UNIDAD 3 Transformada de Laplace.

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Índice Introducción.................... Introducción................................... ............................ .......................... .............................. ............................... ........................... ...................................... ...................................... ..............4 .4 Unidad 3 Transformada 3 Transformada de Laplace. 3.1 Teoría preliminar. ……………………………………………………………………………………………………………………………..5 3.1.1 Definición 3.1.1  Definición de la transformada de Laplace. 3.1.2 Condiciones 3.1.2  Condiciones suficientes de existencia para la transformada de Laplace ……………………………………….…5 3.2 Transformada 3.2 Transformada directa. …………………………………………………………………………………………………………………….…7 3.3 Transformada 3.3 Transformada inversa. ………………………………………………………………………………………………………………………8 3.4 Propiedades 3.4 Propiedades Transformada de Laplace. ……………………………………………………………………………………….……9 3.4.1 Transformada 3.4.1  Transformada de Laplace de funciones definidas por tramos ………………………………………………………….9 3.4.2 Función 3.4.2  Función escalón unitario ………………………………………………………………………………………………………………..10 3.4.3 Propiedades 3.4.3  Propiedades de la transformada de Laplace (linealidad, teoremas de traslación) ………………………….12 3.4.4 Transformada 3.4.4  Transformada de funciones multiplicadas por tn , y divididas entre t.. …………………………………………14 3.4.5 Transformada 3.4.5  Transformada de derivadas teorema. ……………………………………………………………………………………………15 3.4.6 Transformada 3.4.6  Transformada de integrales teorema. ……………………………………………………………………………………………16 3.4.7 Teorema 3.4.7  Teorema de la convolucion. …………………………………………………………………………………………………………..16 3.4.8 Transformada 3.4.8  Transformada de Laplace de una función periódica. ……………………………………………………………………..17 3.4.9 Función 3.4.9  Función delta Dirac. ………………………………………………………………………………………………………………………18 3.4.10 Transformada 3.4.10  Transformada de Laplace de la función delta Dirac …………………………………………………………………….20 3.5 Solución 3.5 Solución de ecuaciones transformada de Laplace. …………………………………………………………………………..20 Unidad 4 Sistemas 4 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales …………………………………………………………………………23 4.1 Teoría preliminar. …………………………………………………………………………………………………………………………….23

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4.1.1 Sistemas 4.1.1  Sistemas de Ecuaciones diferenciales lineales. ………………………………………………………………………………23 4.1.2 Sistemas 4.1.2  Sistemas de Ecuaciones diferenciales lineales homogéneos. ………………………………………………………….24 4.1.3 Solución general de sistemas de Ecuaciones diferenciales lineales y solución particular de sistemas de Ecuaciones diferenciales lineales. ……………………………………………………………………………………….25 4.2 Métodos 4.2 Métodos de solución para sistemas de Ecuaciones diferenciales di ferenciales lineales. ……………………………………….25 4.2.1 Método 4.2.1  Método de los operadores. …………………………………………………………………………………………………………..28 4.2.2 Método 4.2.2  Método Utilizando transformada de Laplace. ………………………………………………………………………………..28 4.3 Aplicaciones 4.3 Aplicaciones Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales ……………………………………………………………….29 Conclusión……………………………………………………………………………………………………………………………………………….31 Bibliografía………………………………………………………………………………………………………………………………………………31

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Introducción Este trabajo recaba información acerca de la materia “Ecuaciones Diferenciales2, tr atando la 3ª y 4ª unidad de la asignatura. Este informe hace referencia a la transformada de Laplace, sus condiciones para su existencia de la transformada, la técnica para la transformada directa e inversa de Laplace. Las propiedades de esta transformada en cuanto a problemas y sus características, además de la función escalón unitario que sirve para obtener funciones discontinuas las teoremas de las transformadas derivadas y de las integrales, el teorema de convolución, funciones periódicas y función Delta de Dirac. En cuanto a la unidad 4, se refiere más a los sistemas de ecuaciones diferenciales ya sean lineales y homogéneas, su solución general y partículas, habla de los métodos de soluciones y sus aplicaciones.

La transformada de Laplace es una herramienta de gran alcance formulada para solucionar una variedad amplia de problemas de inicial-valor. La estrategia es transformar las ecuaciones diferenciales difíciles en los problemas simples del álgebra donde las soluciones pueden ser obtenidas fácil mente. Un teorema muchas veces util en la solución de transformadas de laplace es el llamado: teorema de convolución. De seguro que cualquiera que se halla relacionado con la transformada de la laplace fácilmente puede decir que la trasformada del producto de dos funciones no es igual al producto de sus transformadas. Sin embargo el teorema de convolución aplicando una sencilla formula hace que si sean el producto de sus transformadas.

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Unidad 3 Transformada de Laplace Teoría preliminar Definición de la transformada de Laplace. El Método de la transformada de Laplace es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales. Con el uso de la transformada de Laplace muchas funciones sinusoidales y exponenciales, se pueden convertir en funciones algebraicas de una variable compleja s, y reemplazar operaciones como la diferenciación y la integración, por operaciones algebraicas en el plano complejo. Definimos:  f(t) = una función de tiempo t   tal que f(t) = 0 para t > 0. Sea f(t) definida en ( 0,¥). Se define la transformada de

Laplace de f(t), como la función [f(t)] = F(s), definida por la integral. s = una variable compleja. El parámetro s se considerará real. Es esto suficiente para las aplicaciones con

ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes y algunas de coeficientes variables. En otros casos es necesario trabajar en el campo complejo, considerando como complejo. L = un símbolo operacional que indica que la cantidad a la que precede debe transformarse por la integral de Laplace

Condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace Antes de establecer las condiciones para la existencia de la transformada de Laplace es esencial entender dos conceptos fundamentales que constituyen la base de la transformada de Laplace. Estos son: 1. Función continua a trozos: Se dice que una función es a trozos seccionalmente continua en un intervalo finito a <= t <= b si el intervalo se puede subdividir en un número finito de subintervalos, en cada uno de los cuales f(t) es continua y tiene límites izquierdos, así como límites derechos.

Considera una función f(t) que es continua a trozos en [a, b], pero presenta discontinuidades en algunos puntos. Claramente, f(t) es continua en los intervalos (a, A), (A, B), (C, y), (y, D) y (D, b). También los límites derecho e izquierdo de A son, f(A + t) = f(A + 0) = f(A) f(A - t) = f(A - 0) = f(A)

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Aquí el valor de t es siempre positivo. 2. Funciones de orden exponencial: Se dice que una función es de orden exponencial si existe un número real positivo M y , y un número T tal que,

Por otra parte, f(t) es de orden exponencial si existe un tal que

Aquí l = 0 o a un número positivo finito. Sea f(t) es una función continua a trozos en cada intervalo finito del rango t>= 0 y es de orden exponencial cuando el valor de t se aproxima al infinito. Entonces, la transformada de Laplace de f(t) existe para cada valor de s, el cual es mayor que . El teorema anterior también puede ser probado. Puesto que f(t) es continua a trozos para e-st f(t) es integrable en cualquier intervalo finito del eje t. Además, como f(t) es de orden exponencial , tenemos que,

Ahora, | L{f(t)} | = | e-st f(t) dt | e-st | f(t) | dt M e-stdt = M dt = M/ (s - ) Aquí, la condición de que s fuera mayor que era necesaria para la existencia de la última integral. Por lo tanto, el teorema queda demostrado. Sin embargo las condiciones mencionadas en el teorema son suficientes pero no necesarias para la existencia de la transformada de Laplace. Esto se puede entender desde el siguiente ejemplo. Sea f(t) = 1/ entonces f(t)  como t  0. Por lo tanto f(t) no es continua a trozos en cada intervalo finito del rango t 0, pero todavía sigue siendo su transformada de Laplace dado que,

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L{1/ } = e-stt-1/2dt = Sustituye x en el lugar de st., esto producirá dt = dx/ s = 1/ { e-x x-1/2 dx } = 1/ { e-x x(1/2) – 1 dx } = 1/ {1/ 2} = Por la definición de la función gamma, sabemos que , e-u un-1 du = (n) = = Dado que (1/ 2) = Por lo tanto, las condiciones establecidas en el teorema anterior no son necesarias para la existencia de la transformada de Laplace. Como sabemos, cualquier signo que pueda ser realizado físicamente, y que sea continuo de naturaleza no puede nuarse tan rápidamente, esto es, que no es posible enlazarlo mediante una función exponencial, por lo tanto, la transformada de Laplace existe para todas los signos que se pueden realizar físicamente.

Transformada Directa de Laplace La técnica de la transformada de Laplace se utiliza para la resolución de ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes, transformando estas en ecuaciones algebraicas lineales. La transformada de Laplace de una función f t( ) se define como

pasando del dominio temporal t al dominio complejo s, siendo F s( ) llamada transformada de Laplace de f t( ) , formando el par

Ejemplo

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La definición de la transformada hace necesaria que la integral converja, por lo tanto se ha de cumplir que

La transformada inversa de Laplace Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuación diferencial la convertimos en una ecuación algebra la cual podemos resolver para

, es decir,

pudiéramos devolvernos obtendríamos la solución transformada inversa

. Ahora, como que buscamos. Es decir, necesitamos de

, para hallar la función

Definición de la transformada inversa

Si

es la transformada de Laplace de una función continua

transformada inversa de Laplace de

, escrita

, es decir, es

, entonces la

, es decir,

Ejemplo

Solución Puesto que

tenemos que

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Observación  existe un problema potencial al trabajar con la transformada inversa, puede no ser única. En

efecto, es posible que malo

como

parece,

y

, siendo pues,

si

y

son

, entonces

continuas ; pero, si

. Para nuestro propósito esto no es tan y y

de

orden

exponencial

en

son continuas y de orden exponencial en

y , entonces se puede demostrar que las funciones esto quiere decir, que pueden diferir sólo en puntos de discontinuidad.

y

son casi  iguales;

Propiedades de la Transformada de Laplace: Suma y Resta

Sean F1(s) y F2(s) las transformadas de Laplace de f1(t) y f2(t) respectivamente. Entonces: L { f1(t) + f2(t) } = F1(s) + F2(s) Multiplicación por una constante

Sea k una constante y F(s) la transformada de Laplace de f(t). Entonces: L { kf(t)} = kF(s) Diferenciación

Sea F(s) la transformada de Laplace de f(t), y f(0) es el límite de f(t) cuando t tiende a cero. La Transformada de Laplace de la derivada con respecto al tiempo de f(t) es: L { df(t)/dt} = sF(s) - lím f(t) = sF(s) - f(0) En general, para las derivadas de orden superior de f(t): L { dnf(t)/dtn} = sn F(s) - sn-1 f(0) - sn-2 f(1)(0) - ..... - f (n-1)(0). Teorema del Valor Inicial 

Si la Transformada de Laplace de f(t) es F(s), entonces: Lím f(t) = Lím s F(s) si el límite existe.

Transformada de Laplace de funciones definidas por tramos. Como la transformada de Laplace se define en términos de una integral impropia que puede ser divergente, existen funciones para las cuales no existe dicha transformada, incluso hay funciones discontinuas. Decimos que una función f : [a,b] --> R es continua a trozos si 1.- f está definida y es continua en todo X E [a,b] salvo en un número finito de puntos  Xk para k= 1,2...n 2.- Para cada  X E [a,b]  los limites

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Existen. Note que, solamente uno de estos límites es pertinente si X 0 es uno de los extremos de [a,b]. n General, el requisito de que estos límites sean finitos en todos los puntos Xk implica que las únicas discontinuidades de f son discontinuidades de salto, del tipo que aparecen en la figura 1.2.

La función escalón unitario también se puede usar para expresar funciones definidas por tramos en forma compacta

Función escalón unitario En ingeniería es común encontrar funciones que corresponden a estados de sí  o no, o bien activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un sistema mecánico o una tensión eléctrica aplicada a un circuito, puede tener que suspenderse después de cierto tiempo. Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene introducir una función especial llamada función escalón unitario .

La función escalón unitario o función de Heaviside

se define como

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Observación: la función de heaviside se definió sobre el intervalo

transformada de Laplace. En un sentido más general

, pues esto es suficiente para la para

.

La transformada de la función de Heaviside es

Usando la definición de transformada

En el primer teorema de traslación nos permitió calcular la transformada de una función por una función exponencial función

Si

al ser multiplicada

, el segundo teorema de traslación nos permitirá calcular la trasformada de una

que es multiplicada por una función escalón.

y

, entonces

Forma inversa del segundo teorema de traslación:

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Usando la definición

Observación: podemos usar el segundo teorema de traslación para calcular la transformada de Laplace de la

función

haciendo

:

Propiedades de la Transformada de Laplace (Linealidad, Teorema de Traslación) Propiedad de linealidad de que la transformada de una combinación lineal de funciones es una combinación lineal de las transformadas. Para Alfa y Beta constantes.

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA LA TRASLACIÓN DE FUNCIONES EN EL EJE S PRIMER TEOREMA DE TRASLACIÓN

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Este primer teorema de traslación se conoce también con el nombre de primer teorema de desplazamiento

Uso del primer teorema de traslación EJEMPLO 1: Utilizando el primer teorema de traslación evalúe la siguiente transformada de Laplace.

SOLUCIÓN: Utilizando la fórmula 2 de la tabla 4.2 se tiene lo siguiente:

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA LA TRASLACIÓN DE FUNCIONES EN EL EJE t 

SEGUNDO TEOREMA DE TRASLACIÓN.

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Este segundo teorema de traslación se conoce también con el nombre de segundo teorema de desplazamiento

Transformada De Funciones Multiplicadas por t n, y divididas entre t La transformada de Laplace del producto de una función f(t) con t se puede encontrar mediante diferenciación de la transformada de Laplace de f(t). Para motivar este resultado, se supone que existe y que es posible intercambiar el orden de diferenciación e integración. Entonces:

Es decir:

Se puede usar el resultado anterior para hallar la transformada de Laplace de t2f(t):de la siguiente manera:

Transformada de derivadas teorema.

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Transformada de integrales (teorema) Una transformada integral es cualquier transformada T aplicada sobre la función f(x) de la forma siguiente:

La entrada de esta función T  encontramos una función  f(t), y la salida otra función F(u). Una transformada es un tipo especial de operador matemático. En ella t 1 y t 2 son dos valores que dependen de su definición, y pueden variar desde hasta . Hay numerosas transformadas integrales útiles. Cada una depende de la función K   de dos variables escogida, llamada la función la transformación. núcleo o kernel de −1 Algunos núcleos tienen una K  inversa asociada, K  (u,t ) , que (más o menos) da una transformada inversa:

Un

núcleo simétrico es

el

que

es

inalterado

cuando

las

dos

variables

son

permutadas.

En utilizar la transformada de Laplace en ecuaciones diferenciales, las condiciones iniciales aparecen en transformar las derivadas de la función incógnita. Para obtener la ecuación general se asigna un valor constante a las condiciones iniciales. Este método suele ser útil tan solo si los coeficientes de la ecuación diferencial son polinomios de orden menor que el grado de la ecuación. (Teorema de integración) Si

, entonces se cumple

El teorema de convolución El teorema de convolución establece que bajo determinadas circunstancias, la   Transformada de Fourier de una convolución es el producto punto a punto de las transformadas. En otras palabras, la convolución en un dominio (por ejemplo el  dominio temporal) es equivalente al producto punto a punto en el otro dominio (es decir dominio espectral). Sean

y

dos funciones cuya convolución se expresa con

. (notar que el asterisco denota convolución

en este contexto, y no multiplicación; a veces es utilizado también el símbolo transformada de Fourier, con lo que

y

). Sea

el  operador de la

son las transformadas de Fourier de  f  y g,

respectivamente. Entonces

donde · indica producto punto. También puede afirmarse que:

Aplicando

la

transformada

inversa

de

Fourier

,

podemos

escribir:

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Transformada de Laplace de una Función Periódica. FUNCIONES PERIÓDICAS

Es muy común, especialmente en aplicaciones ligadas a circuitos eléctricos, la presencia de una fuerza externa periódica. Es usual tener voltajes en forma de ondas diente de sierra, ondas en escalón, etc. Por lo que es necesario calcular sus transformadas.

TEOREMA (Transformada de una función periódica)

Demostración Usando la Definición:

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ALGUNOS EJEMPLOS DE FUNCIONES PERIÓDICAS IMPORTANTES

Función Delta de Dirac La delta de Dirac o función delta de Dirac  es una distribución o función generalizada introducida por primera vez por el físico inglés Paul Dirac y, como distribución, define un funcional en forma de integral sobre un cierto espacio de funciones. Se escribe como:

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siendo

, la función tiende a infinito cuando x = 0, y para cualquier otro valor de x es 0.

En física, la delta de Dirac puede representar la  distribución de densidad de una masa unidad concentrada en un punto a. Esta función constituye una aproximación muy útil para funciones picudas y constituye el mismo tipo de abstracción matemática que una carga o masa puntual. En ocasiones se denomina también  función de impulso. Además, la delta de Dirac permite definir la derivada generalizada de funciones discontinuas.

Concretamente, se tiene la siguiente relación con la  función escalón:

Intuitivamente se puede imaginar la función δ( x ) como una función que tiene un valor infinito en  x  = 0; tiene un

valor nulo en cualquier otro punto, de tal manera que su integral es uno. La delta de Dirac es una función generalizada que viene definida por la siguiente fórmula integral:

La delta de Dirac no es una función estrictamente hablando, puesto que se puede ver que requeriría tomar valores infinitos. A veces, informalmente, se define la delta de Dirac como el límite de una sucesión de funciones que tiende a cero en todo punto del espacio excepto en un punto para el cual divergiría hacia infinito; de ahí la "definición convencional" dada por la también convencional fórmula aplicada a las  funciones definidas a trozos:

Es frecuente que en física la delta de Dirac se use como una distribución de probabilidad idealizada; técnicamente, de hecho, es una  distribución (en el sentido de Schwartz). En términos del análisis dimensional, esta definición de

implica que

posee dimensiones recíprocas

a dx .

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Transformada de Laplace de la función Delta Dirac.

Solución de ecuaciones diferenciales

La transformada de Laplace es útil para resolver ecuaciones diferenciales que involucran funciones periódicas, funciones discontinuas a trozos o deltas de Dira c, como lo muestran los siguientes ejemplos.

,

Ejemplo Resuelva el siguiente problema de valor inicial

Solución Tomando la transformada a ambos lados, tenemos que

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Y al aplicar la transformada inversa

La gráfica de la solución

se muestra en la figura 1.10

Figura 1.10 Ejemplo Resuelva el siguiente problema de valor inicial

donde

está dada por

Solución

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La función puede interpretarse como una fuerza externa que actúa en un sistema mecánico sólo por un tiempo corto, siendo desactivada posteriormente. Aunque este problema puede resolverse de la forma convencional no es conveniente.

Primero usemos la función de Heaviside para reescribir

:

Aplicando transformada tenemos que

Al aplicar la transformada inversa obtenemos

La gráfica de

se muestra en la figura 1.11.

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Unidad 4 SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES Un sistema de ecuaciones diferenciales  es un conjunto de varias  ecuaciones diferenciales con varias funciones incógnitas y un conjunto de condiciones de contorno. Una solución del mismo es un conjunto de funciones diferenciables que satisfacen todas y cada una de las ecuaciones del sistema. Según el tipo de ecuaciones diferenciales pude tenerse un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias o un sistema de ecuaciones en derivadas parciales.

TEORIA PREELIMINAR Un sistema con la forma de las ecuaciones se denomina sistema lineal de orden n, o  simplemente sistema lineal. Se supone que los coeficientes, a,, y las funciones, $, son continuos en un intervalo común, Z. Cuando j(t) = 0, i = 1,2, . . ., n, se dice que el sistema lineal es homogéneo; en caso contrario, es no homogéneo. Forma matricial de un sistema lineal Si X, A(t) y F(t) representan las matrices respectivas:

El sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden se puede expresar como sigue: 0 simplemente como X’=AX+F.

Si el sistema es homogéneo, su forma matricial es X’ = AX.(4)(5) Ejemplo: a)Si X = y0, la forma matricial del sistema homogéneo

5dx = 3x + 4y s = 5x - 7y

‘3 4 Esto es x’ = 5  – 7 X.

SISTEMAS ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Un sistema de ecuaciones diferenciales general tiene la forma: Donde:

es una función vectorial

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es una función matricial En un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de cualquier orden, puede ser reducido a un sistema equivalente de primer orden, si se introducen nuevas variables y ecuaciones. Por esa razón en este artículo sólo se consideran sistemas de ecuaciones de primer orden. Un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden escrito en forma explícita es un sistema de ecuaciones de la forma:

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS Un sistema de ecuaciones lineales homogéneas es un sistema de la forma Ax = 0, esto es, con columna de constantes nula. Ejemplo. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales homogéneas:

3x1 -2x2 + x3 + 4x4 = 0; 8x1 -5x2 -4x3 + x4 = 0; -2x1 + x2 + 6x3 + 7x4 = 0: Solución. La columna de constantes es nula y sigue siendo nula al aplicar operaciones elementales. Por eso no es necesario escribir la matriz aumentada, es suficiente trabajar con la matriz de coeficientes.

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SOLUCION GENERAL Y PARTICULAR DE EDL

ECUACIONES DIFERENCIALES SEPARABLES Una ecuación en la que aparecen x,y, y´y´´,... y y(n) , donde y es una función de x y y (n) es la n-esima derivada de y con respecto a x, es una ecuación diferencial ordinaria de orden n. Los siguientes ejemplos son ecuaciones ordinarias del orden especificado:

ORDEN 1: Y´=2x ORDEN 2: D²y / dx² + x²( dy / dx )³ - 15y= 0 ORDEN 3: ( y¨¨)4  – x²(y¨ )5 + 4xy = x ex ORDEN 4: (d 4y /dx4 ) - 1 = x³ dy/ dx

Recordemos que una función f (o f(x) es una solución de una ecuación diferencial si al sustituir y por f (x) se obtiene una identidad para todo x en un intervalo. Por ejemplo, la ecuación diferencial Y´ = 6x 2 - 5 Tiene solución F (x) = 2x3 - 5x + C Para todo real C, porque al sustituir y por f(x) se llega a la identidad 6x 2 - 5 = 6x 2 - 5. Se dice que f(x) = 2x 3 - 5x + C es la solución general de y´= 6x 2 - 5 porque todas las soluciones son de esta forma. Se obtiene una solución particular asignando valores específicos a C. Por ejemplo, tomando C = 0 se obtiene la solución particular y = 2x3  – 5x. A veces se dan condiciones iniciales para determinar una solución particular, como se ilustra en el siguiente ejemplo EJEMPLO 1 a. Encontrar la solución general de la ecuación diferencial y´= 2x b. Obtener una solución particular de y´ = 2x que satisfaga la siguiente condición: y = 3 cuando x = 0 SOLUCIÓN a. Si f es una solución de y´ = 2x, entonces f´´(x) = 2x. La integral indefinida lleva a la solución general Y = f (x) = x² + C. Podemos encontrar soluciones particulares asignando valores específicos a C. Así obtenemos la familia de parábolas y = x² + C b. Si y = 3 cuando x = 0, entonces sustituyendo en y = x² + C obtenemos 3 = 0 + C, o bien C = 3. Por lo tanto, la solución particular es y = x² + 3

METODOS DE SOLUCION PARA SISTEMAS DE EDL **Método de variables separables Se dice que una ecuación diferencial de primer orden, de la forma dy = g(x)h(x) dx es separable, o de variables separables. Soluciones Explicitas E Implícitas

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Una solución en el que las variables dependientes se expresan tan solo en términos de la variable independiente y constantes, se llama solución explicita. Una relación G(x,y) = 0 es una solución implícita de una ecuación diferencial ordinaria, como la ecuación satisfaga la relación, y la ecuación diferencial, en I. En otras palabras, G(x,y) = 0 define implícitamente a al función . Solución General Si toda solución de una ecuación de orden n, F(x, y, y´,..., y(n) ) = 0, en un intervalo I, se puede obtener de una familia n-parametrica G(x, y, c1, c2,..., cn) = 0 con valores adecuados de los parámetros c1(i = 1, 2, ..., n), se dice que la familia es la solución general de la ecuación diferencial. Solución Particular. Una solución de una ecuación diferencial que no tiene parámetros arbitrarios se llama solución particular; por ejemplo, podemos demostrar que, por sustitución directa, toda función de la familia mono paramétrica y = cex también satisface la ecuación dy = 2xy **ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN Las ecuaciones diferenciales del siguiente tipo aparecen muchas veces en el estudio de los fenómenos físicos. DEFINICION 1. Una ecuación diferencial lineal de primer orden es una ecuación de la forma: Y´ + P(x)y = Q(x) Donde P y Q son funciones continuas. .

Q(x) = 0 para todo x, se obtiene y´ + P(x) = 0 que es separable. Concretamente se puede escribir: 1 dy = - P(x) o bien 1 dy = - P(x) dx y dx y siempre que y =/= 0. Integrando se obtiene In |y| = - ¦P(x)dx + In |C|. La constante de integración se ha expresado como In |C| para cambiar la forma de la última ecuación, como sigue: Ln|y| - ln|C| = - ò P(x) dx ln|y/C| = - ò P(x) dx y/c = e ò p(x)dx = C ahora se observa que d [y e ò p(x)dx ] = Q(x) y e ò p(x)dx = e ò p(x) dx [y¨+ p(x)y] Por lo tanto si se multiplican por e f p(x)dx, ambos lados de y´+ P(x)y =Q(x), la ecuación resultante puede escribirse como Dx [ye f P(x)dx ] = Q (x) e f P(x)dx Integrando ambos lados de la ecuación se obtiene la siguiente solución implícita de la ecuación diferencial lineal de primer orden en la definición anterior. ye f P(x)dx ] = Q (x) e f P(x)dx dx + K donde K es una constante. Despejando y de esta ecuación se obtiene una solución explícita. Se dice que la expresión e f P(x)dx es un factor de integración (o integrativo) de la ecuación diferencial. Quedó demostrado el siguiente resultado. TEOREMA 2

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La ecuación diferencial lineal de primer orden y´ + P(x)y = Q(x) se puede transformar en una ecuación diferencial separable multiplicando ambos lados de la ecuación por el factor de integración e f P(x)dx . EJEMPLO 1 Resolver la ecuación diferencial dy/dx  – 3x²y = x² Solución La ecuación diferencial tiene la forma en la definición anterior con P(x) = -3x² y - y Q(x) = x ². Según el Teorema. e f – 3x²dx = e – 3x³ es un factor integrativo. No necesitamos introducir una constate de integración porque e  – x²+c = ece-x³ que difiere de e – x³ en un factor constante e c. Multiplicando ambos lados de la ecuación diferencial por el factor de integración ex³ obtenemos: e –x²dy/dx – 3x²e-x² y = xx³e – 3x³ o bien Dx (e – 3x³² y) = x2e –x³. Integrando ambos lados de la última ecuación e-x-³ y = ò x² e-x-³ dx = - 1/3e-x-³ + c Finalmente, multiplicando por e –x³ obtenemos la solución explícita Y = - 1/3 + Ce –x

**ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGENEAS

Vamos a tratar las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes; es decir, las ecuaciones de la forma Yy´´ + by´ + c = k(x) Donde b y c son constantes y k es una función continua. Es conveniente utilizar los símbolos D y D² para los operadores diferenciales tales que si y = ƒ(x), entonces Dy = y´ = ƒ´(x) ´(x) y y D² y = y´= ƒ´´(x). DEFINICION 11 Si y = ƒ(x) y ƒ´´ existe, entonces el operador diferencial lineal L = D² + bD + c se define por L(y) = (D² + bD + c)y = D²y + bDy + bDy + cy = y´´ + by´+ cy Usando L, la ecuación diferencial y´´ + by´+ cy = k(x) puede escribirse en la forma compacta L(y) = k(x). L(C) = CL(y) Y que si y1 = ƒ1(x) y ƒ2(x), entonces L(y1 ± y2) = L(y1) ± L(y2) Dada la ecuación diferencial y´´ + by´+ cy = k(x), es decir L(y) =k (x), se dice que la correspondiente ecuación homogénea L(y) = 0 es la ecuación complementaria TEOREMA 12 Sea y´´ + by´ + cy = k(x) una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden. Si yp es una solución particular de L(y) = k(x) y si yc es la solución general de la ecuación complementaria L(y) = 0,entonces la solución general de L(y) = k(x) es y = yp + yc .

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METODO DE LOS OPERADORES Un operador es un objeto matemático que convierte una función en otra, por ejemplo, el operador derivada convierte una función en una función diferente llamada la función derivada. Podemos definir el operador derivada D que al actuar sobre una función diferenciable produce la derivada de esta, esto es: D 0f(x) = f(x) ; D1f(x) = f0(x) ; D2f(x) = f00(x) ; : : : ;Dnf(x) = f(n)(x) :

Es posible construir la siguiente combinación lineal con los operadores diferenciales: P (D) = a0 + a1D + a2D2 + + anDn ; an 6= 0 : (1) donde a2; a1; a2; : : : an son constantes. A este nuevo objeto lo podemos llamar el Operador Polinomial de orden n.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES • Uso de la transformada de Laplace para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales Resort es acoplados a redes eléctricas.

Cuando se especifican las condiciones iniciales, la transformada de Laplace reduce un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes a un conjunto de ecuaciones algebraicas simultáneas para las funciones transformadas. EJEMPLO 1 Sistema de ecuaciones diferenciales que se transforma en un sistema algebraico

Resuelva 2x'+ y'  – y = t x' + y' = t 2 (1) sujetas a x(0) = 1, y(0) = 0. , entonces, después de transformar cada ecuación, llegamos

SOLUCION a

o sea

(2)

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Al multiplicar por 2 la segunda de estas ecuaciones y restar se obtiene

(3) Desarrollamos en fracciones parciales

y asi De acuerdo con la segunda ecuación de (2),

Entonces, llegamos a la solución del sistema (1), que es

Aplicaciones de los Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales encuentran sus aplicaciones en varios problemas que surgen en el sistema del mundo real. Algunos de estos problemas se discuten a continuación. 1. Problema mecánico del acoplamiento de los resortes: Dos cuerpos con masa m1, m2, respectivamente, yacen sobre una mesa. La mesa está libre de fricción. Los dos cuerpos están conectados entre sí con la ayuda de un resorte. Esteresorte está en una posición no estirada. También cada uno de estos cuerpos está conectado a una superficie estática con la ayuda de los resortes. Una vez más, estos resortes no están estirados. La constante elástica de cada uno de los resortes es k1, k2, k3, respectivamente. La situación a nterior puede ilustrarse como,

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Aquí O1 es la posición inicial del primer cuerpo y O2 es la posición inicial del segundo cuerpo. Los cuerpos pueden ser cambiados de su posición de equilibrio mediante mover cualquiera delos cuerpos en cualquier dirección y luego soltarlos. Unejemplo de estoes,

En la figura anterior, x1 es la cantidad de distancia recorrida por el primer cuerpo cuando este se mueve desde la posición de equilibrio y x2 es la cantidad de distancia recorrida por el segundo cuerpo cuando este se mueve desde la posición de equilibrio. Esto implica que el primer resorte se alarga desde la posición estática por una distancia de x1 y el segundo resorte se alarga desde la posición estática por una distancia de x2  –  x1.Esto implica que dos fuerzas restauradoras están actuando sobre el primer cuerpo, estas son: •La fuerza del primer resorte la cual actúa en dirección izquierda. Esta fuerza por la ley de Hookes igual ak1×1. •La fuerza del segundo resorte que actúa en dirección derecha. E sta fuerza es igual a k2(x2  – x1). Esto nos da la ecuación del movimiento,

De manera similar, la ecuación del movimiento para el segundo cuerpo es,

Las dos ecuaciones anteriores forman un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden y pueden resolverse mediante el uso de las técnicas de solución de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden.

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