. Na condução de calor, estamos freqüentemente interessados no fluxo de , calor. Um erro na tensão pode ser calculado pela mesma fónnula como (5.47) com a função substituída por sua derivada. Entretanto, uma aproximação usada mais freqüentemen te é calcular o erro na energia. O erro na energia é definido por
11• 11~-11 u"'(xl - u'(xl 11u-
(V E(•u
l
.'
(5.49)
·comparando ess·a equação-com W ioc no princípio da energia·potencial mínima, podemos ver·que-essa·equação é-a-raiz quadrada da energia do erro na deformação, portanto, o chamado erro na energia. Além do mais, como a deformação é a derivada do campo de deslocamento, logo o erro na energia é similar ao erro na derivada do campo de deslocamento. Repetindo, é preferível em aplicações examinar o erro normalizado na energia, que é dado por
-
e..=
I'
t.. .... ,
uu•l(x) -li' (x)llen II ~P (x) llen
=
(5.50)
90 CAPiTULO CINCO
=c:x
---- ---- ---- ----a-:1=-d% b(:x)
I<
)I
21
Figura 5.13 Uma barra sob compressão.
Quando a solução exata é conhecida, as normas do erro nos deslocamentos e do erro na energia são facilmente calculadas. As integrais são calculadas pela subdivisão do donúnio nos elementos, e em seguida usando a quadratura de Gauss em cada elemento. As fórmulas da quadratura de Gauss de ordem superior são normalmente necessárias porque a solução exata geralmente não é um polinôrruo, de modo que as eficiências da quadratura de Gauss para polinômios são perdidas. No próximo exemplo, examinaremos os erros avaliados por essas normas para dois elementos. Para atingir esse objetivo, necessitaremos de soluções exatas. Em uma dimensão, as soluções exatas podem ser facihnente obtidas para a análise de tensões e equações de condução de calor. Na verdade, os elementos finitos normalmente não são necessários em problemas unidimensionais, porque as equações podem ser integradas por programas computacionais. tais como MATLAB ou MAPLE. Então descrevemos os elementos finitos em uma única dimensão porque é a forma mais simples de aprender o método. Em multidimensões, a obtenção de soluções exatas é mais difícil, e aprenderemos como fabricar as soluções no Capítulo 7.
5.6.1
Convergência por Experimentos Numéricos Consideremos uma barra de comprimento 21, área de seção transversal A e módulo de Young E. A barra é fixa em 2/ conforme mostrado na Figura 5.13. A formulação forte é dada por
x =O, sujeita à força de campo linear ex e à compressão aplicada t = - cfliA em x
=
!(AE:) +cx=O, u(O) =O, _ I
du
l
ct2
= E dx ll xa2J = -A.
A solução exata para esse problema pode ser obtida na formulação fechada e dada como
ucx (x) ••( )
e x
=:e (- ~ + 2X) , 1
=dx= AE du
c (
x2 1 ) + -2 2
·
Esse problema é resolvido usando o MEF. Estudamos a taxa de convergência do MEF com malhas de elementos 2 2 finitos lineares e elementos quadráticos. Os parâmetros do material considerado são E= 10' N m - , A = 1 m , c ~ 2 1 N m- e l = 1 m. A Figura 5.14 mostra o logaritmo da norma do erro como uma função do logaritmo do tamanho do elemento h. Como pode ser visto a partir desses resultados. o logaritmo do erro varia linearmente com o tamanho do elemento e a inclinação depende da ordem do elemento e se o erro está na função ou na sua derivada. Se observarmos a inclinação por ex, então o erro na função (a norma L2) pode ser expresso como log(ll e i!L.,) =C + a.log h,
(5.51)
em que C é uma constante arbitrária, a interseção com o eixo y da curva. A inclinação ex é a taxa de convergência do elemento. Tomando a potência de ambos os lados, obtemos
(5.52) Para elementos lineares com dois nós, ex = 2, enquanto para elementos quadráticos ex = 3. Diz-se que o erro para elementos com dois nós é quadrático, enquanto o erro em elementos com três nós é de terceira ordem. A constante C depende do problema e da malha, e não é de muita importância. O conceito crucial a ser aprendido dessa equação é como o erro diminui com o tamanho do elemento. Pode ser visto em (5.52) que se o tamanho do elemento é dividido ao meio, o erro na função diminui por um fator de 4 para elementos lineares. Essa fórmula tem sido generaljzada na literan,u-a matem~t.ica. A essêqcia,dessa generalização é que se um elemento finito contém o,polil)ômio completo de ordem p, então o erro na norma L, do deslocamento varia de acordo com
Formulação de Elementos Rnltos para Problemas Unidimensionais 91 Elemento linear
Elemento quadrático
10°
10.:1
10"1
10
4
g
o
Ji
10-:z
10....
w
J'
J 10-3
10..a 10..a
1Õ.. 10-2
1
10" Comprimento do elemento (in)
,.,
~ -
10 .a 10
,. 1
10"
10°
Cow.pnmento do elemento (ln)
Figura 5.14 Nonn~ ~do erro para malhas de elementos finitos lineares (esquerda) e quadráticos (direita).
(5.53) Você pode ver que essa fórmula está de acordo com os nossos resultados para erros para elementos lineares e quadráticos (p = 1 para elementos lineares, p = 2 para elementos quadráticos) considerados no exemplo anterior. Do mesmo modo, pode ser visto a partir da Figura 5.15 que a inclinação do gráfico de convergência para derivadas, isto é, o erro na energia, é uma ordem inferior. Então, o erro na energia para wn elemento que está completo até a ordem p é dado por (5.54)
Portanto, a exatidão na derivada é uma ordem inferior do que a exatidão na função. São muitas as implicações desses resultados. A mais impOrtante é que se o tamanho do elemento é dividido pela metade, o erro na derivada (erro na energia) diminui por fatores de 2 e 4 para elementos lineares e quadráticos, respectivamente. Isto é uma das importantes lições neste capítulo; elementos quadráticos fornecem mais exatidão para o procedimento. De fato~ na análise linear, os elementos. quadráticos são quase sempre preferidos. Suas vantagens em exatidão são irresistíveis e vêem com baixo custo. O condicionamento de sistemas de equações lineares deteriora-se para elementos de Lagrange de ordem supe· rior. A melhor relação entre exatidão e complexidade para os interpolantes de Lagrange parece ser oferecida pelos elementos quadráticos. Essa taxa de convergência de elementos de ordem superior é maior, desde que a solução seja suficientemente suave, isto é, as derivadas p + l da solução exata devem ser finitas. Se a solução não for suave, tal como, por exemplo, em u = x 112 (veja também Problema 3.8) a estimativa na Equação (5.53) não é mais válida. Gui e Babuska (1986) mostraram que . (5.55)
em que À.
Elemento linear
tlfr-----~~--~-T------------~~
1
10"
> 1/2.
p
?. 1.
(5.56)
Elemento quadrático
,...-----~------.-----------.
10.:1~--~----~--~~----~--~~~ 10.:. 10"' 10.
Comprimento do elemento (In)
Figura 5.15 Norma do erro de energia para malhas de elementos finitos lineares (esquerda) e quadráticos (direita).
...
~·
.... ... ••
92 CAPITULO CINCO
exata tem de Para os limites (5.55) e (5.56) serem válidos, três imposições precisam ser obedecidas : (i) a solução À > 112 na Equação (5.56); (Ü) a solução suavidade de parâmetro o vista em tendo idade), (integrabil H' em existir derivadas do tipo dos elementos finitos tem de ter grau de continuidade pelo menos igual a CO(continuidade) com e). (completud 1 ~ p com p ordem a até completa ser de quadrado integrável, e (üi) a solução tentativa tem as em sua aproximad apenas são finitos elementos por soluções as que de fato o mente ~muito importante ter em da qualidade a avaliar de forma aplicação.~ crucial que o usuário de um programa de elementos finitos tenha alguma o; refinament o com muda solução a quanto o solução. Uma forma de se fazer isso é refinando a malha e verificando a, inadequad ser também pode malha nova a e a inadequad é original malha a então caso existam grandes mudanças, elementos de r de forma que refinamentos adicionais podem ser necessários. Atualmente, os programas de computado pelo MEF. Esses finitos freqüentemente incluem indicadores de erro que fornecem estimativas do erro na solução por elemento. elemento base uma sobre finitos elementos por solução na indicadores de erro fazem estimativas do erro solução. da exatidão a aferir para úteis muito Tais indicadores de erro são 3
5.6.2 Convergência por Aná/ises
finitos provém Agora, faremos a discussão formal de convergência. O caráter aproximado da solução por elementos U e ~ C U0 , C U' finitos ais dimension subespaços por U e U da substituição do espaço de todas as funções em 0 que são definidos como
= N(x)d,N e H 1 , 8 = 9 em fe}, 1 U~ = {w"(x)lw" (x) = N(x)w, N e H , w =O em re}.
Uh= {&h(x)J&h(x)
(5.57)
de continuidade Isso significa que u~ e u~ são conjuntos de funções interpoladas com funções de forma com grau respecessencial, contorno no m desaparece que ou sobre CO e que satisfazem a condição de contorno essencial "tivamente. represenExiste um número infinito de funções em U e U0, isto é, esses espaços são de dimensão infinita. Quando (igual finita dimensão de toma-se ~ peso tamos as funções peso por funções de forma, então o espaço das funções s procuramo qual no U', espaço o modo, mesmo Do essencial). contorno ao número de nós excluindo aqueles no equie exatament seja fraca formulação a Embora finita. dimensão de toma-se finitos, nossa solução por elementos a para os espaços valente à formulação forte para os espaços de dimensão infinita U e U0 , ela é somente aproximad da formulação derivadas equações as , Entretanto MEF. no de dimensão finita u~ C U e ~ C U0 , que são usados Nesta satisfeitas. amente aproximad somente são naturais contorno de condições fraca, a equação de balanço, e as finitos. Para o elementos por e exatas soluções as para definidas fracas es formulaçõ as entre distinguir iremos seção, tal que problema de elasticidade, essas equações são dadas a seguir. Determine u(x) E U e u'(x) E U',
r,
(a)
f fn dwh
du dw dxAk dx dx
= (wAi)lr, +
\fw
wbdX
e Uo,
n
n
{b)
f . +f
dzlt -;hAkd ; dx = (w"Ai)lr,
(5.58)
w"~dx
n
de erro de energia Para analisar o quão perto ll'(x) está de u(x), iniciamos por mostrar que uh(x) minimiza a norma é isto , 1 1 11' llu = llellCO C:D
11 u -
uh
11 llen= min u•eu•
u- u'
llen .
(5.59)
Para provar (5.59), expandimos o segundo membro da seguinte .forma
Observe que como u" e u· satisfazem as condições de contorno essenciais, logo (li' - u*) s
11 e+ w"
ll~n=ll e ll;o + 11 w" 11;. +f d; n
Subtraindo as duas formulações fracas em (5.58) e escolhendo w =
f n
' Recomendado para a Trajetória Avaoç<~da.
~
dw" Ak de dx = O. dx
dx
E
AE: ~em
~
E
dx.
(5.58a) obtemos
~e
portanto
Formulação de B11mentos Finitos para Problemas Unidimensionais 93 u
elemento i
Figura 5.16 Aprmrimação da função de inteipOlação da .solução exata.
*
Como 11 W' H•• > O para qualquer W' O, temos que 11 e 11... é mínimo. A partir de (5.59) podemos obter uma estimativa quantitativa para a norma do erro de energia 11 e 11.., estimando 11 u - ü li..,• em que Ü E U" é uma escolha adequada para a função auxiliar definida no mesmo subespaço como a solução por elementos finitos. Denotamos o erro da função auxiliar no elemento i como êJ = u - ü para (i - l)h :5 x :5 ih, em que h = lln é o comprimento de n elementos de tamanho igual. Escolhamos a função auxiliar ü E U" como sendo uma função 9e interpolação linear tal que ela seja igual à solução exata nos nós dos elementos finitos, isto é, Ú(x1) = u(x1), como mostrado na Figura 5.16. Note que para problemas unidimensionais a função de interpolação coincide com a solução por elementos finitos (vela Exemplo 5.1). A derivada da função de interpolação dü no elemento i é dada por dx
dÜ (X) = Ü(XJ+I)- Ü(XJ) dx em que x1 X1
= (i -
1)h e x.J+ 1
XJ+l -XJ
.
1
= ih. Pelo teorema do valor médio (veja Apêndice A3), existe um ponto c no intervalo
:5 C :5 XI+ I tal que
dü du -=-(c)
dx
Agora expandimos a derivada da solução exata em tomo do ponto c satisfazendo (5.60):
(5.60)
dx
du . JJ-xl usando a formula de Taylor com resíduo (veja Apêndice A3) ·
du du ~u dx (x) =:= dx (c)+ (x- c) tJx2 ((),
(5.61)
Em que c :5 t :5 x. Subtraindo
~5.60) de (5.61) e considerando que 1: (()I :5 ex, temos (i- l)h $X$ ih.
(5.62)
A norma do erro de energia na função de interpolação pode ser limitada como · (5.63)
em queA(x)E(x) :5 K. Denotando nh = I e lembrando que a norma da energia do erro da solução por elementos finitos é menor ou igual à norma da energia do erro da função de interpolação, temos
11 e llen:S
JiKlrt. Jil = Ch. 2
(5.64)
A estimativa de erro para elementos de ordem superior pode ser obtida de forma similar como para o elemento linear, exceto que uma fórmula de Taylor de ordem superior com resíduo tem de ser usada nesse caso (veja Problema 5.5 ·para estimativa de erro'em elementos quadráticos). Pode ser mostrado·.q ue a norma de energia do erro·para elementos
94 CAPITULOCINCO dP+lu
finitos de ordemp é limitada por (5.54), contanto que a derivadap
+ 1 da solução exata seja limitada, l dxf+l
(()
I
~a:.
Em (5.54), C é independente de h (veja Strang e Fix [1981)). 4 5. 7 MEF PARA A EQUAÇÃO DE ADVEC ÇÃO-D IFUSÃ 0
procedimento anterior: Para obter as equações discretas para o problema de advecção-difusão, usamos o mesmo os na formulação substiruím as forma, de funções expressamos a função peso e a solução tentativa em termos das equação. a deduzir para peso funções fraca e usamos a arbitrariedade das elementos finitos para A formulação fraca desenvolvida na Seção 3.8.2 é usada com as aproximações usuais em em nós essenpartidas são nodais variáveis As ente. respectivam as funções peso e soluções tentativas, (5.2) e (5.3), por dados são peso função da e tentativa solução da nodais valores ciais e livres, e os
, as funções peso e as em que dE são estabelecidas para satisfazer as condições de contorno essenciais. Entretanto soluções tentativa são admissíveis. o procedimento Subdividimos o domínio ü em elementos ü•. Substiruindo (5.2) e (5.3) em (3.74) e seguindo dado na Seção 5.1 obtemos
f
A'v'N'TB ' dxd'+
f
-f
A'k'B'TB ' dxd'
rl'
rl'
N'Tsdx- (A'N'Tq)l , ~
K'D
K'•
=0.
r,
n-
(5.65)
As matrizes do elemento, como indicado pelos termos grifados são
f K~ = f
(a) K0 =
A'k•B•TB• dx,
rl'
(b)
(5.66)
A•v•N•TB• dx.
rl'
que é dada em (5.22). A A matriz K~ considera a difusão e é idêntica à matriz que desenvolvemos na Seção 5.3, ser constante de acordo precisa velocidade a com área da produto O matriz K~ considera a advecção (convecção). com (3.65). · As matrizes do elemento são
K'
= K0 +K~.
de difusão, a Equação A matriz força do elemento ft é idêntica àquela para a equação de condução àe calor ou equação (5.65). em grifado termo pelo (5.22), como indicado anteriormente, e as As matrizes do elemento são montadas por dispersão e por adição dos coeficientes descritos 4). (5.32)-(5.3 Equações nas equações algébricas lineares resultantes serão resolvidas como concreto da falta Como pode ser visto em (5.66b), a matriz advecção não é simétrica. Para fornecer um exemplo A' e velocidade constante área com nós dois com linear elemento um para advecção matriz a de simetria, avaliamos v' usando (5.66b):
I
=v'A'
f[ o
= v'A'
[
- (1-Ç) 1- {]
ç
-{
d{
-~2 ~] -- [-1 2 =~A' 1 1 1
2
-
2 2
'Recomendado pan a Traj etória Avançada.
.,.
----------------~~----------------------------------
Formulação de Elementos Anltos para Problemas Unidimensionais 95
A matriz sistema, que é obtida pela montagem das matrizes de advecção e de difusividade, também não será simétrica. Essa é a diferença mais importante dos modelos de elementos finitos que estudamos anteriormente. A matriz do sistema em geral não é definida como positiva. Isso póde ser visto pela consideração do caso quando k =O. Fazendo z1 = [1, O] e avaliando zl){~z. obtemos zl]{~z = -(v'A'/2)
I
~ Exemplo 5.3 Problema de advecção-difus ão
Resolva a equação unidimensional de advecção-
.
.
dO tPe v--k-=0 dx tJx2 . '
(5.67)
com as condições de contorno
8(0) A área A< = A
=o,
8(10)
= 1.
= 1,0. Use elementos finitos lineares 8 e urna malha de 20 elementos com nós uniformemente
espaçados. Seja v = 2 e k = 5 de forma que o número de Peclet P,
=~
= 0.1. Repita para P, = 3,0.
As matrizes do elemento para todos os elementos são as mesmas. As matrizes do elemento são dadas por
K' = K'
O+
K' =vA'[-1 A 2 - 1
+1]+kA'[ 1 -l] = kA.[1-P, [< - 1 1 1• -1-Pe
+1
- l+P•]. l+Pe
Substituindo nos valores para k, A•, e 1•, obtemos o seguinte:
• para nós I com l Lzo + 2d11 =O. As soluções para P, = 0,1 e P. = 3,0 são comparadas com a solução exata na Figura 5.17. Pode ser visto que a solução pelo MEF é bastante boa para P, = 0,1. Entretanto, a solução oscila extraordinariamente para P = 3,0. Isso é chamado de instabilidade espacial. Para altos valores do' ndmero de Peclet, iSto é, quando domina a'advecção, técnicas especiais devem ser desenvolvidas para obter soluções exatas da equação de advecção-difusão. Uma dessas técnicas está descrita no Capftulo 8; registros em livros-te:xto podem ser achados em Donea e Huerta (2003). Essas técnicas são muito importantes nas dinâmicas dos fluidos computacionais, porque muitas de suas equações são dessa forma.
P • ..0,1
P.-3
0,9
ois
0,8 0,6
0,7
0,4
0,6 CD
0,5
CD
0,2
0,4 0,3 0;2..
-<>.2
0,1
-<>.4
ó
-<>.60
Figura 5.17 Soluções da Equação (5.67) exata e pelo MEF para P.
· ·· · 'i
-· .. ··--·-
2
3
..
s
6
7
8
X
= 0,1 (esquerda) e P, = 3 (direita).
9
10
96 CAPíTuLO CINCO
REFERÊNCIAS
, John Wiley & Sons, Ltd, Chichester. Donea, J. and Huerta, A. (2003) Finite Element Methods for Flow Problems rnethod in one dirnension. Numer. element finite the of ns hp-versio Gui, W. and Babuska, I. (1986) The h·, p- and 577-683. 49, Math., Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ. Strang, G. and Fix, GJ. (1981) An Analysis of the Finiu Elemenr Method, od Cliffs, NJ. Hughes, TJ.R. ( 1987) The Finite Element Method, Prentice Hall, Englewo
Proble mas Problema 5.1 A barra possui uma seção tt:msversal unitária, Considere um problema de condução de calor no domínio [0, 20]m. 1 1 1 calor uniform es= 100 W m- • As condições condutividade térmica constante k = 5 W oc- m- e uma fonte de lineares iguais. os element dois com a problem de contorn o são T(x = O) = ooc e q(x = 20) = O wm-l. Resolva o por T(x) = dada é que exata solução a com compare e x Desenhe a solução por elementos finitos 'P'(x) e d'P'(x)/d
-lOr + 400x. Problema 5.2
os de tamanho igual) usando o programa Repita o Problema 5.1 com malhas uniformes com 4, 8 e 16 elementos (element exata. Faça o gráfico do erro na condição de MA1LAB. Compare as soluções por elementos finitos com a solução contorno natural, conforme a malha é refinada. Qual é o modelo? ~
Problema 5.3 x
As dimensões estão em metros. A barra possui Considere um problema de condução de ~or mostrado na Figura 5.18. e k = 5 W oc- 1 m- 1 e uma fonte de calor constant térmica idade condutiv e, constant uma seção transversal unitária constan tes como mostrado na Figura 5.18.
[f f Figura 5.18 Condução de calor do Problema 5.3.
As condições de contorno são T(x = I) = 100 oc e T(x = 4) =O °C. 5.19. Divida a barra em dois elementos (n,, = 2) conforme mostrado na Figura
(1)
(2)
======:3~ X --~======~5:======3E X;,_ 3 Figura 5.19 Malha de elementos finitos para o Problema 5.3.
= 3), enquanto o elemento 2 é um elemento Observe que o elemento 1 é um elemento (quadrático) com três nós (n,. com dois nós (n.,. = 2). analiticamente. Determine as distribuições a. Estabeleça a formulação forte representando o fluxo de calor e resolva de temperarura e de fluxo. fonte global. Note que a matriz de fluxo b. Constru a as matrizes fonte do elemento e as monte para obter a matriz de contorn o é zero. a matriz de condutância global. c. Constru a as matrizes condutãncia do elemento e as monte para obter ções de temperatura analítica (exata) distribui as d. Determine a distribuição de temperatura usando o MEF. Esboce epeloM EF. ções de fluxo, exata e pelo MEF. e. Determine a distribuição de fluxo usando o MEF. Esboce as distribui
-~ Problema 5.4
A barra está restringida em ambas as É dado. um problem a de elasticidade conform e m~s~rado na figura 5.20. 2 ) no segffiento AB e varia lioeairnente ( O, = (A e constant é sal transver extremidades (A e C). Sua área de seção
m
Formu1açio de Elementos AnltDs para Problemas Unldlmenslonals
!f1
= 0,5(x- 1) no segmento BC. O módulo de Young é E= 2 X Pa. Uma carga distribuída b 10 Nm·' está aplicada ao longo da porção esquerda AB da barra e uma força pontual P = 150 N age no ponto B. A geometria. propriedades do material, cargas e condições de contorno sãÕ dadas na Figura 5.20a. Use um elemento com três nós sobreAB (n, = 3) e um elemento com dois nós sobre BC (n.,. = 2) conforme mostrado na Figura 5.20b. As dimensões na Figura 5.20 estão em metros. m1
A
a. b. c. d.
=
107
Construa as matrizes de força de campo do elemento e as monte para obter a matriz de força global. Construa as matrizes de rigidez do elemento e as monte para obt:r a matriz de rigidez global. Determine e esboce os deslocamentos dos eJementos finitos. Determine e esboce as tensões nos elementos finitos.
b= lONm-1 P= 150N (a)
I
;tA=
(b) A
•
I
IX(:=5 c
B
D
•
~
lxs =3
I
•
• 4
3
X
·c
B
A
2
(1)
(2)
Figura 5.20 (a) Geomelria. propriedades do material. cargas e condições de contorno para uma barra com uma área de seçlo transversal variável; (b) o model!> dos elementos finitos.·
Problema 5.5 Considere um problema de tensão axial dado na Figura 5.21. A barra possui uma área de seção transversal variando linearmente A = (x + 1) m2 na região Om < x < 1 m e uma área de seção transversal constante A = 0,2 m 2 na região 1 m < x < 2 m. O módulo de Young é E = 5 X 107 Pa. A barra está sujeita à carga pontual P = -200 Nem x 0,75 me a um carregamento distribuído variando quadraticamente b Nm-• na região 1 m < x <2m. A barra está restringida em x = Om e a tração é livre em x = 2 m.
=
=r
u(x
=0) = O
P (x = 314) = - 200
b(x)
=x 2
~:~m~~~=B®I~~-~~RiE-~-~-~-:3 o(x= Z> =~
x =O
x=I
x=2
Figura 5.21 Dados para o Problema 5.5.
Use um elemento quadrático simples (n.., = 3, n" = 1) com un( nó central emx = 1. 1. Construa a matriz de rigidez e a matriz força do elemento e execute a quadnitura de G~uss da matriz de rigidez do elemento usando a integração cóm um ponto e a matriz ae força de campo usando a quadratura de Gauss com dois pontos. 2. Resolva o sistema de equações lineares e determine os.deslocamentos nodais e tensões no elemento. 3. Determine a distribuição de tensões exata e compare-a com a solução por elementos finitos. 4. Sugir:Lcomo melhorar o modelo de elementos fuútos para obter resultados-mais-exatos.
Problema 5.6 Considere uma fonnulaçiio fraca dada em (5.26). Prove que para funções suficientemente suaves (possuindo derivadas p + l limitadas), o erro na nonna de energia da solução finita de ordem p 2 é limitarlo por 11 e lln s aJJVl. Siga os passos a seguir para provar a limitação.
=
..
a. Em cada elemento, expanda a temperatura exata usando a fórmula de Taylor com resíduo até a ordem quadrática. · Mostre que existe um ponto c dentro do domínio do elemento tal que
filT (c)= T(x3)- 2T(x2 ) + T(x1)
tfx2
(1/2) 2
-........
o~ c~ '
l,
98
CAPiTULO CINCO
b. Em cada domí.nio do elemento, considere uma função de interpolação quadrática f para ser exata em três pontos: Í\x 1) : : T(x 1). Í\x2) = T(x2), f
dT
.d x =a +bx,
em que a e b são expressos em termos das temperaturas nodais exatas. e. Mostre que existe uma constante c no intervalo Os c :S I para o qual os coeficientes das temperaturas exata e de interpolação até a ordem linear são idênticas.
Problema 5.7 Modifique o código de elementos finitos MATLAB para problemas de condução de calor em uma dimensão. a. Renomeie as variáveis para eliminar a confusão. b. Use o seu código para resolver o Problema 5.1. c. Compare os resultados do programa MATI..AB com seus cálculos manuais no Problema 5.1.
Problema 5.8 Desenvolva equações de elementos finitos para condução de calor com convecção superficial. A formulação forte nesse caso é dada por
0 $X $1, em que k, A, h,
f3 e T._. são constantes, f3
= 21Tr é o perímetro da aleta.
Problema 5.9 Modifique o código MATI..AB de elementos finitos para resolver o problema de condução de calor com convecção superficial (veja Problema 5.8). Considere também "as condições de contorno de convecção
-q=h(T-T00 )
em x=O ou x=l.
Usando o código MATLAB de elementos finitos, resolva o problema com os seguintes parâmetros:
k ""400 Wm-1 oc-t ,
Too
I= 0,1m,
h
=3.000 wm- 2 oc-t '
r
= 10- 2 m (raio do pino),
= 20"C.
Condições de contorno: T(O) = 80°C; -q == h(T- Tj em X= I. Determine a temperatura e o fluxo com malhas de elementos finitos uniformes consistindo em dois, quatro e oito elementos.
Problema 5.1 O No MEF formulado nesse capítulo, as funções peso e as soluções tentativa foram aproximadas usando o mesmo conjunto de funções de forma. Isso é conhecido como o MEF de Galerkin. No método de aproximação alternativa, conhecido corno o método da colocação por subdomínio, as funções peso são escolhidas para serem unitárias sobre uma porção do domínio (p. ex., domínio do elemento) e zero nas outras partes:
w'(x)- { 1 em O . em -
X
E
n•.
x~n· .
a. Deduza a formulação fraca para o método da colocação por subdomínio. b. Deduza as equações discretas. . c. Resolva o Problema 5.1 e compare os resultados com o MEF de Galerkin e com a solução exata. A matriz de rigidez é simétrica? d. Quão exato é o método da colocação por subdomínio comparado com o de Galerkin? Por quê?
Problema 5.11 Repita o Problema 5.10, mas em vez do método da colocação por subdomínio, considere o método da colocação pontual. No método da colocação pontual, a função peso é escolhida para ser a função delta de Dirac w(x) == ô(x os x.). Os x. referem-se aos pontos de colocação selecionados pelo analista. Ao considerar o· Problema 5.1, localize · · finitos. pontos de colocação nos nós dos elementos
Fonnulaçáo de Elementos Anltos para Problemas Unidimensionais 99
Problema 5.12 Dada uma bárra elástica de comprimento l = 4 m com área de seção transversal constante A = O, 1 m 2 e um módulo de Young_constante por partes conforme mostr~do na Figura 5.22. A barra está restrita em x = 4 m, e uma tração prescrita t = 500 N m- 2 age em x = Om na direção positiva do eixo x. Considere uma malha de elementos finitos que consiste em um único elemento com dois nós (nd = 1, n.,. = 2).
E1 =10~Nim1
E2=
tifNtm 2
..
X
r~~~~-m~%.~:t~<*f~ x=O
x=/12
· x=l
Figura 5.22 Uma barra com o módulo de Young constante por partes.
a. Construa a matriz de rigidez usando uma integração exata.
o.
Construa a matriz de força. c. Determine os deslocamentos e deformaÇões usando o MEF. d. Modele o problema com dois elementos tipo mola; resolva para os deslocamentos desconhecidos usando as técnicas que você aprendeu no Capítulo 2. e. Compare os resultados de c e d. Qual deles é melhor? f. Se você modelar a barra com dois elementos lineares (n.. = 2, n,. = 2) ou coni um elemento quadrático (ncl = 1, ncn = 3), qual deles vai dar uma solução mais exata das deformações? g. Que malha de elementos finitos é ótima para esse problema? Uma malha ótima é definida como aquela que fornece a melhor solução unidimensional (para deslocamentos e tensões) com o mínimo de nós de elementos finitos. h. Em termos de projeto de malhas de elementos finitos, que tipo de recomendação você pode fazer com base nos resultados desse problema?
/ ) Problema 5.13 Considere um elemento quadrático com três nós em uma dimensão com nós espaçados desigualmente (Figura 5.23).
X
Figura 5.23 Dados para o Problema 5.13.
a. Obtenha a matriz B•. b.' Considere um elemento com x 1 = O, x 2 = 1/4, e x3 = 1. Avalie a deformação e em termos de u 2 eu, (u 1 = 0), e cheque o que acontece quando Çse aproxima de O. c. Se você avaliar K• por uma quadratura de um ponto usando B•TE•A•DB• para as mesmas coordenadas que em (b) ~o nó !_ :estrito_ (isto_é,~ ~ _Q)_1~K• é_inyertfvel? .. ________ _ d. Se u(x) na parte (b) é dado por (112)xl nos nós, e = x?
-;") Problema 5.14 ./
Considere uma barra cônica {Figura 5.24) com a área de seção transversal dada por
A({)= A 1 (1- {) +Az{,
onde
X {=I·
a. Obtenha a rigidez do elemento para um elemento de deslocamento linear, com o módulo de Young igual a E, pelo uso de K' f B'TDB dD.
= O'
.
b. Obtenha a matriz de rigidez K• usando o campo de deslocamento
· u:::: ({) = u1 -Huz - u1)e.
100 CAPITULO CINCO
Figura 5.24 Barca cônica para o Problema 5.14.
Adapte o resultado para A 1 = uma extremidade?
A.;esta resposta faz sentido? Qual é a tensão quando você aplica uma força F em
Problema 5.15 o com dois elementos Considere uma barra com área de seção transversal constante A e módulo de Young E discretizad ex. b(x) linear finitos conforme mostrado na Figura 5.25. A barra está sujeita à força de campo
=
X
x=O Figura 5.25 Estrutura da barra com dois elementos para o Problema 5.15.
a. Calcule a rigidez do elemento e as matrizes de força. L•T~ dão a mesma matriz de rigidez e a mesma matriz de forças externas como a b. Mostre que L L;K.L. e 2: t t montagem direta; c. Obtenha a solução por elementos finitos e desenhe u(x) e e(x); d. Compare com a solução da formulaçã o fechada.
~=
2:dL
x :. O LJ2
·+·
·I.,
LJ2
I
-I
...~
o
Figura 5.26 Um elemento quadrático único para o Problema 5.16.
Problema 5.16
nto quadrático u(x) = a 1 + Considere um elemento de barra mostrado na Figura 5.26 com um campo de deslocame
a.zx +a.;?. use os interpolantes a. Expresse o campo de deslocamento em termos dos deslocamentos nodais d 1, d 2, d3 • (Sugestão: quadráticos nas coordenadas locais O que a matriz de força b. Para um campo de forças de campo linear b(Ç) = b1 (1/2)(1 - Ç) + bp /2)( 1 + Ç) mostre ]T. b ) b externa é dada por f' = (U6)[b 1 2(b1 + 3 3 c. Desenvolva a matriz B• tal que e= dí:iu = B'd', d'T = (u 1, u2, u3). .
X
d. Mostre que a matriz de rigidez do elemento K,
=f
n,
B'TE• A'B' df!, é dada por K.
.
[~81 L
= A3E
7: -8
1 8]. 7
· Fonnulação de Elementos Finitos para-Problemas Unidimensionais 101
e.
Useumelemento-de~locamentoquadráticocomtrêsnóspararesolverporelementosfinitos Etflu = -b(x) =-ex, u(- L/2)
= u(U2) =
-
O.
dx2
f. Compare os resultados do MEF com a solução exata para u(x), o{x).
Problema 5.17 Considere a malha mostrada na Figura 5.27. O modelo consiste em dois elementos de deformação constante e deslocamento linear. A área da seção transversal é A = l, o módulo de Young é E; ambos são constantes. Uma força de campo b(x) ex é aplicada.
=
X
L
--1~~<~1•"--L
Figura 5.27 Malha dos elementos com dois nós do Problema 5.17.
a. Resolva e desenhe u(x) e e(x) para a solução pelo MEF. b. Compare (em um gráfico) a solução por elementos finitos com a solução exata para a equação
tPu
E dx2
= -b(x) = -ex.
c. Resolva esse problema usando um simples elemento de deslocamento quadrático. d. Compare a exatidão da tensão e do deslocamento na extremidade direita com aquela de dois elementos de deslo· camento linear. e. Verifique se a eq1.1ação de equiliôrio e a condição de contorno de tração são satisfeitas para as duas malhas.
.· .
~,
.
6 Formulações Forte e·fraca para Problemas de Campo Escalar Multidimensionais os próximos três capítulos, vamos reconstituir o mesmo caminho trilhado nos problemas unidimensionais, com o objetivo de abordar os problemas multidimensionais. Novamente, seguiremos o esquema da Figura 3.1, iniciando com o desenvolvimento da formulação forte e da formulação fraca neste capítulo. Entretanto, consideraremos uma classe de problemas mais específica; chamamos esses problemas de escalares, porque as incógnitas são grandezas ét dos que serão desenvolvidos neste ca ítulo a licam-se a roblemas escalares, como temperatura ou potencial. como condução de calor em regime permanente, escoamento de flui o ideal, campos elétricos e difusão-advecção. Para fornecer uma base física a esses desenvolvimentos, vamos nos concentrar na condução de calor em duas dimensões, mas outros detalhes serão dados para outras aplicações. Como pode ser visto no esquema da Figura 3.1, o primeiro passo no desenvolvimento de um método de elementos finitos é deduzir as equações de governo e as condi ões de contorno, ue são a formula ão forte. Veremos que em duas dimensões, exatamente como antes, teremos cond1çoes e contornos essenciais e naturais. Usando uma fórmula similar para integrar por partes, desenvolveremos então uma formulação fraca. Finalmente, mostraremos que a formulação fraca implica na formulação forte, de modo que podemos usar aproximações de elementos finitos para as soluções tentativas com o objetivo de obter soluções aproximadas para a formulação forte pela resolução da formulação fraca. Um aspecto que realçará na extensão para duas dimensões é a sua similaridade à fortnulação para uma dimensão. A maioria das equações em duas dimensões é estruturalmente quase idêntica àquela em uma dimensão, de forma que a maior parte do esforço de aprendizagem pode ser dedicada à compreensão daquilo que essas expressões significam em duas dimensões. As expressões para as fortnulações forte e fraca em duas dimensões, a propósito, são idênticas àquelas para três dimensões, e ao final do capítulo daremos uma breve descrição de como são aplicadas para três dimensões. ~I mente. na..Jl[ática de ~nharia, a maioria das análises é realizada em três dimensões, de forma que é importante ter conhecimento da teoria em três dimensõ~ A extensão de duas para três dimensões é quase trivial (nortnalmente, evitamos a palavra "trivial" neste livro porque ela é usada demais em textos, e o que parece trivial para um autor pode ser muito difícil para outro mas a extensão de duas dimensões para três dimensões é, de fato, trivial). Uma complicação na extensão do método para duas dimensões está na notação. f;m duas dimensões, as variáveis comÕ fluxo de calor e deslocamento são vetores. Você certamente lidou com vetores na ffsica elementar. Vetores são ~as fís1cas .que possuem módulo e direção, e podem ser expressos em termos de componentes e de u~ ~- Denotaremos os vetores com setas sobrepostas, tais como i_que é a matriz de fluxo. Sejam os vetores unitá-
N
Fonnulaçóes Forte e Fraca para Problemas de Campo Escalar Multidimensionals 103 rios T e J nas direções x e y; esses são freqüenteme~te chamados de base dos vetores do sistema de coordenadas. Assim, o vetor ij pode ser expresso em termos de suas com~~entes por ·. o·::·
(6.1) em que q, e q são as componentes x e y do vetor, res~tivamente. . 1 Quando deduzimos as equações de elementos finitos, é conveniente usar a notação de matriz: úma matriz coluna pode s~r usada para descrever um vetor listando as componentes do vetor na ordem' como mostrãdo -a ségúir:
q
q
= [:;].
(6.2)
Embora não seja essencial para compreender profundamente a diferença entre -..:etores e matrizes neste ponto, um vetor difere de uma matriz: um vetor QeCSOnifica a direção de uma grandeza física, ao passo que uma matriz é apenas um arranjo de números. Daremos a maior parte das ~xpressões das formulações forte e fraca tanto na notação vetorial quanto na matricial. Nas equações de elementos finitos, usaremos apenas notação matricial. Você verá que a dedução das formulações fraca e forte em notação matricial é um pouco desajeitada e difere das formas comumente vistas no cálculo e na física avançadas. Assim, se você conhece notação vetorial pelo que foi ensinado nesses cursos, pode achar preferível usar notação vetorial para o material deste capítulo. A transição para a notação matricial é bastante fácil. Ao contrário, algumas pessoas preferem aprender ambas as partes na notação matricial por causa da coerência. _. Uma importante operação em métodos vetoriais é oJiif!i!J.jjíó.esCglif;yJ produto escalar de dois vetores em coordenadas cartesianas é a soma dos produtos das componentes dos vetores; o produto escalar de ij com um vetor r é dado por
O produto escalar é comutativo, a ordem dos dois vetores não importa. Se considerarmos duas matrizes q e r que contenham as componentes de ij e respectivamente, então o produto escalar é escrito como
r,
qTr = lqx· qy] [ ~;]
= q:cr:c + qyry.
Logo, escrever o produto escalar em termos das matrizes requer achar a transposta da primeira matriz. Pode ser facilmente mostrado que qTr rTq. Quando expressões vetoriais são Inânipuladas na forma matricial, é importante tratar cuidadosamente a operação de transposição. · - - -Outra importante operação em métodos vetoriais é o/gradiente/ O mcl!.el!te ~uma medida da inclin_a.~ ~~. ele é a vers o bi · d ri.Y~ O operador vetor gradiente é definido por*
=
- (-ô -ô)
V= iãX+j-ãj . ~ O gradiente de uma função 8(x, y) é obtido pela aplicação do operador gradiente à função, o que fornece
-
-88
-88
v e= i ôx + j ôy. Observe que substituímos simplesmente o ponto em frente ao ( ) por 8(x, y). O gradiente de urna função dá a direção da descida mais íngreme. Em outras palavras, s~você imagina a ~o como uma p~ta de-~ui, o gradiente lhe dá ª-- ·_ ão ao lon o da ual você desceria mais iá2!@. Mais à frente, isto~ ilustrado no Exêmplo 6.1. · O produto escalar do operador gradiente com um campo vetorial dá o ~do campo vetorial. O~11!!9 dive!Sente 2_fOvavelmente se originou na mecânica dos fluidos, e se refere ao escoamento ~.!!_tej_e um ~· Veremos depois que o divergente do fluxo de calor é igual ao calor que flui de um ponto (a parcela negativa do termo __ fon~:..=~ u~a s!~.~~~? ~-~~!!_o ~rrnanente). Q. div~~ente de um vetor é obtido tomando-se o produto escalar do operador gracJ.i~l!.te V e _ij~q~J~
q
"v • q- = (-:1 ôx ô + J-:ôy ô ) · (q.z-: + q-,1-:) ôq. Ôqy di = ôx + ôy = v q. Observe que o divergente de um campo vetorial é um escalar. Como indicado na última expressão, o operador diver_gente é freqUentemente escrito com a simples abreviatura "div" precedendo o vetor. As expressões anteriores podem ser escritas na forma matricial, como se segue. O operador gradiente ~ definido como uma matriz coluna. Logo
•o símbolo V 6 chan\ado de nabla, nome originário de uma palavní grega para utna harpa com·torma semelhante ao sfmbolo. (N.T.)
104 CAPITULO SEIS •
e
A forma matricial do divergente é escrita pela substituição do ponto no produto escalar por uma posição, de modo que divq
operação de trans-
=v ·q =vTq.
seta é colocada sobre É importante observar que quando escrevemos o operador gradiente em notação vetorial, uma omitida. o símbolo nabla; na notação matricial, a seta é são muito famiNa seqüência, os estudantes devem usar a notação que lhes for a mais natural. Aqueles que não prontamente. mais entender podem liarizados com notação, devem primeiro pesquisar no material e ver qual delas da. recomenda é Para estudantes avançados, uma familiaridade com ambas as notações
6.1
TEOREMA DA DIVERGÊNCIA E FÓRMULA DE GREEN Vamos freqüenteAs duas equações para duas dimensões serão desenvolvidas para um corpo de forma arbitrária. Seguiremos a lidando. estamos que mente nos referir aos pontos no interior do corpo como o domínio do problema dessa figura idéia a 6.l(b); Figura na mostrado como seguir a prática comum e desenharemos esse corpo arbitrário, valem seguem se que deduções as corpo: do forma a sobre restrição qualquer é tentar transmitir que não colocamos seja batatas em calor de condução a embora batata, de chamado vezes muitas é corpo Esse para formas arbitrárias. furos, ter pode corpo o a: complicad mais muito de pouco interesse. Vale a pena ratificar que a forma pode de fato ser é denotado por r. pode ter quinas e consistir em diferentes materiais com interfaces entre si. O contomó do domínio a objetos referem-se símbolos os agora mas anteriores, capítulos dos àquela idêntica é Note que nossa nomenclarura aparentes te prontamen são dimensões duas e uma em definições as entre ências correspond As mais complicados. pela comparação da Figura 6.l(a) e da Figura 6.l(b). 6.l(b) e é dado O vetor unitário normal ao domínio, denotado por ii, é mostrado em um ponto típico na Figura por (6.3)
chamado de vetor e n, e n1 são as componentes .x e y do vetor unitário normal, respectivamente; esse vetor é também . 1 = + que significa isso unitário, vetor um é ii o normal ou simplesmente de~om (3.16). para um .9 _9Qjetivo desta s~ § desenvolver a fó~ula co~s~ndente à integração J.>ll!~ 3: volvemos no Capítulo te s: .
n; n;
j do:)
dx
= (Bn)lr·
(6.4)
n que apontam na Lembre-se de que o contorno consiste nos dois pontos extremos do domínio e nos normais unitários I. = x em x eixo do positiva direção na e direção negativa do eixo x em x = O A generalização desse enunciado para multidimensões é dada pelo teorema de Green, que estabelece:
n = -1
fl = [0,1]
n = 1X ir=+
~
o..-:::::::::: r ............... / (a)
(b)
Figura 6.1 (a) Domínio em uma dimensão e (b) domínio em duas dimensões.
··
Formulaç6es Forte e Fraca para Problemas de Campo Escalar Multldimenslonals 105
Se B(x, y) E CJ e é integrável, então
fvociD. =f o;;di' n
JveciD. =f
ou
r
n
(6.5)
Bndi'.
r
Note a similaridade de (6.4) e (6.5); o operador dldx é simplesmente substituído pelo gradiente V. De fato, dldx pode ser considerado a versão unidimensional do gradiente. Por isso, a forma ·unidimerisional (6.4) nada mais é que um caso especial de (6.5). A Equação (6.5) também se aplica a três dimensões. A prova do teorema de Green é dada no Apêndice A4. Usando a equação anterior, desenvolveremos agora um teorema que relaciona a integral de superffcie do divergente ãe um campo vetorial pua a integral de contorno de um campo vetorial, que é chamado de teorema da diverg€ncia. E e estabelece que se q possui um grau de-rontinuidade c~ e é integrável; então
f v ijcll. =f ij o
n
o
f vtqcll. =f qTudi'.
iidl' ou
r
n
(6.6)
r
Observe que (6.5) em duas dimensões representa duas equações escalares (a)
f
f:df2= Bnxdi', n r
(b)
f: n
cll. = IfJn,di'.
(6.7)
r
Seja 8 = qz em (6.7a) e B = qY em (6.7b), e a soma deles gera
fn (i:+ i;)
df2
=f (qxnx +q n
1 1)
di'
fv. ijcll. =f q. iidl',
OU
n
r
(6.8)
r
que é o teorema da divergência dado em (6.6). Afónnula de Green, que é deduzida a seguir, é a versão da integração por partes em uma dimensão. Ela estabelece que
f wV ·qcll. =f wq ·iidl'- f Vw. qcll. n
r
ou
n
Ô
"\/· (wq) = ÔX (wqz)
wVTqdf2
n
Para desenvolver a fórmula de Green. primeiro avaliamos -
f
+&y (wq Ô
1)
=
=f wqTndi'- f (Vw)Tqcill.. r
n
V· (w(j) pela derivada de uma regra do produto: Ôq ax qz + w ax +{)W &y q., +w7i;
&w
Ôqx
1
=~(~~+i;)+ (:qx+ ~q,) =wV ·q+Vw·q. '---v--'
;ç, .q
(6.9)
;ç,w . q
Observe que podemos escrever imediatamente o último passo desse desenvolvimento, se pensarmos no gradiente como uma derivada generalizada e colocarmos pontos entre dois vetores quaisquer. Integrando (6.9) sobre o domínio, obtemos
fv. (wv ciD. =f wv. iJcll. + fvw .qdn. n
n
(6.10)
n
Aplicando o teorema da divergência para o primeiro membro de (6.10) e então rearranjando os termos, obtemos a fórmula de Green:
f wv. iJciD. =f wr;. iidi'- jvw. qcll.. n
r
(6.11)
n
É _!pte~san~ observar ~e para up domínio retangular l X 1 com um fluxo de calor unidimen'!>ional, em que q = = ni ,n(O) =-i ,n(l) =i, temos
q) en
(6.12) Escolhendo apenas funções de x para w, isto é, w(x), e integrando (6.12) em y, a equação anterior reduz-se à fórmula para integração por·partes em unidimensional (3.16), que é repetida a seguir.
106 CAPiTULO SEIS
(6.13)
fórmula de Green e Observe a similaridade de (6.11) e (6.13). Como leituras adicionais sobre o teorema de Green, a (1969) para um vem Mal e a introdutóri o teorema da divergência, recomendamos Fung (I 994) para uma abordagem tratamento mais avançado.
~ Exemplo 6.1
8 = r + 2y2. Seja É dado um donúnio retangular como mostrado na Figura 6.2. Considere urna função escalar urna função é quais das longo ao linhas q o gradiente de 9 definido como q = V9. As linhas de contorno são constante. (a) Encontre a normal para a linha de contorno de 9 passando pelo ponto x = y = 0,5. (b) Verifique o teorema da divergência para q. O vetor gradiente
q é dado como
D
-1
X
-1
A
B
Figura 6.2 Domínio usado para ilustração do teorema da divergência.
.
.
.
Figura 6.3 Linhas de contorno de uma função 9 = :i' +
2y e seu gradiente.
Formulações Forta e ffaca para Problemas de campo Escalar Muftidlménslonals 101
A Figura 6.3 representa as linhas de contorno de 8 e o vetor gradiente q. Pode-se ver que qé normal para as linhas de contorno e seu módulo represe.nta a inclinação de ee.m um ponto qualquer. 0 gradiente de eem X = y = 0,5 é
q(0,5, 0,5) =
1+ 2]
No ponto x = y = 0,5, o valor do campo escalar 6é 6(0,5, 0,5) = 0,75. O vetor unitário normal à linha de contorno
r + 2y- 0,75 = Ono ponto x = y = 0,5 é obtido pela divisão do vetor.q pelo seu módulo, o que dá n(o,s, o,s) = ~ (l + 2]).
Vamos agora verificar o teorema da divergÇncia. Os vetores unitários normais aos quatro contornos do domínio · ABCihão·mostrados na Figura 6.2. Para verificar o teorema da ~vergencia (6.6), primeiro avaliamos o integrando no primeiro membro de (6.6): Ôqx ôq., "V. q = - +- = 2 + 4 = 6. ôx {Jy
Integrando a expressão sobre o domínio do problema, obtemos
O cálculo da integral de contorno no sentido anti-horário foroece
f <-4y)~+ f 2x~+ f 4y~+ f (-2x)~ =f f f f
fq ·ndf'= r
dx
AB
I
4dx+
-1
dy
BC
I
CD
I
2dy+
-1
-dx
-dy
DA
I
4dx+
- 1
2dx = 24.
- 1
Assim, verificamos o teorema da divergencia para esse exemplo.
~ Exemplo 6.2 Dado um campo vetorialqz = 3ry +f, q = 3x +f sobre o domínio mostradonaFigura6.4, verifique o teorema 1 da divergência. O integrando no primeiro membro de (6.6) é dado como - _ Ôqx ôq., . .2 "V. q = ôx + {Jy = 6xy + 3Y •
Integrando a expressão anterior, obtem~s
f v. qem= lo1
2 [
o
rt-o.sx
lo
]
1 [3x(1 - 0,5x) 2 + (1 - 0,5x)3] dx = 1,5. (6xy + 3y)dy r.lx =lo 2
.
Figora 6.4 DomíniÓ ttiangular de.Problema uSado para ilustraÇão do ~re~ da di~dg!ncia.
'
;
108 CAPITuLO SEIS
A integral de contorno calculada no sentido anti-horário sobre AB é 2
f q·nO>dr= f q,.(-J)di'== f -3xdx== -6, = -7.
O
AB
AB
=o
=
sobre AB. dx e y d[ em que n°) Para o cálculo da integral de contorno no sentido anti-horário sobre BC, note que a equação de linha BC é dada por y = 1 - 0,5x e ii<2l = ../5j5(f+ 2]), di'== -../5/2dx sobre BC. A integral de contorno sobre BC é então dada por
f q·
o
ii(Z)
df
=f (q.. i +qJ) '] (7 +2})df =f -4[(3.? +i)+ 2(3x +l)] AB
BC
dx
= 7,75.
2
Finalmente, a integral de contorno no sentido anti-horário sobre CA é
f q·
o
f (qxi + qJ)( -7) df = f Y dy
ij(l) di'=
-r'
=:
-0,25,
I
AB
BC
o
d[ = - dy e X = sobre CA. em que nC3l = A adição das contribuições dos três segmentos fornece
fii·iidr== f ii·ndi'+ f ii·ndi'+f q·ndr =-6+1,15-0,25 =1,5, r
CA
BC
AB
que completa a demonstração de que o teorema da divergência vale para este caso.
6.2
FORMULAÇÃO FORTE1 Para deduzir a formulação forte aplicaremos o balanço de energia para um volume de controle. A formulação forte será completada pelo acréscimo da lei de Fourier, que relaciona o fluxo de calor ao gradiente de temperatura e às condições de contorno. Finalmente, a formulação fraca será estabelecida pela integração do produto da equação de governo e da condição de contorno natural com a função peso sobre os domínios em que elas são válidas. Uma fórmula simétrica é obtida pela aplicação da fórmula de Green (equivalente à integração por partes em uma dimensão). Vamos considerar apenas problemas em regime permanente, no qual a temperarura não é uma função do tempo. Considere urna chapa de espessura unitária mostrada na Figura 6.5(a): a chapa contém uma fonte de calor s(x, y) (energia por unidade de área e tempo). O volume de controle é mostrado na Figura 6.5(b). O balanço de energia no volume de controle requer que o fluxo de calor que sai pelas fronteiras do volume de controle seja igual ao calor gerados. Isso é o mesmo balanço de energia que usamos no Capírulo 3: como o corpo está em regime permanente, a energia interna de qualquer volume de controle precisa permanecer constante, o que significa que o fluxo de calor que sai tem de ser igual à energia calorífica gerada pela fonte. O vetor fluxo pode ser expresso em termos de duas componentes: a componente tangencial ao contorno q, e a componente normal ao contorno q•. A componente tangencial ao contorno q, não contribui para a entrada ou saída de calor no volume de controle. Lembre-se de que
q
q
y
ii
t:.y q,(.x,y + - ) D ,..-----''------, C 2
t
t:.y
O(.x,y)
t:..x q,.(.x- 2,y) .X
A
(a)
Figura 6.5 Definição do problema: (a) domínio de uma chapa com um volume de controle sombreado e (b) fluxos de calor entrando e saindo do volume de controle.
'Recomendado para a Trajetória de Ciências c Engenharia.
Fonnulações Forte e Fraca para Problemas de campo Escalar Multldimensionals 109 2 -1 . n..2 + ")-
A componente normal q• é dada pelo produto escalar do fluxo de calor com a normal ao corpo:
qn
= q · n = qTn = qznz + qyny.
n
(6.14)
Sobre AD, em que = -7' o fluxo d_: c~or entrando é - q. = = qz' enquanto sobre BC, em que = T' o fluxo de calor entrando é - q. = -q · i = -q,. Na Figura 6.5(b), apenas as componentes nonnais do fluxo são mostradas, já que somente estas são as que contribuem para o fluxo de energia no volume de controle. O ballUIÇO de energia no volume de controle é dado por
n
q . (-7)
em que os quatro primeiros termos são o fluxo liquido de calor. Dividindo nição da derivada parcial, obtemos:
esses termos por tull.y e usando a defi-
A equaç.ã o de balanço de energia (depois de uma mudlUiça de sinais) pode então ser escrita como Ôqz
ax
+ Ôqy _ ôy
S
= O '
ou na forma vetorial e matricial: (a)
V·q-s =O
ou divq-i=O
ou (b)
VTq-s =O.
(6.15)
Se lembrarmos da definição do operador divergente, podemos ver que essa equação pode ser obtida apenas por lógica: o primeiro termo é o divergente do fluxo, isto é, o fluxo de calor saindo dé um ponto. O fluxo de calor saindo do ponto V· precisa ser igual ao calor gerado s para mllDter uma qulUitidade constante de energia interna, isto é, uma temperatura constante em um ponto, que leva à Equação (6.15). Lembrando a lei de Fourier para uma dimensão:
q
q
= -k dF dx = -k'VT.
Em duas dimensões, temos duas componentes de fluxo e duas componentes de gradiente de temperatura. Para materiais iso~picos em duas dimensões, a lei de Fourier é dada por:
q=
-kVT ou q
= -kVT,
(6.16)
em que k >O. Como para uma dimensão, o sinal menos em (6.16) reflete o fato de que o calor escoa em direção oposta ao gradiente, isto é, da temperatura mais alta para a mais baixa. Se a condutividade térmica k é constante, a equação de balanço de energia expressa em termos da temperatura é obtida pela substituição de (6.16) em (6.15): (6.17) em que (6.18) A Equação (6.17) é chamada de equação de Poisson e Vl é o chamado operador Laplaciano. Os vetores de fluxo e gradiente de temperatura são relacionados pela generalização da lei de Fourier:
110 CAPillJLO SEIS
ou na forma matricial: (6.19)
q= -DVT,
em que D é a matriz de condutividade. Escrevemos essa equação apenas na forma matricial porque a forma vetorial não pode ser escrita sem tensores de segunda ordem, que não são cobertos neste texto. Substituindo a lei de Fourier generalizada (6.19) na equação de balanço de energia (6.15), obtemos VT(DVT) +s =O.
(6.20)
A matriz D precisa ser positiva, é claro, uma vez que o calor precisa fluir em direção ao decréscimo da temperatura. Para materiais isotrópicos,
o]
·[k
D = O k =ki.
(6.21)
Em duas dimensões, a simetria do material é um importante fator na forma da lei de Fourier. Um material é dito ter simetria isotrópica se as propriedades são as mesmas em qualquer sistema de coordenadas. Por exemplo, a maioria dos metais, o concreto e um cristal de silício são isotrópicos. A forma da relação entre o fluxo de calor e o gradiente de temperatura em um material isotrópico é independente de como o sistema de coordenada é posicionado. Em materiais não-isotrópicos, D depende do sistema de coordenadas. Exemplos de materiais não-isotiópicos são pneus radiais, compósitos de fibras e ligas de alumínio laminadas. Por exemplo, em um pneu radial, o calor flui muito mais rapidamente ao longo da direção dos arames de aço que nas outras direções. Para resolver a equação diferencial parcial (6.20), as condições de contorno precisam ser prescritas. Em multidi!nensões, valein as mesm
T(x,y)
= T(x,y)
sobre
rr,
-
(6.23)
.
em que T(x, y) é a temperatura prescrita; essas são as condições essenciais de contorno; essas são também chamadas de condições de Dirichlet. Como indicado, a temperatura prescrita ao longo do contorno pode ser uma função das coordenadas espaciais.
Sobre um conromo de ftuxci prescrito, apenas o fluxo normal é prescrito. Podemos escrever a condição de fluxo prescrito como
qn
= q· ii = q sobre
fq·
(6.24)
Essas sãó também chamadas de condições de Neumann. Para um materi.al isotrópico, o fluxo normal é proporcional ao gradiente da temperatura em direção normal, isto é, segue de (6.19) e (6.21) que qn = -knTVT. Pode-se ver que .o fluxo depende da derivada da temperatura, de modo que isso é a congição de contorno natural. A formulação forte resultante para o próblema de condução de calor em duas dimensões é dada na forma vetorial para materi.ais isotrópicos'no Quadro 6.1 e na forma matricial para materiais não isotrópicos gerais ~o Quadro 6.2. Essas formas diferenciam-se da que usamos em uma dimensão devido ao fato de o balanço de energia e a lei de Fouri.er não serem combinados. Isso simplifica o desenvolvimento da fonnulação fraca e estende a aplicabilidade da formulação fraca à condução de calor não-linear.
y
""
T= T sobre
rT
L---------------------------------~ X
Figura 6.6 Domínio e condições de contorno do problema.
Fonnutações Forte e Fraca para Problemas de Campo Escalar Muttiãunenslonals 111 ~
Quadro 6.1 Formulação forte (notação vetorial) para condução de calor
V· q- s =O q = :k ~T
(a) balanço de energia: (b) lei de Fourier:
q• = !1 T=T
(c) CC natural: (d) CC essencial:
~
sobre n. sobre n. sobre r,, sobre r T
=q
·n
(6.25)
Quadro 6.2 Formulação forte (notação matricial) pa.ra condução de calor
VTq - s =o q= - DVT q. = _gTn = q
(a) balanço de energia: (b) lei de Fourier:
(c) CC natural: (d) CC essencial:
As variáveis s, D, f e ser dadas.
-·
- 50óre0, sobre n. sobre r,. sobre r r
T= T
(6.26)
qsão os dados para o problema. Essas, juntamente com a geometria do domínio O, precisam
6.3 FORMULAÇÃO FRACA Para obter a formulação fraca seguiremos o mesmo procedimento básico do problema unidimensional do Capírulo 3. Contudo, como já mencionamos, desenvolveremos a formulação fraca da equação de balanço (6.15a). Então, expressaremos o fluxo de calor em termos do gradiente de temperatura pela lei de Fourier. Começamos com a equação de balanço de energia (6.15a) e a condição de contorno natural (6.25c). Pré-multiplicamos as duas equações pela função peso w e as integramos sobre o domínio do problema n e contorno natural r,. respectivamente: . (a)
f
w{\1 ·q-s)d!l =O Vw,
(b)
n
f
Vw.
w(q- q. n)di' =o
(6.27)
r.
Para a equivalência das formulações forte e fraca, é crucial que a formulação fraca seja válida para todas as funções w. Como em uma dimensão, descobriremos que algumas restrições precisam ser impostas nas funções peso. mas as desenvolveremos conforme forem necessárias. Aplicando a fórmula de Green ao primeiro termo em (6.27a), obtemos
fn
wV · q dn =
fr
wq · ndi' -
f n
Vw.
Vw · q dn
(6.28)
Inserindo (6.28) em (6.27a), obtemos
f n
Vw. qd!l-=
f r
wq. ndi'-
f
wsdU =
n
f
wq. ndi'+
r.
f
wq . ndi'-
rr
f
wsd!l.
(6.29)
n
em que subdividimos a primeira integral no segundo membro de (6.29) na temperatura prescrita e nas condições de fluxo prescrito, o que é permitido por causa de (6.22). Substituindo (6.27b) na integral sobre r (6.29), obtemos .
J~~ ·qd.f.!_.= Jw_qdf + j n
r.
rr
~q ·ndr -: j.w~@· n
'
-···- --···-·--
Agora seguimos o mesmo raciocínio do Capítulo 3. É fácil construir funções peso que desapareçam sobre uma porção do contorno, de modo que estabelecemos w = Ono contorno de temperatura prescrita, isto é, estabelecemos o contorno essencial. Por isso, a integral sobre r T desaparece e a formulação fraca é dada por .
f n
Vw · qdU =
f r.
wqdi'-
f
wsd!l
Vw E Uo,
(6.30)
n
em que U0 é o conjunto de funções suficientemente suaves que desaparecem sobre o contorno essencial, ele é o espaço de funções definidas em (3.48). O espaço de soluções tentativas admissíveis U satisfaz as condições de contorno essenciais e é suficientemente suave como definido em (3.47). Lembre-se de que, de acordo com a definição desses espáÇos, as sólúções tenfafivas e as ffulções peso tSm de ter grau de continuidade CO. ' ·.., . ,. ·
112 CAPfruLO SEIS
Expressando (6.30) na forma matricial, obtemos
f (Vw)TqdS1 =f wqdr- f wsdS1
Vw E Uo.
o
r.
o
Essa equação é a formulação fraca para qualquer material, linear ou não-linear. Para obter a formulação fraca para materiais lineares, substituímos a lei de Fourier no primeiro termo dessa equação, o que fornece
~
Quadro 6.3 Formulação fraca (notação matricial) para condução de calor encontre T E U tal que:
f wqdf+ f
f(Vw}TDVTdS1 =r. o
(6.31)
Vw E Uo.
wsdS1
o
6.4 A EQUIVALÊNCIA ENTRE AS FORMULAÇÕES FORTE E FRACA 2 Para demonstrar a equivalência da formulação forte com a formulação fraca, é necessário que se mostre que a formulação fraca implica a formulação forte. Essa demonstração é similar a uma usada no Capítulo 3 para mostrar a equivalência para problemas unidimensionais: revertemos os passos que seguimos indo da formulação forte para a formulação fraca e, então, invocamos a arbitrariedade das funções peso para extrair a formulação forte das equações integrais. Faremos isso para a formulação fraca para materiais arbitrários. Iniciamos com (6.30), reescrevendo o seguinte:
f ~w
f wqdr-
·1JdS1 =
r.
o
fn wsdf2.
Agora aplicamos a fórmula de Green (6.11) para o primeiro termo, o que fornece
f w~·q-s}dS1+ f w(q-q·ii)df - f wq·iidr=O n
VwE Uo.
(6.32)
~
~
Seguimos a mesma estratégia do Capítulo 3. Desde que a função peso w(x) seja arbitrária, ela pode ser considerada qualquer função que desapareça sobre r r Tomamos vantagem da arbitrariedade da função peso e a igualamos ao integrando que ela é, tomando-a w
= '1/J(x)(~ · q- s),
Inserindo (6.33) em (6.32), obtemos
O sobre em que '1/J(x) = [ >O sobre
f - q'1/J('l·
r]
n ·
s) 2 df2 =O.
(6.33)
(6.34)
o
Os termos de contorno desapareceram porque nossa escolha de w(x), (6.33), desaparece nos contornos. Desde que t/J(x) >O em n, o integrando em (6.34) é positivo em todo ponto no domínio. Para a integral em (6.34) desaparecer, o integrando tem de desaparecer também. Daqui, desde que t/J(x) > O,
~ .q- s
=o
em
n,
(6.35)
que é a equação de balanço de energia (6.15). Depois de substituir (6.35) em (6.32), selecionamos uma função peso que não seja zero no contorno natural, mas que desapareça no contorno essencial (não importa que o seu valor esteja dentro do donúnio, pois de (6.35) sabemos que o primeiro termo em (6.32) desaparecerá). Portanto, fazemos w
= V'(q- q. ii),
Substituindo (6.36) em (6.32), encontramos
'Recomendado para a Trajetória Avançada.
em que V' = [ >
O sobre
fr]
o sobre r 9
.
(6.36)
Fo.rmulações Forte e Fraca para Problemas de Campo Escalar Multldlmerisioriais 113
q · ii =ij sobre r:
T
=f sobre rr
Figura 6.7 Douúnio do problema e condições de contorno em três dimensões.
J~P(q- q.
n)2 di'= o.
(6.37)
r, Como o ~tegrando em (6.37) é positivo sobre rt, a quantidade ~ntro dos parênteses precisa desaparecer em todo o ponto de contorno natural, e a condição de contorno natural (6.25c) continua.
6.5 GENERALIZAÇÃO PARA PROBLEMAS TRIDIMENS/ONAIS3 A extensão de duas para três dimensões é quase trivial. A diferença não está na estrutura das equações das formulações forte e fraca, que são idênticas, mas nas defin!ç~ ~os vetores, os operadores gradiente, divel!ente e laplaciano. Em três dimensões, os vetores da base são i ,j ek, como mostrado naFigura6.7. Um vetorq expresso em termos · de suas componentes é
·=[H
q = fb;Í + q.J+ q:k,
(6.38)
em que a fonna matricial é mostrada no segundo membro. Em três dimensões, o domínio !l do problema é um volume (que parece a batata na Figura 6.7) e o seu contorno r é uma superfície. A progressão da dimensionalidade do domínio do problema e seu contorno de problemas de uma dimensão para três dimensões está resumida na Tabela 6.1. contorno qúe é superfície abarcando o domínio tridimensional consiste na complementaridade dos contornos essencial e natural, como mostrado na Figura 6.7. O operador gradiente em três dimensões nas notações vetorial e ·matricial é definido como
o
r.
a
n.
- -8 "il =i 8x
-8
-8
+ I{}y + k 8z' 8 8x 8 V= {}y' 8
-
-89
vo =
r:l89
-89
-89
"ilB=iax+j&Y+kôz'
E
Com essa definição de vetores e do operador vetorial gradiente, o divergente do campo vetorial e o laplaciano são
Tabela 6.1 Dimensional idade do domínio do problema e seu contorno.
Entidade
Domínio
Contorno f
Uma dimensão (lD) Duas dimensões (2D)
Segmento de linha Superfície Volume
Dois pontos extremos Curva Superfície
Três dimensões (3D)
'Recomendado para a Í'ra}etória Avançàila
114 CAPITULO SEIS
. âq~ âqy âqt d! V q = - + - + -
âz.' 2 T ffl â2 ffl \l =\l·\l=V V = - + - + âx2 ayz 8z2, ÔX
ây
A formulação forte em notações vetorial e matricial é idêntica àquela dada nas ,Equações (6.25) e (6.26). Note que a lei de Fourier, que relaciona as três componentes do gradiente de temperatura às três componentes do fluxo, é definida em termos de uma conhecida matriz D simétrica positiva:
A formulação fraca é também idêntica àquela para problemas bidimensionais dados em (6.31).
6.6 FORMULAÇÕES FORTE E FRACA PARA ADVECÇÃO-DIFUSÃO ESCALAR EM REGIME PERMANENTE 8/D/MENS/ONAL4 As equações de advecção-difusão são obtidas de um princípio de conservação (freqüentemente chamado de um princípio de balanço), justamente como a condução de calor. O princípio da conservação estabelece que as espécies (seja ela um material, uma energia ou um estado) são conservadas em cada volume de controle da área tu multiplicado por lly e espessura unitária mostrada na Figura 6.8. A quantidade de espécies que entra menos a quantidade de espécies que sai é igual a quantidade produzida (um volume negativo quando a espécie decai). Há dois mecanismos para escoamentos que entram e saem, a advecção (ou convecção), que é dada por v6, e difusão, que é dada por q. Além clisso, a advecção em cada superfície resulta em um escoamento na entrada de 6. O princípio da conservação pode então ser desenvolvido como na Seção 6.2:
v· n
v~B(x- ~,y)t.y+qx(x- ~,y)t.y+v1 8(x,y- 6.;)tu+q1 G,y- 6.;)& - vxB(x+ ~,y)t.y- q~(x+ ~ ,y)t.y- v18(x,y +
i)tu- qy(x,y + i)tu
+ &6.ys(x,y) =O. Dividindo essa equação por tully e tomando o limite tu--. O, óy- O, obtemos
â(vxB) + â(v,.B) + â(qx) + â(qy) _ s =O. âx ây âx ây Essa equação pode ser escrita na forma vetorial como
~. (BV)
+ ~. q- s =o.
(6.39)
Essa é a forma geral da equação de advecção-difusão. O primeiro termo corresponde à advecção ou ao transporte do material e· o segundo termo corresponde à clifusão. Em muitos casos, o material que transporta a espécie é incompressível. Para problemas em regime permanente e materiais incompressíveis, a taxa de volume de material que entra no volume de controle é igual à taxa de volume de material que sai do volume de controle. Matematicamente, isso é dado por
Figura 6.8 Volume de con1role para problema de advecção-dífusão.
'Recomend~do
para a Trajetória Avançada.
y.:··
;•
Fonnulações Forte e Fraca para Problemas de campo Escalar Mutüdimensionais 115
v..
(x - ~,y)D.y+ v (x,y- ~)D.x- v.. (x + ~ ,y)D.y- v (x,y + ~)D.x =O. 1
1
Dividindo essa equação por l:ut.y e tomando o limite tu --+ O, Ây --+ O, obtemos
8(v_.) 8x
+ 8(v1 ) = 0 8y
'
Essa equação em notações matricial e vetorial é
I v .v= o ou
vT v = o.
(6.40)
A Equação (6.40) é coi:thecida como a equação da continuidade para problemas em regime permanente de materiais incompressíveis. Substituindo a equação da continuidade (6.40) em (6.39), obtemos a equação da conservação para uma espécie em um movimento de fluido incompressfvel, que pode ser escrita como (6.41) Considerando que a lei de Fourier generalizada é válida, a equação de conservação das espécies na forma matricial fica
(6.42) Para materiais isotrópicos D
= kl, a equação da conservação se reduz para v. V8 - k\PB- s = o ou vTV8- k\128- s = o,
(6.43)
em que V2 é o laplaciano definido em ( 6.18). Consideremos as condições de contorno essencial e natural
8 = (j sobre
q·n=q
r,,
sobre
(6.44)
r9,
r. r
em que e q são complementares. . Para obter a formulação fraca de (6.43), multiplicamos a equação da conservação (6.41) e a condição de contorno na'tural por uma função peso w e integramos sobre do.m.Inio correspondente:
o
(a)
j w(v · V8 +V. q- s) d!l =o,
(b)
o
f w(q- q
·n) di'= O sobre 'v'w.
(6.45)
r,
A integração por partes do segundo termo (o termo da difusão) em (6.45a) dá
f wv · V8df2 - f Vw · qd.n +f wqdl'- f n
n
r,
=o
wsdn(a)
'v'w e Uo,
(6.46)
n
r ,.
em gue exploramos (6.45b) e o fato de que w sobre Finalmente, a formulação fraca é completada pela substituição da lei de Fourier generalizada em (6.46), que dá encontre a solução tentativa 8(x, y) E U, tal que
f _
wvTV8d.n
+f
(Vw)TDV8d.n
+f wéjdl'- f wsdíl
_fl _ _ _ _ n_________ r •
.. _
'v'we Uo.
(6.47)
__1! ___ _
Essa é a formulação fraca pata a equação de advecção-difusão. Note que o primeiro termo é assimétrico na função peso w e na solução 8. Isso resultará em um sistema de equações discreto e assimétrico e terá importantes implicações na natureza das soluções, pois, como em uma dimensão, as soluções podem ser.instáveis se a velocidade for bastante grande.
REFERÊNCIAS Pung, Y.C. (1994) A First Course in Continuum Mechanics, 3rd edn, Prentice Hall, Englewood Clüfs, NJ. Malvern, L.E. (1969) lnrroduction to the Mechanics of a Continuous Medium, Prentice Hall, Englewood Clitrs;NJ.
116 CAPiTuLO SEIS
Problem as Problema 6.1 Dado um campo vetorial q, divergên cia
= -y, q, = -2xy sobre o domínio mostrado na Figura 6.2. Verifique o teorema da ·
Problema 6.2 Figura 6.9. Verifique o teorema Dado um campo vetorial q, = 3ry + y, q• = 3x + y3 sobre o domínio mostrado na da divergência. O contorno.curvo do domíi:úo é uma parábola. y (0,4)
Figura 6.9 Domínio parabólico do Problema 6.2 usado para ilus~o do teorema
Problema 6.3 Usando o teorema da divergência prove
f nctr
da divergência.
=0.
r
Problema 6.4 Partindo da formulação forte dq
--s=O , dx
q(O)
= q,
T(l)
= T,
pela lei de Fourier, mas desendesenvolva a formulação fraca. Note que o fluxo q está relacionado com a temperatura fluxo. do volva primeiro a formulação fraca em termos
Problema 6.5 s com convecção oa super· Considere a equação de governo para o problema de condução de calor em duas dimensõe ffcie: VT (DVT) + s = 2h(T- Tco) sobre n,
qn
= qTn = q sobre fq,
T=
T sobre f r.
Deduza a formulação fraca.
Problema 6.6 o volume de controle na Deduza a formulação forte para uma chapa com uma espessura t(x, y). Sugestão: considere em (x - ó.x/2, y) é dentro para calor de fluxo o exemplo, Por Figura 6.5b, e leve em conta a espessura variável.
qz(x- ~ ,y)Llyt(x- ~ ,y). Deduza a formulação fraca para a chapa com espessura variável.
Problema 6.7 contorno (Figura 6.1 0). Considere um problema de condução de calor em duas dimensões com convecção no ~y
~---------------------------------------------------
..
Rlrmulaç6es Rlrte e Fraca para Problemas de Campo Escalar Multldimenslonals 117 y
T ='i sobre
rT
L---------------~--------------~ X
Figura 6.10 Domínio do problema e condições de contorno para cooduçllo de calor com convecção no coni.Omo.
Construa a formulação para condução de calor em duas dimenSões com convecção no contorno.
Problema 6.8 Considere uma transferência de calor dependente do tempo. O balanço de energia em um volume de controle (veja Figura 6.5) é dado por
em que T(x, y, t), c e p denotam a temperatura, o calor específico e a massa específica do material, respectivamente, e t é o tempo. A equação anterior estabelece que a mudança de energia interna não é zero, mas é governada pela massa específica, o calor específico e a mudança de temperatura. Deduza as formulações fraca e forte para o problema de transferência de calor dependente do tempo.
7 Aproxim·àções de Soluções Tentativas, Funções PeSo e Quadratura de Gauss para Problemas Multidimensionais este capítulo, descrevemos a construção das funções peso e soluções tentativas para aplicações bid.imensionais; algumas vezes, chamaremos coletivamente tais expressões de aproximações ou simplesmente de funções. No método de elementos finitos, essas aproximações são construídas a partir de funções de forma Como no Capítulo 4, em que funções peso e soluções tentativas foram construídas para problemas unidimensionais, a idéia básica é construir interpolantes com grau de continuidade CJ que sejam completos. Seguindo a nomenclatura introduzida no Capítulo 4, denotaremos a aproximação por 8(x, y). Ela representa qualquer função escalar, tal como temperatura ou concentração de material. Já observamos que a situação em multi dimensões é completamente diferente daquela em problemas unidimensionais, visto.que a solução exata das equações diferenciais parciais em multidimensõeS é factível apenas para problemas sobre dotrúnios com condições de contorno simples. Assim, a solução numérica das equações .diferenciais parciais é geralmente a única possibilidade para problemas práticos. A abordagem do método de elementos finitos permanece a mesma: aproximar as funções peso e as soluções tentativas por funções de forma de elementos finitos para que, como o número de elementos é aumentado, a qualidade da solução seja melhorada No limite, como h~ O(h sendo o tamanho do elemento) ou como a ordem polinomial é aumentada, a solução em elementos finitos deve convergir para a.solução exata, se as aproximações forem suficientemente suaves e completas. É nos problemas bidimensionais que a potência do método de elementos finitos fica claramente evidente. Veremos que o método de elementos finitos fornece uma técnica para construir facilmente aproximações para corpos de geometria arbitrária Além disso, como ficará evidente quando examinarmos os programas MA'ILAB, os métodos de elementos finitos possuem uma estrutura modular que permite que programas simples tratem de uma grande classe de problemas. Dessa forma, o programa de elemen.tos finitos desenvolvido no Capítulo 12 pode tratar qualquer problema de condução de calor bidimensional, independentemente da geometria ou da variação da condutividade. Além disso, os programas bidirnensionais são praticamente idênticos em arquitetura aos programas unidimensionais, e a generalidade do método de elementos. finitos ainda permite que mesmo esses programas simples em MA1LAB operem com quase toda geometria Vimos no Capítulo 4 que as soluções tentativas têm de ser construídas de modo que a expansão polinomial para cada elemento seja completa e a aproximação global tenha um grau de continuidade CJ ou, em outras palavras, sejam compatíveis. Em múltiplas dimensões, as exigências permanecem as mesmas, mas a construção de soluções tentativas e de funções peso apresenta vários desafios, como a construção de campos contínuos para malhas arbitrárias de quadriláteros e triângulos, que se tomá mais complicada; particularmente, a construção das funções de forma para quadriláteros requer um novo conceito a ser introduzido: o do elemento isoparamétrico. Veremos que, além de suas
N
Aproxlmaç6es de Soluções Tentativas, Funções Peso e Quadratura de Gauss para Problemas M~dlmensionals 119
Figura 7.1 Domínio triangular.
utilidades em quadriláteros, os elementos isoparamétricos permitem que contornos curvos sejam tratados com notável precisão, de modo que problemas de engenharia podem ser efetivamente resolvidos.
7.1
Completude e Continuidade Primeiro, considere a questão da completude. Para explicar esse conceito, considere o domínio de problema simples mostrado na Figura 7 .1. O domínio é subdividido em elementos triangulares (malha), que é um dos elementos finitos a ser considerado neste capítulo, como mostrado na Figura 7.2. A solução tentativa é então construída sobre cada elemento. Considere a seguinte expansão polinomial possível:
(a) O"(x,y) = cxj + cxix + o:jy, (b) O"(x,y) = cxj + cxix + o:JI, (c) O"(x,y) = o:j + cx2x + cxlY + ~xy + a5X2 + cx6_x3y, (d) O"(x,y) := cxj
(7.1)
+cxix+o:jy + ~_xlj +.a5xy + tr~.
Qual das quatro é uma expansão polinomial útil para soluções tentativas? A resposta pode ser determinada pelo exame do triângulo de Pascal, que é mostrado na Figura 7 .~. Cada linha do triângulo dá os monô~os que precisam ser incluídos em uma aproximáção de elementos ·finitos para fornecer um elemento com·a ordem de completude indicada à direita. Se qualquer termo em uma linha estiver ausente, então o elemento não será completo para aquele grau e não terá a razão de convergência associada àquela linha da expansão. Por exemplo, (7.la) é linear completa, e sua razão de convergência será de segunda ordem, isto é, quadrática. Por outro lado, (7 .1 b) não convergirá, pois nela falta o termo linear em y (lembre-se de que a expansão linear completa é a exigência núnima discutida no Capítulo 4). Semelhantemente , (7.ld) não é quadraticamente completa e terá apenas a razão de convergência associada a um polinômio linear (quadrático nos deslocamentos), embora ela tenha monômios que são de ordem maior do que no caso linear. Expansões polinomiais completas podem ser obtidas a partir do triângulo de Pascal pelo acréscimo dos coeficientes desconhecidos em todos os monômios até uma dada liriha. Expansões polinomiais completas de ordem linear, quadrática e cúbica são dadas a seguir: linear: O"(x,y) =
aô + ~x + o:lY,
quadrática: O"(x,y) = ~ + ajx + alY + o:jil + ct4xy + a51, cúbica: O"(x,y) =
aõ + ~x + alY + o:jr + ct4xy + trd + o:6_x3 + ct;~y + trslx + a9T·
Usaremos esses polinômios para construir elementos finitos de várias ordens. ·A seguir, consideremos a questão sobre o grau de continuidade C>. Para explicar o que é exigido em problemas bidim.ensionais, considere os dois elementos adjacentes mostrados na Figura 7.4, cada um com uma expansão polinomial linear completa:
Figura 7.2 Malha de elerÍieritos firútos de diferentes refinamentos para o domínio triangular mostrado na Figura 7.1.
120 CAPITULO sm constante
y
X
X
x3
2
linear
y2
xy 2
xy
xy
2
quadrática
y)
cúbica
Figura 7.3 Triângulo de Pascal em duas dimensões.
em que o sobrescrito indica o índice do elemento. Cada polinômio tem obviamente um grau de continuidade C' dentro do elemento. Contudo, para a função ter globalmente um grau de continuidade C', esta também precisa ter um grau de continuidade C' em todos os pontos sobre as interfaces entre os elementos (não apenas nos nós). Em outras palavras, para o exemplo específico que consideramos, é necessário que
B(ll (s)
= B(l}(s).
2 2 2 Por isso, ~I), cxP>,~I), ~ ), o:\ ) e ~ } tem de ser cuidadosamente escolhido para satisfazer o grau de continuidade C' entre os dois elementos. Nas próximas duas seções, descreveremos como construir funções de forma contínuas e completas para elementos triangulares e quadrilaterais. Iniciaremos com o elemento triangular com três nós.
7.2 Elemento Triangular com Três Nós O elemento triangular com três nós é um dos mais versáteis e simplificados dos elementos finitos em duas dimen·sões. Podemos representar facilmente quase toda geometria com elementos .triangulares e, sem muitas dificuldades, construir malhas que tenham mais elementos em áreas de elevados gradientes (grandes derivadas); de modo que uma maior precisão pode ser obtida com o mesmo número de elementos. Além disso, os geradores de malhas para malhas triangulares são os mais robustos, isto é, eles não tendem a produzir erros. Isto é uma enorme vantagem, pois um gerador automático de malhas robusto é fundamental para a solução de problemas complexos por elementos finitos. Uma desvantagem do triângulo com três nós é que ele é um elemento relativamente não-exato e, de fato, o elemento não é recomendado para produzir análises com programas computacionais de elementos finitos. Entretanto, a simplicidade do elemento o faz um veículo ideal para ensinar o método de elementos finitos multidimensional, de forma que iniciaremos com ele. Malba de elementos finitos, que consiste em elementos triangulares com três nós, é mostrada na Figura 7 .5a. Pode ser observado que os nós estão posicionados nos cantos de todos os elementos. Um número arbitrário de elementos pode ser conectado a um nó. Não há restrições sobre a topologia de uma malha de elementos finitos, embora, para uma precisão razoável, nenhum dos ângulos de qualquer elemento deva ser muito agudo. Como os lados de um elemento triangular são retilíneos, as bordas curvadas do corpo precisam ser aproximadas. Assim, na malha da Figura 7.5a, os lados curvos do furo são aproximados por segmentos de retas, os quais introduzem um erro na geometria do modelo de elementos finitos. A solução em elementos finitos será a solução para a geometria com as bordas retas, de modo que algum erro aparece devido a essa aproximação da forma. Contudo, na maioria dos casos, se um número suficiente de elementos é usado, esse erro é bastante pequeno. Em muitos casos, simplesmente o posicionamento dos nós sobre o contorno fornece resultados satisfatórios. · Um elemento típico· dã·malha mostrada na Figura 7.5a é mostrado na Figura 7.5b. As coordenadas nodais do elemento e são denotadas por (xí.Yi). I = 1 por 3; usamos números nodais locais para os nós do elemento. É importante que os nós sejam numerados no sentido anti-horário. As formulações que seguem também podem ser desenvolvidas para numeração no sentido horário, mas muitos programas de elementos finitos, inclusive aqueles deste tivro, usam a numeração no sentido anti-horário, e é importante aderir a tal convenção, pois, de outra forma, algum sinal importante ficará errado. Quando geradores de malhas são usados, isso não é mais importante, pois um gerador de malhas numera automaticamente os nós dos elementos na ordem correta.
y
s
)C
Figura 7.4 Continuidade entre dois elementos triangulares lineares.
Aproximações de-Soluções Tentativas, Funções Peso e Quadrab.ira de Gauss para Problemas Multldimenslonals 121
•
-
--
--.
-
··-
·---
.
'
-
(b)
(a)
Figura 7.5 (a) AproJÚmaÇãO de contorno curvo usando elementos finitos aiangulares com tres nós e (b) um elemento finito aiangular simples com tres nós.
A solução tentativa em cada elemento triangular é aproximada por uma função linear de coordenadas espaciais x e y:
9"(x,y) em que
= IXÓ + ajx +
(7.2)
a; são parâmetros arbitrários. Essa equação pode ser escrita na forma matricial, como mostrado a seguir: 9"(x,y)
= IXÓ +
cx~x + 9
= [1
x y)
[~] = p(x,y)cze.
(7.3)
p(x,y) ~
Note a circunstância fortuita em que o número de parâmetros que descreve o campo completo linear 8'(x, y) em um elemento triangular é igual ao número de nós, de forma que devemos ser capazes de expressar unicamente o parâmetro a; em termos dos valores nodais 8'r Se houvesse menos nós que constantes ou vice-versa, uma única expressão em termos dos valores nodais não seria possível. ·· Partindo de (7.3), construfmos agora funções de forma para o elemento seguindo o mesmo procedimento que usamos em uma dimensão no Capítulo 4. Para essa finalidade, primeiro expressamos os valores nodais lJl (~, Yi) 9!. lJl (~, Yz) ~ e lJl (.xj, Y3) 93 em termos dos parâmetros (~, cxj, cxD e escrevemos isso na forma
=
=
=
matricial:
9! =aõ+cxi~ +~Yi 92 = ~ + cxj~ + cxifJ 93 = crô + cxj.xJ + cx2Y3
(7.4)
. Essa expressão pode ser escrita como (7.5) Tomando o inverso dessa equação, obtemos uma expressão para os parâmetros em termos dos valores nodais: (7.6) A substi:uição de (7.6) em (7.5) dá
9"(x,y)
= p(x,y)(M')- 1d'.
(7.7)
Como no caso unidimensional, o produto de matrizes que precede d' dá as funções de forma; para tomar isso claro, ·- Cõmpare 'ã eqüàÇão aritenor corri -aforiila geêàrdê"ümã ffiiiÇao expressa em;"teriiiõ-s-de 'funçõês deiomia (fem15i'e7se ··da Equação [4.5]): (7.8) Das Equações (7.7) e (7.8), fica claro que as funções de forma são dadas por
N'(x,y)
= p(x,y)(M')-1
=[Nf{x,y)
Ní(x,y) N)(x,y)).
Para desenvolver uma expressão de forma fechada para as funções de forma, é necessário inverter a matriz M•. Isso pode ser obtido analiticamente ou usando a ferramenta Symbolic Tool.box" do programa MATLAB, que dá
•Ferramenta do programa MATI.AB usada para executar cálculos com sfmbolos. (N.T.)
122 CAPITuLO SETE
F igura 7.6 Um diagrama para cálculo da área de um triângulo.
em que A' é a área do elemento e; o determinante da matriz M' foi substituído por 2A' e é dado por
2A' = det(M') = (rvr~ - x)y~) - (.r.Y3 -
rJYD + (.r.Yi - x2YD·
(7.9)
Avaliando essa expressão, obtemos
Ní = ~~ (~y)- r3)'~ + (yí- y3)x + (x) - ~)y), Ní = ~~ (x)Yt- .XÍY3 + (y)- ft)x + (.XÍ- x))y), N)
(7.10)
= ~~ (.XÍYÍ- XÍY~ + (yj - YÍ)x + (~- .xí)y).
Observe que as funções de forma são lineares em x e y e os coeficientes de todos os monômios dependem das coordenadas nodais. A relação entre a área e o determinante de M' pode ser demonstrada a seguir. Considere o elemento triangular mostrado na Figura 7.6. A área é dada pelo produto da base e da altura, de modo que
A'
1 1 = z.bh =z.ab ~en rp.
(7.11)
Lembre-se de que o valor do produto escalar triplo de dois vetores é dado por (essa fórmula pode ser encontrada em qualquer introdução para vetores, tais como de Hoffman e Kunze [1961} e de Noble [1969))
k · (ã x b) = ab ~n rp.
(7.12)
Das Equações (7.11) e (7.12), podemos observar que 1-
-
1-
k
i
A'= z.k · (ã X b) = zk · det x2- XÍ
O,
o
.x1-.:tí
em que a última igualdade decorre da fórmula padrão para um produto escalar triplo e ã = (~- .:tí)7+~- ft), b = (.x1 - .:q)7 +61-ft)}. Com um pouco de álgebra, (7.9) pode ser obtido da expressão anterior. Observe que essa expressão é baseada na regra da mão direita para definição do ângulo cp. É por essa razão que os nós precisam ser numerados no sentido anti-horário. Você pode facilmente checar que se os nós são numerados no sentido horário, (7.9) dá uma área negativa (uma vez que duas linhas do determinante foram permutadas, o que troca o seu sinal). As funções de forma para um elemento triangular típico estão desenhadas na Figura 7.7. Pode ser visto que cada função de forma desaparece em todos os nós, exceto um, e esse nó é o número da função de forma. Em outras palavras, essas funções de forma apresentam a propriedade delta de Kronecker:
N'I
y
y
Nj
y
Figura 7.7 Funções de forma de elemento triangular com três nós.
123 Aproximações de Soluções Tentativas, Funções Peso e Quadratura de Gauss para Problemas Muttidlmensionais
(713) Equação [4.7)) Lembre-se de que as funções de forma em uma dimensão tanibém apresentam essa característica (veja s. interpolante e são, por isso, interpolantes. Funções de forma em duas dimensões são também corresAlém disso, como pode ser visto da Figura 7.7, as funções de forma são planares quando seus valores das linearidade da óbvia ia conseqüênc uma é Isso dimensões. três de gráfico um em pondero aos eixos verticais tais como suas funções de forma em x e y. Também implica que as projeções das funções de forma sobre linhas retas, das funções bordas, são lineares. Isto pode ser visto na Figura 7.7; as linhas pontilhadas corresponde m aos valores de forma sobre as bordas.
7.2.1 .Aproximação Global e Continuid ade de forma dos No Capítulo 4 , mostramos que as funções de forma globais N são dadas em termos das funções elementos N• por
....
NT
= LL'TN•T,
(714)
...t
de funções de em que V Té o operador reunião. As soluções tentativas são aproximadas por uma combinação linear forma global com grau de continuidad e O (7.14):
fi'= Nd =
....
(7.15)
L_Ntdti 1-1
de modo que o grau de continuidad e O de (f' é garantido. forma Para ilustrar, considere uma malha de dois elementos mostrada na Figura 7.8. O número de funções de mostradas são 7.8 Figura da malha à ntes corresponde forma de globais é igual ao número de nós da malha. As funções na Figura 7.9. adjacentes, O grau de continuidade O das funções de forma ao longo das interfaces, entre quaisquer dois elementos 2 por uma e 1 elementos os entre comum borda pode ser demonstrad o a seguir. Por conveniência, definiremos uma 3: nó no 1 = s e 2 nó no O = s que modo de , equação paramétrica em termos de um parâmetros (7.16) y = Y2 + {y)- Y2)S. X= x + (XJ- X2)s, 2
1e 2 Como as funções de forma são lineares ao longo de qualquer borda, as funções dos dois elementos genéricos como escritas ser ao longo da interface podem então (7.17) em que ~são funções de ~definidas em (7 .2) e nas coordenadas nodais. Como IJ('>(s) deve igualar-se a 82 e 8) em s = Oe s = 1, respectivamente, segue que
82
= Po(l) ,
8
3
= PóoO) + PioO) ·
Semelhante mente, para o elemento 2: ,(2)
82 =Pó •
(2) + ,(2) 83-- p o Pi .
P\
2 2 ~e p~l) = ) = 83 - 82.Por isso, as duas funções Conclui-se imediatame nte da equação anterior que {J~t) = P~ ) para todas dos elementos são iguais ao longo da interface e daí são contínuas pela interface. Esse argumento é válido que, na Note . globalmente O e continuidad de grau as outras interfaces da malha, de modo que a aproximaçã o possui C'. e continuidad de grau apresenta não que modo de interface, da Figura 7.9, a função tem dobras ao longo
=
.3
y
1~
2
1
:\3>3 1~~2 ~ (
2
~----------------------~~X
F1g11ra 7.8 Malha de dois elementos: numeração nodal global e local.
,
.. 124 CAPiTuLO SETE )'
~~· 2 ·3
X
Figura 7.9 Funções de forma globais com grau de continuidade CJ para uma malha de dois elementos. Apenas a numeração nodal global é mostrada. A numeração nodal local é dada na Figura 7 .8.
A continuidade de funções lineares entre elementos com dois nós compartilhados pode ser argumentada verbalmente como se segue. Ao longo de qualquer lado reto, as funções dos elementos são funções lineares do parâmetro de interfaces. Como uma função linear ao longo de uma linha é detennínada por duas constantes, se as duas funções são idênticas nos dois nós, elas precisam ser iguais ao longo da interface inteira. Em uma malha de elementos triangulares com três nós, elementos adjacentes compartilham dois nós em cada interface, de modo que a continuidade é assegurada.
7.2.2 Elementos Triangulares de Ordem Superior Os conceitos assinalados na construção de aproximações contínuas de elementos finitos baseadas em polinômios podem ser mais extensamente esclarecidos, além disso, se considerarmos um elemento quadrático. Do triângulo de Pascal, segue que um campo quadrático em um elemento é dado em termos de seis parâmetros ct, por
8' (x, y)
= cxj + cx1x + cx3y + cx~.r + cx;xy + cx6r·
(7 .18)
A projeção dessa função sobre qualquer borda retilínea de um elemento em termos de um parâmetros (com a faixa de s de Oa 1 como nas Equações [7 .16)) é (7.19) Isto pode ser mostrado pela substituição de (7.16) em (7.18). As funções dos elementos são assim as funções quadráticas do parâmetro de borda s e são determinadas pelas três constantes, f3;, i = 1 a 3, em cada elemento. Por isso, para ter continuidade, as funções de dois elementos adjacentes precisam ter valores iguais nos três pontos, além de três nós serem necessários ao longo de cada borda. Uma configuração que encontra essa exigência é mostrada na Figura 7. !Oa. Pode-se observar que o elemento possui nós em cada canto e um nó ao longo do ponto médio de cada borda. Novamente, temos a coincidência fortuila de que o número de nós exigido corresponde ao número de constantes no campo polinomial (7 .18). Lego, as constantes podem ser expressas unicamente em termos dos valores nodais 8; do elementó da função O'(x,y), e, segilindo o mesmo procedimento como para o elemento triangular com três nós, a função pode ser expressa em termos dos valores nodais do elemento. Uma vez que isso seja feito, as funções de forma podem ser extraídas. Não faremos esses passos, pois a álgebra é muito trabalhosa. Além disso, as funções de forma podem ser construídas diretamente como mostrado na Seção 7 .6.2; de outra maneira, seria avaliado numericamente pelo programa computacional.
a;
2
Figura 7.10 (a) Elemento finito triangular com seis nós e (b) elemento triangular com lO nós.
r· 125 Aproximações de-Soluções Tentativas, Funções Peso e Quadratura de Gauss para Problemas Multldlmensionais ·
É interessante observar que a estrutura nodal para os elementos lineares e quadráticos pode ser obtida do triângulo de um de Pascal. Se considerann os os contornos fora do triângulo .de Pascal mostrado na Figura 7.3 como as bordas de longo ao necessários são nós dois apenas nós, três com elemento um para que, elemento, então pode-se observar cada borda, ao passo que três nós são necessários para cada borda de um elemento quadrático. A função aproximação para um elemento cúbico para o triângulo de Pascal (Figura 7.3) é
B'(x,y)
= CXÕ + a1x +9 +a;~ + CX:xy+ aSY +a6~ +a1~Y + aSix+ a;l.
de cada Relembrando o triângulo Pascal,, podemos observar que uma função cúbica necessita de quatro nós ao longo projeção a linha, uma de longo ao te: anteriormen usamos que borda. Isto pode ser estabelecido pelos argumentos constantes. de uma função cúbica de x e y sobre uma borda reta é uma função cúbica de s e é definida por quatro o global. Portanto, quatro nós são necessários ao longo de cada borda para assegurar a continuidade da aproximaçã Ob. ~ 7. Figura na O esquema nodal para o ele~ento cúbico é mostrado é igual ao Uma diferença entre os elementos quadrático e cúbico é que o número de nós sobre as bordas não Essa número de constantes: o número de nós requeridos para a conti,nuidade é menor que o número de constantes. como mas lugar, qualquer em colocado ser pode nó desigualdade é facilmente retificada pela adição de outro nó. Esse triângulo de mostrado na Figura 7.10b, ele é geralmente colocado no centróide (centro de massa). Observe que o central. nó um de necessidade a Pascal também indica ordens Elementos de ordem quatro e superior também podem ser desenvolvidos. Contudo, elementos de tais de elementos desses te inconvenien O . superiores são raramente desenvolvidos de simples expansões polinomiais tais embora isso, Por o. condicionad bem é não discretas equações de resultante ordens superiores é que o sistema Em vez elementos tenham potencialmente altas taXas de convergência, e daí melhor precisão, eles não são usados. superior ordem de elementos exemplo, Por disso, elementos de ordem muito alta têm como base conceitos diferentes. tanto o chamados de elementos espectrais podem ser desenvolvidos de polinômios de Legendre; eles não degradam equações. de condicionamento do sistema
7.2.3
Derivadas de Funções de Forma para o Elemento Triangula r com Três Nós te. O gradiente da matriz das funções de forma será expresso em cÍlda elemento por uma matriz :s• como anteriormen Para forma. de funções das termos nos o aproximaçã a para expressão A matriz B• é calculada pela diferenciação da na equação um elemento triangular com três nós, obtemos a matriz B• tomando o gradiente das aproximações como (7.10):
a matriz B• Ao nos referinnos às funções de forma como dadas em (7.1 O) e na equação anterior, podemos ver que é dada por: ·
..
(7.20)
das coorObserve que a matriz B• é constante em cada elemento, isto é, ela é independente de x e y, e depende apenas de qualquer denadas dos nós do elemento. Por isso, o gradiente de qualquer solução tentativa será constante dentro Assim, elemento triangular com três nós; isso pode ser diretamente concluído da linearidade das funções de fomia.. ao semelhantes muito s propriedade e as caracteóstic possui nós três com em uma dimensão, o elemento triangular constante. gradiente campo.de um e linear o aproximaçã de campo. um com m.dois..nós, elemento.co
7.3 ELEMEN TOS RETANGULARES COM QUATRO NÓS considerar Como uma intrOdução à formulação de um elemento quadrilateral com quatro nós, primeiramente vamos nós são os triângulo, o para Como .11. 7 Figura na o representad o como nós, um elemento retangular com quatro s, exceto subseqüente elementos os todos a aplicada será tiunbém convenção essa ; imti-borário sentido no numerados quando eXistiie.:n' hós 'ao longó das bordas, os quais serão numerados. neste livro, após os nós dos vértices. parâComo eiem~nto possui quatro nós, é necessário começar com uma éxpansão polinomial que tenha quatro terceira linha metros. Obviamente, se devemos restringir-nos a ~xpansões polinomiais., o termo adicional deve vir da ? Apenas do triângulo de Pascal. Uma questão então surge: qual dos três termos na terceira linha deve ser selecionado qualquer selecionar podemos mas linear, campo do parâmetros três temos já pois um monômio adicional é necessário, dos três monômios na terceira linha do triângulo de Pascal.
o
126 CAPITULO SETE
y 3
4
1
(~ .yj)
2b
(x~ .yn
1
I·
2a
L---~------------------------~x
Figura 7.11 Elemento retangular com quatro nós.
Esta pergunta deve ser respondida com base na necessidade da linearidade da aproximação ao longo de cada borda. O monômio r variará quadraticamente ao longo das bordas entre os nós 1 e 2 e os nós 3 e 4, ao passo que o monômio y2 variará quadraticamente ao longo das bordas entre os nós 2 e 3 e os nós 4 e 1. O monômio xy é linear ao longo de cada borda, pois tanto x quanto y é constante ao longo de cada borda. Por isso, o monômio xy é consistente com a configuração nodal mostrada na Figura 7 .11, na qual existem apenas dois nós por borda. O monômio xy é chamado bilinear. Com a adição dos termos bilineares, a aproximação do elemento é (7.21) =aó + cc~x + cc;y + ccjxy. É possível expressar (cc~, ~.ex), a~) em termos dos valores nodais(~, e;, Bj, 84) como na Seção 7 .2. Conrudo, uma
B'(x,y)
inversão simbólica da forma fechada é muito complicada. Claro, podemos sempre inverter M• numericamente para cada elemento em uma malha, mas é útil desenvolver expressões de forma fechada (na prática, isso não é muito importante, já que matrizes 4 X 4 podem ser invertidas muito rapidamente nos computadores aruais). As funções de forma N• serão construídas pelo método do produto tensorial. Essa aproximação é baseada em tomar os produtos das funções de forma de dimensão mais baixas e explorar a propriedade delta de Kronecker das funções de forma (7.13). As funções de forma bidimensionais para um elemento retangular são obtidas como um produto das funções de forma unidimensionais, como ilustrado na Figura 7.12. Por exemplo, a função de forma N;(x. y) é obtida tomando o produto das funções de forma unidimensionais N;(x) e N~(y). Pode ser visto na Figura 7.12 que o produto dessas duas funções de forma desaparecerão nos nós 1 e 4, porque N;(x) desaparece nesses nós, e desaparecerão no nó 3 porque N~(y) desaparece nesse nó. No nó 2, ambas as funções de forma têm valor unitário, de maneira que o produto é também igual a 1. Assim, N;(x, y) tem a propriedade delta de Kronecker para o elemento com quatro nós, o qual também pode ser visto da Figura 7.12. O método do produto tensorial e o papel da propriedade delta de Kronecker podem ficar mais claros se numerarmos os nós com os pares mostrados na Figura 7 .12. As funções de forma bidimensionais podem então ser escritas como um produto das funções de forma unidimensionais por
NV,JJ(x,y)=N;(x)Nj(y) para /=1,2 e 1=1,2.
(7.22)
É conveniente mostrar também que essa função de forma bidimensional tem a propriedade delta de Kronecker: NV,J)(xú,yL) = Ní(xu )NJ(yL) =
ÓIMÓJL ·
Dessa expressão, pode ser visto que o produto tensorial das duas funyões de forma unidimensionais é unitário apenas quando os números do par nodal são os mesmos que os do par da função de forma. A relação entre os números
F igura 7.12 Construção de funções de fonna bidimensionais.
Aproximações de Soluções Tentativas, Funções Peso e Quadratura de Gauss para Problemas Multidimensionais 127 Tabela 7.1 Funções de forma do retângulo com quatro nós (llltima coluna) como construfdas de funções de forma unidimensionais (valores nodais dados na segunda a quinta colunas).
K
I
J
Nf(~)
Ní(~)
N~(>1)
Nf(>1)
o 2
2
3
2
4
o
o
2
o
2
2D: NHx,y)
=NvJJ(x,y)
o
Nf(x)Nf(y)
o
NHx)Ní(y)
o
Nl(x)Ni(y)
o
Ní(x)Ni(y)
(I e J) do par nodal e os números (K) do nó real é dada nas primeiras três colunas da Tabela 7 .1. Além disso, as funções
de fonna bidimensionais obtidas pela regra do produto tensorial são resumidas na Tabela 7.1. A partir da Tabela 7.1 e da Equação (7.22), pode-se ver que as funções de forma bidimensionais são x-~
Nj(x,y)
y->1
,
1
= .t1-~>1- >1 = A• (x - ~)(y - y4), x-.x1 y-Y.
1
N2(x,y) =~ _.t1 >1- >1 =- A• (x- ~)(y- f.), , x-r. y->1 1 N)(x,y) = ~ _ .t1 Y. _ >1 = A• (x- ~)(y- Y
(7.23)
1 ),
1 x-~ y->1 N:(x,y) = .t1 _ ~>1- >1 =- A• (x- .t;)(y- >1),
em que A' é a área do elemento. Também pode ser verificado que cada uma dessas funções de forma satisfaz a propriedade de delta de Kronecker diretamente. As funções de fonna de elementos são mostradas na Figura 7.13. Como se pode ver na figura. as funções de forma são lineares ao longo de cada borda. Embora este elemento funcione para retângulos, ele não é conveniente para quadriláteros arbitrários. Isso pode ser visto ao se coqsiderar o quadrilátero mostrado na Figura 7 .14a. Considere a borda que liga os nós 1 e 4 ao longo da qualy = x. Se substituímos na equação para a aproximação (7.21), vemos que a aproximação é uma função quadrática ao longo dessa borda y = x. As funções de forma também são quadráticas ao longo dessa borda, o que pode ser verificado fazendo y = x em qualquer das funções de forma em (7 .23). Por issõ, dois nós não são mais suficientes para assegurár a compatibilidade, isto é, a continuidade desse elemento com outros elementos. Assim, as funções de forma desenvolvidas nesta seyão são convenientes somente para elementos retangulares; para tratar uma maior
variedade de geometrias quadrilaterais com quatro nós, um método mais potente precisa ser desenvolvido para a construção das funções de forma.
7.4 ELEMENTO QUADRILATERAL COM QUATRO NÓS1 Como vimos, embora as funções de forma bilineares em termos de x e y funcionem para retângulos, essas funções de forma não são lineares ao longo das b9rdas de um elemento quadrilateral arbitrário, de modo que dois nós comuns
.
4
3
.
. . .._i 3
4
3
3
.:}~ :~J .....
o..·.·.·.·. ... . ....
· .
.
N'4
2
Figura 7.13 ilustração gráfica de funções de forma de elementos retangulares.
'Recomendado para a Traje16ria Avançada.
128
CAPITULO SETE )'
)'
4
2e---~3 {b)
(a)
Figura 7.14 Elementos quadrilaterais com quatro nós.
não são suficientes para assegurar o grau de continuidade CJ entre os elementos. A resolução dessa dúvida levou a um dos mais importantes desenvolvimentos em elementos finitos, os elemenros isoparamétricos. O conceito isoparamétrico permite construir elementos com lados curvados, que são uma ferramenta muito poderosa na modelagem de muitas estruturas complexas de engenharia. Mostraremos, primeiramente, como esse conceito pode ser usado para construir aproximações contínuas para quadriláteros com quatro nós. Em seguida. consideraremos elementos de ordem superior, os quais podem ser modelados com contornos curvos. Começaremos lembrando como construímos as fórmulas da quadratura de Gauss no Capítulo 4. Lembre-se de que definimos um domínio padrão [ -1, 1] e depois fizemos o mapa desse domínio padrão no domínio físico do elemento finito por
Ç E [-1, 1).
(7.24)
Chamaremos o domínio [ -1, I] de domínio do elemento de referência e Çde coordenada de referência; ela é também chamada de coordenada natural. Agora, em vez de escrever a aproximação para (}em termos de x, vamos escrevê-la em termos da coordenada g do elemento de referência. Começando com a expressão da função de forma para o campo e substituindo em (7.24), obtemos X ~.xí
•
xj
X-
8=~--+82 --
xj-.xí
.xi-xi
- tf.xí(l-Ç) +.xí(l +Ç) -zx; ~xí(l-Ç) +.xí(l +Ç)- 2xí l 2(xí-.x2) + l 2(.x2-xí) -tf-1-Ç
-
~-2-+
(7.25)
~l+Ç
z-z-·
Assim, notavelmente, a forma da aproximação linear 8(g) é idêntica ao mapa do elemento de referência para o elemento físico; em outras palavras, as funções de forma para o mapeamento dado em (7 .24) são idênticas às funções de forma para a aproximação na última linha de (7.25). Isso é a característica fundamental de um elemento isoparamétrico: as coordenadas físicas são mapeadas pelas mesmas funções de forma como as usadas para a aproximação. De fato, não é necessário usar álgebra em (7.24) e (7.25) para desenvolver a expressão em termos das coordenadas do elemento de referêqcia. Como a relação entre as coordenadas física e de referência é linear, qualquer relação que seja linear nas coordenadas de referência será também linear nas coordenadas físicas. Para desenvolver um elemento quadrilateral, façamos o elemento de referência ser um quadrado biunitário como mostrado na Figura 7 .15. Em seguida, mapeamos o elemento físico a partir do elemento de referência pelas funções de forma de quatro nós (7.26)
7)
y
+I
4 LI.2J
3
[2,2j
I
+I
(1,1] -1
2
(2,11
X
2
Figura 7.15 Mapeamento do sistema de coordenadas cartesianas do elemento de referência para o elemento físico; entre colchetes está o par de números do nó para a aproximação do produto tensorial para a construÇão de funções de fonna bidimen.sionais a partir de funções de fonna unidimensionais.
Aproximações de Soluções Tentatlvas,.Funções Peso e Quadratura de Gauss para Problemas Multldlmensionais 129 Tabela 7.2 Coordenadas nodais no domínio do elemento paramétrico. Nó/
'IJ,
-1
-1
-1
2 3 -I
4
em que N4Q(Ç. TJ) são as funções de forma do elemento com quatro nós no sistema da coordenada de referência; r e Y' são matrizes colunas que denotam as coordenadas x e y dos nós do elemento:
Em (7 .26), mudamos a notação de N• para N4Q para enfatizar que, como vimos, as funções de forma não são mais funções de coordenadas do elemento, isto é, são idênticas para todo elemento quadrilateral. Como o elemento de referência é um quadrado bi-unitário, suas funções de forma são idênticas àquelas do elemento retangular, exceto que elas são expressas em termos de coordenadas naturais. As funções de forma podem ser obtidas pela substituição de (.x, y) por(~. TJ) e as coordenadas nodais no dom.úrio físico (xr y) pelas coordenadas nodais no elemento de referência (~r TJ) em (7.23). As funções de forma resultantes são resumidas a seguir:
~({, 17) =
1
4 (l + ~{)(1 + '71'7).
(7.27)
em que <~r TJ,) são as coordenadas nodais no elemento de referência resumidas na Tabela 7.2 (veja também a Figura 7.15, à esquerda). A equação anterior pode ser obtida diretamente pelo método do produto tensorial. A solução tentativa é aproximada pelas mesmas funções de forma:
lf({, 17) = ~(Ç, 77)d •.
(7.28)
Por isso, o elemento é isoparamétrico. As funções de forma (7.27) contêm um termo constante, termos lineares em Çe TJ e o monõmio ÇJJ, o monômio bilinear; essas funções de forma são chamadas funções de forma bilineares. Se escrevermos os monômios em termos de parãmetros arbitrários, obtemos a seguinte expressão: (7.29) O mapa (7.26) é também bilinear por causa da bilincaridade das funções de forma, (7 ,27). Assim, há quatro funções independentes na aproximação, que é igual ao número de nós no elemento, e podemos obter as funções de forma usando o procedimento da Seção 7.2. Contudo, o procedimento anterior com a regra do produto tensorial é mais direto.
7.4. 1 Continuidàde de Elementos /soparamétri~s Uma importante questão a ser considerada é: a relação (7.26) mapeia as bordas do elemento de referência em linhas retas no plano físico? Se a resposta for negativa, então o elemento nãô será compatível com triângulos com três nós e poderá até ter dificuldades no tratamento de malhas constituídas inteiramente por quadriláteros. A resposta parece ser afirmativa. Como o mapa (7.26) é bilinear ao longo de cada borda, tanto f quanto TJ são constantes ao longo de cada borda. Por isso, ao longo de qualquer das bordas, o termo bilinear fica linear. Por exemplo, ao longo da borda entre os nós 2 e 3, = 1, isto é, ele é constante, e o termo bilinear é linear em TJ. Por isso, o mapa é linear ao longo da borda entre os nós 2 e 3, e a borda correspondente no plano físico precisa ser retilínea. Argumentos idênticos podem ser feitos para as outras três bordas. Observe que nem toda linha reta no plano de referência é mapeada em linha reta no plano fÍsico. Se tomarmos do elemento -no plano de referência, em que Ç-=- 1), o termo -bilinear então fica quadrático em -§.-Logo, diagonal --.a. ~-quando p elemento físico não é um retângulo, a diagonal do elemento de referência i uma linlul curva no elemento flsico. Portanto, em geral, nem todas as linhas retas no plano de referência são mapeadas em linhas retas no plano físico, mas as bordas sempre são. Pelos mesmos argumentos, pode-se mostrar que as funções de forma globais apresentam grau de continuidade CO. Por exemplo, ao longo da borda conectando os nós 2 e 3 ( ~ = I), segue-se de (7.27) que
e
~({ =
1,7]) =
~(1-7]).
Assim, a função de forma ~Q ao longo da borda é linear em TJ e é igual a 1 no nó 2 e zero no nó 3. Pode também ser mostrado que todas as outras funções de forma são lineares ao longo dessa borda e de todas as outras bordas; a linearidade da aproximação ao longo das bordas pode ser inferida da característica bilinear da expressão para a aproximação (7.29):·
130
CAPÍTULO SETE
Como a aproximação é linear ao longo de cada borda, ela pode ser expressa em termos de dois parâmetros ao longo de cada borda. Como cada borda tem dois nós, a aproximação é então determinada unicamente ao longo da borda. Além disso, se dois elementos adjacentes compartilham uma borda, então a função de forma global precisa ser continua pela borda, e assim a aproximação construída pelos elementos quadrilaterais tem grau de continuidade c>. Os elementos quadrilaterais isoparamétricos com quatro nós também são compatíveis com os elementos triangulares com três nós, de modo que esses elementos podem ser misturados em uma única malha.
7.4.2
Derivadas de Funções de Forma lsoparamétricas A seguir, desenvolvemos expressões para o gradiente de funções de forma do elemento isoparamétrico com quatro nós. O procedimento é mais complicado que aquele para o triângulo com três nós, porque as funções de forma são expressas em termos das coordenadas do elemento de referência. Em termos das coordenadas físicas, o gradiente de uma solução tentativa para o elemento quadrilateral com quatro nós é Vff
= s •d•,
(7.30)
em que
(7.3 1)
Para obter as derivadas das funções de forma expressas nas coordenadas do elemento de referência com respeito às coordenadas físicas (x, y), usaremos a regra da cadeia
[ar] afljQ
- ÔT)
= [:
ax
~] [ôt]. afljQ
&y
a, a,
..___,_...
- ôy
J• Como indicado, a matriz relacionando as derivadas das coordenadas físicas com respeito às coordenadas do elemento é a matriz jacobiana, denotada por J•. As derivadas exigidas podem ser obtidas pela inversão do segundo membro da expressão anterior:
(7.32)
Na forma matricial concisa, escrevemos essa equação como (7.33) em que G é o operador gradiente no sistema de coordenadas de referência definido como (7.34)
Pela substituição do mapa (7 .26) na expressão para o jacobiano (7.32), uma expressão mais detalhada pode ser desenvolvida para o jacobiano:
(7.35)
A Equação (7.35) pode ser escrita na forma matricial como
J• =G~(r
r J.
(7.36)
Usando (7 .31 ), (7 .35) e (7.36), a matriz B• pode ser escrita na forma matricial como
s• = (J•r'GN4Q.
(7.37)
_,
~ -----------------------~--------------------------------............ .....
· Aproximações de Soluções Tentativas, Funções Peso e Quadratura de Gauss para PrOblemaS Multldlniensionais TJ 4 1,.3] 7
7
~2.3) 3 [3,.3)
131
3
y
4
6
8 (1,2) 9 [2.2} 6 (3.2]
[1,1)
[2.11
5
(3.l]
>
2 X
2
Figura 7.16 Quadrilátero isoparam6trico com nove nós nos domínios de refertncia e ffsico; entre colchetes estão os pares dos números nodais usados na aproxim.açlo do produto tensorial para a construção das funções àe fonna bidímensionais a ~
Para o mapeamento (7.26) ser único em cada ponto, é necessário que o determinante do jacobiano seja diferente de zero. Além disso, o determinante do Jacobiano precisa ser positivo, de modo que tenhamos
IJ'I
=det{J') >o
(7.38)
Ve e {x,y).
Pode-se mostrar que essa exigência será respeitada, se todos os ângulos de todos os quadriláteros forem menor que do 180° (veja Problema 7.3). Observe que embora as funções de forma N4
7.5 ELEMENTOS QUADRILATERAIS DE ORDEM SUPERIOR2 Os elementos isoparamétricos de ordem superior fornecem uma das características mais atrativas dos elementos finitos, a habilidade para modelar contornos curvos. Como exemplo de um elemento isoparamétrico de lado curvo. descrevemos o elemento quadrático com nove nós. O elemento isoparamétrico com nove nós é construído pelo produto tensorial de funções de forma quadráticas unidimensionais desenvolvidas no Capítulo 4. Os domínios de referência e ffsico do elemento são mostrados na Figura 7.16. A convenção de numeração dos nós é a seguinte. Os nós dos cantos são numerados primeiro, seguidos pelos nós situados nos pontos médios dos lados, ambos na direção anti-horária; o primeiro nó do ponto médio do lado é definido entre os nós 1 e 2, e o interno é o \1ltimo. Para gerar as funções de forma para o quadrilátero com nove nós pelo método do produto tensorial, tomamos o produto das funções de forma com três nós em termos de ~com as funções de forma com três nós em termos de 11. gerando (7.39) em que Nf- são as funções de forma quadráticas unidimensionais dos elementos com três nós e o n\1mero K de nós padrão pode ser expresso em termos dos elementos do par[/,}) dado na Tabela 7.3. Não tabularemos todas as funções de forma, mas como um exemplo (7.40) Essas funções de forma apresentam a propriedade delta de Kronecker. Como N'/ (g) são quadrilaterais em ~e Nl/ (17) são quadrilaterais em 11. as funções de forma são biquadráticas em ~e 11. isto 15, o monômio de ordem mais alta é {2-rf. De fato, se vod passar pelos termos de todas as funções de forma cuidadosamente, você verá que há nove monômios distintos em termos de ~ e 11 entre todas as funções de forma, e
entlo
- -
----
-(7.41)
Assim, o número de monômios independentes é igual ao n\1mero de nós, e poderíamos ter usado a mesma aproximação como na Seção 7.2 para resolver ex; em termos de EJr Contudo, a construção pelo método do produto tensorial é muito mais fácil. Em um elemento isoparamétrico, a aproximação e o mapa dos planos de referenda para os planos físicos são gerados pelas mesmas funções de forma. Assim, para esse quadrilateral com nove nós,
2Rccomeodado para a Trajetória Avançada.
132
CAPITULO
sm. Tabela 7.3 Relação entre as funções de fonna unidimensionais e bidimensíonais para o elemento quadrilateral com nove nós. K
I
J
1
1
I
2
3
I
3
3
3
4
I
3
2
I
6
3
2
7
2
3
8
I
2
9
2
2
I
5
x(Ç,7J) oe(ç, 11)
= ~(Ç,7J) r ,
(7.42)
= N9Q(ç, 11)d" (7 .43) A característica importante desse elemento é que as bordas são cuT\Ias. Considere, por exemplo, os nós de junção de bordas 1 e 4. O mapeamento do plano de referência para o plano físico (7 .42) tem os mesmos monômios que a aproximação da função em (7.41). Ao longo dessa borda, gé constante, como pode ser visto na Figilra 7.16, de modo que o mapa conterá os monômios 1, 7), r(. Conseqüentemente, as coordenadas (x, y) são funções quadráticas de 1J ao longo da borda e por isso curvadas como mostra a figura. A vantagem das bordas curvas em modelagem de elementos finitos é realmente impressionante em aplicações de engenharia. Um número muito menor de elementos pode ser usado ao redor de furos e sobre outras superfícies curvas ao se comparar com os elementos com lados retos. Semelhantemente, na modelagem de formas complexas, tais como lagos e ossos, a geometria pode ser construída quase precisamente com poucos elementos quando elementos isoparamétricos de ordem superior são usados. De fato, a descoberta do conceito isopararnétrico foi um dos maiores avanços nos métodos de elementos finitos: comparado aos outros métodos, tais como o método das diferenças finitas, permite a modelagem de objetos reais com uma fidelidade muito maior. A matriz B• para o elemento com nove nós, e quanto a isso qualquer elemento isopararnétrico, é obtida por meio do mesmo procedimento da Seção 7.4.2. Para o elemento com nove nós, a matriz é 2 X 9, então métodos computacionais são essenciais para a sua avaliação e existe pouco ganho ao se escrever isso. Outros elementos isoparamétricos podem ser construídos da mesma maneira. Por exemplo, a Figura 7.17 ilustra o elemento quadrilateral isopararnétrico com 12 nós nos planos de referência e físico. As funções de forma para o elemento quadrilateral com 12 nós são obtidas pelo produto tensorial das funções de forma (cúbicas) de quatro nós em Çe as funções de forma (quadráticas) de três nós em termos de 1], resultando em (7.44)
em que ~L são funções de forma cúbicas unidimensionais do elemento com quatro nós. As relações entre as funções· . . de forma unidimensionais e bidimensionais são fornecidas na Tabela 7.4. A Figura 7.18 fomece a ilustração gráfica da construção da função de forma. Elementos finitos isoparamétricos em duas (ou três) dimensões construídos por um produto tensorial de funções de forma de elementos unidimensionais são chamados de elementos lagrangeanos. Alguns elementos lagrangeanos possuem nós internos que não contribuem para a compatibilidade entre os elementos. Esses nós podem ser condensados (veja Apêndice A6) ao nível do elemento para diminuir o tamanho das matrizes globais.
1J
4
o
9
3
8
12
li
5
6
3
7
-
ç
2
Figura 7.17 Mapeamento do domínio físico nas coordenadas de referência para o elemento quadrilateral com 12 nós.
,;
r Aproximações de Soluções Tentativas, Funções Peso e Quadratura de Gauss para Problemas Multidlménslonals 133 Tabela 7.4 Tabela de construção para o elemento q~adrilateral com 12 nós. K
)
NfL(~)
I
I
I
2
4
3
4
o o
3
Nf(õ)
o o o o
~L({/)
N!L(~)
o o o o o
o
o o o
I
o
I
3
o o o
o o o
2
3
o
I
o
o
3
2
o o
o o
12
2 2 2
o
11
o o o
4 .5
3
o
2
6
3
7
4
2
8
3
9
lO
o I
o
NJ:IQ(~, f'/)
Nr'-('11)
N'f('ll)
Nf-('11)
o o
o o
o o o o
1
Nt'-({)Nj'-(fJ)
I
o
Nf({)N?'-(11)
I
o
o o
1
o o o
o o o o
Nfl'({)Nr'-{'1/) ~({)NF-('1/)
N!'-(e)Nj'-('1/)
o o o o o
Nj'-({)N?'-(17)
Nf"({)Nf"(-n.) Hf-({)Nf-('1/) Hf({)Nf(T/) Nt'-({)Nf-(17) ~({)N'f('1)
l/f({)Nf-(17)
Programas comerciais de computador geralmente empregam a formulação de elemento de ordem superior sem nós internos como mostra a Figura 7.19; estes são chamados de elementos serendipiry. As funções de forma para os elementos da família serendipíty não podem ser construídos por um produto tensorial de funções de forma unidimensionais, como no caso dos elementos da familia lagrangeana. As funções de forma do elemento serendipity são obtidas por um produto tensorial de funções cuidadosamente selecionadas para satisfazer a propriedade delta de K.ronecker das funções de forma. Por exemplo, a função de forma ~Q para o elemento serendipity com oito nós deve ser zero nos nós de 2 a 8 e deve ser 1 no nól. o produto de (1 - g), (1 -'I'}) e c 'I'}+ 1) desaparecerá em todos esses nós, exceto no nó 1, af o produto triplo anterior é igual a -4, e por isso ~Q é dado por
e+
1
~ = -4(1- Ç)(l- '7)(1 + ç + '7)· Semelhantemente, a função de formaN\lQ para o elemento serendipity (cúbico) com 12 nós é obtido por um produto de (1 - g), (1 - 'I'J}, + 'I'J + 413) e (€ + 'I'J + 213), que normalizado fornece
(s
N:
2
Q
= ; 2 (1- Ç)(l- 77)(77 + { + 4/3)('7 + Ç+ 2/3).
As funções de forma restantes dos elementos quadrilaterais quadrático e cúbico podem ser construídas de modo semelhante. Os criadores do elemento serendipity, Ergatoudis, Irons e Zienkiewicz (1968), deduziram as funções de forma anteriores por inspeção, e então eles as denominaram 'serendipity' em homenagem aos príncipes de Serendip, que ficaram famosos por suas descobertas feitas por acaso.
Figura 7.18 Construção das fui!Ções de fonna para o elemento quadrilateral com 12 nós.
. .. ... 134 CAPiTULO SETE 'I)
4
3
7
)'
4 (a)
6
',
8 ' ',
6 '
''
' ',, '
s'..,
'·
~
>
2
.v
2
~+-q+I=O
3
'I)
lO
4
{b)
9
''
.:~
12
8 .....
~
''....
' ',
7 ''
'
1 1)
)'
8
J'
~+
3
5 ' ',
-~,
+ 4/ 3 =
6' ,, 2
7
L._->
6
2 X
~
'',,,_ + TJ + 2/3 = o
Figura 7.19 Elementos serendipity com (a) oito nós e (b) 12 nós. Numeração dos nós e construção da função de forma.
7.6 COORDENADAS TRIANGULARES3 Para elementos triangulares de ordem superior com lados curvos, o desenvolvimento das funções de forma pela aproximação direta discutida na Seção 7.2 é algebricamente complexo. Além disso, a integração exigida para integrar a formulação fraca pode ser muito árdua. Uma simplificação considerável das funções de forma pode ser obtida pelas coordenadas naturais (ou de referência). As coordenadas naturais (ou coordenadas do elemento de referência) que são específicas para elementos triangulares têm muitos outros nomes: (i) coordenadas triangulares, (ii) coordenadas de área e (iii) coordenadas baricêntricas. Usaremos. o nome coordenadas triangulares. Primeiro, desenvolvemos o elemento triangular linear na Seção 7 .6.1, seguido pelo elemento triangular quadrático na Seção 7 .6.2 e o elemento triangular cúbico na Seção 7.6.3.
7.6.1 Elemento Triangular Linear As coordenadas triangulares são definidas como mostrado na Figura 7.20. Para qualquer ponto P, as coordenadas .triangulares de um ponto são dadas por (7.45) em que A1 é a.área do triângulo gerado pela conexão entre dois nós; que não sejam o nó/, com o ponto P, veja Figura 7 .20a. Por exemplo, A3 é a área do triângulo conectando P e os nós 1 e 2. Facilmente pode-se ver que como o ponto P move-se para um dos nós, a coordenada triangular correspondente torna-se unitária e as outras coordenadas triangulares tomam-se nulas; por exemplo, veja Figura 7 .20b, quando P coincide com o nó 2, ~ = I e g1 = ~ = O. Assim, em geral,
~(.xj,yj)
= óu,
(7.46)
de modo que as coordenadas triangulares apresentam a propriedade delta de Kronecker. Isto sugere que essas coordenadas particulares são interpolantes. Da definição das coordenadas triangulares em (7.45), segue-se que a relação entre (x,y) e as coordenadas triangulares é linear. Isto, combinado com (7.46), nos permite escrever a relação entre as coordenadas triangulares e as coordenadas físicas como · 3
Y= L:Yí€1·
(7.47)
1=1
Como veremos rapidamente, as coordenadas triangulares são lineares em x e y e satisfazem a propriedade delta de Kronecker (7.46), de modo que devem ser idênticas às funções de forma lineares para um triângulo (há apenas uma
!Recomendado para a Trajetória Avançada.
·<(>.
. Aproxlmaçõés de Soluções TentirtiVas, Funções Peso e Oua11ratura de Gauás para "Pníblemas Multldlme~onals 135
2
~2"'
~2"' 1/2
o
(b)
(a)
Figura 7.20 Definição das coordenadas triangulares de U!'Il ponto no elemento em termos das á.-eas generalizadas por esse ponto.
única série de funções lineares que satisfaz essas proprie$des). Por isso, podemos escrever uma aproximação linear como 3
:E 8f9 =~ÇI + ~Ó + B;6.
~=
(7.48)
1=1
Em outras palavras, as funções de forma lineares dadas em (7 .lO) são idênticas às coordenadas triangulares. A Equação (7.48) fornece uma forma muito mais conveniente para estudar os elementos triangulares que aquela descrita
na Seção 7.2. A Equação (7.47) pode ser vista como um mapa entre um elemento de referência e o elemento no plano físico, exatamente como nos ~lementos i.soparamétricos. Se olharmos o elemento no plano Ç1, ~e notarmos que por (7.46) €1(x1, y 1) = 1, ~(x 1 , y 1) = O e ~(x2, y 2) = 1, Ç1(x2 , y2) = O e Ç1(x3 , Y) = ~(:t3 , y3) = O, então conectando os nós por linhas retas (que é apropriado por causada linearidade da relação entre [x,y] _e [Ç1 ~ ~]),_pode ser visto que o elemento no plano de referência é um triângulo como mostrado na .Figura 7.21. A Equação (7.47) é, então, o mapa desse elemento de referência para o elemento físico. Para concluir odesenvolVimento· das c(?ordenadas triangulares, é necessário expressar as coordenadas triangulares em termos de (x, y). A Equação (7.47) fornece somente duas equações pax:a €1• o que é insuficiente. Para obter um sistema de equações algébricas lineares que apresente solução, notamos da defiiúção de Ç1 por (7.46) e da Figura .· 7.21 que · · · · (7.49)
A combinação de (7.47) e (7.49) na forma matricial fornece
~ ~][~:]. [ !]=[~YiY2Y3 6
(7.50)
y
A matriz quadrada em (7 .50) corresponde à (M•)T em (7 .4), de modo que a inversa seja dada por (M•)-T e temos
(7.51)
em que usamos a notação 41 = 4 - xj, Tu = Y1 - Y5. A partir de (7.51) pode ser visto que as coordenadas triangulares ~o lineares em (x, y). É fácil obter de (7.51) que · .. · ~~
_ Yn 8ó _
ax - 2A•
8{1
..
~
.
~2
>11 .
8x - 2A•
8ó
~3
~3 _
YÍ2 · 8x - 2A•'
â{J
~I
- ~ -·--- _qy. = 24~ -::.~-~:::-24~--~ ~- 2Ã~:· · --~ - --- - ---- --- ··----
~I Figura 7.21 Domínio do elemento de
referencía nas·coordenadas triangulares.
(7.52) ··· ----.---·- ---
136 CAPITULO sm'
3•.•.•. -·· g3 = 1 5
.•.-·- g3 = 112
Figurá7.22 Elemento triangular com seis nós: (a) convenção de numeração dos nós e (b) linhas de valores constantes de coordenadas triangulares.
7.6.2
Elementos Triangulares lsoparamétricos Assim como os elementos de lados curvos foram desenvolvidos para elementos quadrilaterais, podemos desenvolver elementos triangulares de lados curvos pelo conceito isoparamétrico. Antes de fazer isso, mostraremos como as funções de forma para elementos triangulares cúbicos e quadráticos podem ser construídas sem a solução de qualquer equação. Primeiramente, consideremos o triângulo com seis nós mostrado na Figura 7.22. Lembre-se da Seção 7.2.2 que seis nós são necessários para elementos quadráticos, com nós ao longo dos pontos médios de cada lado. Iníciamos a numeração dos nós dos cantos e o fazemos no sentido· anti-horário, depois numeramos os nós dos pqntos médios, como mos~do lia Figura 7.22. As "CÇ>Ordenadas triangulares· dos nós e dás funções de forma são dadas na Tabela 7 .5. Note que as coordenadas triangulares de um nó de um ponto médio são sempre uma permutação de (0,5, 0,5, O,D), como ao longo de um lado, uma das coordenadas triangulares sempre desaparecem e o nó do ponto médio parte. o elemento em dois; por isso, as outras duas coordenadas triangulares são cada uma Ih como mostrado na Figura 7 .20. A construção das funções de forma para o triângulo com seis nós é semelhante à construção de interpolantes de Lawange: quando ·construímos a função de forma Nf, buscamos uma função qÚe desapareça em todos os outros nós e que se iguale à unidade no nól. Vamos 'considerar primeiro a construção de ~T. A construção de ~T começa com a escolha de uma função que não desapareça no nó 2, mas sim nos outros cantos dos nós; essa função é ~-A seguir, encontramos outra função, de modo que o seu produto com~ desapareça nos nós reStantes. Essa função é (2~- I), pois ela desaparece nos nós 4 e 6, e o produto, ~(2~- 1), desaparece em todos os nós, exceto no nó 2. Falta normalizar a função de forma, is~o é, assegurar que N6/(x2, y 2) = 1; ocorre que essa condição já foi encontrada, de modo que nada mais precisa ser feito, e o resultado é mostrado na Tabela 7.3. As funções de forma dos nós de cantos nos outros nós são construídas de modo semeihante.
As funções de forma dos nós dos pontos médios são construídas observando quais coordenadas triangulares desa· parecem nos vários nós. A função ~~~ desaparece em todos os nós exceto no nó 4, portanto depois de normalizar vemos que ~T = 4~1 ~2• As funções de forma dos outros nós de pontos médios são construídas de modo semelhante. Observe que as funções de forma são quadráticas em ~I' que por sua vez são lineares em (x, y), então as funções de forma são quadráticas. em (x, y). Por construção, as funções de forma ·satisfazem·a propriedade delta de Kronecker:
IVJT(:thYJ} = f>u. A aproximação é então dada por
Quando a Equação (7.47) é usada para mapear do plano de referência para o plano físico, o elemento representado na Figura 7.20 é um elemento de lados retos com seis nós. Contudo, se usamos.o mapa
Tabela 7.5 Tabela das funções de forma para o elemento triangular com seis nós. I
~. (x1.>1)
1
3
o o
4
172
2
5 6
o
172
6(x1.>1)
6(x1.>1)
Nf!"(~•. ~2.6)
o
o o
~~(~.-I)
1
6(26 1)
1
o 1/2
o
1/2
1/2 1/2
o
~2~26- I) ~l~Z
4€26 4{t6
rv
Aproximações de Soluç6es Tentativas, Funções Peso e Quadratura de Gauss para Problemas Mu!tidlmenslonais 137 Tabela 7.6 Tabela das funçõês de fonna para o elemento triangular com dez nós.
~I (.x1,Tr)
~(.t1,J1)
6(.x1.>1)
I
o
2 3
o o
1
o o
o
(9/2)~(~- 1/3)(~
1
4
2/ 3 1/3
1/3 2/ 3 2/ 3 1/3
o o
(9/2)~(~- 1/3)(6 - 2/ 3) (27/2)~,(2(~ -1/3)
1/3 2/3 2/3 1/3 1/3
(27/2)66({2- 1/3) (27/2)ú6(6 -1/3) (27/ 2){tô(ô - 1/3) (27/2)~t~(~, -1/3) 27{,{2ô
I
5 6
o o
7 8 9 10
o o
1/3 2/3 1/3
1/3
N}crr(~.,~.ó) (9/2)~1 (~I - 1 /3)(~1 - 2/3)
{27/2)~t~(~t-
- 2/3)
1/3)
então os lados do elemento físico são curvados. Isso é um exemplo de um elemento lriangular isoparamétrico. Os elementos são compatíveis com o elemento quadrilateral isoparamétrico com nove nós; isto é investigado no Problema 7.I. Quando o mapa da geometria usa as funções de fonna de ordem mais baixa que as funções de fonna na aproxi· mação da função, então o elemento é chamado de um elemento subparamétrico. Por exemplo, se as funções de fonna quadráticas com seis nós são combinadas com o mapa linear (7.47), então os lados são retos, e temos um elemento subparamétrico. Esse elemento subparamétrico pode reproduzir exatamente· campo$ que são quadráticos em x e y, ao passo que o elemento isoparamétrico pode reproduzir com exatidão apenas campos lineares. Isto tende a diminuir a exatidão do elemento. De fato, quanto mais distorcido o elemento, menor é a sua exatidão. Por isso, bordas curvas devem ser usadas somente onde ~or necessário, como os contornos do domínio do problema.
7.6.3 Elemento Cúbico O mesmo procedimento Pode ser usado para calcular as funções de fonna para um elemento cúbico. O arranjo nodal para o elemento cúbico já foi discutido na Seção 7.2.2 e pode ser obtido do triângulo de Pascal. Como no triângulo com seis nós, os nós dos cantos são numerados primeiro e os outros nós depois. As coordenadas triangulares dos nós e das funções de fonna são dadas ~Tabela 7 .6. O elemento é mostrado na Figura 7 .23. Como pode ser visto, cÕmo ditado pelo triângulo de Pascal, cada borda tem quatro nós, e um nó central é inclUído. Os nós nas bordas são agora colocados de modo a subdividir cada borda em três segmentos iguais. As coordenadas triangulares podem facilmente ser detenninadas observando quiü delas desaparece e examinando as áreas dos subelementos que são generalizados pela conexão do nó da borda ao nó oposto; isto é ilustrado na Figura 7.23. As funções de fonna são construídas por meio dos mesmos argumentos usados para o triângulo com seis nós. Os mesmos argumentos na capacidade de reprodução que foram feitos para o triângulo com seis nós aplicam-se ao triângulo com 10 nós. O nó central do elem.ento cúbico geralmente não é conservado na estrutura nodal da malha. Em vez disso, é eliminado por um procedimento chamado de condensação estática, descrito no Apêndice A6.
7.6.4 Elementos Triangulares pelo
Colap~o dos Eleme~tos
Quadrilatera/s
Uma aproximação alternativa de geração de elementos triangulares é por meio da designação das mesmas coordenadas para dois nós vizinhos em um elemento quadrilateral, como mostrado na Figura 7 .24; isto é equivalente a designar o mesmo número nOdal com dois dos nós. Essa técnica é usada por alguns programas computacionâis comerciais, tal como ANSYS. · Pode-se mostrar (veja Problema 7.11) que a superimposição de dois nós de um quadrilátero, que coxresponde a colapsar uma das bordas, resultará em um triângulo de deformação constante. É interessante notar que a matriz
(a)
(b)
Figura 7.23 Elemento triangular com dez nós: (a) convenção da numeraçlio dos nós e (b) linhas de valor constante das coordenadas triangulares.
138 cÁPITuLo srn 4
4
2
3
3
Figura 7.24 Fonna degenerada do elemento quadrilateral com quatro nós obtida pelo colapso dos nós 1 e 2.
jacobiana do elemento quadrilateral colapsado é singular no ponto onde os nós foram colapsados. A matriz B' do quadrilátero degenerado é idêntica àquela do triângulo com três nós, exceto no ponto onde os dois nós coincidem, onde B' não é definido (zero dividido por zero). Uma conseqilência prática é que gradientes da solução não devem ser calculados nos nós do elemento.
7. 7 COMPLETUDE DE ELEMENTOS /SOPARAMÉTR/C0$4 Elementos isoparamétricos são lineares completos, o que significa que podem representar exatamente um campo linear, independentemente de os lados serem curvos ou retos. Geralmente, quando os lados são curvos, os monômios de çrdem superior não podem ser exatamente representados. Contudo, provas matemáticas, disponíveis na literatura (veja, por exemplo, Ciarlet e Raviart [1973]), mostram que se os nós não são distantes do ponto médio dos lados retos, a convergência de elementos isoparamétricos corresponde à ordem do polinômio completo nas coordenadas naturais. Neste texto, vamos apenas mostrar que os elementos isoparamétricos podem representar exatamente um campo linear, porque isto é crucial para um importante teste em elementos finitos, o teste de convergência (parch rest) descrito no Capítulo 8. Para demonstrar a completude linear da forma mais simples possível, mas que ainda assim contenha a essência de completude, consideremos inicialmente o elemento quadrático unidimensional com três nós. Quando o segundo nó não é o do ponto médio do elemento, o elemento isoparamétrico é definido por 3
(a) x(Ç)
1 1 ~NJL(Ç) = ~~(Ç -1) +xí(I- çl) +xj~(Ç + 1), =L f,. I
(b)
11(Ç)
=
t.
OJNJL(Ç) =
Bj~(Ç- 1) + ~(1 -
ÇZ) + 8)~({ + 1).
(7.53)
/ ]
Mostrar que (7 .53b) contém os termos lineares diretamente seria difícil, pois precisaríamos resolver a equação quadrática (7 .53a) para obter uma expressão para gem termos de x. A aproximação padrão para mostrar a completude linear evita essa dificuldade. Tenha em mente que queremos mostrar que se os valores nodais surgem de um campo linear, então 8'(x) é exatamente esse campo linear. Em outras palavras, queremos mostrar que se os valores nodais são estabelecidos por
e;
(1.54) então
Então procedemos como a seguir. Substituindo (7.54) por
11(x)
e; em (7.35b) obtemos
3
3
3
/oi
1-1
/al
=L (ao+ a.t~)NJL(ç) =ao L N]L(ç) + a.1 L ~N]L(ç).
(7.55)
É fácil verificar que para essas funções de forma, I:~ai NJL(ç) = 1. Isso pode também ser verificado para quaisquer outras funções de forma e é conhecido como a panição da propriedade unitária. Usando esse fato e substituindo (7.53a) no segundo termo em (7.55), obtemos
B(x)
= ~ + a1x.
Assim, a função 6(x) é exatamente o campo linear a partir do qual os valores nodais
'Recomendado pal'll a Trajetória Avançada.
e; foram obtidos, (7.54).
flproxlmaçóes de SOluções Tentathtas, Funções Peso e Quadratura de Gauss para Problemas MultidlmensiOnals 139
O desenvolvimento para elementos bidimensionais é semelhante. Agora vamos prová-lo para o caso geral de elementos isoparamétricos bidimensionais. Lembre-se de que o mapa' entre o plano do elemento de referência e o plano físico é dado por
"·
x= Lx1Nf,
(7.56)
1=1
A função é dada por
(7.57) Considere uma função linear quando os valores nodais são estabelecidos por um campo linear:
= Cl() + CXtX + CX2)'.
(7.58)
=ao + CXtx1 + CXffr.
(7.59)
f! Os valores nodais são.
fJí
Agora nos perguntamos: se estabelecemos os valores nodais por (7.59), o campo do elemento finito é exatamente (7.58)? Substituindo (7.59) em (7.57) obtemos
f!(x)
....
=L (ao+ I= I
a1x1
+ a.2Yi)N;
.....
....
....
/•1
1=1
. 1=1
(7.60)
=ao L N; + a1 L x1N1 + a.2 L YiN;, em que a segunda equação é obtida tOmando a 1 fora das somas (como ela é a mesma para todos os termos na soma). Então, usando a partição da propriedade unitária e (7.56), obtemos
f! == ao + CXtX + !X2Y· Logo, o elemento isoparamétrico representa exatamente o campo linear. Se esse fato não lhe parece extraordinário, tente mostrar que qualquer dos termos quadráticos no elemento com nove nós (ou elemento com três nós) são exatamente representados. Isso não pode ser feito, pois não .é verdadeiro.
7.8 QUADRATURA DE GAUSS EM DUAS DIMENSÓESS Como visto no Capítulo 5 e encontrado nos últimos capítulos, a integração de várias formas das funções de forma sobre o domínio de um elemento é exigida na formulaçã~ das matrizes e dos vetores do elemento. Agora vamos mostrar como as fórmulas da quadratura de Gauss unidimensionais desenvolvidas ria Seçãó 4.6 são estendidas para duas dimensões. · · · · ·
7.8.1
Integração sobre Elementos Quadrllaterais Considere uma típica integral definida sobre o domínio de um elemento quadrilateral: 1=
j J(Ç, TJ) dO.
(7.61)
íl'
Para avaliar a integral, precisamos expressar a área infinitesimal dO em termos de dTJ e dÇ. A Figura 7.25 mostra a -- ---ál:ea-intiaitesimal-d§-d'l)ne-domínio-de-referêneiae-sua-imagem-no·domíniofisico. - · - - · - -- .._ __ --0 vetor representa um ponto arbitrário P no domínio físico como mostra a Figura 7 .25b. O ponto P corresponde ao ponto P' no sistema de coordenadas de. referência. Suas coordenadas são . .
r
Os pontos Q' e T são selecionados para estarem às distâncias dÇ e dTJ do ponto P' no siste~a de coordenadas natural, respectivamente. Os pontos correspondentes no domínio físico são Q e T. Os vetores ã e b apontando de P para T ~ de P para Q. res~tivamente (Figura 7.25), podem ser expressos pela regra da cadeia como
'Recomendado pata a Trajetória Avançada. '.
140 CAPiTuLO S;rE 1)
Q'
~d1!
~ P' de T'
(b)
(a)
Figura 7.25 Mapeamento das áreas infinitesimais do (a) domínio de referência e (b) domínio físico.
A área infinitesimal do domínio físico dO, cercada pelos dois vetores escalar triplo:
i
dfl =
k
j
8x dÇ 8y dTJ
o
ôx dÇ 8y d1]
o
k · (ã X b) = k · ôÇ
&r,
&r,
ôÇ
b e ã, pode ser determinada pelo produto
=··· E~] <~<•• =IJ'Id<
(7.62)
'--v-----"
Wl
em que IJ'l é o determinante da matriz jacobiana J•. Assim, a integral na Equação (7.61) pode ser expressa como
f f I
I=
7):-1
I
IJ'(Ç,1J)IJ(Ç,TJ)d.Çd1].
(~-1
Para avaliar essa integral, primeiro realizamos a integração de Gauss sobre Ç, que fornece
A seguir, a integração sobre 17 fornece
Assim, a integração é avaliada numericamente por um duplo somatório, usando os mesmos pesos e pontos de quadraturas como na quadratura unidimensional. Isso implica em dois loops completos.
7.8.2
Integração sobre Elementos Triangulares6 Para elementos triangulares de lados curvos, em geral, os procedimentos de integração numérica são um tanto diferentes daqueles para elementos quadrilaterais. A fórmula de integração é dada por (7.63) em que o jacobiano é
'Recomendado para a Trajetória Avançada.
Aproximações de Soluções Tentativas, Funções Peso e Quadratura de Gauss para Problemas Multidimenslonals 141
Tabela 7.7 Pesos e pontos da quadratura de Gauss para domínios triangulares.
Ordem da integração
Grau de precisão
Tres pontos
2
Sete pontos
5
{2
{J
0.1 666 666 666 0.6 666 666 666 0.1 666 666 666 0.1012865073. 0.7 974 269 853 0.1 012 865 073 0.4 701420641 0.4 701 420 641 0.0 597 158 717 0.3 333 333 333
0.1 666 666 666 0.1666666666 0.6 666 666 666 0.1 012 865 073 0.1 012 865 073 0.7 974 269 853 0.0 597 158 717 0.4701420641 0.4 701420 641 0.3 333 333 333
Pesos 0.1666666666 0.1666666666 0.1666666666 0.0 629 695 903 o.o629 695 903 0.0 629 695 903 0.0661970764 0.0661970764 0.0661970764 0.1125
(7.64)
Lembre-se de que as funções de foqna são expressas em termos de (~1 • ~.~).em que ~ = 1 os pon~os de quadratura para elementos triangulares estão resumidos na Tabela 7;7. Para triângulos com três nós e de lados retos, a matriz jacobiana é constante e dada p<>r
- [x1-4 xz-4
J"-
~.
-
~-Os
pesos e
>1-TJ] )'Í-TJ ·
O jacobiano resultante constante é igual ao dobro da área do triângulo dado na Equação (7.9) e é a razão entre as áreas de um triângulo nos domínios físico e de referência. Monômios de qualquer ordem podem ser integrados sobre triângulos de lados retilíneos na forma fechada. A seguinte forma foi desenvolvida para esse propósito (Cowper, 1973):
f
o-
'l'!kl
~~~ díl = (i+/~ k. + 2)! 2A".
(7.65)
Essa fórmula pode ser usada para evitar a integração numérica.
7.9 ELEMENTOS TRIDIMENS/ONAIS7 As duas categorias básicas de elementos tridimensionais são os elementos hexaédricos e tetraédricos. Os primeiros são generalizações de,elementos quadrilaterais, enquanto os segundos são generalizações de elementos triangulares. Elementos na forma de cunha podem ser construídos pelo colapso dos nós de um elemento hexaédrico, exatamente como um triângulo pode ser construído de um quadrilátero. Em cada categoria, temos o elemento de ordem inferior básico, tal como o elemento hexaédrico (ou trilinear) com oito nós e o elemento tetraédrico com quatro nós, bem como vários elementos de ordem superior .de faces curvadas ou faces planas. A seguir, aptesentaremos um breve resumo do elemento bexaédrico, seguido pelos elementos tetraédricos. ·
7.9.1
Elementos Hexaédricos O domínio do elemento de referência do elemento hexaédrico (ou paralelepípedo) com oito nós é um cubo biunitário _ --~om cóor~na~ do_:~:~:nto ~! Tl_e ( _O mapa_l)ara o do_~o !!:~!~~ ~-_ -··---··· __________..
x(Ç, 1], () = N8H(Ç, 1], Ç)x"' y(Ç,1J,() =N~(Ç,1J,()y", z(Ç, 1], Ç) = NSH(Ç, 1], Ç)z"'
(7.66)
em que N'K (~. 7'/, {J são as funções de forma bexaédricas com oito nós defhúdas no sistema de coordenadas de referência, mostrado nas Figura 7 .26. As funções de forma hexaédricas com oito nós podem ser construídas pelo produto tensorial de funções de forma lineares unidimensionais desenvolvidas no Capítulo 4:
'Recom~ndado para a Trajetóri~ Avançada.
..-
:··
142 CAPITuLO SETE
2
2 3
3 Figura 7.26 Mapeamento do hexaedro com oito nós do sistema de coordenadas cartesianas de referência para o sistema de coordenadas Primeiro. os nós em C = -1 são numerados no sentido anti-horário, seguidos pelos nós em C= l.
cartesianas físico.
(7.67) A relação entre os números dos nós de elementos unidimensionais e hexaédricos é dado na Tabela 7.8. A aproximação ff é construída invocando o conceito isoparamétrico, isto é, usando as mesmas funções de forma como em (7.66): (7.68) A continuidade das funções interpolan~es pode ser vista pela observàção do compoitamento ao longo de uma das fac.es do elemento, digamos { = 1, emqueNf{() k..1 =!.A panirde(7.67), segue que&'({, 1), 1) é uma função bi!mear, que pode ser unicamente definida pelos quatro valores nodais na face, portanto o grau de continuidade CO é assegurado.
Elementos hexaédricos de ordem superior podem ser originados por um produto tensorial de funções de forma lineares unidimensionais de ordem superior. A Figura 7.27 representa um elemento hexaédrico triquadrático com 27 nós. Cada um também pode originar um elemento bexaédrico serendipity de ordem superior com todos os nós posicionados sobre as seis superfícies de contorno. A matriz jacobiana J• em três dimensões é
J' =
(7.69)
A integral sobre um domínio do elemento hexaédrico pode ser expressa como I=
f
I
I
f{(,!7,()d0
I
= f f f
IJ'{(,77,()If((,77,()d(d77d(
{•-I '!"'-1 ( a -I
O'
ftp
ftp
ftp
=L L L W;"WjW.t!J'(6, 11i> (k)lf((ll 'f/J, (,~:). 1•1 j=l k-1
Tabela 7.8 Relação entre os números da função de forma unidimensional e tridimensional para o hexaedro com oito nós. L
I
2
2
3
2
J
2
2
4
2
5 6
2
7
2
8
K
2
2 2
2
AproJC!maçõe$ de SOluções Tentativas, Funções Peso' e Quadratura de Gauss para Problemas ~illtldl~nais ·143
•,.
(b)
(a)
Figura 7.27 (a) Elemento hexaédrico de faces curvas com 27 nós (nós superficiais são mostrados nas tres superfícies transladadas para mostrar os nós com mais clareza) e (b) elemento hexaédrico serendipity com 20 nós.
7.9.2 Elementos Tetraédricos Os domínios de referência e físico do tetraedrO são ilustrados na Figura 7.28. As coordenadas do tetraedro de um ponto P são indicadas por ~1 , ~. ~3 e ~•. Essas coordenadas definem as coordenadas de volume do tetraedro como a seguir. Qualquer ponto P no domínio do elemento físico mostrado na Figura 7.28b subdivide o volume Qt do elemento tetraédrico original em quatro tetraedros. As coordenadas do volume são então definidas como a seguir: volume de P234
c_
volume de P134
ne . ~= ~ . volume de P124 · c. volume de P123 {3= ne . '""= ne . Observe que com essas definições, g + ~ + ~ + g = 1. {J
=
(7.70)
4
1
Cada coordenada é zero sobre a superfície e é igual a 1 no nó oposto a essa .superfície. As funções de forma do elemento tetraédrico com quatro nós são dadas por
NfTct = {t, t1Tet = {l, NjTet
= {3 ,
NtTet
= {4 = 1 -
(7.71)
{t - {2 - {3.
O elemento tetraédrico com 1Onós é mostrado na Figura 7.29. As funções de forma são obtidas de modo semelhante àquele dos elementos triangulares com seis nós descrito na Seção 7.6.2. Por exemplo, quando construímos a função N:""· buscamos uma função que seja igual à unidade no nó/, desapareça em todos os outros nós e seja a mais quadrática. Essas condições encontradas por 2g1(g1 - 112) para I= 1. As funções de forma do elemento tetraé~co co:n 10 nós são dadas na Tabela 7.9. . . As fórmulas de integração para tetraedros são semelhantes àquelas dadas na Equação (7.63) para triângulos. O jacobiano é dado pela Equação (7 .69); em que as derivadas com respeito a ~. 'TI e (são substituídas pelas derivadas com respeito às coordenadas de volume~•• ~ e ç,. Os pontos e pesos da quadi-atura estão resumidos na Tabela 7.10,
são
(a)
(h)
Figura 7.28 Mapeamento da fonna tetraédrica com quatro nós do sistema de c.oordenadas cartesianas (a) de referência e (b) físico. Também é mostrado o ponto interior P (não um nó) no domínio fisico (b).
··,
.. .
144
CAPÍTULO SETE
3
4 Figura 7.29 Um elemento tetraw.::o ::om faces curvas com 10 nós.
Tabela 7.9 Tabela de construção de funções de fonna para o elemento tetraédrico com dez nós. ~. (xj ,)'Í)
I
1
1 2 3 4 5 6 7
o o o
o
o o
o o o
1
o o
1/2 1/2
o o
1/2 1L2
o o
lO
~. (xj,)'Í}
o o
o
9
~3(xj,)'Í)
1
1L2
8
Mxi.Yi)
o
~·(~·- 1/2} ~2{~2 -1[2} ~3(~3 -1L2~ ~.(e. -1[2)
I
tL2 1L2
o o o
1/2
tL2 1[2 1/2
o o
tL2
N)C1T<'(~•• {2.~.~)
4e.6 ~26
~·6
~.e4
4MA
. ~)e.
Tabela 7.10 Pesos e pontos da quadratura de Gauss para domínios tetraédricos. Ordem da integração
Grau de precisão
Um~nto
2
Quatro pontos
3
Cinco pontos
4
e. 0,25 0,58 541 020 0,13819660 0,13 819660 0,1H19660 0,25 1/3 1/6 1/6
1/6
~
~2
~3
Pesos
0,25 0,13 819660 0,58541020 0,13 819660 0,13 819 660 0,25 1/6 1/3 1/6 1/6
0.25 0,13 819 660 0,13 819 660 0.58541020 0,13 819660 0,25 1/6 1/6
I 0,25 0,25 0,25 0,25 -0,8 0,45 0,45 0,45 0,45
1/3 1/6
Exemplo7.1
Integre exatamente e numericamente o seguinte monômio sobre um elemento triangular: I=
J~~~~dn.
n
Aplicando (7 .65), obtemos I= 2A
(1
(1!}(3!)(0!} = 12A =O 00833(2A}. + 3 +o+ 2}! 720 •
Usando a quadratura de Gauss com ttês pontos,
1 (16 (1)6 +32(!)6 +61(2)3 ~y 3
I=
w
3
3 )
=0,00887(2A).
.
Aproximações de Soluções Tentativas, FtmçõeS Peso e Quadratura de Gauss para Problemas Multldlmenslonals 145
REFERÊNCIAS Ciarlet, P.G. and Raviart, P.A. (1973) Maximum principie and unifonn convergence for tbe finite element metbod. CompUL Mtthods AppL Mtch. Eng., 2, 17- 31. Cowper, G.R. (1973) Gaussian quadrature formulas for triangles. lnJ. J. Numer. Methods Eng., 7, 405-8. ~rgatoudis, J.G., hons, B.M. and Zienkiewicz. O.C. (1968) Curved isoparametric quadrilatenl elements for fuúte element analysis. /nJ. J. Solids Smu:t. , 4, 31-4. Hofl'nu::, P.. and Kunz.e, R (1961) Linear Algebra, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ. Noble, B. (1969) Applit d ~ Algebra, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ.
Problemas Problema 7.1 Um elemento retangular com nove nós é dado como mostrado na Figura 7.30. (i) Construa as funções de forma do elemento pelo método do produto tensorial. (ii) Se o campo de temperatura nos nós A e B é 1 oc e zero em todos os outros nós, qual é a temperatura em x = y = 1? (ili) Considere o elemento triangular ABC com três nós localizado à direita do elemento retangular, com nove nós. A função será contínua pela borda AB? Explique.
B
C
~-------8~----~~------~--~X
x=2
x=4
)C=
6
Figura 7.30 Elemento retangular com nove nós e elemento triangular com ~ nós do Problema 7.1.
Problema 7.2 Considere dois elementos triangulares como mostrados na Figura 7.31. Se o campo de temperatura exato é r, os dois elementos.podem representar a solução exata? Explique. ·
Figura 7.31 Dois elementos triangulares do Problema 7.2.
Problema 7.3 Mostre que se um dos ângulos em um quadrilátero é maior que 180°,1!ntão o det(J•) não pode ser positivo.
Problema 7.4 Construa as funções de forma para o elemento triangular com cinco nós mostrado na Figura 7 .32, o qual tem funções de-forma-quadráticas ao longo-de-dois lados e funções de forma lineares-ao-longo do terceiro."Esteja-seguro de-que- suas funções de forma para todos os nós sejam lineares entre os nós 1 e 2. Use as coordenadas triangulares e expresse as suas respostas usando os termos das coordenadas.
Figura 7.32 Elemento triangular com cinco nós do Problema 7 .4. ·
146
CAPITULO SETE
Problema 7.5 pípedo com oito nós. Deduza as derivadas das funções de forma e da matriz B do elemento paralele Problema 7.6 as funções de forma do elemento hexaUsando o produto tensorial de funções de forma unidimensionais, construa ~co com 27 nós. Problema 7 .7 elemento hexaédrico com 27 nós. Deduza as derivadas das funções de forma e da matriz correspondente B do Problema 7 .a 7 .8. Expresse os valores de parâmeConsidere duas vizinhanças de elementos triangulares, como mostrado na Figura (7.17) em termos de parâmetros Equação pela definida tros f3; descrevendo uma equação de uma borda do elemento + alJ· aíx + ~ = ~(x,y) elemento do domínio o sobre ação ~descrevendo uma aproxim Problema 7.9 do elemento quadrilateral com quatro Mostre que um triângulo de tensão constante é obtido colapsando os lados 1-2 nós mostrado na Figura 7.33. y
~
x : _____ _____ _4.__. ._ 4
~I
Figura 7.33 Quadrilátero com quatro nós do Problema 7.9.
Problema 7.1 O Ç = 71 = O, é dada por ÔNt Considere o elemento isoparamétrico com quatro nós. Mostre que ôNt na origem, ôx 8x A/4. e que J = det(J'[O ,O)) =
= Yl4 2A
~------~--~~~--~~----------------------------·
ll·~ ",
8 Formulação de Elementos Finitos para Problemas de Campo Escalar Multidimensionais este capítulo, descrevemos como os sistemas de equações algtbricas são desenvolvidos a partir da formulação fraca e das aproximações de elementos finitos para as soluções tentativas e funções peso dadas no Capítulo 7. Iniciamos considerando a condução de calor em duas dimensões. Com poucas modificações, os procedimentos são aplicáveis a qualquer outra equação de difusão, para os casos em três dimensões e ainda à equação de advecção-difusão. O procedimento espelha-se no que fizemos em uma dimensão. As maiores modificações são que as matrizes apresentam dimensões diferentes, e as matrizes condutâncía do elemento aparecem como integrais sobre uma área e as matrizes de fluxo como integrais sobre uma linha.
N
8. 1 FORMULAÇÃO DE ELEMENTOS FINITOS PARA PROBLEMAS DE CONDÜÇ ÃO DE CALOR BIDIMENSIONAIS1 Iniciamos com a formulação fraca das equações de condução de calor. A formulação fraca para o problema de condução de calor foi desenvolvida na Seção 6.3. Na forma matricial, ela é escrita como. determine T(x, y) E U tal que: J -(Vw)TDVTciD- = -
n
J~T~dr+ j wT~dn n
~
onde
D=
[lcxr kx,] kxy
'Recomendado para a Trnjelória de Ci!ncia e Engenharia.
"" '
lrlwe
Uo,
(8.1)
148
cAPITuLo orro
y
~--------------------------~ X
Figura 8.1 Modelo de elementos finitos em duas dimensões.
Como um primeiro passo, o domínio do problema é subdividido em elementos triangular, quadrilateral ou uma combinações desses elementos conforme mostrado na Figura 8.1; o número total de elementos é denotado por n.r O domínio de cada elemento é denotado por n•. Em seguida, as integrais em (8.1) são substiruídas pela soma das integrais em n.1 elementos:
(8.2)
A aproximação de elementos finitos para a solução tentativa e função peso em cada elemento é dada por. nM
T(x,y) ~ r (x,y) = N' (x,y)d' = 'L_N1(x,y)1j
(x,y) E
st•
(8.3)
/• I
w7 (x,y)~w•T(x,y)
....
= N'(x,y)w = 'L_Ní(x,y)wJ
(x,y) E Sl'
(8.4)
/a)
em que n,. é o número de nós do elemento. Em (8.3) e (8.4) N•(x, y) é a matriz função de forma do elemento, d' = W' ]T é a matriz dos valores nodais do elemento T' F é a matriz temperarura do elemento e w< = [~ [T; da função ~o. Note que para uma formulação de elemento isopar~é'trico (veja Capítulo 7), as funções de fonna são expressas em termos dos coordenadas (narurais) €e T) do elemento. As temperaruras nodais do elemento estão relacionadas com a matriz de temperarura global pela matriz com coeficientes dispersos V (essa matriz é construída exatamente como descrito para o caso unidimensional no Capítulo 2) da seguinte forma:
w; ...
r; ...
(8.5)
Combinando (8.3), (8.4) e (8.5) obtemos uma relação para a solução tentativa e a função peso em cada elemento:
(a) (b)
= N'(x,y)L'd wT(x,y) = (N'(x,y)w')T = wTL'TN'T(x,y) r(x,y)
(8.6)
O campo de gradiente é obtido tomando o gradiente de (8.3):
VT'
=
_ fJT
[-fJT< ây
=
_IT'f+-272 +···+~ ~ l 8N' 8N' [8N' 8x ax ax n.,
aw aw 8N' .. ·+~~ +-272+ _177 8y n., 8y ây
8Ní 8x [ 8Nf 8N~
&i &i
... 8N:.._l 8x 8N:.._
d'
fiY
Em uma notação mais compacta o gradiente é dado por:
Vr (x ,y)
= (VN' (x,y))d' = B'(x,y)d' = B'(x,y)L'd,
(8.7)
em que
B'(x,y)
= VN'(x,y) .
Aplicando o operador gradiente em (8.6b), segue-se que o gradiente da função peso é
(Vw'f
= (B'w')T = w'TBcT = (Uw)TBtT = wTL'TB•T,
Iremos partir as matrizes globais como
(8.8)
r ~-·
~r~ }
'.,_;
:. r
Formulação de Elementos Rnltos para Problemas de Campo Escalar Multidimenslonals 149
A parte~matriz denotada pelo subscrito 'E' contém os nós sobre os contornos essenciaís. Como indicado pela sobrebarra em dE, esses valores são conhecidos. As submatrizes denotadas pelo subscrito 'F' contêm todos os valores nodais 'restantes: essas entradas são arbitrárias, ou livres, para a função peso e desconhecidas para a solução tentativa. A partir da estrutura de d e w e do grau de continuidade 0J das funções de forma, segue-se que as aproximações em elementos finitos das funções peso e soluções tentativas são admissíveis, isto é, T"(x) E U e w"(x) E U • Substituindo 0 as aproximações da solução tentativa e da função peso, como dado em (8.6), (8.7) e (8.8), em (8.2), obtemos
(8.9)
Nessa equação, substituímos as funções peso arbitrárias w(x, y) por parâmetros arbitrários w P que representam uma porção de w correspondente aos nós que não estão sobre o contorno essencial. Como na dedução mostrada no Capítulo 5, definimos as seguintes matrizes elemento: Matriz condutância do elemento:
Matriz fluxo do elemento:
(8.11)
em que fi. e r0 são as matrizes de contorno do elemento e do fluxo da fonte de calor, respectivamente. A formulação fraca pode então ser escrita como
'Vwp.
(8.12)
O sistema (8.12) pode ser reescrito como
'Vwp,
(8.13)
em que
r=Kd-f,
(8.14)
e as matrizes globais são montadas como anteriormente:
....
K = Í::.L~TKcr.c, .
(8.15)
c=I
Lembre-se que, na prática, nós não multiplicamos pelo operador de dispersão dos coeficientes e pelo operador reunião, mas, em vez disso, fazemos montagem direta. Isso será ilustrado nos dois exemplos apresentados a seguir. Seguindo a dedução feita no Capítulo 5, partimos w e r na Equação (8.13) nos nós E e F: (8.16) e como wE = O e w F é arbitrário, a partir da Equação (8.16), pelo uso do teorema do produto escalar, obtemos a forma partida como
em que ~. K,. e ~ são partidos para serem congruentes com a partição de d e f. A equação anterior pode ser reescrita como (8.17)
·• 150 CAPiTuLO OITO
c (2,1)
D (0,1 )
Q=20
T=O
A (0,0) Figura 8.2 Definição do Problema para o Exemplo 8.1.
e resolvida usando uma aproldmação panida de dois passos ou pelo método da penalidade. Dustramos a aplicação do método de elementos finitos para o problema de condução de calor no donúnio descrito na Figura 8.2 usando dois elementos triangulares (Exemplo 8.1) e um elemento quadrilateral único pela utiliz.ação da quadratura de Gauss (Exemplo 8.2).
~ Exemplo 8.1
Considere o problema de condução de calor esboçado na Figura 8.2. As coordenadas são dadas em metros. A ~], e k = 5 W oc- 1• A temperatura T = Oé prescrita ao longo dos condutividade é isotrópica com D = k [
b
lados AB e AD. Os fluxos de calor q = O e q = 20Wm-• são prescritos nos lados BC e CD, respectivamente. Uma fonte de calor constante s = 6 Wm - 2 é aplicada sobre a placa. A malha de elementos finitos que consiste em dois elementos triangulares é mostrada na Figura 8.3. É importante notar que as condições de contorno essenciais precisam ser encontradas, e então os nós na interseção dos contornos essencial e natural são nós de contorno essencial. Por isso, quando o método da partição é usado, esses nós precisam estar entre aqueles numerados em primeiro lugar, como mostrado na Figura 8.3. A matriz B' para o triângulo com três nós é dada por (veja Equação [7.20])
em que
Como B' e k são constantes e D' = kl , a expressão da matriz condutância pode ser simplificada como K'
=f B'TD' B'
dO=
f
B'TB'kdO
= B'TB~k
~
~
f
dO
~
ou Ke
=kA'B'TB'.
Uma numeração no sentido anti-horário é usada para os nós do elemento local, como mostrado na Figura 8.4.
Figura 8.3 Malha de elementos finitos do Exemplo 8.1.
Fonnulação de 8ementos RnitDs para Problemas de campo Escalar Multidlmensionals 151
3
2 Figura 8.4 Uma numeração no sentido anti-horário dos nós do elemento.
Para o elemento 1, a numeração do nó local e as coordenadas do elemento são dadas na Figura 8.5. A área do elemento 1 6 A m = 1 e a matriz B(l) resultante 6
B (l)
=!2 r-0.5 1-· -2 o
-O.SJ 2 .
A matriz condutância e a correspondente numeração dos nós global das linhas para o elemento 1 é
K<1l = kA.(1lB< 1lTB(I)
=
I.
t·
5.3125 -0,625 -0,625 1.25 [ -4,6875 -0.625 [1} [2}
- 4,6875] (1] -0,625 (2) . 5,3125 [3) [3]
í :
i·
De modo similar, para o elemento 2, a numeração do nó local e as coordenadas do elemento são dadas na Figura 8.6. A área do elemento 2 é A
0,5 -0,5]
O
2
-2
o .
l
A matriz condutância do elemento 2 é K(2)
= kA(2)B(2)TB(2) =
10
-~0
[
[2] ·
-10 o (2] 10,625 -0,625 (4]. -0,625 0,625 (3]
[4]
[3]
A matriz condutância global é obtida pela montagem direta das matrizes condutância dos dois elementos:
5,3125 -0.625 -4,6875 -0,625 11,25 -0.625 K = [ -4.g875 -0,625 5,9375 -10 -0,625 [1) [2] [3)
o
-10 -0.625 10.625
]111[2] [3] . [4]
[4)
Vamos agora considerar a matriz fonte do elemento
rrn
=f N•Tsdn, fi'
. em que as funções de forma do elemento ttiangular são
1 (0,0)
Figura 8.S Numeração do nó local e das coordenadas do elemento 1.
152
CAPinJLO OITO
3 (0, 1)
2 (2, 1)
~ 1
(2, 0,5)
Figura 8.6 Números dos nós local para o elemento 2.
Nf =
~. (xíY)- xJY~ + (yí- Y))x + (x)- xí)y),
Ní = ~. (x)yj- xjy) + (y)- yi)x + (xj- x))y), N) =
~. (xjYi- x":zYí + (yj - Yí)x + (xí - xj)y).
No caso especial quando sé constante, o uso de
l N; dst = A' /3 (veja Figura 8.7) fornece uma expressão para
a formulação fechada para a matriz fonte do elemento,
As matrizes fonte do elemento para os elementos 1 e 2 são dadas por
A montagem direta das matrizes fonte do elemento leva à matriz fonte global
fn
=
2+2] 1 [2]11} 3 12} 2 + 1 = 3 I3J' [ 1 1 141
Agora prosseguimos com o cálculo da matriz fluxo de contorno do elemento
rr =-f N•Tqdr. I'f Observe que o elemento 1 possui duas bordas sobre o contorno essencial (onde a temperatura é prescrita) e uma interior. Nenhuma das bordas está sobre o contorno natural, isto é, fi:>= O. Por isso, o elemento 1 não contribui para a matriz fluxo de contorno. Para o elemento 2, q = 20 sobre CD, que é o único lado do elemento que contribui para a matriz fluxo de contorno. Iniciamos por avaliar a função de forma Nm ao longo do lado CD:
fV51)
1~ 1
1
3
A<'> 2 Figura 8.7 Volume sob a função de forma N-11!
Fonnulação de Elementos Finitos para Problemas de campo Escalar Muttidimenslonals 153
~(l) [42>y~2J _ x~2Jy~2) + (y~l) _ y~l~)x + (x;z)_42>)y]
~(l) [42>y~2) _ x~2Jy~2) + (y~2) _ Y\2l)x + (x\2) _ x~z>)y] ~(2) H2)Yi2) -42ly\2) + (y\2) -l')x+ (x?> -x\z>)y]
O~x ]·
= [
-0,5x+ 1.0
y.t
Pode-se ver que as duas funções de fonna não-nulas coincidem com as funções de forma linear do elemento com dois nós. A matriz de fluxo de contorno resultante para o elemento 2 é dada como
r<Ç> = -20
l [l
J
o dx = 0,5x -0,5x + 1
.r-2 [
.r-o
[?J . o [4] -20 -20 [3]
Esse resultado é esperado visto que a energia total sob a forma de calor (- 20 X 2) é igualmente distribuída entre os nós 3 e 4. A montagem direta da matriz de fluxo de contorno para o elemento 2 fornece
fr=
[-t]. -20
Finalmente, o segundo termo da matriz de (8.17), que inclui o fluxo global e as matrizes residuais, é dado como
O sistema global de equações.resultante é dado por
5.3125 -0,625 11,25 -0.625 -0,625 -4,6875 [ -10 o
-4,6875 -0,625 -10 5,9375 - 0,625 -0,625 10.625
0
l[l [ 0OO
T4
2]
rz+3 + 17 · -19
Tt
=
r3 -
A partição após as primeiras três linhas e colunas fornece
T4 = -19/10,625 = -1.788.
l
As matrizes de temperatura global e do elemento resultantes são
d=
oo
[ -1.788
'
d (l)
o] [o [3]
= o
[I) [2)'
d(l)
l
o [2) -1,788 [4] [ o [3]
=.
.
As matrizes de fluxo são
~ Exemplo 8.2 Considere o problema de condução de calor esboçado na Figura 8.2. O donúnio é discretizado (malhas) com um elemento quadrilaterall1nico mostrado na Figura 8.8. A quadratura de Gauss 2 X 2 desenvolvida no Capítulo 7 é · usada para a integração das matrizes de elemento. é A matriz de coordenádas do elemento
154 CAPITuLO OITO 4 (2, 1)
1 (0,1)
(1)
2 (0,0)
Figura 8.8 Numeração do elemento para o Exemplo 8.2.
[o
o o1 ~ .x1 Xí >1] r i= x3 >1 = 2 o.5 [
1~
~
~
2
l ·
1
As funções de fonna do elemento quadrilateral com quatro nós no domínio de referência são
~{Ç, TJ) = ç- 6
T}- '/}4 '/}4
€1 - Ç2 TJI -
=~{I - Ç)(1- TJ), 4
~Q(Ç, T})
= ç- ç.
=! (1 + Ç)(1 -
NjQ(ç, TJ)
=;- ~
= _41 (1 + Ç)(1 + TJ),
T}- 174 ç2 - ç. 711 - 714 T} -1]1 t,2 - t,1 '/}4- TJI
~(Ç,7J) = Ç-Ç2 11 ô - ç2 1}4 -
1]1 711
TJ).
4
=~(1-Ç)(l+TJ). 4
O gradiente no domínio de referência é
mt.Q 1
GN4Q=
. 2Q a~
att.Q 3 1 - 77 -Ç-1
T T T [ ôNf ôN~ ôNj &I &I"&/
l +T} 1+ Ç
l
A matriz jacobiana, o determinante da matriz jacobiana e a inversa da matriz jacobiana são dadas a seguir:
oo .
1-ç] [~ o~ =l1
-11- 1
det
J (l )
(J(l))-1
o1
r o o,125!7- 0,375
o,I25Ç+O,l25]'
= IJOll = -0,1257] + 0,375,
3; 1]
= .!.ti11 o . [ 77-3
As derivadas das funções de fonna com relação ao sistema de coordenadas cartesianas global são
B(l)
= (J(l))-1 (GN4Q) = (J(1Jr1 ~ [TJ- 1 4 ç- 1
1 -1) 1 + 17 -TJ - 1] . - Ç- 1 1 + ç 1 - ç
A matriz de condutãncia e a matriz de fluxo são calculadas usando uma quadratura de Gauss 2 X 2 com os seguintes pontos e pesos de amostra: 1 1Jl =- ..;3'
A matriz de condutãncia é dada por
Formulação de Elementos Rnltos pata Problemas de CamJ)o Escalar MultidimensionaiS . 155
K = K( 1l
=f B•TJYB• dn :;= k 11 B(I)TB(ll!JOl j ~d1J !l
2
2
1~ 1
}=1
1
1
-1
-1
= k 2:2: W;l.t)jJ(ll({;, '1t)IB0lT({1, ru)B(Il(ç1, 1JJ). Somando a contribuição dos quatro pontos de Gauss obtemos ~
=
-3.51 -2,98 1,73 4.13 1.73 6.54 -2,36 -5,29
4,76 -3,51 [ -2.98 1,73
1.73] -2.36 -5,29 . 5.91
A matriz de fonte é dada como
fo =
f
s(N4Q)Tdn =
o-
I: I:
s(N4Q) TIJ(Il
I~ d77
~(Ç,"7)
~(Ç,"7) ~(Ç,fJ)
( -0,125" + 0,375) d{"" -
t.
2,5] 2 [
~(Ç,f]) A única contribuição para a matriz de fluxo de contorno vem da borda CD. Observe que a direção positiva ~ no domínio do elemento de referência é definida a partir do nó 1 para o nó 2; a direção positiva 17 dos pontos do nó 1 para. o nó 4. Por isso, a borda CD no domínio ffsico corresponde a ~ = -1 no domínio de referência do elemento. A matriz de fluxo de contorno pode ser integrada analiticamente ou pelo uso da quadratw:a de Gauss de um pOnto:
....z
fr
=-
f q(~)'T di'=- f rco
qN4Q(Ç = -1, 17)T dx
.-o 1
-(1- '7) 2
o o
1 2Y +1J) A matriz resultante do segundo termo é dada por r1
_ ro + rr + r-
[
- 17,5] rz + 2,5 r3+2 .
- 18
O sistema de equações global é
_ [ ~1~--=~t?..L...:-~.?.-ª -3,51 -2,98 1,73
4,13 1173 -2,36
1,73
6,54
-5,29
que leva a T4 = -3,04. A matriz de temperatw:a global é
d= d (l)
= [
~
T4
l
=[
~
]·
-3,04
· A matriz de fluxo resultante é calculada nos pontos de Gauss e é dada como
d77=
-:o] [o -20
.
156 CAPITuLO OITO
~ Exemplo 8.3 Considere o problema de condução de calor dado no Exemplo 8.1 modelado com 16 elementos finitos quadrilaterais como mostrado na Figura 8.9. Resolver esse problema manualmente, usando o método de elementos finitos, evidentemente não é factível. Iremos resolver esse problema usando o programa de elementos finitos dado na Seção 12.5.
Conduç-:io de calor em 2 O com 16 elemento.s 1.2
y
1-
Condição de conlomo natural (fluxo)
I
-{),2 0~------0~.5------~------~1.~5------~2
Figura,8.9 Malha de 16 elementos e contorno natural.
Distribuição de temperatura
0.8
0,6
0,4
0,2
o.s
2 X
Figura 8.10 Distribuição de temperatura na malha de 16 elementos.
Fonnulação de Elementos Finitos para Problemas de Campo Escalar Multldimenslonais 4
157
r---------------------~3
• X X
UR LA
2
Figura 8.11 Localização dos pontos de Gauss para a numeração dos pontos locais mostrados.
O programa de elementos finitos e os arquivos de entrada estão detalhados na Seção 12.5, e recomendamos que você invista algum tempo para compreender a sintaxe do progiama de elementos finitos. Os resultados pós-processados para a temperatura e o fluxo são mostrados nas Figuras 8.10 e 8.12; Você deve estar apto para obter gráficos idênticos fazendo o programa funcionar. Os fluxos são calculados pelo loop sobre o número de elementos. Para o elemento quadri.lateral de quatro nós, existem quatro pontos de Gauss, conforme mostrado na Figura 8.11. A matriz de fluxo de calor é desenhada em cada ponto de Gauss no domínio físico, conforme mostrado na Figura 8.12.
8.2 VERIFICAÇÃO E VALIDAÇÃQ2 Um aspecto critico das aplicações de elementos finitos é a verificação e a validação. A forma mais rápida de. lembrar os seus significados é usar as definições de Roache: Verificação: As equações estão sendo resolvidas corretamente? Validação: As equações resolvidas são ·as corretas? A primeira pergunta é uma questão de lógica e programação correta: parte da resposta está na correção dos elementos e na formulação fraca usada no programa, na correção do resolvedor e no pós-processamento. Parte da resposta está na programação: os procedimentos estão programados corretamente? Para programas de computador comerciais, um plano de verificação extensa é nonnalmente incluído no programa e a maior parte dos usuários confia na adequação desse plano; assim vale a pena, algumas vezes, fazer o programa funcionar com um ou dois problemas para se assegurar de que os recursos que você está usando funcionam perfeitamente; existem tantos recursos nos programas computacionais comerciais que provavelmente é impossfvel verificar todas as combinações, de modo que se você usar alguma coisa particularmente incomum ou nova, a verificação pode valer a pena. Para programas desenvolvidos por você, a verificação é essencial. No processo de verificação, é necessário estabelecer que o programa de elementos finitos resolva corretamente a formulação forte. Isso não é fácil, visto que as equações são resolvidas aproximadamente, e, como vimos, a solução por
Fluxo de ça)or 1,4
1- Condição de contorno natural (fluxo) I
1,2
..
~
.
·I
0,8 :o..
0.6
Figura 8.12 O ftuxo de calor calculado nos pontos de Gauss do elemento.
'Recomendado para a Trnjetória de CienCia
eEngenharia.
158 CAPITULO OITO
Figura 8.13 Uma malha típica de elememos finitos para o teste parcb.
elementos finitos não satisfaz exatamente a equação de governo ou as condições de contorno naturais. As aproximações habituais para verificação dos programas de elementos finitos são feitas por meio de um programa de convergência: as soluções por elementos finitos geradas pelo programa convergem para a solução correta? Entretanto, é muito útil fazer funcionar o teste patch, que está descrito nesse texto, antes que os estudos de convergência sejam realizados. O teste patch tem se tornado onipresente como uma forma de verificar os programas de elementos finitos. Ele é extremamente simples, e é recomendado até para programas de computadores comerciais em sua primeira utilização. Para um programa caseiro, ele é essencial antes de tentar quaisquer problemas mais complicados. O teste patch tem como base as propriedades da completude linear e o fato de que se uma aprox.imação por elementos finitos contém a solução exata, então o programa de elementos finitos precisa obter a solução exata . Iremos primeiramente descrever o teste patch, e em.seguida explicar por que ele funciona. No teste patch, é feita uma malha, tal como mostrado na Figura 8: 13; a malha pode ser bastante arbitrária, mas é importante possuir elementos irregulares, pois alguns elementos às vezes são satisfatórios quando apresentam formas regulares, tais como retângulos, mas funcionam bem pior quando distorcidos. De quatro a oito elementos são suficientes; quando você checar o seu próprio programa com o teste patch, uns poucos elementos são preferíveis, porque se você falhar com o teste patch, necessitará sair com muitos dados de elementos. A malha é agora utilizada para resolver a equação de condução de calor com as temperaturas prescritas (condições de contorno essenciais) em todos os nós com os valores nodais obtidos do campo linear:
T(x,y) =ao+ a1x + a2y,
(8.18)
em que a 0• a, e a2 são constantes arbitrárias; você pode estabelecê-las como quiser, porém devem ser todas diferentes de zero. Se você estiver checando o seu próprio programa, é melhor atribuir a elas valores diferentes, de forma que você possa reconhecê-las na saída. Quando fizer funcionar um programa de elementos finitos, a solução para as temperaturas nodais deve ser dada exatamente por (8.18) com os números que você escolheu para ar e o fluxo de calor deve ser constante através da malha. Os valores devem concordar com os valores exatos dentro da precisão da máquina, que pode variar de 10-• a I0- 1o. Mesmo diferenças como de 10- 3 algumas vezes indicam que algo está errado no programa ou na formulação. Por que isso funciona? Se você considerar a equação de condução de calor (6.15), pode ver que um campo linear é uma solução quando não ex.istem fontes. A prescrição das temperaturas ao longo do contorno por esse campo significa que o campo (8.18) satisfaz a equação de governo e as condições de contorno. Como a solução para um problema linear é única, ela precisa ser a solução exata. Além disso, como a solução exata está incluída no conjunto de aproximações de elementos finitos (como os elementos precisam ser completos lineares), solução por elementos finitos precisa ser a solução exata. Embora ex.ista alguma controvérsia sobre esse tópico, existe pesquisa considerável que mostra que qualquer elemento que satisfaz o teste patch é um elemento convergente. A outra aproximação para a verificação é checar a convergência para outras soluções exatas. Para condução de calor, muitas dessas soluções estão disponíveis na literatura. A verificação consiste então em resolver o problema com malhas cada vez mais finas, como no Exemplo 8.4, e checar se a solução converge. A taxa de convergência deve ser maior do que l na norma L2 e otimizada conforme a regra dada na Seção 5.7. Ex.istem muitas situações em que as soluções exatas não estão disponíveis. Por exemplo, não existem soluções exatas para problemas com condutividade anisotrópica variável. Embora possa ser questionável que um programa testado para condutividade isotrópica também funcione para condutividade anisotrópica, é preferível verificar o programa para tais aplicações, se este tiver que ser utilizado muitas vezes. Quando não existirem soluções exatas (forma fechada) para uma equação, é possível construir tais soluções: tais soluções construídas são chamadas de soluções fabricadas. A aproximação é bastante direta. Uma primeira forma é proposta como solução, e é desejável que ela seja razoavelmente desafiadora. Por exemplo, uma formulação freqUentemente usada para verificar quão exatamente o programa trata com altos gradientes é
a
T
= cos 2
3)),
(8.19)
em que (r, cf>) são as coordenadas polares e c é um parâmetro arbitrário. Esse campo é em seguida substituído na equação de governo e usado para obter uma fontes:
Fonnulação de Elementos Rnitos para Problemas de campo Escalar Multldlmenslonals 159
s = { (2c2 tgh[c(r- 3)]--;- ~)
sec~2 [c(r ~ 3)) + ~ tgh[c(r- 3)J} cos 24>
(8.20)
que satisfaz a Equação (6.15). As condições de contorno também são construídas a partir desse campo: pode-se escolher qualquer combinação das condições de contorno essenciais e naturais, embora o contorno precise ser uma condição essencial suficiente para que as equaÇões do sistema não sejam singulares. Por exemplo, as condições de contorno essenciais podem ser construídas _pela substituição da(s) equação(ões) que descreve(m) o contorno do domínio na Equação (8.19). A solução 'fabricada' resultánte (8.19) satisfará as condições de contorno e as equações de governo com a fonte dada em (8.20). Por causa da singularidade das soluções para sistemas lineares, ela precisa ser, portanto, a única solução. O programa pode ser testado verificando se a solução converge para essa solução fabricada. Os mesmos procedimentos usados para checar a convergência no Exemplo 8.4 são usados. A validação é centrada na área de aplicação e na modelagem. O modelo que você desenvolveu, particularmente, as condições de ~ntorno, fontes, as propriedades do inàterial eté·.• representa adequadamen te a situação física real? Por exemplo, no exemplo do fluxo de calor através de uma parede, prescrevemos a temperatura superficial interior como a temperatura ambiente e consideramos que o fluxo de calor através da parede é todo por condução. Entretanto, quando está muito frio no lado externo, a temperatura da parede no lado interior será significativamente menor do que a temperatura do recinto, porque a convecção dentro do ambiente não permite que a temperatura seja mantida constante pelo recinto. Além da condução, existe a transferência de calor através da parede por fluxo de ar em frestas de portas e de janelas. Além disso, a condutividade térmica das diversas partes da parede variará com a umidade contida, o tipo de instalação, e assim por diante, e em qualquer caso não combina com os valores de entrada. Pode-se tentar escapar da consideração de temperatura ambiente constante pela modelagem do fluxo de ar no ambiente, e tais modelos mais completos estão crescentemen te sendo usados. Entretanto, com os modelos mais completos, precisam ser feitas considerações de modelagem, tais como a colocação de mobilia na sala, ocupação etc. Então, os modeladores precisam em algum ponto considerar a questão de que o nível de detalhes é suficiente para suas finalidades e de como o modelo pode ser validado. A forma mais direta para validar um modelo é realizar um teste ou experimento que reproduza rigorosamente a situação de interesse. No caso de condução de calor em uma parede, uma parede seria construída, amplamente instrumentada, e o modelo validado, com os seus prognósticos, pela comparação das temperaturas em diversos pontos da parede. Geralmente pode-se considerar que a condutividade térmica da parede, ao menos por partes, é conhecida com exatidão suficiente, de forma que as diferenças na temperatura em dois pontos da parede sejam suficientes para prover uma boa estimativa do fluxo de calor. Entretanto, a validação por esses meios é muito cara e consome muito tempo. Em muitos casos, para problemas simples como esse, formas mais criativas precisam ser achadas para validar o modelo. Um método é usar os dados disponíveis na literatura. Embora esses dados possam não ser precisamente para o mesmo tipo de parede, se foram ob~dos a partir de medições, podem ser levados em conta para algumas considerações, tais como diferenças entre temperatura do ar ambiente e temperatura da parede no interior e outros fatores de perda de calor. Podem-se usar testes e experimentos que sejam bastante diferentes da situação que está sendo modelada para validar um programa. Por exemplo, um modelo para perda de calor em um componente eletrônico pode ser validado em alguma extensão pela perda de calor em aletas de motor. As escalas das duas situações são bastante diferentes, mas as leis escalares estão disponíveis para perdas de calor por convecção, que podem então ser usadas para estimar quão bem o modelo de elementos finitos aplica-se a modelos em escala menor de um componente eletrônico. Obviamente, quanto mais próximo os dados estiverem da situação real de interesse, mais úteis são para validação. Em análise linear, a validação é simplificada substancialmente em comparação com a análise não-linear, porque a produção, isto é, os resultados dependem linearmente dos dados. Portanto, se existe um erro de 20% na condutiviàaàe, o erro máximo no fluxo de calor devido a essa discrepância é também de 20%. Por..anto, a estimativa de situações possivelmente piores em comparação ao modelo pode facilmente ser feita. Em análise não-linear, o caso é diferente; por exemplo, uma diferença de 20% na força aplicada de um material pode significar a diferença entre tensões aceitável e de ruptura. Além do mais, em análise linear, as considerações mais importantes na modelagem são os dados da fonte, as condições de contorno e as propriedades do material. Uma vez que foi determinado que a análise linear é adequada, essas são as únicas fontes de erro. Em análise não-linear, existem muitos outros aspectos que necessitam ser validados: a lei do material não-linear, as leis de mudança de fase, a estabilidade de soluções etc. -- - Em resumo, a-Validaçãoé.UJD.dos maiores-Gesafios no~~nvolvimento deum·modelo. Gada domínio de problema exige um programa distinto de validação. É muito importante ser consciente das considerações que foram feitas para o desenvolvime11to do modelo e a mágnitud~ de seus efeitos sobre a produção e as dc:cisões do projeto.
~
Exemplo 8.4
Neste exemplo, consideramos uma solução fabricada na "formá
T = (r- a)2 =
x1 + 1- 2a·/x2 + y2 + al,
definida sobre o domínio de uma placa quadrada com um furo, como mostrado na Figura 8.14. Para a equação do calor com condutividade isotrópica e k = 1, o termo fonte correspondente que satisfaz (6.15) é dado por
160 .CAPITuLOOrTO
Figura 8.14 Uma pl
=:!:b e fluxo prescrito em y =:!:b.
X
Figura 8.15 Distribuição de temperatura para malha mais grosseira (34 elementos) e mais refinada (502 elementos).
As condições de contorno essenciais sobre
T(r=a) =0,
r
T
são
T(x = ±b,y)
= a2 + b2 + J- 2aJy2 + b2.
As condições de contorno naturais sobre f são (q = - knTVT) 9
q(x,y=b)
=-
:(x,y=b)
. · ar
=2b(~-1) , (
2a) + y2 .
q(x,y = -b) =- ôy (x,y = - b) = 2b 1 - Jx2
A Figura 8.15 retrata as malhas. mais grosseira e a m.ais refinada consideradas nos estudos de convergência e a distribuição de temperaturas nas duas malhas. A Figura 8.16 compara a distribuição de temperatura ao longo da linha GG' obúda com as duas malhas contra a solução exata. Finalmente, a Figura 8.17 retrata o gráfico log-log do erro nas normas L2 e de energia (veja Equação (5.51)) e uma aproximação linear obtida por uma regressão linear dos mínimos quadrados. Pode-se ver que as inclinações aproximadamente iguais a 1 e 2 nas normas L 2 e de energia, respectivamente, são bem próximas dos valores teóricos. Resultados idênticos foram achados em uma dimensão na Seção 5.7.
8.3 EQUAÇÃO DE ADVECÇÃO-DJFUSÃ03 Nesta seção, desenvolvemos as equações discretas dos elementos finitos para a equação multidimensional de advecçãodifusão. O desenvolvimento é semelhante àquele para advecção-difusão unidimensional. Entretanto, aqui introdu-
'Recom.endado para a Trajetória Avançada.
Fonnulação de Bementos Rnltos para Problemas de Campo Escalar Multidimenslonals 161 0,7 .-----....- -----.---- -r------.
l
--FE (34 elementos) •
················r· =~~2 elementos)·· ·············· ..............~...'----...:..,..---~
b
o
...,...
j
j.................!. . . . . . . . l.......... .... ....... .......t···· .............!. . . . . . . . .
0,4 .... .. ........
g 0,3
~ • 8. o2
e
l. . . . . . . .
·r·-·················~·-················t·
E
····--··-·
...................................
~ ._9,1
Figura 8.16 Temperatura ao lo~go da linha GG' para malha mais grosseira (34 'elementos) e mais refinada (502 elementos).
ziremos uma forma de eliminar os 'wiggles', isto é, as instabilidades da formulação de Galerkin. As equações serão desenvolvidas .somente para difusão constante isotrópica. Para os objetivos que se tornarão claros mais tarde, definimos o resíduo r(x) para a equação de advecçã
(8.21) Consideramos as condições de contorno essencial e natural como dado em (6.44). As soluções tentativas e as funções peso são dadas pela aproximação padrão dos elementos 'finitos (8.6). Essas aproximações da solução tentativa e da função peso são admissíveis para a formulação fraca da equação de advecção-difusão, visto que elas são U e U0, respectivamente. Substituindo as àproximações dos elementos finitos (8.6) na formulação fraca (6.47) e subdividindo o domínio n nos domínios do elemento obtemos
,..,
WG =
I:Wó =0, e.: I
Wé; =
wT{ f ((v.. NeT~~ +vyN'Tâ;) +B'Tk"B'íl) dOcY +f N'Tqdl'- f N'Tsdíll = 0, ~
~
fr
J
(8.22)
em que o termo W0 no primeiro termo é usado para indicar que esse termo discreto vem do método de Galerkin. Definimos a matriz do elemento para ser o coeficiente de d' e o resto para ser a matriz de fluxo do elemento. Isso · fornece
l
-.- ----·--- - - - -
:
:
:,?"
:
~..........
· --.\·=1.392162+ 2.022il3ó•x _ -=r·····~ ~:· :~1· ~ ·····::.:~~-:...~~·-:··~=·~=~I==
10o_~
__. . .
--+- nonna do erro ~ norma da energía
.
.
..... ... ... . . .
su
..
.
.
.... .. .. ...
•
'
t
..··
•
• - · · · · • •.to. . . . . . . . . . . . . -~······....................
• . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . - - - . . . . . . .
'
_.k ;_.. ; . .-- ""-y=0.469 265+ I.Q17lo10•.\'
.
100. 1
:
)~~~-~......................... ..........~ ..:....... ~
..~.
.:
:'
:
.:
log(h)
Figura 8.17 Convergência nas normas~ e de energía.
" 162
CAPÍTULO OITO
K(;
=f ((vxN'Tô:X' +v N'Tô;') + B'Tk'B') df2, n• f(;=- f N'Tqdr +f N'Tsdf2. 1
~
(8.23)
(8.24)
O<
A primeira parte em (8.23) aparece do termo advectivo. A segunda parte na matriz do elemento é a matriz de difusividade e é idêntica à matriz deduzida na Seção 8.1, mas aqui está limitada ao caso isotrópico. Os fluxos nodais são exatameme iguais àqueles na equação de difusão, mas adicionamos um subscrito 'G' para distingui-los de outro conjunto de fluxos nodais que entram para o caso estabilizado. Substituindo (8.23) e (8.24) em (8.22) obtemos n,, (8.25) (K(;d• -f(;) =o. wG =
:L wr t~l
O método de estabilização que descreveremos é o GLS (Galerkin leost square), método de estabilização dos rrúnimos quadrados de Galerk.in, desenvolvido em Hughes et al. (1989). Desenvolveremos o método somente para elementos lineares. Para motivar esse método, primeiro observe que se pode resolver a equação de advecção-difusão por elementos finitos, por minimização do quadrado do resíduo, isto é, por rninimização
wl.S =~f ?dn.
(8.26)
n A resolução de uma equação diferencial parcial por minimização WLS é chamada de um método dos mínimos quadrados. A solução corresponde·ao rrúnimo de WLS' que é um ponto estacionário do funcional WLS" Por isso, a sua variação desaparece quando o resíduo desaparece, isto é, em uma solução, e usando os métodos desenvolvidos na Seção 3.9, segue-se que
o= óWLS =f órrdn.
(8.27)
n De (8.21), segue-se que a variação do resíduo é
ór = ii · ~68- k'\12 88. Se fizermos 88 = w (a variação não necessita ser pequena), então ór
= ii · ~w- k"i12 w.
(8.28)
O termo fonte não aparece em (8.28) porque ele é dado e não varia visto que a função 8(x) é variada. O método dos rrúnimos quadrados tende a ser inexato, mas estável. O método de Galerkin (8.25) tende a ser exato, mas torna-se instável conforme a velocidade ii aumenta. A idéia do método GLS é então adicionar um pouco da equação dos rrúnimos quadrados à formulação fraca de Galerkin de forma que o método seja exato e estável. A formulação fraca resultante é obtida pela adição de (8.22) e (8.27), que fornece WG
+ tóWLS = WG + t
j
órrdf2 =O.
(8.29)
n O parâmetro -r é um parâmetro de estabilização e sua seleção é discutida em Donea e Huerta (2003). A substituição de (8.28) em (8.29) fornece WG
+r
f
(ii · ~w- k"i1 2w)rdf2 =O.
(8.30)
n Agora, se você ficar alerta, notará que as derivadas segunda das funções peso e soluções tentativas aparecem em (8.30), de forma que o segundo integrando na equação anterior não é integrável. Como as derivadas de segunda ordem aparecem tanto na função peso quanto na solução tentativa, elas não podem ser eliminadas pela integração por partes. É um dos grandes mistérios desses métodos que esses termos sem controle possam ser simplesmente desprezados, e que ainda assim o método funcione. Substituindo as aproximações da solução tentativa e da função peso com os termos de difusão desprezados, a integral dos rrúnimos quadrados em (8.30) toma-se
Fonnulaçio"de Elementos Anitos"para Problemas de campo Escalar Multldlménslonals 163
A matriz elemento é o coeficiente de d' na equação anterior: ',
.. (8.32) O termo dos mínimos quadrados também introduz outro fluxo nodal, que é a segunda integral em (8.31):
rLS :::
f( n.
V.r
aN' {}x
4
+ v1 8N f)y
)T
sdfl.
As matrizes elemento total são então
Caàa matriz consiste em uma parte do método de Galeridn e de uma parte multiplicada pelo parlmetro de estabilidos mínimos quadrados. Isto é conseqUencia da formulação original (8.29), se as expressões resultantes em termos dos elementos são substituídas. Pode-se ver que a parte dos mínimos quadrados dos elementos da matriz é simétrica. As condições de contorno naturais são satisfeitas pela parte de Galerkin do resíduo. As condições essenciais de contorno são satisfeitas por construção, como de costume. As matrizes são montadas de maneira usual, isto pode ser visto pela substituição de d' por L'd. zação""~: da estabilização
REFERÊNCIAS Donea, J. and Huerta, A. (2003) Fmite Element Methods for Flow Problmr.s, John Wiley & Sons, Ltd, Olichester. Hughes, TJ.R., Franca, L.P. and Hulbert G.M. (1989) A New Fmire Element Fomudalionfor CompulQJioNJl FlWd Dynamics. 8 The Galeriils Least-SqUilru Method for Advection-Diffusion Equations, Computer Metbods in Applied Mechanics and Engineering, 73(2), 173- 179.
Problemas "\ Problema 8.1 Considere um problema sobre um domínio retangular (2m X 1 m), conforme mostrad~ na Figura 8.18. A condutividade térmica é k = 4W oc-t. A temperatura T = 10 oc é prescrita ao longo do lado CD. Os lados AB e AO são termicamente isolados, isto é, ij =O wm- 1; ao longo do lado DC, o fluxo no contorno é ij = 30 wm- 1• Uma fonte de calor constante é dada: s = 50 wm- 2• y
q=30
D
c
k=4
if=O
s=SO A
q =O
T= 10 B
X
F1gu.ra 8.18 Domínio retangular do Problema 8.1.
Determine a temperatura nodal e os fluxos nodais; avalie as matrizes do elemento pela quadtatura de Gauss. Use um único elemento finito retangular com a numeração de nó mostrada na Figura 8.19, de forma que as numerações
~~- ~global ~os~~coi!!ci~
y
3·------ --.·2
4 F"tgUr8 8.19 Numerações globai e local dos nós do Problema 8.1.
164 CAPiTULO OITO
Problema 8.2
1 icos com condutividades ténnica s de k1 == 4 W "C- e Consid ere um painel triangular feito de dois materiais isotróp atura consta nte == 10 oc é prescrita ao longo do lado k 2 = 8 W "C- 1 como mostra do na Figura 8.20. Uma temper do ição linear do fluxo, q = 15x W m -•, é aplicada ao longo BC. O lado AB está termicamente isolado e uma distribu . metros em são placa da õeS dimens As 0). = 3, y = lado AC. Uma fonte pontual P = 45 W é aplicada em (x tos triangulares, ABD e BDC. Faça cálculos manuais e Para a malha de elemen tos finitos, consid ere dois elemen placa. detenn ine as distribuições de temperatura e de fluxo na
t
y B
3
Termicamente
Isolado
T= 10
k 1 =4 k2 =8
______~c_________
A~------~o
q= l5x 2
2
Figura 8.20 Domínio triangular e bimaterial do Problema 8.2.
y 4
q=30
5
8=1
P= 10
3
2
8=2
ii= l5y T= lO
I·
2
2 T= lO
X
·I
Figura 8.21 Domíoio trapezoidaJ do Problema 8.3.
Problema 8.3
to retangular e em um elemento triangular, é mostrada Uma.malha de elemen tos finitos, que consist e em um elemen Uma temperatura consta nte f= 10 "C é prescri ta ao longo na Figura 8.21. As dimens ões da placa são em !Detros. te, como mostra do na Figura 8.21, é aplicado ao longo do contor no y = O. Um fluxo de contor no linear e constan Wé = 2 é termicamente isolado. Uma fonte pontual P = IO dos lados y = x + 2 ex = O, respectivamente. O lado x to elemen o para oc-• W 2 = k e 1 to elemen o para W oc-• aplicad a em (0, 2) m. O material é isotrópico com k = I centrais dos dois elemen tos. 2. Calcul e as temperaturas e os fluxos nodais nos pontos
Problema 8.4
8.22. Todas as dimens ões são em metros. Uma temperatura Consid ere um painel triangular, como mostrado na Figura 1 o Um fluxo de contorno consta nte q = 10 W m- é aplicad constante T = 5 oc é prescri ta ao longo do contorno y =O. fonte uma e painel ao da forneci é consta ntes= 10 W m-• ao longo dos lados x = 0,5 e y = x. Uma fonte de calor com k = 2 w oc-•. ico isotróp é l materia o . origem na age w pontual p 7 contor no essenc ial numera dos primeiramente. Nesse caso 1. Numer e os nós no sentido anti-horário com os nós no as das matrizes globais? as matrizes do elemen to (K' e f') serão algo diferente daquel 2. Construa a matriz de condutância. fluxo agindo sobre os lados x·=.o,5 e y = x. 3. Constr ua a matriz de fluxo de contorno resultante do uniformemente distrib uídas= 10 e uma fonte pontual P 4. Constr ua a matriz de fonte consistindo em uma fonte 7W. 5. Calcul e a matriz de temperatura desconhecida. 6. Determine as reações desconhecidas. 7. Calcul e a matriz do fluxo. 8. Qual é a máxim a temper atura no painel? Explique.
=
=
~.
--------------------------------------~
Formulação de Elementos Rnitos para Problemas de Campo Escalar Multidlrnenslonals 165 Y
B (0,51 0,5)
q= 10 A~--~--~~c____~x~ P=1 Figura 8.22 Domínio triangular do Problema 8.4.
[ ~·
r
i'
! I j: !,, f" ~
r
Problema 8.5 Implemente o elemento triangular com defonnação constante com três nós no programa computacional de elementos finitos de condução de calor. Observe que, nesse caso, as matrizes de elemento podem ser calculadas sem integràção numérica. Teste o programa em uma das duas formas seguintes: (a) contra cálculos manuais para um problema com dois elementos (veja Problema 8.4) ou (b) contra o programa MATLAB para o elemento quadrilateral fornecido nesse capítulo. No último caso, é difícil considerar malhas muito finas (p. ex., uma malha com 64 elementos para o problema na Figura 8.2 é um requisito mínimo). Isso é porque os resultados obtidos com elementos (válidos) diferentes convergem para a solução exata, conforme a malha dos elementos finitos seja suficientemente refinada.
Problema 8.6 Considere uma chaminé constnúda de dois materiais isotrópicos: concreto denso (k = 2,0 W oc-•) e tijolos (k = 0,9 W oc-•). A temperatura dos gases quentes sobre a superffcie interna da chaminé é l40°C, enquanto o exterior da chaminé está exposto ao ar ambiente, que está a T = 10 °C. As dimensões da chaminé (em metros) são mostradas a seguir. Para a análise, explore a simetria e considere 1/8 da área transversal da chaminé. Considere uma malha de oito elementos como mostrado a seguir. Detenn.ine a temperatura e o fluxo nos dois materiais. Analise o problema com elementos quadrilaterais 2 X 2, 4 X 4, e 8 X 8 para 118 do domínio do problema. Uma malha de elementos finitos 2 X 2 é mostrada na Figura 8.23. A simetria implica em condições de contorno termicamente isoladas nos lados AD e BC. Observe que os contornos do eleme.nto têm de coincidir com a interface entre o concreto e os tijolos.
'i/=
o 3
(simetria)
24 Figura 8.23 Seção transversal da chamin~ e malha de elementos finitos com quatro elementos para 1/8 do domínio do problema.
Problema 8. 7 Uma fonte de calor uniforme está distribuída sobre um domínio circular O s r s R, e a temperatura no exterior é zero, isto é, T(R) = O.
ã:-USãiido-à simetriaSêxtuPfã; resõlva õ prooleãià-einpregânaõum elemento tnangwãr- tmico, coniõ.mõStrado na Figura 8.24. Compare essa solu~o com a solução exata T(r) = s/4f<(R1 Unhas de simetria
-
y
Todos os triân~ulos 4 são eqüiláteros
. Unhas de simetria
r); compare também o gradiente.
2
1
3 6 (b)
Figura 8.22 Problema I: malha com um elemento. (b) Problema 2: malha com quatro elementos.
·
166 CAPiTuLO OITO
b. Repita o problema 2 com a malha de quatro elementos mostrada. Considere que os nós 4, 5 e 6 estão sobre r.,. de forma que r. = T5 = T6 = O. c. Repita o problema 2 com um único elemento triangular com seis nós usando as mesmas posições nodais. Avalie somente aquelas partes de K• e f' que são necessárias.
9 Formulação de Elementos Finitos para Problemas de Campo Vetorial Elasticidade Linear disciplina subjacente à análise de tensões lineares é a teoria da elasticidade. Tanto a elasticidade linear quanto a não-linear tem sido extensivamente estudada nos últimos três séculos, iniciando com Hooke, um contemporâneo de Newton. Hooke formulou o que veio a ser conhecido como a lei de Hooke, a relação tensão-deformação para materiais lineares. A elasticidade linear é usada para a maior parte das análises de tensões industriais, pois, sob condições de operação, não se espera que a maioria dos produtos sofra não-linearidade material ou geométrica. A elasticidade linear também está relacionada com muitos fenômenos importantes relevantes para a ciência dos materiais, tais como os campos de tensões e as deformações nas regiões de fissuras e deslocamentos. Estes não são considerados neste curso. Iniciamos por apresentar as considerações básicas e as equações de governo para a elasticidade linear na Seção 9.1, seguidas pela exposição das formulações forte e fraca na Seção 9.2. A formulação de elementos finitos para a elasticidade linear é então abordada na Seção 9.3. As soluções de elementos finitos para problemas de elasticidade linear em 2D conclui este capítulo.
A
9.1
ELAST/CIDA.D E UNEAR A teoria da elasticidade linear sustenta-se nas quatro seguintes considerações: 1. as deforrnações .são.pequenas; 2. o comportamento do material é linear; 3. os efeitos dinâmicos são desprezados; 4. nenhuma lacuna ou superposição ocorre durante a deformação do sólido.
A seguir, discutiremos, cada uma dessas suposições. A primeira consideração é também feita em qualquer curso de resistência dos materiais ministrado na graduação. Essa consideração surge porque na análise de tensões lineares, os termos de segunda ordem nas equações defor· mação--deslocamento são desprezados e o corpo é tratado como se a forma não variasse sob a influência das cargas. A ausência de variação de forma é um critério melhor para decidir quando a análise linear é apropriada: se a aplicação das forças tião varia de modo significativo a configuração do sólido ou da estrutura, então a análise de tensões lineares será aplicável. Para estruturas que são grandes o suficiente, de forma que o seu comportamento possa ser prontamente observado a olho nu, essa consideração implica que as deformações no sólido não devam ser visíveis. Por exemplo, quando um carro passa sobre uma ponte, as deformações da ponte são invisíveis (ao menos é o que esperamos). Do
168 CAPiTuLO NOVE
mesmo modo, cargas de vento sobre um prédio alto, embora freqüentemente sentidas pelos seus ocupantes, resultam em deformações invisíveis. As deformações de um bloco de motor devido às explosões nos cilindros também são invisíveis. Por outro lado, a deformação de uma matriz em um perfurad or de imprensa é prontamente visível, e esse problema não é tratável pela análise linear. Outros exemplos que requerem análise não-linear são a. as deformações de um carro em uma colisão; b. o colapso em uma barragem: c. as deformações da pele durante uma massagem. Como regra grosseira, as deformações devem ser da ordem de I 0" 2 das dimensões de um corpo pafa se aplicar análise de tensões lineares. Como veremos mais tarde, isso implica que os termos que são quadráticos nas deformações são da ordem de 10-: das deformações, e conseqüentemente, os erros devido à consideração de linearidade são da ordem de 1%. Muitas situações são apenas fracamente lineares, e um julgame nto precisa ser feito para saber se uma análise linear teria crédito. Por exemplo, as deformações em uma prancha de salto sob um mergulhador são bastante visíveis, e, mesmo assim, uma análise linear freqüentemente é suficiente. Muitas vezes essas decisões são tomadas pela praticidade. Por exemplo, provavelmente você já viu grandes movime ntos da extremidade da asa de um Boing 747 durante a decolagem. Uma análise linear seria adequada? Verifica-se que o projeto da aeronave é ainda analisado em primeiro lugar por métodos lineares, porque os erros devido à consider ação de linearidade são pequenos e milhares de carregamentos necessitam ser considerados, e isso se torna muito mais complex o com a análise não-linear. A linearidade do comportamento do material é também um assunto de julgamento. Muitos metais exibem uma relação entre tensão e deformação que desvia da linearidade por somente uns poucos pontos percentuais da deformação plástica. Até o ponto de início da deformação plástica, uma lei de tensão-deformação linear reproduz de modo exato o comportamento do material. Além do ponto de início da deforma ção plástica, urna análise linear é inútil. Pelo contrário, materiais tais como concreto e solos são freqüentemente não-line ares, mesmo para pequenas deformações, mas o seu comportamento pode ser ajustado por uma lei de tensão-deformaç ão linear média. A hipótese do comportamento estático corresponde a considerar que as acelerações sustentadas durante a carga são pequenas. Essa declaraç ão por si própria não fornece critério significa tivo, como se pode perguntar imediatamente, 'pequen a comparada com o quê?' Existem diversas formas de se respond er essa questão. Uma, é considerar a força d' Alembert.fAlem devido à aceleração, que é dada por
!r' Alem I = IMa!, em queM é a massa do corpo e a é a aceleração; colocamos os valores absoluto s em ambos os lados da equação porque estamos interessados somente nas magnitudes. Se as forças d'Alemb ert são pequenas comparadas às cargas, então os efeitos dinâmicos também são pequenos. O efeito dinâmico pode ser visto como o movimento verificado em uma balança de chão se você pular sobre ela comparado com aquele verificad o se você pisar sobre ela lentamente. Uma forma mais fácil de julgar a adequação de uma análise estática, isto é, desprezando os efeitos dinâmicos, é compara r o tempo de aplicação da carga ao periodo mínimo do sólido ou estrutura. O periodo mínimo é o tempo para uma estrutura complet ar um ciclo de vibração quando está osciland o livremente. Se o tempo no qual a carga é aplicada é grande comparado ao periodo associado com a menor freqüênc ia, então a análise estática é aplicável. A quarta consideração estabelece que, enquanto um sólido se deforma , ele não se quebra ou se submete a qualquer interpenetração de material; resumidamente, nenhuma lacuna ou sobrepo sições desenvolvem-se no corpo. A interpenetração de um material geralmente não é possível, a menos que o material seja liquefeito ou vaporizado, mesmo assim, essa parte da consideração é de bom senso. A primeira parte da consideração estabelece que o material não se quebre ou sofra falha de alguma outra forma. Obviamente, os materiai s falham, mas a análise de tensões lineares não é, então, apropriada; nesses casos, métodos de elementos finitos não-line ares especiais que levam em consideração a quebra precisam ser usados. A última consideração pode ser interpretada em termos da continuidade. Esta estabelece que o campo de deslocamento seja suave. A ordem de suavidade requerida é algo que já aprende mos e está associada aos requisitos de integrabilidade da formulação fraca, mas fisicamente pode ser justifica da pelo requerimento de a deformação ser tal que não existam lacunas ou sobreposições. Os requisitos de uma, solução de análise de tensões lineares estão intimam ente relacionados com as considerações. Os requisitos são a. o corpo precisa estar em equilíbrio; b. ele precisa satisfazer a lei de tensão-deformação; c. a deformação precisa ser suave. Além desses requisitos, de forma a escrever a lei de tensão-deformação, necessitamos de uma medida da deformação que a expresse em função da deformação, que é chamada de equação de tensão-deslocamento. O equilíbrio exige que a soma das forças em qualque r ponto do sólido precisa ser nula. Os outros dois requisitos já foram discutidos.
9. 1. 1 Cinem ática O vetor deslocamento em duas dimensões é um vetor com duas compon entes. Usaremos um sistema de coordenadas cartesianas, de forma que as componentes do deslocamento são a compon ente em x e a componente em y. Isto pode ser escrito nas formas matricial e vetorial como I
...
Unear 169 Fonnulação de Elementos Anltos para Problemas de campo Vetorial - ~cidade u=
[~].
Ü=
(9.1)
Uxf+uJ,
em que o subscrito indica a componente. nas direções x e y, respectivaA Figura 9.la e 9.lb retrata a deformação de um volume de controle Ax X Ây gradientes de deslocamento, pequenos de mente. A deformação combinada é dada na Figura 9.lc. Sob a consideração de controle. Essas variáveis volume um de ão deformaç a r descreve podemos usar três variáveis independentes para ões. correspondem às deformaç são suprimidos e as deformaAs deformações extensionais são e .... e e"; algumas vezes os subscritos repetidos ser deduzidas exatamente podem ões deformaç essas para es ções extensionais são escritas como e, e e7• As expressõ e e1 são as variações nos e, ais extension ões deformaç As . dimensão uma em al como para a deformação extension amente, divididos pelos respectiv Ây, comprimentos dos segmentos de linha infinitesimais nas direções x e y, Ax e para as deformarelações seguintes as , definição comprimentos originais dos segmentos de linha. Com base nessa ções extensionais são obtidas: t.a f:yy
li = ~:ur:!o
ux(x +tu, y) - u,..(x, y)
tu
8u,..
= 8x '
_ lim u1 (x, y + Ãy)- u1 (x, y) _ 8u, - &y 1 Ây - A,......O
(9.2)
unitários nas direções x e y em A deformação de cisalhamento, 'Yq' mede a variação em ângulo entre os vetores radianos: = lim u..(x, y + Ãy)- u.r(x, y) + lim u,(x +tu, y)- u,(x, y) tu tu-o A.y Ay-0 (9.3) Yzy ÔUy
= âx
8u.r
+ &y = cx1 + cx2.
ão de cisalhamento aparecem geralem que os ângulos
= 4 c~ - ~) =4(cx2- CXJ).
y
y
t
'
I
~
1
---- -~ f
:
Ây
lly(x.y)
I
: Ax
uj.x,y)
--·-<;;:i
~~ lly(X + d X,'j + À y) lly(X.'J + À y)
uj.x + Àx,y + Ày)
Ày
(9.4)
....-----<.....---t~ X ÂX
uj.x + À x,y)
(b) ..
y
·f ii(x + Ax,y + Ày)
ii(x,y + Ày)._•••-I ..........~ I
f
I I I
I I
I
(c)
à Vu,; (b) deformação em y Figura 9.1 Deforiliaçll'o de um volw:ile de controle: (a) defonnaç ãoemx devido
devido à Vu1 ; (c) defo!lllaç!o emx e em Y·
170 CAPiTULO NOVE y Ü(x,y +À y)
~+-~----r-~;!""ü(x +À x,y +À y)
.
Ü(x,y)
.I :.
.
~-=-rl--,;;-'./
~--....:.:....,~;----.~ x
Ü(x+Àx,y)
Figura 9.2 Deformações axiais e rotação de um volume de controle.
Para um campo de deslocamento infinitesimal, Ü(x, y), a rotação w-'1 é muito pequena e, portanto, não afeta o campo de tensões. Nos métodos de elementos finitos, as deformações são normalmente arranjadas em uma matriz coluna e, como visto a seguir: (9.5)
As Equações (9.2) e (9.3) podem ser escritas em termos dos deslocamentos, como uma úrllca equação matricial: (9.6)
em que Vs é um operador matricial gradiente simétrico
Vs=
ô/ôx O [ ôfôy ôfôx
aJay].
(9.7)
9. 1.2 Tensão e Tração As tensões em duas dimensões correspondem às forças por unidade de área agindo sobre os planos normais aos eixos ou y (estas são chamadas de trações). A tração sobre o plano com o vetor normal Ti alinhado ao longo do eixo X é denotada por ü e sua forma vetorial é ü = u T + u T. Igualmente, a tração com o vetor normal unitário externo t Ti alinhado ao longo do eixo y é denotadal por üLI e suas·:tV"componentes correspondentes são ü. = u -i + u,.)- . Iremos nOS referir à Ü, e Ú COmO vetores de tensão q~e agem SObre OS planOS normais para as direçõ~ X e y, respectiva· 1 mente. O estado de tensão em um corpo bidimensional é descrito por duas tensões normais u.., e un e duas tensões de cisalhamento u.ry e o-_.,, como ilustrado na Figura 9.3. A partir do equilíbrio do momento em um quadrado unitário, pode ser mostrado que u., = u ,, de forma que essas tensões são idênticas. 1 A Figura 9.3 retrata as componentes de tensão que agem sobre os dois planos, as normais apontando nas direções positivas x e y. As componentes positivas da tensão agem na direção positiva sobre uma face positiva. O primeiro subscrito da tensão corresponde à·direção da·normal ao plano; o·segundo subscrito significa a direção da força. As tensões normais são freqüentemente escritas com um único subscrito, como u, e u • 1 As tensões podem ser arranjadas em uma forma matricial similar às deformações: X
(9.8)
Ocasionalmente, é conveniente arranjar as componentes da tensão em uma matriz simétrica 'T 2 X 2 como
y
~---------~ X Figura 9.3 Componentes da tensão.
fonnulaçio de 8ementos AnHos para Problemas de Cámpo Vetorial - Basticidade Unear 171 y
Figura 9.4 Relação entre tensão e t:ração.
(9.9) Os vetores de tensão ii, e 'ii1 podem ser convenientemente usados para obter as trações sobre qualquer superficie do corpo. As trações, como as tensões, são forças por unidade de área, porém elas são associadas a uma superfície específica. enquanto as tensões fornecem informação sobre as trações sobre qualquer supetffcie em um ponto. A relação entre tensões e trações é escrita em termos do vetor normal unitário à superffcie como ilustrado na Figura 9.4. Considere o corpo triangular mo'strado na Figura 9.4. A espessura do triângulo é tomada como sendo u.nitária. Na superfície com o vetor normal unitário o vetor de tração é t. Sobre os planos normais aos eixos de coordenadas, os vetores de tração são -'ii. e -'ii1 . As componentes do vetor normal unitário são dadas por
n,
n,
n
Ti= n~i +nJ. O equilíbrio de forças do corpo triangular mostrado na Figura 9.4 exige que
tdi'- ii~dy- iiydx = õ. Dividindo a equação anterior por df e notando que dy = n, df e dx
=n
1
df, obtemos
i- iixnx - iiyn1 = Õ. Multiplicando a equação
J obtemos, respectivamente,
tx = O':anx + O'ZJny = ii~ • ii, ty = O'ZJnx + O'yyn1 iiy ·Ti,
em que usamos as relações tx
-- --
= t ·i, ty = t •j, O'
;a=
= ii~ ·i, O'xy = ii1 ·i, O'xy = ii, •j
-
-
(9.10)
-
e O'yy
-
= ii., · j.
A Equação (9.10) pode ser escrita na forma matricial como
(9. 11)
t = 'til.
9.1.3 Equilfbrlo Considere um corpo de formato arbitrário mostrado na Figura 9.5 de espessura unitária; considera-se que a força de campo e a tração superficial estão agindo no plano xy.
a"' 2 (a)
Figura 9.5 Definição do problema: (a) domin.io da placa de espessura unitária e (b) veu;~- tração aimdo ~bre o elemento infinitesimal.
172 CAPITULO NOVE · As forças que agem sobre o corpo são o vetor tração T ao longo do contorno r e a força de campo b por unidade de volume. A força de campo e os vetores de tração são escritos como b bxi + b;J e í trT + t.;J, respectivamente. Exemplos de força de campo são a gravidade e as forças eletromagnéticas. As tensões térmicas também se manifestam como forças de campo. Em seguida, considere o equilíbrio do domínio infinitesimal de espessura unitária retratado na Figura 9.5b. Para um problema estático (sem efeitos dinâmicos), a equação de equilíbrio sobre o domínio infinitesimal é dada por
=
=
- Üx(x- ~.Y)~y+üx(x+ ~ .y)t:.y - ü1 (x,y-
t:.;)A:c + <7 (x,y+ i)t:.x+ b(x,y)A:cóy =O. 1
Dividindo a equação anterior por t:u6.y, tomando o limite como t:u- O, 6.y ~ O e recordando a definição de derivadas parciais,
A combinação dessas duas equações fornece a equação de equilíbrio: ÔÜy b- O ax +ay-+ = .
ÔÜr
(9.12)
Multiplicando (9.12) pelos vetores unitários 7 e}, obtemos duas equações de equillôrio: Ô<7:vc Ô<7zy ÔX + ôy
+ bx =O, (9.13)
W yz Ô<7yy , ÔX + ây T b!
= 0,
ou na foona vetorial:
'(7 · Ü;r. + br
= O,
'(7. Üy
+ by =o.
(9.14)
As equações de equillôrio também serão consideradas na foona matricial. Se você considerar a transposta do operador gradiente simétrico dado em (9.7) e a forma matricial coluna da tensão:
!._ o !._] ax ôy Vs = a [ o -ôy -ôxa ' T
então, a forma matricial das equações de equillôrio (9.13) pode ser escrita como (9.15)
O fato de que a equação de equiHbrio (9.15) é a transposta da equação da deformação-deslo camento (9.6) é uma característica interessante que caracteriza o que é chamado de sistemas auto-adjuntos (ou simétricos) das equações diferenciais parciais. As equações de condução de calor (ou difusão) são similarmente auto-adjuntas. A condição auto-adjunta dessas equações diferenciais parciais é a razão fundamental para a simetria das equações discretas, isto é, a matriz de rigidez e a matriz de condutãncia.
9. 1.4 Equação Constitutiva Vamos agora considerar a relação entre tensões e deformações, que é chamada de equação constitutiva. Exemplos de equações constitutivas são: elasticidade, plasticidade, viscoelasticidade, viscoplasticidade e rastejamento. Aqui, focalizaremos a teoria constitutiva mais simples, a elasticidade linear. Lembre-se de que, em uma dimensão, um material elástico linear é governado pela lei de Hooke cr Ee, em que a constante do material E é o módulo de Young. Em duas dimensões, a relação linear mais geral entre as matrizes de tensão e de deformação pode ser escrita como
=
a= De, ;.
(9.16)
Fonnulação de Elementos Anitos para Problemas de campo Vetorial- Elastlcklacle Unear 173
em que D é urna matriz 3 X 3. Essa expressão é chamada de lei generalizada de Hooke. Ela é sempre urna matriz simétrica, positiva-definida; essas duas propriedades são devi~o às considerações de energia, que não serão discutidas aqui, mas podem ser encontradas em qualquer texto sobre mecânica do contínuo ou elasticidade. Em problemas bidimensionais, a matriz D depende se é considerada uma condição de tensão plana ou uma deformação plana. Essas considerações deternúnam como o modelo é simplificado de um corpo físico tridimensional para um modelo bidimensional. Um modelo de deformação plana considera que o corpo é fino em relação ao plano xy, no qual o modelo é construído. Conseqüentemente, a deformação normal ao plano, e,, é zero e as deformações de cisalhamento que envolvem ângulos normais ao plano, yzt e yr-' são consideradas nulas. Um modelo de tensão plana é apropriado quando o objeto é fino em relação às dimensões no plano xy. Nesse caso, considera:nos que nenhuma carga é aplicada sobre as faces z do corpo e que a tensão normal ao plano xy, ar.:' é considerada nula. Os argumentos físicos para essa consideração são os seguintes. Se um corpo é fino, como a tensão a" pecisa desaparecer sobre as superficies externas, não existem mecanismos para desenvolver uma tensão significativa diferente de zero a . Por outro lado, quando um corpo é fino, tensões significativas podem se desenvolver nas faces z., em particular a t~nsão . normal a:: pode ser bastante grande. A matriz D depende da simetria das propriedades do material. Um material isotrópico é aquele cuja lei de tensãodeformação é independente do sistema de coordenadas, o que significa que indiferentemente da orientação do sistema de coordenadas, a matriz de elasticidade é a mesma. Muitos materiais, tais como a maior parte dos aços, alumínios, solo e concreto, são modelados como isotrópicos, embora os processos de fabricação, tais como a fonnação de chapas de metal, podem introduzir alguma anisotropia. Para um material isotrópico, a matriz D é dada por Tensão em plano:
~ D = -E-[~ 1-vl o o
l
.
o {1- 11)/2
Defonnação em plano: 11
1- 11
o
o
l
.
(1 - 211)/2
Como pode ser visto a partir das equações anteriores, para um material isotrópico, a matriz hookeana D possui duas constantes independentes do material: o módulo de Young E e o coeficiente de Poisson v. Observe que para uma deformação plana, como V-4 0,5, a matriz hookeana toma-se infinita. Um coeficiente de Poisson de 0,5 corresponde a um material incompressível. Esse comportamento da matriz hookeana (tendência do material para a incompressibilidade) e outras características do método de elementos finitos tomam a análise de materiais incompressíveis e quase incompressfveis mais difícil que para materiais compressíveis. Portanto, elementos especiais precisam ser usados para materiais incompressíveis. Essas dificuldades não ocorrem para problemas de tensões planas, porém ocorrem em três dimensões. A matriz hookeana para um material isotrópico também pode ser escrita em função de constantes alternativas do material, taís como o módulo de compressibilidade K = E/3(1 - v) e o módulo de cisalhamento G = Fl2(1 + v). Em algumas circunstâncias, um modelo bidimensional é apropriado, mas as considerações de padrões de tensão plana ou de deformação plana não são apropriadas porque embora as componentes em z da tensão ou do cisalhamento sejam constantes, elas são diferentes de zero. Isso é chamado de um estado de tensão plana generalizada ou de deformação plana generalizada quando a,. ou a= são constantes, respectivamente.
9.2
FORMULAÇÕES FORTE E FRACA Vamos resumir as relações estabelecidas até agora para elasticidade linear 2D.
-----· _ - -·----- __Eq.uação..de equil(brio:.. ·- ---· (9.17) Equação cinemática (relação defonnação-deslocamento):
a= Vsu. Equação constitutiva (relação rensão--defonnação): q
= De.
Como em uma dimensão, consideramos dois tipos de condições de contorno: a porção do contorno onde a tração é prescrita é denotada por e a porção do contorno onde o deslocamento é prescrito é denotada por f •. A condição de contorno de tração é escrita como
r,.
.174 . CAPITULO NOVE
t
'tD =
sobre f,,
OU
iix · n= t;r
iiy. n= ty sobre
e
r,.
(9.18)
A condição de contorno de deslocamento é escrita como u
=ü
r.,
sobre
ü =li
ou
sobre
r •.
(9.19)
A condição de contorno de deslocamento é uma condição de contorno importante, isto é, ela precisa ser satisfeita pelo campo de deslocamento. A condição de contorno de tração é uma condição de contorno natural. Como anteriormente, o deslocamento e a tração não podem ser prescritos sobre qualquer porção do contorno, então
r.nr,=o. Entretanto, sobre qualquer porção do contorno, o deslocamento ou a traçllo precisam ser prescritos, então
r.ur, =r. Resumimos a formulação forte para o problema de elasticidade linear em 2D no Quadro 9.1 na notação combinada vetorial-matricial, relevante para a dedução da formulação fraca.
~
Quadro 9.1 Formulação forte para elasticidade linear.
(a) ~o iix + hx =o
~o iiy + by
e
=o
sobre
n,
(b) cr = DV su, (c)
ii:r Ti= t:r
e
(d)
ü = D sobre
r ..
iiy. n= iy sobre
(9.20)
r,,
Para obter a formulação fraca, primeiro definimos as funções peso admissíveis e as soluções tentativas, como na Seção 3.5.2. Em seguida pré-multiplicamos as equações de equilíbrio nas direções x e y (9.20a) e as duas condições de contorno naturais (9.20c) pelas funções peso correspondentes e as integramos sobre os domínios correspondentes, o que dá
~ · ii1 df2 +h wybydf2 =O
(b)
h wy
(c)
r W;c(t;c. lr,
(d)
Vwy E U0 , (9.21)
iix ·n)df =o
V'w:r E Uo,
r Wy(ty - iiy • n) df = 0
V'w1 E Uo,
lr,
em que o
O teorema de'Green é aplicado (veja Capítulo 6) ao·primeiro termo nas equações (9.21a) e (9.2lb), que fornece
h
W;r
~. ii;rdil =i Wxiix. ndr-
L
Vw;r. ii;rd11',
In Wy ~ •iiydf2 =i Wyiiy · ndf- in ~Wy
(9.22) · Üydf2.
Adicionando as duas equações em (9.22) e lembrando que as funções peso w, e w1 desaparecem sobre r .. obtemos
r ( ~W:r. iix +
ln
Vwy. iiy) d11 = J (wxiix
!r,
o
n+ Wyiiy. Ti) dr +
r (wxhx + Wyby) d11.
ln
(9.23)
Substituindo (9.2lc) e (9.2ld) em (9.23) e escrevendo o segundo membro de (9.23) na forma vetorial, obtemos
r ( ~wx·iix+
ln
~w1 A,)df2= J w·tdf+ r w·bdf2. !r, ln
Expandindo o integrando no primeiro membro de (9.24), obtemos ·
(9.24)
r I
Formula~ o de Elementos Rnltos para Problemas de Campo Vetorial -Elasticidade Unear
.:;
vw,.
&wx a,= ax
(];a+
175
&wx &w, ÔWy ay(J-'1 + a;axy + a.ya.,,
~ [ (~•) (~) (~ + ~;) lI~l ~
(9.25) (V,w)'•·
Inserindo (9.25) em (9.24) e escrevendo o segundo membro de (9.24) na forma matricial, obtemos
Vw E Uo. Após a substituição de (9.20b) por u, a formulação fraca em duas dimensões pode ser escrita como se segue:
Encontre u E U tal que
r(Vsw)TDVsndf2 = lr,rw1tdf + lnrwTbdn
Vw E Uo,
Jn
1
emque U={olueH ,u=ü sobre fu},
(9.26) 1
Uo={wlwEH ,ll;'=0 sobre fu}·
9.3 DISCRETIZAÇÃO DE ELEMENTOS FINITOS Considere um domínio de problema n com contorno f, discretizado com elementos bidimensionais (triângulos ou quadriláteros), como mostrado na Figura 9.6; o número total de elementos é indicado por 1le~· As componentes x e y do campo de deslocamento u = [u, u~T são aproximadas geralmente pelas mesmas funções de forma, embora, em princípio, diferentes funções de forma pudessem ser usadas para cada urna das componentes. Existem dois graus de liberdade por nó correspondendo às duas componentes do deslocamento global, de modo que a matriz do
U,t
".a
u:t2
...
um.,
U,..,.,f
em que 1)y é o número de nós na malha de eleme~uos finitos. O campo de deslocamento nos elementos finitos é . . .. escrito em termos das funções de fonila, que como aprendemos no Capítulo 7, dependem do tipo de elemento e do número de nós. A aproximação de elementos finitos para a solução tentativa e para a função peso em cada eiemento
pode ser expressa por. u~~~~~~=W~~~
~~ea
~~~~~~~=~~~ff
(9.27)
~~ea
em que a matriz da função de forma do elemento N• na Equação (9.27) é dada como
N" _ [Nf
O N2 O . . . N;,. O ] - 0 N f 0 N 2 ... ON':.._
e d' = [U:1 ~1 u'.zl
u'12
•••
u',,. u',..,,,Y são os deslocamentos nodais do elemento e w' = [~1 W,1 w'.z2
w;
2 ...
W<..,,.
w',..,,,)'são os valores nodais do elemento das funções peso.
Lembre~se do Capítulo 6 que diz que a aproximação de el~mentos finitos é uma função com grau de continuidade CJ, isto é, é suave sobre os dorriínios do elemento, mas possui quinas nos contornos do elemento. Portanto, a integral sobre Q na formulação fraca (9.26) é calculada como sendo a soma das integrais sobre os domínios do elemento n•
Figura.9.6 Malha de elementos finitos em duas dimensões.
176 CAPITÍJLO NOVE
(9.28)
Em seguida, expressamos as deformações em termos das funções de forma do elemento e dos deslocamentos nodais. Lembre-se das equações deformação-deslocamento (9.6) expressas em termos do operador gradiente simétrico. Aplicando o operador gradiente simétrico em N' obtemos
, = [~] ~ ,. =v,u• =v,N'd' = B'd',
(9.29)
em que a matriz deformação-deslocamento 8' é definida C{)mo
ôNí ôx
ôNf a; o B' ::: VsN'
ôN:._
o
a;-
ôNf o âNí = o &i &i âNj ôNj
ôNí âNi
&i a; &i a;
o âN:.._
&Y
o ôN:._
&Y âN' âx
~
As derivadas das funções peso são:
(Vsw')T
= (B•w")T = w"TB•T.
(9.30)
Substituindo (9.30), (9.29) e (9.27) em (9.28) e lembrando que d' = L'd, w'1 = w'fL•T obtém-se
(9.31)
Na equação anterior, substituímos as funções peso arbitrárias w(x, y) por parâmetros arbitrários w, wF é a porção de w correspondente aos nós que não estão sobre um contorno essencial. Seguindo a dedução mostrada nos Capítulos 5 e 8, as matrizes do elemento são dadas como a seguir: Matriz de rigidez do elemento:
K'
=
f
B'TD•B• df!.
(9.32)
f
(9.33)
O<
Matriz força externa do elemento:
~=
f
N'Tbdf!+
N•'rtctr,
r:
O"
'--v-'~
ro
rr
em que f\'0 e f\'r em (9.33) são as matrizes força de campo e de contorno. .A formulação fraca pode então ser escrita como
(9.34)
Usando (9.32), (9.33) e as operações de montagem (5.13) e (5.14), o sistema (9.34) se reduz a (9.35)
A Equação (9.35) pode ser escrita como (9.36) A partição da Equação (9.36) nos nós E e F fornece '
'
Formulação de Elementos Rnltos para Problemas de Campo Vetorial - ElasticidadeLinear 1n
f]' .~
Figura 9.7 Um único elemento finito triangular.
r'
=
Visto que wE Oe wF é arbitrário, segue-se que r r mente ser reescrita como
= O. Em conseqüência, a equação anterior pode conveniente(9.37)
Em que~. K, e Ku são repartidos para serem congruentes com a partição de d e usando a aproximação de partição de dois passos discutida no Capítulo 5.
r. A Equação (9.37) é resolvida
9.4 ELEMENTO TRIANGULAR COM TRÊS NÓS O elemento triangular com três nós está ilustrado na Figura 9.7. Ele é um elemento de deslocamento linear. As defoiDlilções são constantes no elemento. Os nós precisam ser numerados no sentido anti-horário, como mostrado na figura. Cada nó possui dois graus de liberdade, então a matriz coluna d• consiste em seis termos: (9.38)
0 campo de deslocamento DO elementO pode então ser expreSSO na forma de
[~r= [~í
o
N~
o
N'I
o N~
'. o Neo3 )d
N!. ~
Aplicando o operador gradiente simétrico (9.6) ob~mos
[::r~ Yx,
n· Nt.y
o
N~.x
o
N~.x
:,,l
Nf.y · o N.'2,)1 o d', Nf.;c N~.:~ N~,;c N~.J N),x
(9.39)
em que Nf,;c·= ~ e Nf, = ~· Usando as relações dadas no Capítulo 7, segue-se que
(9.40) em que x'u = ~ - X:, define a matriz B• para o elemento. Pode ser visto que, como esperado, a matriz B• não é uma função.de_x ou.de Y~isto é, a.deformação é constante no elemento. - - - . __ A matriz de rigidez é dada por (9.32):
K'
=f B'TIYB'dO. O'
Na maioria dos casos, para um elemento de baixa ordem tal como esse, as propriedades do material são consideradas constantes no elemento. Conseqüentemente, o integrando é uma constante, e para um elemento com espessura unitária, temos ·
A matriz de rigidez é 6 X 6, e é bastante grande para cálculos manuais, de forma que normalmente é avaliada por computador.
178
CAPITULO NOVE
9.4.1
Matriz de Força de Campo do Elemento A matriz de força de campo do elemento é dada por (9.21):
rn = f N'Tb dn.
(9.41)
n Existem duas formas de se avaliar essa matriz: (i) por integração numérica direta, e (ii) por interpolação de b, normalmente com uma função linear, e integrando o resultado na forma fechada. Observe que, na integração direta, a interpolação é ainda freqüentemente necessária visto que as forças de campo podem somente ser dadas em pontos discretos e a interpolação é necessária para avaliar a integral. A avaliação da matriz na forma fechada é extremamente difícil, a não ser que coordenadas triangulares sejam usadas, por isso, iremos usá-las aqui. Interpolamos a força de campo no elemento pelas funções de forma lineares nas coordenadas triangulares como b=
[~x])' = tNfT [~], 1=1 yl
(9.42)
em que bzJ e b,, são as componentes em x e em y da força de campo no nó I. Substituindo (9.42) em (9.41), obtemos ·
o
N3T I
rn=/ !)<
o N3T 2
o
N3T 3
o
N3T I
o
N3T 2
o
tNfT [ b.r~] d!1 =A' l=l b1r 12
Nrr 3
2hxl + bxz + bx3 2byl + by2 + by3 bxl + 2bx2 + bx3 byl + 2by2 + by3 bxl + bx2 + 2bx3 b;rl + by2 + 2by3
(9.43)
O último passo foi realizado pela utilização das fórmulas de integração como dado na Seção 7.8.2.
9.4.2
M atriz de Força de Contorno A matriz de força de contorno é dada por (9.44)
Como para as forças de campo, podem ser avaliadas por integração direta ou por interpolação. ilustramos a última aproximação para uma tração interpolada linearmente. Para simplificar a explanação, considere o elemento triangular mostrado na Figura 9.8; na figura, a tração é aplicada na junção da borda dos nós 1 e 2, porém os resultados são facilmente aplicáveis para qualquer número de nós. Sabemos, a partir da propriedade do delta de Kronecker de funções de forma, que N; desaparece nos nós 1 e 2, e como a função de forma é linear ao longo da borda, desaparece ao longo de toda a borda. Além disso, N~L e JV;L são lineares ao longo da borda e podem ser escritos em termos do parâmetro de borda Çcomo
A integral (9.44) então se toma
y
X
Figura 9.8 Elemento triangular com tr& nós mostrando os deslocamentos nodais e forças nodais (mostrados como colineares que nonnalmente não são).
Fonnulação de Elementos Anitos para Problemas de Campo Vetorial- Elasticidade Unear 179 1- { I
rr=fo
o
o o { o o
1-{
{
o o o
{ lzt(1- Ç) +ta{} t1 t (1 - Ç) + t12{ I d{,
em que usamos df = ld~ e variamos os limites de integração de O a 1 (l é o comprimento da borda). Observe que usamos uma interpolação linear de duas componentes da trac;ão. A equação anterior é facilmente integrada na forma fechada, dando
I
rr = 6
2tzt +ta 2tyl + tfi lzt + 2t:a
r,1 + u12
o o
Portanto, não existem forças nodais no nó 3 devido às trações sobre a borda conectando os nós 1 e 2. A força nodal no nó 1 (o~ 2) é mais fortemente ponderada pela tração no nó 1 (ou 2). Para uma tração constante, r, 1 = tJO. =I, e t11 = t12 = t 1, obtemos
tz
r,
rc / tz •r =-2 -r,
o o
que mostra que as forças totais (a espessura é unitária) são divididas igualmente entre os dois nós.
9.5 GENERAUZAÇÃO DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO Embora tenhamos subdividido o contorno em contornos de deslocamento prescrito e de tração prescrita, de fato, uma tem substancialmente mais versatilidade na análise de tensões: sobre qualquer porção da superfície externa, qualquer componente da tração ou do deslocamento pode ser prescrita. Para especificar isso matematicamente, indicamos a porção da superfície na qual a iésima componente da tração é prescrita por r,, (a componente i = 1 é a componente em x, a componente i = 2 é a componente em y). De forma similar, a porção do contorno sobre As condições de contorno são então a qual a iésirna componente do deslocamento é prescrita é denotada por escritas como
r.,.
Úz · ii = f;c
wbre
ü,· n=r,
wbre
Uz =Üz
sobre
= Üy
sobre
Uy
r"', r,., r..,., rlt)'.
Essa formulação fraca pode ser deduzida por uma escolha apropriada de w, e w7 sobre o contorno. Observe que alguma componente da tração e do deslocamento não pode ser prescrita sobre qualquer parte do contorno, e então
r'" n r"' = o,
.r n r,. = o. Jt)'
Além do mais, para cada componente, tanto a tração quanto o deslocamento podem ser prescritos, e então
· - .r..... ura=r,
rlt)'url)'=I'..
Observe que essas condições de contorno estão conforme a regra de que quaisquer duas variáveis que são conjugadas no trabalho não podem ser prescritas. Portanto, u, e t, são conjugados no trabalho no sentido de que um incremento de trabalho é dado por dW = t,du,, enquanto t, e u7 não são conjugados no trabalho, .de modo que podem ser prescritos sobre qualquer porção do contorno.
~
Exemplo 9.1 Dustração de condições de contorno
A seguir, descreveremos como especificar as condições de contorno para diversos problemas. Iniciamos com alguns problemas idealizados mais simples e em seguida prosseguimos para situações mais realísticas. Para o último caso, escolher condições de contorno apropriadas é frequentemente uma arte.
180 CAPÍlULO NOVE y y Linha de simetria
(b)
Linha de simetria
H
K
X
F Sobreposição Fresta (c)
(a)
Figura 9.9 Placa com um furo: (a) tim modelo do problema completo; (b) um modelo da porção simétrica; (c) uma ilustração de por que os deslocamentos normais a uma linha de simetria devem desaparecer.
Considere a placa com um furo mostrada na Figura 9.9 com cargas aplicadas no topo e na base. Os lados AD e BC são livres de tração, e nada necessita ser feito em um modelo de elementos finitos para forçar uma condição de contorno natural homogênea (zero). Os lados CD e AB são também contornos naturais, porém as trações precisam ser incorporadas nas equações por meio da matriz de força de contorno fr. Entretanto, essas condições de contorno não são suficientes para deixar o sistema resolvível, pois .admitem movimento de corpo rígido, 'e então ex.i ste um número infinito de soluções e Ké singular. Para eliminar o movimento de corpo rígido, pelo menos três componentes do deslocamento nodal precisam ser especificadas, de forma que a translação e a rotação do corpo sejam impedidas (correspondendo às translações nas direções x e y e à rotação em tomo do eixo z). Uma forma de fazer K regular (não singular) é fazer U.tA
= UyA = UyB = 0.
Observe que se você substituir u,11 = Opor u,8 = O, K ainda é singular, pois a rotação não foi impedida. As condiÇões anteriores impedem a translação e a rotação de corpo rigido. Outra forma de modelar este problema é usar a simetria, que resulta no modelo mostrado na Figura 9.9b. As linhas de simetria são FG e HK. Ao longo de uma linha de simetria, a componente normal do deslocamento à linha (ou plano) de simetria precisa desaparecer. De outra forma, como os campos de deslocamento nos subdomínios e nB na Figura 9.9c, são imagens de espelho, e um deslocamento normal diferente de zero simétricos, isto é, ao longo da linha (ou plano) de simetria resulta tanto em problemas de continuidade quanto em sobreposições, o que viola a compatibilidade. A outra condição de simetria é que o cisalhamento .s obre a linha de simetria precisa desaparecer. Resumindo, para a Figura 9.9b,
n,.
u, =O e t1 = uxy =O sobre FG, = Oe t, = uxy = O sobre HK.
u,
Como aS condições de contorno (natural) de tração anteriores são homogêneas, estas são satisfeitas naturalmente se não res!ringirmo.s o deslocamento correspondente. A Figura 9.10 mostra uma braçadeira e um mOdelo simplificado, que tem como objetivo determinar a tensão máxima na braçadeira. Em muitos casos, seria desejável modelar o parafuso e a barra vertical, porém isso iria acarretar substancialmente mais trabalho computacional e o. uso de interfaces de contato, que são não-lineares. Portanto, modelamos essas peças com deslocamentos prescritos e cargas aplicadas. As condições de contorno são as seguintes:
y
X
(a)
(b)
Figura 9.10 Uma braçadeira e seu modelo.
Fonnulação de Bementos Rnitos par.a Problemas de campo Vetorial- 8asticlda~ Unear 181 1. ao longo deAB, u, =O e em um nó u1 =O; 2.. as superfícies remanescentes são todas livres de traçã. isto é, t, = t, = O, exceto sobre o segmento FG.
Observe que a força de atrito ao longo de A.B. não é modelada; o atrito é não-linear e o efeito das forças de atrito seria pequeno. Molduras também não são modeladas.
~
Exemplo 9.2 Elemento quadrilateral
Considere U.ü problema de elasticidade linear sobre o domínio do quadro nqpezoidal, como mostrado na Figura 9.11. A borda esquerda vertical é fixa. A base e a borda direita vertical são livres de tração, isto é, I= O. A tração t 1 = -20 Nm- 1 é aplicada na borda horizontal superior. A$ propriedades do material são o módulo de Young E = 3 X 107 Pa e o coeficiente de Poisson v = 0,3. As condições de.tensão plana são consideradas. O problema é discretizado ao usar um elemento quadrilateral. A malha de elementos finitos e as coordenadas nodais em metros são mostradas na Figura 9.12. A matriz constitutiva D é 1
0,3
D--E- v
o
A matriz de coordenadas é
[
·~
.x4
0,35
l [o
[rrl= .xí ~ Yi ~ =
~
2
As funções de forma lagrangeanas no elemento de referência são
ry=-20
2m
F1grira.9.11 Definição do problema do Exemplo 9.12.
1 (0,1)
l
o .
1
- 1-v2 [ o
4 (2,1)
r-~----------------------------,
(1)
2 (0,0)
Figura 9.12 Malha de elementos finitos para o Exémplo 9 .12.
182 CAPITuLO NOVE
JJtO(Ç, TJ)
=;- Ç;
TJ -1')4
'>1 - '>2711 - 1J4
~Q(Ç, TJ) = ;
- ç:
<,2 - <,I
~Q(Ç, TJ)
TJ- T]4 = _41 (1 TJI - T]4
=!-{: T]4
TJ- TJI
<,I
<,:z -
= _41 (l -
-7]1
NtQ({, TJ) = {- ~ TJ- TJI
ç l - <,21')4- T]!
{)(1- TJ),
+ Ç)(l - TJ),
= _41 (1 + {)(1 + TJ), = _41 (1 -
+ TJ),
{)(1
E a matriz jacobiana é dada por
â~ Tô~l T
[~~
ô~ â~ ÔT]
x3 Y3 x4 >1 J
ÔT]
I+ TJ
I] [~
-TJ-
1+ç
>11 Y2
1-
ç
~ j = [O
0,125T]- 0,375] 1 o, 125Ç +o, 125 .
2 0,5 2 1
O deternúnante e a inversa da matriz jacobiana são IJ~I
= -o,125TJ + o,375, 1
(J'f = [;
;~ :] .
T]-3
A matriz deformação-deslocamento é
o
a;-
â~
o
a;-
ôltQ 1
o
ô~
o
ôJJtQ
T B~ = o
ô~Q
ôft.Q âx
o
_4_
ô/VjQ
o
o â~Q
ôy 7iY 7iY 7iY ôlt.Q âltQ ôNjQ â~ô~Q ô!Vf< ô~ ô~ 3 &Y a;- &Y 7iX &Y a;- &Yax I
As matrizes do elemento serão integradas usando a quadratura de Gauss 2 .X 2, com as seguintes coordenadas no elemento de referência e pesos:
A matriz de 1igidez é
=
t t W;WjiJ~(~, TJj)IB~T(ç;,1Ji)D'B'(Ç;, i~l
TJ.;).
J=l
Calculamos a rigidez K' em um ponto de Gauss (Ç1, T]J)
= (-(I/V3), -(1/V3)). ô~Q
T
ô~Q
aç
ô~ ô/Vfi
&;} &;}
.
,,
r ;;.
.f1lnnulação de 8ementos Finitos para Problemas de campo Vetorial - Elasticidade Unear 183
l
Portanto, a matriz deformação-deslocamento no ponto de Gauss é dada como
o -0,06 . o 0,12 o 0,38 o o -0,88 o -0,24 0,88 o 0,24 . -0,44 -0,88 -0,06 -0,24 0,12 0,24 0,38 A contribuição da matriz de rigidez proveniente do ponto de Gauss (Ç1, TI,) é
Repetindo para os três. pontos de Gauss remanescentes (Ç1, 2
K.t
1) ) , (~. 1)1) e(~. 1) ), 2
2
obtemos
2
= EEK.t(9,fli) i - 1 i-1
1,49 -0,74 -0,66 2,75
0,16
-0,98
-0,08' - 2,46 0,66 1,39 0,33 0,15 -0,16 -0,56 -0,41 2,6 -0,08 1,39 -0,41 -1,53 -0,82 - 1,18 0,25 2 3,82 0,33 -3,53 1,5.9 0,25
0,24 1,08
= 107 SIMÉTRICA
0,65 0,15 -1,68 -0,16
3,67 Agora voltamos ao cálculo da matriz de força. Como não existe força de campo, a matriz de força de campo desaparece, isto é, f 0 = O. A única contribuição diferente de zero para a matriz de contorno provém da tração aplicada ao longo da borda l-4 do qüadro. A borda 1-4 no domfnio físico corresponde a~ = -1 no sistema de coordenadas naturais. A matriz de força de contorno é integrada analiticamente como
1
o
o
o 1 o o o o
-20
o o
o o
o o
o o 1 o o
o
-20
Observe que a integral de ~(Ç = - I, 1}) sobre -1 s 1J s 1 é igual a um para qualquer função de forma I que não desapareça sobre ~ = -1. Montando a matriz de contorno e considerando as reações obtemos T.rt TyJ
fi.+r =
-20 r.r2 ryz
o o o
o o o o d= U.>:J U,3 U.z4
- 20
Uy4
--- - - -
107
1,49 -0,74 -0,66 0,1.6 -0,98 0,65 2,75 0,24 -2,46 0,66 -1,68 1,08 0,33 0,15 -0,16 2,6 -0,08 1,39 2 -0,82 SIMÉTRICA 3,82
O sistema reduzido de equações é
0,15 -0,16 -0,56 -041 , . -1,18 0,33 1,59
- 0,08 1,39 - 0,41 -1,53 0,25 -3,53 0,25 3,67
o o .o (j
T.rJ
r 11
-
20
T,r2
=
r1 2
u.,.
o o o
Uy4
-20
U.r) Uy3
184 éAPITULO NOVE
- 0 82 -1,18
2
3,B2
, 10
(
-3,53 0,25] 0,25 3,67
0,33 1,59
SIMÉTRICA
(""3] = ( oO 0
Uy3
Ux4
l 1
-20
Uy4
que leva a
o o o
Ux3] = l0-6 [-1,17] -9,67
Uy3
ou d'
2,67 -9,94
[ Uy4 U,r4
= 10-6
o
-1,17 -9,67 2,67 -9,94
As deformações e as tensões resultantes nos quatro pontos de Gauss são
~:'(e; , 11J)
B.a ] '
=
= B'(e;.ru)d',
eyy
[
Yxy
((1,'11)
.:'({, ,171) =B'(6,111)d'
-3 61
= 107 -0,~28 [
l ,
-39,4
8,82] 107 -0,628 , [ -40,3
t'(6 ,7à)
= B' ({~,7à W =
t'{{2,17t)
= B' ({2,1)I)d' = 107 -3,~5
t'(e2, 7à)
= B'(6, 7à)d' = 107
-11 7] [ 2,21 , 6,65] - 3,46 , [ 0,95
~ Exemplo 9.3 Consideremos um problema de elasticidade definido no Exemplo 9.2. A malha no domínio possui 16 elementos. A malha inicial de elementos finitos e a malha deformada são mostradas na Figura 9.13. Um fator de escala definido pelo usuário (9,221 X ICJ3) é usado para visualizar a deformação.
Estrutura inicial e deformada
.•l
2,5 X
Figura 9.13 Malhas deformadas e não deformadas (com fator de escala 9,22 1 X J()l).
.. Fonnulação de Elementos Anltos para Problemas de Campo Vetorial.:;.. Elâstiéldade Unear · 185
contorno
X
Figura 9.14 Contorno da tensão CTa na malha com 64 elementos.
Para obter os gráficos de tensões no contorno ou franjas, as tensões são calculadas nos nós dos elementos e em seguida são feitas médias com os elementos conectados ao nó. Alternativamente, as tensões podem ser calculadas nos pontos de Gáuss, onde ·s ão mais precisas, e em seguida interpoladas nos nós. O usuário freqüentemente não está interessado somente nas componentes individuais de tensão, mas também em alguns valores globais de tensão, tais + 2t:J1172, como a tensão de von Mises. No caso de tensão plana, a tensão de von Mises é dada por 17y em que o-1e o-2são as tensões principais dadas por 17t.z = o contorno da tensão
17._T para
17 "" ; uyy ±
J(
17 ""' ;
= Jot ôi -
17
'
YYr +ui,.. A Figura 9.14 traça
a malha com 64 elementos.
9.6 DISCUSSÃO
...
·';
>
Nesta seção, algumas características das soluçõ.e s elásticas são apresentadas de fonna que você pode entender melhor as soluções de elementos finitos. A teoria subjacente é bastante extensa, porém, ~:~ma compreensão de alguns poucos fatos básicos ajudará imensamente no desenvolvimento dos modelos em elementos finitos, assim como na interpretação e verificação dos resultados. De fonna similar ao problema de condução de calor em regime .permanente considerado nos capítulos anteriores, a equação diferencial 'parcial que govema.a elasticidade linear é elíptica. Uma das características mais importantes desse tipo de equações é que suas soluções são muito suaves: as descontinuidades nas tensões ocorrem somente nas interfaces entre materiais diferentes. Assim. a imperfeição que apar~e na solução de tensões de elementos finitos é em conseqüência da aproximação do elemento finito. De fonna a captar as descontinuidades nas tensões sobre as interfaces entre.materiais diferentes,-é necessário que as bordas do elemento coincidam com as interfaces·. Entretanto. isso é bastante. natural na construção de um modelo e.m elementos finitos, visto que a especificação de propriedades de materiais diferentes para subdomínios diferentes necessita que a borda do elemento coincida com as interfaces entre os materiais. Uma característica dos sistemas elípticos é que eles não são sensíveis às perturbações locais, e como você está longe - - ·-d aáfea- de peittii"õ~õ..-esse efeito é muitcfpeqüe"ifõ: Is-scré'ê'orihecldó'éõmo piüiêíp1o ae·samfVe'naritEsse-priiiC'fpl.õ implica que, se você está interessado nas tensões razoavelmente longe de onde as cargas são aplicadas, não é necessário aplicar as cargas tão precisamente quanto elas seriam aplicadas na realidade. Por exemplo, as cargas aplicadas por uma chave em um tubo seriam difíceis de modelar. Entretanto, enquanto a força que você aplica ao modelo é igual àquela da cbave, as tensões a uma pequena distância da chave seriam afetadas em uma extensão muito pequena. De fonna similar, os erros geométricos em um modelo possuem um pequeno efeito sobre as tensões a uma distância moderadaÍnente râzoável. Deste modo, se você modela um furo com uma aproximação uni tanto grosseira de 1O ou mais elementos coin lados retos, as tensões próximas ao furo podem estar bastante erradas. mas longe do furo os erros serão bastante pequenos. Uma peculiaridade das soluções elásticas, que pode ser bastante incômoda se você tenta obter uma solução muito exata, é que al~mas soluções são singulares, isto é, as tensões exatas para esses problemas são infinitas em alguns pontos. As singularidades ocorrem nos cantos com menos de 90°. Portanto, se você compar~ uma solução com malha fina com uma s.olução com malha grosseira perto de um· canto, freqüentemente encontrará grandes diferenç~ nas
,, -t· ···
186 CAPiTULO NOVE
tensões nos elementos imediatamente adjacentes ao canto, não importando quão fina a malha seja. As tensões em um material real não serão infinítas, porque os materiais não se comportam linearmente quando as tensões tomam-se mwto intensas. Por exemplo, em um metal, um canto acentuado resultaria em uma pequena área na qual o material se toma plástico. Um outro grupo de problemas associado a soluções singulares é composto por problemas com cargas pontuais. Por exemplo, se uma carga pontual é aplicada a um modelo em duas dimensões, então as soluções de deslocamento exatas para as equações de elasticidade tomam-se infinitas no ponto da carga. Novamente, isso significaria que, conforme você refina a malha em tomo da carga, o deslocamento fica cada vez maior. Nesse caso, você não pode usar argumentos como plasticidade para discutir o significado global dos resultados. Entreta.ilto, de acordo com o princípio de Saint Venant, a solução estará perto do seu final para uma carga distribuída com uma resultante igual à carga pontual, urna vez que você está longe da área onde a carga pontual é aplicada. Assim, as soluções em duas dimensões com cargas pontuais também são valiosas em engenharia, se os deslocamentos na vizinhança imediata da carga pontual não são de interesse. A esse respeito, deve ser salientado que uma carga pontual é uma idealização das cargas reais, visto que um modelo de carga pontual considera que a carga é aplicada sobre uma área zero. Essa idealização é adequada, quando as tensões na área perto da carga não são de principal interesse. Entretanto, imediatamente sob a carga pontual, as tensões são infinitas, o que não é fisicamente significativo. As tensões em um sólido podem ser imaginadas como um fluxo de força: lembre-se da analogia entre condução de calor e elasticidade linear, em que a tensão corresponde ao fluxo de calor. A tensão comporta-se muito mais como um escoamento em regime permanente: onde existem obstruções, a tensão aumenta, particularmente em tomo da obstrução. Por exemplo, em tomo de um furo em uma placa sob carga de tração, a tensão aumenta significativamente perto do furo: isso é conhecido como uma concentração de tensões.
9. 7 EQUAÇÕES DA ELASTICIDADE LINEAR EM TRÊS DIMENSÕES1 Equil..tôrio
a a o o o ôy ôz ô , ô a o az VJ = o ôy o ax
O'n
a ax
(j'YJ'
cr =
C!u O'xy
ô a ô o o az o ôx ây
C!n. C!y:
VJ cr + b = O. Relação tensão-deformação t =
tn, Un
t
=
C!yx [
Uu
O'zy
:::]' O'u
RelaÇão deformação-deslocamento
E= V5u, E= (en ~
&xz
~.,JT,
1 -11
!I
!I
11
1-v
!I
11
!I
1- v
o o o
o o o
o o o
tr,
tu
Lei isotrópica de Hooke
cr =DE,
D=
E
{1 + v){1 - 2v}
'Recomendado para a Trajecóri~ Avançada.
o o o
o o o o
o o
1 - 2v 2
1- 211 2
o
o o o o o 1 - 2v
2
Fumulação de Bementos finitos para Problemas de Csmpo Vetorial- Sasticidade Unear 187
Problemas Problema 9.1 Construa a fila 1 da matriz B para o triângulo com seis nós. a. Mostre que para uma translação de corpo rígido, a deformação e..,. desaparece. ax. Determine o campo de deformação. Essa resposta faz sentido?
b. Faça os deslocamentos nodais proporcionais às coordenadas, isto é, u= =
Problema 9.2 Um elemento triangular com três nós está sujeito a uma força de camP<> linear na direção x dada por b,(x) = b,1Ç1 + b.aÇ, + b.ü~· Desenvolva a expressão para as forças nodais correspondentes a essa força de campo como dado em (9.43).
Problema 9.3 Considere um modelo com domínio quadrilateral de espessura unitária com um único elemento finito como mostrado na Figura 9.15. Todas as dimensões estão em metros. A tração aplicada sobre a borda 1-2 é normal à borda e é dada por 6 X n N m-l, em que n é o vetor unitário normal à borda. Calcule a matriz de força de contorno do elemento.
1(0,6, 1,5)
2 (0, 0)
Figura 9.15 Dooúnío triangular do Problema 9.3.
Problema 9.4 Considere um quadro retangular como mostrado na Figura 9.16. O quadro é modelado usando um material elástico linear com tensão plana com as seguintes propriedades: módulo de Young E= 3 X 1011 Pa e o coeficiente de Poisson v = 0,3. As condições de contorno essencial são UA.t
=
UAy
=
UBy
= 0.
As condições de contorno natural são as seguintes. Ao longo de cada borda do quadro, a tração prescrita consiste em componentes normal e lateral, ambas iguais as lOl N m- 1 como mostrado na Fig-.x.-a 9.16.
i 2m
Figura 9.16 Definição do problema.
·Discretize o quadro usando um único elemento retangular como mostrado a seguir. Por conveniência, use numerações global e local idênticas, como mostrado na Figura 9.17. Calcule os deslocamentos e as tensões nodais nos pontos de Gauss do elemento.
188 CAPinJLO NOVE
4 r - - - - - -- ---,3
2
Figura 9.17 Numeração do nó para o Problema 9.2.
Problema 9.5 Considere uma malha triangular com um elemento, mostrada na Figura 9.18. As condições de contorno são as seguintes. A borda BC é restrita em y e livre de tração em x, enquanto a borda AB é restrita em x e livre de tração em y. A borda AC está sujeita a uma tração normal à borda, como mostrado na Figura 9.18. Considere o módulo de Young E= 3 X 10 11 Pa e o coeficiente de Poisson v= 0,3. a. b. c. d.
Construa a formulação fraca correspondente às condições de contorno generalizadas dadas na Seção 9.5. Construa a matriz de rigidez. Calcule a matriz de força global. Resolva para a matriz de deslocamento desconhecida e calcule a tensão em (1,5, 1,5).
15Nnr2
L ~~,,~,~,~~,~-'~'~' c
I•
•I
3.0m
Figura 9.18 Domínio triangular com condições de contorno nústas.
Problema 9.6 Um corpo elástico sujeito à temperatura tende a expandir. Essa expansão é dada na forma de deformação térmica (prescrita) como O
&
·· . = o:T(1·
•T
1 OJ ,
em que o: é o coeficiente de expansão térmica (para materilus isotrópicos) e T é a temperatura. A tensão é <1
= D{t- &0 )
em que o termo correspondente às deformações térmicas é um dado de temperatura prescrita. Desenvolva uma formulação fraca e matrizes de elementos finitos para o caso de cargas decorrentes da expansão térmica. Sugestão: substitua a equação anterior na formulação fraca e repita a dedução dada na Seção 9.3.
Problema 9. 7 Repita o Exemplo 9.2 com dois elementos triangulares, como mostrado na Figura 9.19.
Problema 9.8 Desenvolva um programa de elementos finitos MATLAB para o elemento triangular com deformação constante e com três nós. Observe que, nesse caso, as matrizes do elemento podem ser calculadas sem integração numérica. Teste o programa em uma das seguintes formas: (a) contra cálculos manuais para um problema com dois elementos (veja Problema 9.7) ou (b) contra o programa MATLAB para um elemento quadrilateral fornecido no Capítulo 12. No último caso, considere malhas bem finas (pelo menos malha com 64 elementos para o problema na Figura 9.14 para elementos quadrilaterais).
Fonnulação de Elementos Rnltos para Problemas de campo Vetorlai-Bastlcldade Unear 189
Figura 9.19 Malha em domínio qua~ilateral com dois elementos.
Problema 9.9 Rel>ita o Problema 9.8 para o elemento triangular quadrático com seis nós. As funções de forma para o triângulo com seis nós, assim como o esquema da quadratura para elementos triangulares, são descritos no Capítulo 7. Teste o programa pela comparação dos resultados das tensões contra o programa MATLAB para malha quadrilateral com
.
M~ .
Problema 9.10 Usando o programa de elasticidade em duas dimensões, analise a viga em balanço mostrada na Figura 9.20. Considere que as propriedades do material são as seguintes: módulo de Young E= 3 X 1011 Pa e coeficiente de Poisson v = 0,3. Considere as três malhas seguintes: 2 X 5,4 X 10 e 8 X 20, em que o primeiro número corresponde ao número de elementos na direção da espessura. Compare as .s oluções em elementos finitos para defiexão máxima e tensão máxima contra cálclllos manuais usando a teoria de viga.
l.OOONm-t llllllllllllllllllllllllllllll!!llllllllllllll!lll! lllllll!llllllllllllj ~~---------------------------------~-
,...
4,0m
Io,4m
..j
Figura 9.20 Viga em balanço do Problema 9.8.
·Problema 9.11 Co.n sidere uma placa quadrada com um furo circular sujeita a uma carga de tração unlforme:como mostrado na Figura 9.21. A placa possui espessura unitária e está sujeita à tração na direção horizontal. Por causa da simetria no modelo e no carregamento, modele um quarto da placa. A placa possui 20 em X 20 em e o raio do furo é 'de 2,5 em. Considere o módulo de Young E = 2 X 1011 N/m2 e o coeficiente de Poisson v = Q,3. A carga uniforme aplicada é t = 10-3 N em-•. Calcule a componente de tensão máxima cru na placa. Gradue a malha em direção ao furo. Um exemplo de tal malha é dado no Capítulo 11 (veja Figura 11.29). Compare o valor da carga aplicada com o valor da componente de tensão máximá cr..,. obtida pêlo uso do programa de elementos finitos MATLAB. ·- - --- - · -·- ----.. - · - - · - · -
D Figura 9.21 Placa sob ttação (esquerda) e modelo de simetria de um quarto (direita).
190 CAPiTULO NOVE
Figura 9.22 Chapa fina do Problema 9.13.
Problema 9.12 Repita o Problema 9.11, porém com um raio do furo igual a 19 em.
Problema 9.13 Chapas finas que são simétricas rotacionalmente (axissimétricas) podem ser consideradas problemas unidimensionais, em que o único deslocamento diferente de zero é u,(r). As deformações não-zero são dadas por . pico é dada por
e,= -ôur'
u
e t 8 =..!...A lei tensão-deformação para um material isotrór
8
a= [q'] s= [t'E8] q(J
D = ~[l 1- v2 v
v]. 1
A formulação fraca é
In ('Vsw)TCTdD. = j wbdD.+ (w2n-n)lr.
'Vw E Uo
n
,w~ [~ ]•
om quo o .,.dionte om ooonlon•d " cillndrio"
a. Iniciando com a equação de equihôrio,
h é • ""'"""
~; + (q,- C1e)/r + b =O, r.,< r < r11, multiplique por w(r) e integre
sobre o domínio !l para obter a formulação fraca dada anteriormente. Considere que todas as condições de contorno são condições de contorno essenciais. (Sugestão: observe que dO = 21rrhdr porque o volume de cada elemento é toroidal.) b. Considere um elemento de deslocamento linear e com v = O. Para um elemento com nós em r 1 e r1 desenvolva a matriz B• e mostre que a rigidez do elemento K• é
c. Considerando uma força de campo constante b mostre que f é
f< = 2r.hb [2'1 + r2) 6
2r2 + r1
d. Use uma malha de dois elementos para resolver com r = IO, r~> = 30, E = 1011, v = O, h = 1 e b = 100 e condi· 4 ções de contorno essenciais zero.
Problema 9.14 Considere um elemento triangular com seis nós de espessura unitária com uma tração uniforme na direção x aplicada ao longo de uma borda (veja Figura 9.23). a. Mostre que a matriz de força externa f do elemento é
~=
-:p li
o
4
o
1
of
b. Monte a matriz de força do elemento para obter a matriz de força externa global f para os nós 1-5, como mostrado na Figura 9.23b.
Fonnulação de Elementos Finitos para Problemas de campo Vetorial- Elasticidade Unear 191
1+---L~L-+\
f hf2
X
p+
3
5--+
h/2
_l__.; c (b)
{a)
Fagura 9.23 {a) Elemento triangular com seis nós sujeito a um c:an:egamento de pressão constante
e (b) malha de eleme!lto triang-.ililr com seis nós.
Problema 9.15 são as Para o elemento Serendipity tridimensional mostrado na Figura 9.24, as funções de forma
ç
seguintes:
TJ
Figura 9.24 Elemento Serendipity tridimensional com 20 nós.
• Nos nós nos cantos
• Nos nós de pontos médios a forma típica é {=O, '11 = ±1, (J = :!;:1
1
N; ({, .,) = 4(1 - çl)(t + "71'11)(1 +v() a. Verifique que ~ e N;_ satisfaz as condições do delta de Kroneeker nos nós 1 e 2. = c5u para os nós 1 e 2. (f1 = -1 , ( 1 ~ -l,1J, = -1; ~=O, Cz = -1, ~ = -1, etc.), isto.é, mostre que".(~)
~ =.x, 11 = y, ~ = z. Para b. Considere o caso quando o elemento de referência é idêntico ao elemento físico, isto é, em z das forças nodais tes componen as determine inferior, superfície a uma pressão uniforme p aplicada sobre nos nós 1 e 2. - - c.- Repita (a) e (b) jíãêa o elemento lagrangeano com 27 nós.
10 Formulação de Elementos Finitos para Vigas m grupo de elementos muito útil em programas computacionais em elementos finitos é constituído de elementos de viga e casca. Esses elementos são usados para modelar estruturas e componentes que são finos em relação às outras dimensões. Alguns exemplos em que elementos de viga e casca são aplicados são
U
1. vigas e colunas de estruturas com muitos andares (Figura IO.l[a)); 2. chapas metálicas e estruturas de vários veículos (carros, trens e tratores), que são usualmente modelados pelos elementos de casca (Figuras 10.1 [b)-[d)); 3. o casco de um navio ou a fuselagem de uma aeronave, em que elementos de casca são usados para o revestimento e elementos de viga para as estruturas (Figura lO.l[e]). A característica marcante de corpos que podem ser modelados por elementos de viga ou casca é que eles são delgados se comparados às suas outras dimensões, de modo que a distribuição de tensão através da espessura (e em conseqilência a forma do campo de deslocamento) adquire uma forma muito simples. Neste capítulo, descreveremos deta· lhadamente a teoria de estruturas para vigas. Então, esboçaremos as implicações do que aprendemos de vigas para elementos de casca e descreveremos superficialmente alguns elementos de casca amplamente utilizados para que o · leitor possa usá-los inteligentemente.
10.1
EQUAÇÕES DE GOVERNO DA VIGA 1
10.1.1
Cinemática da Viga A maior simplificação na teoria de viga vem da hipótese de como uma viga deforma. Existem duas grandes teorias para descrever o comportamento das vigas: a teoria da viga de Euler-Bernoulli, freqüentemente chamada de teoria de viga para engenharia, e a teoria de viga de Timosbenko. Consideraremos apenas a abordagem antiga; a maior parte dos cursos lida com a teoria de viga para engenharia, de modo que a maioria dos estudantes teve algum contato com efa. Nós a chamaremos de teoria de viga para engenharia por brevidade. Uma viga é mostrada na Figura 10.2. O eixo x é colocado coincidente com o centróide da seção transversal A; aqui, esse eixo será chamado de linha central (ele é também chamado de eixo neutro). Uma importante classe de cargas sobre vigas é aquela normal ao eixo da viga, como p(x) na Figura 10.2.
'Recomendado pru-3 a Trajetória Mecânica Estrutural.
FonnulaçáO'de Elementos Rnitos para Vigas 193
3 3 2 Figura 10.1 Aplicações de elementos de viga e casca: (a) consttução; (b) carro; (c) trator; (d) ônibus escolar; (e) fuselagem de um avião.l
A hipótese-chave na teoria de viga para engenharia é que seções normais à linha central de uma viga permanecem retilíneas e normais. Isso está ilustrado na Figura 10.3, que mostra uma viga antes e depois da aplicação de uma carga (a deformação da viga está exagerada; na teoria da elasticidade linear considerada aqui, deformações devem ser invisíveis). Examinando a Figura 10.3, podemos ver que a hipótese de normalidade determina a componentex do deslocamento por meio da profundidade da viga por
u" = -y sen O(x),
(10.1)
em que 8(x) é a rotação da linha central (o sentido anti-horário é positivo) em relação a x e y é a distância da linha central. Se 8(x) é pequeno, então sen 8 = 8, e o ângulo de rotação corresponde à inclinação da linha central, de modo que
8
= 8u1 (x) &x .
(10.2)
A substituição de (10.2) por (10.1) gera
8u
Ux
= -y {):.
(10.3)
Aplicando a expressão padrão para deformação longitudinal (3.3) e (10.3), achamos que ÔUx
Bxx
= 8x = -y 8il .
(10.4)
Consideramos nessa equação que u, é_apenas função de x. Essa equação mostra uma das características fundamentais da teoria de viga para engenharia: a deformação ao longo da viga varia linearmente por meio da espessura da viga. Para materiais elásticos, uma vez que a tensão é proporcional à defÓrmação, a tensão também varia linearmente por
y p(x)
Figura 10.2 Nomenclatura para uma viga.
'Conesia de Cranitt Enginec:ring and Design. 1Conesia de Meroer Engineering.
.
:r.-.~- ·
~
.
~
..
194
CAPÍTULO OEZ
y
Viga defomuuia
8
8
Figura 10.3 Deformação de uma viga de Euler-Bemou!!i (de enge:-.h:ui:~).
meio da profundid ade da viga. A tensão máxima sempre ocorre na parte de cima ou na parte de baixo da viga, isto é, próxima a uma das superfícies da viga. Se considera mos o caso mais geral, no qual a linha central é também alongada, dito devido a uma carga axial, o deslocam ento por meio da profundid ade é dado por
Uz(x)
= u~(x)- y Buá~) ,
(10.5)
em que u~ é o deslocam ento da linha central. As deformaç ões são então dadas aplicando (9.6) em (10.5): 8u~
éflu1 8x - y 8x2 '
&xx
=
tyy
= 8u, =o, 8y
'I
= 8uz + 8u, 8y 8x
zy
(10.6) (10.7)
= - 8uy + au, = o ax
ax
o
(10.8)
Essas equações revelam várias outras caracterís ticas de deformaç ões de vigas:
1. A deformaç ão axial é a soma da tensão ao longo da extensão da linha central e da tensão devido à dobragem , o segundo termo em (10.6); a deformaç ão devido à dobragem é chamada de deformaç ão de dobragem ou de ftexão. 2. A deformaç ão e.,. por meio da espessura desaparece. 3. A deformaç ão de cisalbam ento transversal 'Y desaparece. Z'f O fCitO de que 'YZ'f desaparec e não é inesperado, pois essa deformaç ão é possível no ângulo entre as coordena das x e y, e pela hipótese fundamen tal da teoria de viga para engenhar ia de que a normal permanec e normal, não há nenhuma possibilid ade no ãngulo entre segmento s de linha nas direções x e y. Esse resultado é um tanto inconsist ente com o restante da teoria, pois implica que não há força cisalhante por meio da seção transvers al; isso é discutido em BelytSchko et ai. (2000).
10.1.2
Lei d(l
Tensã~Deform ação
Consider amos que a viga está em um estado de tensão plana (pois é fina na direção y), de modo que a única tensão não nula é dada pela lei de Hooke e (10.6):
(10.9) (Revertem os para a notação de derivada porque u~ e u são funções apenas de x). 1 As tensões na seção transversal da viga podem ser relacionad as com o momento na seção transversal, como se segue. Usando a definição padrão do momento como o produto da força e do braço de momento (veja Figura 10.4), obtemos
m= -
j A
YUxxdA·
(10.10) Nessa equação, u u dA é a força sobre a área dA e y é o braço de momento . A regra da mão direita foi usada para convenci onar o sentido do momento; o sinal negativo aparece na expressão porque o momento é negativo quando a tensão é positiva para y > O. A substituiç ão de (I 0.9) em (1 0.10) fornece
Formulação de Elementos Rnltós para VIgas 195 y
Figura 10.4 O momento resultante me o cisalhamento s na seção transversal da viga.
(10.11) A segunda igualdade ocorre porque y = Oé um eixo que passa pelo centróide, de modo que /,.. y dA = O. Se E for constante sobre a seção transversal, podemos tomar E e d 2 ujdr fora da integral, obtendo
Ed ~x) 2
m=
/1
~x) = Ebc,
2
dA= E/d
(10.12)
A
em que I é o momento de inércia da seção transversal e
K
a curvatura, dados, respectivamente, por (10.13)
A Equação (10.12) pode ser vista como uma generalização da lei da tensãCHleformação: ela relaciona uma integral da tensão com uma medida da deformação, a curvatura K. Na forma de (10.12), ela não é prontamente reconhecida como uma lei de tensão-deformação, mas a única diferença entre (10.12) e a lei de Hooke u = Ee é que (10.12) está escrita em termos de uma integral de tensão e da deformação generalizada K.
10.1.3 Equilíbrio As equações de equilíbrio para a viga relacionam o momento, a força de cisalhamento transversal e o carregamento vc.tical p(:x). Um segme.nto mtinitesitnal da viga é mostrado na Figura 10.5. Observe que, assim como as tensões, o ·momento interno m.é positivo sobre as superlicies positiva e negativa sobre as superlicies negativas; usamos a regra da mão direita, de modo que um momento é positivo quando estiver na direção de seus dedos no momento que o seu polegar apontar na direção positiva do eixo z. A força de cisalhamento s é positiva quando age na direção positiva y ' sobre uma face positiva e na direção negativa y sobre uma face negativa. Se considerarmos o equilíbrio vertical do segmento de viga mostrado na Figura 10.5 pela soma de todas as forças · verticais, obtemos
s(x+ Ãx) - s(x)
+p(x~ ~)Âx= O.
Dividindo essa equação por 6.:x e tomando o limite com 6.:x-+ O, obtemos
ds
'(h+P =O.
.·.
p(:x)
s(x+Ax) m(x)
z
Figura 10.5 Um segmento da viga usada para o desenvolvimento de equações de equilíbrio.
(10.14)
196 CAPiTU_LO DEZ
A seguir, consideramos o equiHbrio de momento sobre o ponto x = y
=0:
m(x+ lu)- m(x) + Axs(x+ tu) +~&p(x+ ~)=O. Dividindo essa equação por ÂX e tomando o limite com ÂX-+ O, obtemos dm
dx +s =O.
(10.15)
As equações (10.14) e (10.15) são as duas equações de equilíbrio para a viga. Elas podem ser combinadas em uma simples equação, tomando a derivada de (10.15), que gera Wmt
As equações (10.12) e (10.16) são afom;ulaçãof one das equações da viga. Essas duas equações podem ser combinadas em uma simples equação, que para vigas com El constante é: d4 u E! ruf-p=O.
(10.17)
Essa equação é urna equação diferencial ordinária de quarta ordem no deslocamento vertical da linha central da viga, u (x). Essa equação diferencial é de ordem superior às equações diferenciais que consideramos previamente, 1 que resultam em algumas importantes modificações nas condições de contorno e no desenvolvimento da formulação fraca.
10. 1.4 Condições de Contorno As condições de contorno sobre uma viga podem ser escritas da seguinte forma:
= Üy
r ...
(10.18)
-=-() em r o, dx
(10.19)
lly
du1
em -
d2
mn=EI~n=m em rm. dx2
(10.20)
d3
sn= -El~n=s em r,. dx3
(10.21)
Em (10.20) e (10.21), inserimos a normal n às condições de contorno naturais. Isso é necessário para a consistência entre a definição positiva de momentos internos (I 0.1 O) e as forças de cisalhamento (I 0.15) e as definições de me$, que são positivas quando agem no sentido anti-horário e na direção positiva y, respectivamente. Essas condições de contorno são combinadas em várias formas para modelar diferentes tipos de condições físicas e de extremidades. Três exemplos de condições de extremidades são 1. uma extremidade livre com uma carga aplicada:
sn =s em
rs.
m=o
r'",
mn = m em rm;
. (10.22)
2. um apoio simples:
em
(10.23)
3. um apoio fixo:
Õ=O em
ro.
(10.24)
Linha central (b)
Figura 10.6 Perda de compatibilidade em uma viga de Euler-Bernoulli causada por fendas e sobreposições: (a) devido a 8 uma guinada no deslocamento.
* O no suporte e (b) devido a
Fonnulação de Bernentos Finitos para Vigas 197
compaÉ interessante notar que a segunda condição em (10.24) para o apoio fixo pode ser explicada em termos de -se no desenvolvem es sobreposiçõ e tibilidade e da hipótese da normalidade: se 8 "'- O em um_suporte fixo, fendas um em suporte ao sobreposta fica central linha à normal te originalmen suporte porque qualquer linha vertical que era 10.6. Figura na mostrado como lado, outro do fenda uma lado e forma Pode-se ver que cada ponto de contorno corresponde a duas condições de contorno, isto é, uma extremidade livre . é um contorno r ,, como também é um contorno r •. Duas condições de contorno são requeridas em cada extremidade da viga, porque a equação de equilíbrio é uma equação diferencial ordinária de quarta ordem. É possível deduzir quais limites são as condições de contorno naturais e quais limit~s são conjugados durante a o no construção da formulação fràca. Contudo, para simplificar o desenvolvimento, usamos um princípio desenvolvid do ponto qualquer sobre prescritas ser podem não trabalho ao tocante no Capítulo 9: as vaóáveis que são conjugaàas trabalho, no incrementos a corresponde m68 e s8u Como contorno. no prescrita ser deve delas contorno, mas uma 1 as relações conjugadas são (10.25) r:nr., = O, r:ur.. =r. (10.26) rmur.s =r. rmnrs=O, 4 10.2 FORMULAÇÃO FORTE PARA FORMf!LAÇÃO FRACA
(1 0.16) O desenvolvimento da formulação fraca é efetuado da seguinte forma: multiplicamos a equação de equilíbrio e inteente, respectivam derivadas, suas e peso função uma por (10.20) e (10.21) naturais e as condições de contorno gramos sobre os domínios correspondentes, o que gera
(b)
w(sn-
s)lr. = O,
I
dw
(c) -(mn - m) = O r. dx
'Vw.
(10.27)
por Como anteriormente, agora integramos por partes, mas veremos que essa equação integral precisa ser integrada partes duas vezes. Integrando (10.27a) por partes a primeira fornece
dm) --dx f -dxd(w~m - - d x = (-wsn) I - fdwdm dx - fdwdm fn w-dx= dx dx ' r dx dx dx
em que usamos o teorema fundamental do cálculo e a equação de equilíbrio ( 10.16) para obter a segunda igualdade. a Como antes, fazemos com qu~ w desapareça em r •. o qual combinado com (10.25) e (10.27b) permite-nos mudar para anterior expressão
dwdm - dx. f w
d m
·
(10.28)
n
Agora, integramos por partes o segundo termo no segundo membro dessa equação:
w f d(dw ) fd
fn
· n
n
(10.29)
)lr. - f~~mdx. =(!:m o Para obter essa equação, usamos o teorema fundamental do cálculo para converter o primeiro termo no segundo membro da equação, fazemos com que dw/dx desapareça em r, e substituímos (10.27c). A substituição de (10.29) em (10.28) e o resultado em (10.27a) gera a seguinte formulação fraca:
= j wp~ :_{~:m)lr +(ws).~!. __ ... . : ____j~-~dx n n
para
Vwe
u0 •
~
Se substituímos a lei da tensão-deformação generalizada para o momento m dado em (10.12) nessa equação, obtemos para
'Vw E Uo.
Como o primeiro membro é simétrico em w e u1, podemos esperar simetria nas equações discretizadas.
•Recomendado pan1 a Trajetória Mec:l.níca Estrurural.
(10.30)
198 CAPÍTULO DEZ
-
Consideremos, a seguir, a estrutura de U e U • Examinando a equação (I 0.30), podemos ver que as segundas deri0 vadas da função peso e a aproximação aparecem na integral no primeiro membro. As funções com graus de continuidade CJ usadas antes não são, por isso, mais adequadas, como o quadrado da derivada segunda de uma função com grau de continuidade (!l não é integrável. Por isso, funções com grau de continuidade C1, para as quais a integral em (10.30) é integrável, denotadas por }{2, são necessárias para a função de aproximação e para a função peso. As condições de contorno essenciais em um sistema de quarta ordem são as condições de contorno no deslocamento a nas derivadas primeiras; isso será visto mais claramente partindo da formulação fraca para a formulação forte. Indo de trás para frente na construção da formulação fraca, podemos ver que fizemos w desaparecer em r .. dwldx em Por isso, levando em conta a ex.igência da continuidade, sego..:e que os espaços de função para as funções de aproximação e funções peso são
r,.
U=
2
{
_
ru, ct; =O
= {wlw E H2 , w = O em
Uo
du1 } dx =Bem f e ,
r",
u1 ju1 EH ,u1 =u1 em
(10.31)
e}·
em f
(10.32)
Da equação anterior podemos ver que as condições de contorno em u e dujdx são condições de contorno essenciais. 1 A formulação fraca pode então ser resumida como a seguir: encontre u1 (x) E U tal que (10.30) válido 'v'w(x) E Uo. A necessidade do uso de funções com grau de continuidade C1 pode também ser estabelecida fisicamente pela hipótese de que a seção normal permanece reta e normal. A Figura 10.6b mostra a deformação de uma viga em uma guinada no deslocamento da linha central, u,(x). Como pode ser visto, a seção normal permanece normal em cada lado, o
material se sobrepõe em um lado e uma fenda se desenvolve no outro lado. Por isso, a compatibilidade não fica satisfeita com um campo de deslocamento com grau de continuidade CJ em uma viga. Portanto, a necessidade do uso de aproximações e funções peso com grau de continuidade C1 pode ser explicada de duas formas: matematicamente (da integrabilidade da formulação fraca) e fisicamente (da compatibilidade).
10.2.1
Formulação Fraca para Formulação Forte A taxonomia das várias condições de contorno torna-se mais clara pela consideração do desenvolvimento da formulação forte a partir da formulação fraca. Como usual, a formulação forte é obtida da formulação fraca pela inversão dos passos usados no desenvolvimento da formulação fraca. Iniciamos com a formulação fraca ( 10.30) e consideramos apenas vigas com EI constante. Usando a integração por partes no primeiro membro de (10.30), obtemos I
>
I
2
E!à-wd u1 dx f dx2 dx2 o
2
dx
o
)I
2
dw ) = ( -mn
dx
8
,
1
dwd3u1 dx - f E!:.._r clx ctx3
I - fi f•Uf •
r, e r., = r - r
3
u1 ) dx _ fE!dwd u1 dx dx dx2 clx
= ( Edwd l - -u,n dx dx2
Como dwldx = Oem
I
=f ~ ('E1 dwd
3
dwd u1 dx. El--;-..'lclx d,x3
o
M
então obtemos
fo El~~'::J ~= (ct;;mn)l -fo El~'::J I
2
(10.33)
o
2
I
3
r.
dx.
(10.34)
Usando a integração por partes no segundo termo dessa equação, obtemos I
f
o
3
I
3.
dx = f~ (wEl d u,) dx dx
El dw d
Uy
o
= - (wsn)lr,ur. -
jo
Elw
f
I
4
wEI d u, dx d,x4
o
~ dx,
(10.35)
em que o teorema fundamental do cálculo foi usado para obter a segunda linha. Como w = Oem r .. obtemos I
f o
3
dwd
f
I
Uy
El dx
o
4
d
Uy
wEl d,x4 dx.
(10.36)
Fonnulação de Elementos Anltos para Vigas 199
Substituindo (10.36), (10.34) e o resultado em (10.33), obtemos .
I
f w(El~- p) dx+
+:; (mn- m)l
w(sn- s)lr,
o
=O.
(10.37)
~
A formulação forte pode então ser extraída como antes pela primeira seleção w
= 1/J(x)(EI~- p ),
(10.38)
em que ljJ é suave e positivo e rjl(x) > O em O < x < I e rjl(x) = dljl/dx = Oem x = Oex = l. Por exemplo, rjl(x) pode ser escolhida como (1 - cos(27iX/l) ou qualquer outra função positiva em O< x < l satisfazendo as quatro restrições anteriores. A Equação (10.38) i.ril.plica que w = dw/dx =O em r. Inserindo (10.38) em (10.37}, obtemos
f
4
I
1/J(x)
o
(E/~ - p)
2
.
dx
= O.
(10.39)
integrando
Observe que o integrando em (10.39) é positivo em cada ponto no donúnio do problema. Logo, a integral desaparecerá apenas se o integrando for zero em todo ponto. Portanto,
d•u,.
o::; X::;
El d;x4 - p =O,
A substituição de (10.40) em (10.37) fornece
w(sn- s)lr. Além disso, consideramos w =
+:
(mn-
l.
m)l r.. =o.
(10.40)
(10.41)
oem r$ e dw/dx arbitrário em r... o que gera 2
mn
d u =m = EI--'n d;x2
em
rm.
(10.42)
Finalmente, combinando (10.42) e (10.41) e tomando w arbitrário em r s- obtemos
sn = -E/
d3 u
rui n = s em
r~.
(10.43)
Assim, a formulação fraca leva à formulação forte, as duas são equivalentes para espaços infitútos-dimensionais
u.
O desenvolvimento apresentado também deixa mais claras as condições de contorno essenciais e naturais para uma viga. As condições de contorno essenciais são aquelas em u, e du,fdx; precisamos construir a aproximação de modo que elas possam ser encontradas. As condições de contorno naturais são as condições nas derivadas segunda e terceira de u , que são o momento e o cisalhamento, respectivamente. Essas condições de contorno serão encontradas · em um sentÍdo 'fraco', isto é, aproximadamente, por uma solução em elementos finitos.
10.3 DISCRETJZAÇÃO DE ELEMENTOS FINITOSS 10.3.1
Aproximações da Sf?lução Tentativa e da Função Peso Como concluímos na seção anterior, as soluções tentativa e as funções peso para um elemento de viga mostrado na Figura 10.7 precisam ser funções com grau de continuidade c•. Uma classe de funções que fornece o grau de continuidade C' é a dos polinômios de Hermite (outras são os vários B-splines). Para usar os polinômios de Hermite e manter ·o~grau· de· continuida:de-e+-entre· elementos;tanto·os--deslocamentt.wquanto·as·derivadas dos-deslocamentos nos nósprecisam ser graus de liberdade. As derivadas do campo de deslocamento podem ser vistas como uma rotação 8 do deslocamento da linha central (lembre-se de [10.19]), de modo que a matriz deslocamento do elemento é (10.44)
As forças nodais são conjugadas no trabalho, de modo que
r
'RecÔmendado para a Trajetória Mecânica Eslrutural.
= [{yl, m1 .J,2, mz)T,
(10.45)
200
CAPITULO DEZ y
X
2 Figura 10.7 Elemento de viga de Euler·Bemou!li com dois nós.
em que m1 são os momentos nodais (note que m =1: m[xJ). 1 Os polinômios de Hermite para um elemento de comprimento I são dados por N~1
= 1(1-Ç) 2(2+{),
Ns1
= 8I' (1 -
4
2
{) (1
+ Ç),
1 2 N~z=4(1 + Ç) (2
- Ç),
= z• (1 + Ç) 2 ({ 8
Nsz
(10.46)
1),
em que { =
2x
T<' -
1, Jogo - 1 $ { $ 1.
(10.47)
Pode-se verificar que essas funções de forma apresentam a seguinte propriedade delta
de Kronecker: (10.48)
Logo, as funções de forma de Hermite ínterpolam tanto a função quanto suas derivadas nos nós. Para obter a derivada com respeito à x, necessitamos usar (10.49) As quatro funções de forma são mostradas na Figura 10.8. Pode-se ver que (10.48) é encontrada. As funções peso e as soluções tentativas são interpoladas com as mesmas funções de forma, de modo que
u; = N'd' ,
w•
= N'w'.
(10.50)
Para avaliar o domínio da integral na formulação fraca (1 0.30), necessitamos avaliar d2 u;tdx2, que de (1 0.50) e (1 0.46) pode ser mostrado como
Jt(' Ioc!inaç!~
N"
Ç=-1
Ç'=l
1~
2 ;.
Ç=-1
Ç= l
Inclinaçlo=O
f
•
N,I IDclinação=O
~
Ç'=~l
,'
. Ç =1 ,., Inchnação =I
~~~-·
Figura 10.8 Funções de forma de Hermite com grau de continuidade C' para uma viga com dois nós.
Fonnulaçio de Bementos Anitos para Vigas 201
I·
(10.51)
•
B' Co~o
ção da matriz de rigidez. indicada, essa expressão define a matriz B•, que é usada na constru
10.3.2 Equaç ões Discre tas
em termos do campo de deslocamento, mas parti· Não repetiremos o procedimento de eScrever a formulação fraca ramos nos capítulos anteriores. As equaçõ es conside que remos disto como um exercício. O resultado é idêntico ao de elementos finitos são (10.52) Kd = f+r. As matrizes dos elementos são
matriz de rigidez:
K' =
f
(10.53)
EIBflB • dx;
omatriz de força externa: (10.54)
a matriz de força de contorno, respectivamente. em que rn e~ são a matriz de força de campo do elemen to e um simples elemento. As matrizes dos elemen tos Estes resultados podem facilmente ser obtidos considerando uso das operaçõ es de dispersão dos coeficientes e pelo antes são montadas em urna matriz global exatamente como de reunião de acordo com o número de nós dos elementos. do elemen to é dada por Se a rigidez à flexão E/ é constan te sobre o elemento, a rigidez -12 12
K'
=
f
EIB'TB ' dx =
~[
o-
;
-6f 12
(10.55)
Sim
não desaparece mais; isso é porque d' = [1, 1, 1, Observe que a soma de qualque r linha dessa matriz de rigidez s nodais quanto os deslocamentos nodais. rotaçõe as não é um movimento de corpo rígido, tanto d• inclui dadas por são p te constan carga uma As forças nodais corresp ondendo a
1F
(1056)
to nodal quanto em forças nodais verticais; as forças Pode-se ver que a carga uniforme resulta tanto em um momen to triangular submetido a urna pressão uniforme. elemen nodais verticais são idênticas àquelas nos cantos de um 6 10.4 TEOREiJÃ i:JÁ:ENERGIA POTENCIAL MINÍ MA
lvidas mais prontamente que nas seções anteriores As equações de elementos finitos para uma viga podem ser desenvo - -- - - · - a, pe10"Uso·do-teo rema da' energia· potenci atmínim a:-Para·uma·vig
Wmt
=~Jn E~dfl= jo JE~dAdx=~oi E/(~Y
dx,
(10.57)
A
ar o domíni o do problem a e a terceira igualdade segue em que a segunda igualdade é apenas outra forma de express de (10.4). O trabalho externo é dado por
'Rec;,omendado para a Trajetória Meclnica Estru!U.ral.
.
...
,..
202 CAPiTULO DEZ I
Wext
=
j
pu1 dx + (u,.s)Jr,
+ (Bm) lr. ·
(10.58)
o O teorema da energia potencial mírúma então afinna que a solução u.r E Ué o minirrúzador de li, em que II
= Wint -
(10.59)
Wext,
em que Ué definido em ( 10.31 ), isto é, U é o conjunto de deslocamentos admissíveis. O teorema da energia potencial mínima mostra claramente por que a derivada do campo de desloca.-nemo deve ser um quadrado integrável. Obviamente, a energia íntema não pode ser avaliada se a derivada do campo de deslocamento dujdx niio é um quadrado integrável. As equações de elementos finitos podem ser obtidas pela aproximação do campo àe desloca.rnento pelos campos de deslocamento compatíveis, isto é, campos de deslocamentos tais que u, E U, e minimizando li com respeito aos deslocamentos nodais não nos contornos essenciais, isto é, com respeito a ·d, Se usamos ( 10.50) pata a aproximação do campo de deslocamento, então
(10.60)
Pode-se. ver que o primeiro tenno no segundo membro envolve a matriz de rigidez, enquanto os outros dois tennos são devido às cargas aplicadas. Usando as definições (10.53) e (10.54) em combinação com a montagem, podemos escrever a expressão anterior como
(10.61) O mínimo de li é obtido estabelecendo suas derivadas com respeito aos deslocamentos nodais, que gera
dP iguais a zero, o
(lü.62) em que ~ e fF são os blocos da matriz de rigidez e da matriz de força que corresponde a F nós e ~é a matriz de rigidez acoplada. Para mais detalhes sobre a partição veja o Çapí~lo 5.
Exemplo 10.1 Considere um problema de viga mostrado na Figura 10.9. A viga A~C está engastada no lado esquerdo e livre no lado direito. As dimensões espaciais estão em metros, as forças em N e a
Matrizes de rigidez dQ elemento: .
.
Baseada em (10.55) para o elemento 1 (E/= 1()4, L= 8):
y
X
4
4
4
Figura 10.9 Definição do problema do Exemplo 10.1.
Fonnulação de 8ementos Rnitos para Vigas 203
(1)
(2)
Figura 10.10 Malha (!e elementos finitos do Exemplo 10.1.
i' p
í
t'
!
Ke =EI
Ll .
["
6L
-12
6L
4L2
1 [
-6L 2L2 -12 -6L 12 -6L 6L 2L2 -6L 4L2 6L
0,94 5,00 -0,94 . 2,50
O,TI - 1N 0,94 -0,23 0,94
J - ....
l
-0,23 -0,94 2,50 [l] 0,23 -0,94 [2} ·-0,94 5,00
o.~
' [1]
[2]
e de modo similar para o elemento 2 (E/= 10', L= 4):
t fr
~~ :~
K' _EI [ - L3 -12 6L
.
-12 -6L
-6L 12 2L2 - 6L
;~l = i;~:s ~f~ 1
&[
4L2
3,75
5,00
-1,88 3,75 ] [2] -3,75 5,00 1,88 -3,75 [ ] 3 -3,75 10,00
[3]
[2)
i
Matriz de rigidez global: A matriz de rigidez global é calcula~ usando a montagem diretamente:
0,94 -0,23 0,94 o 5,00 -0,94 2,50 o -0,94 2,11 2,81 -1,88 2.50 2.81 15.00 - 3.75 o o -1,88 -3,75 1,88 O. o 3,75 5.00 -3,75 [1) [2) [3]
0,23 0,94 -0,23 K= lol 0.94
o
o
[1)
3,75 [2] 5,00 -3,75 [3] 10,00
Matriz de forças de contorno:
rr = (N = (O O O OJT como ele não tem contorno em r I ou r ,.. Para o elemento 2,
A mattiz de forças de contorno global é obtida pela montagem dire.ta:
---·-- -- -fr=
o 0
o o
. {li
[2]
-20 [3) 20 Matriz.de forças de campo:
Lembre-se do Capítulo 5 que mostra que, no caso de uma força pontual agindo em uma coordenada -1 a matriz de forças de campo resultante é dada por
.' .
< $A s 1,
........ ·jlo;,.
.. .
204 CAPITULO DEZ
Para o elemento 1: A matriz força de campo para o eleme nto 1 é obtida pela superposição das contribuições da distribuição de carga p(x) = -1 e de uma força pontual P, = -1 O agindo em ~ = O, que fornece f,l l 0
=
N"'] [
-9]
[Nu1] p 1 = [-15,3
{X:,. Ne1 pdx + Ne1
Jr,
N.a N92
N,2 Ne2
-9
1 [)
[2J
15,3
(=O
Para o elemento 2: a força pontual, P = 5, age em seu primei ro nó em que g= -1 , que fornece 1
Nu!] [N.N,z
..12)
lf! --
p1
Nel
62
{2} = [5] O O ·~• O PJ
(•-I
A montagem direta das matrizes força de campo fornece
-9
fn
-15,3 [1] -4 [2] 15,3
=
o o
[3]
Condições de contorno e soluções: O sistema montado e partido é dado a seguir: I
0,23
0,94 1 -0,23 0,94 0 0 _ _51-0Q. 1 ::0.!.91 _ ~.~o ___o___ ~ _ - 0,23 -0,94 I 2,11 2,81 -1,88 3,75 0,94 2,50 : 2,81 15,00 -3,75 5,00 0 0 1 -1,88 -3,75 1,88 -3,75 0 0 I 3,75 5,00 -3 ,75 10,00
UyJ =0 el ::Q
~9~
uyz
-9 +rui :: 1_?, ª- t '11
==
92 Uy3
83
-4
15,3 -20 20
Observe que adicionamos forças de reação r., e r correspondent es às reações de força e de momento desconhecidas no nó 1, respectivamente. A solução do sistema de61equações anterior gera a seguinte matriz de deslocamentos global:
Uy2] 82 UyJ = [ 93
[-0,55] ' r.,,] [ [ == 252 -0.11 -1,03 -0,12
1
33 ]
re1
Pós-processamento: Momentos e forças de cisalhamento nos dois elementos são obtidos por (10.51), (10.42) e (10.43): m(J)
= Eld2u(ll == El[d2Nu1 dx2
dx2
d2Nel dx2
~
d2N,z d2N82] [ dx2
dx2
Uy2
l
= -240, 64 + 25,785x,
82
m (2)
=
El~ = El[d2Nul 2 (2)
dx2
dx2
2
d Nel dx2
2
d Nuz dx2
Uy2]
2
d N92] dx2
82
= -104, 5 + 39,75x,
[ UyJ 83
[~ ] 2
3
ddx3Ne2]
Uy3
83
== -39,7 5.
Formulação de Elementos Rnltos para VIgas 205
o ~, -o,s CD
E
8
~ o
(a)
-1 - - -FE
--Sol ução exata -1 .5o 100
o
2
10
8
6
4
12
- - :• FE
--Sol ução exata
o
'E
-1oo E o
:::!:
2
4
10
8
6
12
X
35
~CD ~ .c
- - -FE
- - Solução exata
30
25
1 ô
4
(c)
8
6
10
12
X
Figura 10.11 Solução por elemento finito do Exemplo 10.1 e comparação com
a soluçlio analítica da viga.
entos, moment os e forças de cisalham ento A Figura 10.11 compara a solução por elementos finitos dos deslocam (10.21). Na Figura 10.11(a) pode-se (10.17)viga de s equaçõe com uma solução analftica da formulação forte de dois elementos são muito precisos. apenas com finitos os element de malha a com ver que os deslocamentos obtidos represen ta uma aproxim ação razoáve l A variação linear por partes de momentos predita por element os finitos uma descontinuidade no moment o no ; do ponto de vista de engenharia, como pode ser visto na Figura lO.ll(b) da força de cisalham ento é clarame nte e constant ação aproxim uma , contorno do element o é evidente. Ao contrário ento. Observe a desconti nuidade na inadequ ada para simular urna variação significativa nas forças de cisalham s~o aplicada s. Por isso, é uma boa pontuais solução analftica das forças de cisalham emo no local onde as forças agindo. estão pontuais prática posicionar um nó no ponto onde as forças
10.5
OBSERVAÇÕES SOBRE ELEMENTOS DE CASCA
7
J.~O-~emJ;1lo_u!e objetQs que são normal.: .__ .. ___ Ele~s de casca são_usado.§.~.!Dodelar estruturas finas (yej~ são mostrad os lá. Para essas aplicações, sólidos os mente modelad os mais por element os de casca do que por element , pois esses element os sólidos precisam razoável solução uma obter para muitos elementos sólidos seriam necessários uma peça fina com precisão , o número de ter uma proporç ão de aspecto razoável para serem exatos. Para modelar elementos sólidos seria enorme. ies curvas em três dimensõ es. A teoria de As cascas podem ser vistas como generalizações de vigas para superfíc Mesmo assim, gostaríamos de descreve r ório. introdut texto deste escopo do casca é bastante complic ada e está além p ara usar esses:elementos. alguns aspeetos das cascas, para que o leitor tenha algum conheci mento o de casca de face plana e triangular element o rar O modo mais fácil de descrever elementos de casca é conside de teoria de cascas de Kirchof fchamada também ernoulli, Euler-B de teoria mostrado na Figura 10.12. Consideremos a
'Opcional pua a Trajet6óa de Mcdnic:a Esuurural.
.
•,
~
206
CAPITULO DEZ
Superfície central Figtm~l0.12Elemento
triangular de casca com face plana.
Love. A consideração central dessa teoria é idêntica àquela da teoria de viga de Euler-Bernoulli: normais à superfície central permanecem retilíneas e normais. No sistema de coordenadas tangente à superfície central da casca, os deslocamentos podem então ser escritos em termos das rotações por meio dos mesmos procedimentos usados na obtenção de (10.3) para uma viga (veja Figura 10.12):
u.. =u~ -z'é',, ~
.~11' u 1 =u~1M -rzu .. ,
(10.63)
u: =u,(x,Y ), em que u~ e u~ são as componentes x e y dos deslocamentos da superfície central. Observe que as componentes do deslocamento são expressas no sistema de coordenadas local do plano tangente. Da consideração de que normais permanecem normais, segue que '{f =- ôu,
"
ay,
(10.64)
Das equações deformação-deslocamento em três dimensões (veja o Apêndice), ~
e_u=
êa
au-~
então obtemos
~ &u, 8-:t2 I
ax -z
(10.65)
=y .x: = y Jt = O.
Pode-se ver que as deformações em uma casca têm as mesmas características básicas que em uma viga: variam linearme nte por meio da espessur a da casca e consistem em deformaç ões devidas ao deslocam ento do plano central e àquelas devidas aos deslocamentos normais ao plano central; essas são chamadas de deformaç ões de membran a e deformações de dobragem (ou de flexão), respectivamente. As deformações máximas ocorrem no topo e na base das superfícies da casca. Em um material elástico, as tensões estão relacionadas linearmente com as deformações, de modo que as tensões variam similarmente e as tensões máximas ocorrem próximas do topo e da base das superfíci es. Na teoria de casca, um estado de tensão de plano é considerado na direção local 7. A lei tensão-deformação é obtida pela substituição CT12 =O na lei de Hooke para três dimensões elásticas (veja Seção 9.7). Para materiais isotrópicos, temos 11 11
.'
. .E D= - -2 1- 11
1
o
o l-11
o o 2 o o o o o o
o
o o l-11
2
o
o
o o o l-11
2
A consideração de tensão de plano parece um tanto contraditória, pois, segundo o campo de deslocamento, "ê' z = O. Novamente, isso é uma das contradições toleradas da teoria de vigas e cascas, que é tolerado porque o resultado teórico é até agora bastante efetivo na predição de deformações e tensões em cascas. Alguns elementos de cascas muito usados na prática são o triângulo de face plana de três nós e curvada; o triângulo de seis nós; quadriláteros de quatro, oito e nove nós. Em todos os elemento s, todos os nós estão na superfície central do elemento. Dois tipos de elementos são amplamente usados: 1. elementos com cinco graus de liberdade por nó (5 GDL); 2. elementos com seis graus de liberdade por nó (6 GDL).
Para um nó do elemento 6 GDL, os graus de liberdade são três translações e três rotações. Para um triângulo de três nós do tipo 5 GDL, os graus de liberdade são
Fonnulação de EJementos Rnitos para Vigas 2fJ7 Nós primários (plano central)
•
o Nós setundirios
.... u~ =(u: +un/2 Superfície inferior (B)
Figura 10.13 Elemento de casca quadrilaterai de nove nós.
tr
= (dh
d1 =[;;ri
d2, d3]T, Uyf
Uzi
~ri ~ 1rf
As forças nodais correspondentes são conjugadas no sentido do trabalho, de modo que
r= [fi fi f3JT, ~
= lfri
!,r
!zJ
mri
myr].
Nesta equação, ê.ú e ê,,são rotações relativas aos .i e y, respectivamente (veja Figura 10.12), e m.u em,:~ são momentos nodais nos eixos i e y, respectivamente. As componentes de deslocamento podem ser expressas em um sistema de coordenadas local ou global, enquanto as componentes rotacionais tem de ser expressas em um sistema de coordenadas local que seja tangente à superfície central da casca no nó. Para um elemento 6 GOL por nó, todas as componentes são expressas no sistema de coordenadas global: di
= [uri
~
= ltri
8yl
8ü] 1
jy, !zJ mri m.,r
mvJ.
Uyf
Ut]
8ri
Os lados dos elementos quadrilaterais de ordem superior podem ser curvos no espaço. De fato, esses elementos são desenvolvidos pelo mesmo conceito isoparamétrico empregado para desenvolver elementos tridimensionais curvos. Nos elementos isoparamétricos, uma teoria alternativa para cisalhamento transverso 'Yx:. e "~r. é usado. Nessa teoria de cascas, urna normal permanece retilínea, mas não necessariamente normal como as deformações das cascas. Contudo, os elementos são modificados por procedimentos bastante técnicos, para que o elemento imite as tensões dadas em (10.65)·(métodos variacionais mistos, integração seletiva-reduzida e elementos de deformação assumidas são alguns dos métodos usados para executar esse artifício, veja Belytschko, Liu e Moran [2000}); essas técnicas estão fora do escopo deste livro. Para ilustrar como o campo de deslocamento é construído, consideremos o elemento de nove nós mostrado na Figura 10.13. A normal precisa permanecer reta (a normalidade não é forçada no campo de deslocamento), de modo que o deslocamento pela espessura seja linear. O deslocamento pode primeiro ser escrito em termos .. ~ de uma série 4e nós, como mostrado na Figura 10.13. Esses deslocamentos são então relacionados com as rotações pelas técnicas de transformação. como descrito no Capítulo 2. O campo de deslocamento do elemento de casca de nove nós é isoparamétrico com funções de forma lineares pela espessura e funções de forma quadráticas no plano, de modo que
..
.j·_
N'f9 = N'f(ç)N'jQ(Ç, fi), . . NjrDl =Nr-(ç)N'jQ(Ç,fl), em que N~' são funções de forma unid~sionais de dois nós dadas no Capítulo 7, que esrudamos no Capítulo 4, e N~ 0 são funções de forma isoparamétricas bidimensionais desenvolvidas no Capítulo 7. A aplicação de condições de contorno é similar àquela para vigas. Algumas condições de contorno típicas são J?fl!_ __ m_o~tt:adas n! Fi~_! 0.14, embora elas devam ser um tan~ modificadas_!endo_~!!! conta ~ !:O~.Xões adicionais. um suporte fixo, as rotações e translações precisam desaparecer.
ii,=ü,=O
Sppone llnico ii, =ii7 =O
ê, =ê, = O ê, =O
ê, =O ê, =O
SuponeflXo
Extremidade livre
Sem condições de deslocamento Figura 10.14 Condições de contorno para planos c cascas.
'I
208
CAPITULO DEZ
Como em elasticidade unidimensional e bidimensional, a razão de convergência dos elemento s biquadráticos é uma ordem maior do que aquela do elemento bilinear. Por isso, o elemento com nove nós é recomend ado para muitas aplicações lineares. A integração de Gauss é usada para avaliar a matriz de rigidez. A programação desses elementos está além de um curso elementar, pois muitos 'truques' de técnicas precisam ser usados para obter um elemento que funcione bem.
REFERÊNCIA Belytsch.lco. T.. Liu, W. K. and Moran, B. (2000) Nonlinear Finite Elements for Continua and Strucrures,John Wiley & Sons, LlD, Chichester.
Problemas. Problema 10.1 Considere uma viga AB sujeita a um carregamento uniforme transversal, como mostrado na Figura 10.15. Usando um único elemento finito, calcule a deftex.ão máxima e compare com a solução da teoria de viga e1ementar. y p(:r)
A
L Figura 10.15 Viga carregada unifonnem ente do Problema 10.1.
Problema 1 0.2 Considere uma vigaAB suportada por uma vara elástica BC no ponto B, como mostra a Figura 10.16. A viga está sujeita
à carga uniforme p(x). Use o módulo de Young E para a estrutura inteira e a seção transversal de área A e o momento de inércia I para a viga e a vara, respectivamente. Modele a viga com um único elemento
único elemento de armação (considerado no Capítulo 2). Encontre os deslocamentos
finito de viga e. a vara com um nodais e as deformações na viga.
y ~
p(x) X
A
B L
c
!F ~
Figura 10.16 A estrutura viga-vara do Problema I 0.2.
Problema 10.3 Considere uma viga sobre fundações elásticas, como mostrado na Figura 10.17. Estabeleç a as formulações forte e fraca. Sugestão: considerando um equihôrio de uma viga (veja Figura 10.3), leve em conta a força ( - k(x + t t.x) ur
p(z)
z Figura 10.17 Uma viga sobre fundação elást.ica do Problema 10.3.
f1mnulaçlo de Elementos Rnltos para V~gas 209
Prpblema 10.4
10.18. A viga tem uma espessu ra constan te, t, e uma Consid ere um elemen to de viga trape~idal mostrado na FigÜ.ra de rigidez para o elemen to de viga trapezoidal. variação linear de altura h(x) = ~ (1 - [x/2L]). Deduza a matriz
y
Figura 10.18 Elemeoto de viga ttapezoidal do Problema 10.4.
Problema 10.5
10.18. A viga de compri mento L= 4 me módulo de Consid ere o elemen to de viga trapezoidal mostrad o na Figura na direção negativa y é aplicad a no nó 2. A viga tem lcN 10 11 ade Young E = 10 Pa é fixa no nó 1. A força de intensid Encont re a deftexão e a deform ação máxima s, uma seção transversal constante com espessu ra 0,1 me hL = 0,5 m. usando os seguintes modelo s de elementos finitos:
a. um elemen to de viga simples trapezoidal; te; escolha a altura de cada elemen to igual a altura b. dois elemen tos de compri mento L = 2 m com altura constan da viga no centro da vigá trapezoidal de cada elemen to. Compa re os valores da deform ação máxim a obtida com os dois da teoria de viga elemen tar.
modelos de elemen tos Quitos p!!fa deform ação obtida ·
Problema 10.6
na Figura 10.19. A viga tem uma espessu ra constan te Consid ere uma viga com um furo retangular, como mostrad o furo retangu lar. O elemen to de viga deve ter os usuais t. Deduza a matriz de rigidez para o elemen to de viga com um transversais em x O e x L. quatro graus de liberdade: duas rotações e dois desloca mentos
b
-----
1:
=
=
- b
L
Figura 10.19 A viga com um furo retangular do Problema 10.6.
Problema 10.7
10.20. A viga está sujeita a uma carga uniform emente Consid ere uma viga com dois vãos, como mostrad a na Figura em x = 6 m, como mostrad o na Figura 10.20. O distribúíêla, uma fd.r?à pontual em x = 2m e um momen to pontual 1 N ro2• produto de rigidez da vi~a é E/= 2 X 10
P=-lO XN
-
- - - ---=-2--XNart M =S kNart
p(x)
X
Figura 10.20 Uma viga com dois vãos do Problema 10.7. o 12, calcule as deflexões em x = 2 m ex = 6 m; a. Usando o program a de elemen tos finitos fornecido no Capítul = 6 m. Considere dois elementos -um para cada momen tos e forç~ de cisalha mento em x = 2 m, x = 4 m ex vão. Repita (a) com a malha de três elementos. b. Se você tem três elemen tos, qual seria uma malha ótimâ?
210
CAPITuLO DEZ
c. Verifique o resultado de (b) com a malha de oito elementos, quatro para cada vão.
Problema 10.8 Considere uma estrutura armada alinhada ao longo do eixo x. Uma armação é uma combinação de uma viga e uma barra, considerada no Capítulo 2. Ela é capaz de suponar ambos os carregamentos, transversal e axial. Um diagrama de corpo livre de um segmento de armação é mostrado na Figura 10.21. Observe a força axial F(x) em adição ao momento e as forças de cisalhameoto agindo nas duas extremidades do segmento de armação. p(x)
s(.r+ A.t)
j )~)
.r
.jJ!l m(.r)
m(.r+A.t)
4 Á.t
I•
•I
Figura 10.21 Um segmento de armação usado para o desenvolvimento de equações de equilíbrio. Desenvolva as formulações fone e fraca para uma armação de comprimento L alinhada ao longo do eixo x. Considere uma seção transversal constante de área A, momento de inércia f e módulo de Young E.
Problema 10.9 Considere um elemento de armação no sistema (x'', y•) de coordenadas do elemento como mostrado na Figura I 0.22. Escreva a matriz de rigidez deduzida no Problema 10.8 no sistema de coordenadas do elemento. Expresse a matriz de rigidez do elemento no sistema (x', )")de coordenadas global.
Sugestão: a matriz rotacional do sistema de coordenadas global para o sistema de coordenadas do elemento é dada por
u';l
cos4>
u'f·
-sen4>
B',•I
u'.· .r2
u';2 8'{
=
sen4> cos 4>
o o
o o
o 1 o o
o
o
o
o o
\
(~
o
o o o
o o o
cos 4> -sen ~
sen rp cos
o
o
o
u;2
1
82
o u~l o u;l o Bí o u~z
~~...1--~ x
e;·~~
1 /U~j /' \YL 2 x'• X
Figura 10.22 Deslocamentos nodrus no sistema de coordenadas do elemento de um elemento de armação.
Problema 10.1 O Desenvolva um programa de elementos finitos para estruturas de armação modificando o programa de elementos finitos para vigas fornecidas no Capítulo 12. Verifique o programa, considerando um único elemento de armação sujeito a carregamentos transversal e axial.
..
Formulação de Elementos Anitos para VIgas 211
Prob1ema 10.11 vidas no Problema 10.10, calcule os Usando o programa de elemento s finitos para estruturaS de'annaç ão desenvol para as duas estruturas de armação vertical e l horizonta momentos máximos, as forças de cisalhamento e a defiexão ~ El = 2,5 x I O' N m2 • colunas e vigas as todas para rigidez de produto O representadas na Figura 10.23.
m.
~
I~
4m
Figura 10.23 Uma esuutura dupla de armação do Problema I 0.11.
11 ·Tutoria·is .para o Programa ·Comercial de Elementos Finitos ABAQUS pela ABAQUS, Inc.
11.1
INTRODUÇÃO
N
esta série de tutoriais, você ficará familiarizado com os processos de criação de modelos ABAQUS que interativamente usam ABAQUS/CAE. Três problemas serão consid erados : (l) condução de calor em regime permanente em uma placa trapezoidal, (2) curvatura de uma vjga curta· em balanço e (3) proble ma de elastic idade de uma placa com um furo submetido a um campo de tensão uniform e e distante.
11.1.1
Exem plo de Cond ução de Calor em Regim e Perm anen te Você irá criar um modelo da placa mostrado na Figura 11.1. O sistema de unidades não é especificado, mas todas as unidades são consideradas consistentes. A placa tem espess ura unitária e está submetida às condiç ões mostradas na figura. Você fará uma série de simulações com aumento do nível de refinamento da malha usando elementos triangulares lineares e elementos quadrilaterais lineares.
0(0.1)
2m
q=20
1m
T=O
K=5 t=1 0=6
c
(2,1)
o,sm q=O B
(2,0,5)
A (0,0) Figura 11.1 Placa trapezoidal.
pela ABAQUS, Inc. 213 Tutoriais para o Programa Comercial de Elementos Finitos ABAOUS
•'·
Figura 11.2 Menu de modelo s.
11.2 PRELIMINARES
do abaqus cae. Observe que abaqus pode ser subs1. Inicie uma nova seção do ABAQUS/CAE clicando no coman US. Por exemplo, para rodar a Versão Acadêmica ABAQ o rodar tituído pelo comando usado em seu sistema para ABAQUS v6.6, o comando é abq66 2se. caixa de diálogo. 2. Em Start Session, selecione Create Model Datab ase na barra de tarefas da janela ABAQUS/CAE. Se a Árvore da área A Árvore do Modelo está localizada à esquerda da menu. Se mesmo assim, a Árvore do Modelo não do Modelo não estiver visível, verifique se ela está ticada no da janela ABAQUS/CitE·para expandir a Árvore do estiver visível, arraste o cursor +j~ a partir do iadq esquerdo Modelo. uia dos itens ao longo da base de dados do modelo, A Árvore do Modelo permite uma descrição visual da hierarq US/CAE. Se você clicar com o botão direito do com acesso à maior parte das operações disponíveis no ABAQ dos associados a esse item. Por exemplo, a coman os o mouse sobre um item da árvore, um menu aparece listand Models, o item Create aparece em negrito porque Figura 11.2 mostra o menu para o conteúdó Models. No menu conteúdo Models. ele é a ação esperada quando você clica duas vezes sobre o isso, na Árvore do Modelo, clique com o botão direito 3. Antes de prosseguir, dê um nome ao presente modelo. Para aparece. Escreva o nome calor na caixa de diálogos que menu no e do mouse sobre Model-1 e selecione Renam Renam e Model e clique em OK. Save As na barra do menu principal e escreva o nome 4. Para salvar a base de dados do modelo, selecione File ...... s Save Model Datab ase As. Clique em OK. abq- tutor iais na linha File Name da caixa de diálogo A extensão • cae é acrescentada automaticamente.
11.3
CRIANDO UM OBJETO e esboçar a geometria para um corpo sólido deformável O primeiro passo para a modelagem deste problema envolv · · bidimensional e plano. criar um novo objeto. 1. Na ÁIVore do Modelo, clicar duas vezes em Parts para · A caixa de diálogos Create Part aparece. r no espaço de modelagem Plana 2D ne selecio Part, reate C s diálogo de caii~ Na · ·i Nomeie ess~ objeto de placa. Approximate size, digité texto de campo No básica. do objeto, Deformable como tipó e Shdlocomo característica 15.
Part. 3. Clique em Continue para sair da caixa de diálogo Create nos andos-na -parte inferior próxima ao--botão·da janela para guiá4o ABA~US/eAE exibe um texto na área de·com no clique curso; em tarefa a abortar de cancelar para procedimentos, como mostra a Figura 11.3. Clique no botão r. anterio passo ao r botão de voltar para cancelar o passo em curso na tarefa e retoma esquerdo da janela principal, e a grade com as ferraA barra de ferramentas para traçar desenhos aparece no lado mentas de desenhos aparece na janela de visualização..
~~ Sketch the secoon for the pia!w shel· ~ ' I
l
Figura ll.J Área de comando.
.T 214
CAPíTULO ONZE
l l 1'7:-:•:·:......;~
T.
--,~----··"·· ~··· ·· ··· · o
Figura 11.4 Ferramentas de desenho de linhas conectadas.
Primeiramente, você desenhará uma aproximação da placa e então usará restrições e dimensões para ajustar o rlesenho. Para selecionar a ferramenta de desenho apropriada. faça o seguinte: a. Clique sobre a ferramenta Create Lines: Rectangl~ na região superior direita da barra de ferramenta de esboço, como mostra a Figura 11.4. A ferramenta de desenho de retângulo aparece na barra de ferramentas de desenho com um fundo claro, indicando que você a selecionou. Na área de comandos, ABAQUS/CAE exibe comandos para guiá-lo nos procedimentos. Observe que ao mover o cursor em tomo da janela de visualização, ABAQUS/CAE exibe as coordenadas X e Y no canto superior esquerdo. b. Selecione dois pontos quaisque~•. como os cantos opostos do retângulo. c. Use a ferramenta dimensional ~ para dimensionar o lado superior e o lado esquerdo do retângulo. O lado superior deve ter um comprimento horizontal de 2m e o lado esquerdo um comprimento -vertical de 1 m. Para dimensionar cada lado, simplesmente selecione a linha, clicando com o botão da esquerda do mouse, e depois entre com a dimensão desejada em Nt:\V dimension. d. Use a ferramenta Detete llj para eliminar as restrições de perpendicularidade associadas ao lado inferior do retângulo (Em Scope, selecione Constraints para facilitar essa tarefa). e. Dimensione o lado direito da placa, de modo que tenha um comprimento vertical de 0,5 m. A forma final aparece como mostrada na Figura 11.5. f. Usando o mouse, feche a ferramenta dimensional. g. Clique em Done na área de comando para sair da s~ão de esboços. ABAQUS/CAE exibe o novo objeto, como mostrado na Figura 11.6.
----·---r--·-------r ······-r-------l---------1·----·--·:-r-·-------r·-------r
i '. . IL:r ··:·· · · · ··r·····t··-·····:·· .········r
, . i . -. -.
~
~
..
- . - . ~ . - . -.
;
~.
;
-. -. ·~
~.
-. - - :- ..-.. - .:- ; ;
Figura 11.5 Desenho de um trapézio feito na seção de esboços.
Figura 11.6 Objeto finalizado.
Tutoriais para o Programa Comercial de Elementos Rnltos ABAQUS pela ABAQUS, Inc. 215
Figura 11.7 Menu abeno do editor de materiais.
11.4
CRIANDO UMA DEFINIÇÃO DO MATERIAL A seguir, você vai criar um material particular e linear com uma condutividade térmica de 5 unidades.
Para definir um material: 1. Na Árvore do Modelo, clique duas vezes em Materiais para criar um novo material. 2. Na c~a de diálogos Edit Material, dê ao material o nome de exemplo. Note as várias opções disponíveis na caixa de diálogo. 3. Da barra do menu de editor de materiais, selecione Tbennal- Conductivity, como mostrado na Figura 11.7. ABAQUS/CAE exibe a forma de dados Conductivity. 4. Entre com o valor 5.0 para a condutividade, como mostrado na Figura 11.8. Use o mouse para selecionar a célula para a entrada de dados. 5. Clique em OK para sair do editor de materiais.
11.5. DEFININDO E DESIGNANDO PROPRIEDADES DE SEÇÃO As propriedades do material são associadas a regiões do obje~ó por meio do uso de propriedades de seção. Você definirá uma propriedade de seção sólida referente ao materjal criado anteriormente e designará essa propriedade de seção para o objeto.
Para definir uma seção sólida homogênea: 1. Na Árvore do Modelo, clique duas vezes e.m Sections para criar uma nova seção. 2. Na caixa de diálogos Create Section: a. Chame a seção de Seção da placa. b. Na lista Category, aceite a pré-seleção Solid. c. Na lista Type, aceite a pré-seleção Homog.e neous. d. Cüque em Continue. O editor de seção sólida aparece. 3. Na caixa de diálogos Edit Section: a. Aceite a pré-seleção exemplo para o Material associado à seção. b. Aceite o valor pré-selecionado de 1 para Plane stress/strain tbickness. c. Clique em OK. · Para design.ar a definição de. seção para a placa: 1. Na: Árvore do Modelo, expanda o tronco para o objeto nomeado de placa (para isso, clique no símbolo ' +' para expandir o conteúdo Parts e depois clique no símbolo '+' próximo ao objeto nomeado de placa). . 2 ...Clique.duas-vezes emSectionAssignments-para.designar-a seção-para a placa. ·--·-· · - - ··ABAQUS/CAE exibe comandos na área de comandos para guiá-lo pelos procedimentos.
(_•
s~
";.
'
~:
..r·
Figura 1.1.8 Forma de dados Conductivity:
.". o
I'
I
216 CAPíTuLO ONZE
3. Clique em qualquer lugar sobre a placa para selecioná-la por inteiro. ABAQUS/CAE destaca a placa. 4. Clique no botão direito do mouse sobre a janela de visualização ou clique em Done na área de comando para aceitar a geometria selecionada. O Edit Section Assignment da caixa de diálogos aparece contendo uma lista de definições da seção existente. 5. Aceite a pré-seleção da Seção da placa e clique em OK. ABAQUS/CAE designa a definição da seção sólida para a placa e fecha a caixa de diálogo Edit Section Assignment.
11.6 MONTANDO O MODELO Todo modelo ABAQUS é baseado no conceito de um pacote com exemplos de objetos. Aqui, vamos criar um pacote contendo apenas um exemplo sobre o objeto criado antes. Para reunir o modelo: 1. Na Árvore do Modelo, expanda o tronco para o conteúdo Assembly e clique duas vezes em Instances para criar um novo exemplo. 2. Na caixa de diálogo Create Instance, selecione placa e clique em OK.
11.7
CONFIGURANDO A ANÁLISE Para simular a resposta térmica da placa, um único passo de transferência de calor será usado. Para criar um passo de análise de t ransferência de calor : 1. Na Árvore do Modelo, clique duas vezes em Steps para criar um passo. 2. Na lista de procedimentos gerais disponíveis em Create Step da caixa de diálogo, selecione Heat transfer e clique em Continue. O Edit Step da caixa de diálogo aparece. 3. No campo Description da página tabuladaBasic, entre com t ransferên c i a de calor b i dimensi onal em reg ime permanente. 4. Mude o tipo de. resposta para Steady·state. 5. Aceite todos os outros valores pré-selecionados fornecidos para o passo. 6. Clique em OK para criar o passo e sair do editor de passos.
11.8 APLICANDO UMA CONDif;_~O DE CONTORNO E UMA CARGA AO MODELO As cargas e as condições de contorno aplicadas ao modelo estão representadas na Figura 11.1. A temperatura T = O é prescrita ao longo dos lados AB eAD. Os fluxos de calor q = Oe q = 20 são prescritos sobres os lados BC e CD, respectivamente. Uma fonte constante de calor Q = 6 é aplicada sobre a placa inteira. Quando designar esses atributos, você pode escolher entre selecionar regiões diretamente na janela de visualização ou então designá-los para conjuntos e superfícies predefinidos. Nesse exemplo, aootamos a J]ltima aproximação. Assim, você irá primeiro definir conjuntos e superfícies. Para definir conjuntos e superfícies: 1. Na Árvore do Modelo, clique duas vezes em Sets (em baixo de Assembly) para criar um novo conjunto. Na caixa
de diálogo Create Set, chame o conjunto de esq uerdo e r.lique em Continue. Selecione o lado esquerdo da .. ,... -,placa e clique em Done na área de comando. 2. De modo semelhante, crie os seguintes conjuntos: - inferior para o lado inferior (inclinado) da placa; - p l aca para a placa inteira. 3. Na Árvore do Modelo, clique duas vezes em Surfaces (em baixo de Assembly) para criar uma nova superfície. Na caixa de diálogo Create Surface, chame a superfície de sup erior e clique em Continue. Selecione o lado horizontal superior da placa e clique em Done na área de comando. Para aplicar condições de contorno na placa: 1. Na Árvore do Modelo, dique duas vezes em BCs para criar uma nova condição de contorno. 2. Na caixa de diálogo Create B.o undary Condition: - Chame a condição de contorno de temperat u r a esquerda. - Selecione Step-1 como o passo em que a condição de contorno será ativada. - Na lista Category, selecione Otber. - Na lista Types for Step Selected, selecione Temperature e clique em Continue. 3. Na área de comando, clique em Sets para abrir a caixa de diálogo Region Selection. Selecione o conjunto esquerdo e clique em Highligbt s.elections in viewport. O lado aparece destacadamente como mostrado na Figura 11.9.
Tutoriais para o Programa Comercial de Elementos Anltos ABAQUS peta ABAQUS, lnc. 217
2
L, Figura 11.9 Lado esquerdo selecionado.
4. Depois de voe! se certificar de que o conjunto foi corretamente selecionado, clique em Continue. A caixa de diálogo Edit Boundary Condltion aparece. 5. Na caixa de diálogos Edit Boundary Conditioo, entre com O em magnitude. 6. Aceite as pré-seleções Ramp para Amplitude e Unifonn para Distribution. 7. Clique em OK para criar a condição de contorno e para sair do editor. ABAQUS/CAE exibe quadrados amarelos ao longo do lado para indicar que uma condição de contorno de temperatura foi prescrita. 8. Repita os passos anteriores para designar a condição de contorno no lado inferior. Chame essa condição de tempe-
.
ratura inferior.
Para aplicar um ftuxo superficial no lado superior da placa: 1. Na Árvore do Modelo, clique duas vezes em Loads para criar uma nova carga. 2. Na caixa de diálogo Create Load: • Chame a carga de fluxo superficial. · Selecione Step-1 como o passo em que a carga será aplicada. • Na lista Category, selecione ThennaJ. - Na lista Types for SeJected Step, selecione Surface heat ftux. Clique em Continue. 3. Na cabta de diálogo Region Selection, selecione a superffcie nomeada de superior. A superffcie aparece como · mostra a Figura 11.10. 4. Depois de você certificar-se de que a superffcie foi corretamente selecionada. clique em Continue. A caiJta de diálogos Edit Load aparece. 5. Na caixa de diálogos Edit Load: - Entre com um valor de 20 para a carga. · · Aceite as pré-seleções Ramp para AmpUtude e Uniform para Distribution. • Clique em OK para criar a definição de carga e sair do editor.
ABAQUS/CAE exibe setas verdes apontando para baixo ao longo da face superior da placa para indicar um fluxo que entra.
Para aplicar um fluxo de campo à placa:
..
1. Na árvore do modelo, clique duas vezes em Loads para criar uma nova carga. 2. Na cabta de diálogos Create Load: - Chame a carga de fluxo · de campo. - Selecione Siep-1 como o passo em que a carga será aplicada. ., . . - .Na lista Category, seleciçme.ThermaJ. . • Na lista Types for Selected Step, selecione Body heat ftux. · Clique em Continue.
I·
i I
i!
--
l'L--··-
----
Figura 11.10 Superfície superior selecionada.
218 CAPITuLOONZ.E
3. Na caixa de diálogos Region Selection, selecione o conjunto nomeado de placa e clique em Continue. 4. Na caixa de diálogos Edit Load: - Entre com um valor de 6 para a carga. - Aceite as pré-seleções Ramp para Amplitude e Uniform para Distribution. - Clique OK para criar a definição de carga e sair do editor. ABAQUS/CAE exibe quadrados amarelos ao longo dos lados da placa. O lado direito da placa está completamente isolado. Essa é urna condição de contorno predefinida para um modelo de análise ténnica. Assim, você não precisa aplicar uma condição de contorno ou carga para esse lado.
11.9
GERANDO MALHAS NO MODELO Agora você vai usar o módulo Mesh para gerar as malhas de elementos finitos. Você poderá escolher a técnica para gerar malhas oferecidas por ABAQUS/CAE, assim como a forma e o tipo do elemento. ABAQUS/CAE oferece inúmeras técnicas para geração de malhas. A técnica pré-selecionada designada para o modelo está indicada pela cor do modelo, quando você entra no módulo Mesh; se ABAQUS/CAE exibir o módulo em laranja, o modelo não poderá ter a malha gerada sem a assistência do usuário. Para designa r os controles de malha: 1. Na Árvore do Modelo, clique duas vezes em Mesb, que está debaixo do objeto que você chamou de placa, e que está debaixo de Parts. 2. Da barra do menu principal do módulo Mesh, selecione Mesh ..... Controls. 3. Na caixa de diálogos Mesh Controls, selecione Tri para Element Shape. 4. Aceite a pré-seleção F ree para Techniq ue. 5. Clique O K para designar o controle de malhas e fechar a caixa de diálogos. Para designar um tipo de elemento abaqus: 1. Da barra do menu principal, selecione Mesh ..... Element Type. 2. Na caixa de diálogos Element Type, selecione: - S tandard para Element Library. -Linear para Geometric Order. - Heat Transfer para Family (familia de elementos). 3. Na parte mais baixa da caixa de diálogos, examine as opções para a forma do elemento. Uma breve descrição do elemento pré-selecionado está disponível no botão de cada página de tabelas. 4. Clique OK para designar elementos DC2D3 para o objeto e fechar a caixa de diálogos. Para gerar malhas no objeto:
·-
l. Da barra do menu principal, selecione Seed ..... Part para criar células no objeto. A caixa de diálogos Global Seeds exibe o tamanho pré-selecionado do elemento que ABAQUS/CAE usará para criar células no objeto. Essa pré-seleção da célula é baseada no tamanho do objeto. 2. Em approximate global size, entre com 2 . O e clique OK. Esse tamanho para o elemento é escolhido, de modo que apenas um elemento será criado ao longo de cada lado da placa. 3. ABAQUS/CAE aplica marcas na placa, como mostrado na Figura 11.11. Os quadrados na figura indicam localizações de nós fixos. 4. Da barra do menu principal, selecione Mesh ..... Part para gerar malhas no objeto. 5. Clique.em Yes na área de comando ou clique com o botão direito do mouse na janela de visualização para confin:nar que você quer gerar malhas no objeto. 6. ÁBAQYS/CAE gera malhas· no objeto e exibe o resultado, como mostrado na Figura 11.12a. 7. Se você quiser alterar a diagonal do elemento, selecione Mesh ..... Edit. Na caixa de diálogos Edit Mesh, selecione Element como a categoria e Swap diagonal como o método. Clique em OK. Na janela de visualização,
Figura 11.11 Exemplo de objeto marcado.
Tutoriais para o Programa Comercial de Bementos AnitDs ABAQUS pela ABAOUS, Inc. 219
(b)
(ai
Figura 11.12 Diagonais cocp~"'tilhadas.
selecione o lado diagonal compartilhado com os elementos. Clique em Yes na área de comando para completar a operação. A malha gerada aparece como mostrada na Figura ll.l2b.
11.10 CRIANDO E SUBMETENDO UM TRABALHO PARA ANALISE Você agora criará um trabalho e o submeterá a análise.
Para criar e submeter um trabalho para análise: Na Árvore do Modelo, clique duas vezes em J obs para criar um novo trabalho para análise. Chame o trabalho de trigr o sseiro. Da lista de modelos disponíveis, selecione calor. Clique em Continue para criar o trabalho. No campo Description da caixa de diálogos Edit Job , entre com Malha grossei ra com tri â ngulos .. Clique nas tabelas para ver os conteúdos de cada folder do editor de trabalho e para revisar as colocações préselecionadas. Clique em OK para aceitar as colocações pré-selecionadas. 7. Na Árvore do Modelo, expanda a caixa Jobs e clique com o botão direito do mouse sobre o trábalho nomeado de trigrosseiro. No menu que aparece, selecione Submit para submeter seu trabalho a análise. O fcone para o trabalho mudará para indicar o status do trabalho entre parênteses após o nome do trabalho. Como o trabalho roda, o status Running será mostrado na Árvore do Modelo. 8. Quando o trabalho terminar de rodar com sucesso, o campo de status mudará para Completed Você está agora pronto para ver·o res).lltado da análise no módulo de Visualização.
l. 2. 3. 4. 5. 6.
11.11 EXAMINANDO OS RESULTADOS DA ANALISE 1. Na Árvore do Modelo, clique com o botão direito do mouse sobre o trabalho trigrosseiro e selecione Results do menu que aparece. ABAQUS/CAE abre a base de dados de saída (output database) criada pelo trabalho ( t r igrosseiro. o db} e exibe a forma do modelo indeformável. Você criará um traçado de contorno da distribuição da temperatura. 2. Da barra do menu principal, selecione Result- Field Output e selecione NTll como variável de saida para ser exibida.
RTll +1.937e+OQ. +1. 77 Se+OO ' +1.6Ue+OO +1.4S3o+OO +1.291e+OO +l .l30e+OO +9 .684e-01
··s·; o1o;;-.;:or +6.4S6e-Ol +4 .842o-Ol +3 .228e-01 +1.614e- Ol +O.OOOe+OO
Step1
Step-1,
Increaeo.t
tranaferltlc:ia de calor biltimensional ea lr
Pdaary Var: IITll Defonaed Va.r z not
St.ep Time
••·t
•
r~iloe
penoane11te.
1. 000
Def ormation se ale ractor 1 not. •et
Figura 11.13 Traçado de contorno da temperatura: malha grosseira com triângulos.
220 CAPITuLO ONZE
3. Na caixa de diálogos Select Plot State, selecione As is e clique em OK. 4. Na caixa de ferramentas, clique na ferramenta P lot Contours :,~; para ver um traçado de contorno da distribuição de temperatura, como mostrado na Figura 11.13. ..."..
11. 12 RESOLVENDO O PROBLEMA USANDO QUADRILATERAIS Você agora resolverá o problema usando elementos quadrilaterais. Isto envolve não só mudar a forma do elemento como criar e submeter um novo trabalho. Os passos são assinalados a seguir. Para modificar um modelo: 1. Na Árvore do Modelo, clique duas vezes em Mesh (debaixo de placa) a fim de mudar o módulo Mesh. 2. Da barra do menu principal do módulo Mesh, selecione Mesh --. Controls. Selecione Quad como a forma do elemento e clique em OK. 3. Um aviso é emitido, o que indica que a malha atual será suprimida. Clique em Delete Meshes na caixa de diálogos ABAQUS para prosseguir. 4. Da barra do menu principal, selecione Mesh --. Part para gerar as malhas do objeto com elementos DC2D4. 5. Clique em Yes na área de comando ou clique com o botão direito do mouse na janela de visualização para confirmar que você quer gerar malhas no objeto. 6. Crie um novo trabalho. Chame-o de quad- grosseiro e dê a ele a seguinte descrição: Mal ha grosseira com quadriláteros . 7. Submeta o trabalho a análise e monitore o seu progresso. Quando o trabalho ficar completo, abra o arquivo quadgrosseiro. odb no módulo Visualiz.ation. 8. Trace o contorno de temperatura para esse modelo. O resultado é mostrado na Figura 11.14.
11.13 REFINANDO A MALHA É claro que a malha usada para resolver este problema foi um tanto grosseira. Para cada escolha da forma do elemento (triãngul~s e quadriláteros), mude o tamanho da célula para refinar a malha. Use os seguintes tamanhos de célula de malha: • 0,20 (que produz um maior refinamento da malha que o valor usado antes) • 0,05 (que produz. o máximo refinamento de malha para este estudo) Assim, você criará e rodará quatro trabalhos extras chamados: • tri-ref • tri-refmax • quad-ref • quad-refmax Para cada caso, edite o modelo para redefinir a malha, criar um novo trabalho e submetê-lo a análise. Repita esse processo até que todos os trabalhos listados anteriormente tenham sidos submetidos. Os resultados dos modelos de malhas refinadas estão mostrados na Figura 11.15. Da barra do menu principal, selecione File --. Save para salvar o seu arquivo com a base de dados do modelo.
•
o
NTll . ..
+3'".'6'l9e+OO ·. +J.l82e+OO +3.074e+OO +2.767e+OO +2.460e+OO +2.1S2e+OO +1.8 45e+OO +1.537e+OO +1. 230e+OO +9.223e-01 +6 .149e-Ol +3. OHe-01 +O.OOOe+OO
Step: Step-1, transf•r6neia de ealor bidi=ensiona1 Incru:ent 1: Step Ti=e • L 000 Primary Ver: NTll
~
Deformed var:
no~
not set
Deformation Scale ,actor:
reqime per=anente. 1et
Figura 11.14 Traçado de contorno da temperatura: malha grosseira com quadriláteros.
··Tutoriais para o Programa Comercial de Bementos Rnltos ABAQUS pela ABAQUS, Inc. ·221
tri-rer
quad-ref
....:!:1:::::: :1:m:::: .......... • .u!:::: :l:t~>·....,1...! ll:!l:Ei
1
. .. tM-ta
:
~~
=-~: ji7t~ tlolltonilocl YU' I
111M N1.
•. oa1~JIA1aaMw.l- , . P . ~u. :
O.t..... u- k&U
factOrl oot. l4't
~l
i&'T~: ~hs~ ~ c~7:.~loMl- r.,t.. ~Ya.
1»1~ 9Ut
. . ... 1
tri-refmax
..t Nt
c:retaa.~ :-.,.~
hetotl 11CK ....
quad-refmax
""'
•1 • . , .......
.......... !i:'lna: :~::n::::
:&: U:..t
' "' !1·"!EU ;l:'lt:: .. J.
Figura 11.15 Traçado de contorno da temperatura: malhas refinadas.
11.13.1 Curvatura de uma Viga Curta em Balanço
~
Neste tutorial, você vai modificar o modelo criado no exercício anterior, para simular a curvatura de uma viga curta em balanço. A seção transversal da viga tem uma forma trapezoidal, como mostrada· na Figura 11.16. O sistema de unidades não está especificado, mas todas as unidades são consideradas consistentes. A viga é de espessura unitária e sujeita às condições mostradas na figura. A resposta do material é elástica e linear com módulo de Young E = 30E6 e coeficiente de Poisson v = 0,3.
11.14 COPIANDO O MODELO Na base de dados do modelo salva anteriormente, copie o modelo existente para um novo modelo: na Árvore do Modelo, clique com o botão direito do mouse no modelo denominado calor e selecione Copy Model do menu que aplltece. Entre com o nome de balanço na caixa de diálogo Copy Model e clique em OK. Todas as instruções que se seguem referem-se ao modelo chamado de balanço.
11.15 MODIFICANDO A DEFINIÇÃO DO MATERIAL Agora você irá editar a definição de material para atribuir propriedades de elasticidade linear. Você não precisa apagar as propriedades térmicas definidas antes. Essas serão ignoradas durante a análise de tensões estáticas que se segue. ;..
Para editar .om material •
··. •
•T
.,.:.
1. Na Á:rvore do Modelo, expanda o conte11do Materiais e clique duas vezes em exempto·para editar o material.
F igura 11.16 Viga em balanço.
222 CAPITULO ONZE
·;:}.:~'.':"( .· .~ ~:.\~
::~i;:':,;;'t; ·".:.··_ ,;,.,., ,
Figura 11.17 Menu interno do editor de material.
2. Da barra do menu de editor de material, selecione Mecbank al -+ Elasticity -+ Elastic, como mostrado na Figura 11.17. ABAQUS/CAE exibe a forma de dados de Elastic. o, 3 3. Entre com o valor 30e6 para o módulo de Young em para o coeficiente de Poisson, como mostrado na Figura 11. I 8. Use [Tab] ou mova o cursor para uma nova célula e clique para mover entre células. 4. Clique em OK para sair do editor de material.
11.16 CONFIGURANDO A ANÁLISE Para simular a resposta estrutural da viga, substitua o passo de transferência de calor definido anteriormente com um único passo estático geral. As cargas térmicas e as condições de contorno definidas anteriormente serão automaticamente suprimidas quando o passo de transferência de calor for substituído.
Para substitui r um passo I. Na Árvore do Modelo, expanda o conteúdo Steps. Clique com o botão direito do mouse no passo chamado de Step-1 e selecione Replace no menu que aparece. 2. Da lista de procedimentos gerais disponíveis na caixa de diálogo Replace Step, selecione Static, General e clique em Continue. 3. No campo Descript ion da tabela Basic, escreva Curvat ura da viga. 4. Aceite todos os valores pré-selecionados fornecidos para o passo. 5. Clique em OK para criar o passo e sair do editor de passo. 6. Expanda os conteúdos BCs e Loads para confumar que seus itens têm de ser suprimidos (denotado pelo súnbolo )().
11.17 APLICANDO UMA CONDIÇÃO DE CONTORNO E UMA CARG A AO MODELO As cargas e as condições de contorno aplicadas ao modelo estão representadas na Figura 11.16, onde o lado DA está engastado. Os lados AB e BC sofrem trações livres; sobre CD, a tração é~.=
-20.
-
Para aplicar condições de contorno na viga ·•
L ·'Na"""Ãrvor!~Modeló, clique"dua$ ve~s 'erri B~ar~uma nova condição de c'õntorno. "'!'!' 2. Na caixa de diálogo Create Boundar y Conditio n: - Chame a condição de fixa. - Selecione Step-1 como passo em que a condição de contorno será ativada. - Na lista Category , selecione Mechani cal. - Na lista Types for Selected Step, selecione Symmetr y/Antisy mmetry/ Encastre e clique em Continue .
Figura 11.18 Forma de dados Elast.ic.
-.
Tutoriais para o Programa Comercial de Bementos AnHos ABAQUS pela ABAQUS, Inc. 223 3. Na área de comandos, clique em Sets para abrir a caixa de diálogo Region Selection. Selecione o conjunto nomeado de esquerda e clique em Continue. A caixa de diálogoEd.it Boundary Condition aparece. 4. Na caixa de diálogos Edit BoÔOdary Condition, s~lecione ENCASTRE. 5. Clique em OK para criar a condição de contorno e sair do editor. ABAQUS/CAE exibe pinças ao longo do lado para indicar que as condições de contorno foram aplicadas. Para aplicar uma tração superficial no lado superior da viga:
1. Na Árvore do Modelo, clique duas vezes em Loads para criar uma nova carga. 2. Na caixa de diálogo Create Load: . - Chame a carga de tração. Selecione Step-1 como o passo em que a carga será aplicada. - Na lista Category, selecione Mecbanical. - Na lista Types for Selected Step, selecione Surface traction. - Clique em Continue. 3. Na caixa de diálogo Region Selection, selecione a superfície chamada de superior e clique em Continue. A caixa de diálogo Edit Load aparece. 4. Na caixa de diálogo Edit Load: - Selecione General como o tipo de tração. - Clique em Edit para definir a direção da tração. Selecione o canto superior esquerdo do objeto como o primeiro e o canto inferior esquerdo do objeto como o segundo ponto para direcionar o vetor. Esse vetor aponta na direção negativa 2. - Entre com o valor 20 para a carga. Aceite todas as outras pré-seleções e clique em OK. ABAQUS/CAE exibe setas roxas apontando para baixo ao longo da face superior da viga para indicar urna tração normal negativa. Os lados restantes da viga são trações livres. Essa é uma condição de contorno pré-definida para o modelo de análise de tensão. Assim, você não precisa aplicar uma condição de contorno ou carga para esses lados.
11.18 GERANDO MALHAS NO MODELO
"~
~~
plana (CPE4R). Elementos Agora, você precisa mudar o tipo de elemento para usar elementos de de deformação plana são usados desde que a viga seja fina em relação às dimensões de sua seção transversal. Use a densidade mais refinada de malhas do modelo anterior (célula global = 0,05) com uma forma de elemento quadrilateral. Para mudar o tipo de elemento abaqus: . l, Na Árvore do Modelo, clique duas vezes em Mesh no tronco denominado placa.
2. Da barra do'menu principal, selecione Mesh _... E lement Type.
~~ ·-
.
.
3. Na caixa de diálogo Element Type, escolha o seguinte: - Standard como seleÇão para Element Library. - Linear como seleção para Geometric Order. como seleção para Family (famllia de elementos). - Plane 4. Na parte baixa da caixa de diálogo, examine as opções da forma de elementos. Uma breve descrição da pré-seleção de elementos está disponível em cada tabela na parte de baixo da caixa. 5. ~~~~e em .Ç~ p~ ~;_si~~;~tp~ntos CPE4~ p~ o. o~-Íilo. 7 fec~ar a c;aix~e diálogo. , (
11.19 CRIANDO E SUBMETENDO UM TRABALHO PARA ANÁLISE -----------· -· - --- ___ .. _,,..__,. ____ ---"· ---· '' ------· ~ ·- -.
__..
--
Agora, você vai criar um trabalho e submetê-lo a análise: Para criar e submeter um trabalho para análise:
11
I. Na Árvore do Modelo, clique duas vezes em J obs para criar um novo trabalho para análise. 2. Chame o trabalho de viga. 3. Da lista de modelos dispo~veis, selecione balanço. 4. Clique em Continue para criar o trabalho. 5. No campo Description da caixa de diálogo Edit Job, entre com Curvatura de uma viga curta em balanço. 6. Clique em OK para aceitar os ajustes.pré-selecionados do trabalho. 7. Na Árvore do Modelo, expanda o conteúdo Jobs e clique com o botão direito do mouse sobre o trabalho denominado viga. No menu que aparece, selecione Submit para submeter seu trabalho a análise.
~
·tl
224
CAPíTULO ONZE
Step: Step-1
Increment 1: Step Time • 1.0 00 Primary var: s, Kiaes Defonoed Var: D Deformatior. Se ale Factor: +7. S86e+03
Figura 11.19 Traçado do contorno das tensões de Mises.
11.20 EXAMINANDO OS RESULTADOS DA ANÁLISE 1. Depois que o trabalho ficar completo, mude para o módulo de Visualização: Na Árvore do Modelo, clique com o botão direito do mouse sobre o trabalho denominado viga e selecione Results no menu que aparece. ABAQUS/CAE abre a base de dados de saída criada pelo trabalho (viga.odb) e exibe a forma do modelo indefonnável. Você criará um gráfico de contorno da distribuição de tensões de Mises. A tensão de Mises é a pré-seleção do campo de saída; por isso, você não precisa selecioná-la, a priori, para criar o gráfico de contorno. 2. Na caixa de ferramenta, clique na ferramenta P lot Contours :·. ~· , para ver o gráfico de contorno da distribuição das tensões de Mises, como mostrado na Figura 11.19. . · '' ,. 3. Trace o gráfico da forma do modelo deformável (clique 4~ na caixa de ferramenta). 4. Na caixa de ferramenta, clique na ferramenta Allow MulÚple Plot States ~.e a seguir na ferramenta Plot Undeformed Shape ;~.Essa ferramenta permite sobrepor as. formas defo~ável e indeformável do modelo, como mostrado na Figma 11.20. Para análises de pequenos deslocamentos, as escalas são automaticamente escolhidas, de modo a assegurar que os deslocamentos sejam claramente visíveis. O fator de escala é exibido no bloco de est:ldcs. No presente caso, os deslocamentos foram feitos com um fator de escala de 7.586. Nota: Na Figura 11.20, apenas as características dos lados da forma indeformável são visíveis (ajuste por meio da ferramenta Superimp ose Options iOO,). Da barra do menÚ principal; seleciÔ~e File~ Save para salvar o arquivo com a base de dados do modelo.
11.20.1 Placa com um Furo sob Tensão
....
-
~-
. ..
Agora você irá criar um modelo de placa com um furo mostrado na Figura 11.21. O sistema de unidades não está especificado, mas todas as unidades são consideradas consistentes. A placa é de espessura unitária e submetida à tensão em dir~ão horizontal. Em razão da simetria do objeto e do carregamento, você precisa apenas de um quarto do modelo da placa: Você realizará uma série de simulações com aumento nos níveis de refinamento da malha e irá compat~ valor ~e são&IR ~eç.~rizontaJ na Plláe superiot do.furo ..C.?~ o ~~}~r .teóric-q:
Step: Step-1 Increu>ent Doformed v ar: u
I : Step Time •
1. 000
Deformation Scale Facton +7. S86e+03
Figura 11.20 Sobreposições das formas do modelo deformado e indeformado.
Tutoriais para o Programa Comercial de Elementos Rnltos ABAQUS pela ABAQUS,
Inc. 225
o ..
Figura 11.21 Placa sob tensio (à esquerda); um quarto simétrico da placa
(à direita) .
....
11.21 CRIANDO UM NOVO MODELO GJKP/LCLC-L o novo modelo: na Árvore do Modelo, clique No arquivo com a base de dados do modelo salvo anteriormente, crie um de diálogo Edit Model Attribu tes e clique duas vezes em Models. Escreva o nome placa para o modelo na caixa emOK. Todas as instruções que se seguem referem-se ao modelo denominado placa.
11.22 CRIANDO UM OBJETO sólido bidimensional, plano e deformável. Como anteriormente, o primeiro passo é desenhar a geometria de um corpo 1. Na Árvore do Modelo, clique duas vezes em Parts para criar um novo objeto. A caixa de diálogo Create Part aparece. Planar no espaço de modelagem do objeto, 2. Chame o objeto de placa. Na caixa de diálogo Create Part, selecione 2D Approxim.ate size, digite 200. texto de campo No básica. stica caracterí Deforma.ble como tipo e SheD como r a placa, você precisa desenhar um 3. Clique em Continu e para sair da caixa de diálogo Create Part. Para desenha : seguinte o faça o, retângulo. Para selecionar a ferramenta de desenho de retângul de ferramenta de desenho, caixa da direita superior região na le - Clique na ferramenta Create Lines: Rectang como mQstrado na Figura 11.22. desenho com um fundo claro, que indica A ferramenta de desenho de retângulo aparece na caixa de ferramenta de os para guiá-lo nos procedimentos. comand exibe S/CAE que você a selecionou. Na área de comandos, ABAQU -20). -20, ( adas coorden nas o - Clique em um canto do retângul - Mova o cursor para o canto oposto (20, 20). do em (2,5, 0,0). O desenho final aparece - Crie um círculo centrado na origem e com um ponto periférico localiza · como mostrado na Figura 11.23. . - Clique em Done na área de comando para sair do traçador de desenho isso: fazer Para direit9. superior e q~drant o placa, da quarto um - Deixe apenas Extrude. -+ Cut __; Shape e selecion o Da barra do menu principal do módulo Part, da caixa de ferramenta, desenhe direito superior canto no a locali.zad ed Connect o Usando a ferramenta Create Lines: ar a operação. complet para as séries de linhas conectadas mostradas na Figura 11.24. Clique em Done direita). ABAQUS/CAE exibe o novo objeto, como mostrado na Figura 11.21 (à
11.23 CIJ!AND9 UMA DEFINIÇÃO DO MATER~AL :. ·~ ~-·~~~~?i~ um~~ria.J:.úni~~~.~ticg.. • ..
....
. ..
............
.. ·-·. . . . .
.
~
Para definir o materia l:
_!:
!Mterial. ___ _ Na_Árv<:>re do M?rlelo, cligue duas v~~es em Materia is p~ ~rill! um novo
.. ...
................ . ...
-................
. . .. .... -.' ............ . . .............
Figura 11:22 Ferramenta de desenho de retângulo.
.. :,·
..-
.
226 CAPITULO ONZE
.
H
+1-l'r""- - ..:.---- - -- -..:.!- --........ L• ••••
.
.
I
!
.
.1
···········i························t··········· .....
.l
I
o-·-·~--·
-0· -· ~- -· -·-
1
:
I
l
:
~
~
·--- --------·-·-r····-----··-------·r········· h
r
.
Figura 11.23 Ret!ngulo com um furo desenhado com o traçador de desenhos.
2. Na caixa de diálogo Edit Material , chame o material de aço. 3. Da barra do menu do editor, selecione Mechan ical- Elasticity - Elastic, como mostrado anteriormente na Figura 11.17. ABAQUS/CAE exibe a forma de dados Elastic. 4. Entre com o valor 2ell para o módulo e O. 3 para a razão de Poisson, como mostrado na Figura 11.25. 5. Clique em OK para sair do editor de material.
11.24 DEFIN INDO E DESIG NAND O PROPRIEDADES DE SEÇÃO Agora você definirá uma propriedade de seção sólida referente ao material criado e designará esta propriedade de seção ao objeto. Para definir uma seção homogênea: 1. Na Árvore do Modelo, clique duas vezes em Sections para criar uma nova seção. 2. Na caixa de diálogo Create Section: - Chame a seção de seção da placa. - Na lista Category , aceite a pré-seleção Solid. - Na lista Type, aceite a pré-seleção Homogeneous. - Clique em Continue. O editor de seção sólida aparece. 3. Na caixa de diálogo Edit Section: • Aceite a pré-seleção aço para Material associado a essa seção.
··r· .. ~ .. ·1· .. ~- ··~ .. ·1· .. i... ·~· ..i... l.. -~· ···~· ..1·..i.. -~· · ;
··;·-~o
...
; .
~
~
· :·-~---~---r--'f· · ·;·;·r··r·
. . . . . . . ···-·. - -~...;.. +--~. . -+ ::.~·.. -+ ...~~r-:t··!~·t-·t. r-··>1'· .
. . . .
.. ·i- .... . o•• ; oo., •• o.; •• o; •.• o~- . o.... o.; ••• ' .... o.:- ••• ;. ••• ; ... o; o•• ,. o ;
'
··!··-~·
···:-· --~ .... !·· -~- .. •
o
••
..~ ... ::1/.~ ... \
.:.... ... ; .... .............. u:•••;•••:-•• ~
~
.
.
• ·:- ••• • ••• ~-. -~- •• ·!" ••
--~---P: o
O
o
. o
o
o
o
o
f o f I O ........ * ........... ....... ... ~~-·---·············· ... ····~······ O
O
O
O
• o
O
O
• •
•
• •
0
• •
O
• •
0
• •
t
O
•
• •
o •
o •
• •
• •
. ·:···:· .. : ..
·~····:···:
..
·~····r···:
o
O
········ 0 I
• •
o •
... :· .. :.. ··:· .. : ... :.. .. ·~
Figura 11.24 Ferramenta para cortar e excluir uma pane do objeto.
-.
Tutoriais para o Programa Comercial de Bementos RnltDs ABAQUS pela ABAQUS,
Inc. 2Z7
Figura 11.25 Forma de dados Elastic.
s. - Aceite o valor pré-selecionado l para Plane stress/strain thlcknes - Clique em OK. Para designa r a definiçã o de seção para a placa: ado placa. 1. Na Árvore do Modelo, expanda o tronco para o objeto denomin
2. Clique duas vezes em Section Assignm ents para designar uma seção para
a placa.
3. Clique em qualque r local sobre a placa para selecionar o objeto inteiro. ABAQUS/CAE realça a placa. ação ou clique Done na área de comand os para 4. Clique com o botão direito do mouse sobre a página de visualiz ent aparece contend o uma lista de aceitar a geometria selecionada. A caixa de diálogo Edit Section Assignm definições de seções existentes. em OK. 5. Aceite a pré-seleção ~o. da placa como a definição de seção, e clique e fecha a caixa de diálogo Edit Section ABAQU S/CAE designa a definição de seção sólida para a placa Assignm ent.
11.25 MONTANDO O MODELO Agora. você criará um pacote contend o um único exemplo do objeto. Para montar o modelo: ly e clique duas vezes em 1. Na Árvore do Modelo , expanda o tronco para o conteúd o Assemb um novo exemplo do objeto. OK. 2. Na caixa de diálogo Create wtance, selecione placa e clique em
wtance s para criar
11.26 CONFIGURANDO A ANÁLISE será usado. Para simular a resposta mecânica da placa, um único passo estático geral Para
dos lados esquerd o e inferior da placa e uma Você agora irá aplicar as condições de contorn o simétricas ao longo carga.de-pressão.é equivalente~ definição .uma de O..uso - pressão-negativa-no lado direito.par.uepresentar..a.tensão,... positiva sempre age sobre a superficie. pressão uma que Observe ie. superfic uma de uma tração superficial normal a Como antes, conjuntos e superfícies serão Assim, uma pressão negativa agirá longe da superfic ie (gerando tensão). usados para designar as cargas e as cond:ições de contorno. ·'
.
Para definir conjunt os e superfíc ies: ly) para criar um novo conjunto. Na caixa 1. Na Árvore do Modelo, clique duas -.:ezes em Sets (deba,ixo de Assemb e. Selecione o lado vertical esquerdo Continu em clique e do esquer de CÇ>njunto o de diálogo Create Set, chame da placa e clique em Done na área de comando. o lado horizontal inferior da placa. 2. Similarmente, crie um conjunto denominado inferi or que inclua ly) para criar uma nova superficie. Na Assemb de (debaixo s Surface em vezes duas clique Modelo, 3. Na Árvore do Continu e. Selecione o lado vertical em clique e puxão de caixa de diálogo Create'S urface, chame a superfície o. comand de direito da .placa e clique em Done na área
228 CAPilULO ONZE
y
z~x~----------~ Figura 11.26 Lado esquerdo selecionado.
Para aplicar condições de contorno à placa:
1. Na Árvore do Modelo, clique duas vezes em BCs para criar uma nova condição de contorno. 2. Na caixa de diálogo Create Boundary Condition: • Chame a condição de contorno de esquerdo. • Selecione Step-1 como o passo em que a condição de contorno será ativada. - Na lista Category, selecione Mechanical. - Na lista Types for Selected Step, selecione Symmetry/Antisy mmetry/Encastre e clique em Continue. 3. Na área de comando, clique Sets para abrir a caixa de diálogo Region Selection. Selecione o conjunto denominado esquerdo e clique em Highlight selections in viewport. O lado aparece destacadamente como mostrado na Figura 11.26. 4. Depois de você se certificar de que o conjunto foi corretamente selecionado, clique em Continue. A caixa de diálogo Edit Boundary Condition aparece. 5. Na caixa de diálogo Edit Boundary Condition, selecione XSYMM. Clique em OK para criar a condição de contorno e para sair do editor. ABAQUS/CAE exibe pinças ao longo do lado para indicar que foram aplicadas condições de contorno. 6. Similarmente, crie condições de contorno simétricas denominadas inferior no lado inferior da placa. Selecione inferior como o conjunto e YSYMM como o tipo. Para aplicar uma pressão ao lado direito da placa:
..r : .··..
..
1. Na Árvore do Modelo, clique duas vezes em Loads para criar uma nova carga. 2. Na caixa de diálogo Create Loa d: - Chame a carga de tensão. - Selecione Step-1 como o passo em que a carga será aplicada. • Na lista Cat.egory, selecione Mechanical. • Na lista Types fot Selected Step, selecione Pressure. • Clique em Continue. 3. Na caixa de diálogo Region Selection, selecione a superfície denominada puxão. A superfície aparece como mostrada na Figura 11.27. 4. Depois de você se certificar de que a superfície foi corretamente selecionada, clique em Continue. A caixa de diálogo.Edit Load aparece. 5. Na caixa de diálogo Edit Load: • Entre com o valQ~. -10e3. para a carga. - Aceite a pré-seleção (Ramp) para Amplitude e a pré-seleção (Un\form) para Distribution. .' . Cliqu~ em OK l'Sl"ã~efurição.1ie· carga e para~ do editor. .·ABAQUS/CAE ex.ibe setas apontando para fora e ao longo da placa, que indicam uma carga de tensão.
Figura 11.27 Superfície direita selecionada.
Tutoriais para o Programa Comercial de Elementos Rnltos ABAQUS pela ABAQUS, lnc. 229
z
X
Figura 11.28 Exemplo de objeto marcado.
11.28 GERANDO MALHAS NO MODELO Como anteriormente, use o Módulo Mesh para gerar a malha de elementos finitos. Você usará elementos de tensão plana quadrática (CPS8R) para discretizar a placa Elementos quadráticos são mais efetivos para capturar concentrações de tensões (uma característica-chave deste problema), e a espessura relativa da placa sugere condições de tensões planas. Para designar os controles de malha: 1. Na Árvore do Modelo, clique duas vezes e.m Mesh no tronco para o objeto denominado placa. 2. Da barra do menu principal do módulo Mesh, selecione Mesh -+ Controls. 3. Na caixa de diálogo Mesh Controls, escolha Quad como a seleção em Elenient Shape. 4. Aceite a pré-seleção Free para Technique. 5. Clique em OK para designar o controle de malha e para fechar a caixa de diálogo. Para designar um tipo de elemento abaqus: 1. Da barra do menu principal, selecione Mesh -+ Elemeot Type. 2. Na caixa de diálogo Element Type, escolh~ o seguinte: - Standard como seleção para Element Library. - Quadratic como seleção para Geometric Order. - Plane Stress como seleção para Family (família de elementos). 3. Na parte de baixo da caixa de diálogo, examine as opções de forma do elemento. Uma breve descrição de préseleções de elementos está disponível em cada tabela da página. 4. Clique e:n OK para aceitar e designar elementos CPS8R para a placa e para fechar a caixa de diálogo.
Você agora vai dividir a placa ao meio para obter melhor controle sobre a malha
Para dividir a placa: 1. 2. 3. 4.
Da barra do menu principal, selecione Tools -+ Partitioli. Na caixa de diálogo Create Partition, selecione Face como tipo e Sketch co~o método. Clique em OK. Usando o traçador de desenhos, faça uma linha ligando a origem do círculo ao canto superior direito da placa Clique com o botão esquerdo do mouse duas vezes e então clique Done.
Para gerar a malha do objeto: 1. Da barra do menu principal,'selecione SeÇQ-+ Part para selecionar o objeto. ...-...-_.-....,-::,.. ....,?--.Ji'!.c~a d~ diálogo Çlo~al.~J -~~ifiqu~ .'!m .~_global aproxi.inado .de ~-' .Q.,~'ligpe em QIÇ,.. ,__ . 3. ABAQUS/CAE aplica marcas no objeto, como mostrado na Figura 11.28. Os quadrados na figura indicam localizações de nós fixados. Os círculos indicam localizações de nós do tipo alvo (target node).
Figúra 11.29 Resultado'da geraçlio de malha do objeto.
230
CAPiTULO ONZE
Figura 11.30 Traçado do contorno das tensões; modelo com malha grosseira.
4. Da barra do menu principal, selecione Mesh --+ Part para gerar a malha do objeto. 5. Clique em Yes na área de comando ou clique com o botão direito do mouse na página de visualização para êonfinnar que você quer gerar a malha do objeto. · 6. ABAQUS/CAE gera a malha do objeto e exibe o resultado, como mostrado na Figura 11.29.
11.29 CRIANDO E SUBMETENDO UM TRABALHO PARA ANÁLISE Agora você criará um trabalho e o submeterá a análise.
Para criar e submeter um trabalho a análise: Na Árvore do Modelo, clique duas vezes em Jobs para criar um novo trabalho para análise. Chame esse trabalho de furo grosseiro. Da lista de modelos disponíveis, selecione placa. Clique em Continue para criar o trabalho. No campo Description da caixa de diálogo Edit Job, entre com malha grosseira. Clique nas tabelas para ver os conteúdos de cada folder do editor de trabalho e para rever as colocações pré-selecionadas. Clique em OK para aceitar as colocações pré-selecionadas. . 7. Na Árvore do Modelo, expanda o conteúdo de Jobs e clique em MB3 no trab~lho denominado furo grosseiro. No menu que aparece, selecione Submit para submeter seu trabalho para análise. 1. 2. 3. 4. 5. 6.
s. $11 (À"n .
8 I!
Cl'it..: 7S\)
tZ. SSS
~ t~:~~:~
•f'
·'-""'· ··"'-·:::·.. '·
-·~.:
·
+1. 900e+Oi: +1. GS3é+o:l:. +1.-l07e+Oo! tl.16le+04 t9 .·l4Ze+03 · +6 • 67 ee:+ o3 +4. zuet03 +l. 74~+03
-7.l47etoz
Figura 11.31 Traçado do contorno das tensões: modelo com malha fina.
.....
·~
Tutoriais para o Programa Comercial de Bef!~entDS Rnltos ABAQUS pela ABAQUS, Inc. 231
s, su IA~.
I .
Crit.: 75')
t3.076etM tZ. 813et04 +Z.SSlet04 +Z.Z89etM +2.027dM +l. 76Se+04 +l.SOZetM +l.Z4~tM
+9. 780..+03 t7.lS8et03 +4.537-+03 t1.91Sd03 -7.070et0Z
Figura 11.32 Traçado do contorno das tensOes: modelo com malha inclinada.
11.30 EXAMINANDO OS RESULTADOS DA ANÁLISE 1. Depois que o trabalho rodar e for completado, acione o módulo de Visualização: na Árvore do Modelo, clique em MB3 sobre o trabalho furo grosseiro e selecione ResuJts do menu que aparece. ABAQUS/CAE abre a base de dados de saída criada pelo trabalho (furo grosseiro . odb) e exibe a forma do modelo indefonnável. Agora, você criará um traçado de contorno da distribuição de tensões. 2. Da barra do menu principal, selecione Result-+ Field Output e selecione Sll como variável de saída para ser exibida. Esse é o componente da tensão na direção horizontal. 3. Na caixa de diálogo Select Plot State, selecione As is e clique em OK. 4. Na caixa de ferramenta, clique na ferramenta Plot ·c outours ,~ para ver o traçado de contorno da distribuição de tensões, como mostrado na figura 11 .30. · ·· •
11.31 REFINANDO A MALHA O valor teórico da tensão no topo, do furo é 3 vezes a tensão.aplicada (neste caso, 30e3). É claro que a malha usada para resolver este problema foi bastante grosseira. Reduza as células para refinar a malha. Para isso, use os seguintes tamanhos para as células da malha: • Tamanho da célula global de 1, 2 (uniforme) • Tamanho da célula global de 1, 2 com as células de lados inclinados aÓ longo do lado esquerdo, do làdo inferior e da diagonal: (i)· Da barra do menu principal do módulo Mesh, selecione Seed-+ Edge Blased. j~) l!.san_?.o_[Shift__ou j ]+[Çliq!J!;]. sel7C~?.~"p}~
furo refinado -. furo inclinado
Você não precisa criar novos modelos parà cada um desses trabalhos. Simplesmente edite o presente modelo para refinar a malha. Crie um novo trabalho e submeta-o a ~álise. Repita esse processo até que todos os trabalhos listados anteriormente te_nbam sido submetidos. · · Os resultados dos modelos de malhas refinadas estão mostrados na Figura 11.31 e Figura 11.32. Da barra do menu principal, selecione File- Save para salvar seu arquivo com a base de dados do modelo. Feche a seção ABAQUS/CAE se.lecionàndo File -+ Exit da barra do menu principal.
!· I -. I ~ I
..
:~
r
li\· I ~-
..
~
~.~
~}-
tF•
A
APENO ICE
A.1 ROTAÇÃO DO SISTEMA DE COORDENADAS EM TRÊS DIMENSÕES Considere um ponto P no sistema de coordenadas global xyz como mostrado na Figura A.l. O vetor posição correspondente ao ponto P é denotado por Esse vetor pode ser escrito em função de suas componentes cartesianas:
s.
s= s_.i + s.J + s:k,
(A.l)
em que f, J e f são vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente. Agora definimos o mesmo ponto P no sistema de coordenadas girado x' y' z' em relação ao primeiro sistema, como mostrado na Figura A.l. Escrevendo o vetor no sistema de coordenadas girado x' y' z', obtemos
s
,-,
s= s,,i,-, +s.J
,-,
+s~k '
(A.2)
em que f', J' e f' são vetores unitários nas direções x', y' e z', respectivamente, e s;, s;. e s; são as componentes vetoriais correspondentes. Como (A.l) e (A.2) representam o mesmo ve:_o~ as _:omponentes vetoriais s,, s, e podem ser obtidas.pela·multip,)icação de..(A.I) e.(A.2) pelo,ç vetpres.u.nitários i ,j e k, respectivamente, o que ieva.a . "
s,
s,
1-: - ,
1-: -: = 1 · s = s.,l · 1 + s,~.l · J + S:l · k ~I
.,. -
I -:'
"":t
,
,.,. k-'
f.,. •
/":" .,
=J · s = SxJ ·1 + s..J · J + S:J · • . - ,- ,- ,S: = k · s = s, k · i + .1yk · j + s:k · k .
s.1.
~
~
Denotando i· ? = cos(x, x') notação matricial
=n
11 ,
T· il = cos(x, t)
=n
13 ,
(A.3)
~
J·? = cos(y, x') =n21 e assim por diante, obtemos a s = Rs'.
(A.4)
Pode ser mostrado que a matriz transformação R é ortogonal, isto é, R T = (R)-T. Consequentemente, a relação inversa é dada por (A.5)
y
..'
X
Figura A.l Posição do ponto arbitrário P em dois sistemas de coordenadas.
A.2 TEOREMA DO PRODUTO ESCALAR Considere o produto escalar de dois vetores w e p igual a zero para qualquer vetor w (denotado por 'v'w):
w'"p= O
Vw
ou w 1p 1 + W2P2
+ · ·· +.w,.p,. =O
Vvr.
Como a componente do vetor w 1 é arbitrária, é conveniente fazer as seguintes escolhas:
w, = 1 w2 = w3 = · · · = w11 =O ::::} p1 =O, Wz = 1 WJ WJ = W11 0 ::::} P2 0,
= = · ·•
w,. = 1 WJ =
Wz
=
=
= ·· · = w, _, =O ::::} p,. = O,
o que leva a p = O.
A.3 FÓRMULA DE TAYLOR COM RESTO E O TEOREMA DO VALOR MÉDIO A fórmula de Taylor com resto possui um papel fundamental no entendimento do comportamento do método de . elementos finitos discutido na Sessão 5.7.2. Uma função fl..x) definida sobre _o intervalo Q.s x s l pode ser expandida em tomo de um ponto O s x s l como 0 a seguir: .
(A.6)
-~
~·
....
em que c é algum pcinto no intervalo x ::s c ::s .x • 0 Q tegrem_íl dq,~or m~ é.obtfdo como um cas!) especial,.par!!.k.=-:-1: .
f(x) = /(xo) + (x- xo)f,r(c). - Considerando um caso especial de x
0
(A.7)
= O e-x-·=-1, temos df(c) =/(/) - /(0) dx l •
(A.8)
o qual significa que, para qualquer função diferenciávelfl..x) existe um ponto no interValo O ::s c ::s l quelpossuiu uma inclinação definida por (A.8). Veja o Problema A. l para uma escolha específica da função fí.x).
A.4 TEOREMA DE GREEN O gradiente é um vetor dado por
234 AP~DICE y
Figura A.2 Domínio bidimensional e seu contorno.
em que
i e J são vetores unitários nas direções x e y, respectivamente. O gradiente de uma função é dado por
Considere qualquer campo escalar 8 = 8(x, y) definido sobre um domínio n. como mostra a Figura A.2. O contorno do domínio é denotado por r como mostra a figura. o vetor normal unitário ao domínio é denotado por em que em duas dimensões
n,
ii = n.,i + nJ,
(A.9)
e n e n são as componentes em x e em y do vetor normal ao domínio, chamado de vetor normal ou simplesmente de ~onrial. Como ii é um vetor unitário, segue-se que + = I. O objetivo do teorema de Green é relacionar uma integral de um gradient e de uma função sobre uma área com uma integral de contorno por
n; n;
f \'ledn =f !!
Biidr.
(A.lO)
I'
Na Equação (A. I 0), em um problema bidimensional, a integral no primeiro membro é uma integral dupla e também pode ser escrita como f f\78dxd y, em que omitimos os limites de integraç ão porque eles são incapazes de serem escritos para formas arbitráóas. O segundo membro de (A. lO) em duas dimensõ es é uma integral de contorno. Observe que a Equação (A. lO) em duas dimensões representa duas equações escalare s
f: =f dfl
f: =f 9n~.dr .
Bn.r df,
dfl
r
11
n
(A.ll)
r
Provaremos o teorema de Green para um domínio convexo (um domínio convexo é aquele no qual qualquer linha que une dois pontos acha-se completamente_ no domínio). Esta não é uma consideração muito restritiva porque qualquer domínio pode ser subdividido em subdomínios convexos, e os mesmos métodos pedem então ser utilizados para provar o teorema. Consideremos a integral de área I
.= f
, ' •· , -·"'"'"'
1,
. ,,.
f)(}
Ô.r dfl.
(A.l2)
n Os valores máximo e mínimo de y no domínio são indicados pelos pontos P1 e P1 na Figura A.2, em que os valores de y correspondentes são y = y e y = y , respectivamente. Esses dois pontos 1 dividem o contorno em duas curvas, 1 como mostrado na figura. A primeira curva, x = f.(y), inicia em P e segue um caminho no sentido horário até P . 1 1 A segunda curva, x = f/y), segue um caminho no sentido anti-horário de P para P1• Usando essas definições do contorno do domínio, a Equação (A.l2) pode1 ser reescrita como se segue:
Aplicando agora o teorema fundamental do cálculo à equação anterior, obtemos
f (e(x, y)~n
f.=
~
r-(>·>
r,tv)
n n )dy= f9(f2 (y),y)d y- 9{f 1(y),y)dy. n
f
~
Af'btDICE 235
Figura A.3 Um segmento do coa tomo mostrando o vetor normal unitário n.
Agora revertemos os limites de integração da segunda integral, o que requer que mudemos o sinal da integral. Podese ver que o primeiro termo é a integral de 9 avaliada sobre o contorno de r 1(y) no sentido anti-horário. O segundo termo é a integral de 9 tomada ao longo de r,(y), também no sentido anti-horário. Assim, a soma das duas integrais r, u r,: fornece o contorno completo da integral sobre r
=
,,
12
lz
=f 8(f2(y},y)dy+ f B(ft(y),y) dy =:f 8(x,y) dy, r
''~
,,
(A.13)
em que~ é a integral contorno tomada no sentido anti-horário sobre o contorno r. Para completar a prova, vamos expressar dx e dy em função do incremento de arco de comprimento df, como mostrado na Figura A.3. Devido à similaridade entre os dois triângulos, segue que (A.l4)
Combinando as Equações (A.13) e (A.l4), obtemos
f:
dfl
=f 8nxdf'.
(A.15)
r
n
De forma similar, pode ser mostrado que
o que completa a prova do teorema de Green.
A.5 FORÇA EM UM PONTO (FONTE) Nesta seção, consideramos uina forç;t de caJÍipo (ou fonte) que age em um ponto no interior de um elemento. Na prática, entretanto, é freqüentement e desejável projetar uma malha de elementos finitos, de modo que a força pontual (fonte) atue em um nó de elemento finito. Aqui; consideramos o caso em que a força pontual (fonte) está agindo em algum lugar no interior do domínio do elemento. Considere uma força }lontual (fonte pontual) como mqstrado na Figura A.4. A magnitude da força (fonte de calor) é denotada por P. A relação entre~ força de campo (força dif;tribuída)ft.x') e a força pontual (fonte pontual) pode ser · obtida por integração:
... .=...P. ·' "'"'1'_,~f(x)dx o
e P -é--fiíiita, - - - - - - - - - -eom<>- o--umanh--o'1kr' elemenlo- sob'n: crqUllh;orçlfl>Omu:al-(foote- põn:t\íãlreStra gi.Dõoé infiniteSimal é apli(fonte) pontual força a que em ponto no infinita é calor) de (fonte equivalente campo de força a que segue-se · · nÓs outros locais, como mostra a Figura A.5. cada e M~tematÍcamente, essa distribuição é denotada eomo
zero
f = Pê(x-a),
x=a
o
p
Figura A.4 Força pontual (fonte pontual) atuàndo no ihterior do elemento.
·t
•.•
. ·'
236
AP~DICE
f
tL
....
~========~=========-~}; x=a F igura A.S llustração gráfica da força ponrual (fonte
pontual).
sua integral sobre fonna a tender para o infinito no ponto x = a, e em que ô(x - a) é o della de Dirac definido de é igual a 1: qualquer domínio do problema que inclui x = a
I ...
X~
é(x- a) dx = 1 se .t 1 < a
Em um caso mais geral, para qualquer função g(x), l'l
I
...,
< xz .
a função delta de Dirac tem a propriedade de
(x)õ(x _ a)dx = { g(a) se O g
x1
(A.l6 )
caso contráno.
s externas por (5.11) resultantes das forças Agora procedemos com o cálculo das forças nodai
pontuais
Ãl
)P se x,
..,
Fónnu las similares podem ser obtidas para em que o último passo segue a partir de (A.l6 ).
os fluxos nodais.
A.6 CONDENSAÇÃO ESTÁTICA
ade do elemento como objetivo reduzir o núme ro de graus de liberd A condensação estática é uma técnica que tem Por exemplo, nto. eleme do es ientes ou de montagem das matriz antes de realizar as operações de dispersão t.los coefic nto. Esse eleme outro uer qualq a tado 7 .16), o nó central não é conec no quadrilátero de Lagrange de nove nós (Figura somente ntes ponde corres nto eleme do es matriz as obter nsado) para grau de liberdade pode ser eliminado (ou conde para os nós no contorno. fonna a, partimos as equações do elemento da seguinte Para estabelecer as equações da condensação estátic (A.17) Kbl> [ K;b Ku d; = f; '
Kbi] { db}
{ rb}
s no interior nós no contorno que devem ser conservados e a-quele em que do e d 1 são os deslocamentos nodais dos ões dos partiç as m ponde corres ) matrizes remanescentes em (A.l7 que devem ser condensados, respectivamente; as deslocamentos nodais. A partir da segunda equação em (A.l7 ), temos . -. (A. l8) ~ = (K11).:r (f;- K;~db)·
..
do elemento condensado Substituindo (A.18) em (A.l7 ), temos as equações 1 1 (Kbb - Kb1(K;;) - K;b) db =f,- }4;(K ;;)- f;.
(A.l9 )
~
i4l.
rb
e, assim, o si2_tema a é que ela fornece matrizes do elemento menores A vantagem da utilização da condensação estátic membro, f 0 • Do do segun no vetor, o m també afeta a nsação estátic global de equações reduzido. Observe que a conde para os nós no a ribuíd nodal atuante sobre o nó interior, r,, foi redist ponto de vista físico, isso significa que a força ão (A.l9 ). contorno, de acordo com o lado direito da equaç
A.7 MÉT ODO S DE SOLUÇÃO
ntos finitos considerados nesse livro, os progr amas de eleme Prova velme nte você notou que para os probl emas o óbvia: se você questã uma então Surge o. soluçã a obter para dos MATLAB ou ABAQUS levam uns poucos segun
~DICE '01 refinar a mal ha por um fator de 1.00 0, qual o tempo que o programa leva rá para obter a solu ção? O temp o aumentará para horas ou mesmo para de CPU dias? As respostas para estas questões depe ndem de mui tos fatores. Primeiram ente, você deve r esta r cien te de que porç ão significativa do custo com puta uma cion al (freqüentemente mais do que 50-9 0% do tem po total de execução programa) é gasta na solução do siste do ma de equa ções lineares.
O tempo de CPU para a solução do siste ma de equa
(A.20) ções definido positivo e simétrico
CPU
= C·n
(A.20) é dado por
2 ,
(A.21) em que n é o ntímero de incógnita s ou o núm ero de graus de libe!'dad e no mod elo dos elem ento s finitos. Os valo de C e a depe ndem da esco lha do res méto do de solu ção, bem com o da esca ssez e do cond icio nam ento de exemplo, se ~é uma matriz dens K. Por a (totalmente pree nchi da com pouc os zeros), o valor do expo ente é a maio r parte das solu ções diretas usad = 3 para a as normalmente. Conseqüentemen te, se a CPU leva l segu ndo para problema com 1.000 incógnitas, leva resolver o rá 109 segu ndos ou aproximadamente 30 anos para reso lver um problema um milh ão de variáveis, prática inco com mum na engenharia. Feli zme nte, os sistemas de equa ções que surg em das tizações dos elementos finitos são espa discrersos, de forma que os valores de a vari am de 1 a 2 depe nden do da solução características do problema (esparcid e das ade e condicionamento). Considere agora que você poss ui uma ótim a para a sua disposição (a= 1) e cons solução idere tamb ém que isso leva 10 segu .ndos para resolver um prob lema com incógnitas (tomamos o valor de C 1.000 na Equ ação [A.21] 10 vezes maio r do que antes). Então, esse problema com milh ão de graus de liberdade pode um ser resolvido em men os de tr~ hora s! Se, pelo contrário, a = 2 e cons que o valo r de C é o mesmo, então iderando o temp o de CPU sobe para 120 dias , o que é algo que um enge nhei ro pagar, principalmente quan do ele tem não pode que resolver o mes mo problema mui tas vezes, com diferentes carregam (fontes) e condições de contorno. entos Exis tem dois tipos de soluções para sistemas lineares: (1) soluções diret as e (2) soluções iterativas. A cons na Equ ação (A.21) para métodos itera tante C tivos é significativamente maior do que para méto dos diretos, enqu anto ente a. para métodos iterativos é tipic o expoamente menor. A mai or vantagem dos méto dos diretos é sua robustez manifestado pelo fato de que os parâ , o que é metros C e a são independentes do cond icionamento do prob lema (exceto de sistemas singulares). As soluções perto diretas são ideais para resolver prob lemas de tama nho pequ eno e méd escolha entr e os dois tipos de soluções io, mas a não depe nde som ente das caracterí sticas do problema, mas tamb ém da guração do hardware. Em máquina confis paràlelas , os méto dos iterativos ofer ecem escalabilidade próx ima da perf isto ~. o tempo de CPU diminui quas eição, e que proporcionalmente ao aumento do núm ero de proc essa dore s. Os m~to diretos, ao contrário, ofer ecem esca dos labilidade limitada. Em máquinas em série, o pont o de equi líbri o cust entr e duas soluções está na faixa entr o-be nefí cio e 50.0 00 e 100. 000 incógnitas.
Sol uçõ es Dir eta s Qua lque r matr iz não singular~ pod e ser expr essa com o um produto~ = LU, em que LeU são as matr gulares, mais baix a e mais alta, resp izes trianectivamente. Se ~ tamb ém for uma matr iz simétrica e definida positiva, é o caso de muitos dos problemas o que físicos considerados nest e livro, entã o ela pod e ser deco mpo sta de form eficiente em~= LLT, em que a mais
L=
r
o
/11
122
1,.,
1,.2
.
~ ]·
(A.22)
1101
Isto é conhecido com o fatoração de Cholesk:y. Para reso lver a Equação (A.l 9), prim eiram ente resolve-se para y, e em· seguida L 'f~= y para Ly =f~ dy · · -· · · O leito r pode obse rvar facilmente · · ' que a solução para essas equações é trivial. Qua ndo uma matr iz esparsa ~ é fatorada, ela sofr e tipicamente algu m enchimento; isso significa que a _L _j- U é_dife~nte de zero .o nde as entr matr iz adas em .~ são zero . A med ida do-e nchimento-é~ fator-de term inan custo computacional envolvido na te dosolução do sistema de equa ções linea res. As soluções dire tas são otimizad minimizar o énchimcmto no fator L. as para Um a solução dire ta espa rsa típica cons iste em quatro passos: 1. Um pass o de orde naçã o que reordene as linhas e colunas, de form a que o fato r L tenha um ench imen 2. Uma fatoração simb ólic a que to mínimo. dete rmin e as estru tura s dos fatores diferentes de zero e crie estru tura adequadas para L. s de dados 3. Um pass o de fatoração que calc ule L. 4. Um passo de solução que resolva Ly para y, e em segu ida resolva V~= y para
=c;
d,:.
Nor malm ente os passos 1 e 2 envo lvem apenas operações com números inteiros. Os pass os 3 e 4 envo lvem ções com números reais . O passo opera3 é normalmente a part e que cons ome mais temPo, enqu anto o pass o 4 está .tom o de ~a orqe m de grandeza em mais rápido. Para maiores detalhes cons ulte a refe rênc ia J?ongarra et Heath, Ng e Peyt ôn (1991). al. (1998) e
238
ÀP~NDICE
Soluções Iterativas A abordagem mais geral na construção de um método de solução iterativa é pela divisão da matriz K. da seguinte forma
KF =p - (P- KF),
(A.23)
em que Pé uma matriz. não singular, que é chamada de pré-condicionador. Com essa divisão, a solução do sistema linear (A.20) pode ser escrita como (A.24) Um método interativo é construído por d~+l) = p-'(P- KF )d~)
+ p-•fF,
(A.25)
em que o sobrescrito denota o contador da iteração. Iniciando com d~.t) = O, um método iterativo (A.25), calcule uma seqüência de matrizes d~l. que converge para a solução do sistema (A.20); isto é (A.26) A eficiência de uma solução iterativa depende da escolha do pré-condicionador P. Um bom pré-condicionador deve possuir muitos atributos desejáveis. Primeiramente, o sistema pré-condicionado deve convergir rapidamente. Isto geralmente significa que p-•K, deve estar tão próximo quanto possível da matriz identidade. Em segundo lugar, deve ser fácil resolver um sistema linear na ferina Py = z. Finalmente, a construção do pré-condicionador deve ser rápida. O pré-condicionador P mais simples é uma matriz diagonal de Kp também conhecida como pré-condicionador de Jacobi. A geração de bons pré-condicionadores envolve tanto arte quanto ciência. Para mais detalhes, consulte a referência Saad (1996). A construção de bons pré-condicionadores é ainda uma área de pesquisa ativa. Na década de 1990, Pravin Vaidya desenvolveu um pré-condicionador notável que impulsionou a adoção generalizada dos métodos iterativos pelos vendedores de programas computacionais comerciais. Ele decidiu não publicar, mas comercializar o seu trabalho, licenciando-o para ANSYS por mais de US$ 1 milhão.
Condicionamento Para ilustrar o objetivo e os efeitos do condicionamento, considere a estrutura de duas barras descritas no Capítulo 2. Reescrevemos o sistema de equações da seguinte forma
-k] ("2] = [o] 10 · 1)
u:;
Agora consideramos dois casos: Caso 1: JÇ.'l = JÇ.ll = 1. Caso 2: IÇ.' 1 = 1 e kfll =
1~.
O número de condicionamento K é a razão entre o maior e o menor eigenvalor da matriz KF. Para o sistema com molas iguais (caso 1), o número de condicionamento é K = 6,8541, enquanto para o caso 2, K = 4 X 1~. Para o caso 1, a seqüência iterativa (A.24) com o pré-condicionador Jacobi converge dentro de 0,1% da solução exata~= [lO 20]T em torno de 20 iterações. Para o caso 2, são necessárias quase um milhão de iterações para convergir para a solução exata d, = 106 · (1 1]T. Em ambos os casos, usamos [O O]T como um chute inicial. O desempenho do método iterativo poderia ter sido melhorado com um pré-condicionador melhor. A convergência da solução iterativa pré-condicionada é governada pelo número de condicionamento de p-•Kr e não somente yor K,. Por exemplo, se P = KF' então K = 1 e "li sol~im-exata é óbtidâ em uma única iteraçim, como póde ser visto a partir da Equação (A.24). · Este exemplo ilustra a importância do condicionamento medido em termos do número de condicionamento sobre o desempenho dos métodos de solução iterativa. Um condicionamento extremamente pobre pode até mesmo afetar o desempenho de um método direto devido ao erro de arredondamento. O leitor é encorajado a testar a solução direta no MATLAB ou em outro pacote considerando /é-1> = 1 e kfl> = 1QlO.
/(x)
Figura A.6 Função cúbicafix) e sua aproximação linear g(x).
,
~DICE 239
REFERÊNCIAS Dongarra, JJ., DUff, I.S., S
Problema
Problema A.1 Considere uma função cúbicaftx) = x2(3! - 2x)IP definida no intervalo O :s x :s l e.sua aproximação linearJ(x) definida tal qu~fi:O)
: • •• •
.:;.· • .• "f'o·
... ! . . • · '
·~ '
.......
=fi:O) e f([) =ftl) = 1 (Figura A.6). Verifique (A.8) e det.ernúne um ponto c, em que :(c) = ~-
. ..
-~
"·'"
..:.. ..
~
.
\
.