Matemática
RELACIONES - CONCEPTOS PREVIOS: Pares Ordenados: Los pares ordenados son entes matemáticos que consisten consisten en dos elementos, al los cuales se les denomina
primera y segunda componente. Es decir:
a, b Donde: a : Primera componente b : Segunda Componente
TEOREMA N° 01: (Igualdad de Componentes): C omponentes): Dos pares ordenados son iguales si y solo si son iguales sus primeros y segundos componentes respectivamente:
a, b c, d a c b d PRODUCTO CARTESIANO (A x B) Dados dos conjuntos no vacíos A, B se define el PRODUCTO CARTESIANO A x B , como el conjunto de pares ordenados:
AxB a, b AxB a A a, b AxB a A
b B ó bB
Nota 1: Si los conjuntos A y B son finitos con m y n elementos respectivamente, entonces el Producto Cartesiano A x B tiene m x n elementos.
PROPIEDADES: P1. No Conmutativa: Si A B AxB BxA P2. Ax xA P3. Prop. Distributiva: Ax BxC AxB AxC
Ax B C AxB AxC
Ax B C AxB AxC AxB Ax B CxD Cx D A C x B D
AxB CxD Cx D A C x B D
P4. Propiedad No Asociatividad:
AxB xC x C Ax BxC BxC
P5. Propiedad de Monotonía A B AxC BxC C BxC , Si A C y B D AxB Ax B CxD Cx D Nota 2: Si A x B tiene n elementos entonces
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Ax B tiene
2
n
subconjuntos
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RELACIONES
Definición: Dados
dos conjuntos no vacíos A y B, a un conjunto R de pares ordenados se le denomina RELACION DE A EN B, si es que R es un subconjunto cualquiera de A x B . Se le denomina también Relación Binaria.
R es una Relación de A en B, si y solo si R AxB Una Relación Binaria R, consiste en: a. Un conjunto A ( conjunto de partida) b. Un conjunto B (conjunto de llegada) c. Un enunciado abierto p(x,y) , que puede ser verdadero o falso para todo par ordenado.
DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACION:
DOMINIO Dom Dom R : Se llama dominio de una relación
B al
R : A
conjunto de todas las
primeras componentes de los pares ordenados de l a relación, entonces:
Dom Dom R x A y B, x, y R ó
y B x, y R
x D Dom om R
RANGO Rang R : Se llama rango de una relación R : A B , al conjunto de todas las segundas componentes de los pares ordenados de la relación.
Ran R y B x A, x, y R ó
x A x, y R
y Ran R
REPRESENTACIÓN REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA RELACIÓN MEDIANTE M EDIANTE EL DIAGRAMA DE VENN R
B
A
x Conjunto de Partida (Dominio)
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y
Conjunto de Llegada (Rango ) )
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PROPIEDADES:
R2 Dom Dom R1 Dom DomR2
P1: Dom Dom R1
P2:
Dom D om R1 R2 D Do om R1 D Dom omR2
P3:
Ran R1 R2
P4:
Ran R1 R2 Ran R1 RanR2
Ran R RanR 1
2
PROPIEDADES DE LAS RELACIONES BINARIAS: Dado un conjunto A, para el cual se se define una Relación R en A, con R AxA , se dice que: 1.
REFLEXIVA: R es una relación reflexiva en A, si: a A :
2.
a, a R
SIMÉTRICA: R es una relación simétrica en A si se cumple que:
a, b R b, a R 3.
TRANSITIVA: R es una relación es transitiva en un conjunto A, si se cumple:
a, b R b, c R a, c R
4.
DE EQUIVALENCIA: R es una relación de equivalencia si cumple simultáneamente las tres condiciones: Relación Reflexiva Relación Simétrica Relación Transitiva
5.
ANTISIMETRICA: R es una relación antisimétrica si y solo si:
a, b R b, a R a b
6.
DE ORDEN: R es una relación de orden, si y solo si verifican las siguientes condiciones R es reflexiva R es antisimétrica R es transitiva
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RELACIONES EN EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES Dado una relación R se consideran los valores del Dominio de R, en el eje X, y los valores del Rango en el eje Y, y luego se van ubicando los puntos en el plano.
Algunas Gráficas de Relaciones más importantes son las siguientes: 01.
Relación de la forma: R
x, y R 2
ax by c 0 ó R x, y R 2 y ax b ,
tienen por gráfica una línea recta.
Y
Y
X
X
= x = a; DR =a =a R R R=R R
y = a ; DR =R
RR=a
y = ax+b DR =R =R R R= R X
02. Relación de la forma:
R
x, y R 2 x2 y 2 Dx Dx Ey F 0
, tiene por
gráfica una circunferencia. En forma particular se tiene:
R
x, y R 2 x 2 y 2 r 2
R
x, y R2 x h2 y k 2 r 2
Y
Y
X
C 0,0 , radio = r DR =R =R R R= r , r
k X
h C(h,k), radio = r
h r , h r R = k r , k r D R= R
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03. Relación de la forma:
2 2 2 R x, y R Ax Ax Cy Dx Dx Ey F 0 ;
tiene por
gráfica una elipse:
R x, y R 2
x 2 a
2
y 2 b2
; 1
2 y k 2 2 x h 1 R x, y R 2 2 a b
Donde a, es el semieje mayor y b es el semieje menor, y C( h , k) es el centro de la elipse. Y
X
C(h,k);
C 0,0 , DR =
D R= h a, h a R R= k b, k b
a, a
R R R= b, b
04. Relación de la forma:
R
x, y R 2
Ax 2 Cy 2 Dx Dx Ey F 0 ;
tiene
por gráfica una Hipérbola
2 2 ; y 2 y k 2 2 x 2 x h R x, y R 2 1 R x, y R 2 1 2 2 a b a b Donde a es el semieje transverso o real, b es el semieje conjugado o imaginario, C(h,k) el centro de la hipérbola.
b>a, con Y positivo DR = R RR = ,b b,
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a>b, con X positivo DR =
,a
a,
RR = R
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05. Relación de la forma:
a2 2 R x, y R x h y k 2
tiene por gráfica una Hipérbola
- a2/2 DR = R-{h} R R = R – {k} {k} R =
+ a2/2 DR = R-{h} R R = R – {k} {k} R =
06. Relación de la forma:
R
x, y R 2 x a y 2 by c ; R x, y R2 x h2 y k
2 2 R x, y R y a x bx c y R
x, y R 2 y k 2 x h
tiene por gráfica una parábola
Y = - x2
X = - Y 2
Y = + x2 X = + Y2
07. Relación de la forma: R
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x, y R 2 y x y R x, y R 2
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x y
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08. Relación de la forma: R
x, y R 2
y
x , se le conoce como la
Función Raíz Cuadrada
DR = R R 0; R CRITERIOS GENERALES PARA GRAFICAR ECUACIONES EN R2 Definición: Llamaremos gráfica de una relación de R en R al conjunto de puntos P(x, y), cuyas coordenadas satisfagan a dicha relación.
CRITERIOS GENERALES PARA GRAFICAR UNA ECUACIÓN: Para trazar la gráfica de una relación dada por la Ecuación E(x,y)=0, se considera:
I.
II.
Intersección con los ejes Coordenados: a.
Con el Eje X: Se hace y=0, en la ecuación ecuación y se resuelve E(0,y)=0
b.
Con el Eje Y: Se hace x=0, en la ecuación y se resuelve E(x,0)=0
Simetrías: a.
Con respecto al Eje X: Existe simetría con el e l eje X, si se cumple E(x,y)=E(x, -y) - y)
b.
Con respecto al Eje Y: Existe simetría con el eje Y, si se cumple E(x,y)=E(-x, y)
c.
Con respecto al Origen : Existe simetría con el origen, si se cumple E(x,y)=E(-x, -y)
III. Extensión: Se trata de indicar los intervalos máximos en los cuales las variables x y y toman valores permisibles para la ecuación ecuación dada (Dominio y Rango de la relación)
IV. Determinación de las Asintotas Si la distancia de un punto de la curva a una recta fija L va disminuyendo, tendiendo a cero, conforme el punto se aleja ilimitadamente del origen, entonces dicha recta recibe el nombre de asíntota de la curva Consideraremos las asintotas verticales y Horizontales:
1.
Asíntota Verticales: X = a Se despeja y en términos de x, se hallan los valores de x que hacen cero al denominador
2.
Asíntota Horizontales: Y = b Se despeja x en términos de y, se hallan los valores de y que hacen cero al denominador.
V.
Tabulación Consiste en calcular un número determinado de pares ordenados a partir de la ecuación E(x,y) =0
VI. Construcción de la Curva: Mapeo de los pares ordenados en el plano. Lic. Edith Meryluz Claros Guerrero
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FUNCIONES
DEFINICION:
Una función es una transformación que asocia a cada número perteneciente a algún subconjunto de los números reales otro número real (uno sólo). Una función de A en B es una regla, o una correspondencia, que relaciona estos dos conjuntos de tal manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y solo un elemento del segundo conjunto llamado imagen. Consideremos dos conjuntos cualesquiera A y B a la relación binaria f de A en B le llamaremos función de A en B si y solo si se verifica:
f AxB a, b f a, c f b=c
Y se denota por:
f : A B : Se lee F es una función de A en B donde: A: Conjunto de Partida Partida
Observación: Si a, b f
B: Conjunto de Llegada Llegada
b f (a)
Toda función función es una relación relación pero no toda relación es una función función
DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION Sea
f : A B , una función de A en B, llamaremos Dominio de la Función F al conjunto
de todas sus primeras componentes, componentes, al cual denotaremos por: Dom f
Es decir:
Dom Dom f x A / y B x, y f A Y llamaremos Rango de la Función f al conjunto de todas las imágenes de todos los elementos de A, mediante f, al cual detonaremos por: Ran f
Es decir:
Ran f y B / x A x, y f B Por ejemplo:
01. La función () = , asocia a cada número real distinto de cero su inverso.
Dominio está formado por todos los números reales distintos del cero. D(f) = R - {0}. 02. La función () = √ :
Dominio: conjunto de los números reales mayores o iguales que cero, ya que la raíz de números negativos no se puede calcular.
¿QUÉ PUNTOS (X,Y) SON LOS QUE ESTÁN SOBRE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN? Es importante tener claro qué puntos son los que están sobre la gráfica de una f unción determinada. Ejemplo, si f(x) = x2 (a veces, como ya sabes, se escribe: y = x2 ), ¿cuáles de los siguientes puntos estarán sobre la gráfica de esa función: A( 0, 1); B (0, 0), C(-1, 1/10); D(3, 6); E(3, 9). Lic. Edith Meryluz Claros Guerrero
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EVALUACION DE FUNCIONES Y TRAZADOS DE GRAFICOS ESPECIALES: Consideremos una función f con regla de correspondencia : y f ( x) , x Dom Dom( f ) , si x toma valores específicos, entonces se dice que la función ha sido evaluada, es decir: Si x
x0 f ( x) f ( x0 )
Funciones Definidas con varias reglas de correspondencia: Suponiendo que la función f es definida por:
f 1 ( x), x Df 1 , f 2 ( x), x Df 2
f ( x)
donde
Df 1 Df 2
El dominio de la función se determina por: Dom Dom( f ) Df 1 Df 2 El rango de la función se determina por: Rango Rango( f ) Rf 1 Rf 2
TRAZADOS DE GRAFICAS ESPECIALES: Cuando se conoce una función y=f(x) en base a esta función, función, se puede construir otra función en forma rápida mediante el siguiente criterio: 1° F(x) = f(x) + c
2° F(x) = f(x- c)
(x) + c
c>0
c<0
c>0
f(x) f(x- c) c<0
f(x)
f(x- c)
x + c
3° F(x) = f(x-h)+k
k>0 h<0
k<0 h<0
f(x-h)+k
f(x-h)+k
(x-h)+k
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f(x)
(x-h)+k
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k>0 h>0
k<0 h>0
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4° F(x) = af(x)
a>1
5° F(x) = f(ax)
af(x)
ax
a>1 f(x)
ax
a (x) 0
0
6° F(x) = - f(x)
7° F(x) = f(-x)
(x)
f(x)
f(-x)
- (x)
OPERACIONES DE FUNCIONES: Consideremos dos funciones reales de valor v alor real, f , g : R R si Df Df Dg Dg , entonces:
a) IGUALDAD DE FUNCIONES: Dos funciones son iguales si: Dom f =Dom (x) = g(x), x Df Dg =Dom g y f (x)
Y se denota por: f g ó f g
b) SUMA DE FUNCIONES: Sean f y g dos funciones con dominios Dom f y Dom g , se denota la nueva función SUMA f + g por ( f g )( x) f ( x) g ( x) , y se define por:
Dom Dom( f g ) Df Dg
( f g )( x) f ( x) g ( x), x ( Df Dg )
c) DIFERENCIA DE FUNCIONES Sean f y g dos funciones con dominios Dom f y Dom g , se denota la nueva función DIFERENCIA f - g por ( f g )( x) f ( x) g ( x) , y se define por:
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Dom Dom( f g ) Df Df Dg Dg
( f g )( x) f ( x) g ( x), x ( Df Dg )
d) PRODUCTO DE FUNCIONES Sean f y g dos funciones con dominios Dom f y Dom g , se denota denota la nueva función PRODUCTO por ( f g )( x) f ( x) g ( x) , y se define por:
Dom Dom( f . g ) Df Df Dg Dg
( f g )( x) f ( x) g ( x), x ( Df Df Dg )
e) COCIENTE DE FUNCIONES Sean f y g dos funciones con dominios Dom f y Dom g , , se denota la nueva función COCIENTE por f
g
( x)
f ( x) g ( x)
, y se define por:
Do Dom( f g ) Df Df Dg Dg { x Dg Dg / g ( x) 0}
( f g )( x)
f ( x) g ( x)
, x ( D f g )
COMPOSICION DE FUNCIONES: Consideremos dos funciones reales de valor real, entonces la composición
f g es aquella
que satisface:
Dom( f g ) { x x Dg g ( x) Df }
La regla de correspondencia es:
A
( f g )( x) f ( g ( x))
C R f f
B Dg
g R g
Df
f
f(g(x)) Cuando las funciones están definidas por varias reglas de correspondencia:
f 1 ( x), x Df 1 , f x x Df ( ), 2 2
f ( x)
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donde
Df 1 Df 2
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g 1 ( x), x Dg 1 g ( x) , g 2 ( x), x Dg 2
donde
Dg 1 Dg 2
Entonces:
Dom Dom( f g ) D( f 1 g 1 ) D( f 2 g 1 ) D( f 1 g 2 ) D( f 2 g 2 )
FUNCIONES INVERSAS FUNCION SURYECTIVA Una función
f : A B , se dice que es SURYECTIVA, ó
SOBREYECTIVA, si el conjunto
Imagen de A, vía f , cubre a todo el conjunto de llegada B, es decir que todo elemento de B es imagen de por lo menos un elemento de A. Si
f ( A) B , si Rf B (El conjunto de llegada B debe coincidir con el Rango de f )
FUNCION INYECTIVA Una función cumple:
f : A B , se dice que es INYECTIVA, si para todo x1 , x2 Dom Dom f se
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) ó f ( x1 )
f ( x2 ) x1 x2
Observación:
A estas funciones también también se les conoce como UNIVALENTES UNIVALENTES ó UNO A UNO Se reconoce a una Función Inyectiva cuando Toda recta horizontal corta a su gráfica a lo más en un punto.
FUNCION BIYECTIVA
Una función
f : A B , se llama función BIYECTIVA, si la función f es inyectiva y
suryectiva simultáneamente.
FUNCIONES CRECIENTES, DECRECIENTES Y MONOTONAS o
se llama CRECIENTE, si para todo x1 , x2 Dom FUNCION CRECIENTE: La función f se Dom f se tiene: x1
o
x2 f ( x1 ) f ( x2 )
FUNCION DECRECIENTE: La función f se llama DECRECIENTE, si para todo x1 , x2 Dom Dom f se tiene: x1 x 2 f ( x1 ) f ( x 2 )
o
FUNCION MONOTONA La función f se se llama MONOTONA, si la función f es decreciente decreciente o creciente.
es creciente, entonces f es es inyectiva (univalente) Teorema: Si una función f es es decreciente, entonces f es es inyectiva (univalente) Teorema: Si una función f es
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FUNCION INVERSA: Consideremos la función f {( x, f ( x)) / x D f }
con dominio D f y rango R f entonces
diremos que existe la función inversa de f si y sólo si, f es inyectiva. A la función inversa de de f denotaremos denotaremos f* ó f
f {( f ( x), x) / x D f } , donde: D f *
-1
R f
, la cual es definida en la forma siguiente:
y R
f *
D f
Prop.
Si
función inyectiva f : A B , es una función
y
f : B A , es la función inversa de f
entonces:
x, x D f f f ( x ) x, x D f f f ( x )
Cálculo de la función Inversa: Sea
f : A B , es una función inyectiva, entonces la función inversa f : B A ,
se puede hallar resolviendo la ecuación
f f ( x )
x
FUNCIONES PARES, IMPARES Y PERIODICAS DEFINICIÓN: Una función f se denomina FUNCION PAR, si se cumple que:
x Dom Dom f x Dom Dom f f ( x) f ( x)
Observación:
Si una función f es PAR, su regla de correspondencia
y f ( x) no varía si reemplaza
x por – x , por tanto su gráfica es simétrica respecto al eje y
DEFINICIÓN: Una función f se denomina FUNCION IMPAR, si se cumple que:
x Dom Dom f x Dom Dom f f ( x) f ( x)
DEFINICIÓN: Una función f se denomina FUNCION PERIODICA, si existe un número T
T 0 tal que:
x Dom Dom f x T Dom Dom f f ( x T ) f ( x), x Dom Dom f
Donde T= Periodo de la función
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