Uticajne Linije i Sl.

111

Punostijeni stati stati č ki ki određ eni eni nosa č i

2.4 PROGIBLJIVOST PUNOSTIJENIH NOSAČA 2.4.1 PROGIBLJIVOST NAČELOM VIRTUALNOGA RADA Pod određivanjem progibljivosti punostijenih nosača ovdje se podrazumijeva određivanje, za poznato djelovanje, diskretnog pomaka na proizvoljnom mjestu i u prozvoljnom smjeru. Zbog statičke određenosti, reakcije i raspodjela unutrašnjih sila ne ovise o karakteristikama presjeka, dimenzijama niti o materijalu. Vrsta poprečnog presjeka i mehanička svojstava materijala utjecati će na progibljivost svakog sustava. Neka je predmet promatranja konkretan konstruktivni sustav odabran kao obična greda izložena djelovanju konstantnog opterećenja q. Neka je poprečni presjek konstantan, pravokutan visine h, širine b, iz Hookeovog Hoo keovog materijala s modulom elastičnosti E, i modulom posmika G. Površina presjeka p resjeka izložena uzdužnoj deformabilnosti iznosi A, površina izložena posmičnoj deformabilnosti Ay dok je veličina momenta tromosti I. Za zadani sustav i pripadno opterećenje neka su određene reakcije i sve potrebne rezne sile, Mx, Tx i Nx, kako je prikazano na crtežu 2.71. Neka je δx oznaka za hipotetsku progibnu liniju, kada bi bila poznata za ovo stanje. Progibna linija se sastoji od utjecaja koji daju momenti savijanja, poprečne sile i uzdužne sile. Neka se traži progibljivost progibljiv ost u sredini grede u uspravnom uspravno m smjeru. Na mjestu i u smjeru traženog progiba postavlja se fiktivna jedinična sila F=1. Za ovaj slučaj opterećenja mogu se odrediti reakcije i rezne sile. Neka pripadne rezne sile imaju oznake: m x, tx i nx, kako je prikazano na crtežu 2.72.

Crtež 2.71 Odgovor zadanog sustava Mihanović , Trogrlić

Građ evna evna statika I

112

Punostijeni stati č ki ki određ eni eni nosa č i

Crtež 2.72 Fiktivno optere ćenje silom u smjeru progiba

Stanje ravnoteže pri djelovanju fiktivne sile F=1 indirektno se može provjeriti načelom virtualnoga rada. Za bilo koji mogući slučaj virtualnih pomaka rad vanjskih sila F mora biti jednak radu unutrašnjih sila, jer je promatrani sustav u ravnoteži. Ako se kao virtualni pomaci za testiranje ravnoteže odaberu upravo pomaci stvarno zadanog opterećenja δx, tada iz jednakosti radova vanjskih i unutrašnjih sila slijedi veličina traženog progiba δ, odnosno Av = Au (2.53) ili jednostavno δ = Au

(2.54)

Pri tome je rad unutrašnjih sila jednak

∫

Au = m x Ω

gdje je:

M x EI T x GA y N x EA

M x EI

∫

dx + t x Ω

T x GA y

∫

dx + n x Ω

N x EA

dx

(2.55)

virtualna zakrivljenost (deformacija) savijanjem, virtualna posmična deformacija, virtualna uzdužna deformacija.

U konkretnom slučaju rad uzdužnih sila jednak je nuli, a rad momenata savijanja iznosi

1 ⎛ 1 ql 2 2 l l ql 2 1 l ⎞ 19 ql 4 ∫Ω m x EI dx =2 EI ⎝ ⎜⎜ 2 8 l 3 4 + 2 32 2 4 ⎠⎟⎟ = 768 EI M x

(2.56)

dok je rad poprečnih sila Građ evna evna statika I

Mihanović , Trogrlić

113


1 ⎛ 1 ql 1 ⎞ 1 ql 2 ∫Ω t x GA y dx =2 GA y ⎝ ⎜ 2 2 l 2 ⎠⎟ = 4 GA y T x

(2.57)

U prethodna dva izraza, integracija je izvršena numerič kim kim putem, prema pravilu: integral umnoška jednak je površini ispod jedne funkcije pomnoženoj s ordinatom druge funkcije koja se nalazi ispod težišta prve funkcije. Uvjet je neprekinutost funkcija po dijelovima te da barem jedna od njih mora biti linearna.

Za konkretne vrijednosti: l =10 =10 m, q=10 kN/m, E=10000 MPa, G= 6000 MPa, h=70 cm, b=30 cm, te Ay=A, progib u sredini iznosi δ = 2.885 + 0.020 = 2.905 cm (2.58) Udio posmičnih deformacija je praktično zanemarljiv (iznosi ispod 1%). Kod nosača koji su niski (nisu visokostijeni) udio posmičnih deformacija je gotov uvijek zanemarljiv. Bez znatnije pogreške izraz za progib u prethodnom slučaje se može zapisati u obliku:

19 ql 4 δ = 768 EI

(2.59)

Utjecaj uzdužnih deformacija se ne može zanemariti i ovisi od slučaja do slučaja kao što je prikazano u narednim primjerima. Postupak na prethodnom konkretnom sluč aju aju može se popćiti na bilo koji sustav punostijenih nosač a. a.

U nastavku je pokazan primjer određivanja kuta zaokreta grede sa opterećenjem i svojstvima prikazanim na crtežu 2.73.

Crtež 2.73 Fiktivno opterećenje momentom na mjestu zaokreta

Sukladno izrazu (2.54) rad vanjskih sila iznosi upravo veličini traženog kuta zaokreta te je φ = Au

(2.60)

odnosno

1 2 ql 2 ql 3 φ = ∫ m x dx = l = 3 8 12 EI EI EI Ω M x

(2.61)

Za konkretne vrijednosti ulaznih podataka, veličina traženog kuta zaokreta iznosi φ = 0.00486

(2.62)

s dimenzijom prirodne vrijednosti kuta. Mihanović , Trogrlić


114


2.4.2 PRIMJERI PROGIBLJIVOSTI Primjer 1. Prosta gred izložena koncentriranoj koncentriranoj sili

Prosta greda izložena je koncentriranoj sili F u sredini raspona. Potrebno je odrediti progib u sredini uvažavajući samo savojne deformacije. Presjek nosača je konstantan sa savojnom krutosti iznosa EI. Dijagram momenata momenata savijanja prikazan je na crtežu 2.74. Pošto se progib traži upravo ispod sile F, tada i jedinična sila za primjenu virtualnoga rada mora biti na istom mjestu. Tada je i dijagram mx istog oblika kao Mx, s iznosom u sredini ml /2/2= l /4. /4.

Crtež 2.74 Optere ćenje i momenti savijanja

Sukladno izrazu (2.54) veličina progiba u sredini iznosi

1 1 Fl 2 l Fl 3 δ = ∫ m x dx = 2 l = EI EI 2 4 3 4 48 EI Ω M x

(2.63)

Primjer 2. Greda oslonjena oslonjena na vješaljci vješaljci

Greda je izložena koncentriranoj sili F=100 kN u sredini raspona, ovješena je na

Crtež 2.75 Opterećenje i rezne sile Građ evna evna statika I


115 vješaljci na desnom ležaju. Potrebno je odrediti progib u sredini raspona. U ovom slučaju relevantne su savojne deformacije grede i uzdužne deformacije vješaljke. Svojstva grede su: raspon l =10.0 =10.0 m, presjek visine 70 cm, širine 30 cm, modul materijala E=10000 MPa. Svojstva vješaljke su: visina h=5.0 m, presjek kružni promjera 20 mm, modul materijala E=210000 MPa. Dijagram reznih sila prikazan je na crtežu 2.81. Jednična sila za primjenu načela virtualnoga rada mora biti u sredini raspona grede, tada su dijagrami reznih sila mx i nx isti kao na crtežu 2.75, stim da je ml /2/2=l /4 /4 i iznos uzdužne sile nx=1/2.


Sukladno izrazu (2.d2) veličina progiba u sredini raspona iznosi:

1 1 Fl 2 l h 1 F Fl 3 Fh δ = ∫ m x dx + ∫ n x dx = 2 l + = + (2.64) EI E 1 A1 EI 2 4 3 4 E 1 A1 2 2 48 EI 4 E 1 A1 l h M x

N x

Kada se uvrste konkretne vrijednosti izlazi δ = 2.430 + 1.938 = 4.368 cm

(2.65)

Primjer 3. 3. Trozglobni okvi izložen izložen horizontalnoj horizontalnoj sili

Trozglobni okvir je izložen horizontalnoj sili F=10 kN u visini prečke. Osna geometrija okvira i pripadni dijagrami unutrašnjih sila prikazani su na crtežu 2.76. Potrebno je odrediti horizontalni pomak lijevog čvora. Jedinična sila za primjenu načela virtualnoga rada mora biti na mjestu i u smjeru traženog progiba. Pripadni dijagrami mx i nx, slični su onima sa crteža 2.76 pri čemu je mmax=l/4 te nx=+/- ½.

Crtež 2.76 Optere ćenje i rezne sile za prora čun horizontalnog pomaka

Sukladno izrazu (2.54) veličina horizontalnog progiba iznosi

1 1 Fl 2 l 1 F l 1 Fl 3 Fh δ = ∫ m x dx + ∫ n x dx =4 l +4 = + (2.66) 2 4 3 4 2 2 2 12 2 EI EA EI E A EI EA Ω Ω 1 1 M x


N x


116


Primjer za vježbu 4. Konzolni nosa nosa č . Za konzolni nosač s opterećenjem silom F kako je

θ . U obzir uzeti prikazano na crtežu 2.77 potrebno je odrediti odredit i progib δ i kut zaokreta θ . samo savojno deformiranje.

Crtež 2.77 Progib i zaokret zaokret konzolnog nosa ča

Rješenje glasi: δ =

Fl 3

3 EI

, θ =

Fl 2

2 EI

Primjer za vježbu vježbu 5. Gerberov nosa nosa č . Za Gerberov nosač s opterećenjem silama F i q kako

je prikazano na crtežu 2.78 potrebno je odrediti progib δ i kut zaokreta θ . U obzir uzeti samo savojno deformiranje.

Crtež 2.78 Progib i zaokret Gerberovog nosača

17 Fl 3 11 Fl 2 Rješenje glasi: δ = − , θ = . 1000 EI 120 EI Primjer za vježbu 6. Progib poduprte poduprte grede

Za poduprtu gredu prikazanu na crtežu 2.79 potrebno je odrediti progib δ u sredini raspona za zadano opterećenje. Geometrija desne strane simetrična je geometriji lijeve strane. Zadane su veličine savojne krutosti presjeka grede EI= 1.11 MNm2, osne krutosti presjeka kosnika EA1= 58.2 MN, osne krutosti presjeka stupova EA2= 46.8.2 MN, izos sile F=0.1 MN. Rješenje glasi: δ = 3.30 cm.



117


Crtež 2.79 Progib poduprte grede



118


2.5 TEMPERATURNO DJELOVANJE 2.5.1 DEFORMACIJE JEDNOLIKE I NEJEDNOLIKE TEMPERATURE U statici linijskih nosača pa tako i punostijenih nosača pojednostavnjeno se zadaje temperaturno djelovanje u dva slučaja koja se mogu pojaviti i istodobno. Prvi slučaj je jednolika temperatura koja podrazumijeva pojavu jednake promjene, porasta ili sniženja temperature u svim dijelovima presjeka kao i po svim dijelovima istog elementa. Drugi slučaj je nejednolika temperatura koja podrazumijeva na gornjem rubu promjenu temeprature jednog predznaka a na donjem rubu istu promjenu suprotnog predznaka s linearnom promjenom. Deformiranje diferencijalnog elementa štapa jednolikom temperaturom temperaturo m

Usljed jednolikog zagrijavanja za t0, sva vlakanca presjeka jednako se rastežu za iznos ε x = α t t 0 (2.67) Gdje je α t toplinski koeficijent, koji pokazuje koliko se rastegne vlakance jedinične duljine pri porastu temperature za 1o C. Izgled deformiranog elementa prikazan je na crtežu 2.80.

Crtež 2.80 Rastezanje pri jednolikoj temperaturi

Deformiranje diferencijalnog elementa štapa nejednolikom temperaturom temperatur om

Neka se gornje vlakance hladi za iznos ∆t/2 a donje vlakance zagrijava za izos ∆t/2. Deformiranje svakog vlakanca je slobodno pa nastaje oblik prikazan crtežu 2.81.

Crtež 2.81 Zakrivljenost štapa pri nejednolikoj temperaturi Građ evna evna statika I


119


Na promatranoj duljini elementa rubni presjeci su se zakrenuli za kut

∆φ =

α t ∆t h

(2.68)

Što predstavlja traženu savojnu deformaciju - promjenu kuta zaokreta odnosno zakrivljenost presjeka. Slobodno deformiranje je bitno deformacijsko svojstvo statički određenih sustava, što je potvr đeno u prethodnoj točki. Stoga se temperaturno djelovanje jednoliko i nejednoliko ostvaruje kao slobodno deformiranje sustava bez pojave reakcija i unutrašnjih sila. Posljedica će biti samo deformiranje zadanog sustava ovisno o temepraturnom djelovanju, toplinskom koeficijentu i visini presjeka elemenata.

2.5.2 TEMPERATURNA PROGIBLJIVOST NAČELOM VIRTUALNOGA RADA Temperaturno djelovanje izaziva deformiranje promatranog sustava. Klasični pristup određivanja deformacijske linije je složen. Za tu svrhu praktičnije je uporabiti računalne metode koje se pak izučavaju u statici neodređenih sustava. Stoga se pod temperaturnom progibljivosti ovdje podrazumijeva određivanje diskretnih pomaka na određenom mjestu i u određenom smjeru kao posljedica temperaturnog djelovanja. Praktično je uporabiti isti pristup kao u prethodnoj točki određivanja progiba pri djelovanju konkretnog opterećenja. Ako se temperaturne deformacije uzdužne i savojne, poistovjete sa savojnim deformacijama savijanja i deformacijama od uzdužnih sila tada vrijedi analogija iz prethodne točke. Primjenjuje se načelo virtualnoga rada u kojem su unutrašnje sile one koje daje jedinična sila F=1 (na mjestu i u smjeru traženog progiba) a virtualni pomaci odnosno vitualne deformacije na kojima se vrši rad su temeperaturne deformacije koje su zadane samim temperaturnim djelovanjem i svojstvima presjeka. U nastavku je pokazan primjer određivanja progiba proste grede u sredini raspona izložene nejednolikoj temperaturi. Neka je l =10 =10 m, ∆t=400C gore hlađenje, visina presjeka 70 cm, toplinski koeficijent α t =1.0 .10-5.

Crtež 2.82 Progibljivost pri nejednolikoj temperaturi Mihanović , Trogrlić


120 Veličina progiba će iznosit


∫

δ = m x

α t ∆t x h

Ω

∫

dx + n x α t t 0 dx

(2.69)

Ω

U konkretnom slučaju je δ = 2

α t ∆t x l 1 l h

224

=

α t ∆t x l 2

8h

(2.70)

odnosno δ = 0.714 cm

2.5.3

(2.71)

PRIMJERI TEMPERATURNE PROGIBLJIVOSTI

Primjer 1. Progib Progib i zaokret zaokret Gerberovog Gerberovog nosa č a sa stupom

Sustav Gerberovog nosača poduprt stupom kao što je prikazano na crt. 2.83 izložen je temperaturi djelovanju: jednolikom zagrijavanju zagrijav anju stupa stup a t0=20 Co i nejednolikoj temepraturi ∆t=30 Co grednog dijela. Gornji pojas ohlađen je za 15 Co a donji isto toliko zagrijan. Toplinski koeficijent za gredu i stup iznosi αt=1.0-05 .Visina presjeka grede iznosi 60 cm. Potrebno je odrediti na crtežu naznačeni progib i zaokret.

Crtež 2.83 Progibljivost pri složenoj temperaturi

U danom primjeru veličina progiba će iznositi: Građ evna evna statika I


121

Punostijeni stati stati č ki ki određ eni eni nosa č i −5 ⎛ 2.0 *10.0 2.0 * 2.0 ⎞ 1.0 *10 * 30 δ = ⎜ + − 0.2 * 5.0 *1.0 *10−5 * 20 = 5.8 mm ⎟ 2 ⎠ 0.6 ⎝ 2

(2.72)

Dok će veličina kuta zaokreta iznositi: ⎛ 0.25 * 10.0 0.25 * 2.0 1.0 * 8.0 ⎞ 1.0 * 10 −5 * 30 θ = ⎜ + + + 0.025 * 5.0 * 1.0 * 10 −5 * 20 = 2.775 mm ⎟ 2 2 2 ⎠ 0.6 ⎝

(2.73) Primjer 2. Progib poligonalne poligonalne grede grede

Poligonalna greda, izložena je temperaturnom jednolikom i nejednolikom djelovanju kao što je prikazano na crtežu 2.84. Jednolika temperatura iznosi t0=20 Co, nejednolika temepratura ∆t=30 Co s hlađenjem izvana, a zagrijavanjem iznutra. Visina presjeka je 60 cm.

Crtež 2.84 Progibljivost pri složenoj složenoj temperaturi

Veličina horizontalnog progiba za l =10 =10 m će iznositi: −5 ⎛ 10 * 10 ⎞ 1.0 * 10 * 30 + 10 * 10 ⎟ + 1 * 10 * 5.0 * 1.0 * 10 −5 * 20 = 11 cm δ = ⎜ 2 2 0.6 ⎝ ⎠

(2.74)

Primjer za za vježbu 3. Konzolni Konzolni nosa č izložen nejednolikoj temperaturi

Konzolni nosač visine presjeka h, izložen je nejednolikoj temperaturi ∆t=40 C0 pri zagrijavanju s gornje I hlađenju s donje strane kako je prikazano na crtežu 2.85. Traži se progib i kut zaokreta na kraju konzole.

Crtež 2.85 Progibljivost konzole pri nejednolikoj temperaturi

Rješenje zadatka glasi: δ = α t ∆t


l 2

2h

l

, θ = α t ∆t . h


122


2.6 POKRETNO OPTEREĆENJE I UTJECAJNE LINIJE 2.6.1 UTJECAJNE LINIJE I JEDINIČNA POKRETNA SILA Poseban slučaj djelovanja sila na konstruktivne sustave su pokretne sile. Teorijski gledano to je zapravo stanje s beskonačnim brojem različitih položaja, odnosno slučaja zadanog opterećenja. Razumljivo je da sve te slučajeve, a niti veliki broj, ne možemo obraditi. Inženjerski je zadaću postaviti tako da se izluči slučaj ili slučajevi koji daju ekstremni utjecaj za konkretnu veličinu koju želimo odrediti. Put do rješenja na postavljenu zadaću vodi preko pojma utjecajnih linija. Što su utjecajne linije? Najkraće, to su geometrijski mogući pomaci mehanizama ili progibi sustava, koje pridružujemo promatranom sustavu i proglašavamo ih virtualnim pomacima. emu služe utjecajne linije? Služe za određivanje ekstremnih veličina koje daje Č emu pokretno opterećenje. Način konstruiranja i upotrebe izloženi su u nastavku. S ciljem određivanja veličine konkretne reakcije ili rezne sile za dano opterećenje, može se uporabiti načelo virtualnoga rada. Odbacimo vezu koja prenosi traženu silu i nadomjestimo je napoznatom silom. Statički određeni sustav postaje mehanizam s jednim stupnjem slobode, za koji je moguće odrediti sve pomake. Postavimo li bilo kakvo opterećenje na promatrani sustav i uporabimo načelo virtualnoga rada, pri čemu su pomaci mehanizma virtualni pomaci, slijedi da je jedina nepoznata veličina tražena sila. Pristup se pojednostavnjuje ako se zahtjeva zahtj eva da su pomaci sustava upravo takvi takv i da je na mjestu tražene sile nastao jedinični pomak.

Crtež 2.86 Utjecajna linija za momonet i popre čnu silu u presjeku t-t Građ evna evna statika I


123 Ako je opterećenje jedinična koncentrirana sila tada izlazi da je naša tražena veličina upravo jednaka pomaku u smjeru i na mjestu djelovanja jedinične sile. Jednostavno, ordinate pomaka našeg sustava predstavljaju veličinu tražene sile ako se na konkretnom mjestu nađe jedinično opterećenje, a po definiciji to je utjecajna linija lin ija za traženu veličinu. Na crtežu 2.86 prikazane su utjecajne linije za moment savijanja i poprečnu silu u presjeku t-t. Crtkana linija pokazuje moguća mjesta djelovanja uspravne jedinične pokretne sile. Na crtežu 2.87 prikazana je utjecajna linija za uzdužnu silu u presjeku t-t. Crtkana linija pokazuje moguća mjesta djelovanja horizontalne jedinične pokretne sile. Tražimo li ekstrem za bilo koju traženu veličinu, on je na mjestu najvećeg pomaka na kojem jedinična sila vrši virtualni rad. Punostijeni stati stati č ki ki određ eni eni nosa č i

Crtež 2.87 Utjecajna linija za uzdužnu silu u presjeku t-t

Problem konstruiranja utjecajnih linija vodi primjeni kinematičkih metoda određivanja polova. Postupak je relativno jednostavan kod jednostavnih sustava, međutim kod složenijih sustava može biti vrlo složeno i praktičn neizvediv. Postupak ciljane deformacije-tempera deformacije-temperaturne turne analogije. analogije. Postupak ciljane deformacije za određivanje utjecajnih

linija punostijenih nosača se primjenuje jednako na statički određene i statički neodređene sustave. Cilj postupka je konstruiranje virtualnih pomaka koji čine utjecajnu liniju kao stvarnih progiba nastalih od specijalno odabranog, odnosno ciljanog opterećenja. Ciljano opterećenje se zadaje u okolišu mjesta tražene veličine i to tako da izazove istovrsnu deformaciju, na konačno malom dijelu sustava. Ono može biti zadano kao koncentrirano djelovanje ili temperaturno djelovanje. Kod traženja utjecajne linije za moment ciljano opterećenje treba dati jedinični zaokret dva bliska susjedna presjeka. Pri traženju utjecajne linije za poprečnu silu moment ciljano opterećenje treba dati jedinično smicanje dva bliska susjedna presjeka. Za određivanje utjecajne linije za uzdužnu silu, ciljano opterećenje treba dati jedinično razvlačenje dva bliska susjedna presjeka. Kod K od utjecajnih ut jecajnih sila s ila za reakcije, ciljano opterećenje treba rastegnuti štap koji prenosi reaktivnu silu. Shema opterećenja s kojom se izaziva utjecajna linija za moment se satoji od para momenata savijanja dovoljno blizu postavljena. Konkretan primjer je pokazan na crtežu 2.88. Alternativa je da se na usvojenom kratkom elementu zadaje nejednolika temperatura. Shema opterećenja s kojom se izaziva utjecajna linija za poprečnu silu se sastoji od dva para momenata jednakog iznosa i suprotnog predznaka. Parovi su postavljeni jedan do drugoga, tako da se dobiva djelovanje M1, -2M1, M1. Konkretan primjer je pokazan na Mihanović , Trogrlić


124 Punostijeni stati č ki ki određ eni eni nosa č i crtežu 2.89. Alternativni pristup temperaturnom analogijom je izlaganje pola usvojenog elementa nejednolikoj temperaturi jednog predznaka a druge polovice nejednolikoj temperaturi drugog predznaka.

Crtež 2.88 Shema optereć enja enja i progibi za utjecajnu linija za moment u presjeku t-t

Crtež 2.89 Shema optereć enja enja i progibi za utjecajnu linija za popre čnu silu u presjeku t-t

Shema opterećenja s kojom se izaziva utjecajna linija za poprečnu silu se sastoji od dvije jednake sile suprotnog smjera koje izazivaju vlačno djelovanje na konačnom dijelu nosača. Primjer je prikazan na crtežu 2.90. Alternacija temperaturnim djelovanjem je jednoliko zagrijavanje kona ko načnog dijela nosača.



125


Crtež 2.90 Shema optereć enja enja i progibi za utjecajnu liniju za uzdužnu silu u presjeku t-t

Progibne linije u svim slučajevima upravo su utjecajne linije. Progibe je praktično odrediti računalnim postupkom, dakle primjenom metode pomaka. Detalji metode pomaka objašnjeni su u analizi statički neodređenih sustava.



126


2.6.2 UTJECAJNE LINIJE REAKTIVNIH I UNUTRAŠNJIH SILA Utjecajne linije reakcija proste grede

Izgled utjecajnih linija za reakcije proste grede prikazan je na crtežu 2.91. Pomaci koji prestavljaju utjecaj za horizontalnu hori zontalnu reakciju zbivaju se horizontalno h orizontalno i projiciraju p rojiciraju u os grede. g rede. Nacrtani su okomito na os kako bi bili pregledniji. pregledni ji.

Crtež 2.91 Utjecajna linija za reakcije proste grede

Utjecajne linije na konzoli

Na crtežu 2.92 prikazane prik azane su utjecajne linije linij e za moment i poprečnu silu u presjeku t-t na konzolnom nosaču.

Crtež 2.92 Utjecajne linije za rezne sile na konzoli

Utjecajne linije Gerberovog nosa č a

Utjecajne linije za moment i poprečnu silu u presjeku t-t Gerberovog nosača prikazane su na crtežu 2.93.

Crtež 2.93 Utjecajne linije za rezne sile na Gerberovom nosa ču Građ evna evna statika I



127

Trozglobni luk

Utjecajne linije za moment u presjeku t-t trozglobnog luka prikazane su na crtežu 2.94. Nul točka utjecajne linije zove se još i statička nul toča. Ona pokazuje mjesto djelovanja sile kada je u promatranom presjeku moment savijanja jednak nuli. U kinematici to mjesto odgovara apsolutnom polu srednjeg dijela mehanizma.

Crtež 2.94 Trozglobni luk – utjecajna linija za za moment u presjeku presjeku t-t

Utjecajne linije za poprečnu silu u presjeku t-t trozglobnog luka prikazane su na crtežu 2.95.

Crtež 2.95 Trozglobni luk-utjecajne linije za poprečnu silu u presjeku t-t

Primjer ovješene ovješene grede



128


Utjecajne linije za uzdužnu silu u zatezi ovješene grede prikazane su na crtežu 2.96.

Crtež 2.96 Ovješena greda-utjecajne linije za moment u gredi

Crtež 2.97 Ovješena greda-utjecajne linije za sile u zatezi Građ evna evna statika I


129


2.6.3 EKSTREMNI UTJECAJI POKRETNOG OPTEREĆENJA Uporaba utjecajnih linija

Utjecajne linije kod djelovanja pokretnog opterećenja rabimo za određivanje ekstrema tražene statičke veličine. Postupak se zapravo svodi na traženje položaja pokretnog opterećenja čiji virtualni rad nad utjecajnom linijom daje ekstrem. Postupak značajno ovisi o vrsti pokretnog opterećenja. U slučaju jedne koncentrirane sile ekstrem se dobije postavljanjem pokretne sile iznad najveće ordinate utjecajne linije u slučaju maksimuma ili najmanje ordinate utjecajne linije u slučaju minimuma. U nastavku se prati nekoliko jednostavnijih slučajeva pokretnog opterećenja u traženju ekstrema nad utjecajnom linijom prikazanom na crtežu 2.98. U slučaju prvog optere ćenja s dvije jednake sile, jedna sila se postavlja iznad najveće ordinate a druga na strani gdje je manji nagib utjecajne linije. U konkretnom primjeru je Av = Au = M t − t

max

= 10 * 2.1 + 10 * 1.5 = 3.6 kNm

(2.75)

Crtež 2.98 Uporaba utjecajnih linija

U slučaju drugog opterećenja s dvije različite sile, na prvi pogled postoje dva moguća ekstrema. Prvi slučaj je onaj u kojem je omjer veće sile prema manjoj, manji od omjera Mihanović , Trogrlić


130 Punostijeni stati č ki ki određ eni eni nosa č i nagiba utjecajne linije lijevo i desno, kao što je na crtežu 2.104. Tada ekstrem nastaje za položaj prikazan na crtežu 2.98b i iznosi M t −t max = 10 * 0.7 + 20 * 2.1 = 48 kNm (2.76) Drugi slučaj je obrnut, a tada se manja sila postavlja iznad najveće ordinate utjecajne linije. U slučaju trećeg raspodijeljenog opterećenja ono treba biti postavljeno tako da su ordinate ispod rezultante lijevog i desnog dijela pokretnog opterećenja jednake. To je zadovoljeno u konkretnom primjeru što daje M t −t max = 2 * 0.9 * 1.785 + 2 * 2.1 * 1.785 = 10.71 kNm (2.77) Načelno se može kazati da su prethodni postupci zapravo metoda pokušaja, koja je prihvatljiva, naročito kod složenog oblika pokretnog opterećenja i/ili utjecajne linije. Utjecaj kao konvolucija

Gledano egzaktno matematički, promatrana zadaća spada u područ je određivanja ekstrema funkcije virtualnoga rada koja nastaje kao konvolucija funkcije pokretnog opterećenja i funkcije utjecajne linije, tj. A x = p( x ) ⋅ η ( x )

(2.78)

Konvolucija dvije funkcije je integralna funkcija produkta dviju funkcija za stanje u kojoj se jedna pomiče iznad druge. Konvolucija jedinične sile i utjecajne linije ustvari je utjecajna linija. Konvolucija dvije jednake koncentrirane sile i utjecajne linije za moment prikazana je na crtežu 2.99. Koordinata x predstavlja vodeći položaj opterećenja. Slobodno se bira i to najbolje kao položaj rezultante. Preko x se prepoznaje položaj opterećenja za slučaj ekstrema konvolucije Ax. Ekstrem Ax se nužno geometrijski ne nalazi na mjestu ekstrema utjecajne linije.

Crtež 2.99 Konvolucija za dvije sile

Konvolucija raspodjeljenog opterećenja i utjecajne linije za moment savijanja prikazana je na crtežu 2.100. Građ evna evna statika I



131

Crtež 2.100 Konvolucija za raspodjeljeno opterećenje

Konvolucija utjecajne linije za reakciju Av i raspodijeljenog pokretnog opterećenja prikazana je na crtežu 2.101

Crtež 2.101 Konvolucija reakcije Av za raspodjeljeno optere ćenje



132


2.6.4 PRIMJERI UPORABE UTJECAJNIH LINIJA Primjer1. Ekstrem Ekstrem popre popre č ne ne sile

Na običnoj gredi zadano je pokretno opterećenje s dvije sile prema crtežu 2.102. Potrebno je odrediti Tt-t max i Tt-t min . Pripadna utjecajna linija i položaj pokretnog opterećenja za određivanje traženih ekstrema prikazani su na istom crtežu. Konkretne vrijednosti su Tttmax=0.4 F, T t-t min= -1.2 F.

Crtež 2.102 Uporaba utjecajne linije za popre čnu silu

Primjer 2: Gerberov Gerberov nosač

Za Gerberov nosač prikazan na crtežu 2.103 izložen zadanom pokretnom raspodijeljenom opterećenju, treba odrediti ekstremne rezne sile u presjeku t-t.

Crtež 2.103 Gerberov nosa č traženje ekstremne sile u presjeku t-t

Rezultati: Mt-t max= 3.0 kNm , Mt-t min=-24.0 kNm, Tt-t max= 3.75 kN, Tt-t min= -18.75 kN. Građ evna evna statika I



133

2.7 TEHNIKE ANVELOPE 2.7.1 EKSTREMALNI UTJECAJI Neka je data jedinična sila kao pokretno opterećenje. Može se postaviti pitanje kakav ekstremni utjecaj ona može proizvesti u svakom od presjeka? Tada govorimo o ektremalnom utjecaju odnosno o dijagramu ekstrema u svim presjecima. Traženo rješenje je zapravo anvelopa beskonačnog broja slučajeva opterećenja promatranom silom. Primjer ekstremale momenta savijanja i poprečne sile na običnoj gredi izloženoj jediničnoj pokretnoj sili, prikazan je na crtežu 2.104. Oblik funkcije ekstremnih momenata je kružnica.

Crtež 2.104 Ekstremale momenata i popre čnih sila

Mmax Fl /4. /4.

U slučaju da se radi o stvarnoj sili koja nije jedinična, tada dijagrami imaju oznaku i Tmax. Kružnica s prethodnog crteža tada degenerira u elipsu s najvećom ordinatom

Grafička konstrukcija ekstremala za dvije ili više sila postaje složen zadatak. Isti je slučaj s ekstremalama jedinične sile na složenim sustavima. Postojanje računala omogućuje aproksimativnu konstrukciju ekstremala koju se dobija iz anvelope konačnog broja slučajeva opterećenja.



134


2.7.2 ANVELOPA NIZA OPTEREĆENJA Pod anvelopom dva ili više rješenja podrazumijevamo ekstreme utjecaja u svim presjecima što ih pojedinačno tvori jedno od opterećenja. Postavi li se zadatak konkretnog određivanja ekstremnih utjecaja dva ili više slučaja opterećenja, tada jednostavno odredimo utjecaje za svaki slučaj pojedinačno i usporedbom odredimo koji je utjecaj mjerodavan u kojem presjeku. Primjer određivanja anvelope reznih sila obične grede za tri slu čaja opterećenja jediničnim silama prikazan je na crtežu 2.105.

Crtež 2.105 Anvelope momenata i popre čnih sila

2.7.3 PRIMJERI ANVELOPA U nastavku su prikazane anvelope momenata savijanja i poprečnih sila za slučaj koncentrirane sile i raspodijeljenog opterećenja.

Crtež 2.106 Anvelope momenata i popre čnih sila Građ evna evna statika I



135

2.7.4 APROKSIMACIJA EKSTREMALE ANVELOPOM Djelovanje pokretnog opterećenja može se aproksimirati dovoljno velikim brojem slučajeva fiksnih opterećenja. Tada će anvelope dovoljno približno aproksimirati ekstremale. Treba imati na umu da su u nekim presjecima rješenja egzaktna a u ve ćem dijelu presjeka nisu. Bitno je uočiti da su aproksimacije s donje strane odnosno sa strane nesigurnosti. Stvarni maksimumi su veći ili jednaki približnima, a stvarni minimumi manji (veći negativan broj ili veći pozitivan broj) u odnosu na stvarni. Dovoljno velik broj fiksnih opterećenja može zadovoljavajuće aproksimirati ekstremale pokretnog djelovanja. Aproksimacija ekstremale jedne koncentrirane koncentrira ne sile prethodno je prikazana na crtežu 2.104. 2 .104.

Aproksimacija ekstremala reznih sila pri djelovanju dvije jednake pokretne koncentrirane sile prikazana je na crtežu 2.107. Korak pokretnog opterećenja neka je ∆x=2.0 m.

Crtež 2.107 Anvelope dvije koncentrirane sile

2.7.5 PRIMJERI Primjer 1. 1. Anvelope pokretnih pokretnih raspodijeljeni raspodijeljenih h sila na obi č noj noj gredi



136



Primjer 2. Anvelope koncetrirane koncetrirane sile sile na Gerberovom Gerberovom nosa č u


Primjer 3. Anvelope Anvelope raspodijeljenog raspodijeljenog optere ć enja enja na konzoli


Primjer 4. Anvelope Anvelope složenih složenih sila na složenijem složenijem sustavu sustavu



137


Crtež 2.111 Anvelope momenata momenata i poprečnih sila

2.8 LITERATURA

[2.A1] Andrejev V., Mehanika II - kinematika, Tehnička knjiga, Zagreb 1973. enih štapnih konstrukcija , Društvo hrvatskih [2.A2] Anđelić M., Statika neodređ enih građevinskih konstruktora, Zagreb 1993. vrsto ć i i, Tehnička knjiga, Zagreb 1973. [2.B1] Bazjanac V., Nauka o č vrsto Strength of Metal Structures, McGraw-Hill, New York 1952. [2.B2] Bleich F., Buckling Strength Statics, Thomson Learning 2000. [2.B3] Boresi A. P., Engineering Mechanics Statics, [2.C1] Crisfield M. A., Non-linear Finite Element Analysis of Solids and Structures , John Wiley & Sons, Chichester 1991. Analysis [2.D1] Dawe D. J., Horsington ., Katemar A. G. and Little G. H., Aspect of the Analysis of Plate Structures , Claredon Press, Oxford, 1985. and Analysis , Cambridge University Press 1997. [2.D2] Dym C. L., Structural Modelling and [2.Đ1] Đurić M. i Jovanović P., Teorija okvirnih konstrukcija , Građevinska knjiga Beograd, 1977. [2.F1] Fertis G., Demeter G., Advanced Mechanics of Structures, Marcel Dekker Inc. 1996. Dynamik der Schalen Schalen , Springer-Verlag, Berlin 1934. [2.F2] Flugge W., Statik und Dynamik in Shells, Springer-Verlag, Berlin 1960. [2.F3] Flugge W., Stresses in [2.F4] Foppl A. und Foppl L., Drang und Cvang , R. Oldenburg-Verlag, Munich 1928. [2.G1] Goodmann L. E., Warner W. H., Statics, Courier Dover 2001. [2.G2] Girkmann K., Flachentragwerke , Springer-Verlag, Berlin 1946. [2.H1] Hartman F., Katz C., Structural Analysis with with Finite Elements Elements , Springer, 2004. [2.H2] Hibbeler R., Russell C., Hibbeler C., Static and Mechanics of Materials, Prentice Hall, 2004. [2.H3] Hjelmstad, Keith D., Fundamentals Fundamentals of Structural Mechanics , Springer 2005. [2.K1] Krenk S., Mechanics and Analysis of Beams, Columns and Cables: A Modern Introduction Introduction to the Classic Classic Theories Theories , Springer 2001. [2.L1] Leet K. M, Uang C-M., Fundamentals of Structural Analysis , McGraw-Hill 2004. [2.L2] Lorenz H., Techniche Elastizitatslehre , R. Oldenburg-Verlag, Munich 1913. [2.L3] Love A. E. H., The Mathematical Theory of Elasticity , Cambridge University Press, London, 1927. Stabilnost konstrukcija konstrukcija , Društvo hrvatskih građevinskih [2.M2] Mihanović A., Stabilnost konstruktora, Zagreb 1993. Plasticity, McGraw-Hill, New York, 1931. [2.N1] Nadai A., Plasticity [2.N2] Neville A.M., Ghali A., Structural Analysis: A Unified Classical and Matrix Approach, Spon Press. Analysis, McGraw[2.N3] Noris C. D., Wilbur J. B. and Utku Ut ku S., Elementary Structural Analysis, Hill, New York 1976. [2.P1] Prezeminiecki J. S., Theory of Matrix Structural Analysis , McGraw-Hill, New York, 1968. [2.P1] Prokofjev I. P., Teorija konstrukcija I , Građevinska knjiga, Beograd 1966. [2.P2] Prokofjev I.P., Teorija konstrukcija II , Građevinska knjiga, Beograd 1968. [2.P3] Prokofjev I.P. i Smirnov A. F., Teorija konstrukcija III , Građevinska knjiga, Beograd 1961. Mihanović , Trogrlić


138 Punostijeni stati č ki ki određ eni eni nosa č i konstrukcije , Društvo hrvatskih građevinskih konstruktora, [2.R1] Rosman R., Stropne konstrukcije Zagreb 1993. Mechanics - Static, Prentice Hall, 2006. [2.R2] Russell C., Hibbeler C., Engineering Mechanics [2.R3] Russell C., Hibbeler C., Structural Analysis, Prentice Hall, 2005. Prakticshe Baustatik Teil 2 , [2.S1] Schreyer., Ramm H. und Wagner W., Prakticshe Verlagsgesellschaft, Stuttgart 1960. evna statika I , Građevinski Institut , Zagreb 1988. [2.S2] Simović V., Građ evna Mathematical Theory of Elasticity Elasticity , McGraw-Hill, New York [2.S3] Sokolnikoff I. S., Mathematical 1956. Introduction to teh Theory of Elasticity Elasticity for Engineers and [2.S4] Southwell R. V., An Introduction Physicists Physicists, Oxford University Press, London, 1936. [2.Š1] Šimić V., Otpornost materijala I , [kolska knjiga , Zagreb 1994. [2.Š2] Šimić V., Otpornost materijala II , [kolska knjiga , Zagreb 1995. [2.T1] Taylor R. L., Zienkiewicz O. C., The Finite Element Method , Elsevier 2000. [2.T2] Timoshenko S. P., Theory of Elasticity , McGraw-Hill, New York 1934. [2.T3] Timoshenko S. P., Theory of Elastic Stability , McGraw-Hill, New York 1936. [2.T4] Timoshenko S. P. and Young D. H., Theory of Plates and Shells , McGraw-Hill, New York 1940. [2.T4] Timoshenko S. P. and Young D. H., Theory of Structures , McGraw-Hill, New York 1988. [2.T5] Toroja E., The Structures of Eduardo Torroja , F.W. Dodge Corporation, New York, 1958.



Uticajne Linije i Sl.

Recommend Documents