PORTAFOLIOS DE EVIDENCIA
MÉTODOS NUMÉRICOS Grupo: QU Quintas Reyes Lía Guadalupe Numero de control: 14160943 Septiembre del 016
1.- Introducción a los !todos nu!ricos.
Los Los método métodoss numéri numéricos cos son técnic técnicas as median mediante te las cuales cuales es posibl posiblee formula formularr proble problemas mas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. Los métodos numéricos numéricos nos vuelven vuelven aptos para entender entender esquemas esquemas numéricos numéricos a fin de resolver resolver problemas matemáticos, de ingeniería y científicos en una computadora, reducir esquemas numéricos básicos, escribir programas y resolverlos en una computadora y usar correctamente el software existente para dichos métodos y no solo aumenta nuestra habilidad para el uso de computadoras sino que también amplia la pericia matemática y la comprensi6n de los principios científicos básicos. l análisis numérico trata de dise!ar métodos para "aproximar# de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente. l ob$etivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones "aproximadas# a problemas comple$os utili%ando s&lo las operaciones más simples de la aritmética. 'e requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y l&gicas que producen la aproximaci&n al problema matemático.
1.1 Conc"ptos #$sicos: %l&oritos ' %pro(iacion"s. ()lgoritmos* 'on un con$unto con$unto de operacion operaciones es que se utili%an utili%an para resolver resolver problemas problemas específico específicos. s. n estas instrucciones se indica la secuencia de operaciones que se deben reali%ar para que partiendo de los datos de entada se pueda obtener el resultado buscado. Los algoritmos son utili%ados en el mundo de la ciencia para la resoluci&n met&dica de problemas. Los algoritmos no siempre están escritos de una una form formaa que que cond conduc ucee al prog program ramaa más más efec efecti tivo vo en térm términ inos os de requ requis isit itos os de tiem tiempo po o almacenamiento. Las características que deben cumplir son*
+ 'er definido* ada paso del algoritmo debe indicar la acci&n a reali%ar sin criterios de interpretaci&n. + 'er finito* -n nmero específico y numerable de pasos debe componer al algoritmo, el cual deberá finali%ar al completarlos. + /ener cero o más entradas* 0atos son proporcionados a un algoritmo como insumo para llevar a cabo las operaciones que comprende. + /ener una o más salidas* 0ebe siempre devolver un resultado1 de nada sirve un algoritmo que hace algo y nunca sabemos que fue. l devolver un resultado no debe ser considerado como nicamente verlos en forma impresa o en pantalla, como ocurre con las computadoras. 2or salida de resultados debe entenderse todo medio o canal por el cual es posible apreciar los efectos de las acciones del algoritmo. + fectividad* l tiempo y esfuer%o por cada paso reali%ado debe ser preciso, no usando nada más ni nada menos que aquello que se requiera para y en su e$ecuci&n.
)proximaciones*
)proximar un numero ciertas cifras decimales consiste en encontrar un numero con las cifras pedidas que este muy pr&ximo al nmero dado. n la aproximaci&n por defecto se busca el nmero con un determinado nmero de cifras que es menor que el dado. La aproximaci&n por exceso es cuando el numero con las cifras decimales fi$adas es inmediatamente mayor al nmero dado.
2or e$emplo, dado el nmero 3.456 vamos a aproximarlo con dos cifras decimales* a7 por defecto es 3.45 b7 por exceso es 3.4
)l dar la aproximaci&n en lugar del nmero se comete un error, en el e$emplo anterior los errores que se cometen son* a7 8 3.456 9 3.45 8 : ;.;;6 b7 8 3.456 9 3.4 8 : ;.;;55
)l dar la aproximaci&n en lugar del nmero se comete un error, en el e$emplo anterior los errores que se cometen son*
a7 8 3.456 9 3.45 8 : ;.;;6 b7 8 3.456 9 3.4 8 : ;.;;55
.9 )unque ciertos nmeros representan nmero específicos, no se pueden expresar exactamente con un nmero finito de cifras. * las cifras significativas se cuentan de i%quierda a derecha, a partir del primer dígito diferente de cero y hasta el digito dudoso.
más exacto es una estimaci&n. /ambién se refiere a la aproximaci&n de un numero o de una medida al valor verdadero que se supone representa. uando expresamos la exactitud de un resultado se expresa mediante el error absoluto que es la diferencia entre el valor experimental y el valor verdadero. /ambién es la mínima variaci&n de magnitud que puede apreciar un instrumento. @ncertidumbre* @ncertidumbre también se le conoce como @mprecisi&n. 'e refiere al grado de ale$amiento entre sí, a las diversas aproximaciones a un valor verdadero. 'ituaci&n ba$o la cual se desconocen las probabilidades de ocurrencia asociados a los diferentes resultados de un determinado evento. 'esgo* xiste sesgo cuando la ocurrencia de un error no aparece como un hecho aleatorio Aal a%ar7 advirtiéndose que este ocurre en forma sistemática s un ale$amiento sistemático del valor verdadero a calcular.
1.) Tipos d" "rror"s.
/ipos de errores <
<I decimal introduciendo así un error de redondeo 2or e$emplo, el valor de JeJ se conoce como >.H3K>K3K>K... asta el infinito. 'i cortamos el nmero en >.H3K>K3K> AK cifras significativas luego del punto decimal7 estamos obteniendo u error de : >.H3K>K3K>K 9>.H3K>K3K> : ;.;;;;;;;;K... 'in embargo, como no consideramos que el nmero que seguía al corte era mayor que , entonces nos convenía de$ar el nmero como >.H3K>K3K4, caso en el cual el error sería solo de : >.33K>K3K>K 9>.33K>K3K4 : 9;.;;;;;;;;>... , que en términos absolutos es mucho menor que el anterior. n general, el error de corte de las computadoras será muy inferior al error introducido por un usuario, que generalmente corta a un menor nmero de cifras significativas. <
iterando y seguir aproximándose a la soluci&n. n un intervalo que se subdivide para reali%ar una serie de cálculos sobre él, se asocia al nmero de paso, resultado de dividir el intervalo JnJ veces. <
1.* Con+"r&"ncia.
'e entiende por convergencia de un método numérico la garantía de que, al reali%ar un buen nmero de repeticiones Aiteraciones7, las aproximaciones obtenidas terminan por acercarse cada ve% más al verdadero valor buscado. n la medida en la que un método numérico requiera de un menor nmero de iteraciones que otro, para acercarse al valor numérico deseado, se dice que tiene una mayor rapide% de convergencia. 'e entiende por estabilidad de un método numérico el nivel de garantía de convergencia, y es que algunos métodos numéricos no siempre convergen y, por el contrario divergen1 es decir, se ale$an cada ve% más y más del resultado deseado. n la medida en la que un método numérico, ante una muy amplia gama de posibilidades de modelado matemático, es más seguro que conver$a que otro, entonces se dice que tiene una mayor estabilidad. Formalmente se puede encontrar métodos que convergen rápidamente, pero son demasiado inestables y, por el contario, modelos muy estables, pero de lenta convergencia. n Gétodos numérico la velocidad con la cual una sucesi&n converge a su límite es llamada orden de convergencia. ste concepto es, desde el punto de vista práctico, muy importante si necesitamos traba$ar con secuencias de sucesivas aproximaciones de un método iterativo. @ncluso puede hacer la diferencia entre necesitar die% o un mill&n de iteraciones. 'upongamos que la secuencia MxyN converge al nmero O. 0ecimos que la sucesi&n converge con orden q a O, si
l nmero q es llamado orden de convergencia. n particular, convergencia de orden 3 es llamada convergencia lineal, la de orden > convergencia cuadrática y la convergencia de orden 4 convergencia cbica. n matemática computacional, un método iterativo trata de resolver un problema Acomo una ecuaci&n o un sistema de ecuaciones7 mediante aproximaciones sucesivas a la soluci&n, empe%ando desde una estimaci&n inicial. sta aproximaci&n contrasta con los métodos directos, que tratan de
resolver el problema de una sola ve% Acomo resolver un sistema de ecuaciones )x:encontrando la inversa de la matri% )7. Los métodos iterativos son tiles para resolver problemas que involucran un nmero grande de variables Aa veces del orden de millones7, donde los métodos directos tendrían un coste prohibitivo incluso con la potencia del me$or computador disponible. 0ado que estos métodos forman una base, el método converge en F iteraciones, donde F es el tama!o del sistema. 'in embargo, en la presencia de errores de redondeo esta afirmaci&n no se sostiene1 además, en la práctica F puede ser muy grande, y el proceso iterativo alcan%a una precisi&n suficiente mucho antes. l análisis de estos métodos es difícil, dependiendo de lo complicada que sea la funci&n del espectro del operador
Cibliografía* 3. )nálisis Fumérico . 'teven , hapra Gétodos Fuméricos para @ng. 6ta d1 Gac Rraw ill. 4. )nálisis Fumérico
