Control Automático I
Análisis de los Sistemas en la Frecuencia En el diseño de compensadores (controladores) estos se diseñan en estado estable, por lo tanto es necesario saber el comportamiento de los sistemas ante señales del tipo sinusoidal pero a la misma frecuencia, por lo tanto el proceso o planta también se puede representar de forma sinusoidal. Ahora, la forma de trabajar en estos sistemas es a través de una representación fasorial (módulo y ángulo) de una función de transferencia en lazo abierto. Los métodos que permiten el análisis de los l os sistemas en la frecuencia son:
Los diagramas de Nyquist (polares) Los diagramas de Bode (en decibeles) En ambos casos la función de transferencia se representa en fasores, por lo tanto se debe de cambiar el término de s jw, y con la expresión obtenida se determina el módulo aplicando el teorema de Pitágoras y el ángulo aplicando el arco tangente. La diferencia la aplican los diagramas de Bode en los cuales la amplitud se trabaja en decibeles por lo cual se le aplica a la amplitud el 20 logaritmo. Sea, FdT
M i i ∡ j ji i entrada
∡ ∡
∡j M ∡ j
M o∡ j jo salida
señal de entrada en fasor
señal de salida en fasor
∡ ∡ ∡ ∡ ∡ ∡
módulo de FdTL.A. [ GH(jw) ]
ángulo de fase de FdTL.A. [ GH(jw) ]
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M i
M o
j i
j i
j o
Ambas señales tienen la misma frecuencia, pero se produce un desfase al pasar por la función de transferencia, por lo tanto, a veces es necesario realizar una compensación en adelanto o en atraso según sea el desfase a modificar, esto requiere de una modificación en la frecuencia y por lo tanto es necesario saber si ésta modificación afectará y en cuanto a la estabilidad de la planta.
Representación en la Frecuencia Sea FdT una función en lazo abierto,
Si ahora hacemos “s jw”,
Al pasarlo a fasor nos queda:
∡ ∡ √ ∡() Nyquist
Grafica el desplazamiento del vector de FdT cuando w varía desde 0 hasta ∞ . 1 gráfica de amplitud y fase.
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Control Automático I j Im 0 (w0)
1(w=0)
Re
En matlab
num=[0 1]; den=[1 1]; nyquist(num,den); grid
o bien,
a=[1 1] FDT=tf(1,a) nyquist(FDT)
Bode Grafica los decibeles de la amplitud y el ángulo de fase cuando w varía desde 0 hasta ∞. 2 gráficas, una de ganancia en dB y otra de fase.
En matlab
num=[0 1]; den=[1 1]; bode(num,den); grid
o bien,
a=[1 1] FDT=tf(1,a) bode(FDT)
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G=dB w -20 dB/Déc
F=φ 0°
w
-90°
Estabilidad Tanto en Nyquist como en Bode, para que un sistema sea estable se debe de cumplir que el margen de ganancia (MG) y el margen de fase (MF) sean positivos.
Margen de Ganancia
MG
El margen de ganancia es una especificación típica del desempeño de un controlador asociada con la técnica en el dominio de la frecuencia. El margen de ganancia representa el factor mediante el cual la ganancia total del lazo debe aumentarse para hacer que el sistema se vuelva inestable.
Margen de Ganancia
MF
El margen de fase es otra especificación comúnmente asociada con el procedimiento de la respuesta de un sistema en el dominio de la frecuencia. El margen de fase es la diferencia entre – 180° y el ángulo fase a la frecuencia a la cual la Relación entre las amplitudes es uno.
Nyquist y Bode MG
Ganancia que le falta al sistema para llegar a 1 (0 dB), a la frecuencia j para la cual °
G(j)= -180
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MF
°
Fase (ángulo) que le falta al sistema para llegar a -180 , a la frecuencia g para la cual
G(jw) =g = 1 (0 dB)
Gráficamente en Nyquist
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Gráficamente en Bode
DIAGRAMAS DE BODE
Sea el siguiente sistema de control: R(s)
C(s)
Si se quiere analizar el valor de K para que el sistema sea estable, entonces se debe de obtener la FdT de lazo cerrado, es decir:
C ( s) R( s)
G( s)
1 G( s)
K s 1 K Página 6
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Luego se aplica el método de Routh a la ecuación característica :
1 G( s) H ( s) s 1 K Se aplica Bode sólo a la función de lazo abierto en la frecuencia, es decir:
G( jw) H ( jw)
K jw 1
Amplitud en decibeles:
dB 20 log G( jw) 20 log( K ) 20 log w2 1 Angulo de fase en grados: j
180º 1 imaginario 1 tan tan w real
-1
Los términos 20 log | | y tan (imag./real) serán dependiendo si la expresión se encuentra en el numerador (+) o denominador (-). También se debe de tener en cuenta que el cálculo del ángulo de fase se realiza en radianes . El margen de ganancia MG se obtiene cuando j = -180° El margen de fase M F se obtiene cuando dB = 0 En general:
MG = - (valor de la curva en dB cuando j=-180°) MF = (valor de la curva en ° cuando dB=0) + 180°
Si se desea buscar un valor de K para un determinado M G o MF, se realiza la gráfica con un valor que se encuentre dentro del rango entregado por el procedimiento de Routh, luego se busca el M G o M F
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deseado y se determina cuanto es lo que debe de subir o bajar la curva de los dB para que dicho valor se iguale con los 20 log K. La estabilidad relativa en Bode está determinada cuando MG y MF ambos sean positivos. Para realizar la tabla de valores se debe de tener previamente las frecuencias críticas. Se realiza la tabla con una década menos de la menor frecuencia crítica menor hasta una frecuencia una década más que la mayor frecuencia crítica mayor. En caso de ser necesario, se ampliará o reducirá la tabla de valores en base a lo que se requiere específicamente.
En la gráfica, la existencia de ceros aporta una pendiente de 20 dB/déc, en cambio la existencia de polos aporta con –20 dB/déc. Los anteriores valores corresponden a las soluciones de los polinomios del numerador y denominador. Además, constituyen los valores de las frecuencias críticas del sistema ya normalizado, puntos en los cuales la gráfica se despega con 20 log según sea el caso.
Ejercicios 1
Sea un sistema con realimentación unitaria negativa cuya función dew transferencia en lazo abierto es la siguiente:
Trazar los diagramas de Bode y Nyquist y determinar los márgenes de ganancia y de fase. 2
Se tiene el siguiente sistema: R(S)
+
-
G(s)
C(S)
H(s)
2.1 Determinar la estabilidad y las gráficas aplicando Bode, si:
a)
b)
2.2 Determinar la estabilidad y las gráficas aplicando Nyquist, si:
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a)
b)
3
Trazar el diagrama de Bode para la función de transferencia siguiente:
[ ] 4
Un sistema con la función de transferencia de lazo abierto es:
Determinar el valor de “a” tal que el margen de fase sea igual a 45⁰.
5
Se tiene un sistema con realimentación unitaria negativa, donde:
Obtener los MG y MF del sistema para: a) K=10 b) K=100
6
Trazar los diagramas de Bode de las tres funciones de transferencia siguientes:
a)
b)
c)
( T1 > T2 > 0 )
( T1 > T2 > 0 )
( T1 > T2 > 0 )
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Se tiene el siguiente diagrama asintótico de ganancia de Bode. Determine la función de transferencia en lazo cerrado GH(s).
8
Determine los márgenes de ganancia y fase aplicando Nyquist.
9
A través de bode, determinar el valor de la ganancia K para que el margen de fase sea de
15°
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Se tiene el siguiente sistema:
R(s)
G(s)
C(s)
H(s)
Determine el valor de K para que el margen de fase sea de 0° Página 10
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Realice el diagrama de Bode de la siguiente FdT en lazo abierto:
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Desarrollar las gráficas y obtener su estabilidad aplicando Bode y Nyquist.
a)
R(S)
+
-
G(s)
C(S)
H(s)
b)
R(s)
+ --
G1(s)
G2(s)
C(s)
H(s)
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