U N I D A D 1 : NORMAS Y ERRORES
A N Á L I S I S
N U M ÉR I C O
El análisis numérico es la rama de las matemáticas que se encarga de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas, simular cálculos complejos y aplicarlos a procesos del mundo real. En el contexto del análisis numérico, un algoritmo es un procedimiento (método numérico) que nos puede llevar a una solución numérica aproximada de un problema matemático (el cual no puede ser resuelto de forma algebraica o analítica) mediante un número finito de pasos que deben ejecutarse de manera lógica. Iniciaremos el curso citando los tipos de errores más comunes en el cálculo c álculo numérico y los conceptos de norma vectorial y norma matricial. 1.1 NORMA VECTORIAL Una aplicación : V R (donde V es un espacio vectorial y R es el conjunto de los números números reales) es una norma vectorial si x, y V y k R se cumple que: 1.
x 0
No negatividad
2.
x 0 x 0
Nulidad
3.
kx k x
Homogeneidad
4.
x y x y
Desigualdad triangular
1.2 P-NORMAS p-normas, las cuales se definen así: Entre las distintas clases de normas, están las p-normas, 1
p xi , con 1 p y x x1 , x2 , xn R n i 1 n
x
p
p
Veamos algunos casos particulares:
Si p 1 , se obtiene la Norma 1:1:
x 1
n
x
i
i 1 1
22 xi i 1 n
2 o Norma Euclidiana: Euclidiana: Si p 2 , se obtiene la Norma 2 o
x
Infinito: Si p , se obtiene la Norma Infinito:
x
2
max xi 1i n
Ejemplo No. 1 Dado el vector x 1,3, Solución: x 1
3
x
i
6
R 3 halle x 1 , x 2 y x
x1 x2 x3 1 3 6 1 3 6 6.449
i 1 1
2 22 2 2 2 2 2 x x x x 1 3 6 1 9 6 16 1 2 3 i 2 i1 x max xi max x1 , x2 , x3 max 1, 3 , 6 max 1,3, 6 3 3
x
1i 3
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4
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Ejemplo No. 2 Dado el siguiente vector x m 4, m 2 , siendo m R , halle Solución: Tenemos que: x max x1 , x2 max m 4 , m 2 Luego: x
m 4 si m 2 si
x
m 4 m 2 para m 1
m 2 m 4 para m 1
Veamos: 2
2
2 2 m 4 m 2 m 2 8m 16 m 2 4m 4
m 1
2
2
m 2 m 4 m 2 4m 4 m 2 8m 16
m 1
m4 m2 m4 m2
m2 m4 m2 m4
2
2
1.3 NORMA MATRICIAL La aplicación : R nm R es una norma matricial si A, B R mn y 1.
A 0
No negatividad
2.
k R se
A 0 A 0
cumple que:
Nulidad
3. kA k A Homogeneidad 4. A B A B Desigualdad triangular Donde R mn representa el conjunto de todas las matrices con m filas y n columnas, cuyos elementos son todos números reales. Es decir si A Rmn , entonces: a11 a 21 A am1
a12
a22
am 2
a1n
, donde aij R , para todo i 1,2,, m amn mn a2n
y para todo j 1,2,, n
3.1.1 La norma 1 (norma suma de columnas) La norma 1 de A R
mn
se define de la siguiente manera:
m m m A 1 max ai1 , ai 2 ,, ain i 1 i 1 i 1
3.1.2 La norma (norma suma de filas) La norma de A R
mn
se define de la siguiente manera:
A
n n n max a1 j , a2 j ,, a mj j 1 j 1 j 1
3.1.3 La norma F (norma de Frobenius) 1
La norma F de A R
mn
se define de la siguiente manera:
2 2 aij i 1 j 1
m
A F
n
Ejemplo No. 3 Dada la siguiente matriz
4 1 0 0 1 6 A 1 3 1 2 4 0
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Halle
A 1 , A
y
A F haciendo uso de la
definición formal de cada una de las normas indicadas.
Solución: Tenemos que: 4 4 4 A 1 max aij max ai1 , ai 2 , ai 3 j 1, 2 ,3 i 1 i 1 i 1 i 1 4
max a11 a21 a31 a41 , a12 a22 a32 a42 , a13 a23 a33 a43
max 1 0 1 2 , 0 1 3 4 , 4 6 1 0 max1 0 1 2,0 1 3 4,4 6 1 0 max 4,8,11 11 A
7
(se hace de manera análoga) 1
A F
1
2 4 2 2 2 aij ai1 ai22 ai23 i 1 i 1 j 1 4
3
a a a 2 11
2 12
2 13
a
2 21
a a 2 22
2 23
a
2 31
a a 2 32
2 33
a
2 41
a a 2 42
2 43
1
2
1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 4 0 1 6 1 3 1 2 4 0 2
1
1 0 16 0 1 36 1 9 1 4 16 0 2
85
9.2195
3.1.4 La norma 2 (norma espectral) La norma 2 de A R
nm
se define de la siguiente manera
1
A
A A2 , T
2
donde AT A es el radio espectral de la matriz AT A . Esta norma requiere tener claro algunos conceptos previos necesarios para su determinación. Entre los cuales están: 3.2 POLINOMIO CARACTERÍSTICO Si A R nn , entonces el polinomio definido por A det A I , se denomina polinomio característico de A , donde I es la matriz identidad de tamaño n n . 3.3 VALOR CARACTERÍSTICO Si es el polinomio característico de la matriz A , entonces los ceros (raíces) de se denominan valores característicos (valores propios o autovalores) de A . Es decir es un valor característico de A si A 0 . 3.4 RADIO ESPECTRAL El radio espectral A de una matriz A R nn se define como i 1,2,n es un valor característico de A .
A max 1 , 2 ,, n
, donde ,
Ejemplo No. 4 3 1 0 Dada la siguiente matriz A 1 2 1 0 1 3
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i
Halle: a. El polinomio característico de A . Es decir A c. El radio espectral de A . Es decir A b. Los valores característicos de A d. La norma 2 de A . Es decir A 2 Solución: a. Para hallar el polinomio característico de A debemos hallar det A I , donde: 0 3 1 0 1 0 0 3 1 0 0 0 3 1 A I 1 2 1 0 1 0 1 2 1 0 0 1 2 1 0 1 3 0 0 1 0 1 3 0 0 0 1 3
Por lo tanto: 3 1 0 det A I det 1 2 1 0 1 3 2 1 1 1 1 2 det det 3 det 1 0 1 1 3 0 3 0 3 2 3 1 1 13 0 1 0
3 6 2 3 2 1 3 0 3 2 5 5 3 3 2 15 15 3 5 2 5 3 3 8 2 19 12 Es decir: A det A I 3 8 2 19 12
b. Para hallar los valores característicos de A debemos resolver la ecuación A 0 . Es decir: 3 8 2 19 12 0 3 8 2 19 12 0 Tenemos que: 3 8 2 19 12 1 2 7 12 1 3 4
Luego: 1 3 4 0 Los valores característicos de A son 1 1 , 2 3 y 3 4 c. El radio espectral de A es: A max 1 , 2 , 3 max 1, 3 , 4 max1,3,4 4 d. Para hallar A 2 debemos determinar primero AT A . Veamos: 3 1 0 3 1 0 10 5 1 AT A 1 2 1 1 2 1 5 6 5 0 1 3 0 1 3 1 5 10
Ahora hallemos
det AT A I , donde:
1 10 5 1 1 0 0 10 5 1 0 0 10 5 AT A I 5 6 5 0 1 0 5 6 5 0 0 5 6 5 1 5 10 0 0 1 1 5 10 0 0 1 5 10
De esta manera:
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10 5 1 6 5 det AT A I det 5 1 5 10
6 5 5 5 5 6 det det 10 det 5 1 1 10 1 5 10 5 10 6 10 5 5 5 510 1 5 5 5 16
10 60 6 10 2 25 5 50 5 5 25 6 10 2 16 35 55 45 19 10 2 160 350 3 16 2 35 25 225 19 Es decir A A det AT A I 3 26 2 169 144 T
Para hallar los valores característicos de AT A debemos resolver la ecuación A A 0 . Es decir: T
3 26 2 169 144 0 3 26 2 169 144 0 1 2 15 144 0 1 9 16 0 Luego los valores característicos de AT A son 1 1 , 2 9 y 3 16
El radio espectral de AT A es: De eta manera:
AT A max 1 , 2 , 3
max 1, 9 , 16 max1,9,16 16
1
A 2 A A 2 16 4 T
3.5 ERROR ABSOLUTO Si X R n y X R n es una aproximación a
X , entonces definimos el error absoluto E A como:
E A X X
3.6 ERROR RELATIVO Si X R n y X R n es una aproximación a E R
E A
X
X , entonces definimos el error relativo E R como:
X X X
Particularmente tenemos que si n 1 , entonces E A X X y E R
X X X
3.7 ERROR DE TRUNCAMIENTO Es un error que se produce cuando una expresión matemática complicada se reemplaza por una más simple, en el momento de realizar un cálculo. Ejemplo No. 5 Halle
1 2
0
2
e x dx
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1
Para resolver la integral definida e x dx , debemos resolver primero la integral indefinida e x dx . Pero esta última integral tiene el inconveniente que no se puede resolver de forma analítica. Una alternativa seria emplear el desarrollo en serie de Taylor de la función e x , el cual establece que: 2
2
2
0
2
x 2
e
k 0
x 2k
1 x 2
k !
x 4 2!
x 6 3!
x8 4!
[1]
x 4 x 6 x8 2 Por lo tanto: 0 e dx 0 1 x dx 2! 3! 4! 1 2
1 2
x2
Pero esta última integral aun es imposible de resolver ya que el integrando es una suma infinita. Una opción sería truncar la serie [1] y utilizar los n primeros términos con n . Por ejemplo utilicemos los tres primeros términos de dicha serie. Por lo tanto:
1 2
0
2
e x dx
1 2
0
x 1 x 2 dx 0 2! 4
1 2
1 2
x x x 1 x 2 dx x 0.544791666 X 2 3 10 0 4
3
De esta manera se obtiene una solución aproximada X de la integral de truncamiento se muestran a continuación:
5
1 2
0
2
e x dx , cuyos errores absoluto y relativo
E A X X X 0.544791666
Donde X es la solución exacta de la integral
1 2
0
2
e x dx , la cual es X 0.544987104184 , por lo tanto:
E A X X X 0.544791666 0.544987104184 0.544791666 0.000195438184 E R
E A X
0.00019543 8184 0.544987104184
3,58610503 9 10-4 0.035%
3.8 ERROR DE REDONDEO Redondeo es el proceso mediante el cual se eliminan decimales poco significativos de un número decimal. El error de redondeo es la pérdida de precisión matemática que se produce cuando se redondea la parte decimal de un número. Es la diferencia entre el valor original y el valor del número una vez aplicado el redondeo. Ejercicios No. 1 1. Pruebe que x , con x x1 , x2 , xn R n es una norma vectorial, es decir cumple los axiomas 1, 2, 3 y 4. 2. Pruebe que x , con x x1 , x2 , xn R n es una norma vectorial, es decir cumple los axiomas 1, 2, 3 y 4. 3. Para la norma de Frobenius pruebe que: a. A F 0 b. A F 0 A 0 c. kA F k A F 4. Dado el siguiente vector x 2m 6, m 1 , siendo m R , halle x 5. Dado el siguiente vector x 2m 5, m 4 , siendo m R , halle x 2
1
6. Dado el siguiente vector x
2m 1
m3
,1
, siendo
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m R y, halle x
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7. Dado el siguiente vector x m 3, m 1 , siendo m R y, halle x 8. Para cada una de las siguientes matrices determine P A , los valores característicos de A y A a.
1 3 3 A 3 5 3 6 6 4
0 1 0 0 2 0 d. A 1 0 5 1 0 3 0 0 0
g.
d 1 1 A 1 d 1 1 1 d
1 d d d d 1 d d j. A d d 1 d d d d 1
9.
0 A 1 12 0 0 1 2
b. 0
0
0
0
6 4 0
0 e. 0 2
12 0 c. A 1 1 2
12 12 1 2
1 dCosd dSend A dSend 1 dCosd
3 2
d 1 1 A 1 d 1 1 1 d
1 1 d 1 i. A 1 1 d 1 1 1 1 d
0 0 d h. A 0 d 0 , d 0 1 0 0
k.
f.
32 2 0 0 1 1 1 1 1 12 2 2 3 2
2a b 0 2a 2b 1 2 A a b a 0 2b a
3 1 0 Dada la siguiente matriz: A d 3 0 0 0 2
a. Determine para que valores de d los valores característicos son reales. b. Determine para que valores de d los valores característicos tienen multiplicidad algebraica igual a 2. 10.
a b 0 Dada la siguiente matriz: A c a b 0 c a
Determine que relación debe verificarse entre los parámetros a , b y c de tal manera que los valores característicos tengan multiplicidad algebraica igual a 3. 11. Para cada una de las siguientes matrices determine A 2
a.
3 2 4 A 2 0 2 4 2 3
b.
0 1 1 1 1 0 1 1 A 1 1 0 1 1 1 1 0
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12.
1 1 0 Dada la siguiente matriz: A 1 2 1 0 1 1
Verifique que se cumple cada una de las siguientes desigualdades A A y 2
a11
a12
a 21
a 22
13. Dada la matriz A
A 2
A 1 A
.
, pruebe que
a. P A traza A det A b. A tiene dos valores característicos reales y distintos si y solamente si traza A 4det A 14. Sea A R nn una matriz invertible, definimos el número de condición de A como: Con A A A Pruebe que: a. Con A ConA b. Con A 1 Sugerencia: Parta del hecho que 1 I 15. Pruebe que si B kA con k R , entonces se tiene que Con B Con A 2
2
1
1
1 1 , donde 0 , pruebe usando la norma infinito para matrices que: 1 1
16. Dada la matriz A 2 Con A
b a , donde 0 y b 0 , pruebe usando la norma F para matrices que: a b
17. Dada la matriz Con A
18.
2a
2
A 2
2b 2 2a 2 b
0 1 1 1 1 1 Dada las siguientes matrices A 1 2 y B 2 3 4 1 0 0 1 0 1 Pruebe que Lim Con A y Lim Con B (empleando la norma infinito para ambos casos) 0
0
19. En cada caso halle Con A usando la norma 2 para matrices: a.
3 2 4 A 2 0 2 4 2 3
b.
3 0 0 A 0 54 34 3 5 0 4 4
2 2 2 A 2 1 1 2 1 1
c.
20. Suponga que los números x , x ,, xn son aproximaciones a X , X ,, X n y que en cada caso el máximo error posible es E . Pruebe que el máximo error posible en la suma x x xn es nE 21. Teniendo en cuenta que X e x x e x dx 0.962651 . Utilice los cinco (5) primeros términos de la 1
2
1
2
1
1
2
3
2
2
0
serie de Taylor correspondiente a e x para determinar: a. Una aproximación X de X (con seis dígitos de precisión) b. El error absoluto E A y relativo E R de truncamiento. 2
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