“Algoritmos Algoritmos especiales especiales en la programación en línea” Unidad 3 Modelos de Optimización de Recursos Catedrático. Arq. Marín Priego Luis Alfonso Integrantes Couo! Pool "a#l Costa Castillo Osman $uillermo %zul &aeza 'os( $regorio )* Aldana Marco )miliano $am+oa Angelito Lizzet!
Ingeniería Ci,il -A
3.1. El problema de transporte: planteamiento del problema, determinación de la Solución Básica Factible Inicial, el criterio de optimalidad y el algoritmo de mejoramiento de la solución !uta de los signos" #$u% signi&ica problema de transporte' Supongamos (ue un &abricante tiene tres plantas (ue producen el mismo producto. Estas plantas a su )e* mandan el producto a dos depósitos. +ada planta puede mandar productos a todos los depósitos, pero el costo de transporte )ara con las di&erentes combinaciones. El problema es determinar la cantidad (ue cada planta debe mandar a cada depósito con el &in de minimi*ar el costo total de transporte. -a manera más &ácil de reconocer un problema de transporte es por su naturale*a o estructura de/0acia: de un origen 0acia un destino, de una &uente 0acia un usuario, del presente 0acia el &uturo, de a(u 0acia allá, una relación de uno a otro .2l en&rentar este tipo de problemas, la intuición dice (ue debe 0aber una manera de obtener una solución. Se conocen las &uentes y los destinos, las capacidades y demandas y los costos de cada trayectoria. ebe 0aber una combinación óptima (ue minimice el costo o ma4imice la ganancia". -a di&icultad está en el gran n5mero de combinaciones posibles, debido a eso el problema del transporte recurre a buscar soluciones con la computara y so&t6are especiali*ado. El responsable de gestión del trasporte debe determinar una poltica óptima: cómo 0acer llegar los productos de sus di)ersos depósitos, plantas de producción o bodegas a sus consumidores o clientes, con el objeto de satis&acer la demanda a un costo mnimo de transporte o de en)o. 7lanteamiento del problema El problema del transporte en general se especi&ica mediante la siguiente in&ormación: 1. 8n conjunto de m puntos de o&erta desde los cuales se en)an utilidades o bienes. 9. 8na lista de capacidades de suministro má4imo de cada sitio de o&erta si para i 1, 9,. . ., m. 3. 8n conjunto de n puntos de demanda 0acia los cuales se en)a una utilidad o bien. ;. 8na lista de demandas de utilidades o bienes dj de cada punto de demanda j las cuales deben satis&acerse mnimamente. <. 8na matri* de )alores (ue indica el costo &ijo en el (ue se incurre al en)iar una unidad producida en el punto de o&erta i y en)iada al punto de demanda j, cij . Sea: = i j 8nidades en)iadas del origen i i 1,9,...m", al destino j j 1,9,...,n" + i j +osto unitario desde el nodo origen i 0asta el nodo destino j. >&erta del origen i, i 1, 9,...,m"? b j emanda del destino j j 1, 9,...,n"
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El modelo de programación lineal a(u mostrado se presenta para un problema balanceado con las restricciones de o&erta y demanda en igualdad. 7ara el caso de un problema no balanceado o&erta y demanda en desigualdad" es necesario el E(uilibrio: b j? además, debe cumplirse (ue toda = i j @ A
eterminación de la Solución Básica Factible -a utili*ación del m%todo SI7-E= no resulta e&iciente para resol)er el 7roblema de Cransporte, por lo cual se utili*an otros m%todos como: a" %todo de la Es(uina Dor/>este D/>" b" %todo de la atri* de +osto nimo c" %todo de ógel %todo de la es(uina noroeste +aractersticas Sencillo y &ácil de 0acer Do tiene en cuenta los costos para 0acer las asignaciones eneralmente nos deja lejos del óptimo
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2lgoritmo 1. +onstruya una tabla de o&ertas disponibilidades" y demandas re(uerimientos". 9. Empiece por la es(uina noroeste. 3. 2signe lo má4imo posible -o menor entre la o&erta y la demanda, respecti)amente" ;. 2ctualice la o&erta y la demanda y rellene con ceros el resto de casillas Filas ó +olumnas" en donde la o&erta ó la demanda 0alla (uedado satis&ec0a. <. u%)ase a la derec0a o 0acia abajo, seg5n 0alla (uedado disponibilidad para asignar. G. !epita los pasos del 3 al < sucesi)amente 0asta llegar a la es(uina in&erior derec0a en la (ue se elimina &ila y columna al mismo tiempo. Dota: Do elimine &ila y columna al mismo tiempo, a no ser (ue sea la 5ltima casilla. El romper %sta regla ocasionará una solución en donde el n5mero de )ariables básicas es menor a mHn/1, produciendo una solución básica &actible degenerada. 7roblema de ejemplo 8na compaa tiene 3 &ábricas ubicadas en 2, B y +, las cuales pro)een a los almacenes (ue están ubicados en , E, F y . -a capacidad de producción de las &ábricas es de JA, KA y 11< unidades mensuales respecti)amente, mientras (ue las capacidades de los almacenes son de
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7or consiguiente la solución es:
%todo del costo mnimo +aractersticas: Es más elaborado (ue el m%todo de la es(uina noroeste Ciene en cuenta los costos para 0acer las asignaciones eneralmente nos deja alejados del óptimo
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2lgoritmo: 1. +onstruya una tabla de disponibilidades, re(uerimientos y costos 9. Empiece en la casilla (ue tenga el menor costo de toda la tabla, si 0ay empate, escoja arbitrariamente +ual(uiera de los empatados". 3. 2signe lo má4imo posible entre la disponibilidad y el re(uerimiento El menor de los dos". ;. !ellene con ceros A" la &ila o columna satis&ec0a y actualice la disponibilidad y el re(uerimiento, restándoles lo asignado. Dota: !ecuerde (ue no debe eliminar ó satis&acer &ila y columna al mismo tiempo, caso en (ue la o&erta sea igual a la demanda, en tal caso recuerde usar la L Mpsilon". <. u%)ase a la casilla con el costo mnimo de la tabla resultante Sin tener en cuenta la &ila o columna satis&ec0a". G. !egrese a los puntos 3, ;,< sucesi)amente, 0asta (ue todas las casillas (ueden 2signadas. %todo de ogel +aractersticas Es más elaborado (ue los anteriores, más t%cnico y dispendioso. Ciene en cuenta los costos, las o&ertas y las demandas para 0acer las asignaciones. eneralmente nos deja cerca al óptimo. 2lgoritmo 1. +onstruir una tabla de disponibilidades o&ertas", re(uerimientos demanda" y costos. 9. +alcular la di&erencia entre el costo más pe(ueo y el segundo costo más pe(ueo, para cada &ila y para cada columna. 3. Escoger entre las &ilas y columnas, la (ue tenga la mayor di&erencia en caso de empate, decida arbitrariamente". ;. 2signe lo má4imo posible en la casilla con menor costo en la &ila o columna escogida en el punto 3. <. asigne cero A" a las otras casillas de la &ila o columna donde la disponibilidad ó el re(uerimiento (uede satis&ec0o. G. !epita los pasos del 9 al <, sin tener en cuenta las" &ilas" yNo columnas" satis&ec0as, 0asta (ue todas las casillas (ueden asignadas.
Dota: !ecuerde (ue no debe satis&acer &ilas y columnas al mismo tiempo? caso en(ue la disponibilidad sea igual al re(uerimiento? en tal caso use el L epsilon".
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3.9. El problema de asignación: planteamiento del problema, 2lgoritmo para determinar la asignación óptima. uc0as de las situaciones en la )ida e4igen una de dos respuestas posibles: si o no. 2s uc0as de las situaciones en la )ida e4igen una de dos respuestas posibles: si o no. 2s es (ue podemos representar %stas posibilidades con los )alores A no" y 1 si", y apro)ec0ar las matemáticas para (ue nos den una mano ante decisiones di&ciles? a esto es lo (ue solemos llamar /por ob)ias ra*ones 7rogramación Binaria. 8na de las muc0simas aplicaciones de la 7rogramación Binaria, es el problema de la 2signación. Este m%todo anali*a el problema de asignar un cierto n5mero de recursos a un determinado n5mero de tareas, con base en alg5n tipo de )aloración para cada recurso. +ada recurso, podrá ser asignado a una sola tarea. El 72 consiste en asignar recursos a tareas en &unción de un objeti)o ligado a la e&iciencia del sistema. 8n ejemplo tpico es el de asignación de personas a turnos 0orarios, o el de asignar personas a má(uinas. El es(uema tabular del 72 es:
7lanteamiento del problema inimi*ar el costo total de operación de modo (ue: • •
+ada tarea se asigne a una y sólo una má(uina +ada má(uina realice una y sólo una tarea
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2lgoritmo para determinar la asignación optima -a utili*ación del m%todo SI7-E= o los m%todos del 7roblema de Cransporte, no resultan e&icientes para resol)er el 7roblema de 2signación, por lo cual se utili*a otro m%todo denominado EC>> OPD2!>. El %todo O5ngaro se desarrolló por Qu0n, basado en un trabajo de Eger)áry y Qonig. Fue Qu0n (uien lo denominó: %todo O5ngaro. +aracterstica del %todo O5ngaro El m%todo a estudiar tiene la siguiente caracterstica: a" Se garanti*a la solución óptima. b" El procedimiento re(uiere (ue la matri* de costos sea no negati)a. c" -a solución óptima se obtiene en una matri* de costos e(ui)alente cuyo )alor óptimo es cero A". d" El problema planteado debe estar balanceado:
e" -a solución óptima no )ara si a la matri* original se le incrementa un )alor R a cada celda. 7ero el )alor se incrementa en nR. &" -a solución óptima no )ara si a la matri* original se le incrementa un )alor R a una &ila o columna. 7ero el )alor se incrementa en R. 7roceso del %todo O5ngaro 1" !educción por &ilas eterminar el mnimo )alor de cada &ila y restarlo a todas las celdas de su correspondiente &ila. Esto garanti*a un cero en cada &ila. 9" !educción por columnas
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eterminar el mnimo )alor de cada columna y restarlo a todas las celdas de su correspondiente columna. Esto garanti*a un cero en cada columna. 3" +ubrimiento de ceros +on el mnimo n5mero de rectas cubrir los ceros de la matri* reducida. Empe*ar por la &ila o columna (ue tenga el mayor n5mero de ceros. Si el n5mero de rectas resulta igual a n n5mero de tareas o e(uipos" se 0a llegado a la solución óptima 7asar al paso < de lo contrario pasar al óptima. <, paso ;. ;" !educción posterior -ocali*ar la celda no cubierta de menor costo. !estar el )alor determinado a las celdas no cubiertas. Sumar el )alor determinado a las celdas (ue se encuentren en la intersección de las rectas. !egresar al paso 3. <" -ocali*ación de la solución eterminar las &ilas (ue tengan un 5nico )alor cero y asignarlos, eliminar las columnas correspondientes. eterminar las columnas (ue tengan un 5nico )alor cero y asignarlos, eliminar las &ilas correspondientes. !epetir este procedimiento tantas )eces sea necesario. En caso de celdas con empates seleccionar arbitrariamente. -a asignación locali*ada de )alor cero, implantarla en la matri* de costos original y determinar el )alor de . 7roblema ejemplo E4isten < operarios 2, B, +, y +" (ue tienen (ue llenar < cargos I, II, III, I y ". -a matri* de costos (ue caracteri*a el problema de asignación es la siguiente:
eterminar la asignación óptima 1/ Se calcula +Tij +ij U elemento más pe(ueo de cada columna 9/
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9. Se calcula +Vij +Tij U elemento mas pe(ueo de cada &ila
3. 7rocederemos a encontrar el n5mero mnimo de recta r (ue cubren todos los ceros de la matri* +V
emos (ue r ; (ue es di&erente de m<, por consiguiente no se 0a llegado al óptimo ;. En este caso 7 1 elemento mnimo no cubierto por las rectas". Se resta 7 a todos los elementos no cubiertos por las rectas/ Se suma 7 a todos los elementos en las intersecciones entre 9 rectas y se )uel)e al paso 3. -a matri* +V se trans&orma en
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Se obser)a (ue r < m <, por consiguiente se 0a llegado al óptimo G. eterminamos la asignación óptima
Oay dos soluciones óptimas: 2 es asignado a I B es asignado a II + es asignado a I es asignado a E es asignado a II > bien: 2 es asignado a B es asignado a II + es asignado a I es asignado a I E es asignado a III El costo total del programa en ambos casos es W 1X
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3.3 E- 8S> E S>FCY2!E So&t6are Yin$sb El Yin$sb maneja el problema del transporte en su módulo de odelos de !edes, el cual en su inicio nos muestra la siguiente )entana, (ue se debe diligenciar as:
Fjese (ue %ste módulo tambi%n resuel)e otros modelos de redes, (ue se especi&ican en la parte i*(uierda de la )entana. -os datos se pueden ingresar de dos &ormas: En una matri* ó tablero de doble entrada ó de &orma grá&ica. 2 continuación se ilustra el ingreso de datos en la tabla de doble entrada. El modo de edición del men5 principal permite cambiar los rótulos de las &uentes y los destinos. Do es necesario (ue la o&erta sea igual a la demanda, el so&t6are se encarga de agregar &uentes ó destinos de 0olgura, seg5n sea la necesidad. 7ara solucionar el problema, se da clic sobre el icono (ue aparece en la parte superior y (ue se seala en la &igura siguiente:
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El Yin$sb le o&recerá entonces una )entana con la respuesta óptima del problema, indicando cuántas unidades en)iar desde cada una de las ciudades de origen a cada una de las ciudades de destino, con su costo por en)o y el costo total de la operación.
So&t6are ID>7 Este so&t6are maneja las siguientes aplicaciones: 2signaciones, Cransporte, istancias en redes !uta más corta, Zrbol de mnimo recorrido, 2gente )iajero", Flujo de redes. El in)op está en Espaol y su metodologa dirigido a la ensean*a, o&reciendo al usuario tanto la parte teórica de &undamento matemático como la parte práctica de solución de problemas con sus respecti)os ejemplos.
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2l escoger la opción de transporte, el ID>7 nos o&rece una )entana en donde captura los datos del problema y en un recuadro situado en la parte in&erior derec0a, donde nos o&rece la solución óptima. +olocando el cursor sobre algunos sitios de inter%s de %sta )entana, se o&rece un rótulo en &ondo amarillo con la respecti)a instrucción de ayuda. En la parte in&erior i*(uierda de la )entana se especi&ica el criterio de optimi*ación y la cantidad de &uentes y destinos, en la parte superior derec0a se introducen los costos por unidad a transportar y 0abilitando el cuadro de control, se editan los encabe*ados de &ila y columna, al igual (ue las o&ertas y las demandas de &uentes y destinos. +uando la in&ormación del problema está introducida, se procede a solucionar el problema, 0aciendo clic sobre el icono del men5 superior, (ue tiene la &igura de una calculadora,
Se recomienda al 8suario del So&t6are leer la ayuda Oelp", en la (ue se e4plica toda la parte conceptual y matemática del algoritmo del transporte al igual (ue se ilustran )arios ejemplos de muy buena calidad. !ES>-8+I[D E 8D 7!>B-E2 E 2SID2+I[D EI2DCE YID$SB / DECY>!Q >E-ID -a &acilidad de resol)er un problema de asignación mediante Yin$SB es a5n mayor a la (ue se incurre mediante programación lineal, y esta metodologa
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justi&ica el pensar en (ue el m%todo 05ngaro es sumamente anacrónico 5nicamente contemplado para &ines 0istóricos y acad%micos. En el módulo DECY>!Q >E-ID del pa(uete de 0erramientas Yin$SB se puede resol)er el modelo tan solo traspasando los costos de una matri* nVm a otra (ue brinda el módulo nVm. ID!ES2D> ->S 2C>S 2 YID$SB / DECY>!Q >E-ID
!ES8-C2>S >BCEDI>S EI2DCE YID$SB / DECY>!Q >E-ID
7or ende la asignación (ue representa el menor costo para la jornada de mantenimiento pre)enti)o determina (ue el E(uipo 1 realice el mantenimiento de la á(uina 1, el E(uipo 9 realice el mantenimiento de la á(uina 3 y el E(uipo 3 realice el mantenimiento de la á(uina 9, jornada (ue tendrá un costo total de 1J unidades monetarias. e esta manera se 0ace e)idente cual es la alternati)a predilecta para resol)er problemas de asignación.
