UNIDAD III CIRCUITO RL, RC y RLC
CIRCUITOS SIMPLES RC Nuestro estudio de circuitos de primer orden la iniciaremos considerando el circuito simple de trayectoria cerrada que contiene únicamente un capacitor y una resistencia, como se muestra en la figura 6.1. Supóngase que el capacitor esta energizado a un voltaje de V 0 volts en un tiempo inicial, que consideraremos como t =0. =0. “tiempo inicial” inicial” significa el inicio del periodo que nos interesa, y no el momento de la construcción del circuito (el circuito debe tener una historia que se extiende más allá de nuestro tiempo inicial, puesto que el valor de V 0 volts debió ser establecido mediante un circuito externo antes de este momento).
Puesto no hay fuentes de corriente o voltaje, la respuesta del circuito ( v o i) se debe enteramente a la energía inicialmente almacenada en el capacitor. La energía en el tiempo inicial t =0 =0 es por (5.4) wC (0)
1 2
CV 02
(6.1)
Buscamos determinar v determinar v(t ) para t ˃0. Aplicando LCK Aplicando LCK en en el nodo superior
μα
MACN
C
dv
v
0
dt R
o bien, dv
1
dt RC
v0
(6.2)
Lo que es una ecuación diferencial de primer orden. (El orden de una ecuación diferencial esta de finido como el orden de la derivada de mayor orden de la función incógnita que contiene la ecuación). Existen varios métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden. Un método muy directo es reagrupar los términos de la ecuación, para separar las variables v y t . estas variables pueden ser separadas al reescribir (6.2) como dv v
1 RC
dt
Entonces, obteniendo la integral indefinida en cada miembro de la ecuación, obtenemos dv
v O bien
1 RC
ln(v)
dt
t RC
(6.3)
k
Donde k es k es la constante de integración. Aplicando la función exponencial a ambos lados, obtenemos v Ke (t / RC )
(6.4) +k
Donde e es la base de los logaritmos naturales, e=2.71828…., K =2.71828…., K =e . Para que esta solución sea válida en el intervalo de interés t ˃0, la continuidad requiere que v(0) coincida con la condición inicial especificada v(0) = V 0. De este modo, en tanto que v(t) en (6.4) satisfaga la ecuación diferencial para cualquier K cualquier K , solo un valor único de K en esta solución satisfará tanto la ecuación diferencial como la condición inicial. Esto se obtiene forzando v(0) en (6.4) al valor requerido de V 0: v(0) Ke0 K V 0
μα
MACN
Donde v(t ) V 0 e (t / RC )
(6.5)
Nótese que todas las variables de circuitos se obtienen inmediatamente a partir de (6.5), aunque por el momento nos concentraremos únicamente en el capacitivo v(t ). En la figura 6.2 aparece una gráfica de la respuesta del circuito v(t ). El voltaje se inicia en V 0, tal como se pidió en nuestra condición, y decae exponencialmente a cero respecto al tiempo. El ritmo al que decae a cero está dado por el producto RC del circuito. Puesto que esta respuesta está gobernada por los elementos del circuito en sí, y no por alguna fuente independiente que “fuerza” un comportamiento distinto durante t ≥0, esta respuesta se conoce como respuesta natural del circuito. La respuesta natural es equivalente a la respuesta en ausencia de fuentes independientes.
En cualquier tiempo t , la energía almacenada en el capacitor wC (t ) está dada por 2 ½Cv (t ). La resistencia no almacena energía; por consiguiente, la energía total almacenada en el circuito en el momento t es, por (6.5), wC (t )
1 2
C V 0 e (t / RC ) 2
1 2
CV 02 e 2t / RC
Comparándolo con la energía almacenada inicial dada por (6.1) wC (t ) wC (0)e
2t / RC
(6.6)
Nótese que la energía almacenada decae exponencialmente a cero desde su valor inicial w(0). ¿A dónde esta energía perdida? Sabemos que la potencia disipada por una resistencia es μα
MACN
p R (t )
v R2 R
V e
( t / RC ) 2
0
R
Integrando del tiempo inicial a 0 al tiempo t , obtenemos que la energía total disipada por la resistencia del tiempo 0 al t es: w R (t )
V 02 R
t
e 0
2 / RC
d
o
w R (t )
1 2
CV 02 (1 e 2t / RC ) wC (0)(1 e 2t / RC )
Comparando esta última con (6.6), podemos ver a donde fue la energía faltante wC (0) wC (t ) w R (t )
A cada instante de tiempo, el decrecimiento de la potencia almacenada en el capacitor de t =0 es exactamente igual a la energía total disipada por la resistencia hasta ese momento. Conforme el tiempo aumenta, queda menos potencia almacenada en el circuito; y en el límite, conforme t se hace muy grande, toda la energía almacenada inicial wC (0) se disipa en la resistencia como calor, y no queda ninguna energía almacenada. Conforme esto ocurre, v(t) y todos los demás voltajes y corrientes en el circuito también tienden a cero. Claramente, es la energía interna almacenada en el tiempo inicial la que produce esta respuesta “natural”.
μα
MACN
EJEMPLO Considérese el circuito de la figura 6.1 con C = 1μF, R = 1 kΩ y un inicial de v(0) = 5 V a través del capacitor. Deseamos obtener la corriente i(t) y la potencia máxima disipada por la resistencia. De (6.5), el capacitivo es v(t ) V 0 e t / RC 5e 1000t V
Luego puesto que v(t) es también el que pasa a través de la resistencia, i(t )
v(t ) R
0.005e 1000t A
El poder disipado por la resistencia es p R (t )
v 2 (t ) R
0.025e 2000t W
Por consiguiente la potencia máxima es de 25 mW se disipa justo en el momento t=0. Esto es confirmado por la gráfica de la figura 6.2, que demuestra que la mayor reducción de voltaje capacitivo, y por consiguiente la potencia almacenada, ocurre en el tiempo inicial.
μα
MACN
CIRCUITOS SIMPLES RL
Ahora examinaremos el circuito simple RL que aparece en la figura 6.3. Al igual que con el circuito RC anterior, no hay fuentes independientes, y la respuesta será producida por la energía inicial almacenada, que en este caso es proporcional al cuadrado de la corriente inicial i(0)= I 0 que pasa a través del inductor. La energía almacenada en el tiempo inicial es, por (5.11), 1 w L LI 02 2
Aplicando LVK, L
di dt
Ri 0
o di
R
dt L
i0
(6.7)
Esta ecuación tiene la misma forma que la ecuación (6.2) para el circuito RC . Por consiguiente, podremos resolverlo por el mismo método de separación de variables. Sin embargo, observamos que puesto que la presente ecuación es de la misma forma que (6.2), es de esperar que su solución sea también de la misma forma. Sabemos que la forma de esta solución anterior, dad en (6.5), es una constante por una función exponencial del tiempo. Guiados por esta experiencia, introduzcamos una solución natural tentativa i(t ) Ke st
(6.8)
Donde K y s son constantes a determinar. Si la solución natural tentativa realmente resuelve la ecuación diferencial, podemos sustituirla en la ecuación, o bien,
μα
MACN
d dt
( Ke st )
R L
( Ke st ) 0
de donde se obtiene
R st s ( Ke ) 0 L
Si nuestra solución natural tentativa funciona, esta ecuación debe ser válida para toda st t ≥0. Sin embargo, el factor Ke no puede ser cero para t ≥0, puesto que eso requeriría que K =0; por consiguiente i(t )=0 para toda t ≥0, lo que contradice el valor inicial i(0)= I 0. Concluimos que si la solución natural tentativa es válida, esto se debe a que el otro factor es cero: s
R L
0
(6.9)
Esto se conoce como ecuación característica para esta ecuación diferencial, y su solución s especifica el exponente en la solución de la ecuación diferencial, que en este caso es s
R L
Concluimos que una solución natural valida debe ser de la forma más específica R
i (t ) Ke
( ) t L
Toda i(t ) de esta forma satisface la ecuación diferencial (6.7). La otra prueba que debe pasar esta solución es que satisfaga la condición inicial dada i(0)= I 0. Aplicando esta condición, i(0) I 0 Ke0 K
La única solución natural tentativa que satisface tanto la condición inicial como la ecuación diferencial, es aquella con constantes especificas s y K , o bien, R
i (t ) I 0 e
μα
( ) t L
(6.10)
MACN
Lo que es la solución deseada. Podemos comprobar esta solución sustituyendo la i(t ) dada en (6.10) en la ecuación diferencial original que utilizamos para resolver (6.7), y confirmando que coincide con la condición inicial requerida. La solución satisface estas pruebas. Revisemos nuestro razonamiento. Supusimos una forma exponencial para solucionar la ecuación, y luego obtuvimos valores para sus parámetros s y K que hicieron que nuestra suposición pudiera demostrarse como correcta. Es indudable que el resultado es la solución deseada, puesto que resuelve la ecuación diferencial y tiene el valor inicial correcto, y lo único que pedimos de una solución es que cumpliera estas dos condiciones.
μα
MACN
EJEMPLO Para demostrar el método de ecuaciones características en el caso de un tiempo inicial distinto de cero, consideremos el circuito de la figura 6.3 con R = 2 Ω, L = 1 H, y corriente inicial i(t 0) = 3 A al momento t 0 = 10 s. Por (6.7) obtenemos di dt
2i 0
La ecuación característica es s + 2 = 0 o s=-2. Por consiguiente, la solución natural es i(t ) Ke 2t
Y evaluando en t = 10 s con el fin de obtener las condiciones iniciales, i(t 0 ) 3 Ke
2 (10)
+20
Con lo que se obtiene K = 3e
. Por tanto, la corriente deseada es i(t ) 3e 20 e 2t A i(t ) 3e 2 ( t 10 ) A
En la figura 6.4 se muestra una gráfica de esta corriente.
Examinando (6.5) y (6.10), notamos que el voltaje capacitivo y la corriente inductiva en estos circuitos de una sola trayectoria cerrada y sin fuentes, son ambas funciones exponenciales decrecientes. Puesto que la derivada de una exponencial es también una función exponencial, La corriente que pasa por el capacitor i = C (dv/dt ) y el que pasa a través del inductor v= L(di/dt ) en estos circuitos son también funciones exponenciales decrecientes con los mismos exponentes.
μα
MACN
Ejercicios 6.11 En la figura 6.1, sean t 0 = 0 V, V 0 = 10 V, R = 1 k Ω, C =1 μF. Obténgase v e i en t = 1 ms, t = 2 ms y t = 5 ms.
6.1.2 Si v(0) = +10 V, ¿en qué tiempo v(t ) será igual a +1 V? 6.1.3 En la figura 6.3, R = 1 k Ω. Si el voltaje a través del inductor, definido para -200t
satisfacer la conservación del signo pasivo junto con i, es vL(t ) = 10e obténgase L y la corriente inicial i(0).
μα
para t ˃ 0 s,
MACN
Constantes de tiempo En las redes que contienen elementos de almacenamiento de energía, es muy útil caracterizar con un solo número el ritmo en que la respuesta natural decae a cero. La cantidad llamada constante del tiempo del circuito realiza esta función.
a)
b)
Figura 6.5 (a) Respuesta de circuito RC; (b) Respuesta de circuito RL.
Considérese la gráfica que aparece en la figura 6.5(a), que ilustra una respuesta natural (el voltaje capacitivo) para el circuito simple RC que se discutió anteriormente. El tiempo requerido para que la respuesta natural decaiga por un factor de 1/e se define como la constante del tiempo del circuito, que designaremos como τ . Para el circuito RC dado, la respuesta natural es -t / RC
v(t ) = V 0e
Por definición de la constante de tiempo τ , necesitamos que τ satisfaga v(t + τ )/v(t ) = 1/e -1
o
v(t + τ ) = e v(t )
Reemplazando por el voltaje v, esta ecuación se convierte en -(t + τ )/ RC
V 0e
-1
-t / RC
= e V 0e
O, luego de cancelar factores comunes, τ =
μα
RC
(6.12)
MACN
Las unidades de τ están en Ω-F = (V / A)(C /V ) = (C / A) = s. En términos de la constante de tiempo τ , la respuesta natural es -t /τ
v(t ) = V 0e
A partir de la figura 6.5(b) se puede calcular de forma similar la constante de tiempo para el circuito RL, con -(
i(t ) = I 0e R/ L)t En este caso tenemos -( R/ L)(t +τ )
I 0e
-1
-( R/ L)t
= e I 0e
Que, después de cancelar términos iguales, identifica a la constante de tiempo
τ como
Y podemos reescribir la respuesta en términos de τ como -τ /t
i(t ) = I 0e
Nuevamente, las unidades de la constante de tiempo
τ
están dadas en (H/Ω) =
[V /( A/s)]/(V / A) = s.
Tanto en los circuitos RC como los RL, a cada τ segundos la respuesta natural se reduce en un factor de 1/e en relación a su valor al inicio del primer intervalo de la constante de -1 tiempo. La respuesta al final de la primera constante de tiempo se reduce a e = 0.368 de su valor inicial. Por consiguiente, después de cuatro o cinco constantes de tiempo la respuesta es esencialmente cero. En cuanto al circuito RC de la figura 6.1, podemos ver en la figura 6.2 que el voltaje capacitivo v(t ) decae exponencialmente a cero con la constante de tiempo τ = RC . Terminemos nuestro análisis de este circuito considerando otras variables del circuito. Por LVK, el voltaje resistivo es exactamente igual a v(t ). Puede obtenerse la corriente de malla dividiendo el voltaje resistivo entre R, y por consiguiente es también un decaimiento exponencial con τ = RC . Todas las corrientes y voltajes son decaimientos exponenciales con la misma constante de tiempo τ . Al examinar el circuito RL de la figura 6.3, notamos que en este caso también es verdad este mismo postulado. El comportamiento de todas las respuestas de los circuitos es fijada por una sola constante μα
MACN
de tiempo, τ = RC en el circuito RC y τ = L/ R en el circuito RL. Es por eso que designamos a τ como constante de tiempo del circuito, en vez de ser la constante de tiempo de cualquier corriente o voltaje específicos dentro del circuito. En la figura 6.6 se muestra una interesante propiedad de las funciones exponenciales. Una tangente a la curva en t = 0 interseca el eje del tiempo del tiempo en t = τ . Esto puede verificarse fácilmente considerando la ecuación de una recta tangente a la curva en t = 0, dada por v1(t ) = mt + V 0 donde m es la pendiente de la recta. Diferenciando v, obtenemos
Por consiguiente, la pendiente de v en t = 0 es – V0 /τ . Entonces, con m = – V0 /τ ,
y v1(t ) = 0 Como se aseguró en primer lugar. De manera similar, una tangente a la curva en el tiempo t 1 interseca el eje de tiempo en t 1 + τ . Este hecho es muy útil para dibujar la función exponencial.
μα
MACN
De la figura 6.6, podemos ver que una definición alternativa de la constante de tiempo es el tiempo necesario para que la respuesta natural se haga cero, si esta disminuye a un ritmo constante igual al ritmo inicial de decaimiento. Desde luego, no decrece a un ritmo constante, puesto que en todas partes su ritmo de decaimiento es proporcional a su valor, que tiende constantemente a cero. Conocer la constante de tiempo nos permite predecir la forma general de la respuesta, (6.13) o (6.15), pero para completar la solución debemos conocer el valor inicial V 0 o I 0. Con frecuencia, necesitamos interruptores para determinar esto en un circuito. Puesto que las corrientes inductivas y los voltajes capacitivos son continuos, los valores deseados, justo después de la acción del interruptor en 0+, pueden determinarse a partir del estado del circuito justo antes, en t =0-
Ejercicios 6.2.1. En un circuito RC , determínese (a) τ para R = 2 k Ω y C = 10 μF, (b) C para R = 10 k Ω y t = 20 μs, y (c) R para v(t ) en un capacitor 2 μF para que se reduzca a la mitad cada 20 ms.
6.2.2 En un circuito RL de una trayectoria cerrada, se determina que la corriente es de 2 mA en t = 10 ms y 100 μA en t = 46 m. Obténgase la constante de tiempo corriente inicial en el momento t = 0.
μα
τ
MACN
y la
CIRCUITO RL MÁS GENERAL
No es difícil extender los resultados obtenidos para el circuito en serie un circuito que Fig. 4-6 Un circuito sin contiene un número cualquiera de fuentes que contiene resistores y un inductor. Se un inductor y varios resistores se analizan examinan las dos terminales del determinando inductor y se determina la constante de tiempo la resistencia equivalente entre esta τ=L/Req terminales. De esta manera el circuito se reduce al caso sencillo del circuito en serie. Como un ejemplo, considérese el circuito mostrado en la figura 4-6. La resistencia equivalente con la que se conecta el inductor es
Y la constante de tiempo es entonces
La corriente del inductor iL es
Y la ecuación (8) representa lo que podría llamarse la solución básica del problema. Es muy probable que se necesite alguna otra corriente o voltaje aparte de iL tal como la corriente i2 en R2. Siempre pueden aplicarse sin problemas las leyes de Kirchhoff y la ley de Ohm a la parte resistiva del circuito, en este circuito el divisor de corriente de la respuesta más rápida.
También puede suceder que se conozca el valor inicial de alguna otra corriente que no sea la del inductor. Como la corriente en un resistor puede cambiar instantáneamente, se indicara el instante después de cualquier cambio que pueda ocurrir en t=0 mediante el μα
MACN
+
+
símbolo 0 ; en lenguaje matemático, i(0 ) es el límite por la derecha de i1(t) cuando t + tiende a cero. Por lo tanto, si se da el valor inicial de i1 como i1(0 ), entonces es evidente que el valor inicial de i2 es
-
+
De estos valores se obtiene el valor inicial necesario de iL(0)[o iL(0 ) o iL(0 )]:
[ ] Y la expresión para i2 se convierte en
Véase si esta última expresión se puede obtener más directamente. Debido a que la
corriente del inductor decae exponencialmente según , entonces toda la corriente en el circuito debe tener el mismo comportamiento funcional. Esto se ve más claramente al considerar la corriente del inductor como una fuente de corriente que se aplica a un red resistiva. Toda corriente y voltaje en la red resistiva debe tener la misma dependencia del tiempo. Siguiendo estas ideas, se puede expresar a i2 como
Donde
+
Y A debe calcularse una vez que se conoce el valor inicial de i2. Como i1(0 ) se conoce, entonces los voltajes de R1 y R2 también, así
Una secuencia análoga de pasos dará una solución rápida para una gran cantidad de problemas. Primero se reconoce la dependencia del tiempo de la respuesta como un decaimiento exponencial, se calcula la constante tiempo adecuada reduciendo μα
MACN
resistencias, se describe la solución con una amplitud desconocida, y luego se calcula la amplitud a partir de la condición inicial dada. Esta misma técnica también se puede aplicar a un circuito que contenga un resistor y cualquier numero de inductores, así como aquellos circuitos especiales que contengan dos o más inductores y también dos o más resistores que pueden simplificarse combinando resistencias o inductancias hasta que el circuito simplificado tenga solo un inductor o un resistor.
Ejercicio 4-1 Como ejemplo de un circuito de este tipo, determinado las corrientes i1 e i2 en el circuito que se muestra en la figura 4-7.
Fig. 4-7 Después de t=0, este circuito se simplifica a una resistencia equivalente de 110 Ω en serie con Leq = 2.2 mH
μα
MACN
UN CIRCUITO RC MÁS GENERAL Muchos de los circuitos RC para los cuales se quisiera encontrar la respuesta natural contienen más de un solo resistor y un solo capacitor. Justo como se hizo para los circuitos RL, primero se consideran aquellos casos en los que el circuito puede reducirse a un circuito equivalente que consiste solo en un resistor y un capacitor. Supóngase primero que se tiene un circuito con un solo capacitor, pero un número cualquiera de resistores. Se puede sustituir la red resistiva de dos terminales que hay entre los extremos del capacitor por un resistor equivalente, y escribir la expresión para el voltaje.
Ejemplo Encuentre v(0+) e i1(0+) para el circuito mostrado en la figura 4-12a. Fig. 4-12 a) Un circuito que contiene un capacitor y varios resistores. b) Los resistores se han sustituido por
un
solo
resistor
equivalente; la constante de tiempo ahora es obvia
Solución: Primero el circuito de la figura 4-12a, se simplifica al que se muestra en la figura 4-12b, lo que permite escribir
En donde
Todas las corrientes y voltajes en la parte resistiva de la red deben ser de la forma
, donde A es el valor inicial de la corriente o el voltaje. Así, por ejemplo, la corriente en R1 se puede expresar como
μα
MACN
Donde
( ) a partir de alguna condición inicial. Supóngase que se da
Y queda por determinar v(0). Entonces,
La solución se obtiene juntando todos estos resultados Otro caso especial incluye aquellos circuitos que contienen un solo resistor y un número cualquiera de capacitores. El voltaje del resistor se obtiene fácilmente calculando el valor de la capacitancia equivalente y el de la constante de tiempo. De nuevo estos elementos matemáticamente perfectos pueden dar como resultado fenómenos que no se dan en un circuito físico. Así, dos capacitores en serie pueden tener voltejes iguales y opuestos cada uno, y tener un voltaje cero en todo el arreglo. Por tanto la forma general -t / del voltaje en cualquiera de ellos es A1 y A2e τ, mientras que el voltaje para el arreglo en -t/
serie sigue siendo Ae τ. Algunos circuitos que contienen varios resistores y varios capacitores pueden sustituirse por un circuito equivalente que tenga solo un resistor y un capacitor; en ese caso es necesario que el circuito original pueda separarse en dos partes, una de ellas con todos los resistores y la otra con todos los capacitores, de tal manera que esas dos partes estén conectadas solo por dos conductores ideales. En general, eta sustitución no es muy probable.
μα
MACN
CIRCUITOS RLC Introducción a la respuesta natural de un circuito RLC en paralelo
El primer paso en la determinación de la respuesta natural del circuito de la figura 8.1 consiste en deducir la ecuación diferencial que debe satisfacer el voltaje v. Se elige determinar el voltaje primero, ya que es el mismo para cada componente. Después de eso, es posible encontrar el voltaje de rama utilizando la relación de corriente-voltaje para la componente de rama. Obtenemos fácilmente la ecuación diferencial para el voltaje sumando las corrientes que se alejan del nodo superior, donde cada corriente se expresa como una función de voltaje desconocido v: v R
1
t
vdt I L
0
0
C
dv dt
0
(8.1)
Eliminamos la integral del a ecuación (8.1) diferenciando una vez con respecto a t , y, debido que I 0 es una constante, obtenemos 1 dv
v
R dt L
C
d 2 v dt 2
0
(8.2)
Después de esto dividimos la ecuación (8.2) por la capacitancia C y arreglamos las derivadas en orden descendente: d 2 v dt 2
1 dv
v
RC dt LC
0
(8.3)
La comparación de la ecuación (8.3) con las ecuaciones diferenciales que se obtuvieron con anterioridad revela que estas difieren por la presencia de un término que incluye la segunda derivada. La ecuación (8.3) es la ecuación diferencial ordinaria de segundo μα
MACN
orden con coeficientes constantes. Los circuitos en cuestión contienen tanto inductores como capacitores, de modo que la ecuación diferencial que describe estos circuitos es de segundo orden. Por tanto, algunas veces tales circuitos reciben el nombre de circuitos de segundo orden.
La solución general de la ecuación diferencial de segundo orden No es posible resolver la ecuación (8.3) separando las variables e integrando como pudo hacerse en las ecuaciones de primer orden. El método clásico para resolver la ecuación (8.3) consiste en suponer que esta es de forma exponencial, es decir, considerar que el voltaje es de a forma v Ae st
(8.4)
Donde A y s son constantes desconocidas. Antes de mostrar cómo esta suposición conduce a la solución de la ecuación (8.3), necesitamos demostrar que esta es racional. El argumento más sólido que podemos plantear a favor de la ecuación (8.4) es advertir de la ecuación (8.3) que la segunda derivada de la solución, más una constante multiplicada por la primera derivada, más una constante multiplicada por la propia solución, deben sumar cero para todos los valores de t. Esto solo puede ocurrir si las derivadas de orden superior de la solución tienen la misma forma que la solución señalada con anterioridad. La función exponencial satisface este criterio. Un segundo criterio a favor de la ecuación (8.4) corresponde a que la solución de todas las ecuaciones de primer orden que se obtuvieron con anterioridad fueron exponenciales. Parece razonable suponer que la solución de la ecuación segundo orden incluye también la función exponencial. Si la ecuación (8.4) es una solución de la ecuación (8.3), debe satisfacer a esta misma para todos los valores de t . La sustitución de la ecuación (8.4) en la ecuación (8.3) genera la expresión As e 2 st
As RC
e st
Ae st Lc
0,
o bien,
Ae st s 2
μα
1 0 RC LC s
(8.5)
MACN
La cual puede satisfacer para todos los valores de t únicamente si A es cero o el término st en paréntesis es cero, ya que e ≠0 para cualquier valor finito de st . Es posible utilizar A=0 como una solución general debido a que al hacerlo así implica que el voltaje es cero todo el tiempo – una posibilidad física si la energía esta almacenada ya sea en el inductor o en el capacitor. En consecuencia, para que la ecuación (8.4) sea una solución de la ecuación (8.3), el termino (8.5) debe ser igual a cero, o s 2
s
1
RC LC
0
(8.6)
La expresión (8.6) recibe el nombre de la ecuación característica de la ecuación diferencial debido a que las raíces de esta ecuación cuadrática determinan el carácter matemático de v(t ). Las dos raíces de la ecuación (8.6) son 2
1 1 s1 2 RC 2 RC LC 1
2
1 1 s 2 2 RC 2 RC LC 1
(8.7)
(8.8)
Si cualquier raíz se sustituye en la ecuación (8.4), la solución supuesta satisface la ecuación diferencial dada, esto es, la ecuación (8.3). Adviértase de la ecuación (8.5) que este resultado se cumpla independientemente del valor de A. En consecuencia, ambas v A1e s1t v A2 e s2t
Satisface la ecuación (8.3). El denotar estas dos soluciones como v1 y v2, respectivamente, es posible demostrar que su suma es también una solución. Específicamente, si se deja
μα
MACN
v v1 v2 A1e 1 A2 e s t
s2t
(8.9)
entonces
dv
A1 s1e s t A2 s2 e s t 1
dt
d 2 v 2
dt
(8.10)
2
A1 s12 e s t A2 s 22 e s t 1
2
(8.11)
La sustitución de las ecuaciones (8.9) – (8.11) en la ecuación (8.3) produce
A1e s1t s12
1 1 1 s t 2 s1 s2 A2 e 2 s2 0 RC LC RC LC 1
(8.12)
Para cada término entre paréntesis es cero porque por definición s1 y s2 son las raíces de la ecuación característica. De tal modo la respuesta natural del circuito RLC en paralelo que se muestra en la figura 8.1 es de la forma v A1e s1t A2 e s2t
(8.13)
La ecuación (8.13) es una repetición de la suposición que se hizo en la ecuación (8.9). Se ha demostrado que v1 es una solución, que v2 también lo es al igual que v1+v2 es una solución. Por tanto la solución general de (8.3) tiene la forma dada en la ecuación (8.13). Las raíces de la ecuación característica ( s1 y s2) está determinada por los parámetros del circuito R, L y C . Las condiciones iniciales determinan los valores de las constantes A1y A2. Nótese que la forma de la ecuación (8.13) debe modificarse si las dos raíces s1 y s2 son iguales. El comportamiento de v(t ) depende del valor de s1 y s2. En consecuencia, el primer paso en la determinación de la respuesta natural corresponde a determinar las raíces de la ecuación característica. Regresamos a las ecuaciones (8.7) y (8.8) y las reescribimos utilizando una notación utilizada ampliamente:
μα
MACN
s1
s1
2
02
(8.14)
2
02
(8.15)
donde
0
1 2 RC
1 LC
(8.16)
(8.17)
Estos resultados se resumen en la tabla 8.1. TABLA 8.1 Parámetros de la respuesta natural de circuito RLC en paralelo PARAMETRO
₁ ₂
s , s
TERMINOLOGIA
VALOR EN LA RESPUESTA NATURAL
Raíces características
Frecuencia de Neper Frecuencia resonante en radianes
El exponente e debe ser adimensional, de modo que tanto s1 como s2 (y en consecuencia α y ω0) deben tener la dimensión del reciproco del tiempo, o frecuencia. Para distinguir entre las frecuencias s1, s2, α y ω0, se utiliza la siguiente terminología, s1 y s2 se conocen como las frecuencias complejas, α se denomina la frecuencia Neper , y ω0 es la frecuencia de resonancia en radianes. Todas estas frecuencias tienen las dimensiones de frecuencia angular por tiempo. En el caso de frecuencias complejas, la frecuencia neperiana y la frecuencia resonante en radianes, se especifican valores utilizando la unidad radianes por segundo (rad/s). La naturaleza de las raíces s1 y s2 dependen de los 2 2 valores de α y ω0. Existen tres posibles resultados. Primero, si ω0 ˂α , ambas serán raíces reales y distintas, la respuesta de voltaje se dice que será sobreamortiguada en 2 2 este caso. Segundo, si ω0 ˃α , tanto s1 como s2 serán complejas y, además, serán μα
MACN
conjugada entre sí. En esta situación se afirma que la respuesta del voltaje esta 2 2 subamortiguada . El tercer resultado posible corresponde a que ω0 =α . En este caso s1 y s2 serán reales e iguales. Aquí se dice que la respuesta del voltaje estará cr íti camente amortiguada . El amortiguamiento afecta la forma en la que la respuesta de voltaje alcanza su valor final (o estado permanente). En el ejemplo siguiente se ilustra como los valores numéricos de s1 y s2 están determinados por los valores de R, L y C .
μα
MACN
EJEMPLO
a) Determine las raíces de la ecuación característica que gobierna el comportamiento transitorio del voltaje que se muestra en la figura 8.5 si R= 200Ω, L = 50 mH y C = 0.2 μF. b) ¿La respuesta será sobreamortiguada, subamortiguada o críticamente amortiguada? c) Repite (a) y (b) para R = 312.5 Ω. d) ¿Qué valor de R ocasiona que la respuesta sea críticamente amortiguada? SOLUCION a) Para los valores dados de R, L y C ,
2 0
1 2 RC
1 LC
10 6 (400)(0.2) (103 )(10 6 ) (50)(0.2)
1.25 10 4 rad / s
108 rad 2 / s 2
De acuerdo con las ecuaciones (8.14) y (8.15), s1 1.25 10 4 1.5625 108 108
12,500 7,500 5,000rad / s s 2 1.25 10 4 1.5625 108 108
12,500 7,500 20,000rad / s
μα
MACN
2
2
b) La respuesta de voltaje esta sobreamortiguada debido a que ω0 ˂α . c) Para R = 312.5 Ω,
2
1 2 RC
10 6 (625)(0.2)
8,000rad / s
64 10 6 0.64 108 rad 2 / s 2
Cuando
ω0
2
8
2
2
permanece en 10 rad /s ,
s1 8000 j 6000 rad / s, s2 8000 j 6000 rad / s.
√
(En la ingeniería eléctrica, el número imaginario se representa por medio de la letra j, debido a que la letra i representa la corriente). En este caso, la respuesta de voltaje esta 2 2 subamortiguada ya que ω0 ˃α . 2
2
d) Para amortiguamiento crítico, α = ω0 , por lo que 2
1 1 108 , 2 RC LC o bien, 1 2 RC
10 4 ,
y
R
10 6 ( 2 10 4 )(0.2)
μα
250 .
MACN
