UNIDAD II- Límites y continuidad

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZULA 1 UNIVERSIDAD PEDAGOGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR Limites y Continuidad…

INSTITUTO DE MEJORAMIENTO PROFESIONAL DEL MAGISTERIO EXTENCION MERIDA Curso: Introducción al Cálculo

Límites y Continuidad Unidad II

Elaborado por:

MARICHAL, Francisco V.- 17.340.996 MARTINEZ, Irwuim V.- 16.655.876 PEÑA, Rossana V.- 20.432.370 LULO, Idmon V.- 8.010.048 MarichaF [Escribir el nombre de la compañía] Especialidad: Informática [Seleccionar fecha]

Mérida, Enero de 2012

Trusted by over 1 million members

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.













Limites y Continuidad…

TABLA DE CONTENIDO

Introducción

Limites Limites Unilaterales

04

Límites Infinitos

06

Limites Laterales Operaciones Algebraicas

09

Límites de Funciones Racionales

10

Sucesiones Límites de Sucesiones

15

El numero E

17

Teoremas sobre Límites

20

Asíntotas Continuidad Resumen Referencias Consultadas

27 30

2
















INTRODUCCION

Manteniendo la secuencia del contenido programático del curso del cual en la Unidad I se abordó de manera general algunas características de las graficas en el plano, en el desarrollo del presente informe correspondiente a la Unidad II se abordará un poco más en profundidad lo que al contenido de Límites y Continuidad se refiere tomando en cuenta algunos teoremas y definiciones prácticas para el análisis y compresión de los enunciados.

Así mismo se puede señalar que debido al conglomerado de formulas fueron

encontradas incorporadas

a

lo

unas

largo

de

series

la de

investigación, gráficas

que

permitirán mejor la comprensión de cada uno de los puntos abordados.

3
















LIMITES : En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir

los

conceptos

fundamentales

de

convergencia,

continuidad, derivación, integración, entre otros.

Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada

mediante

lim

como

en

lim(an)

=

a

o

se

representa mediante la flecha (→) como en an → a.

LIMITES UNILATERALES: Hay casos en que las funciones no están definidas (en los reales) a la izquierda o a la derecha de un número determinado, por lo que el límite de la función cuando x tiende a dicho número, que supone que existe un intervalo abierto que contiene al número, no tiene sentido.

Ejemplo: f no esta definida para valores menores que 0; por

lo

que

no

tiene

sentido;

no

obstante,

se

pueden tomar valores suficientemente cercanos a 0 pero mayores que 0. En este caso x se aproxima a 0 por la

4
















Para el límite por la izquierda la situación es similar, en

ese

caso

la

variable

independiente

se

aproxima

al

número por la izquierda.

Límite

unilateral

por

la

derecha:

Sea

f

una

función

definida en todos los números del intervalo abierto (a, c). Entonces, el límite de f (x), cuando x se aproxima a a por la derecha es L, y se escribe

Límite unilateral por la izquierda:

Sea

f

una

función

definida en todos los números de (d, a). Entonces,

el

límite de f (x), cuando x se aproxima a por la izquierda es L, y se escribe

5
















LIMITES INFINITOS: Una función f(x) tiene por límite +∞ cuando x

a, si fijado un número real positivo K>0 se

verifica que f(x)>k para todos los valores próximos a a.

Una función f(x) tiene por límite -∞ cuando x

a, si

fijado un número real negativo K < 0 se verifica que f(x) < k para todos los valores próximos a a.

LIMITES LATERALES: Hasta el momento hemos visto límites de funciones cuyo trazo es continuo, sin cortes o saltos bruscos. presentan

Sin

embargo,

algunas

existen

algunas

discontinuidades,

funciones

llamadas

que

funciones

discontinuas y que estudiaremos en el tema continuidad de funciones. Nos dedicaremos ahora a estudiar los límites en este tipo de funciones.

6


















Consideremos la siguiente representación gráfica de una función

,

en

la

que

existe

una

discontinuidad

cuando

:

Definición de límite por la derecha Se

dice

que

si

existe

tal es

el

y

que

límite

por

solo

si

si la

para

cada

entonces derecha

de

en

7
















Observe que no hay barras de valor absoluto alrededor de , pues

es mayor que cero ya que

.

Definición de límite por la izquierda Se

dice existe

que

si tal

que

y

solo

si

si

para

entonces

es el límite por la izquierda de "a".

cada

en

8
















OPERACIONES ALGEBRAICAS DE LÍMITES:

Adición

Sustracción

Multiplicación

División

Raíces

9
















Potenciación

Logaritmos

LIMITES

DE

FUNCIONES

RACIONALES:

Para estudiar el límite de una función racional, se distinguirán dos casos:

Puesto que una función racional es el cociente de dos

polinomios,

para

calcular

su

límite

puede

aplicarse la regla para el cálculo del límite de un cociente de dos funciones:

10
















Al

efectuar

estos

límites

pueden

darse

varias

situaciones.

Se calculan en este caso los límites de P(x) y Q(x) como funciones polinómicas y se halla su cociente.

Si el denominador se anula en x0, puede ocurrir que el

numerador

también

se

anule

en

x0,

o

que

el

numerador no se anule en x0.

Para resolver esto basta con tener en cuenta que si Q(x0)

=

0

y

P(x0)

=

0,

x0

es

raíz

11


















Para

resolver

estudiar

esta

los

indeterminación

límites

es

laterales

necesario de

la

Si ambos límites laterales son iguales, la función tiene

por

límite

su

valor.

función no tiene límite.

Si

no

son

iguales,

la

12
















SUCECIONES:

En

términos

generales

una

sucesión

es

un

conjunto o colección de números reales listados de forma ordenada. A los números de la sucesión se les conoce como elementos conjunto

de

la

sucesión.

ordenado

de

Una

números.

sucesión Toda

numérica

sucesión

es

tiene

un una

propiedad o ley de formación de sus elementos.

Ejemplos de sucesiones:

A:

2,4,6,8,...

término

es

2

es

como

una ley

sucesión de

infinita,

formación

los

el

primer

siguientes

se

13
















E:

1,1,2,3,5,8,13,...

Fibonacci.

El

primer

esta

y

se

segundo

llama

Sucesión

elementos

son

1,1.

de Los

siguientes se obtienen sumando los dos anteriores.

F: 4,2,1, 0'5, 0'25, ... es una sucesión infinita en que el

primer

elemento

es

el

cuatro

y

cada

uno

de

los

siguientes se obtiene dividiendo por 2 el anterior. G:

3,3,4,6,5,4,

...

es

una

sucesión

infinita.

Cada

elemento es el número de letras que tiene la palabra que designa al correspondiente número natural.

14
















A

veces

expresar

el

término

en

general

función

de

de

los

una

sucesión

términos

se

puede

inmediatamente

anteriores. Por ejemplo, en la sucesión E de Fibonacci, se verifica an = an-2+an-1. Estas sucesiones se llaman recurrentes.

Otras veces no es posible encontrar un expresión para el término general y debemos conformarnos con la descripción de la sucesión; por ejemplo, las sucesiones B y G.

LIMITES antiguos

DE

SUCECIONES:

del

análisis

Es

uno

de

matemático.

los

conceptos

más

El

mismo

una

da

definición rigurosa a la idea de una sucesión que se va

15
















Qué

se

entiende

por

próximo

da

lugar

a

distintas

definiciones de límite dependiendo del conjunto donde se ha definido la sucesión.

Una sucesión tiende a un

tal que

tiene límite

, si para todo valor

valor

distancia de

a

partir a

del

cual

es menor que

por pequeño que sea, hay si

tenemos

, es decir:

.

Notación

, cuando

que

la

16




















La sucesión 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... converge al límite 1.



Si a es un número real con valor absoluto |a| < 1, entonces la sucesión an posee límite 0. Si 0 < a ≤ 1, entonces la sucesión a1/n posee límite 1.





17
















primera vez por el matemático escocés John Napier, quien introdujo

el

concepto

de

logaritmo

en

el

cálculo

matemático.

Está considerado el número por excelencia del cálculo, así

como

π

lo

es

de

la

geometría

e

i

del

análisis

complejo. El simple hecho de que la función ex coincida

18
















exacto no puede ser expresado como un número finito de cifras

decimales

o

con

decimales

periódicos.

Su

valor

aproximado (truncado) es: e ≈ 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995... La definición más común de e es como el valor límite de la serie

19
















TEOREMAS SOBRE LÍMITES 

Unicidad del límite de una función: Si una función tiene límite es único.

H) T) b es único

Existe

limx->af(x)=b

20
















21


















Límites laterales

22
















23
















=>

para

todo

ε

>

0

existe

δ

>

0

/

para

todo

x

perteneciente a (a - δ,a) f(x) pertenece al E b, b,ε ε => (por

24


















Conservación

del

signo:

Para

valores

de

x

suficientemente próximos al valor de tendencia, la

25
















26

















































































































UNIDAD II- Límites y continuidad

Recommend Documents