Comunicación de datos Unidad 3. Transformada de Laplace
Ingeniería en Telemática
5° cuatrimestre
Programa de la asignatura: Comunicación de datos
Unidad 3 . Transformada de Laplace
Clave 220920419 / 210920419
Universidad Abierta y a Distancia de México
Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Ingeniería en Telemática
Comunicación de datos Unidad 3. Transformada de Laplace Índice Unidad 3.Transformada de Laplace .............................................................................................. 2 Presentación de la unidad ........................................................................................................... 2 Propósito ........................................................................................................................................ 3 Competencia específica .............................................................................................................. 3 3.1. La representación de los sistemas lineales e invariantes de tiempo discreto (SDLI) mediante la transformada de Laplace ....................................................................................... 3 3.1.1. Forma general de la ecuación diferencial lineal ....................................................... 4 Actividad 1. Ecuación Ecuación diferencial diferencial ............................................................................................... 5 ................ . 5 3.1.2. La transformada de Laplace: propiedades y transformadas comunes .................
Actividad 2. Laplace y Fourier .................................................................................................. 12 ................ ................... .. 13 3.1.3. Función de transferencia de sistemas de tiempo continúo .................................
Actividad 3. Representación Representación de SLTI ...................................................................................... 13 3.2. La representación de los sistemas lineales e invariantes de tiempo discreto (SDLI) mediante la transformada Z ...................................................................................................... 14 3.2.1. La transformada Z: propiedades y transformadas comunes ................................ 14 3.2.2. Función de transferencia de sistemas de tiempo discreto .................................... 19 Actividad 4.Propied 4.Propiedades ades y transformada transformadas s de Z ..................................................................... 19 Autoevaluación Autoeva luación ........................................................................................................................... 20 Evidencia de aprendizaje. Aplicación de transformada de Laplace ................................... 20 Autorreflexión Autorreflex ión .............................................................................................................................. 21 Para saber más ........................................................................................................................... 21 Cierre de la Unidad .................................................................................................................... 21 Fuentes Consultadas ................................................................................................................. 22
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Comunicación de datos Unidad 3. Transformada de Laplace Unidad 3.Transformada de Laplace Presentación de la unidad En esta unidad se pretende que utilices la transformada de Laplace como otro método para la solución de ecuaciones diferenciales lineales. La transformada de Laplace se aplica con frecuencia en sistemas eléctricos, térmicos, hidráulicos, mecánicos solo por mencionar algunos. Parte fundamental de utilizar la transformada de Laplace es para simplificar la solución de la ecuación diferencial lineal.
Pierre Simón Laplace.- Creador de la transformada de Laplace
A manera de apoyo apoyo se presenta presenta un apéndice apéndice sobre sobre las ecuaciones ecuaciones diferenciales diferenciales que podrás consultar en el material de apoyo para complementar tu proceso de aprendizaje.
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Comunicación de datos Unidad 3. Transformada de Laplace Propósito Mediante el estudio de esta unidad lograrás:
Resolver ejercicios ejercici os de ecuaciones diferenciales. Opera los sistemas lineales más comunes de Laplace. Opera los sistemas lineales más comunes de sistema de tiempo continuo. Representa los sistemas lineales en un tiempo discreto. Resolver ejercicios ejercici os de la transformada de Z.
Competencia específica
Resolver problemas de sistemas electrónicos para dar respuesta a las señales dentro de determinado tiempo a través de ecuaciones diferenciales y las transformadas de Laplace, Fourier y Z.
3.1. La representación de los sistemas lineales e invariantes de tiempo discreto (SDLI) mediante la transformada de Laplace Cuando trabajamos con sistemas lineales invariantes en tiempo discreto, usamos la transformada de Laplace para analizarlos, este método se puede usar tanto con sistemas continuos con sistemas discretos. Ya sabemos que podemos representar estos sistemas con ecuaciones diferenciales, recuerda que su propiedad más importante es el principio
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Comunicación de datos Unidad 3. Transformada de Laplace de superposición que enuncia que la salida del sistema será proporcional a la entrada o entradas del sistema.
3.1.1. Forma general de la ecuación diferencial lineal Una ecuación diferencial lineal puede tener diferentes soluciones posibles y tiene la forma general:
Aunque también la podemos encontrar encontrar en la siguiente siguiente notación: notación:
Si la ecuación esta igualada a cero es homogénea y si es diferente a cero es completa.
Ejemplo 1: Resolvamos una ecuación diferencial lineal homogénea.
(
Lo primero que debemos hacer es pasar la ecuación a la forma general
Ya que tenemos la ecuación de forma general, vamos a resolver usando la formula que se utiliza siempre que se va a resolver una ecuación diferencial lineal.
∫ ∫ Aplicando la formula resolvam os la primer parte.
∫ ∫ ∫∫ Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Ingeniería en Telemática
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∫
Ya que resolvimos esta parte de la ecuación
vamos a resolver lo demás.
*Consulta el cuadernillo de ejercicios perteneciente a la tercera unidad.
Actividad 1. Ecuación diferencial ¡Esta es la primer actividad de la unidad 3 de la asignatura, como en otras ocasiones al iniciar las actividades te damos la bienvenida! En esta actividad obtendrás la ecuación diferencial, que te solicitará solicitar á tu Facilitador(a) con base al planteamiento expuesto. Para esta actividad podrás apoyarte de los diferentes paquetes de software sugeridos como lo es octave. octave.
1. Lee y realiza los cálculos correspondientes. 2. Crea un archivo con el software de tu preferencia. 3. Identifica cada respuesta con un número consecutivo, para conservar un orden. 4. Anexa la gráfica o captura de la pantalla del gráfico, no olvides indicar el número que corresponda a cada respuesta para relacionarlos con más facilidad. 5. Guarda tu archivo con la nomenclatura COD_U3_A1_XXYZ.
3.1.2. La transformada de Laplace: propiedades y transformadas comunes La transformada de Laplace es una herramienta muy utilizada en el análisis de sistemas lineales, facilita la solución de ecuaciones diferenciales porque transforma la ecuación diferencial a ecuaciones algebraicas más sencillas de utilizar.
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Comunicación de datos Unidad 3. Transformada de Laplace La transformada de Laplace se define mediante la siguiente ecuación:
* ++
Donde
* +
Propiedades de la transformada de Laplace
Linealidad
Esta propiedad es de utilidad para resolver ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.
Demostración:
*+ * * * ++
Como anteriormente se menciono cuando usamos la L estamos haciendo referencia a la transformada de Laplace, por lo que sustituimos teniendo la siguiente ecuación.
* ( ) * *
* *
Ejemplo 2:
* *+ * + **+ **+ * *+ **+* +*+ * *+ Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Ingeniería en Telemática
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Por lo tanto:
* +
Transformada de la derivada
*+
Demostración: Integrando por partes
Ejemplo 3:
* + Donde: y(0)=3 y y’(0)=-1 y’(0)=-1
* * + *+ * *+ Aplicando Aplicando la propiedad propiedad de linealidad linealidad
* + *+ *+ *+ **+ **+ Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Ingeniería en Telemática
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Comunicación de datos Unidad 3. Transformada de Laplace De donde:
* - **+ **+ *+ **+ * *+ *- **+ **- *+ * + *+
Por lo tanto
Transformada de la integral
*+ * * + Demostración:
* * Ejemplo 4:
*
Sabemos que:
* X
Aplicando Aplicando la propiedad propiedad de transformada transformada de integral integral tenemos: tenemos:
Desarrollando la integral
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,
Por lo tanto:
Si
{ }
Transformada de la convolución
representan la convolucion entre las funciones
entonces
* + * +*+
Ejemplo 5: Dada la siguiente ecuación:
Donde:
* +
Aplicando Aplicando la transformada transformada de convolucion convolucion
Como
Y
* * +* + * + * ++ *+
*++ * ++
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Transformadas comunes En la tabla que se muestra a continuación se enlistan las transformadas de Laplace más comunes.
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Transformada de Fourier Para Fourier enunciaba que una función puede ser representada por la suma de funciones sinusoidales ya que puede variar su amplitud o fase mas no su frecuencia, dependiendo del tipo de función a utilizar será el método a emplear. La transformada de Fourier se aplica a señales periódicas, ya que las señales aperiódicas se resuelven con las series de Fourier. Si tenemos una señal x(t) se define la transformada de Fourier como:
Para poder resolverla debe cumplir lo siguiente: 1. Ser integrable
2. Tener u numero finito de discontinuidades en cualquier intervalo finito
Ejemplo 6: Encontrar la transformada de Fourier de la siguiente función
{
,-
Solución
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, -
Actividad 2. Laplace y Fourier En esta actividad aplicaras la transformada de Laplace y Fourier para resolver problemas de aplicación referentes a sistemas lineales invariantes en el tiempo continuo. De acuerdo al problema que te hará llegar tu Facilitador(a). 1. Lee y responde en un archivo con el software sugerido que te ayude a resolver lo que se pide. 2. Guarda tu archivo con la nomenclatura COD_U3_A2_XXYZ. 3. Envía tu archivo con tu propuesta de resolución para su revisión, de ser necesario realiza la correspondiente retroalimentación.
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Comunicación de datos Unidad 3. Transformada de Laplace 3.1.3. Función de transferencia de sistemas de tiempo continúo Esta función se puede definir como la relación entre las transformadas de Laplace tanto de la entrada de un sistema como de la salida suponiendo condiciones iniciales nulas. Nos va a mostrar cómo cambia la salida de un proceso ante un cambio en la entrada.
Ejemplo 7: Si tenemos un sistema
Aplicando la transformada en ambos m iembros
De tal modo que ahora en lugar de manejar una ecuación diferencial tendremos una función de transferencia. En esta función de transferencia a las raíces de la ecuación se les llama polos del sistema que anulan los valores del denominador y a las raíces del numerador se les llama zeros del zeros del sistema y hacen que el numerador se convierta en cero. G(s) determina el orden de la ecuación. Si un sistema tiene varias entradas o salidas existe una matriz de transferencia que relaciona cada salida Y(s) con cada entrada U(s). A esta función función de transferencia transferencia también también se le conoce conoce como como una descripción descripción externa externa del sistema ya que nos da la relación entre la salida y la entrada sin darle importancia a las condiciones iniciales del sistema.
Actividad 3. Representación de SLTI En esta actividad resolverás ejercicios ejercici os en los que se da una Entrada y Salida para que el obtengas el diagrama para representar el SLTI. 1. Crea un archivo. 1. Lee y responde al planteamiento propuesto. 2. Grafica y concluye por cada respuesta si el sistema es invariante en el tiempo (SLTI), mediante una comparación de ecuaciones. Ten en cuenta las observaciones que
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Comunicación de datos Unidad 3. Transformada de Laplace te haga tu Facilitador(a). 3. No olvides escribir tu tu respuesta. 4. Guarda tu archivo con la nomenclatura sugerida COD_U3_A3_XXYZ. 5. Envía tu archivo y espera la retroalimentación de tu Facilitador(a). En caso te soliciten la corrección, realízala y vuelve a enviar tu archivo.
3.2. La representación de los sistemas lineales e invariantes de tiempo discreto (SDLI) mediante la transformada Z Esta transformada es un modelo matemático que se emplea en el estudio de señales digitales, telecomunicaciones y sistemas de control entre otros. Hace posible el análisis de algunas señales discretas que no tienen transformada de Fourier en tiempo discreto. La transformada de Z es para los sistemas discretos lo que la transformada de Laplace y la transformada de Fourier para los sistemas continuos. A esta transformada transformada se le considera considera como una representación representación alterna de la señal, señal, que también pudiera llamarse transformada de Laurent porque se basa en las series de Laurent, cabe aclarar que para en esta asignatura no se profundizará en este tema.
3.2.1. La transformada Z: propiedades y transformadas comunes Esta transformara es el equivalente a la transformada de Laplace pero en tiempo discreto, sus propiedades se parecen mucho a las de la transformada de Laplace. La transformada Z de una secuencia en tiempo discreto se define así:
Donde: z es una variable compleja
Ejemplo 8:
,,-,,Resolviendo
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Comunicación de datos Unidad 3. Transformada de Laplace Definimos
Por lo tanto
,- ,- ,- ,-
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Comunicación de datos Unidad 3. Transformada de Laplace Propiedades La transformada Z tiene propiedades que facilitan la resolución de ecuaciones diferenciales lineales usando manipulación algebraica.
Linealidad
Si X1[n] y X 2[n] son dos secuencias discretas con transformadas X[Z] y X 2[Z], entonces:
Z(a1X1[n]+a2X2[n])=a1X1[Z]+a2X2[Z]
,- ,- ,- ,Siendo a 1 y a2 constantes arbitrarias.
Desplazamiento temporal
Sea X[n] una secuencia causal con transformada X[Z]. Entonces, dado cualquier entero n0>0, se tiene:
, , - - ,- Se puede demostrar que
, - ,,- ,-
Multiplicación por a n
Si X[Z] es la transformada Z de X[n], entonces la transformada Z de a nX[n] está dada por X[a-1Z].
,- ,- ,- ,-
Demostración
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Comunicación de datos Unidad 3. Transformada de Laplace En los teoremas anteriores, estamos suponiendo que X[n]=0 para n<0.
Diferenciación con respecto a Z
Si se deriva la expresión
,- ,- Que es la transformada Z de una secuencia causal X[n], respecto a Z se tiene:
,- ,- ,- De la expresión anterior se deduce que:
,,,- , ,- ,-
Se puede demostrar, derivando sucesivamente, que:
Convolución
La convolución de dos secuencias causales X[n] y y[n] no es más que el producto normal de las transformadas Z de ambas secuencias, es decir
,- ,- ,-,,En particular, si X[n] es la entrada de un sistema lineal invariante con el tiempo y h[n] es la respuesta al impulso, entonces se tendrá que:
[,- ,-] ,- ,-,,Donde H[Z] es la transformada de h[n] Para obtener la salida y[n] es necesario encontrar la transformada inversa de y[Z].
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Comunicación de datos Unidad 3. Transformada de Laplace Transformadas comunes La tabla que a continuación se encuentra muestra las transformadas de Z más comunes.
X[n] con
n ≥ 0
X[Z] 1 -m
Z U[n]
n
n
2
a
n
n
na
n
(n+1)a
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3.2.2. Función de transferencia de sistemas de tiempo discreto Esta función de transferencia es el equivalente a la transformada de Laplace pero trabaja con sistemas de tiempo discreto. Se representa mediante la siguiente forma:
,-- Ejemplo 9:
∑ ∑
Actividad 4. Propiedades y transformadas de Z De acuerdo a los temas estudiados resuelve los ejercicios que impliquen el uso de transformada Z, así como su interpretación. 1. Crea un archivo. 2. Realiza las operaciones necesarias y plasma tus resultados. 3. Guarda tu archivo con la nomenclatura COD_U3_A4_XXYZ. 4. Envíalo para su revisión y espera las retroalimentaciones de tu Facilitador(a). En caso de requerirlo, corrige y vuelve a enviar tu archivo.
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Comunicación de datos Unidad 3. Transformada de Laplace Autoevaluación Es importante que reconozcas tus avances sin que necesariamente intervenga alguna figura externa que verifique tu aprendizaje, por lo tanto mediante las actividades de autoevaluación como la que estas a punto de realizar te permitirá reconocer tu aprovechamiento. Realiza la Autoevalu la Autoevaluación ación esto esto te permitirá dar claridad a los contenidos que has estudiado o bien que tú mismo te descuenta de la necesidad de tener que repasarlos. Inicia la actividad de Autoeva de Autoevaluación luación ubicada ubicada dentro del aula.
Evidencia de aprendizaje. Aplicación de transformada de Laplace (Fase 1) y resolviendo con Laplace (Fase 2) Una vez ya casi concluida la unidad 3 y de acuerdo a lo que se te pide resuelve lo siguiente: Es importante mencionar que esta actividad se encuentra dividida en dos Fases. En la primera, de acuerdo al ejercicio planteado por tu Facilitador(a) deberás orientar tus respuestas con las preguntas que se presentan. En la siguiente Fase, tendrás que calcular y graficar el resultado de salida de acuerdo a la señal de entrada. 1. Crea un archivo en el que incluirás las dos fases con base a las propuestas de tu Facilitador(a). 2. Lee con atención y resuelve los ejercicios planteados según corresponda.
Fase 1: a) ¿En qué áreas se puede aplicar la transformada de Laplace? b) ¿Cuál es el proceso para aplicar la Transformada de Laplace? c) ¿Qué propiedades de la transformada de Laplace son las más utilizadas
Fase 2: 3. Resuelve el ejercicio planteado por tu Facilitador(a) incluida la señal de entrada y las propiedades del sistema, para que puedas calcular y y graficar la salida.
No olvides incluir: a) Planteamiento del problema b) Descripción Descripci ón de E/S. c) Desarrollo de la solución
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Comunicación de datos Unidad 3. Transformada de Laplace d) Resultado. 4. Guarda tu archivo con base a la nomenclatura COD_U3_EA_XXYZ y entra en el aula.
Autorreflexión Los procesos de autorreflexión son importantes en tu proceso de aprendizaje. Por lo anterior al término de todas tus actividades y de cada Evidencia de aprendizaje, ingresa al foro para responder a la(s) pregunta(s) que te hará tu Facilitador(a).
Para saber más Puedes consultar los siguientes links para que veas algunas aplicaciones de las transformadas. El siguiente link te muestra aplicaciones de la transformada de Laplace, observa los ejemplos y date cuenta de que cumple con las características de lo que has visto en esta unidad. http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Aplicaciones_de_la_transformada_de_laplace
El siguiente video muestra las aplicaciones de la transformada de Laplace http://www.youtube.com/watch?v=EKwQ8fDJL10
El siguiente enlace además de mostrarte una herramienta para la transformada de Fourier, te hace mención de la aplicación de las matemáticas en general, notaras que te habla de números complejos dado que la transformada de Fourier es muy utilizada con los números complejos. Consulta en: http://www.matematica1.com/2012/05/aplicaciones-de-los-numeros-complejos.html
Cierre de la Unidad En esta unidad estudiamos la transformada de Laplace, Fourier y Z. La importancia de las transformadas es que permiten reducir ecuaciones diferenciales a ecuaciones algebraicas y de este modo facilita el análisis de los sistemas lineales.
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Comunicación de datos Unidad 3. Transformada de Laplace Las transformadas de Laplace son muy usadas en sistemas de control como puede ser en el sistema de frenado de un auto o en un circuito eléctrico. La transformada de Fourier por ejemplo es muy utilizada en la biomedicina, en un encefalograma o cualquier otro sistema que utilice señales del cuerpo. La transformada de Z es muy útil en sistemas digitales, por ejemplo los relacionados a imagen y sonido. Como puedes ver en esta unidad ya vimos con más claridad la aplicación de los sistemas lineales en la vida real.
Fuentes Consultadas Básicas
Mata, G.H. et. al. (2002). Análisis de Sistemas y Señales con con computo avanzado avanzado . Distrito Federal: Facultad de Ingeniería UNAM. Oppenheim, W., Mata H., Suarez F. (1998). Señales y Sistemas. (2ª Sistemas. (2ª edición) Mexico, D.F.: Prentice Hall Hispanoamericana. Soliman, S. S., Srinath D. (1999). Señales y Sistemas Continuos y Discretos , (2da. Edición) Madrid: Prentice Hall Iberia S.R.L.
Complementarias
Linder, D.K. (2002). Introducción (2002). Introducción a las señales y los sistemas . Caracas: McGraw Hill. Kuo Benjamin(1996).Sistemas Benjamin(1996). Sistemas de contol automático.(7ª automático.(7 ª edición).México,D.F.Pearson-Prentice hall
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