Universidad Privada Domingo Savio Santa

Ciencias Empresariales

Investigación de Operaciones

Toda organización empresarial día a día se enfrenta a la toma de decisiones (en lo que se refiere a la administración de sus recursos) para desarrollar cada una de de las actividades que relacionan a la misma con el medio en el que se desenvuelve; es en este sentido que de la administración óptima de los recursos dependerá el éxito o el retraso de la organización, por lo que contar con herramientas científicas para plantear, desarrollar y resolver problemas de optimización permitirá a la organización una mejor toma de decisiones.

Proporcionar al estudiante las herramientas básicas y técnicas necesarias, para el planteamiento, desarrollo y solución de modelos matemáticos que expresen la Optimización de los recursos (humanos, materiales y económicos) inherentes a toda organización empresarial; coadyuvando en la toma decisiones con fundamentos científicos y racionales.

El alumno al concluir el curso podrá:

Dirección de Educación a Distancia _UPDS_ Modalidad Cursos por Encuentros

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a)

Formular situaciones situacion es reales optimización y/o asignación empresariales.

b)

Establecer una buena comprensión y adquirir destreza en el desarrollo de problemas de optimización de recursos. Analizar y resolver resolve r problemas de optimización, a través de la aplicación de modelos matemáticos. Interpretar y diferenciar los distintos tipos de modelos y soluciones.

c) d)

-


como modelos matemáticos de de recursos en organizaciones

Analizar los orígenes, precursores y evolución de la Investigación de operaciones (I.O.). Conceptualizar y clasificar los distintos modelos matemáticos de optimización. Comprender y aplicar la metodología que emplea la I.O. para la solución de problemas de optimización.

-

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

Introducción Origen de la Investigación de Operaciones (I.O.) Precursores y estudiosos de la I.O. Noción, Concepto y alcance de la I.O. Modelos matemáticos de decisión y su clasificación 1.5.1Concepto de modelo modelo 1.5.2Clasificación de los modelos matemáticos de decisión a) Modelos Determinísticos b) Modelos Estocásticos (Probabilísticos) c) Modelos Estáticos d) Modelos Dinámicos 1.6 Metodología de la Investigación de Operaciones 1.7 Aplicaciones de la I.O. 1.8 Beneficios con la aplicación de la I.O.


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a)

Formular situaciones situacion es reales optimización y/o asignación empresariales.

b)

Establecer una buena comprensión y adquirir destreza en el desarrollo de problemas de optimización de recursos. Analizar y resolver resolve r problemas de optimización, a través de la aplicación de modelos matemáticos. Interpretar y diferenciar los distintos tipos de modelos y soluciones.

c) d)

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como modelos matemáticos de de recursos en organizaciones

Analizar los orígenes, precursores y evolución de la Investigación de operaciones (I.O.). Conceptualizar y clasificar los distintos modelos matemáticos de optimización. Comprender y aplicar la metodología que emplea la I.O. para la solución de problemas de optimización.

-

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

Introducción Origen de la Investigación de Operaciones (I.O.) Precursores y estudiosos de la I.O. Noción, Concepto y alcance de la I.O. Modelos matemáticos de decisión y su clasificación 1.5.1Concepto de modelo modelo 1.5.2Clasificación de los modelos matemáticos de decisión a) Modelos Determinísticos b) Modelos Estocásticos (Probabilísticos) c) Modelos Estáticos d) Modelos Dinámicos 1.6 Metodología de la Investigación de Operaciones 1.7 Aplicaciones de la I.O. 1.8 Beneficios con la aplicación de la I.O.


2


-


Comprender y aplicar el procedimiento para formular un Modelo de Programación Lineal (M.P.L.) Desarrollar las diferentes formas de presentación de un Modelo de Programación Lineal (M.P.L.)

2.1 Introducción 2.2 Concepto de Programación Lineal 2.3 Procedimiento para Formular un M.P.L. 2.3.1Definición de Variables Variables 2.3.2 Función Objetivo 2.3.3 Restricciones Estructurales o Funcionales 2.3.4 Restricciones de No negatividad 2.4 Formas de presentación de un M.P.L. 2.4.1Formulación Canónica Canónica 2.4.2 Formulación Estándar 2.5 Planteamiento de los recursos por unidad de actividad 2.6 Problemas de aplicación

-

Analizar, representar é interpretar el método gráfico para resolver un M.P.L. Analizar la teoría del Método Simplex Aplicar los métodos de resolución Simplex, de las M’s y de las dos fases para determinar la solución óptima. 3.1 Introducción 3.2 Método Gráfico 3.2.1Fundamentos y mecánica del método gráfico 3.2.2Región Factible (Solución Básica Factible) 3.2.3 Solución Óptima 3.2.4 Casos Especiales 3.3 Método Simplex


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3.3.1 Teoría del Método Simplex 3.3.2 Definición Matricial del problema de P.L. 3.3.3 Planteamiento del Algoritmo Simplex 3.4 Solución Óptima del problema de P.L. 3.4.1 Método Simplex 3.4.2 Método de las M’s 3.4.3 Método de las Dos Fases 3.4.4 Casos Especiales

-

Analizar y comprender la Teoría de la Dualidad. Plantear y resolver problemas de P.L. mediante el método Dual-Simplex

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

Introducción Formulación matemática del problema Dual Comparación Primal - Dual Interpretación Económica del problema Dual Solución de problemas duales 4.5.1Método Dual - Simplex

-

Analizar y aplicar los cambios en los parámetros y determinar como afectan en los resultados finales. Establecer controles y rangos de validez para las soluciones.

5.1 Introducción 5.2 Cambios Discretos 5.2.1Cambios en el vector b 5.2.2Cambios en el vector c 5.2.3 Cambios en los coeficientes tecnológicos 5.3 Cambios Continuos 5.4.1 Cambios continuos en el vector b


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5.4.2 Cambios continuos en el vector c

-

Establecer é identificar los problemas de transporte de recursos. Analizar, formular y resolver problemas de transporte. Analizar, formular y resolver problemas de asignación de recursos

6.1 Introducción 6.2 Problema de Transporte 6.2.1 El Modelo de Transporte 6.2.2 Algoritmo del Modelo de Transporte 6.2.3 Balanceo de problemas de transporte 6.3 Solución del Modelo de Transporte 6.3.1Método d e la Esquina Noroeste 6.3.2 Método de Aproximación de Vogel 6.3.3 Método del Costo Mínimo 6.4 Problema de Asignación 6.4.1Formulación del modelo 6.3.2 Solución del modelo (Método Húngaro)

-

Establecer é identificar los problemas de optimización mediante la teoría de redes. Analizar, formular y resolver problemas de redes, aplicando los métodos de la ruta más corta, el flujo máximo y árbol de extensión mínima. Analizar, formular y resolver problemas de planeamiento de actividades mediante CPM y PERT

7.1 Introducción 7.2 Definición de Red 7.3 Problema del Árbol de extensión mínima


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7.4 Problema de la Ruta mas corta 7.5 Problema del Flujo máximo 7.6 Redes de Planeamiento 7.6.1Proceso de Planificación por red 7.6.2 Representación de la red 7.7 CPM. y PERT 7.7.1Representación de la red 7.7.2 La Ruta Crítica 7.7.3 Diferencias entre CPM y PERT

La metodología que se empleará es de objetivos por unidad, con exposiciones teórico prácticas; apoyados estos por material visual ( acetatos ) preparado para la interpretación gráfica de los diferentes conceptos desarrollados en clase. Además la realización de trabajos de investigación individual y por grupos (desarrollo de ejercicios prácticos), que permitan una mayor comprensión por parte del alumno.

Materia tipo C ( Sistema Modular ) Examen parcial Actividad Académica Examen final TOTAL

1. 2. 3.

40 puntos 20 puntos 40 puntos 100 puntos

Taha, Hamdy A., Investigación de Operaciones una introducción (Sexta edición), Prentice Hall, 1998 Terrazas Pastor, Rafael, Modelos Lineales de Optimización (tercera edición), Etreus Impresores , 2005 Lieberman Hiller, Frederik, Introducción a la Investigación de Operaciones.


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La asignatura de Investigación de Operaciones se constituye en una de las asignaturas importantes dentro del ciclo profesional en el ámbito de las ciencias administrativas y de ingeniería, esto por la relación de coherencia temática que presenta con otras asignaturas de la malla curricular como Administración, Costos, Producción, Proyectos y específicamente con asignaturas que sirvan de base para la toma de decisiones en los distintos niveles de las Organizaciones empresariales privadas y/o estatales. La resolución de sistemas de inecuaciones y las operaciones con matrices, además de los conceptos básicos de administración, costos y producción son un requisito básico de conocimiento previo para la asignatura de Investigación de Operaciones. El nivel de profundidad y complejidad que abarca el desarrollo del módulo esta enfocado a desarrollar competencias básicas y complementarias; en cuanto se refiere a la toma de decisiones, proporcionando al estudiante los elementos científicos para el análisis, solución é interpretación de problemas de aplicación práctica.

Desarrollar habilidades cognitivas desde un enfoque científico para la solución de problemas relacionados con los distintos ámbitos de las organizaciones empresariales, encaminados éstos a respaldar la toma de decisiones. Desarrollar las capacidades de abstracción y síntesis por medio de la aplicación del razonamiento matemático a través de los distintos métodos de solución de problemas, interpretación de resultados y toma de decisiones. Los objetivos planteados están orientados a profundizar las siguientes competencias: · Formular matemáticamente los problemas. · Resolver problemas planteados matemáticamente. · Analizar é interpretar los resultados obtenidos.


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-


Analizar los orígenes, precursores y evolución de la Investigación de operaciones (I.O.). Conceptualizar y clasificar los distintos modelos matemáticos de optimización. Comprender y aplicar la metodología que emplea la I.O. para la solución de problemas de optimización. 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10

1.6 1.7 1.8

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Introducción Origen de la Investigación de Operaciones (I.O.) Precursores y estudiosos de la I.O. Noción, Concepto y alcance de la I.O. Modelos matemáticos de decisión y su clasificación 1.5.1 Concepto de modelo 1.5.2 Clasificación de los modelos matemáticos de decisión a) Modelos Determinísticos b) Modelos Estocásticos (Probabilísticos) c) Modelos Estáticos d) Modelos Dinámicos Metodología de la Investigación de Operaciones Aplicaciones de la I.O. Beneficios con la aplicación de la I.O.

Comprender y aplicar el procedimiento para formular un Modelo de Programación Lineal (M.P.L.)


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-

2.5 2.6 2.7

2.8

2.5 2.6


Desarrollar las diferentes formas de presentación de un Modelo de Programación Lineal (M.P.L.) Introducción Concepto de Programación Lineal Procedimiento para Formular un M.P.L. 2.3.1 Definición de Variables 2.3.2 Función Objetivo 2.3.3 Restricciones Estructurales o Funcionales 2.3.4 Restricciones de No negatividad Formas de presentación de un M.P.L. 2.4.1 Formulación Canónica 2.4.2 Formulación Estándar Planteamiento de los recursos por unidad de actividad Problemas de aplicación

En el desarrollo de las unidades 1 y 2 que corresponden al primer encuentro se presentan: · Definiciones y conceptos teóricos relacionados con las bases de la Investigación de operaciones. · El análisis de las etapas de formulación de un Modelo de Programación Lineal y sus diferentes formas de presentación. · Las aplicaciones prácticas de la formulación de los distintos modelos de programación lineal, paso a paso.

-

Analizar, representar é interpretar el método gráfico para resolver un M.P.L. Analizar la teoría del Método Simplex Aplicar los métodos de resolución Simplex, de las M’s y de las dos fases para determinar la solución óptima.


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3.5 3.6

3.7


Introducción Método Gráfico 3.2.1 Fundamentos y mecánica del método gráfico 3.2.2 Región Factible (Solución Básica Factible) 3.2.3 Solución Óptima 3.2.4 Casos Especiales Método Simplex 3.3.1 Teoría del Método Simplex 3.3.2 Definición Matricial del problema de P.L. 3.3.3 Planteamiento del Algoritmo Simplex

En el desarrollo de los temas que corresponde al segundo encuentro presentan: · Definiciones de las distintas características que presenta los métodos de solución de M.P.L. · Los algoritmos de resolución de los distintos métodos (gráfico y analíticos) · Aplicaciones de los métodos en formulados en las unidades 1 y 2.

3.8

Solución Óptima del problema de P.L. 3.4.1 Método Simplex 3.4.2 Método de la M 3.4.3 Método de las Dos Fases 3.4.4 Casos Especiales

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Analizar y comprender la Teoría de la Dualidad. Plantear y resolver problemas de P.L. mediante el método Dual-Simplex

4.1 4.2

Introducción Formulación matemática del problema Dual


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4.3 4.4 4.5

5.1 5.2

5.3


Comparación Primal - Dual Interpretación Económica del problema Dual Solución de problemas duales 4.5.1 Método Dual - Simplex

Analizar y aplicar los cambios en los parámetros y determinar como afectan en los resultados finales. Establecer controles y rangos de validez para las soluciones. Introducción Cambios Discretos 5.2.1 Cambios en el vector b 5.2.2 Cambios en el vector c 5.2.3 Cambios en los coeficientes tecnológicos Cambios Continuos 5.4.1 Cambios continuos en el vector b 5.4.2 Cambios continuos en el vector c

En el desarrollo de los temas que corresponde al tercer encuentro se presenta: · La solución de un M.P.L. por medio de los métodos de penalización (método de la M y métodos de las dos fases) · La formulación, análisis é interpretación del modelo dual y su interpretación económica. · El análisis de sensibilidad, variando los recursos para obtener una nueva solución a partir de la solución ya obtenida.


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-

6.5 6.6

6.7

6.8


Establecer é identificar los problemas de transporte de recursos. Analizar, formular y resolver problemas de transporte. Analizar, formular y resolver problemas de asignación de recursos Introducción Problema de Transporte 6.6.1 El Modelo de Transporte 6.6.2 Algoritmo del Modelo de Transporte 6.6.3 Balanceo de problemas de transporte Solución del Modelo de Transporte 6.3.1 Método de la Esquina Noroeste 6.3.2 Método de Aproximación de Vogel 6.3.3 Método del Costo Mínimo Problema de Asignación 6.4.1 Formulación del modelo 6.3.2 Solución del modelo (Método Húngaro)

En el desarrollo de los temas que corresponde al cuarto encuentro se presenta: · Definición y planteamiento del modelo de transporte y asignación. · Aplicación de los métodos (M.E.N., M.C.M. y M.A.V.) para obtener una solución básica factible inicial. · Optimización de la solución básica factible inicial, é interpretación de la solución óptima. · Aplicaciones del modelo de asignación y transbordo.

La sugerencia metodológica de estudio que puede conducirle a una interesante experiencia de aprendizaje en la asignatura, considera importante los siguientes principios: 1º Lectura de las definiciones, conceptos y características de los algoritmos presentados en el texto guía. 2º Analizar los ejemplos resueltos en el texto guía, mediante la revisión y verificación de los resultados. 3º Resolver los ejercicios planteados, que se encuentran a continuación de los ejemplos resueltos.


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Lectura de conceptos, definiciones y características de los algoritmos Leer, para estudio comparativo TAHA

No

Analizar, revisar y verificarlos ejemplos ¿Entendió los ejemplos resueltos?

Si

Resolver tarea

Asistir al encuentro del día sábado. El docente realizará las aclaraciones y profundizará el tema

A través de interacción por plataforma (foro, tareas y chat) y clases practicas a acordar, se proporcionará orientación y pautas el estudio de los temas que contempla este núcleo temático.

-

Establecer é identificar los problemas de optimización mediante la teoría de redes. Analizar, formular y resolver problemas de redes, aplicando los métodos de la ruta más corta, el flujo máximo y árbol de extensión mínima.


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7.8 7.9 7.10 7.11 7.12


Introducción Definición de Red Problema del Árbol de extensión mínima Problema de la Ruta mas corta Problema del Flujo máximo

El Libro de texto de Investigación de Operaciones, cuyo autor es el Ing. John Walter Soria Martínez., es el resultado de siete años de interacción y experiencia continua en la enseñanza de las matemáticas y de la ingeniería, adecuándose a las características heterogéneas de conocimientos previos de estudiantes que buscan su profesionalización en aulas de nuestra Universidad. Presenta ejemplos de fácil comprensión y aplicaciones básicas que van gradualmente incrementando su complejidad hasta alcanzar un nivel intermedio, que proporcionan al estudiante bases sólidas que le permitan alcanzar un mayor logro en la comprensión de los temas. Terrazas Pastor, Rafael, Impresores , 2005

, Etreus

Este libro sustenta la base teórica fundamental de la asignatura, proporcionando de manera clara los esquemas de las características, algoritmos y ejemplos que presentan los distintos temas considerados en el desarrollo de la asignatura. Taha, Hamdy A., “ Prentice Hall, 1998

,

Este libro sustenta también la base teórica fundamental y nos proporciona parte de los ejemplos que se desarrollan en la asignatura, además de ofrecernos el software “TORA” que nos permite resolver los ejercicios haciendo uso de la computadora.


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El texto guía incluye ejercicios de aplicación práctica, con un nivel básico simple que gradualmente se incrementa su complejidad.

·

Una aplicación práctica y relevante de la Investigación de Operaciones, específicamente de la programación lineal es: Si suponemos que se producen tres productos (A, B y C) en una fábrica, los cuales proporcionan utilidades diferentes (UA, UB y UC); conocemos también que los recursos (Materia prima, Mano de obra, maquinaria, etc) disponibles son limitados. También se tiene información respecto a la demanda máxima o mínima de los tres productos. ¿Usted como responsable de la empresa debe decidir cuantas unidades de cada producto (A, B y C) deben producirse para que su utilidad total sea máxima?

Si bien en este tipo de problemas se pueden tomar decisiones respaldadas por la experiencia, en muchos de los casos esas decisiones tienen un grado muy elevado de incertidumbre. Debido a que muchas de nuestras decisiones pueden ocasionar grandes pérdidas, entonces debemos recurrir a la aplicación de algunas herramientas científicas que nos permitan reducir la incertidumbre; es en este sentido que la I.O. nos proporciona métodos y técnicas para tomar decisiones que tengan un menor grado de incertidumbre.

El docente realizará una evaluación diagnóstica cualitativa del núcleo temático correspondiente al encuentro, por medio de preguntas y respuestas orales. A través de exposición magistral consolidará los elementos más relevantes del núcleo temático; así mismo, profundizará las extensiones de los temas tratados. Planteará ejemplos representativos que contribuyan a la comprensión profunda del tema. La resolución de dichos ejemplos se realizará en forma grupal cooperativo o individual. El estudiante y el docente dispondrán de dos sesiones semanales, cada sesión con tiempo de duración de dos horas para interactuar mediante la plataforma (foro, tarea y chat). El docente planteará ejemplos representativos para realizar seguimiento del estudio independiente del estudiante; así mismo, responderá a las consultas de los estudiantes


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atendiendo dudas referentes al texto guía, las tareas y/o prácticos planteados.

La segunda unidad del texto Guía presenta un menú de ejercicios propuestos (práctico 1), las unidades 3, 4 y 5 son aplicadas en parte del grupo de ejercicios del práctico 1.Los ejercicios propuestos para la unidad 7, serán complementados por el docente durante el desarrollo del curso; los cuales deberán ser resueltos en los plazos y términos señalados en plataforma del sistema.


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El término de Investigación de operaciones muy a menudo es asociado con la aplicación de técnicas matemáticas que permiten representar y analizar por medio de un modelo, problemas reales que implican la toma de decisiones. El campo de estudio de la I.O. (llamada también Ciencia de la Administración), aparentemente es nuevo, pero éste data desde la segunda guerra mundial; pero su impacto social es tremendo, contándose actualmente con aplicaciones que van desde el aspecto laboral hasta el plano criminal, pasando por los sistemas de salud, transporte, sistemas financieros, sistemas de comercialización, pólución, todos los ámbitos de la Industria en general, además de otros. En la actualidad la I.O. no solo se aplica en los ámbitos privados, si no tambien en el sector de los servicios públicos gubernamentales, tanto en los países desarrollados como los países en vías de desarrollo; alcanzando una presencia relevante debido al avance tecnológico en el desarrollo de los computadores, que permiten resolver algoritmos complejos.

En el siglo pasado, las organizaciones industriales de U.S.A. y el Reino Unido estaban constituidas por un número reducido de empleados los que ocupaban espacios muy pequeños, los cuales eran dirigidos por una sola persona. Todo este panorama cambia en el periodo de la Primera revolución industrial, la cuál trajo consigo el desarrollo de la energía, las maquinarias y los equipos. Al mecanizarse la producción ocurrió la segmentación funcional y geográfica de la administración; consecuentemente vino la división del trabajo y aparecieron las responsabilidades de


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producción, finanzas, mercado, personal, ingeniería é investigación y desarrollo. Específicamente se puede señalar que la I.O. surge durante la Segunda Guerra mundial, con los intentos de asignar de manera óptima los recursos que contaban los frentes a las operaciones militares. Posteriormente como resultado de la revolución industrial, ha ido cobrando cada vez mayor importancia, dado el crecimiento y la complejidad de las nuevas organizaciones. Desde un principio los científicos y matemáticos se han interesado por desarrollar el concepto de optimización, intentado encontrar la mejor solución a un determinado problema; entonces podemos decir que la idea de optimizar proviene de la antigüedad, donde la riqueza de las naciones ha estado determinada por su capacidad de crear y utilizar bienes ú objetos que sean útiles al ser humano. A partir del crecimiento industrial, la gestión y asignación óptima de los recursos a las actividades se torna mas compleja y difícil; ésta necesidad hace que se encamine la búsqueda de un instrumento científico más eficiente que apoye el manejo organizacional y sobre todo que ayude a una eficiente y eficaz toma de decisiones. Es en este contexto que la investigación de operaciones y el concepto de optimización comienzan a jugar un rol muy importante en el mundo moderno. Fue el doctor que el año 1947, resumiendo los trabajos de muchos de sus antecesores, reconoce la estructura matemática de muchos problemas de logística militar y desarrolla el , lo cuál dio inicio a la programación lineal. Finalmente en los años 50, la optimización y la investigación de operaciones reciben otro impulso con el advenimiento de la era espacial, donde los problemas de trayectoria óptima de los proyectiles, son tratados a través de la programación dinámica y el principio del máximo; extendiéndose rápidamente su utilización a la ingeniería y economía.

La investigación de operaciones ha ido evolucionando y desarrollándose a través del tiempo gracias al aporte realizado por muchos estudiosos y científicos que se han


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constituido en los precursores é impulsores de ésta fundamental herramienta. Entre los precursores más importantes se pueden destacar a:

Lagrange Euler Gauss Taylor Gilbreth Erlang Brandeis Lanchester Kantarovich Dantzig Shannon Bellman Dantzig – Fulkerson – Jonson Gomory – Land – Doig – Everreth Von Neumann Kuhn – Tucker Rafia Arrow – Karlin – Scarf - Whitin

1736 – 1813 Teoría de los multiplicadores 1703 – 1783 Cálculo de variaciones Teoría de mínimos cuadrados y 1777 – 1855 La teoría del control 1881 Estudio de tiempos 1885 Estudio de movimientos 1908 Teoría de colas 1910 Teoría de la administración científica 1915 Simulación Estudio sistemático del problema de 1930 – 1950 Asignación de recursos 1947 Programación lineal 1948 Teoría de la información 1955 Programación dinámica 1955 Redes de optimización Programación entera 1974 Teoría de juegos y dualidad Programación no lineal Análisis de decisiones Inventarios

Fuente: Modelos Lineales de Optimización (Rafael Terrazas P.)

Para poder definir la Investigación de Operaciones, es necesario analizar cinco elementos importantes y esenciales que constituyen la esencia de la I.O., estos son: Sistemas, Modelos, Optimización, Decisión y Método Científico.


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SISTEMA

MODELO

METODO CIENTIFICO DECISIÓN

OPTIMIZACIÓN

Si relacionamos estos cinco elementos desde un enfoque del Mundo Real y el Mundo Ideal, donde se hace una abstracción del Sistema, para luego de un proceso de análisis encontrar soluciones óptimas a los problemas del mundo real y apoyar con la toma de decisiones; se tiene el siguiente esquema:

SISTEMA

MODELO

METODO CIENTIFICO DECISIÓN

OPTIMIZACIÓN


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La investigación de operaciones (ó Investigación Operativa), es un procedimiento ó enfoque que permite resolver problemas relacionados con la optimización y la toma de decisiones en los diferentes campos de aplicación, tales como: la industria, la economía, el comercio, la política, la educación, la salud, la defensa, etc. En conclusión la es la aplicación por grupos interdisciplinarios del en el análisis y solución de problemas relacionados con el control de las organizaciones del mundo real (Industria, economía, comercio, educación, defensa, etc); que deben ser concebidos como y entidades complejas que manejas recursos (humanos, materiales, equipos, útiles, información, etc). Estos sistemas son representados en el mundo ideal por matemáticos, cuyo análisis y solución busca la de resultados que deben ser interpretados y comprometidos para ofrecer apoyo a la .

Se entiende por modelo a la representación simplificada é idealizada, de manera cualitativa o cuantitativa de un sistema real; de acuerdo a los objetivos de estudio del sistema. En esencia un modelo es una imagen de un sistema, y en función a las interrogantes que se plantean los sistemas pueden presentar diversos modelos. La I.O. se centra en manejar Modelos Matemáticos que permitan interaccionar variables (de entrada y salida) mediante relaciones funcionales y/o ecuaciones, de tal forma que la solución del modelo permita encontrar la combinación óptima de resultados en cuanto a las variables que intervienen.

La I.O. al centrar su interés en los modelos matemáticos de decisión, considera la siguiente clasificación de los mismos:


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Es aquel que representa a un sistema, de manera que las variables y relaciones funcionales, no sufren alteraciones debido a cambios en el tiempo. Es aquel que representa a un sistema, de manera que el tiempo juega un rol muy importante. Son aquellos que no incluyen propiedades relacionadas con fenómenos aleatorios, como ser: La programación lineal, la programación entera, el modelo de transporte, la teoría de localización o redes, etc. Son aquellos que incluyen variables o relaciones funcionales que dependen de fenómenos aleatorios, como ser: Las cadenas de Markov, la teoría de juegos, las líneas de espera, los modelos de simulación, etc. Las soluciones de los diferentes modelos pueden ser de tipo analítico o numérico.

Estáticos

Dependencia con el Tiempo

Dinámicos

MODELOS MATEMÁTICOS

Naturaleza de las Variables

Determinísticos Probabilísticos

Tipo de Solución

Analíticos Numéricos


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La metodología que utiliza la I.O. como herramienta para resolver problemas sistémicos, se basa en la metodología científica (propuesta por Sir Francis Bacon en 1620), que consta de cuatro pasos, los cuales son: 1° de un sistema físico 2° de una (modelo matemático) 3° del comportamiento del sistema (obtención de soluciones) 4° Experimentación para probar la de las hipótesis


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Definición de los objetivos, alternativas y escenarios

( Modelo matemático ) Es la definición de una función económica y sus restricciones

Hallar la Solución Óptima del modelo ( Por medios analíticos y/o numéricos )

Utilizar datos pasados Permitiendo operar al modelo

Interpretación de los resultados (Análisis de Sensibilidad o cambios en parámetros)

Toma de decisiones para la operación y control del Modelo - Retroalimentación Dirección de Educación a Distancia _UPDS_ Modalidad Cursos por Encuentros

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·

·

· · · · · ·

·

Tiene sus aplicaciones en problemas relacionados con la optimización de mezclas, manufacturación de productos, recursos humanos, finanzas, mantenimiento de inventarios, marketing, etc. Se utiliza cuando un producto determinado se tiene que distribuir desde puntos de oferta (orígenes) hacia punto de demanda (destinos), donde se pretende encontrar un plan de distribución óptimo. Se utiliza para diseñar planes de asignación de recursos y trabajos óptimos. Es muy utilizado en la planificación y programación de proyectos, programación de horarios, etc. Es utilizado en el estudio para la localización de proyectos. Utilizado en la programación de etapas múltiples. Se utiliza en el manejo y almacenamiento de productos. Son utilizados cuando se tiene dificultad para establecer relaciones analíticas aceptables desde el punto de vista computacional o cuando el problema es netamente probabilístico.

Generalmente las organizaciones que no aplican la I.O. en la toma de decisiones, éstas lo hacen de forma intuitiva, ignorando la mayor parte de las veces las interrelaciones que existen entre cada uno de los componentes del sistema.

·

La I.O. genera un nivel mayor de ordenamiento; es decir que logra integrar en su estudio el mecanismo de coordinación, para evitar que los componentes del


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sistema aisladamente unos de otros. · Al establecer procedimientos sistemáticos que supervisan las operaciones que se llevan acabo en la organización. ·

Al lograr que éste opere con costos mas bajos, interaccionando de manera mas fluida; a demás de minimizar los cuellos de botella, logrando una mejor coordinación entre los elementos más importantes del sistema.


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Uno de los modelos más importantes y de mayor aplicación en la I.O. es la PROGRAMACIÓN LINEAL; siendo ésta técnica del modelado matemático diseñada para optimizar el empleo de recursos limitados, presentando como característica principal el manejo de ecuaciones y relaciones funcionales de tipo lineal. La Programación lineal tiene su aplicación práctica en cualquier tipo de actividad comercial y/o de producción, desde la publicidad, planificación de la producción, finanzas y otros; buscando optimizar los ingresos, utilidades, costos, ventas, etc.

La P.L. es un modelo de programación matemática que busca lograr la mejor asignación de los ( ) hacia que se encuentran en competencia ( ), de tal forma que se pueda lograr la ( ) de una ( ) y cuyo resultado servirá para apoyar una futura

Luego de leer el enunciado del problema las veces que sean necesarias hasta comprender completamente; se recomienda seguir en general los siguientes pasos para formular un Modelo de Programación Lineal.

Son la base fundamental del M.P.L., que por lo general son identificados una vez conocido el objetivo (o el fin) para el cual está diseñado el problema. Es muy importante tomar en cuenta las unidades correspondientes a cada variable identificada,


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representándose por x 1 , x 2 , x 3 ,..., x n En muchos casos, identificar y definir las variables de decisión es la etapa más difícil; pero una vez que se definen las mismas, el resto del proceso fluye de modo natural.

Se debe definir la ecuación económica que debe ser optimizada (maximizar o minimizar); siendo ésta ecuación la que cuantifica el valor máximo o mínimo, debiendo estar planteada en función a las variables de decisión identificadas en el sistema. Se denota como: F .O . :

Optimizar

Z = c 1 x1 + c 2 x 2 + ... + c n x n

Donde: c n Coeficiente de costo o ganancia

Son ecuaciones o desigualdades (=, ≥ ó ≤), que se plantean en función a la disponibilidad de cada uno de los recursos limitados con los que cuenta una empresa; por ejemplo: mano de obra, materia prima, capital de operaciones, sistemas de inventarios, etc. Las restricciones estructurales se representan de la siguiente manera:

ìa11 x1 ± a12 x2 ± ... ± a1n xn £ = ³ b1 ¬ R1 ïa x ± a x ± ... ± a x £ = ³ b ¬ R ï 21 1 22 2 2n n 2 2 Sujeto a ( s .a .) : í M M M M ï M ïîa m1 x1 ± a m 2 x2 ± ... ± a mn xn £ = ³ bm ¬ Rm Donde: a mn

Cantidades que se consumen en cada actividad

b m

Disponibilidad o requerimiento de los recursos (lados derechos)

R m

Restricciones estructurales o funcionales


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Todas las variables de decisión identificadas en un sistema, no deben asumir valores negativos en el resultado final; es decir: No negativos :

x1 , x 2 ,..., x n ³ 0

Proceso de formulación del Modelo de Programación Lineal El banco Ganadero dispone de 18 millones de dólares para ofrecer préstamos de riesgo alto y riesgo medio, cuyos rendimientos son del 14% y 7% respectivamente; por otro lado se conoce que se debe dedicar al menos 4 millones de dólares a préstamos de riesgo medio y que el dinero invertido en alto y medio riesgo debe estar a lo sumo a razón de 4 a 5. Formular un M.P.L. que permita determinar ¿cuánto debe dedicarse a cada uno de los tipos de préstamos para maximizar el beneficio?

x 1 =

Cantidad de dinero dedicada a préstamos de riesgo alto [millones de $us ]

x 2 =

Cantidad de dinero dedicada a préstamos de riesgo medio [millones de $us ]

F .O. : Max. z = 0.14 x1 + 0.07 x2 [millones de $us.]

ì x1 + x2 £ 18 [ millones de $ us .] ï Sujeto a (s.a .) : í x2 ³ 4 [ millones de $ us .] ï5 x - 4 x £ 0 [ millones de $ us .] 2 î 1

No negativos : x1 ; x2 ³ 0


29



Suponiendo que se tiene un número de recursos limitados que se pueden asignar a un número de actividades. La estructura que muestra el siguiente cuadro, proporciona los elementos necesarios (datos) para que un M.P.L. maneje la asignación de recursos por unidad de actividad:

1 2

a 11

a 12

a 21

a 22

M

M

M

m

a m1

a m 2 ...

c 1

... a 1 n ... a 2 n

c2

b1 b2 M

M

...

Donde: Recursos disponibles : i = 1, 2 ,..., m

bn

a mn cn

Actividades : j = 1 , 2 ,..., n

Z Función objetivo que debe maximizarse o minimizarse

x j Nivel de actividad (Variable de decisión) c j Coeficiente costo o ganancia para la actividad

(parámetro)

a ij Cantidad del recurso que consume cada unidad de la actividad b i Cantidad disponible del recurso para asignar a las actividades

La formulación canónica tiene las siguientes características: · La función objetivo es · Las restricciones estructurales son del tipo “ · Las variables de decisión son Ejemplo:

( ) ( )

F .O. : Max. z = 2 x1 + 3 x2


30



ì x1 + x2 £ 3 S . a . : í î5 x1 - 4 x2 £ 2 No negativos : x1 ³ 0 ; x2 ³ 0

La formulación mixta tiene las siguientes características: o · La función objetivo es · Las restricciones estructurales son “ o ) · Las variables de decisión son ( ) Ejemplo:

F .O. :

Min. z = x1 + 4 x2 + 2 x3

S . a . :

ì x1 + 5 x2 + 4 x3 £ 9 í î3 x1 + 2 x2 + x3 ³ 1

( o

No negativos : x1 ; x2 ; x3 ³ 0

La formulación estandar tiene las siguientes características: o · La función objetivo es ( ) · Las restricciones estructurales son del tipo ( ) · Las variables de decisión son · Los elementos del lado derecho de cada ecuación son positivos Ejemplo:

F .O. : Max. z = 2 x1 + 3 x2 + 0h1 - 0 s2

=3 ì x1 + x2 + h1 ï S . a . : í5 x1 + 4 x2 - s2 = 2 ï2 x + x =4 2 î 1 No negativos : x1 ; x2 ; h1 ; s 2 ³ 0


31



Supongamos que un taller de carpintería dispone de determinadas piezas para la elaboración de dos productos finales. El taller dispone de 8 “piezas pequeñas” y 6 “piezas grandes”, que son utilizadas para elaborar sillas (usando 2 piezas pequeñas y 1 pieza grande) y mesas (usando 2 piezas de cada tipo). Nos interesa decidir cuántas sillas y mesas se debe fabricar de modo que se obtenga la máxima utilidad, dado que se tiene un beneficio neto de $us. 15 por cada silla y de $us. 20 por cada mesa fabricada. Primero identificamos cuales son los recursos con los que se dispone y cuales son las actividades que deben realizar

Piezas pequeñas Piezas grandes

Fabricar sillas Fabricar mesas

Recursos

Piezas por unidad de Disponobilidad de piezas Sillas Mesas

Piezas pequeñas [ Pza. / u ] Piezas grandes [ Pza. / u ]

2 1

2 2

Utilidad [ $us. / u ]

15

20

x 1 =

Número de sillas a fabricar [ u. ]

x 2 =

Número de mesas a fabricar [ u. ]

F .O. :

8 [ Pzas. ] 6 [ Pzas. ]

Max. z = 15 x1 + 20 x2 [$us.]

é $us. ù é $us. ù ê u * u ú + ê u * u ú = [$us.] ë û ë û


32



Pzas . pequeñas : 2 x1 + 2 x2 £ 8 Pzas. gra ndes : x1 + 2 x2 £ 6 é Pzas. ù é Pzas. ù ê u * u ú + ê u * u ú = [Pzas.] ë û ë û

No negativos : x1 ³ 0 ; x2 ³ 0

F .O. : Max. z = 15 x1 + 20 x2 [$us.]

ì 2 x1 + 2 x2 £ 8 î x1 + 2 x2 £ 6

S .a . : í


La empresa de pinturas MONOPOL, produce pinturas tanto para interiores como para exteriores, a partir de dos materias primas M1 y M2. La siguiente tabla proporciona los datos básicos del problema: Toneladas de Materia Prima por tonelada de Pintura para Exteriores

Interiores

Disponibilidad Máxima Diaria (Toneladas)

M1

6

4

24

M2

1

2

6

Utilidad por Tonelada (1000 $us.)

5

4

Materia Prima

Una encuesta de mercado restringe la demanda máxima diaria de p intura para interiores a 2 toneladas. Además, la demanda diaria de pintura para interiores no puede exceder a la pintura para exteriores por más de 1 tonelada. La empresa MONOPOL quiere determinar la mezcla de productos óptima de pintura para interiores y para exteriores


33



que maximice la utilidad total diaria. En este caso no es necesario el cuadro de disponibilidad de recursos y actividades, ya que en el planteamiento del problema se tiene como datos.

Materia prima M1 Materia prima M2 Restricciones de Demanda

Producir pintura para exteriores Producir pintura para interiores

x 1 =

Cantidad de pintura para exteriores a producir [ Tn. / día ]

x 2 =

Cantidad de pintura para interiores a producir [ Tn. / día ]

F .O. :

Max. z = 5 x1 + 4 x2

é Miles $us. Tn ù é Miles $us. Tn ù é Miles $us.ù ê Tn. * día ú + ê Tn. * día ú = ê día ú ë û ë û ë û

Materia prima M1 :

6 x 1 + 4 x2 £ 24

é Tn. M 1 Tn ù é Tn. M 1 Tn ù é Tn. M 1 ù ê Tn . * día ú + ê Tn . * día ú = ê día ú ë û ë û ë û

Materia prima M2 :

x 1 + 2 x2 £ 6

é Tn. M 2 Tn ù é Tn. M 2 Tn ù é Tn. M 2 ù ê Tn . * día ú + ê Tn . * día ú = ê día ú ë û ë û ë û

Relación de Demanda: Demanda de pintura p/ext.:

No negativos

x 2 £ x1 + 1

éTn . ù día úû êë

x 2 £ 2

éTn . ù día úû êë

: x1 ³ 0 ; x2 ³ 0


34



F .O. :

Max. z = 5 x1 + 4 x2 [Miles $us. / día ]

ì 6 x1 + 4 x 2 ï x + 2x ï 1 2 S . a . : í ï - x1 + x 2 ïî x2 No negativos

£ 24 £ 6 £ 1 £ 2

: x1 ³ 0 ; x2 ³ 0

Una persona debe cumplir una dieta que le exige consumir por semana al menos 1 Kg. de carbohidratos y ½ Kg. de proteínas. Para ello cuenta con dos tipos de alimentos (A) y (B) que están constituídos exclusivamente por carbohidratos y proteínas. El alimento tipo (A) contiene 90% (en peso) de carbohidratos y el resto de proteínas, mientras que el alimento tipo (B) contiene 60% de carbohidratos y el resto de proteínas; se sabe que el alimento tipo (A) cuesta 20 $us. / Kg. y el alimento tipo (B) 40 $us. / Kg. ¿Qué cantidad de cada alimento deberá consumir la persona para que el costo de su dieta sea mínimo?

Carbohidratos Proteínas

Tipo (A) Tipo (B)

Kg. de alimentos Tipo (A) Tipo (B) Carbohidratos [ Kg. carb. / Kg. ] 0.9 0.6 Proteínas [ Kg. prot. / Kg. ] 0.1 0.4 Costo [ $us. / Kg. ] 20 40 Nutrientes

Requerimiento Mínimo 1 [ Kg. carb. / sem. ] 0.5 [ Kg. prot. / sem. ]

x 1 =

Cantidad de alimento tipo (A) a consumir [ Kg. / sem. ]

x 2 =

Cantidad de alimento tipo (B) a consumir [ Kg. / sem. ]

F .O. :

Min. z = 20 x1 + 40 x2 [$us. / sem.]


35



é $us. Kg . ù é $us. Kg . ù é $us. ù * ê .* ú+ê ú=ê ú ë Kg sem. û ë Kg . sem . û ë sem. û

Carbohidratos :

0.9 x 1 + 0.6 x2 ³ 1

é Kg.carb. Kg. ù é Kg.carb. Kg. ù é Kg.carb. ù ê Kg. * sem. ú + ê Kg. * sem. ú = ê sem. ú û ë û ë û ë

Proteínas

:

0.1 x 1 + 0.4 x2 ³ 0.5

é Kg. pro t. Kg. ù é Kg. prot. Kg. ù é Kg. prot. ù ê Kg. * sem. ú + ê Kg. * sem. ú = ê sem. ú û ë û ë û ë

No negativos : x1 ³ 0 ; x2 ³ 0 F .O. :

Min. z = 20 x1 + 40 x2 [ $us. / sem.]

ì 0 . 9 x1 + 0 .6 x2 ³ 1 S .a . : í î 0 . 1 x1 + 0 .4 x2 ³ 0 . 5 No negativos : x1 ³ 0 ; x2 ³ 0

El Banco BISA tiene un capital de 500000 $us. para invertir en dos tipos de acciones A y B. El tipo A tiene bastante riesgo siendo el interés anual del 10% y el tipo B es bastante seguro con un interés anual del 7%. La política de inversiones del banco considera invertir como máximo 300000 $us. en las acciones con bastante riesgo (tipo A) y como mínimo 100000 $us. en las acciones mas seguras (tipo B), además por regulaciones del mercado el banco debe invertir en las acciones tipo A por lo menos tanto como en las del tipo B. ¿Usted como gerente comercial de valores del banco deberá proponer al directorio cómo invertir los 500000 $us. para maximizar sus intereses anuales?


36



Inversión de Capital Políticas de inversión

Tipo (A) Tipo (B)

Condiciones de Inversión en $us. Inversión de Capital Inv. Acciones Tipo (A) Inv. Acciones Tipo (B) Interés anual [ % ]

Inversión en acciones Tipo (A) Tipo (B) 1 1 1 ― ― 1 10 7

Límites de Inversión en $us. 500000 300000 100000

x 1 =

Monto de dinero a invertir en acciones tipo (A) [ $us.]

x 2 =

Monto de dinero a invertir en acciones tipo (B) [ $us.]

F .O. : Max. z = 0.1x1 + 0.07 x2 [ $us.]

Inversión de capital

:

Inv. Acciones Tipo (A): Inv. Acciones Tipo (B): Relacion de inversión :

[$us.] x 1 £ 300000 [$us.] x 2 ³ 100000 [$us.] x 1 ³ x2 [$us.]

x 1 + x2 £ 500000

No negativos : x1 ³ 0 ; x2 ³ 0 F .O. :

Max. z = 0 .1x1 + 0.07 x2 [$us .]


37



ì x1 + x2 £ 500000 ï £ 300000 ï x1 S .a . : í x2 ³ 100000 ï ïî x1 - x2 ³ 0 No negativos : x1 ³ 0 ; x2 ³ 0

La empresa de confecciones produce camisas y trajes de vestir para varones. Cada camisa requiere 2 hrs. Hombre y 1 hora de maquinado; cada traje requiere 10 hrs. Hombre y 4 horas de maquinado. Para la confección de una camisa se requiere 1 metro de tela y para un traje 3 metros de tela. Ambas telas son diferentes. Se dispone semanalmente de 80 metros de tela para camisa y 90 metros de tela para trajes. Se trabaja 5 días a la semana con 10 operarios y 4 maquinas de costura. Las utilidades son: 20 Bs. / camisa y 80 Bs. / traje. Cual es el mejor plan de producción para la empresa. Un agropecuario tiene 20 hectáreas de tierra en el norte que piensa sembrar la próxima temporada. No ha podido decidir que sembrar porque tiene limitaciones con el dinero y el personal. Para sembrar arroz los gastos son 4500 Bs./ha. y se requiere 80 hrs.– hombre/ha.; para sembrar maíz se requiere 3800 Bs./ha. y 85 hrs. – hombre / ha. el agropecuario cuenta con 85000 Bs. para cubrir los gastos de producción y 3 personas que trabajan durante 60 días hábiles, 10 hrs. diarias. Por cada hectárea de maíz se gana 5000 Bs. y por cada ha. de arroz se gana 5800 Bs. Formular un modelo para decidir el uso de la tierra y los recursos. Un nutricionista desea controlar la cantidad de grasa de los alimentos que consumen los enfermos en el . Todas las comidas deben tener 5 % o menos de grasa. El plato del día consiste en arroz y pollo. El pollo tiene 12 % de grasa y el arroz 1 %. Cada enfermo consume un total de 400 gramos de alimento en el almuerzo. El kilo de pollo preparado cuesta 11 Bs. y el arroz preparado con verduras cuesta 12 Bs. Determinar la cantidad optima de arroz y pollo que debe servirse a cada enfermo a un costo mínimo.


38



Un agricultor posee 200 cerdos que consumen 90 libras de comida especial todo los días. El alimento se prepara con las siguientes composiciones:

Maíz Harina de Soya (Lb.)

0.001 0.002

0.09 0.60

0.02 0.06

0.20 0.60

Determine la mezcla de alimento con el mínimo costo por día, si los requisitos diarios de alimento para los cerdos son: a) Cuando menos 0.1 % de calcio b) Por lo menos 30 % de proteínas c) Máximo 5 % de fibra La empresa de confecciones fabrica ropa industrial: camisas y overoles para las diferentes empresas. Cada camisa requiere 2 hrs.–hombre y cada overol requieren 10 hrs.– hombre. Para la confección de una camisa se requiere 1 metro de tela y para un overol 3 metros de tela. Ambas telas son diferentes. Se dispone semanalmente de 120 metros de tela para camisas y 300 metros de tela para overoles. Se trabaja 5 días a la semana con 10 operarios. Las utilidades son de 20 Bs. / camisa y 80 Bs. / overol. ¿Cuál es el mejor plan de producción para la empresa?. Muebles fabrica 3 clases de sillones cada una requiere una técnica diferente de fabricación. El sillón de lujo requiere 35 hrs. de mano de obra, 9 hrs. de maquinado y produce una utilidad de 25 $us.; el sillón estándar requiere 30 hrs. de mano de obra, 7 hrs. de maquinado y produce una utilidad de 20 $us.; el sillón económico requiere 25 hrs. de mano de obra, 5 horas de maquinado y produce una utilidad de 12 $us. Se dispone 1800 hrs. de mano de obra y 450 hrs. de maquinado cada mes. La demanda mensual llega máximo 20 und. para los modelos de lujo y 25 para los modelos estándar. Formule un modelo para determinar el mejor plan de producción. La empresa fabrica dos modelos de carritos a motor para niños, utilizando como materia prima el hierro y la madera, para lo cual se destina 28 hrs. en fabricar una und. del modelo estándar y 16 hrs. para el modelo sencillo.


39



Actualmente se tiene disponible 7200 hrs. para la producción de estos modelos. Existe un pedido de 16 und. del modelo sencillo. En el siguiente cuadro se detalla los insumos e ingresos para cada modelo:

Sencillo Estándar

950 4000

65 120

1 1

1010 1205

1460 2100

Elaborar un modelo de Programación Lineal para determinar el mejor plan de producción. La compañía de investigaciones tiene un capital de 10 millones de $us. para invertir. El objetivo principal consiste en maximizar el retorno de la inversión para el próximo año. Existen 4 alternativas de inversión según el cuadro. Se ha establecido que por lo menos el 30 % deberá ser colocado en las alternativas 1 y 2, no más del 40 % en las alternativas 3 y 4. Se debe invertir todo los 10 millones disponibles. Formular un modelo de Programación Lineal que permita estimar la cantidad de dinero a invertir en cada alternativa.

Vivienda tipo Chalet Vivienda Semi Lujo Vivienda Sencilla Lotes

6 8 9 12

7 5 4 2

María requiere regular su alineación, actualmente dispone los siguientes alimentos para consumo: torta de chocolate, helado de chocolate, soda coca-cola, empanada de queso. Cada porción de torta cuesta 3 Bs., el vaso de helado cuesta 4 Bs., cada botella de soda personal cuesta 3 Bs. y cada empanada cuesta 1 Bs. Cada día debe ingerir por lo menos 50 calorías, 6 onzas de chocolate, 12 onzas de azúcar y 8 onzas de grasa. El contenido nutritivo por unidad de cada alimento se muestra en la siguiente tabla:


40


Torta Helado Soda Empanada


40 20 15 50

3 2 0 0

4 4 3 2

2 2 0 3

Formular un modelo lineal que permita responder a los requerimientos alimenticios diarios a un costo mínimo. El gerente de personal de la empresa de seguridad debe elaborar un programa de vigilancia de modo que se satisfagan los requerimientos que se muestran en el Cuadro Nº 1. Los guardias trabajan turnos de 8 hrs., todos los días hay 6 turnos. En él Cuadro Nº 2, se dan los horarios de entrada y salida de cada turno. El gerente de personal de dicha empresa quiere determinar cuantos guardias deberán trabajar en cada turno con el objeto de minimizar él número total de guardias que satisfaga los requerimientos de personal.

Media noche 4 am. 8 am. Medio día 4 pm. 8 pm.

→ 4 am. → 8 am. Medio día → 4 pm. → 8 pm. Media noche

5 7 15 7 12 9


41

Investigación Media noche de→Operaciones 8 am. 4 am. Medio día 8 am. → 4 pm. Medio día → 8 pm. 4 pm. Media noche 8 pm. → 4 am.


El objetivo de esta unidad es estudiar los métodos de solución y las propiedades que son propias de la solución de un M.P.L.; que pueden determinarse de forma gráfica y/o analítica. Existen varios métodos que permiten llegar a la solución de un problema de programación lineal, entre los cuales tenemos a los métodos: a) b) c)

Método Gráfico Método Simplex Métodos de Penalización

Es uno de los métodos más simples, que tiene 2 características especiales: i)

Solo sirve para resolver problemas en dos dimensiones (a lo sumo tres).

ii)

La aplicación y solución mediante este método, permite importantes interpretaciones de tipo geométrico y conceptual en relación a la teoría de la P.L.

Graficar en un sistema de coordenadas cada una de las restricciones del M.P.L. Reemplazar un punto por encima y por debajo de la recta, para determinar el sentido que indica la desigualdad. La intersección de todas las rectas y el dominio de las restricciones con el primer cuadrante del sistema de coordenadas, daran lugar a la formación de


42



un conjunto o espacio solución denominado Graficar la la función objetivo

, reemplazando con un valor arbitrario

Para hallar la Solución Solución Óptima, se desplazará paralelament paralelamentee la recta Z obtenida en el paso 4, hasta intersectar con un punto de intersección de las restricciones; restricciones; esto e sto según: a) Si se trata de se debe encontrar el b) Si se trata de .

, se debe encontrar el

Interpretar los resultados obtenidos obtenidos

Son los valores de las variables y el valor de la función objetivo Son aquellas que pasan por el punto óptimo y hacen uso total de los recursos Son aquellas que no pasan por el punto óptimo, pero sí delimitan la región factible y hacen uso parcial de los recursos. Son aquellas que no delimitan la región factible, factible, por lo tanto no influyen influyen en la solución óptima.

Aplicar el algoritmo del del método método gráfico para resolver el problema del taller de carpintería, carpintería, cuyo modelo de pprogr rogramación amación lineal formulado es:

F .O. : Max. z = 15 x1 + 20 x2 [$us.]


43



ì 2 x1 + 2 x2 £ 8 S .a . : í î x1 + 2 x2 £ 6

K R 1

Pzas . pequeña s

K R2

Pzas . gra gr a ndes

No negativos : x1 ³ 0 ; x2 ³ 0 Donde: x 1 = Número de d e sillas si llas a fabricar [ u. ] x 2 = Número de d e mesas

·

a fabricar fabric ar [ u. ]

Primeramente las restricciones (desigualdades) (desigualdades ) las representamos como igualdades solo para poder encontrar los puntos que nos permitan trazar las rectas que representan representan a las restricciones en un sistema cartesiano. cartesiano.

R 1 : 2 x1 + 2 x2 = 8

R 2 : x1 + 2 x2 = 6

x 1 = 0 Þ x2 = 4 ® P1 ( 0 , 4 ) x2 = 0 Þ x1 = 4 ® P2 ( 4, 0 ) x 1 = 0 Þ x2 = 3 ® P1 ( 0 ,3) x2 = 0 Þ x1 = 6 ® P2 ( 6, 0 ) ·

Luego verificamos verificamos la solución de cada una una de las desigualdades desigualdades para para delimitar delimitar la Región Región Factible.

R 1 : 2 x1 + 2 x2 £ 8

R2 : x1 + 2 x2 £ 6

( 0 ,0 ) Þ 0 + 0 £ 8 SI ( 0 ,5 ) Þ 0 + 10 £ 8 NO ( 0 ,0 ) Þ 0 + 0 £ 6 SI ( 0 , 4 ) Þ 0 + 8 £ 6 NO ·

Una vez ubicada la región factible, asignamos un valor arbitrario arbitrario a “ ” en la función objetivo para luego trazar la recta que representa a dicha función, con la cual encontraremos encontraremos el punto óptimo.


44



En Max. z = 15 x1 + 20 x2 Si z = 30

Þ 15 x1 + 20 x2 = 30

x 1 = 0 Þ x2 = 1 .5 ® P1 ( 0 ,1 .5 ) x2 = 0 Þ x1 = 2 ® P2 ( 2 ,0 )

x 1 = 2 [u .] sillas x2 = 2 [u .] mesas

·

R / en z = 15 x1 + 20 x2 z = 15( 2) + 20( 2) z = 70 [ $us.]

R 1 y R2 Son restricciones activas , ya que ambas pasan por el punto


45



óptimo. · No tiene restricciones inactivas ni redundantes. El taller de carpintería debe fabricar 2 sillas y 2 mesas, obteniendo una utilidad máxima de 70 $us., haciendo uso total de sus recursos. Resuelva el problema de Pinturas Monopol por el método gráfico y analice sus resultados. Siendo:

x 1 =


x 2 =


F .O. :


ì 6 x1 + 4 x 2 ï x + x 2 2 ï 1 S . a . : í ï - x1 + x 2 ïî x2 No negativos

£ 24 £ 6 £ 1 £ 2

K R1

M1

K R2

M 2

K R3

R . Demanda

K R4

Demanda

Ext .

: x1 ³ 0 ; x2 ³ 0

R 1 : 6 x1 + 4 x2 = 24 R 2 : x1 + 2 x2 = 6 x 1 = 0 Þ x2 = 6 ® P1 ( 0 ,6 ) x2 = 0 Þ x1 = 4 ® P2 ( 4 ,0 ) x 1 = 0 Þ x2 = 3 ® P1 ( 0 ,3) x2 = 0 Þ x1 = 6 ® P2 ( 6 , 0 )

R 3 : - x1 + x2 = 1

R 4 : x2 = 2

x 1 = 0 Þ x2 = 1 ® P1 ( 0 ,1) x2 = 0 Þ x1 = - 1 ® P2 ( - 1, 0 )


46



Verificando las soluciones individuales:

R 1 : 6 x1 + 4 x2 £ 24

R2 : x1 + 2 x2 £ 6

( 0 ,0 ) Þ 0 + 0 £ 24 SI (5,0 ) Þ 30 + 0 £ 24 NO ( 0 ,0 ) Þ 0 + 0 £ 6 SI ( 7 ,0 ) Þ 7 + 0 £ 6 NO R 3 : - x1 + x2 £ 1

( 0 ,0 ) Þ - 0 + 0 £ 1 SI ( 0 , 2 ) Þ - 0 + 2 £ 1 NO

R4 : x2 £ 2

( 0 ,0 ) Þ 0 £ 2 SI ( 0 , 4 ) Þ 4 £ 2 NO

En Max. z = 5 x1 + 4 x2


47



Si z = 20

Þ 5 x1 + 4 x2 = 20

x 1 = 0 Þ x2 = 5 ® x2 = 0 Þ x1 = 4 ®

P1 ( 0 ,5 ) P2 ( 4, 0 )

x 1 = 3 [Tn. / día ] Pintura exterior x2 = 1.5 [Tn. / día ] Pintura interior R / en z = 5 x1 + 4 x2 z = 5(3) + 4 (1.5) z = 21 [ Miles $us. / día ]

·

R 1 y R2 Son restricciones activas , ya que ambas pasan por el punto óptimo.

·

R 3 y R4 Son restricciones inactivas , ya que ambas delimitan la región

factible, pero no pasan por el punto óptimo. · No tiene restricciones redundantes. La empresa de Pinturas Monopol deberá producir 3 Tn./día de pintura para exteriores y 1.5 Tn./día de pintura para interiores, obteniendo de esta manera una utilidad máxima de 21000 $us./día.; haciendo uso total de sus materias primas M1 , M2 y no cubriendo totalmente con las restricciones de demanda.

x 1 =

Cantidad de alimento tipo (A) a consumir [ Kg. / sem. ]

x 2 =

Cantidad de alimento tipo (B) a consumir [ Kg. / sem. ] F .O. :

Min. z = 20 x1 + 40 x2 [ $us. / sem.]


48



ì 0 . 9 x1 + 0 .6 x2 ³ 1 î 0 . 1 x1 + 0 .4 x2 ³ 0 . 5

S .a . : í

No negativos: x1 ³ 0 ; x2 ³ 0

x 1 = 0.33[Kg. / sem.] Alimento TipoA x2 =1.17[Kg. / sem.] Alimento TipoB R / en z = 20 x1 + 40 x2 z = 20( 0.33) + 40 (1 .17 ) z » 53 .4 [$us. / sem.]


49


·


R 1 y R2 Son restricciones activas , ya que ambas pasan por el punto

óptimo. · No tiene restricciones inactivas ni restricciones redundantes. La persona para cumplir con su dieta deberá consumir 0.33 Kg. / sem. del alimento Tipo (A) y 1.17 Kg. / sem. del alimento Tipo (B), con lo que alcanzará un costo mínimo de 53.4 $us. / sem. , logrando satisfacer sus necesidades mínimas de carbohidratos y proteínas.

Los M.P.L. con dos variables suelen clasificarse según el tipo de solución gráfica que presenta, en: ·

Si existe el conjunto de soluciones o valores que satisfacen las restricciones. Estas a su vez pueden ser:

x2

x2

x2

x1

x1 F.O.

F.O. ·

x1 F.O.

Cuando no existe el conjunto de soluciones que cumplen las restricciones; es decir que algunas restricciones son inconsistentes

x2

x1 Dirección de Educación a Distancia _UPDS_ Modalidad Cursos por Encuentros

50



Es un método analítico (o algebraico) que utiliza las operaciones con filas (desarrolladas en matrices) para obtener la solución a los modelos de programación lineal. Previamente a desarrollar el algoritmo del método simplex, debemos conocer algunas reglas básicas de transformación.

Antes de desarrollar el algoritmo del método simplex, debemos considerar las siguientes reglas de transformación para las restricciones que considera un M.P.L.: Para convertir las inecuaciones (desigualdades) en igualdades, se deben añadir variables de compensación, pudiendo ser éstas: Se utilizan cuando las restricciones son del tipo ( £ ) Se utilizan cuando las restricciones son del tipo

(³) Ejemplo: Si a 11 x1 + a 12 x 2 £ b1 , a 11 x1 + a 12 x 2 +

se

transforma

como:

entonces

se

transforma

como:

= b1

Si a 11 x1 + a 12 x 2 ³ b1 , a 11 x1 + a 12 x 2 -

entonces

= b1

Si las restricciones son del tipo ( = ), entonces ésta equivale a dos restricciones del tipo ( £ ) y ( ³ ) Ejemplo: Si

a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 ,

entonces

se

transforma

como:

ì a 11 x 1 + a 12 x 2 £ b 1 í î a 11 x 1 + a 12 x 2 ³ b 1

O

también


como:

51



ì a 11 x 1 + a 12 x 2 £ b 1 í î - a 11 x1 - a 12 x 2 £ - b 1

La Función Objetivo, se transforma según las siguientes equivalencias: Max Z º Min Max

(-

Z

)º

(-

Z

)

Min Z

Exprese en sus formas Canónica y Estandar el M.P.L. siguiente: F .O. :

Min. z = 6 x1 - 2 x2 + 3 x3

ì x1 + x2 + x3 £ 15 ï S .a . : í 2 x1 - x3 ³ 12 ï = 2 x2 î No negativos : x1 ³ 0 ; x2 ³ 0 ; x3 ³ 0

Es un algoritmo que aplica un procedimiento iterativo de solución, de forma sistemática considerando tres fases fundamentales:

Colocar el Modelo de Programación Lineal en su forma estandar. Plantear la tabla inicial o solución inicial (iteración 0)

Verificar si los coeficientes de la F.O. son todos positivos. · Si son positivos, entonces pare (es la solución) · Si no, vaya al siguiente paso. Realizar un cambio de base, aplicando la “regla de entrada y salida de la


52



base” (encontrar el pivote) · Se elige como variable que entra a la base, aquella variable nó básica que tenga el valor mas negativo en la fila de “Z” (se obtiene la columna pivote) ·

Se elige la variable básica que tenga menor radio ( r ), llamándose ésta, fila pivote.

·

Para el cálculo de ( r ), se tiene la siguiente expresión:

r =

valores

Lados _ Derechos _ de _ la _ columna

_ pivote

Se debe ignorar aquellos valores de la columna pivote que son “negativos o cero”

Aplicar operaciones elementales de fila y columna, para obtener ceros en la columna pivote (aplicar Gauss-Jordan) Volver a la fase de control Aplicando el algoritmo simplex, determine la solución del M.P.L. siguiente: F .O. :

Max. z = 5 x1 + x2

ì x1 + x2 £ 5 ï £ 3 S .a . : í x1 ï x + 3 x £ 12 2 î 1

K

R1

K

R2

K

R3

No negativos: x1 ³ 0 ; x2 ³ 0

F .O. : Max. z = 5 x1 + x2 + 0h1 + 0h2 + 0 h3


53



= 5 ì x1 + x2 + h1 ï S .a . : í x1 + h2 = 3 ïx + 3x + h3 = 12 2 î 1 No negativos : x1 ; x2 ; h1 ; h2 ; h3 ³ 0 F .O. : Max. z - 5 x1 - x2 - 0h1 - 0h2 - 0 h3 = 0 Iteración 0:

C.P. x1

x2

h1

h2

h3

L.D.

ρ

z

-5

-1

0

0

0

0

N.S.C.

h1

1

1

1

0

0

5

5/1=5

h2

1

0

0

1

0

3

3/1=3

h3

1

3

0

0

1

12

12/1=12

F.P.

Los pasos 3 y 4 son realizados en la misma tabla de iteración 0 Iteración 1: x1

x2

h1

h2

h3

L.D.

ρ

z

0

-1

0

5

0

15

N.S.C.

h1

0

1

1

-1

0

2

2/1=2

1

0

0

1

0

3

N.S.C.

0

3

0

-1

1

9

9/3=3

h3

El paso 6 se realiza en la misma tabla de iteración 1 Iteración 2: x1

x2

h1

h2

h3

L.D.

0

0

1

4

0

17

0

1

1

-1

0

2

x1

1

0

0

1

0

3

h3

0

0

-3

2

1

3

z

ρ


54



Como todos los valores de la fila z son positivos (caso maximizar), entonces se encontró la solución é interpretamos dicha solución.

x 1 = 3 [ u ]

h 1 = 0 ü

x2 = 2 [u ] h3 = 3 [u ] Abundante

ý Escasos h2 = 0 þ

z = 17 [u . m.]

Se deben producir 3 unidades de x 1 y 2 unidades de x 2 , obteniéndose un beneficio de 17 unidades monetarias.

Para resolver problemas que incluyen otros tipos de restricciones como ( ≥ y/o = ), se emplean los llamados Métodos de Penalización , que consideran las características siguientes: i)

Para las restricciones ( ≥ y/o = ) se añaden variables artificiales (que sirven como artificio matemático) que facilitan la solución de problemas de este tipo.

ii)

Generalmente si el problema tiene solución factible, éstas se convierten en variables no básicas con valor final igual a cero.

iii)

La iteración cero o paso inicial debe ser corregida en función de las modificaciones que se hagan en la función objetivo.

Este método introduce variables artificiales que son penalizadas en la función objetivo, para obligarlas a un nivel cero durante el curso de las iteraciones simplex. El valor que se considera como “M” es un valor positivo suficientemente grande. El método de la “M” utiliza el siguiente procedimiento:


55



Colocar el M.P.L. en su forma

, añadiendo:

·

Variables de holgura ( h i ) a las restricciones del tipo ≤ · Variables artificiales ( a i ) a las restricciones del tipo = · Variables superfluas ( s i ) y artificiales ( a i ) a las restricciones del tipo ≥ En la F.O. las variables de holgura ( h i ) y superfluas ( s i ) tienen coeficiente cero (0). Las variables artificiales ( a i ) se las penaliza con un valor grande, en el caso de y en el caso de Las variables básicas que corresponden a la tabla inicial (Iteración cero) deben incluir a las variables artificiales, pero sus coeficientes en la F.O. no son cero sino “M”, por lo que deberán volverse cero utilizando operaciones elementales de filas, considerando aquellas filas que incluyen a estas variables. Obtenida la tabla con la F.O. corregida, se continúa con los pasos del simplex hasta obtener el resultado óptimo. Aplicando el método de la M, determine la solución del M.P.L. siguiente:

F .O. : Min. z = 5 x1 + x2

ì x1 + x2 = 5 ï S .a . : í x1 £ 3 ï x + 3 x ³ 12 2 î 1

K

R1

K

R2

K

R3

No negativos: x1 ³ 0 ; x2 ³ 0 F .O. :

Min. z = 5 x1 + x2 + Ma1 + 0h2 - 0 S3 + Ma 3

= 5 ® R 1 ì x1 + x2 + a 1 ï S .a . : í x1 + h2 = 3 ® R2 ï x + 3x - S 3 + a 3 = 12 ® R3 2 î 1


56



No negativos : x1 ; x2 ; a1 ; h2 ; S3 ; a 3 ³ 0

Corregimos la función objetivo despejando las variables artificiales de las restricciones que las contienen: R 1 : a 1 = 5 - x1 - x2 R2 : a 3 = 12 - x1 - 3 x2 + S3 Reemplazamos a 1 y a 3 en la F.O.:

Min . z = 5 x1 + x2 + M (5 - x1 - x2 ) + 0h2 - 0 S3 + M (12 - x1 - 3 x2 + S3 ) Min . z = (5 - 2 M ) x1 + (1 - 4 M ) x2 + 0h2 + MS3 + 17 M Min . z + ( 2 M - 5) x1 + ( 4 M - 1) x2 - 0h2 - MS3 = 17 M Iteración 0:

C.P.

x1

x2

a1

h2

S3

a3

L.D.

ρ

z

2M-5

4M-1

0

0

-M

0

17M

N.S.C.

a1

1

1

1

0

0

0

5

h2

1

0

0

1

0

0

3

5/1=5 N.S.C.

a3

1

3

0

0

-1

1

12

12/3=4

X1

x2

a1

h2

S3

a3

L.D.

ρ

z

(2M-14)/3

0

0

0

(M-1)/3

(1-4M)/3

M+4

N.S.C.

a1

2/3

0

1

0

1/3

-1/3

1

1/(2/3)=1.5

h2

1

0

0

1

0

0

3

3/1=3

1/3

1

0

0

-1/3

1/3

4

4/(1/3)=12

Iteración 1:


57

F.P.



Iteración 2:

z h2

x1

x2

a1

h2

S3

a3

L.D.

ρ

0

0

7-M

0

2

-(M+20)/3

11

N.S.C.

1

0

3/2

0

1/2

-1/2

3/2

1.5/0.5=3

0

0

-3/2

1

-1/2

1/2

3/2

N.S.C.

0

1

-1/2

0

-1/2

1/2

7/2

N.S.C.

X1

x2

a1

h2

S3

a3

L.D.

ρ

-4

0

1-M

0

0

-(M+14)/3

5

2

0

3

0

1

-1

3

1

0

0

1

0

0

3

1

1

1

0

0

0

5

Iteración 3:

z h2

Como todos los valores de la fila z son negativos (caso minimizar), entonces se encontró la solución é interpretamos dicha solución.

x 2 = 5 [u ]

x 1 = 0 No producir

h2 = 3 [u ] ü

a1 = 0 ü

S3 = 3 [u ]þ

a 2 = 0þ

ý V. artificial es

ý Abundantes

z = 5 [u .m.]

Se deben producir 5 unidades de x 2 y ninguna unidad de x 1 , obteniéndose un beneficio de 5 unidades monetarias. Además se tienen los recursos correspondientes

a

las

restricciones

R 2 y R 3 como

abundantes,

ya

que

h 2 y S 3 se encuentran en la base. Este método trabaja también con variables artificiales, pero no considera la introducción de un valor grande “M”; ya que


58



computacionalmente, la consideración de éste valor “M” puede hacer que la solución verdadera se distorsione; es por esto que el método de las dos fases resulta mas eficiente. El método de las dos fases utiliza el siguiente procedimiento: Considera cinco pasos Se formula el M.P.L. en la forma estandar, añadiendo: · Variables de holgura ( h i ) a las restricciones del tipo ≤ · Variables artificiales ( a i ) a las restricciones del tipo = · Variables superfluas ( s i ) y artificiales ( a i ) a las restricciones del tipo ≥ En la F.O. las variables de holgura y superfluas tienen coeficiente cero (0) , pero las variables artificiales tienen como coeficiente uno (1) Si el problema tiene solución factible, las variables artificiales deben ser cero en la tabla final (variables no básicas). Se construye una F.O. adicional variables artificiales.

que solo tome en cuenta a las

Las en la tabla inicial ( o iteración cero ) deben incluir a las ( ya que éstas forman la matriz identidad ), pero sus coeficientes en la F.O. no son cero sino uno; por lo que estos coeficientes deben transformarse a cero operando con filas que incluyen a éstas variables y que luego deben sumarse a la fila de . Obtenida la tabla corregida en la F.O., se procede a iterar siguiendo los pasos del simplex hasta llegar a que la F.O. sea cero, garantizando que las variables artificiales desaparezcan de la base (es decir que sean cero). Considera dos pasos: Se toma en cuenta la última tabla de la

, eliminando las columnas


59



correspondientes a las ; y se introducen los valores originales de la F.O. Se presentará el problema de que las no tienen coeficientes cero en la F.O., esto se corrige con operaciones elementales de filas. Se verifica la optimidad viendo si todos los coeficientes de la F.O. son mayores o iguales a cero (caso Maximizar); si esto no ocurre, entonces se procede a iterar con los pasos del simplex. Aplicando el método de las Dos Fases, determine la solución del M.P.L. siguiente:

F .O. : Min. z = 2 x1 + 6 x2

=2 î 2 x1 + 2 x2 ³ 5 ì x1

S .a . : í

K

R1

K

R2

No negativos: x1 ³ 0 ; x2 ³ 0 Si maximizamos en vez de minimizar, entonces debemos transformar la F.O. según las reglas de transformación vistas anteriormente, obteniendo: F .O. :

Min. z = 2 x1 + 6 x2

F .O. :

Max. ( - z) = - 2 x1 - 6 x2

Ahora podemos aplicar el algoritmo de las dos fases:

Expresamos el M.P.L. en su forma estandar

F .O. :

Max. ( - z) = -2 x1 - 6 x2 - 1a 1 - 0 S3 - 1a 2

+ a1 = 2 ® R 1 ì x1 S .a . : í î 2 x1 + 2 x2 - S 2 + a 2 = 5 ® R2


60



No negativos : x1 ; x2 ; a 1 ; S 2 ; a 2 ³ 0 Construimos la F.O. adicional artificiales F .O. : F .O. :

que considera solo a las variables

Max. ( - z0 ) = -1a1 - 1a 2 Max. ( - z0 ) + 1a1 + 1a 2 = 0

Iteración 0

x1

x2

a1

S2

a2

L.D.

z

0

0

1

0

1

0

a1

1

0

1

0

0

2

a2 2 2 Corregimos la fila

0 -1 1 5 , mediante operaciones elementales de filas

(-1) a1

:

-1

0

-1

0

0

-2

(-1) a2

:

-2

-2

0

1

-1

-5

z0

:

0

0

1

0

1

0

z0 Corregido :

-3

-2

0

1

0

-7

Luego la tabla con los valores de la F.O. corregida (fila

), será:

x1

x2

a1

S2

a2

L.D.

ρ

z

-3

-2

0

1

0

-7

N.S.C.

a1

1

0

1

0

0

2

2

a2

2

2

0

-1

1

5

5/2


61



Iteración 1:

z a2

x1

x2

a1

S2

a2

L.D.

ρ

0

-2

3

1

0

-1

N.S.C.

1

0

1

0

0

2

N.S.C.

0

2

-2

-1

1

1

1/2

x1

x2

a1

S2

a2

L.D.

ρ

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

2

0

1

-1

-1/2

1/2

1/2

Iteración 2:

z

La condición de parada es la misma que en el método simplex normal; la diferencia estriba en que pueden ocurrir dos situaciones cuando se produce la parada: ·

Si la F.O. toma un valor cero ( z 0 = 0 ) , significa que el problema original tiene solución y se pasa a la fases 2.

·

Si la F.O. toma un valor distinto de cero ( z 0 ¹ 0 ) , entonces significa que el modelo no tiene solución.

Como todos los valores de la fila son positivos y el valor de la F.O. es cero, entonces el modelo tiene solución y se pasa a la fase 2.

Paso 1: Introducimos los valores originales de la F.O. en la tabla final de la fase 1 (sin tomar en cuenta las columnas que corresponden a las variables artificiales) y corregimos mediante operaciones con filas dichos valores.


62



F .O. : Max. ( - z) + 2 x1 + 6 x2 + 0 S3 = 0 Iteración 3: x1

-z

x2

S2

L.D.

2

6

0

0

1 0

0 1

0 -1/2

2 1/2

Corregimos la fila (-2) x1 :

, mediante operaciones elementales de filas -2 0 0 -4

(-6) x2

:

0

-6

3

-3

(-z)

:

2

6

0

0

(-z) Corregido

:

0

0

3

-7

Iteración 4:

-z

x1

x2

S2

L.D.

0

0

3

-7

1 0

0 1

0 -1/2

2 1/2

Como todos los valores de la fila z son positivos (caso maximizar), entonces se encontró la solución é interpretamos dicha solución.

x 1 = 2 [u ] x2 = 1 / 2 [u ]

S 2 = 0 Escaso

z = 7 [u. m.] Se deben producir 2 unidades de x 1 y 0.5 unidades de x 2 obteniéndose un beneficio de 7 unidades monetarias. Teniendo como escaso el recurso


63



correspondiente a la restricción R 2 .

La interpretación de la solución analítica de un M.P.L. presenta los siguientes casos: Se presenta cuando alguna de las variables artificiales añadidas, nó desaparecen de la base; conociéndose esto como solución no factible .

F .O . : Max .Z = 2 x1 + 6 x2

Ejemplo:

= 2 î 2 x1 + 2 x 2 ³ 5 ì x1

S . a . : í

No negativos: x1 ³ 0 ; x2 ³ 0 x 1

x 2

a 1

S 2

a 2

L .D .

z

M+4

0

2M+6

M

0

12-M

x2

1

1

1

0

0

2

a2

-1

0

-2

-1 1 1 Se conoce también como solución infinita y se presenta cuando en un

F .O . : Max .Z = 2 x1 + 6 x2

Ejemplo:

= 2 î 2 x1 + 2 x 2 ³ 5 ì x1

S . a . : í


x 2

a 1

S 2

a 2

L .D .

ρ

z

0

0

M-4

-3

M+3

7

N.S.C.

x1

1

0

1

0

0

2

N.S.C.

x 2

0

1

-1

-1/2

1/2

1/2

N.S.C.


64



Se reconoce cuando una variable no básica tiene coeficiente cero en la función objetivo.

F .O. : Max .Z = 5 x1 + 5 x2

Ejemplo:

ì x1 + x 2 £ 5 £ 3 î x1

S . a . : í


x 2

h 1

h 2

L .D .

ρ

z

0

0

5

0

25

N.S.C.

x2

0

1

1

-1

2

N.S.C.

x1

1

0

0

1

3

3/1=3

x 1

x 2

h 1

h 2

L .D .

z

0

0

5

0

25

x2

1

1

1

0

5

h2

1

0

0

1

3

Estas soluciones se presentan cuando se tiene un empate para elegir la variable de entrada, empate que se rompe arbitrariamente; pero cuando se tiene empate en el radio ( r ) a veces elegir arbitrariamente puede conducir a un Ciclaje . Es decir que luego de varias iteraciones se repite la solución inicial, sin lograr obtener la solución óptima. Este tipo de casos generalmente se presenta en problemas con soluciones factibles básicas degeneradas; es decir en aquellas que tengan por lo menos un lado derecho igual a cero.


65



Los problemas de P.L. pueden ser propuestos de una manera diferente; un planteamiento en base ya no a la asignación de recursos sino a la utilización de los mismos. Este tipo de razonamiento tiene relación con lo que se llama Interpretación Dual.

La dualidad es una técnica matemática alternativa y complementaria a la programación lineal, ya que en algunos casos permite simplificar la resolución de un M.P.L.; siendo útil cuando: ·

Se tienen que resolver problemas lineales que tienen más restricciones que variables. · Se quiere profundizar en la interpretación económica del problema primal , analizando conceptos como el de: variable dual, precio sombra o valor marginal de los recursos consumidos, además propiedades como la de holgura complementaria y consumo de recursos limitados.

Todos los modelos matemáticos de programación lineal conocidos hasta ahora se conocen como programas primales. Una aplicación importante de la teoría de la dualidad es, que puede resolverse el problema dual directamente con el método simplex , con la finalidad de identificar una solución óptima para el problema primal. A demás la teoría de la dualidad juega un papel importante en el análisis de sensibilidad.

Las características de transformación del Si la

del

al es

son las siguientes: , entonces la


en el

66



será de

y viceversa.

Cada

genera una

Cada

genera una

La

, se genera a partir de las y tienen

de las .

Si alguna , entonces ésta genera una el modelo dual.

Max Z Min Z

estuviese definido con la en

Min Z 0 Max Z 0

Si R i ≤ b i Si R i = b i Si R i ≥ b i

Yi ≥ 0 Y i S.R.S. Yi ≤ 0

Si X j ≥ 0 Si X j S.R.S. Si X j ≤ 0

R j ≥ c j R j = c j R j ≥ c j


67



(x i ) Max. Z Min. Z

(y i ) Min. Z 0 Max. Z 0

S.R.S. S.R.S.

Son también conocidos como precios duales y se define como el valor por unidad de recurso adicional que se quiere utilizar. Otras interpretaciones son: ·

Exactamente cuánto debe estar dispuesto a pagar una compañía por hacer disponibles los recursos adicionales. · ¿Es conveniente pagar a los trabajadores una cuota de tiempo extra para incrementar la producción? · Analizar si vale la pena incrementar mas tiempo de uso de máquina a un costo de “x ” o más $us. por unidad producida. Mientras que la utilidad total de todas las actividades sea menor que el valor de los recursos, entonces la solución primal y dual correspondientes no pueden ser óptimas. Solo se llega a la utilidad máxima, cuando los recursos se han explotado completamente, lo cual sucede cuando el valor de los recursos (Z 0) excede a la utilidad (Z ). En cada uno de los M.P.L. siguientes, realice la transformación del Modelo Primal al Modelo Dual.


68



F .O. : Max. z = 5 x1 + 12 x2 + 4 x3

ì x1 + 2 x2 + x3 £ 10 S .a . : í î 2 x1 - x2 + 3 x3 = 8

K

R1

K

R2

No negativos : x1 ; x2 ; x3 ³ 0

F .O . :

Max . z = 5 x1 + 12 x2 + 4 x3 + 0 h1 - Ma 2 = 10 ¬ y 1 ì x1 + 2 x2 + x3 + h1 S .a . : í + a 2 = 8 ¬ y 2 î 2 x1 - x 2 + 3 x3

No negativos :

x1 ;

x2 ; x3 ; h1 ;









R 1

R2

R3

R4

Min . z0 = 10 y1 + 8 y2 ì y1 + 2 y2 ï S .a . : í 2 y1 - y2 ïî y1 + 3 y2 y1 + 0 y2 y1 ; y2

a2 ³ 0

³ 5 K R1 ³ 12 K R2 ³ 4 K R3 ³ 0 K R4 S.R.S .

F .O. : Min. z0 = 10 y1 + 8 y2 ì y1 + 2 y2 ³ 5 K R1 ï S.a . : í2 y1 - y2 ³ 12 K R2 ïî y1 + 3 y2 ³ 4 K R3 y1 ³ 0 ; y2 S.R.S.


69



Convierta al Modelo Dual el Modelo Primal siguiente:

F .O. : Min. z = 15 x1 + 12 x2

ì x1 + 2 x2 ³ 3 S .a . : í î 2 x1 + 4 x2 £ 5

K

R1

K

R2

No negativos: x1 ³ 0 ; x2 ³ 0 Realice la transformación del M.P.L. (de pinturas Monopol) al Dual, encuentre la solución óptima del modelo Dual y realice un análisis comparativo de ésta solución con la última tabla de la solución del primal. Siendo:

x 1 =


x 2 =


F .O. : Max. z = 5x1 + 4 x2 [Miles $us. / día ] ì 6 x1 + 4 x 2 £ ï x + 2x £ ï 1 2 S .a . : í ï - x1 + x 2 £ ïî x2 £

24 6 1 2

K R1

M1

K R2

M 2

K R3

R . Demanda

K R4

Demanda

Ext .


Max . z = 5 x1 + 4 x2 + 0 h1 + 0 h2 + 0 h3 + 0 h 4 = 24 ì 6 x1 + 4 x2 + h1 ïï x1 + 2 x2 + h2 = 6 S .a . : í- x + x + h3 = 1 1 2 ï ïî x2 + h4 = 2 No negativos : x1 ; x2 ; h1 ; h2 ; h3 ; h4 ³ 0

F .O . :


¬ y 1 ¬ y 2 ¬ y3 ¬ y 4

70


F .O. :














R 1

R2

R3

R4

R5

R6

Min. z0 = 24 y1 + 6 y2 + y3 + 2 y4 ³ 5 K R1 ì 6 y1 + y2 + y3 S.a . : í 4 y + 2 y + y + y ³ 4 K R 1 2 3 4 2 î y1 ³ 0 K R3 y2 ³ 0 K R4 y3 ³ 0 K R5 y4 ³ 0 K R6 y1 ; y2 ; y3 ; y4 S.R.S.

Min . z 0 = 24 y1 + 6 y 2 + y3 + 2 y4

F .O . :

³5 ì 6 y1 + y2 + y3 î 4 y1 + 2 y 2 + y3 + y4 ³ 4

S .a . : í

No negativos : y1 ; y 2 ; y3 ; y 4 ³ 0 Aplicando el software TORA se obtienen los siguientes resultados:

Tabla final: Aplicando el Método de la M, se obtiene en 4 iteraciones Iteración 4:

y1

y2

y3

y4

S1

a1

S2

a2

L.D.

z0

0

0

-5/2

-1/2

-3

-97

-1/2

-98.5

21

h1

1

0

-0.38 -0.13 -0.25 0.25

0.13 -0.13

3/4

h2

0

1

1.25 0.75

-0.75 0.75

1/2

0.5

-0.5


71



y 3 = 0 Escasa demanda y4 = 0 Escasa demanda S1 = 0 Escasa M1 S2 = 0 Escasa M 2

y 1 = 0.75 [ Miles $us / Tn. M1] y2 = 0.5 [ Miles $us / Tn. M 2] z = 21 [ Miles $us. / día]

Los

valores

obtenidos

de

las

variables

duales

y 1 = 0.75 [ Miles $us / Tn. M1] y 2 = 0.5 [ Miles $us / Tn. M 2] nos indican el precio unidad adicional de materia prima M1 y M2 que se deben pagar, obteniendo como en el caso del primal una utilidad de

21000[ $us . / día]

Tabla final: Aplicando el Método de Simplex, se obtiene en 3 iteraciones

z

x1 0

x2 0

h1 3/4

h2 1/2

h3 0

h4 0

L.D. 21

x1

1

0

1/4

-1/2

0

0

3

x2

0

1

-1/8

3/4

0

0

3/2

h3

0

0

3/8

-5/4

1

0

5/2

h4

0

0

1/8

-3/4

0

1

1/2

x 1 = 3 [Tn. / día ] p / ext. x2 = 3 / 2 [Tn. / día ] p / int . h3 = 5 / 2 Abundante Dem. h4 = 1 / 2 Abundante Dem.

h 1 = 0 ü

ý Escasos

h2 = 0 þ

z = 21[ Miles $us. / día]


72



La empresa de Pinturas Monopol deberá producir 3 Tn./día de pintura para exteriores y 1.5 Tn./día de pintura para interiores, obteniendo de esta manera una utilidad máxima de 21000 $us./día.; haciendo uso total de sus materias primas M1 , M2 y no cubriendo totalmente con las restricciones de demanda.


73



En aplicaciones prácticas, no solamente interesa la solución del problema propuesto, sino también se desea saber como cambia esta solución si las condiciones iniciales del problema se modifican; es decir si cambian los coeficientes de la función objetivo, los coeficientes de los recursos y la cantidad de recursos disponibles. En este sentido el análisis de sensibilidad , convierte a la solución estática de la programación lineal en un instrumento dinámico que evalúa las condiciones cambiantes del problema. Por lo tanto el Análisis de Sensibilidad adquiere mayor utilidad como instrumento administrativo, ya que los negocios y las industrias están sometidos a cambios continuos que dan lugar a una subsiguiente re-evaluación del sistema actual, logrando de esta manera la prueba de Factibilidad y Optimalidad .

El análisis de sensibilidad considera dos tipos de cambios en un M.P.L. (Discretos y Continuos); los cambios que consideraremos en los ejemplos a analizar en la materia se tratan de cambios discretos, los cuales se pueden realizar en: Los cambios en los parámetros de los recursos disponibles ( b i ), se realizan a partir de la tabla final del Simplex, desarrollando los cálculos en base a las siguientes expresiones: B - 1 * (b + D ) ³ 0

x B = B - 1 * b

z = C B * x B

Donde: B - 1

Matriz inversa, formada por las columnas de los precios


74



duales Matriz formada por la disponibilidad de los recursos Incremento en la disponibilidad de un recurso

b

D x B

Matriz (corregida) formada por la columna de las variables básicas

C B

Matriz (corregida) formada por la fila de los coeficientes que corresponden a las variables básicas.

Los cambios en los coeficientes de las variables básicas en la función objetivo, se realizan mediante las siguientes expresiones: *

*

Z - C = y * ( A - C )

A* = B - 1 * A

Donde: C A *

y

= = =

Matriz formada por los coeficientes de la función objetivo Matriz formada por los coeficientes de las restricciones Precios sombra (o precios duales)

Realice el análisis de sensibilidad para siguientes problemas. La empresa de confecciones fabrica ropa industrial: camisas y overoles para las diferentes empresas. Cada camisa requiere 2 hrs.–hombre y cada overol requieren 10 hrs.– hombre. Para la confección de una camisa se requiere 1 metro de tela y para un overol 3 metros de tela. Ambas telas son diferentes. Se dispone semanalmente de 120 metros de tela para camisas y 300 metros de tela para overoles. Se trabaja 5 días a la semana con 10 operarios. Las utilidades son de 20 Bs. / camisa y 80 Bs. / overol. ¿Cuál es el mejor plan de producción para la empresa?.

x 1 = Cantidad de Camisas a producir [u / sem.] x 2 = Cantidad de Overoles a producir [u / sem.]


75



F .O. : Max Z = 20x1 + 80 x2

[ Bs. / sem.]

ì2 x1 + 10 x2 £ 400 Mano de Obra ï £ 120 Tela para Camisas S .a. : í x1 ï 3 x2 £ 300 Tela para Overoles î No negativos : x1 ³ 0 ; x2 ³ 0 Resolviendo el M.P.L. la solución óptima es: x 1

x 2

h 1

h 2

h 3

L.D.

z

0

0

8

4

0

3680

x 2

0

1

0.1

- 0.2

0

16

x 1

1

0

0

1

0

120

h 3

0

0

- 0.3

0.6

1

252

x 1 = 120 [u / sem.] Camisas

h 1 = 0 [h-h / sem.] Escasa M.O.

x 2 = 16 [u / sem.] Overoles p/Camisas

h 2 = 0 [m / sem.] Escasa Tela

h 3 = 252 [m / sem.] Abundante Tela p/Overoles z = 3680 [ Bs. / sem.] Utilidad máxima (vector “b” ): Primeramente debemos determinar los límites entre los cuales podemos variar el recurso que nos permita mejorar la solución obtenida anteriormente, para luego modificar el recurso y calcular los nuevos valores óptimos. B -1

*

(b + D ) ³ 0


76



é 0.1 - 0.2 0ù é400+ Dù ê 0 ú * ê 120 ú ³ 0 1 0 ê ú ê ú êë- 0.3 0.6 1úû êë 300 úû ì 0.1( 400 + D ) - 0.2(120 ) + 0 (300 ) ³ 0 K (1) ï 0 ( 400 + D ) + 1 (120 ) + 0(300 ) ³ 0 K ( 2) í ï - 0 .3( 400 + D ) + 0 .6 (120 ) + 1 (300 ) ³ 0 K (3) î D ³ -160 De ( 3) : D ³ 840 De (1) :

Luego encontramos el conjunto solución del sistema de desigualdades por el método gráfico

D ³ - 160 D ³ 840

:

- 160

: 840

C . solución : - 160

840

- 160 £ D £ 840 - 160 + 400 £ D + 400 £ 840 + 400 240 £ D + 400 £ 1240 Este último resultado nos indica que el recurso Mano de Obra se puede variar desde

240 horas-hombre hasta 1240 horas-hombre, lo cual permitirá que la nueva solución sea factible y óptima. Una vez obtenidos los límites de variación, entonces podemos realizar los cambios que veamos conveniente para obtener una nueva solución, haciendo uso mas adecuado de los recursos que tenemos como abundantes.


77



En este sentido si incrementamos el número de operarios de 10 a 15, entonces la nueva disponibilidad de M.O. será de 600 [ h-h / sem.].

é días ù é hr . ù éh - hù * * = 8 15 600 operarios [ ] ú ê ú ê sem . ú ë sem . û ë día û ë û

5ê

Con esta nueva disponibilidad procedemos a calcular la nueva solución, mediante la expresión: x B

=

é x 2 ù é 0 .1 ê ú ê ê x1 ú = ê 0 êë h3 úû êë - 0 . 3

B

-1

- 0 .2

1 0 .6

*

b

0 ù é 600 ù 0 úú * êê120 úú 1 úû êë 300 úû

Þ

é x2 ù é 36 ù ê ú ê120 ú = x 1 ê ú ê ú êë h3 úû êë192 úû

x 1 = 120 [u / sem.] Camisas. x 2 = 36 [u / sem.] Overoles h 3 = 192 [m / sem.] Abundante Tela p/Overoles Con estos valores de la nueva solución básica, calculamos nueva utilidad, mediante: z =

CB

*

z = [20 80

xB

é1 20 ù 0 ]* êê 36 úú êë192 úû

Þ

z = 5280 [Bs . / sem .]

Como podemos ver la nueva solución básica tiene un incremento de la fabricación de overoles de 16 a 36 unidades y una reducción en la abundancia (de 252 metros a 192 metros) de la tela para los mismos; habiéndose incrementado también las utilidades de 3680 a 5280 [ Bs./sem.]. La empresa de pinturas MONOPOL, produce pinturas tanto para interiores como


78



para exteriores, a partir de dos materias primas M1 y M2. La siguiente tabla proporciona los datos básicos del problema: Toneladas de Materia Prima por tonelada de Pintura para Exteriores

Interiores

Disponibilidad Máxima Diaria (Toneladas)

M1

6

4

24

M2

1

2

6

Utilidad por Tonelada (1000 $us.)

5

4

Materia Prima

Una encuesta de mercado restringe la demanda máxima diaria de pintura para interiores a 2 toneladas. Además, la demanda diaria de pintura para interiores no puede exceder a la pintura para exteriores por más de 1 tonelada. La empresa MONOPOL quiere determinar la mezcla de productos óptima de pintura para interiores y para exteriores que maximice la utilidad total diaria. EMPRESA MONOPOL Siendo:

x 1 = x 2 =

Cantidad de pintura para exteriores a producir [ Tn. / día ] Cantidad de pintura para interiores a producir [ Tn. / día ] F .O. :


ì 6 x1 + 4 x 2 ï ï x1 + 2 x 2 S . a . : í ï - x1 + x 2 ïî x2 No negativos

£ 24 £ 6 £ 1

K R1

M1

K R2

M 2

K R3

R . Demanda

£

K R4

Demanda

2

Ext .

: x1 ³ 0 ; x2 ³ 0


79



Resolviendo el M.P.L. la solución óptima es:

x1

x2

h1

h2

h3

h4

L.D.

z

0

0

3/4

1/2

0

0

21

x1

1

0

1/4

-1/2

0

0

3

x2

0

1

-1/8

3/4

0

0

3/2

h3

0

0

3/8

-5/4

1

0

5/2

h4

0

0

1/8

-3/4

0

1

1/2

x 1 = 3 [Tn. / día ] p / ext. x2 = 3 / 2 [Tn. / día ] p / int . h3 = 5 / 2 Abundante Dem. h4 = 1 / 2 Abundante Dem.

h 1 = 0 ü

ý Escasos

h2 = 0 þ

z = 21 [ Miles $us. / día] La empresa de Pinturas Monopol deberá producir 3 Tn./día de pintura para exteriores y 1.5 Tn./día de pintura para interiores, obteniendo de esta manera una utilidad máxima de 21000 $us./día.; haciendo uso total de sus materias primas M1 , M2 y no cubriendo totalmente con las restricciones de demanda.


80



En el ámbito de la I.O. existen problemas de P.L. que por su naturaleza presentan características especiales, ya que manejan muchas variables, donde a veces éstas se presentan como variables dobles. Si bien este tipo de problemas pueden ser resueltos por los algoritmos clásicos, estos métodos pueden resultar ineficientes y largos por la misma naturaleza del problema; de manera que se han desarrollado algoritmos especiales que pueden llevarnos al resultado óptimo de manera más rápida y más ordenada, lo cuál permite una mejor interpretación de los resultados obtenidos. Uno de los modelos que se emplea con mucha frecuencia principalmente en problemas de distribución, es el de Transporte y Asignación .

Es un modelo de la I.O. que se interesa por la distribución de un determinado producto desde (llamados también Orígenes ) hacia (llamados también Destinos ); cuyo objetivo principal es de encontrar el mejor plan de distribución (embarque óptimo), que minimice el costo total de transportar los productos, satisfaciendo los requerimientos de Oferta y Demanda.

El modelo de transporte matemáticamente se puede formular de la siguiente manera:

F .O. :

Min Z = C11 x11 + C12 x12 + L + C mn xmn


81


S .a . :


ì x 11 + ï ï x 21 + ï M ï ï x m1 + ï í ïx + ï 11 ï x 12 + ï ï M ïî x 1 n +

No negativos

:

x 12 + L + x 22 + L +

x1 n = a 1 x2 n = a 2

M

M

M

x m 2 + L + x mn = a

Restricciones de Oferta

m

x 21 + L +

x m 1 = b1 x 22 + L + x m 2 = b 2 M

M

M

Restricciones de Demanda

x 2 n + L + x mn = b n X i j ³ 0 ; " i j

Donde: Z

=

X i j =

Función costo de transporte total, a ser minimizada Nº de unidades del producto a transportar del origen “ i ” la

destino “ j ” ( i = 1 , 2 , K , m )

;

( j = 1 , 2 , K , n )

C i j

=

Costo unitario de transportar el producto del origen “ i ” la destino

a i

=

Oferta y/o capacidad del i-ésimo origen.

b j

=

Oferta y/o Requerimiento j-ésimo desatino.

m

= =

Número de orígenes y/o Ofertas Número de destinos y/o Demandas

“ j ”

n

La formulación anterior puede ser expresada como una matriz de costos de transporte , de la siguiente manera:


82



DESTINOS Oferta 1 O R I G E N E S

1

2 C11

X11

. . . m

Demanda

Xm1

. . . Cm1

…

C22

C2n X2n

. . .

Xm2

. . .

…

Cm2

Xmn

a 1 a 2 . . .

Cmn

a m

b n

…

b 2

b 1

C1n X1n

C21 X22

n

…

C12 X12

2 X21

…

Para determinar la solución óptima al modelo de transporte, se deben considerar las siguientes etapas: Balancear el modelo (es decir que la oferta debe ser igual a la demanda)

å

a i =

å

b j

Si se presenta el desbalance, se debe considerar: a) Si la Oferta > Demanda → Añadir una Demanda artificial donde: Demanda artificial =

å

a i -

å

b j

b) Si la Demanda > Oferta → Añadir una Oferta artificial

donde: Oferta artificial =

å b

j

-

å

ai

Nota: En ambos casos los costos deben ser igual a cero


83



Establecer una solución básica factible inicial, utilizando alguno de los métodos siguientes: a) b) c)

Método de la Esquina Nor-oeste (M.E.N.) Método del Costo Menor (M.C.M.) Método de Aproximación de Vogel (M.A.V.)

Hallar la solución óptima utilizando el algoritmo de transporte, empezando con la solución de inicio dada; esta etapa incluye la verificación de la optimalidad del problema. Para determinar la solución óptima, se utiliza el Algoritmo Húngaro , cuyo procedimiento es: PASO 1: Balancear el problema; es decir que:

i) Si cero ii) Si igual a cero

→

Añadir filas ficticias con costo igual a

→

Añadir columnas ficticias con costo

iii) Si se quiere penalizar un Origen y/o destino M PASO 2: Construir una en cada fila y columna (

→

Se utiliza como costo asociado

, donde aparezca por lo menos un Cero ).

PASO 3: Probar una asignación tentativa en las posiciones con costo igual a cero; si ésta es posible entonces el problema concluye, de lo contrario ir al paso 4.


84



PASO 4: todos los ceros de la matriz.

: Trazar el Mínimo Número de líneas que tachen a

PASO 1: En la Posición a 11 de la matriz de costos se asigna el valor de x 11 , donde x 11 = Mínimo

(a 1 y

b1 )

PASO 2: Determinar los nuevos valores corregidos Demanda (a 1 y b1 ) ; analizando posteriormente: a)

Si a ˆ 1 corregido

b)

donde x 21 = Mínimo a 2 y bˆ1 . Si b ˆ1 corregido es cero, entonces

es

cero,

de

la

entonces pasar a pasar

a

Oferta

y la

la posición a 21 , la

posición a 12 ,

donde x 12 = Mínimo (aˆ 1 y b 2 ) . PASO 3: Se continua con el procedimiento, desde la posición asignada hasta llegar a la posición (m ; n )

Este método encuentra una solución inicial mejor que la anterior, ya que toma en cuenta las rutas más económicas del modelo. PASO 1: Se asigna tanto como se pueda a la posición que tenga el costo mas bajo por unidad (los empates se rompen arbitrariamente) PASO 2: Se tacha las filas o columnas satisfechas; se ajusta la cantidad de la Oferta y la Demanda conforme a ello. Si tanto una fila como una columna se satisfacen simultáneamente, solo se tacha uno de ellos. PASO 3:Se busca siempre la posición no tachada con el costo mas bajo por unidad y repetimos el proceso hasta que quede exactamente una fila y una columna no tachadas.


85



Este método es una versión mejorada del método de costo menor; éste generalmente produce mejores soluciones iniciales. El procedimiento es el siguiente: PASO 1: En la matriz de costos, calcular las diferencias de costo mínimas, tanto para filas como para columnas (esto se consigue restando los dos valores menores de costo). PASO 2: Seleccionar la fila y/o columna con mayor diferencia y ubicar el costo mínimo correspondiente a esta fila y/o columna. La posición (i , j ) donde se encuentre este costo será la variable x ij a tomar en cuenta. PASO 3: En la posición (i , j ) calcular x ij = Mínimo

a i y b j ; luego actualizar:

ˆ i = a i - x ij a

←

Oferta

ˆ = b - x b j j ij

←

Demanda

PASO 4: Si a ˆ i = 0 (oferta corregida), entonces eliminar esta fila del análisis. Si b ˆ j = 0 (demanda corregida), entonces eliminar esta columna del análisis. PASO 5: Repetir los pasos anteriores hasta que no sea posible calcular las diferencias. Se quiere distribuir un producto desde 3 almacenes ( ) a dos tiendas ( ). Se sabe que llevar el producto del almacén , a la tienda no es posible por problemas de ruta. Se desea establecer el plan de embarque que proporcione el mínimo costo de transporte; los costos unitarios, las ofertas y demandas de cada almacén y tienda, se muestran en la tabla de costos siguiente: TIENDA Oferta A

A1

T1

T2

2

5

30


86



L M A C E N

A2

5

40

A3

4

3

Demanda

50

30

20

= Penalización con un costo “M” BALANCEARmuy grande, por problemas EL de ruta

MODELO

S a i = 90 (Oferta ) ; S b j = 80 ( Demanda ) Como la oferta es mayor a la demanda, entonces debemos aumentar una demanda artificial, que en nuestro caso será una tienda artificial TA = S a i - S b j

Þ

TA = 10 . Luego la tabla de costos balanceada será:

TIENDA T1 T2 TA A A1 L M A2 A C E A3 N Demanda

2

5

5

Oferta

0

30

0

40

20

4

3

0

50

30

10

SOLUCIÓN BÁSICA FACTIBLE INICIAL


87


A L M A C E N

A1


TIENDA Oferta T1 T2 TA 2 5 0 30 5

A2

4

A3

Demanda

0

50

3

0

30

40 20

10

SOLUCIÓN BÁSICA FACTIBLE INICIAL Variables Básicas Variables No Básicas x 11 x21 x22 x32 x33

= 30 = 20 = 20 = 10 = 10

x 12 = 0 x13 = 0 x23 = 0 x31 = 0

COSTO DE TRANSPORTE: z = 190 + 20 M [u . m.]

TIENDA T1 A L

A1

T2 2

Oferta

TA 5

0

30


88



M 5 0 A2 40 A C 4 3 0 E A3 20 N Demanda 50 30 10 SOLUCIÓN BÁSICA FACTIBLE INICIAL Variables Básicas Variables No Básicas x 11 = 20

x 12 = 0

x13 = 10

x23 = 0

x21 = 30

x31 = 0

x22 = 10

x33 = 0

x32 = 20

z = 250 + 10 M [u . m.]

COSTO DE TRANSPORTE:

A L M A C E N

A1

TIENDA Oferta T1 T2 TA 2 5 0 30 5

0

A2

40 4

A3

Demanda

50

3

30

0

20

10

SOLUCIÓN BÁSICA FACTIBLE INICIAL Variables Básicas Variables No Básicas


89


x 11 x12 x21 x23 x32

= 20 = 10 = 30 = 10 = 20


x 13 x22 x31 x33


=0 =0 =0 =0 z = 300 [u . m.]

Hallar la solución óptima, aplicando el algoritmo de verificación y búsqueda del óptimo. Éste procedimiento es iterativo y trabaja bajo los principios del método simplex. PASO 1:

Calcular el valor de las variables duales u i (para las ofertas) y v j (para las demandas). Este cálculo se realiza formando un sistema de ecuaciones con las variables duales y los costos para todas las variables básicas, utilizando la siguiente relación:

u i + v j = c ij

Como se tiene variables básicas y incógnitas, entonces se tiene un grado de libertad, por lo que se asigna un valor arbitrario generalmente a la variable dual con mayor número de asignaciones y se obtiene las otras resolviendo el sistema de ecuaciones. PASO 2:

Calcular el parámetro z ij - c ij = c ij - u i + v j para todas las variables no básicas, analizando:

PASO 3:

i)

Si z ij - c ij ³ 0 ; " ij Þ La solución hallada es óptima.

ii)

Si z ij - c ij £ 0 ; Para algún ( i , j ) Þ seguir con el paso 3 Introducir como variable básica aquella X ij que

tenga el valor de z ij - c ij mas negativo. PASO 4:

Al elegir la variable de entrada ésta tomará un valor + l que descompensará la oferta y/o demanda, por lo


90



que se construye un circuito cerrado de compensación, sumando y restando l a las variables básicas.

PASO 5:

Se elige aquella variable básica que tenga el menor

PASO 6:

valor rotulado con - l en el mecanismo de compensación. Repetir el procedimiento desde el PASO 1, hasta hallar la solución óptima z ij - c ij ³ 0

Determine la solución óptima para el problema de los 3 almacenes y 2 tiendas, tomando como S.B.F.I. la obtenidos por el métodos del costo menor (M.C.M.) SOLUCIÓN BÁSICA FACTIBLE INICIAL Variables Básicas Variables No Básicas x 11 = 20

x 12 = 0

x13 = 10

x23 = 0

x21 = 30

x31 = 0

x22 = 10

x33 = 0

x32 = 20

z = 250 + 10 M [u . m.]

COSTO DE TRANSPORTE: ITERACIÓN 1: TIENDA T1 A L M A C E N

T2 2

A1

TA 5

0

5

A2

0

4

3

Oferta

u i

30

u 1 = 0

40

u 2 = 3

0

A3

20

Demanda

50

30

10

v j

v 1 = 2

v 2 = M- 3

v 3 = 0

u 3 = 6- M


91



VARIABLES BÁSICAS

VARIABLES NO BÁSICAS

u i + v j = c ij

z ij - c ij = c ij - u i + v j

Si u1 = 0 u1 + v1 = 2 ® v1 = 2 u1 + v3 = 0 ® v3 = 0 u 2 + v1 = 5 ® u 2 = 3 u 2 + v2 = M ® v2 = M - 3 u 3 + v2 = 3 ® u 3 = 6 - M z 12 - c12 z23 - c 23 z31 - c 31 z33 - c 33

= 5 - (0 + M - 3 ) = 8 - M ¬ V . entra = 0 - (3 + 0 ) = - 3 = 4 - (6 - M + 2 ) = M - 4 = 0 - (6 - M + 0 ) = M - 6

Variable que entra

: x 12

Variable que sale

: x 22 porque 10 - l = 0 Þ l = 10

Con el valor de l = 10 procedemos a corregir los valores de las variables básicas relacionadas con el circuito y se obtiene: ITERACIÓN 2: TIENDA T1 A L M A C E N

T2 2

A1

TA 5

0

5

A2

0

4

3

u i

30

u 1 = 0

40

u 2 = 3

20

u 3 = - 2

0

A3

Demanda

50

30

10

v j

v 1 = 2

v 2 = 5

v 3 = 0

VARIABLES BÁSICAS

Oferta

VARIABLES NO BÁSICAS


92



u i + v j = c ij

z ij - c ij = c ij - u i + v j

Si u1 = 0 u1 + v1 = 2 ® v1 = 2 u1 + v2 = 5 ® v2 = 5 u1 + v3 = 0 ® v3 = 0 u 2 + v1 = 5 ® u 2 = 3 u 3 + v2 = 3 ® u 3 = - 2 z 22 z23 z31 z33

- c 22 = M - (3 + 5 ) = M - 8 - c 23 = 0 - (3 + 0 ) = - 3 ¬ V . entra - c 31 = 4 - (- 2 + 2 ) = 4 - c 33 = 0 - (- 2 + 0 ) = 2

Variable que entra

: x 23

Variable que sale

: x 13 porque 10 - l = 0 Þ l = 10

Con el valor de l = 10 procedemos a corregir los valores de las variables básicas relacionadas con el circuito y se obtiene: ITERACIÓN 3: TIENDA T1 A L M A C E N

T2 2

A1

TA 5

0

5

A2

0

4

3

Demanda

50

30

10

v j

v 1 = 2

v 2 = 5

v 3 = - 3

u i + v j = c ij

u i

30

u 1 = 0

40

u 2 = 3

20

u 3 = - 2

0

A3

VARIABLES BÁSICAS

Oferta

VARIABLES NO BÁSICAS z ij - c ij = c ij - u i + v j


93



Si u1 = 0 u1 + v1 = 2 ® v1 = 2 u1 + v2 = 5 ® v2 = 5 u 2 + v1 = 5 ® u 2 = 3 u 2 + v3 = 0 ® v3 = - 3 u 3 + v2 = 3 ® u 3 = - 2

z 13 - c13 = 0 - (0 - 3 ) = 3 z22 - c 22 = M - (3 + 5 ) = M - 8 z31 - c 31 = 4 - (- 2 + 2 ) = 4 z33 - c 33 = 0 - (- 2 - 3 ) = 5

Como todos los valores de z ij - c ij son positivos, entonces se tiene la solución óptima del modelo. SOLUCIÓN ÓPTIMA Variables Básicas Variables No Básicas Básicas x 11 x12 x21 x23 x32

= 20 = 10 = 30 = 10 = 20

x 13 x22 x31 x33

=0 =0 =0 =0 z = 300 [u . m.]


A1

T1

A2

T2

A3

TA

La empresa “BOLSEMILLAS S.A.” envia camiones cargados de grano desde 3 silos de almacenamiento (S1, S2, S3 ) a 4 molinos (M1, M2, M3, M4 ). ). La oferta y demanda en camiones cargados, junto con los costos de transporte (en cientos de $us por camión) camión ) en las diferen tes rutas se muestra mu estra en cuadro de d e costos siguiente:


94



MOLINOS Oferta M1 M2 M3 M4 S S1 I S2 L O S3 S Demanda

10

2

20 20

11

15

12

7

9

20

25

4

14

16

18

10

5

15

15

15

El problema de asignación es un caso particular del modelo de transporte, el cual presenta dos do s características carac terísticas a ser se r tomadas en cuenta: cuen ta: i)

Las variables de decisión X ij solo toman valores de 1 o 0, transformándose en variables binarias de aceptación o no aceptación.

ii)

Las ofertas y demandas son todas iguales a 1, por lo que a i = b j = 1

El modelo de asignación consiste en asignar “ m ” centros de oferta a “ n ” centros de demanda, debiendo realizarse la asignación uno a uno, con el objetivo de minimizar el costo total asociado. asociado.

O R I G E N E S

1 2 . . . m

Demanda

DESTINOS Oferta 1 2 … n 1 C11 C12 … C1n … 1 C2n C21 C22 . . . . . . . . . . . . … Cm1 Cm2 Cmn 1 1

1

…

1


95



Para determinar la solución óptima, se utiliza el Algoritmo Húngaro , cuyo procedimiento es: PASO 1: Balancear el problema; es decir que:

i) Si cero

→

ii) Si igual a cero

Añadir filas ficticias con costo igual a

→

Añadir columnas ficticias con costo

iii) Si se quiere penalizar un Origen y/o destino M PASO 2: Construir una en cada fila y columna (

→

Se utiliza como costo asociado

, donde aparezca por lo menos un Cero ).

PASO 3: Probar una asignación tentativa en las posiciones con costo igual a cero; si ésta es posible entonces el problema concluye, concluye, de lo contrario ir al paso 4. PASO 4:

: Trazar el Mínimo Número de líneas que tachen a todos los ceros de la matriz.

PASO 5: Seleccionar el ; éste valor restar de todo elemento no tachado tachado y sumar s umar a todo to do elemento intersectado intersectado por una línea horizontal h orizontal y vertical. vertical . PASO 6: Volver al paso 3 hasta encontrar la asignación asignación óptima. El gerente de de una empresa de servicios servicios integrales, integrales, debe tomar la decisión decisión de asignar a 3 de sus empleados (Fabiola, Wilson y Javier) la realización de 3 tareas


96



(Podar el césped, pintar la cochera y lavar automóviles) en el domicilio de un cliente. Los costos de realizar cada una de las actividades por parte de los tres empleados se muestra ne la tabla de costos siguiente: PODAR

PINTAR

LAVAR

FABIOLA

15

10

9

WILSON

9

15

10

JAVIER

10

12

8

Todos los valores de costo están dados en dólares. Tomando como base esta información ¿Cuál deberá ser la asignación óptima que debe realizar el gerente para que el costo sea el mínimo? PODAR PINTAR LAVAR Mínimo FABIOLA

15

10

9

9

WILSON

9

15

10

9

JAVIER

10

12

8

8

ITERACIÓN 1: PODAR PINTAR LAVAR F

6

1

0

W

0

6

1

J

2

4

0

Mínimo

0

1

0

ITERACIÓN 2: PODAR PINTAR LAVAR F

6

0

0

W

0

5

1

J

2

3

0


97



Como es posible asignar a cada uno de los empleados una sola tarea, entonces es la solución con costo mínimo.

FABIOLA WILSON JAVIER

v

PINTAR PODAR LAVAR

10 9 8

Si suponemos que no se obtuvo la solución en el paso 3 (anterior solución), entonces procedemos a optimizar realizando los pasos 4, 5 y 6.

ITERACIÓN 2:

ITERACIÓN 3: PODAR PINTAR LAVAR

PODAR PINTAR LAVAR F

6

0

0

F

9

0

3

W

0

5

1

W

0

2

1

J

2

0

J

2

0

0

El valor elegido (3) se suma a los valores intersectados por una línea horizontal y una línea vertical (6 y 0); los valores que no están afectados por una intersección se mantienen, mientras que los valores que no están atravesados por ninguna línea son restados con el valor elegido (3) como se muestra en el cuadro correspondiente a la Iteración 3. Posteriormente se procede a la asignación. v

Como podemos observar, verificamos que la solución obtenida anteriormente es la solución óptima.

El jefe de producción de la empresa “MUEBLES FÁTIMA” debe asignar la utilización de cuatro máquinas a cuatro operarios que requieren el uso de las mismas. Los tiempos en minutos registrados del uso de cada máquina para realizar cada uno de los trabajos, se muestran en el siguiente cuadro: OP1

OP2

OP3

OP4


98



M1

10

5

9

18

M2

13

19

6

12

M3

18

9

12

17

M4 11 6 14 19 Usted como profesional entendido en el tema. ¿Cuál deberá ser la asignación que minimice el tiempo total de uso de las máquinas?

Este modelo reconoce que en la vida real, tal vez resulte más económico enviar a través de nodos intermedios o transitorios, antes de llegar al punto de destino final. Este concepto es más general que el propuesto por el modelo de transporte regular, donde los envíos directos solo están permitidos entre puntos de origen y destino. Para convertir un modelo de transbordo en un modelo de transporte regular , se utiliza el concepto de Amortigüador , considerando que las cantidades de oferta y la demanda en los diferentes nodos se calculan de la siguiente manera: · Oferta en un nodo puro de oferta

=

Oferta original

·

Oferta en un nodo puro de tra nsbordo

=

Amortigüador

·

Oferta de un nodo de transbordo y demanda

=

Amortiguador

·

Demanda de un nodo puro de demanda

=

Demanda original

·

Demanda de un nodo de transbordo y demanda =

Demanda

original

+

Amortigüador

·

Demanda de un nodo puro de tra nsbordo

=

Amortigüador

Es aquel nodo del cual salen las cantidades ( nodo origen )

1 Es aquel nodo al cual llegan las cantidades ( nodo destino )

2 Dirección de Educación a Distancia _UPDS_ Modalidad Cursos por Encuentros

99



Es aquel nodo al cual llegan y salen las cantidades ( nodo intermedio )

3

El valor del amortigüador debe ser suficientemente grande para permitir que todas las ofertas pasen por cualquiera de los nodos de transbordo, hasta llegar a la demanda final. Generalmente se considera que sea igual a la sumatoria de la oferta; es decir:

B = SOferta Una compañía de distribución tiene dos plantas (P-1, P-2 ), dos almacenes mayoristas (A1, A2 ) y dos tiendas de venta al menudeo (T1, T2 ). En la red adjunta se presentan las capacidades de las plantas, las demandas de las tiendas y los costos de transporte por unidad [$us./u.].

P-1

P-2

A1

T1

A2

T2

Primeramente identificamos los tipos de nodos que se presentan en la red ·

Nodos puros de oferta · Nodos puros de demanda · Nodos puros de transbordo

: : :

P-1 , P-2 T2 A1 , A2


100



·

Nodos de transbordo y demanda : T1 Ahora construimos la tabla de costos de transporte, identificando los orígenes, destinos y el valor del amortigüador ·

Orígenes

:

P - 1 , P - 2 , A1 , A 2 , T 1

·

Destinos

:

A1 , A 2 , T 1 , T 2

·

Valor del amortigüador

B = 300

:

DESTINOS A1 O R I G E N E S

A2

T1

Oferta

T2

P-1

1

4

100

P-2

3

2

200

A1

0

1

6

A2

3

0

5

8

0

1

T1

Demanda

300

300

450

300 300 300

150

Mediante el M.E.N. se tiene la solución básica factible inicial (S.B.F.I.) DESTINOS A1 O R I G E N E S

A2

T1

Oferta

T2

P-1

1

4

100

P-2

3

2

200

A1

0

1

6

A2

3

0

5

8

0

1

T1

300 300 300


101



Demanda

300

300

450

150

SOLUCIÓN BÁSICA FACTIBLE INICIAL Variables Básicas Variables No Básicas x 11 x21 x31 x32

= 100 = 200 =0 = 300

x 12 x13 x14 x22

= 0 x23 = 0 x24 = 0 x33 = 0 x34

x42 x43 x53 x54

=0 = 300 = 150 = 150

= 0 x41 = 0 = 0 x44 = 0 = 0 x51 = 0 = 0 x52 = 0 z = 2650 [$us. ]


Luego aplicamos la etapa de optimalidad para obtener la solución óptima. DESTINOS A1 O R I G E N E S

A2

T1

Oferta

u i

T2

P-1

1

4

M

M

100

u 1 = 1

P-2

3

2

M

M

200

u 2 = 3

A1

0

1

6

M

300

u 3 = 0

A2

3

0

5

8

300

u 3 = - 1

M

M

0

1

300

u 3 = - 6

T1

Demanda

300

300

450

150

v j

v 1 = 0

v 2 = 1

v 3 = 6

v 3 = 7

VARIABLES BÁSICAS u i + v j = c ij

VARIABLES NO BÁSICAS z ij - c ij = c ij - u i + v j


102



z 12 - c12 = 2 z13 - c13 = M - 7 z14 - c14 = M - 8 z22 - c 22 = - 2 ¬ V . entra z23 - c 23 = M - 9 z24 - c 24 = M - 10 z33 - c 33 = 0 z34 - c 34 = M - 7 z41 - c 41 = 4 z44 - c 44 = 2 z51 - c 51 = M + 6 z52 - c 52 = M + 5

Si v1 = 0 u1 + v1 = 1 ® u1 = 1 u 2 + v1 = 3 ® u 2 = 3 u 3 + v1 = 0 ® u 3 = 0 u 3 + v2 = 1 ® v2 = 1 u 4 + v2 = 0 ® u 4 = - 1 u 4 + v3 = 5 ® v3 = 6 u 5 + v3 = 0 ® u 5 = - 6 u 5 + v4 = 1 ® v4 = 7

Variable que entra

: x 22

Variable que sale

: x 21 porque 200 - l = 0 Þ l = 200

Con el valor de l = 200 procedemos a corregir los valores de las variables básicas relacionadas con el circuito y se obtiene: DESTINOS Oferta A1 O R I G E N E S

A2

T1

T2

P-1

1

4

M

M

100

P-2

3

2

M

M

200

A1

0

1

6

M

300

A2

3

0

5

8

300

M

M

0

1

T1

Demanda

300

300

450

300

150

Siendo esta última tabla la solución óptima que nos da un costo de transporte mínimo igual a z = 2250 [$us. ] , representamos gráficamente ésta solución:


103



P-1

P-2

A1

T1

A2

T2

Dos fábricas de automóviles F1 y F2 están conectadas a tres distribuidores D1, D2 y D3 , por medio de dos centros de tránsito T1 y T2 de acuerdo a la red adjunta. Las cantidades de oferta en las fábricas F1 y F2 son de 1000 y 1200 automóviles, las cantidades de demanda en las distribuidoras D1, D2 y D3 son de 800, 900 y 500 automóviles respectivamente. El costo de envió por automóvil (en cientos de dólares) entre los pares de nodos, se muestra en los eslabones (arcos) de conexión de la red. D1 F1

T1 D2

F2

T2 D3


104



I. JUSTIFICACION ............................................................................................................................... 1 II. OBJETIVO DE LA MATERIA ......................................................................................................... 1 III. OBJETIVOS ESPECÍFICOS ..................................................................................................... 1 IV. UNIDADES PROGRAMÁTICAS .............................................................................................. 2 V. METODOLOGÍA DE LA ENSEÑANZA ........................................................................................ 6 VII. BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................................. 6 BASICA: ................................................................................................................................................... 6 1.

Introducción............................................................................................................................................. 7 1.1. Objetivos Generales .............................................................................................................................. 7 2.- DESARROLLO. ........................................................................................................................................... 8 2.1.- NÚCLEOS TEMÁTICOS. ...................................................................................................................... 8 2.2.- BIBLIOGRAFÍA COMENTADA ........................................................................................................... 14 2.3.- MATERIAL EXPLICATIVO ................................................................................................................. 14 2.4.-EJEMPLIFICACIÓN............................................................................................................................. 15 2.5.- MÉTODOS A UTILIZAR ..................................................................................................................... 15 3.- CONCLUSIONES ................................................................................................................................. 16 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.6.1 1.6.2 1.7 1.8 1.9

Introducción .................................................................................................................................. 17 Origen de la Investigación de Operaciones................................................................................. 17 Precursores y estudiosos de la Investigación de Operaciones ................................................... 18 Naturaleza y alcance de la Investigación de Operaciones.......................................................... 19 Concepto de la Investigación de Operaciones ............................................................................ 21 Modelos matemáticos de Decisión y su Clasificación ............................................................... 21 Concepto de Modelo........................................................................................................... 21 Clasificación de los Modelos matemáticos de decisión .................................................. 21 Metodología de la Investigación de Operaciones ....................................................................... 23 Aplicaciones de algunos modelos de la I.O. ............................................................................... 25 Beneficios de la aplicación de un proyecto de I.O ..................................................................... 25

2.1 Introducción .................................................................................................................................. 27 2.2 Concepto de Programación Lineal............................................................................................... 27 2.3 Procedimiento para Formular un M.P.L...................................................................................... 27 2.3.1 Definición de Variables...................................................................................................... 27 2.3.2 Definición de la Función Objetivo .................................................................................... 28 2.3.3. Restricciones Estructurales (o funcionales) ...................................................................... 28 2.3.4 Restricciones de No Negatividad....................................................................................... 29 2.4 Planteamiento de los recursos por unidad de actividad.............................................................. 30 2.5 Formas de presentación de un M.P.L. ......................................................................................... 30 2.5.1 Formulación canónica ........................................................................................................ 30 2.5.2 Formulación Mixta ............................................................................................................. 31 2.5.3 Formulación Estandar......................................................................................................... 31 2.6 EJERCICIOS DE FORMULACIÓN .......................................................................................... 31 2.7 EJERCICIOS PROPUESTOS (PRACTICO Nº 1) .................................................................... 38


105

Universidad Privada Domingo Savio Santa

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