Unidad 1. Arreglos Aleatorios

PROBABILIDAD II Unidad 1. Arreglos aleatorios

Universidad Abierta y a Distancia de México

Licenciatura en matemáticas

Probabilidad II

3er Semestre

Unidad 1. Arreglos aleatorios

Clave: 05142315/06142315

Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

1

PROBABILIDAD II Unidad 1. Arreglos aleatorios Unidad 1. Arreglos Aleatorios

Presentación de la unidad Cuando se analizan situaciones aleatorias aleatori as del entorno, entorno, generalmente no se interesa en un espacio muestral (conjunto) sino en un evento (subconjunto), cuyos miembros tienen una característica común, se debe analizar las probabilidades de ocurrencia y no ocurrencia de tal evento. Para esto, es necesario que aprendas a hacer análisis análisis cualitativo y cuantitativo de situaciones que se le presentan, para su interpretación es necesario emplear estrategias que surgen de la probabilidad. De acuerdo con este planteamiento, la presente unidad proporciona elementos teóricos sobre arreglos aleatorios, distribuciones e independencia para estimar las posibilidades de ocurrencia y no ocurrencia de resultados, incluido en las lecturas y ejercicios, que permitirán el logro del aprendizaje a través de la práctica.

Propósitos Al finalizar finalizar la unidad: unidad:  



Clasificarás elementos dentro de un conjunto para formar subconjuntos. Determinarás una Determinarás una función de densidad conjunta mediante la distribución de dos variables. Utilizarás variables Utilizarás variables aleatorias condicionadas para obtener una distribución condicional.

Competencia específica Generar un un sentido teórico y práctico para estimar las posibilidades de ocurrencia de resultados en las diversas situaciones que así lo requieran en problemas de su profesión.

1.1. Definiciones básicas Dentro de la ciencia de las matemáticas, la teoría de la probabilidad es responsable del estudio de los experimentos aleatorios. Un experimento aleatorio es aquel que al repetirse bajo las mismas condiciones iniciales, no produce el mismo resultado.


2

PROBABILIDAD II Unidad 1. Arreglos aleatorios Partiendo de esto, la teoría de la probabilidad es responsable de modelar matemáticamente cualquier experimento aleatorio ubicando arreglos aleatorios. Un arreglo aleatorio es un conjunto, agrupación o zona de almacenamiento continuo, que contiene una serie de elementos o variables del mismo tipo, asociados a un proceso, cuyo resultado no es previsible más que en razón de la intervención del azar. El estudio de los fenómenos aleatorios queda dentro del ámbito de la teoría de la probabilidad.

Notación (conjunto de los subconjuntos). Sea X un conjunto. Entonces denotemos por 2 X al conjunto de todos los subconjuntos de X, este conjun to se le llama con junto potenc ia de X

1.1.1 Sigmas álgebras Sigma álgebra denotado por - algebra es una colección de subconjuntos del espacio muestral que contiene el conjunto vacío ø y es cerrada bajo uniones contables y complementación de esos subconjuntos. Observa que el conjuntó potencia 2 x siempre es un una - álgebra del conjunto X Un espacio muestral puede tener más de un -álgebra, y puede aplicar con las operaciones de conjuntos más comunes (unión, intersección, complemento, diferencia, etc.)

Definición de σ-algebra, espacio medible o evento. Una colección F de

subconjuntos de Ω es una σ-álgebra si cumple las siguientes condiciones:

X ∈ F. F es cerrado bajo complementos: si A F, entonces X \A∈ F. F es cerrado bajo uniones numerables: si Ai F para todo i ∈ N y B = i N Ai , entonces B ∈ F. ∈

∈ ∈

Espacio muestral. El conjunto Ω es llamado espacio muestral o espacio muestra, y tiene como objetivo agrupar a todos los posibles resultados del experimento aleatorio en

cuestión. No es imprescindible darle esta interpretación al conjunto Ω, y matemáticame nte se le considera entonces como un conjunto arbitrario.


3

PROBABILIDAD II Unidad 1. Arreglos aleatorios Espacio de probabilidad. Un espacio de probabilidad es una terna (Ω, F, P), en donde Ω es un conjunto arbitrario, F es una σ -algebra de subconjuntos de Ω, y P es una medida de probabilidad definida sobre F.

1.1.2. Ejemplos Ejemplo 1. Se tiene S= {1, 2, 3, 4} Evaluar si S={Ǿ, {1, 2, 3, 4}} es -álgebra Para resolver este planteamiento, Tendríamos que consultar las tres condiciones que nos permiten verificar su pertenece a un -álgebra o no. Solución:

La condición 1 se cumple, si A= {Ǿ} entonces su complemento Ac = {{ 1, 2, 3, 4}}, y de esta manera también se cumple la condición 2. Verificando la condición 3 si A 1 = Ǿ, A2 = {1, 2, 3, 4} entones la condición de ambos conjuntos también pertenece al -álgebra An € S



Ejemplo 2. Sea el conjunto S = {1, 2, 3, 4,} 2. Evaluar si el conjunto S es -álgebra: S = {Ǿ, {1}, {2}, {2, 3, 4}, {1, 3, 4}, {1, 2, 3, 4} } Como se puede apreciar que las dos primeras condiciones se cumplen fácilmente. Para el caso de la segunda condición A={2}, su complemento Ac está en el conjunto S y todo esto se da para todo conjunto potencial A.

Actividad 1. Sigma álgebra Al finalizar la actividad serás capaz de: Identificar un sigma álgebra. Clasificar elementos en conjuntos y subconjuntos.  Indicaciones 

1. Espera las indicaciones de tu docente, sobre los lineamientos por el cual se realizará la actividad.


4

PROBABILIDAD II Unidad 1. Arreglos aleatorios 2. Realiza lo que te solicitó el docente. 3. Ingresa al foro y redacta tus conclusiones. 4. Revisa las aportaciones de tres de tus compañeros, aceptando o rechazando su respuesta. Consulta la rúbrica general de la participación en foros, que se encuentra en la sección Material de apoyo.

1.2. Distribuciones Por medio de las distribuciones podemos explicar y resolver algunos problemas de probabilidad, en donde está implícito el azar y donde podemos tener diversas variables para dar solución o enfoque a los resultados solicitados. Entre las principales distribuciones para Variables Aleatorias discretas tenemos:

1

x  a, b F( x ) 

Distribución Uniforme

f ( x ) 

Distribución de Bernoulli

f ( x)  Px  (1 P)(1 x)

Distribución Binomial

 n  f (r )  P(S  r )   P r (1  P)nr  r 

Distribución Poisson

P( X

ba

xa ba

x  (a, b)

F( x)  1 P

x  (0,1)

k

Distribución Hipergeométrica

Distribución Multinomial



k)



e

λ



λ

k!

 N1  N2  N1! N2 !      k  n  k   k!*(N1  k )! (n  k )!*(N2  n  k )! p( X  x )  N!  N    n!*(N  n)!  n  P( X1



x 1,, Xk

1

Distribución Gamma

f ( x) 

Distribución Exponencial

f (x)  aeax

a

b Γ (a)

a1

x e





xk ) 

n! x1    x k

x b

P1x x    Pkxk

F( x ) 

1

 Γ (a)

x /b

0

F(x)  1  a ax


ua1e u du,

x0

x0

5


Distribución Beta

Distribución de Weibull

f ( x ) 

1 x a 1(1  x )b β(a, b) 

2 2

f ( x )  2a 2 xe

a

f ( x )  0

x0

F( X)  1  e

a

F( X)  0 f ( x )  Distribución de Gumbel

x

1

x  (0,1)



x0

2 2

x

x0

x0

 a  x 1  a  x   exp  exp   a  b    b

F( X)  exp  exp



 a  x     b   

x

 x  a   b   f ( x )    x  a   b1  exp      b   

x 



x

exp  

Distribución Logística

F( x ) 

Distribución de Pareto

 a 1

f ( x )  0

x b

xb

f ( x ) 

 x  a  1  exp  b  2b  

F( x ) 

1  x  a  exp  2 b  

f ( x) 

x 

  x  a   1  exp     b    

f ( x )  ab a x

Distribución de Laplace

Distribución de Cauchy

1

b

(x  a)

π

2

 b2 

Distribución Geométrica

f (r )  P(1  P)r

Distribución Erlang

f ( x; , )



1 ()



x  y F( x) 

F( x )  1 

1  a  x  exp  2 b  

1  x  a   arctan  2 π  b  1

x 

x  1 exp(  x / ), x  0


6

PROBABILIDAD II Unidad 1. Arreglos aleatorios 1.2.1. Distribución conjunta Si X y Y son dos variables aleatorias sobre un espacio de probabilidad común (£. A, P ). Se les llama función de distribución conjunta o simplemente distribución conjunta de X y Y, a la función. F(x, y) = P (X ≤ x , Y ≤ y )

Para representarlos podemos utilizar dos formas FX,Y (x, y) o en su caso F(x,y). Estas dos formas indican que es una distribución conjunta de X e Y. Para representarlo gráficamente y poder darle una definición, se pude mencionar que la F(x,y) es la probabilidad de que el punto (x,y) se localice dentro del cuadrante que queda abajo y a la izquierda del punto ( x,y), incluyendo el borde.

y

(x,y)

(x,y) d c a

x a

b

Si analizamos las dos figuras podemos obtener de esta manera:b F(x,y) = P({ w: X(w) ≤ x} ∩ {w: Y(w) ≤ y}) Si unimos la formula anterior con los elementos de la formula obtenemos. P(a < X ≤ b, c


F(x; y) = P ({w: X(w ) ≤ x} ∩ {w: Y (w) ≤ y }) ≤ P ({w: X(w ) ≤ x ´ } ∩ {w: Y (w) ≤ y })


7

PROBABILIDAD II Unidad 1. Arreglos aleatorios = F (x´, y)

       =

;

Como la función F es creciente en ambas variables se referencia para cualquiera x, y, 0 ≤ F(x,y) ≤ 1 La función F(x, y) es continua por la derecha en cualquiera de sus variables. Ejemplo: Restaurant de comida rápida cuenta con ventanilla de atención a clientes en auto o caminando sea X=el tiempo de atención a clientes en auto y Y= el tiempo que se destina a los clientes que acceden caminando. De tal forma el conjunto de valores posibles (X,Y) es el rectángulo D={(x,y) : 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1. Supongamos que la función de densidad de probabilidad conjunta de (X,Y) está dada por

       {    Para comprobar que ésta es una función de densidad de probabilidad legitima, se observa que

                                                 1.2.2. Distribuciones marginales Las funciones de probabilidad marginal de X y de Y son representadas por Se denotan por

  y

∑  ∑  ∑   ∑ 

De tal forma que para poder obtener la función de probabilidad marginal de X , con un valor por ejemplo de 100, la distribución de





se suman a los valores posibles de y para de esta formar obtener la

función de probabilidad marginal de X, sin hacer ninguna referencia a Y. De esta manera es posible calcular las probabilidades de eventos en los que interviene de manera excluyen X o Y.


8

PROBABILIDAD II Unidad 1. Arreglos aleatorios Ejemplo: En un experimento se obtuvieron los siguientes resultados que muestra la tabla de frecuencias absolutas y que corresponde a 180 observaciones de una variable bidimensional. Calcular las distribuciones marginales de X y de Y, X\Y 8 10 12

10 8 10 24

15 10 20 10

20 10 0 10

25 6 14 6

30 0 10 20

35 10 0 10

Respuesta: La última fila contiene la distribución marginal de la variable Y, y la última columna contiene la distribución marginal de la variable X. X\Y 8 10 12 n j

10 8 12 24 44

15 10 20 10 40

20 10 0 10 20

25 6 14 6 26

30 0 10 20 30

35 10 0 10 20

nI 44 56 80 180

Ejercicios Sea ( x, y) un vector aleatorio discreto con las siguientes distribuciones de probabilidad. x/y 1 2

0 0 1/5

1 3/5 0

2 2/5 0

3 1/5 1/5

Calcular las distribuciones marginales de X e Y.

1.2.3. Vectores aleatorios discretos Un vector aleatorio discreto es un modelo de probabilidad conjunta y se caracteriza por una función de probabilidad conjunta, que es el resultado de cada uno de sus posibles valores. Entonces, un vector aleatorio (X, Y) es discreto cuando sólo puede tomar un número finito o numerable de valores, podemos apreciar lo anterior mediante una tabla de doble entrada


9


X\Y x1 x2 x… xn

y1

y2

y…

yn

P( X=xn,; Y=yn )

1.2.4. Densidades y densidades marginales Las funciones de densidad de probabilidad marginal de X y Y, denotadas por vienen dadas por

   

  y

 

1.2.5. Distribuciones condicionales Sean X,Y dos variables aleatorias continuas con función de densidad de probabilidad conjunta y la función de densidad de probabilidad marginal , se tiene que para cualquier valor de x de X para el que , la función de densidad de probabilidad condicional de Y dado que X=x es



*Notese que la formula



       



es muy proxima a la probabilidad condicional de que

Es decir la probabilidad de que ocurra B dado que ya ocurrio A Ya sabemos que si P(A) > 0

   

Si X y Y son variables aleatorias discretas y tenemos los eventos (A:X =x), (B: Y = y), entonces (a) se convierte en

      


10

PROBABILIDAD II Unidad 1. Arreglos aleatorios Donde f(x,y) = P(X=x, Y=y) es la función de probabilidad conjunta y f 1 (x) es la función de probabilidad marginal para X. Definimos

    Y la llamamos función de probabilidad condicional de Y dado X. de igual manera, la función de probabilidad condicional de X, dado Y, es

    Definición. (Función de distribución condicional). Sea (X, Y) un vector aleatorio absolutamente continuo con función de densidad f X,Y (x, y ), y sea y tal que fY (y) ≠ 0 . A la función

   Se le conoce como la función de distribución condicional de X dado que Y toma el valor y.

Actividad 2. Identificación de variables Propósitos Al finalizar la actividad serás capaz de resolver un ejercicio en el cual tienes que identificar la función de distribución de dos variables. Indicaciones 1. Descarga el documento correspondiente a la actividad que te brindará el docente a través del foro planeación didáctica. 2. Resuelve cada uno de las solicitudes que en el documento se mencionan. 3. Puedes apoyarte en el contenido y los recursos que tu docente te brindará durante la realización de la actividad. 4. El trabajo se deberá entregar bajo la calendarización que el docente brindará y deberás entregarlo en un documento de texto o PDF sí utilizas algún editor de texto científico.


11

PROBABILIDAD II Unidad 1. Arreglos aleatorios 6. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura: MPRO2 _U1_A2_XXYZ. Sustituye la XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno. 7. Envía tu archivo a tu Docente el línea (a) mediante la sección de Tareas Criterios de evaluación: Revisa la escala de evaluación por el cual será evaluado tu actividad, y podrás ver las observaciones que hace el docente de acuerdo al o resuelto en la actividad.

Actividad 3. Función de densidad conjunta Al finalizar la actividad serás capaz de determinar una función de densidad conjunta mediante la distribución de dos variables en diversas aplicaciones Indicaciones 1. Descarga el documento correspondiente a la actividad que te brindará el docente a través del foro planeación didáctica. 2. Resuelve cada uno de las solicitudes que en el documento se mencionan. 3. Puedes apoyarte en el contenido y los recursos que tu docente te brindará durante la realización de la actividad. 4. El trabajo se deberá entregar bajo la calendarización que el docente brindará y deberás entregarlo en un documento de texto o PDF sí utilizas algún editor de texto científico. 5. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura: MPRO2 _U1_A3_XXYZ. Sustituye la XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno. 6. Envía tu archivo a tu Docente el línea (a) mediante la sección de Tareas Criterios de evaluación: Revisa la escala de evaluación por el cual será evaluado tu actividad, y podrás ver las observaciones que hace el docente de acuerdo al o resuelto en la actividad.


12


Actividad 4. Distribución condicional Propósitos Al finalizar la actividad serás capaz de resolver un ejercicio el cual implica un el desglose de distribución condicional. Indicaciones 1. Descarga el documento correspondiente a la actividad que te brindará el docente a través del foro planeación didáctica. 2. Resuelve cada uno de las solicitudes que en el documento se mencionan. 3. Puedes apoyarte en el contenido y los recursos que tu docente te brindará durante la realización de la actividad. 4. El trabajo se deberá entregar bajo la calendarización que el docente brindará y deberás entregarlo en un documento de texto o PDF sí utilizas algún editor de texto científico. 5. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura: MPRO2 _U1_A4_XXYZ. Sustituye la XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno. 6. Envía tu archivo a tu Docente el línea (a) mediante la sección de Tareas Criterios de evaluación: Revisa la escala de evaluación por el cual será evaluado tu actividad, y podrás ver las observaciones que hace el docente de acuerdo al o resuelto en la actividad.

1.3. Independencia Dos eventos A y B son independientes si P (A|B)=P(A), de lo contrario son dependientes o son independientes si y solo si la probabilidad de que ocurran ambos es el producto de cada una de las probabilidades y lo podemos comprobar mediante



     Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

13

PROBABILIDAD II Unidad 1. Arreglos aleatorios Se puede mencionar que dos eventos son independientes cuando uno de ellos no afecta el resultado del otro, para representar esta definición podemos ejemplificarlo de la siguiente manera: Ejemplo 1: Eventos independientes. Lanzamiento de moneda (Primer evento)

Lanzamiento de moneda (2° evento)

El resultado puede ser cara o cruz

El resultado puede ser cara o cruz y no depende del resultado del primer evento Estos dos eventos son independientes

Ejemplo 2: Eventos no independientes ¿Cuál es la probabilidad de lanzar dos dados. La suma de los resultados sea 7?

El resultado del tiro del Primer dado

El resultado del tiro del segundo dado

Son eventos no independientes o dependientes

Ejemplo: Un equipo de ventas tiene una probabilidad de ganar en un negocio de 0.6 una probabilidad de no ganar, ni perder de 0.3 y una probabilidad de perder el dinero invertido


14

PROBABILIDAD II Unidad 1. Arreglos aleatorios de 0.1, si este equipo de ventas participa en dos negocios con las mismas características determine la probabilidad de que: a) Obtenga ganancias en el segundo negocio b) Obtenga ganancias en ambos negocios c) Obtenga ganancias en uno de los dos negocios d) Obtenga ganancias en el primer negocio y pierda en el segundo negocio Si representamos gráficamente el problema tendríamos lo siguientes:

•

0.6 gane

• •

0.6 0.3 0.1

0.3 ni gane , ni pierda

0.1 pierda

• • •

• • •

0.6 0.3 0.1

0.6 0.3 0.1

Si identificamos el espacio muestral nos quedaría de la siguiente forma: (GG, GE, GP, EG, EE, EP, PG, PE, PP) Solución: a) p (Ganancias en el Segundo Negocio) = p (GG, GE, GP) = (0.6) (0.6) + (0.6) (0.3)+ (0.6) (0.1) = 0.18+ 0.06 + 0.18+ 0.06 = 0.48 b) p (Gane en ambos negocios) p (G, G) = (0.6) (0.6) = 0.18


15

PROBABILIDAD II Unidad 1. Arreglos aleatorios c) p (Gane en uno de los negocios) = p (GE, GP, EG, PG) = (0.6)(0.3)+(0.6)(0.1)+(0.3)(0.6)+(0.1)(0.6) = 0.18 + 0.06 + 0.18 +0.06 =0.48 d) p (Gane en el primer negocio y ni gane, ni pierda en el segundo negocio) = p (GE) = (0.6)(0.3) = 0.18 Ejercicio: Resuelve el ejercicio siguiente para medir el avance de tu conocimiento. En los juegos panamericanos del 2011, un boxeador mexicano gana 5 de 8 peleas en las que compite, si este boxeador participara en tres peleas en categorías diferentes, en los próximos 5 meses, determina la probabilidad de que: a) Gane dos de las peleas b) Si ganara dos peleas, ¿Cuál es la probabilidad sea que sea la primera y la tercera? c) Qué gane la segunda pelea

1.3.1. Convolución La convolución se puede mencionar que es un operador matemático por el cual dos funciones de transforman f y g en una tercera función, la cual se estudia, para ver la magnitud en la que se superponen f y una versión trasladada e invertida de g. La convolucion de f y g se denota como f * g, se determina como la integral del producto de ambas funciones después de desplazar una de ellas una distancia Ƭ , es decir: ( f * g ) ( t ) =

∫      

El intervalo de integración dependerá del dominio sobre el que estén definidas las funciones, en el caso de un rango de integración finito, f y g se consideran a menudo como extendidas.


16


Tomemos el siguiente ejemplo, sean dos funciones: f (t )= e

t

y

g ( t ) = Sen ( t )

Encontremos la convolucion de f y g, para esto emplearemos de la integración por partes: et

* Sen

=

(t) =

∫    

   

    

Cabe mencionar que las leyes conmutativa, asociativa y distributiva se pueden aplicar, como se aprecia a continuación: Ley Conmutativa: f * g = g * f Ley Asociativa ( f * g ) * h = f * ( g * h ) Ley Distributiva f * ( g + h ) = f * g + f

*

h

La convolucion la podemos encontrar en muchas aplicaciones de ingeniería y matemáticas, como veremos a continuación.

1.3.2. Aplicaciones de la Convolución Algunas de las aplicaciones de convolución, las enlistamos a continuación: 





Cuando se manejan la suma de dos variables independientes se puede mencionar que es la convolución de cada una de sus distribuciones de probabilidad En estadística, un promedio móvil ponderado es una convolución. En óptica muchos tipos de manchas se describen con convoluciones. Por ejemplo la sombra que proyecta un cuerpo entre una fuente de luz y un fondo es la convolución de la forma de la fuente de luz que crea la sombra y del cuerpo que se está proyectando


17




En el campo de la acústica se representa una convolución cuando el sonido original están en función con los objetos que la reflejan.

Objeto

Imagen

PSF

Este es un ejemplo de convolución en un dispositivo óptico

Evidencia de aprendizaje. Caso de estudio distribución condicional Al finalizar la actividad serás capaz de resolver ejercicios que implican el desglose de distribución condicional. Indicaciones 1. Descarga el documento correspondiente a la actividad que te brindará el docente a través del foro planeación didáctica. 2. Resuelve cada uno de las solicitudes que en el documento se mencionan.

3. Puedes apoyarte en el contenido y los recursos que tu docente te brindará durante la realización de la actividad.

4. El trabajo se deberá entregar bajo la calendarización que el docente brindará y deberás entregarlo en un documento de texto o PDF sí utilizas algún editor de texto científico. 5. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MPRO2_U1_EA_XXYZ. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.


18

PROBABILIDAD II Unidad 1. Arreglos aleatorios 6. Envía tu reporte al portafolio de evidencias y espera la retroalimentación de tu Docente en línea, atiende sus comentarios y reenvía la nueva versión de tu evidencia.

Criterios de evaluación: Revisa la escala de evaluación por el cual será evaluado tu actividad, y podrás ver las observaciones que hace el docente de acuerdo al o resuelto en la actividad.

Autorreflexiones Al finalizar, consulta el Foro: Preguntas de autorreflexión para realizar el ejercicio correspondiente y enviarlo a través de la herramienta Autorreflexiones, recuerda que también se toman en cuenta para la calificación final.

Cierre de la unidad Durante esta unidad, revisamos los arreglos aleatorios, partiendo desde una sigma álgebra, donde tomamos un subconjunto del espacio muestral, a la vez determinamos como evaluar un subconjunto de datos mediante un sigma álgebra. En la segunda unidad podremos generar momentos para esos arreglos aleatorios mediante técnicas de probabilidad. Te recomiendo que sigas estudiando los temas que se presentaron durante esta unidad, ya que serán parte fundamental para la adquisición del conocimiento de la segunda unidad.

Para saber más Puedes revisar la siguiente página: http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/04Distribuciones%20de% 20Probabilidad.htm La información mencionada en la página del Instituto tecnológico de Chihuahua donde te permitirá obtener un panorama más amplio de distribución de probabilidad, variable aleatoria y valor esperado. Podrás obtener un ejemplo específico y determinar procesos de mejora para resolver los ejercicios planteados en el programa desarrollado.


19


Fuentes de consulta Milton J y Arnold J. (2004). Probabilidad y estadística con aplicaciones para ingeniería y ciencias computacionales. México: Mc Graw Hill. Rincon L. (2007). Curso intermedio de probabilidad . México: Departamento de matemáticas, Facultad de Ciencias, UNAM. Spiegel M. (2006). Probabilidad y estadística. Madrid: Mc Graw Hill.


20

Unidad 1. Arreglos Aleatorios

Recommend Documents