Área de Informática Asignatura de Electricidad Instituto Profesional Santo Tomás
UNIDAD II
ANALISIS DE CIRCUITOS
CIRCUITO ELECTRICO, ELECTRICO, COMPONENTES, LEY DE OHM, OHM, LEYES DE KIRCHHOFF RESUMEN El presente apunte presenta el análisis de circuitos desde un punto de vista sencillo.Los temas que se tratan son: conceptos básicos de circuitos circuito s eléctricos, eléctric os, componentes circuitales circuit ales más usuales, Ley de Ohm, Leyes de Kirchhoff y algunos teoremas de análisis.
1
EL CIRCUITO ELECTRICO
El circuito eléctrico es un esquema conceptual definido para explicar los fenómenos eléctricos, aplicable dentro de ciertas condiciones. La razón por la cual se desarrolló este nuevo esquema conceptual se debe a que a menudo el interés no reside en el estudio de los campos eléctrico y magnético, sino en el análisis de los voltajes y corrientes presentes en los componentes del circuito. A partir de los voltajes y corrientes de un circuito se pueden calcular otras variables tales como carga, energía, potencia, etc.
1.1
Definición del Circuito Eléctrico. Red Eléctrica: es una colección de elementos eléctricos interconectados de una forma específica. Circuito Eléctrico: es una colección de elementos eléctricos interconectados de una forma específica, que sigue una trayectoria cerrada.
Luego, todo circuito es red pero no toda red es circuito. Los elementos eléctricos incluyen fuentes de energía, alambres de conexión, componentes eléctricos (motores) o electrónicos (diodos, transistores bipolares), cargas (resistencias, condensadores, inductores), etc. Un circuito eléctrico transfiere y transforma energía. La transferencia de energía se logra mediante la transferencia de cargas. En el circuito la energía se transfiere de un punto de suministro (la fuente) hasta un punto de transformación o conversión llamado carga. Algunos elementos de carga son capaces de almacenar energía (condensadores o inductores) mientras que otros la transforman en calor (resistencias). Muchos de los elementos eléctricos son dispositivos de dos terminales que pueden representarse con el símbolo mostrado en la Figura 1.
Figura 1
Elemento de dos terminales 1
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Elementos de este tipo son por ejemplo las Fuentes de Voltaje y de Corriente, las resistencias, los condensadores y los inductores. Hay elementos más complejos que tienen más de dos terminales, como por ejemplo los transistores, los amplificadores operacionales, pero para comenzar el estudio de los circuitos eléctricos, se va a centrar la atención en los elementos de dos terminales. Para construir un circuito eléctrico se interconectan varios elementos de dos terminales de forma que existan lazos cerrados, tal como se muestra en la figura siguiente
Figura 2
1.2
Ejemplo de circuito eléctrico.
Carga y Corriente Eléctrica.
Tales de Mileto, aproximadamente en el año 600 A.C., fue quien descubrió que cuando se frota con fuerza un trozo de ámbar, éste se electrifica y atrae pequeños trozos de hilo. Siglos más tarde, Coulomb utilizó esta misma técnica para producir electricidad electricidad y establecer establecer la Ley del Inverso de los Cuadrados para calcular la atracción de los cuerpos cargados. El conocimiento actual de la naturaleza de la carga se basa en el esquema conceptual de la teoría atómica. El átomo se representa como un núcleo cargado positivamente rodeado por electrones de carga negativa. El átomo es neutro, ya que la carga del núcleo es igual a la de los electrones. Cuando se eliminan electrones de una sustancia, ésta queda cargada positivamente. Si por el contrario, se agregan electrones, su carga será negativa. Las cargas diferentes se atraen, cargas iguales se repelen. La unidad básica de carga es la del electrón. El nombre de la unidad de carga es el Coulomb. Un electrón tiene 1,0621x10 -19 Coulombs, o dicho de otra manera, un Coulomb es la carga de 6,24x10 18 electrones. Para representar la carga se utilizan las letras Q o q. Se usa Q cuando la carga es constante, y q cuando es variante con el tiempo. El fenómeno de transferencia de carga de un punto a otro de un circuito se describe mediante el término Corriente Eléctrica. La Corriente Eléctrica es por lo tanto, la variación de la carga por unidad de tiempo a través del corte transversal de un conductor. 2
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Elementos de este tipo son por ejemplo las Fuentes de Voltaje y de Corriente, las resistencias, los condensadores y los inductores. Hay elementos más complejos que tienen más de dos terminales, como por ejemplo los transistores, los amplificadores operacionales, pero para comenzar el estudio de los circuitos eléctricos, se va a centrar la atención en los elementos de dos terminales. Para construir un circuito eléctrico se interconectan varios elementos de dos terminales de forma que existan lazos cerrados, tal como se muestra en la figura siguiente
Figura 2
1.2
Ejemplo de circuito eléctrico.
Carga y Corriente Eléctrica.
Tales de Mileto, aproximadamente en el año 600 A.C., fue quien descubrió que cuando se frota con fuerza un trozo de ámbar, éste se electrifica y atrae pequeños trozos de hilo. Siglos más tarde, Coulomb utilizó esta misma técnica para producir electricidad electricidad y establecer establecer la Ley del Inverso de los Cuadrados para calcular la atracción de los cuerpos cargados. El conocimiento actual de la naturaleza de la carga se basa en el esquema conceptual de la teoría atómica. El átomo se representa como un núcleo cargado positivamente rodeado por electrones de carga negativa. El átomo es neutro, ya que la carga del núcleo es igual a la de los electrones. Cuando se eliminan electrones de una sustancia, ésta queda cargada positivamente. Si por el contrario, se agregan electrones, su carga será negativa. Las cargas diferentes se atraen, cargas iguales se repelen. La unidad básica de carga es la del electrón. El nombre de la unidad de carga es el Coulomb. Un electrón tiene 1,0621x10 -19 Coulombs, o dicho de otra manera, un Coulomb es la carga de 6,24x10 18 electrones. Para representar la carga se utilizan las letras Q o q. Se usa Q cuando la carga es constante, y q cuando es variante con el tiempo. El fenómeno de transferencia de carga de un punto a otro de un circuito se describe mediante el término Corriente Eléctrica. La Corriente Eléctrica es por lo tanto, la variación de la carga por unidad de tiempo a través del corte transversal de un conductor. 2
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(1) La unidad básica de Corriente es el Ampere, el cual de acuerdo con las unidades del Sistema Internacional (MKS) es igual a un Coulomb por segundo. Su símbolo es I para para corrientes continuas e i para corrientes variables en el tiempo. Según el esquema conceptual de la teoría atómica, todas las sustancias se representan como compuestas por átomos. En un sólido, algunos electrones están relativamente libres del núcleo por lo que se denominan electrones libres. En los materiales que son buenos conductores existen muchos electrones libres, por lo cual se pueden producir con facilidad corrientes intensas. Los materiales aislantes tienen muy pocos electrones libres, lo cual dificulta considerablemente la conducción, dándole a dichos materiales sus características particulares. Entre estos dos tipos de materiales existen los semiconductores, los cuales juegan un papel muy importante en la Electrónica.
1.3
Energía.
Otro esquema conceptual en el que se basa la teoría de circuitos eléctricos es el de la conservación de la energía. La energía eléctrica que se suministra a un circuito se obtiene a partir de la conversión de otros tipos de energía, algunos de los cuales se listan a continuación: Conversión de energía electromecánica. Los generadores giratorios producen energía eléctrica a partir de la energía mecánica de rotación. La energía mecánica se obtiene al convertir energía térmica por medio de una turbina. La energía mecánica puede obtenerse también por conversión de energía hidráulica mediante generadores hidráulicos. Conversión de energía electroquímica. La energía química se obtiene mediante la combustión de un combustible fósil o nuclear. Las baterías eléctricas producen energía por conversión de energía química. Las baterías se elaboran sumergiendo dos electrodos metálicos (uno de zinc y otro de cobre) en una solución de ácido sulfúrico diluido. La formación de iones de zinc y cobre hace que la carga negativa se acumule en los electrodos. Se obtiene energía mediante la diferencia en la energía de ionización del zinc y del cobre dentro de la reacción química. Al cerrar el circuito de la batería con una conexión externa, la energía química se utiliza como trabajo para transportar cada unidad de carga alrededor del circuito externo. Conversión de energía fotovoltaica. Las celdas solares convierten la energía luminosa en energía eléctrica, que puede utilizarse por ejemplo para cargar una batería. Estos dispositivos son capaces de convertir en energía eléctrica solo una parte relativamente pequeña de la energía solar que reciben, es decir, su eficiencia por ahora es baja.
1.4
Voltaje.
El voltaje se define como la variación de la energía por unidad de carga o del trabajo por unidad de carga. Se expresa mediante la siguiente ecuación: 3
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(2)
Su símbolo es V para voltajes constantes o v para voltajes variables en el tiempo. De acuerdo con las unidades del Sistema MKS, si la energía está en Joules y la carga en Coulombs, el voltaje se expresa en Volts. El voltaje se describe a veces por medio del término fuerza electromotriz (fem).
1.5
Potencia
Si a una cantidad de carga q se le da un incremento diferencial de energía carga estará dado por la siguiente fórmula:
w, el voltaje de la
(3) De donde:
(4)
La razón de cambio a la cual se consume la energía w por unidad de tiempo es:
(5)
(6)
Dado que por definición la razón de cambio de la energía por unidad de tiempo es la potencia p, se puede escribir: (7) La variable p se denomina potencia instantánea. En esta ecuación se puede observar que el producto de Voltios por Amperios es igual a Watts, ya que:
4
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(8)
2
COMPONENTES CIRCUITALES MÁS USUALES
Los componentes circuitales más usuales son los resistores (llamados comúnmente resistencias), los condensadores y las bobinas o inductores. Los parámetros de todos estos elementos son pasivos, y en principio, dadas las frecuencias de operación de los circuitos eléctricos, son concentrados. Por lo general, dichos parámetros pueden considerarse invariables con el tiempo.
2.1
RESISTORES
Definición: Un resistor es un componente circuital cuya principal característica es la de transformar la energía eléctrica que recibe en energía térmica, la cual se disipa por medio de radiación, convección y conducción térmica. (Por lo general, en un resistor puede considerarse despreciable la energía almacenada en los campos eléctrico y magnético existentes en el elemento.)
Especificaciones Valor nominal. El primer dato que se necesita conocer de una resistor es el valor de su parámetro R o resistencia. En principio, se podrían fabricar resistores de todos los valores imaginables, pero desde un punto de vista económico esto es imposible. Por lo tanto, los fabricantes se han puesto de acuerdo para producir una serie de resistores cuyos valores abarquen una gama lo suficientemente grande, y a partir de las cuales se pueda obtener cualquier otro valor realizando combinaciones en serie o paralelo. En la Tabla 4.3 se presentan los valores de las resistores existentes en el mercado.
Tabla 1
Valores de Resistores Comerciales
5
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La variable n que aparece en el factor 10 n puede tomar cualquier valor entero comprendido entre 2 y 6.
Figura 3
Modelo de resistencia
Algunos resistores tienen escrito sobre ellos su valor nominal, como se muestra en la Figura anterior, pero la mayoría de ellas, especialmente las de carbón, que son las más utilizadas en los circuitos electrónicos, tienen indicado su valor nominal mediante un código de colores. Los resistores que utilizan este sistema, presentan cuatro bandas de colores, dispuestas en la forma indicada en la Figura siguiente. Las tres primeras bandas codifican el valor nominal y la cuarta banda representa la tolerancia dentro de la cual puede hallarse el verdadero valor del parámetro del componente.
Figura 4
Resistor codificado con bandas de colores.
En la Tabla 2 se puede observar los colores que pueden tomar las tres primeras bandas y el número que corresponde con cada color. El conjunto de estas tres bandas define el valor nominal de la resistencia de la siguiente forma: Con las dos primeras se representa uno de los veinticuatro números de dos cifras indicados en la Tabla 2, y con la tercera, el exponente de la potencia de 10 por la que hay que multiplicar este número para obtener el valor nominal del resistor en ohms.
Tabla 2
Código de Colores
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Por ejemplo, si las tres primeras bandas tienen los colores mostrados en la Figura 5, el resistor tiene un valor nominal de 10x10 2 o lo que es lo mismo, 1000 ó 1K .
Figura 5
Ejemplo del uso del código de colores
En forma similar, los colores de un resistor de 22 K Ahora bien, se expresó que el factor n puede tomar cualquier valor entre -2 y 6, y con la Tabla 2 se puede codificar los valores comprendidos entre 0 y 9. Para representar los dos valores negativos que puede tomar la tercera banda, se utiliza el código mostrado en la Tabla 3.
Tabla 3
Código para valores negativos de la 3ª banda.
Por lo tanto una resistencia cuyas bandas tengan los siguientes colores: rojo, violeta, dorado, poseerá un valor nominal de 27x10 - 1 = 2.7 .
Tolerancia. Al fabricar los resistores en una línea de producción no es posible conseguir que todos ellos tengan exactamente el mismo valor. Debido a esto el fabricante indica por una parte cuál es el valor que deberían tener dichas resistencias (valor nominal), y por otra, cuál es el rango de variación alrededor de este valor nominal dentro del cual puede encontrarse el verdadero valor de una resistencia en particular. Este rango de variación se denomina tolerancia y generalmente se especifica como un porcentaje del valor nominal. 7
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Así, si un fabricante indica que una resistencia tiene un valor de 100 verdadero valor de dicha resistencia está comprendido entre 95
.
Por lo general, los resistores de uso común en los circuitos electrónicos (radios, amplificadores, etc.) se fabrican con una tolerancia de 20%, 10% ó 5%. Hay resistencias de semi-precisión que tienen una tolerancia de 1%, y resistencias de precisión (o resistencias patrón) cuya tolerancia es de 0,001% o menor. Para indicar la tolerancia de una resistencia pueden utilizarse dos métodos: Escribir el valor de dicha tolerancia sobre el material protector que la recubre, al lado del valor nominal, o utilizar la cuarta banda para especificarla mediante un código de colores. En la Tabla 4 se presentan los colores que puede tomar esta cuarta banda y el significado de cada uno de ellos. Tabla 4
Colores de la banda de tolerancia
Capacidad de disipación de potencia. Como se expresó anteriormente en la definición, los resistores son elementos que se caracterizan por disipar la energía que reciben en forma de calor. Ahora bien, la cantidad de energía por unidad de tiempo (o sea, la potencia) que puede disipar una resistencia depende de las características del material resistivo, de las propiedades térmicas del material aislante que la recubre, de su tamaño físico y de la temperatura ambiente. Si la potencia suministrada a una resistencia es mayor que la que ésta puede disipar, dicha resistencia se quema y se destruye completamente. Por lo tanto, es necesario que el fabricante especifique cuál es la potencia máxima permisible, o sea, la capacidad de disipación de cada resistor. Por lo general, los resistores utilizados en circuitos electrónicos tienen capacidades de disipación de 1/8W, 1/4W, 1/2W y 2W. En estos resistores la capacidad de disipación no está indicada sobre ellas, sino que está dada por su tamaño. Los resistores utilizados en circuitos donde el nivel de potencia es mucho mayor, tienen capacidades de disipación de por ejemplo 10W, 25W, 100W, 225W o mayores. Hay resistores que pueden disipar varios KW de potencia.
Temperatura de operación. Como se expresó en el punto anterior, la potencia que puede disipar un resistor depende de la temperatura ambiente. Para temperaturas alrededor de los 20° ó 30°, la capacidad de disipación de un resistor es la que especifica el fabricante como potencia máxima, la cual permanece constante dentro de un rango 8
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de temperaturas bastante grande. Pero a partir de un cierto límite, la capacidad de disipación comienza a disminuir proporcionalmente con el aumento de temperatura.
2.2
CONDENSADORES
Definición Un condensador es un componente circuital cuya principal característica es la de almacenar en el campo eléctrico existente en él, la energía que recibe del circuito donde está conectado. En este elemento puede considerarse despreciable la energía almacenada en el campo magnético, y por lo general la energía disipada en forma de calor. Básicamente un condensador consta de dos placas conductoras extensas (electrodos) entre las cuales se encuentra un material dieléctrico, como se puede observar en la Figura 3.18. Al aplicar una diferencia de potencial entre las dos placas, se crea un campo eléctrico entre ellas.
Figura 6
Estructura de un Condensador
Como se verá más adelante, se puede clasificar los condensadores según el tipo de material dieléctrico utilizado en su construcción.
Especificación Valor nominal. Al igual que con las resistencias, el primer parámetro que nos interesa conocer de un condensador es el valor de su capacitancia. Por lo general, el fabricante especifica este valor bien escribiéndolo sobre el componente o empleando un código de colores similar al de las resistencias. En la tablas siguientes están tabulados algunos de los valores nominales de tres tipos de condensadores existentes en el mercado
Tabla 5
Valores nominales para condensadores cerámicos ( pF)
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Tabla 6
Valores nominales para condensadores de tantalio (μF)
Tolerancia. Al igual que en las resistencias, el fabricante especifica el rango de valores alrededor del valor nominal dentro del cual puede hallarse el valor real del condensador. Por ejemplo, tanto los condensadores de la Tabla 5 como los de la Tabla 6 tienen por lo general una tolerancia del 10%.
Voltaje máximo entre los terminales . Los materiales dieléctricos con los cuales están construidos los condensadores pueden soportar cierta diferencia de potencial entre sus extremos. Si el voltaje aplicado es superior al máximo soportable, el dieléctrico se destruye, por lo tanto, es necesario que el fabricante especifique el voltaje máximo al que puede operar cada condensador. (Haciendo una analogía con las resistencias, especificar el voltaje máximo de un condensador es equivalente a especificar la potencia máxima de una resistencia. Si en cualquier caso se exceden las limitaciones indicadas por el fabricante, el componente se destruye). 10
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Resistencia asociada. Los materiales dieléctricos que constituyen los condensadores no son aislantes perfectos, es decir, presentan cierta conductividad, por lo tanto por ellos circula cierta cantidad de corriente, la cual produce pérdidas. En otras palabras, el condensador no almacena toda la energía que recibe, sino que parte de la misma la disipa en forma de calor. Debido a esto el modelo circuital de un condensador es el presentado en la figura siguiente:
Figura 7
Modelo para un Condensador
La resistencia R representa las pérdidas existentes debido a que el dieléctrico no es perfecto. Por lo general, el valor de esta resistencia es elevado (del orden de los cientos de K ). Además de los parámetros ya mencionados, el fabricante también especifica para estos componentes el rango de temperatura de operación, la estabilidad, la vida de almacenamiento, etc.
Clasificación Condensador con dieléctrico de aire. Este tipo de condensadores se utiliza cuando se necesitan condensadores variables, como por ejemplo en el circuito de sintonización de un radio. (Figura 8). Los valores de capacitancia que se pueden conseguir con este dieléctrico son pequeños (del orden de las decenas o centenas de pF).
Figura 8
Capacitor variable con dieléctrico de aire
Condensadores de mica. La mica es un material que presenta bajas pérdidas, gran estabilidad y una rigidez eléctrica elevada, lo cual la convierte en un elemento ideal para ser utilizado como dieléctrico de un condensador, pero tiene la desventaja de que es muy costosa, y por lo tanto su uso es muy limitado. Los condensadores de mica se emplean en circuitos resonantes donde se requiere un condensador estable y de bajas pérdidas. La constante dieléctrica de este material es 7,5. La Figura 9 presenta la estructura de este tipo de condensadores. 11
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Figura 9
Condensador de mica
También se fabrican condensadores con las mismas características que los de mica, pero empleando cera o vidrio como material dieléctrico. Las constantes dieléctricas de estos elementos son 3 y 7,6 respectivamente.
Condensadores de papel. El dieléctrico utilizado en este tipo de condensadores es papel encerado, cuya constante dieléctrica es igual a 4, y los electrodos pueden ser o bien de papel de aluminio o bien estar constituidos por aluminio depositado directamente sobre el papel. En ambos casos todo el conjunto se enrolla para formar un paquete que es tratado al vacío, impregnando con aceite o cera y sellado, para que no lo afecte la humedad (Figura 10).
Figura 10
Condensador de papel
Condensadores de plástico. Las características constructivas de estos condensadores son similares a las de los anteriores, con la diferencia de que en este caso el dieléctrico es polietileno, cuya constante dieléctrica es igual a 3. Este material presenta pocas pérdidas eléctricas y su costo es bajo, debido a lo cual los condensadores de plástico son muy comunes en los circuitos electrónicos.
Condensadores de cerámica. Este material presenta una constante dieléctrica que puede estar comprendida entre 2 y 10.000, por lo tanto pueden fabricarse con él condensadores de valores muy variados, pero tiene la desventaja de presentar varias restricciones en cuanto a voltaje máximo que puede soportar, temperatura máxima, frecuencia máxima, etc. 12
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Condensadores electrolíticos. El diseño de estos condensadores se basa en el hecho de que algunos metales, cuando se sumergen en una solución adecuada y se hace circular corriente continua entre ellos a través de la solución, forman una capa aislante delgada a su alrededor (proceso que se conoce con el nombre de anodización). Esta capa presenta una capacidad muy grande por unidad de superficie y es capaz de soportar un voltaje considerable, con tal de que la polaridad del mismo sea igual al del utilizado en su proceso de fabricación. Los detalles de fabricación de estos condensadores pueden variar de uno a otro, pero en general los electrodos son de papel de aluminio y entre ambos se encuentra un papel o gasa impregnado de la sustancia electrolítica. Todo el conjunto se enrolla y se introduce en un tubo de cartón. Los condensadores electrolíticos presentan pérdidas relativamente muy altas y son inestables con respecto a las variaciones de tiempo, frecuencia y temperatura. Sin embargo, son los más utilizados debido a su pequeño tamaño
2.3
BOBINAS O INDUCTORES
Definición Una bobina es un componente circuital cuya principal característica es almacenar en el campo magnético existente en él, la energía que recibe del circuito donde está conectado. En este elemento hay que tomar en cuenta la energía disipada en forma de calor, pero por lo general la energía almacenada en el campo eléctrico puede considerarse despreciable. Las bobinas están constituidas por un alambre enrollado alrededor de un núcleo, que puede ser o no un material ferromagnético, como se indica en la figura siguiente:
Figura 11 Tipos de bobinas Al circular corriente por cada una de las espiras se crea un campo magnético, cuya intensidad es mayor dentro de los arrollados. 13
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Ahora bien, las propiedades de una bobina pueden cambiar según si el material con el cual está elaborado el núcleo es ferromagnético o no. Si dicho material no es ferromagnético, la característica de la bobina de flujo magnético contra corriente es aproximadamente lineal ya que puede representarse mediante la gráfica de la figura siguiente:
Figura 12
Característica de una bobina con núcleo no ferromagnético
Pero si el núcleo es ferromagnético, la característica de flujo magnético contra corriente en el inductor es no lineal, ya que presenta la forma mostrada en la Figura 13. Esta característica recibe el nombre de ciclo de histéresis. La explicación física del fenómeno que ocurre debido a la presencia del material ferromagnético, es la siguiente:
Figura 13
Característica de una bobina con núcleo ferromagnético Ciclo de Histéresis
Cuando comienza a circular corriente por la bobina y el valor de dicha corriente aumenta en el sentido positivo, la magnitud del flujo magnético aumenta (línea ascendente punteada), hasta que para una corriente i 1 el flujo magnético satura, permaneciendo en un valor constante aunque se siga incrementando la corriente. Si la corriente comienza a disminuir por debajo del valor i 1, el flujo también disminuye, pero como podemos observar en la figura anterior, lo hace siguiendo una curva diferente a la inicial ya que existe un flujo remanente, cuya magnitud se pone claramente en evidencia cuando la corriente es nula. El material ferromagnético se comporta como un imán permanente, y por lo tanto tiene cierto campo magnético sin necesidad de que circule corriente por la bobina. 14
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Si a continuación se aplican valores negativos de corriente, el material ferromagnético se desimanta completamente (el flujo se anula), después de lo cual la magnitud del flujo comienza a aumentar en sentido contrario hasta un punto, correspondiente a la corriente -i 2, en el que nuevamente satura. Haciendo disminuir la magnitud de la corriente en sentido negativo y aumentándola en el positivo se completa el ciclo (línea continua), que se repetirá cíclicamente al variar la corriente.
Especificaciones Valor nominal y tolerancia. El fabricante debe especificar en primer lugar el valor nominal de la bobina y su tolerancia, como lo hace con las resistencias y los condensadores. Para este tipo de componentes no existe ningún código de colores, por lo que el valor se indica numéricamente sobre el elemento o se incluye en una tabla o en un manual.
Resistencia interna. El alambre con el cual está construida la bobina presenta una cierta resistencia cuyo valor es necesario conocer, ya que puede tener gran influencia en el circuito donde se ponga a operar la bobina. Por lo general, el fabricante especifica este valor en la tabla de características del componente en cuestión.
Corriente máxima. Debido a la resistencia interna, la bobina disipa cierta cantidad de potencia en forma de calor. Ahora bien, como para toda resistencia, esta cantidad de potencia disipada tiene un máximo que es necesario especificar. Por lo general, para este tipo de componente no se especifica directamente la potencia, sino que se indica la corriente máxima (DC) que puede circular, la cual produce dicha disipación máxima. Para las bobinas de núcleo ferromagnético, se especifica la corriente para la cual el flujo magnético satura.
Frecuencia de operación. Como hemos dicho, las bobinas están construidas con alambres enrollados sobre un núcleo. Ahora bien, entre espira y espira existe una cierta capacitancia (ya que se encuentran dos conductores separados por un dieléctrico). Por lo tanto, para representar todos los efectos mencionados, se puede usar el modelo circuital presentado en la Figura 14:
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Figura 14
Modelo de una bobina
3
CIRCUITOS ELÉCTRICOS RESISTIVOS
3.1
CONCEPTOS BÁSICOS Circuito Eléctrico: combinación de componentes eléctricos que forman un camino conductor (trayectoria cerrada). Corriente: Símbolo I. Flujo de cargas eléctricas. La corriente es el resultado del movimiento de electrones o iones bajo la influencia de una f.e.m. o fuerza electromotriz . Se mide en amperes(A). Directa o Continua (C.D o C.C): Corriente que sólo fluye en una dirección. Alterna (C.A.): Corriente eléctrica que invierte su sentido de manera periódica. En el caso más simple la corriente varía con el tiempo ( t ) de modo armónico simple representado por la ecuación siendo f la frecuencia. i (t) = i 0 s en (2 f t) , Diferencia de Potencial: Símbolo V . Es la diferencia de potencia eléctrico entre dos puntos de un campo eléctrico o de un circuito eléctrico. Resistencia Eléctrica: Símbolo R . Es la relación entre la diferencia de potencial a través de elemento eléctrico y la corriente de este. La resistencia mide la oposición del elemento al flujo de la carga. Fuente de Fuerza Electromotriz: (f.e.m.) Medida de la energía suministrada por una fuente de corriente eléctrica. Es la energía que supone llevar una unidad de carga en torno al circuito en dirección opuesta a la fuerza electromotriz. La unidad de f.e.m. es el volt (V). Circuito en Serie: Los elementos de un circuito están en serie si se conectan de modo que cada uno lleve la misma corriente I sucesivamente. Circuito en Paralelo: Elementos en un circuito eléctrico conectados de modo que la corriente se divide entre ellos y se reúne en el otro extremo. A veces en vez de conexión en paralelo se dice conexión en derivación. Circuito en Serie-Paralelo: Circuito donde los elementos se encuentran tanto en serie como en paralelo
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3.2
LEY DE OHM
Antecedentes En 1827 el profesor alemán Georg Simon Ohm (1789-1854) publicó un trabajo titulado ``El circuito galvánico investigado matemáticamente'' , en el que establecía la que hoy se conoce como Ley de Ohm, que relaciona la intensidad de corriente I y el potencial V con la resistencia eléctrica R de un elemento o componente del circuito. A partir de ese momento, se abrió la puerta para el desarrollo de los estudios y aplicaciones eléctricas, ya que esta ley sirve para resolver gran cantidad de situaciones prácticas cotidianas Esta ley se representa matemáticamente como: (9)
R=
Donde R es la constante de proporcionalidad, denominada resistencia, cuya unidad es el ohm, representada por la letra griega omega mayúscula. De acuerdo con la ecuación V = RI se define que: 1
(10)
=
Como se indicó anteriormente, el símbolo manera:
Figura 15
para la resistencia
se representa de la siguiente
Símbolo para una Resistencia
Teniendo en cuenta la convención pasiva de signos la corriente entra por la terminal de mayor potencial y sale por la de menor potencial, esto indica que este elemento consume energía y la energía perdida la refleja en forma de calor; la razón de cambio de disipación de energía, representada por potencia instantánea, por deducción es:
P=
=
=
2
(11)
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Al ser R constante se obtiene de su gráfica una línea recta, por esto el resistor se denomina resistencia lineal, como se observa en la siguiente figura:
Figura 16
Variación lineal de la resistencia
Otra definición importante, que es considerada como el inverso de la resistencia y además es muy útil en algunas ocasiones, es la conductancia, definida por
G=
(12)
Al ser el inverso de la resistencia se puede deducir
I=
(13)
Así, la potencia se obtiene mediante P = GV 2 = =
(14)
La unidad definida por el Sistema Internacional para determinar la conductancia es el Siemens, representada por S, sin embargo en algunas ocasiones se utiliza otra unidad conocida como mho que hace referencia al inverso de la resistencia donde la unidad es ohm. Sobre la base del concepto de resistencia se puede definir otros dos conceptos importantes para el análisis de circuitos eléctricos. Circuito abierto : Se define como una resistencia infinita, es una interrupción del circuito por la cual no puede ir o viajar una corriente, independientemente del voltaje que se aplique entre las terminales que lo forman.
18
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Figura 17
Circuito Abierto
Corto circuito : Se define como una resistencia de cero ohms, es la conexión ideal entre dos terminales de un circuito y por mayor que sea la corriente que atraviese esta conexión, el voltaje sobre sus terminales es cero.
Propiedades de los circuitos
Figura 18
Cortocircuito
En los circuitos eléctricos y electrónicos, existen tres formas básicas de conexión de las resistencias: en serie, en paralelo y en una disposición mixta; si bien existen combinaciones más complejas. No obstante, siempre es posible estudiar el comportamiento de un circuito reduciéndolo a una de dichas formas de conexión.
Propiedades de un circuito serie En la figura siguiente se representas tres resistencias conectadas en serie con una fuente de tensión E. En esta conexión sólo existe un camino para la corriente, de donde se deduce que dicha corriente es la misma para todo el circuito.
Figura 19
Circuito Serie
19
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Puesto que la corriente debe circular por R 1, R2 y R3, y cada una de estas resistencias se opone al paso de la misma, la oposición total al paso de la corriente será la suma de R 1, R2 y R 3 ; es decir, pueden sustituirse dichas resistencias por otra cuyo valor sea igual a su suma: R T =
R1 + R2 + R3
(15)
La corriente que circulará por el circuito es, según la ley de Ohm: I =
=
(16)
El valor de RT puede obtenerse de distintas formas:
Desconectar la fuente de tensión E y medir la resistencia entre los puntos A y B por medio de un óhmetro. Medir la corriente y la tensión, y aplicar la fórmula: =
(17)
Puesto que se conocen los valores de cada una de las resistencias, efectuar una simple suma.
Propiedades de un circuito paralelo En el circuito de la figura se representan tres resistencias en paralelo con una fuente de tensión E. En esta disposición, la corriente total IT se divide y circula por cada una de las tres ramas formadas por R 1, R2 y R3. Obsérvese que la tensión aplicada a cada una de estas resistencias es la misma, ya que eléctricamente los puntos A, C y F se reducen al punto X; así como B, D y G lo hacen al Y.
20
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Figura 20
Circuito Paralelo
La corriente IT viene dada por la expresión: I T =
=
(18)
=
o también por: (19)
I T =
de donde igualando se obtiene una expresión con la cual obtenemos el valor de la resistencia equivalente de una asociación en paralelo de resistencias. Dado que la tensión aplicada a cada una de las resistencias es la misma, la corriente que circulará por cada una de las resistencias es: Por R1
I 1 =
por R2
I 2 =
por R3
I 3 =
por lo tanto la suma de estas corrientes será igual a la que suministra la fuente de tensión E, es decir, I T. I T = I 1 + I 2 + I 3
(20)
Para medir I T, bastará interrumpir el circuito en los puntos X o Y e insertar el amperímetro. Si se desea medir I 1, I2 e I3, se interrumpe el circuito en A o en B, en C o en D y en G o en F, respectivamente. Un procedimiento sencillo para determinar el valor total R T de las resistencias conectadas en derivación, es interrumpir el circuito en X o en Y para eliminar la fuente de tensión y utilizar un óhmetro para tal fin. De igual manera, si se desea medir el valor de R 1, R2 o R3, se desconecta uno de sus terminales del circuito y se conecta entre sus bornes el óhmetro.
3.3
LEYES DE KIRCHHOFF
Con la ley de Ohm se pueden encontrar los valores de voltaje y corriente para un elemento de un circuito, pero en general los circuitos están conformados por varios de ellos, interconectados en una red o malla, la cual utiliza conexiones ideales, que permiten fluir la corriente de un elemento a otro, sin acumular carga ni energía, con esta apariencia la red recibe el nombre de circuito de elementos de parámetros concentrados.
21
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Los puntos donde se unen los diferentes elementos, que conforman el circuito en general, se denominan Nodos, hay que tener cuidado, para no cometer el error, de confundir varias conexiones con varios nodos, dentro de las cuales no existan elementos del circuito, por ejemplo se ve en la Figura 21 a), donde se pueden marcar varios puntos de conexión, pero es un solo nodo en realidad, para identificar mejor los nodos a veces es buena idea dibujar el esquema del circuito; de tal forma que se vean solo las conexiones entre elementos, por ejemplo, el circuito de la figura anterior quedaría así (ver Figura 21 b)):
Figura 21
Identificación de Nodos en un Circuito
Después de identificar las conexiones o nodos, también se deben observar las trayectorias que se forman, por ejemplo, en los circuitos mostrados se tienen trayectorias sencillas que involucran una fuente independiente y una resistencia, esto es un camino cerrado. Si se sigue imaginariamente el camino que recorre la corriente, así como el agua dentro de una tubería y se regresa al punto de donde se partió, se tiene un lazo o camino cerrado, con estos conceptos se puede entrar a estudiar las técnicas básicas, para resolver circuitos que contengan varios elementos y caminos. Ver Figura 22.
Figura 22
Circuito de un solo lazo
Gustav Robert Kirchhoff (1824 –1887) fue el primer científico en postular reglas sencillas que permitieran resolver circuitos complejos, esto es, donde las agrupaciones de resistencias o la presencia de más de una fuente no permitieran utilizar el método de la resistencia equivalente en su resolución. Así, para resolver circuitos conformados por más de una resistencia y una fuente de voltaje o corriente, en 1847 Kirchhoff postuló dos leyes que llevan su nombre y que se explican a continuación: 22
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Primera Ley de Kirchhoff: es conocida como la Ley de Corrientes de Kirchhoff (LCK) y su enunciado es el siguiente: "La suma algebraica de las corrientes que entran o salen de un nodo es igual a cero en todo instante". Para entender mejor esta ley se puede asimilar un nodo como la interconexión de una red de acueducto, donde se tiene una conexión en forma de T, con tres tubos de los cuales por dos de ellos llega el agua y por el tercero sale la suma de los dos anteriores, si se lleva esto a la teoría de circuitos, la corriente viene siendo representada por el flujo de agua y los conductores por los tubos, dentro de los tubos, no se puede acumular el agua, por lo tanto toda la cantidad que entra en este sistema debe ser la misma que sale, de la misma forma se asume que en los conductores y nodos no se puede acumular carga, ni hay pérdidas de energía por calor, la corriente que entra al nodo debe ser la misma que sale.
Figura 23
Ley de Corrientes de Kirchhoff
Otra forma de expresar la Ley de Corrientes de Kirchhoff es la siguiente:
(21) ) y su Segunda Ley de Kirchhoff : es conocida como la Ley de Voltajes de Kirchhoff (LVK enunciado es el siguiente: "La suma algebraica de los voltajes alrededor de cualquier lazo (camino cerrado) en un circuito, es igual a cero en todo instante". Para entender mejor esta ley se puede reflejar dentro de un marco físico conservativo como es el gravitacional, donde el desplazamiento de una masa, alrededor de una trayectoria cerrada provoca un trabajo resultante de cero sobre la misma. Ver Figura 24 El ejemplo más sencillo es en niño lanzando un balón al aire y recibiéndolo nuevamente, el balón describe una trayectoria cerrada cuyo trabajo total es igual a cero.
23
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Figura 24
Ley de Voltajes de Kirchhoff
Otra forma de expresar la ley de voltajes de Kirchhoff es la siguiente
(22)
La Primera Ley es una consecuencia de la Ley de Conservación de la Carga, mientras que la segunda es una ampliación de la Ley de Ohm y se deduce de la Ley de Conservación de la Energía.
Resistencias en Serie y Paralelo Se dice que dos elementos están en serie si se cumple: Sólo tienen una terminal en común. Ningún otro elemento está conectado a dicha terminal. Se deduce entonces que la corriente que pasa por cada uno de los elementos en la conexión en serie es la misma. Si se aplica la ley de Kirchhoff de voltajes para una larga cadena de resistencias conectadas en serie se tiene que:
Vs = V1 + V2 +V3 + V4 +V5 + ... + V n.
(23)
Y, de acuerdo con la ley de Ohm, para cada elemento se tiene:
V1 = iR1,
V2 = iR2,
V3 = iR3, ...
, Vn = iRn
Con la corriente en común se puede factorizar la parte derecha de la ecuación, entonces:
Vs = i (R1+R2+R3+R4+...+R n),
(24) 24
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De donde (R 1+R2+R3+R4+...+Rn) se puede remplazar por R eq., con lo cual se puede reducir el circuito a una fuente independiente y una resistencia equivalente, algo que es muy útil para reducir los cálculos en la solución de ejercicios, por ejemplo: Se tiene un circuito con cinco resistencias en serie, todas conectadas a una fuente independiente como muestra la figura siguiente y se conocen los siguientes valores:
R1 = 5Ω, R2 = 4Ω, R3 = 6Ω, R4 = 10Ω, R5 = 15Ω Figura 25
Arreglo de resistencias en serie
La fuente de voltaje proporciona 80 V, donde este voltaje se denomina VS. Para encontrar la corriente que circula por el circuito y el voltaje en cada uno de sus elementos, se tiene en cuenta su conexión y se encuentra su resistencia equivalente. Luego se utiliza la ley de Ohm para encontrar i, así se obtiene: Req = 40 Ω I = 2 A. Conociendo esto y aplicando la Ley de Ohm para cada resistencia se tiene que: V1 = 10 V. V2 = 8 V. V3 = 12 V. V4 = 20 V. V5 = 30 V. Y corroborando la Ley de Kirchhoff de voltajes se tiene: V1 + V2 + V3 + V4 + V5 = Vs 10 + 8 + 12 + 20 + 30 = 80V. En términos generales una resistencia equivalente es el modelo matemático de un conjunto de resistencias conectadas bajo ciertas condiciones, o simplemente es la resistencia que se observa entre dos puntos por parte del circuito.
25
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La otra conexión fundamental es la conexión en paralelo, que se define como en el caso de la conexión en serie, la conexión en donde los elementos que la conforman están conectados al mismo par de nodos y tienen entre sus terminales el mismo voltaje. Se puede asumir que es una conexión donde cada elemento nuevo que llega conecta sus terminales a los mismos nodos donde se conecto el elemento anterior. De igual forma que en la conexión en serie, también se puede encontrar una resistencia equivalente para varias resistencias conectadas en paralelo. Como en este caso se tiene en común el voltaje en sus terminales, para encontrar la resistencia equivalente se utiliza LCK (Ley de Corrientes de Kirchhoff).Ver Figura 26.
Figura 26
Arreglo de resistencias en Paralelo
Después de establecer las leyes básicas de análisis de circuitos se comienza ahora con la aplicación más elemental de dichas leyes, el análisis del circuito de un solo lazo. En la ilustración siguiente se observa la conexión en serie de dos baterías y dos resistencias; suponiendo que son conocidos los valores de las resistencias y las fuentes de voltaje, se tratará de calcular la corriente y la potencia de cada elemento. Por definición, se dice que todos los elementos a través de los cuales circula la misma corriente están conectados en serie
Figura 27 Conexión serie El modelo equivalente del circuito es el que se aprecia en la ilustración siguiente. 26
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Figura 28 Modelo equivalente del circuito de la Figura 27
En forma paralela al circuito analizado en la sección anterior, se analizará el circuito con un solo par de nodos, en el cual un número cualquiera de elementos simples se conectan al mismo par de nodos (Ver Figura 29).
Figura 29 Circuito con un par de nodos
Cada resistencia tiene el mismo voltaje, y el quitar o poner resistencia no afecta el voltaje aplicado a las demás. Se dice que los elementos que tienen un voltaje común, están conectados en paralelo, Figura 29. Luego, es posible deducir dos expresiones para facilitar en algunos casos el análisis de circuitos y ayudar a calcular la respuesta por un camino más corto. La primera de estas expresiones sirve para encontrar el voltaje dentro de un conjunto de resistencias en serie. Se puede empezar por deducir esta expresión para un par de resistencias; partiendo del circuito de la figura siguiente, y aplicar LVK, lo cual da como resultado:
27
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Figura 30 Circuito de un solo lazo Aplicando la ley de Ohm:
(25)
Combinando las ecuaciones se obtiene: (26) Despejando i: (27) Si se realiza el mismo cálculo para el circuito con su resistencia equivalente:
(28) El anterior resultado, con la resistencia equivalente hace que los dos circuitos sean equivalentes ya que se presenta entre sus terminales la misma relación de voltaje y corriente. Combinando las ecuaciones anteriores se obtiene para cada voltaje
(29)
Para generalizar este resultado se puede imaginar N resistencias en serie y una fuente de voltaje, aplicando el divisor de voltaje para una resistencia i-ésima, da como resultado:
(30)
Donde se confirma que el potencial de la fuente se divide entre las resistencias en forma directamente proporcional a ellas.
28
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La segunda de estas expresiones sirve para encontrar, la corriente dentro de un conjunto de resistencias en paralelo, para entenderla mejor se puede empezar por deducir esta expresión para un par de resistencias; partiendo del circuito de la Figura 31, y aplicando LCK, da como resultado:
Figura 31
Circuito con un par de nodos (31)
Aplicando la ley de Ohm, con conductancia:
(32)
Reemplazando en la ecuación anterior (33) Despejando V (34) Combinando las ecuaciones
(35) Esto indica que la corriente se divide en forma proporcional a las conductancias de un circuito en paralelo, para las resistencias:
29
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(36) En este caso la corriente se divide en forma inversamente proporcional al valor de las resistencias del circuito en paralelo. 3.4
CIRCUITO DIVISOR DE TENSIÓN
En ocasiones es necesario obtener para un mismo circuito tensiones más reducidas que la tensión proporcionada por la fuente que lo alimenta, para lo cual se utilizan resistencias dispuestas en una configuración especial lo que evita tener que disponer de diversas fuentes con diferentes tensiones dentro de un mismo circuito. Un circuito divisor de tensión nos permite obtener tensiones diferentes a la de suministro por medio de un circuito serie, tensiones que se pueden aplicar a otros circuitos de menor tensión. El divisor de tensión continua más sencillo que se puede construir, consta de dos resistencias R1 y R2, conectadas en serie, en cuyos extremos se aplica una tensión continua E.
Figura 32
Circuito Divisor de Tensión
Las tensiones en los extremos de las resistencias, calculadas utilizando la Ley de Ohm, son: E 1 = I·R 1
y
E 2 = I·R 2
De la relación entre ambas tensiones:
=
=
Se deduce que en un circuito serie, la caída de tensión en cada resistencia es proporcional al valor de dicha resistencia. La corriente I que atraviesa las resistencias se calcula como la tensión en bornes, E, dividida por la resistencia equivalente de ambas (la suma R 1 + R2 por estar en serie). V BC = I·R 2 = R 2
(37)
Se puede comprobar que si se calcula de la misma manera la tensión en bornes de la resistencia R1, la suma de las tensiones de ambas resistencias proporciona la tensión E de entrada al divisor. Utilizando la ecuación (37) se deduce que si R 1= R2 la tensión de salida es justamente la mitad de 30
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la tensión de entrada. Por otra parte, si R 2 tensión de entrada.
R1, la tensión de salida coincide prácticamente con la
No siempre es fácil hallar en el mercado el valor exacto de la resistencia necesaria para obtener una tensión específica. Para superar esta dificultad y obtener un amplio margen de valores, se utiliza el potenciómetro . Este componente es, en esencia, una resistencia con tres terminales, ordinariamente de forma cilíndrica. La resistencia existente entre los dos terminales exteriores es constante y es el valor que se indica en el potenciómetro. El terminal central está conectado a un cursor o contacto deslizante y es el que permite obtener toda la gama de valores comprendidos entre cero y la resistencia total.
4
MÉTODOS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS RESISTIVOS
4.1
INTRODUCCIÓN
El análisis de circuitos eléctricos está vinculado por lo general con la solución de un conjunto de n ecuaciones con n variables. Se han desarrollado dos métodos sistemáticos, el primero de ellos basado en la Ley de Voltajes de Kirchhoff, LVK, y el segundo basado en la Ley de Kirchhoff de las Corrientes, que permiten formular y resolver los sistemas de ecuaciones que describen los circuitos complejos en forma sistemática Estos métodos permiten resolver los circuitos lineales (circuitos cuyos componentes muestran una relación lineal entre la intensidad de corriente y la tensión) planteando de forma sistemática un sistema de ecuaciones para ciertas variables. Antes de presentar los métodos, es conveniente determinar con precisión el significado de ciertos conceptos: Rama: Conexión en serie de componentes. Nudo: Punto de unión de tres o más ramas. Lazo: Conjunto de ramas que forman una trayectoria cerrada. Red: Conjunto de nudos y ramas. Malla: Lazo que no contiene ningún otro lazo, es decir es el recorrido de una red, tal que partiendo de un punto se vuelve a él sin pasar dos veces por un mismo nudo.
4.2
MÉTODO DE LAS CORRIENTES DE MALLA
El Método de las Corrientes de Malla o Método de Mallas tiene pro objeto la resolución general de un circuito plano cualquiera, esto es, determinar la corriente de cada rama del circuito, lo que a su vez permite calcular la tensión o voltaje de cada nudo con respecto a cualquier otro nudo. Conocidos la corriente y el voltaje, se puede calcular la potencia generada o consumida por cualquier elemento del circuito y llevar a cabo un balance de potencia. Este método simplemente “reorganiza” las expresiones resultantes de la aplicación de las Leyes de Kirchhoff, de modo que las variables incógnitas son las denominadas corrientes de malla. 31
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La resolución de un circuito cualquiera por el Método de Malla involucra los siguientes pasos: 1. Identificar las mallas del circuito. 2. Definir las corrientes de mallas, asociando a cada malla una corriente (sentido horario). 3. Aplicar la Ley de Voltajes de Kirchhoff lo que implica un sistema de ecuaciones lineales con
igual número de ecuaciones y de incógnitas. 4. Resolver el sistema de ecuaciones lineales y obtener las corrientes de malla. 5. Determinar las corrientes en cada rama 6. Conocidas las corrientes de rama, determinar las tensiones de cada nudo respecto de un nudo
arbitrario de referencia.
Ejemplo de aplicación: Considerar el siguiente circuito:
Figura 33
Circuito con dos mallas elementales
1. Identificar las mallas del circuito: identificar un número mínimo de mallas que recubra completamente el circuito. En el caso del circuito de la Figura, se puede comprobar que el circuito es recubierto por al menos dos mallas, siendo su elección más trivial, la malla de la izquierda (malla 1) y la de la derecha (malla 2). 2. Definir las corrientes de malla. Para cada una de las mallas se define su intensidad de corriente de malla respectiva (con su sentido) como aquella intensidad de corriente que recorre la malla: i 1 e i 2 ; Como puede observarse, la corriente que circula por las resistencias R 1, R2 y la Fuente de Voltaje V1 es la definida como i 1, la corriente que circula por las resistencias R 4, R 5 y la Fuente de Voltaje V 2 es la definida como i 2, pero la que circula por R 3 es la corriente i 3, la cual se puede expresar en función de las corrientes de malla i 1 e i 2. Para ello se debe aplicar la LCK en el nodo A, obteniéndose: (38)
32
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Figura 34
Asignación de corrientes de malla para el circuito
3. Aplicar la Ley de Voltajes de Kirchhoff Para resolver el circuito, es decir, determinar el valor de las corrientes de malla i 1 e i2, se va a aplicar la LVK a cada una de las dos mallas elementales. Las ecuaciones que se obtienen son las siguientes:
(39) 4. Resolver el sistema de ecuaciones lineales Arreglando términos y sustituyendo i 3 por la expresión de la ecuación (39) se obtiene:
(40) De donde
(41) 5. Determinar las corrientes de rama. (Ejercicio propuesto) 6. Determinar los voltajes de nudo. (Ejercicio propuesto)
Al analizar el sistema de ecuaciones (41) se pueden deducir las siguientes conclusiones: Dadas las direcciones de las corrientes de malla, i 1 e i2, las fuentes de voltaje, que se encuentran en el lado izquierdo de las ecuaciones, tienen signo positivo si la corriente de malla entra por el terminal negativo de la fuente, dado que en este caso representan un alza de voltaje en el lazo, mientras que tienen signo negativo si la corriente de malla entra por el terminal positivo, lo cual corresponde a una caída de voltaje en dicho lazo. En el lado derecho de las ecuaciones se encuentran los productos de las corrientes de malla por las resistencias del circuito. El término que multiplica a i 1 en la primera ecuación es (R 1 + R 2 + R 3). 33
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Este término es la suma de todas las resistencias que se encuentran en la malla de la corriente i 1. En forma similar, el término que multiplica a i 2 en la segunda ecuación es (R 3 + R4 + R5), el cual es la suma de todas las resistencias que se encuentran en la malla de la corriente i 2. Por otra parte, en la primera ecuación, la corriente i 2 está multiplicada por -R 2. Esta es la resistencia que la malla de i 1 comparte con la malla de i 2. El signo menos se debe a que a través de la resistencia R 3 la dirección de la corriente i 1 es opuesta a la de la corriente i 2. De igual forma, en la segunda ecuación, la corriente i 1 también está multiplicada por -R 2, la resistencia que comparten ambas mallas. R2 recibe el nombre de resistencia mutua entre las mallas 1 y 2.
Expresión Matricial del Método de Mallas El sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas correspondiente al ejemplo de aplicación anterior, se puede escribir en forma matricial, tal como se indica a continuación:
(42) En general, esta ecuación matricial de dos incógnitas puede escribirse de la siguiente forma:
(43) El término de la izquierda es una matriz columna en la que se encuentran las fuentes de voltaje de cada una de las mallas. El término de la derecha está formado por el producto de dos matrices: una matriz cuadrada en la que todos los elementos son resistencias y una matriz columna, donde se encuentran las corrientes de malla que constituyen las incógnitas del sistema. La diagonal principal de la matriz cuadrada, los términos Rii, contienen las resistencias totales de cada una de las mallas elementales de la red, mientras que los elementos que ocupan las posiciones Rih contienen la resistencia común entre las mallas i y h, con signo negativo. Por supuesto la resistencia Rih debe ser igual a Rhi. Una vez definida esta ecuación matricial es posible determinar las corrientes incógnita i 1 e i2. Estas conclusiones se pueden generalizar a cualquier red plana con n mallas elementales que constan de resistencias y fuentes de voltaje independientes
4.2
MÉTODO DE LAS TENSIONES DE NUDO (o NODO)
El Método de las Tensiones de Nudos es aplicable a cualquier red, plana o no plana. Se basa en el análisis de los nudos independientes de la red. El número de nudos independientes de una red es igual al número de nudos totales menos uno, el cual es el nudo de referencia o nudo de tierra. Este método permite la resolución sistemática de un circuito lineal cualquiera, calculando las tensiones de todos los nudos del circuito con respecto a un nudo de referencia. Estas tensiones son las variables a determinar. Conocidas estas tensiones, se calculan las corrientes en todas las ramas del circuito. Luego, se puede calcular la potencia generada o consumida por cualquier elemento del circuito. 34
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Para definir el procedimiento del Método de Nodos se va a considerar en primer lugar una red con dos nodos independientes, a cada uno de los cuales está conectada una fuente de corriente independiente, según se puede observar en la Figura 35.
Figura 35
Red con dos nodos independientes.
El primer paso para aplicar el Método de Nodos consiste en asignarle a cada nodo independiente un voltaje referido al nodo de tierra, en el cual por definición el voltaje es cero. Estos voltajes se definen asignando el terminal positivo al nodo independiente y el negativo al nodo de tierra, tal como se muestra en la Figura 36.
Figura 36
Asignación de los voltajes de nodo en el circuito de la Figura 35.
Como puede observarse, el voltaje sobre la resistencia R1 es v1, el voltaje sobre la resistencia R2 es v2, y el voltaje sobre la resistencia R3 es v3, el cual se puede expresar en función de los voltajes independientes v1 y v2. Para ello se debe aplicar la LVK en el lazo formado por las tres resistencias, obteniéndose: (44) Para resolver el circuito, es decir, determinar el valor de voltajes independientes v1 y v2, se va a aplicar la LCK a cada uno de los dos nodos. En este caso es conveniente utilizar la conductancia como el parámetro que relaciona el voltaje con la corriente, tal como se indica en la Figura 36. Las ecuaciones que se obtienen son las siguientes: 35
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Figura 37
Circuito en el que se utiliza la conductancia para representar a los elementos disipativos.
(45) Arreglando términos y sustituyendo v3 por la expresión de la ecuación (4.11) se obtiene:
(46) De donde:
(47) Al analizar el sistema de ecuaciones (47) se pueden deducir las siguientes conclusiones: Dadas las polaridades de los voltajes independientes, v1 y v2, las fuentes de corriente, que se encuentran en el lado izquierdo de las ecuaciones, tienen signo positivo si la corriente entra por el terminal positivo del voltaje, dado que en este caso representan una corriente que se introduce en el nodo, mientras que tienen signo negativo si la corriente sale del terminal positivo del voltaje, lo cual corresponde a una corriente que sale del nodo. En el lado derecho de las ecuaciones se encuentran los productos de los voltajes independientes por las conductancias del circuito. El término que multiplica a v1 en la primera ecuación es (G1 + G3). Este término es la suma de las conductancias que se encuentran conectadas al nodo donde está definido el voltaje v1. En forma similar, el término que multiplica a v2 en la segunda ecuación es (G2 + G3), el cual es la suma de todas las conductancias que se encuentran conectadas al nodo donde está definido el voltaje v2. Por otra parte, en la primera ecuación, el voltaje v2 está multiplicado por -G3. Esta es la conductancia que el nodo v1 comparte con el nodo v2. El signo menos se debe a que en la conductancia G3 la polaridad del voltaje v1 es opuesta a la del voltaje v2. De igual forma, en la segunda ecuación, el voltaje v1 también está multiplicado por -G3, la 36