GENERACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS 3.1 Introducción Las variables aleatorias son aquellas que tiene un comportamiento probabilístico en la realidad. Por ejemplo, el número de clientes que llegan cada hora a un banco depende del momento del día, del día de la semana y de otros factores. En muchos experimentos a los resultados del experimento se pueden asignar valores numricos. numricos. Por ejemplo, si tira un dado, cada resultado resultado tiene un valor de ! a ". #i al determinar la puntuaci$n en las pruebas de mitad de período de un estudian estudiante te en su clase, clase, el resulta resultado do es nuevamen nuevamente te un número. número. %na variable variable aleatoria es una regla que asigna un número a cada resultado de un experimento. Estos números se denominan los valores de la variable aleatoria. & menudo se usan letras como ', ( y ) para denotar una variable aleatoria.
Variabl! Variabl! alatoria!" di!crta! # continua! %na variable aleatoria discreta puede tomar valores numricos específicos, como el resultado de lan*ar un dado, o la cantidad de d$lares en una cuenta bancaria elegida al a*ar. Las variables aleatorias discretas s$lo pueden tomar un número finito de muchos valores y se les llama variables aleatorias finitas. Las variables aleatorias discretas que puede tomar un número ilimitado de valores +como el número
de
estrellas
que
se
calcula
que
el
universo
son
variables
aleatorias discretas infinitas. %na variable aleatoria continua, por otra parte, puede tomar cualquier valor dentro de un rango continuo o en un intervalo, como la temperatura en el Parque -entral, o la altura de un atleta en centímetros. En todo modelo de simulaci$n existen varias variables aleatorias interactuando. Para simular este tipo de variables es necesario contar con un generador de núme número ros s pseu pseudo doal alea eato tori rios os %+, %+,! ! y una una func funci$ i$n n que que medi median ante te un mto mtodo do
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específico transforme estos números en valores de variables aleatorias de la distribuci$n de probabilidad deseada.
$%todo! &ara 'nrar (ariabl! alatoria!. Existen varios mtodos que nos permiten generar variables aleatorias. Lo normal es que existan varias opciones para generar una misma variable aleatoria. La elecci$n del mtodo adecuado se puede basar en una serie de factores como/
Exactitud, se prefiere un mtodo exacto frente a mtodos aproximados,
como soluciones numricas. 0elocidad. %no de los datos que se toma en consideraci$n es el tiempo de
generaci$n de la variable. Espacio. 1ecesidades de memoria del mtodo utili*ado. En general, los
mtodos no consumen mucha memoria. #implicidad.
La mayoría de las tcnicas utili*adas para la generaci$n se pueden agrupar en/
2todo de la transformada inversa 2todo de aceptaci$n3recha*o 2todo de composici$n 2todo de convoluci$n
3.) Gnración d (ariabl! alatoria! di!crta! # continua! utili*ando &a+ut! co,&utacional! co,o E-cl /ro,odl.
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La generaci$n de cualquier variable aleatoria se va a basar en la generaci$n previa de una distribuci$n uniforme +,!. ( las transformaciones de dichos números generados en valores de otras distribuciones. Los mtodos m4s empleados para la generaci$n de variables aleatorias son/ 5
$%todo d la tran!0or,ada in(r!a / -onsiste en emplear la distribuci$n acumulada 6+x de la distribuci$n de probabilidad a simular por medio de integraci$n7 como el rango de 6+x se encuentra en el intervalo de cero + a uno +!, se debe generar un número aleatorio ri para luego determinar el valor de la variable aleatoria cuya distribuci$n acumulada es igual a ri. El problema de este mtodo radica en el hecho que algunas veces se dificulta
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demasiado la consecuci$n de la transformada inversa. $%todo d con(olución/ Permite generar una distribuci$n a partir de la
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suma de distribuciones m4s elementales o mediante la transformada *. $%todo d ac&tación # rca*o/ -uando f+x es una funci$n acotada y x tiene un rango finito, como a x b, se utili*a este mtodo para encontrar los valores de las variables aleatorias. El mtodo consiste en normali*ar el rango de f mediante un factor de escala c, luego definir a x como una funci$n lineal de r, despus se generan parejas de números aleatorios r!, r8 y por último si el número encontrado se elige al a*ar dentro del rango +a,b y r b, se utili*a este mtodo para encontrar los valores de las variables aleatorias. El mtodo consiste en normali*ar el rango de f mediante un factor de escala c, luego definir a x como una funci$n lineal de r, despus se generan parejas de números aleatorios r!, r8 y por último si el número encontrado se elige al a*ar dentro del rango +a, b y r c f+x se acepta, en caso contrario se recha*a. El problema de este mtodo es la cantidad de
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intentos que se reali*an antes de encontrar una pareja exitosa. $%todo d co,&o!ición" -on este mtodo la distribuci$n de probabilidad f+x se expresa como una me*cla o composici$n de varias distribuciones de
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probabilidad fi+x seleccionadas adecuadamente. /rocdi,into! !&cial!" Existen algunas distribuciones estadísticas de probabilidad en las cuales es posible emplear sus propiedades para obtener expresiones matem4ticas para la generaci$n de variables
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aleatorias en forma eficiente. En varios casos se aplica el 9eorema -entral del Límite y en otros se utili*a el mtodo directo para encontrar las variables aleatorias. &l introducir la formula : &LE&9;<=; + en una celda, se obtiene un número que es igualmente probable que asumir cualquier valor entre y !, es decir una variable aleatoria '
∼ %
+, !. &sí, alrededor del 8> por ciento de las veces, se
debe obtener un número igual o inferior a ,8>7 alrededor del 8> por ciento de las veces se debe obtener un número entre ,8> a ,>7 y así sucesivamente, tal como se observa en la hoja ?#imula!? .
&signaremos un nombre para la columna de números aleatorios. Para esto seleccionamos las celdas -!/-!@ y le asignamos el nombre ?Aatos?, escribiendo este nombre en la celda superior i*quierda. Luego calcularemos el porcentaje estimado para cada intervalo y el promedio estimado.
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Si,ulación d una (ariabl alatoria d di!tribución di!crta #upongamos ahora que la demanda diaria de tarjetas de felicitaci$n +según el tamaBo del lote/ ! unidades, 8, etc. se rige por la siguiente variable aleatoria discreta. 0ase la hoja ?#imula8?/
&l igual que en la anterior hoja, introducimos la formula : &LE&9;<=; + en las celdas para generar las probabilidades acumuladas 6'+x : P C' D x : u, donde u ∼ %
+, ! y la inversa de esta probabilidad, x : 6 F! ' +u. 2ediante estas
f$rmulas calculamos la probabilidad acumulada estimada. Las celdas 6!"/G!@ tendr4 como nombre ?9abla?, las celdas A!/A!@ tendr4 como nombre ?datos8?, tal como se muestra en la siguiente figura/
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Biblio'ra02a!
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https/HHcursos.aiu.eduH#imulacionI8de I8EventosHPA6H9emaI8J.pdf
2anualK&signatura3#imulacionKb #imulaci$n ( &n4lisis Ae 2odelos Estoc4sticos
&*arang 2., Garcia E. 2c. Gra Mill. 2xico
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