Probabilidades y Estadística
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Unidad 3: Variables Aleatorias Unidimensionales Antecedentes Generales En la unidad anterior se presentaron los conceptos básicos relacionados con el cálculo de probabilidades asociadas a eventos de un determinado espacio muestral. En ocasiones, se necesita cuantificar o medir resultados asociados a un experimento aleatorio. Para ello, es útil el concepto de variable aleatoria. Variable Aleatoria – Definición Sea un experimento, con espacio muestral S . Una variable aleatoria es una función X función X que asigna asigna a cada cada uno de de los elementos s ∈ S un número real X(s) real X(s) . . Es importante notar que a cada elemento s ∈ S le corresponde exactamente un valor X(s) valor X(s).. Valores diferentes de valor X(s).. s ∈ S pueden tener un mismo valor X(s)
Recorrido de la variable aleatoria ( R X ) Corresponde al conjunto de todos los valores posibles que puede tomar la variable aleatoria X . Ejemplo: Para el experimento aleatorio de lanzar una moneda dos veces. Se pueden definir muchas variables aleatorias para este experimento, por ejemplo: X: variable X: variable aleatoria que denota el número de caras observadas. Y: variable Y: variable aleatoria que denota el número de sellos observados. Notar que para el experimento aleatorio en cuestión, el espacio muestral está dado por: S={(C,C), (C,S), (S,C), (S,S)} Para el caso de la variable aleatoria X aleatoria X , ésta asocia un número real a cada elemento del espacio muestral, es decir: Para s = (C , C ) , X (s = (C , C ) ) = 2 Para s = (C , S ) , X (s = (C , S ) ) = 1 Para s = ( S , C ) , X (s = ( S , C ) ) = 1 Para s = ( S , S ) , X (s = ( S , S ) ) = 0 Entonces, el recorrido de la variable aleatoria X aleatoria X está dado por: R X = {0,1,2}
Ejemplo: Un Experimento consiste en inspeccionar los artículos fabricados en una cadena de producción, hasta detectar uno defectuoso. Los artículos producidos pueden clasificarse como defectuosos o no defectuosos, dependiendo de si cumplen con las especificaciones correspondientes. Se define la notación: s: Sano o no defectuoso y d : Defectuoso Se define una variable aleatoria X aleatoria X , que denota el número de inspecciones hasta encontrar el primer artículo defectuoso. Notar que el espacio muestral asociado a este experimento es: Edmundo Peña Rozas, Juan Garcés Seguel
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S = {d , sd , ssd , sssd , ssssd ,...} , el cual es infinito numerable El recorrido de la variable aleatoria es: R X = {1,2,3,4,...}
Ejemplo: Consideremos el experimento de observar al azar dos recién nacidos. Supongamos que nos interesa el número de varones, X; entonces, X es una variable aleatoria que puede ser considerada como una función numérica definido en el espacio muestral siguiente: S= {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} donde 0 y 1 representan mujer y varón respectivamente. Para definir X en este espacio muestral, descompongamos primero el espacio muestral en los tres subconjuntos siguientes: x1 = cero varones = {(0,0)} x2 = un varón = {(0,1), (1,0)} x3= dos varones = {(1,1)} La variable aleatoria X, o el número de recién nacidos varones, ha sido generada por dos observaciones de niños recién nacidos, donde los valores posibles que puede tomar la variable son x 1=0, x2= 1 y x3=2
Ejemplo: Si se lanzan 2 dados, el espacio muestral es {(1,1) (1,2)... (6,6)}. En total 36 pares como resultados. Si se define la variable aleatoria X = suma de las caras, entonces la variable podrá tomar los valores 2, 3, 4,..., 12. Como en el caso anterior, existen varios pares de caras asociadas a un mismo valor, de tal forma que se puede construir la siguiente tabla. X= Suma de las caras 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Pares (1,1) (1,2), (2,1) (1,3), (2,2), (3,1) (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) (4,6), (5,5), (6,4) (5,6), (6,5) (6,6)
Ejemplo: A partir de un conjunto de 25 personas adultas se elige una al azar para medir su estatura. Se define la v.a. X , que denota la estatura medida de la persona elegida al azar, en centímetros. Entonces, el recorrido de esta variable aleatoria puede ser: R X = { x : 80 ≤ x ≤ 270} Eventos Equivalentes Un concepto que puede ser útil, especialmente en lo que se tratará más adelante, es el de eventos equivalentes. Para una v.a. X , definida sobre un espacio muestral S . Su recorrido R X puede también considerado como otro
espacio muestral. Es decir, si B ⊂ R X , es posible hablar del evento B. Por lo tanto, si A = {s ∈ S : X ( s ) ∈ B} y B ⊂ R X , se dice que los eventos A y B son equivalentes y además
P ( A) = P ( B ) .
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Lo anterior se muestra gráficamente:
Clasificación de variables aleatorias Las variables aleatorias pueden clasificarse en términos de su recorrido. Si el recorrido de una variable aleatoria es finito o infinito numerable, se dice que la variable aleatoria es discreta. Si el recorrido de una variable aleatoria es infinito en un cierto intervalo, se dice que la variable aleatoria es continua.
Variables aleatorias discretas Como se mencionó anteriormente, si el recorrido de una variable aleatoria es finito o infinito numerable, se dice que la variable aleatoria es discreta. Sea X una v.a. Discreta. A cada resultado posible xi ∈ R X , se asocia un número p X ( xi ) = P ( X = xi ) , llamado
Probabilidad de xi . Los números p X ( xi ), i = 1,2,... deben satisfacer: i) p X ( xi ) ≥ 0, ∀i ii)
∑ p
X
( xi ) = 1
i
La función p se llama Función de Probabilidad de la v.a X. La colección de pares ( xi , p X ( xi )) se conoce como
Distribución de Probabilidad de X . Observación Importante: Sea B ⊂ R X , entonces P ( B ) =
∑p
( x ) = ∑ P( X
X
x∈B
= x)
x∈B
Ejemplo: Considerar el lanzamiento de una moneda balanceada en cuatro ocasiones. Sea X la v.a. que indica el número de caras observadas. Determinar la función de probabilidades. Notar que el recorrido de la variable es R X = {0,1,2,3,4}. Ahora, para cada x ∈ R X :
P ( X = 0) =
1 1 1 1 ⋅
⋅
⋅
=
1
2 2 2 2 16 1 1 1 1 6 P ( X = 2) = 6 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 2 2 2 2 16 P ( X = 4) =
1 1 1 1 4 ⋅ ⋅ ⋅ = 2 2 2 2 16 1 1 1 1 4 P( X = 3) = 4 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 2 2 2 2 16 1 1 1 1 1 P( X = 1) = 4 ⋅
⋅
⋅
⋅
2 2 2 2
=
16
Por ejemplo, si se desea calcular la probabilidad de que aparezca más de una cara, entonces:
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4 4
∑
P( X > 1) =
4
p X ( x ) =
x = 2
∑
P ( X = x) =
x =2
6
+
16
4
+
16
1
=
16
11 16
También, para calcular esta probabilidad, pudo haberse utilizado la propiedad del complemento, es decir:
1 4 11 P( X > 1) = 1 − P ( X ≤ 1) = 1 − [ p X (0) + p X (1)] = 1 − [ P ( X = 0) + P ( X = 1)] = 1 − + = 16 16 16 Si se desea calcular la probabilidad de que aparezcan entre 1 y 3 caras (1 y 3 incluidos), se calcula: 3
P (1 ≤ X ≤ 3) =
∑ p
X
( x) =
x =1
4
+
16
6
+
16
4
=
16
7 8
Ejemplo: Suponga que un mago tiene en su sombrero cuatro cartas, numeradas del 1 al 4. Comienza a extraer una a una las cartas, sin reposición, hasta que logre sacar la que tiene el número 3. Se define la variable aleatoria X , que denota el número de intentos hasta que logra encontrar la carta señalada. i) Encuentre la función de probabilidad de X. El recorrido de la variable es R X = {1,2,3,4} . Ahora;
P( X = 1) =
1 4
, P( X = 2) =
3 1 ⋅
4 3
=
1 4
, P( X = 3) =
3 2 1 ⋅
⋅
4 3 2
=
1 4
, P ( X = 4) =
Por lo tanto, la función de probabilidad de X es posible escribirla de la siguiente forma:
p X ( x ) = P( X = x) =
1 4
;
x = 1, 2,3, 4
ii) Calcule P ( X > 2) .
1 1 P( X > 2) = 1 − P( X ≤ 2) = 1 − [P( X = 1) + P( X = 2)] = 1 − + = 0,5 4 4 iii) Calcule P ( X ≤ 1) . P( X ≤ 1) = P ( X = 1) =
1 4
Ejemplo: Si se lanzan 2 dados y X es la suma de sus caras X= Suma de las caras 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Pares
P(X=xi)
(1,1) 1/36 (1,2), (2,1) 2/36 (1,3), (2,2), (3,1) 3/36 (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) 4/36 (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) 5/36 (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) 6/36 (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) 5/36 (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) 4/36 (4,6), (5,5), (6,4) 3/36 (5,6), (6,5) 2/36 (6,6) 1/36
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P(X≤xi) 1/36 3/36 6/36 10/36 15/36 21/36 26/36 30/36 3/363 35/36 36/36
3 2 1 ⋅
⋅
4 3 2
⋅1 =
1 4
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Variables Aleatorias Continuas Recordar que si el recorrido de una variable aleatoria es infinito dentro de un intervalo, se dice que X es una v.a. Continua. Si X es una v.a. continua, entonces existe una función f llamada Función de densidad de probabilidad (f.d.p.) de X , que satisface las siguientes propiedades: i) f X ( x ) ≥ 0, ∀ x ∞
ii)
∫ f ( x)dx = 1 X
−∞
b
∫
iii) Para valores a y b cualquiera, tal que − ∞ < a < b < ∞ , P( a ≤ X ≤ b) = f X ( x )dx a
Ejemplo: Se sabe que la concentración diaria de cierto contaminante en el aire, tiene función de densidad:
f X ( x ) = ce − x , x > 0 / 2
Cuando la concentración excede los 6mg/litro, la autoridad debe decretar estado de emergencia ambiental. Calcule la probabilidad de que se produzca esta situación.
Desarrollo: En primer lugar, se debe encontrar el valor de la constante c, de forma que f X ( x ) corresponda realmente a una ∞
fdp. Para ello, se observa que para cualquier c ≥ 0 , f X ( x ) ≥ 0 ∀ x . Ahora, debe cumplirse que
∫ f ( x)dx = 1 . X
−∞
Por lo tanto: ∞
∞
∫ f ( x )dx = 1 ⇔ ∫ ce X
−∞
− x / 2
dx = 1 . Resolviendo, se obtiene finalmente que c = 1 / 2 .
0
Entonces, la función de densidad de probabilidad para esta variable aleatoria está definida por:
f X ( x ) =
1 2
e − x , x > 0 / 2
Ahora, para calcular la probabilidad de que la un día la autoridad deba decretar emergencia ambiental, es equivalente a calcular P( X > 6) , es decir: ∞
P( X > 6) =
1
∫2e
− x / 2
dx ≈ 0,0498
6
También, probabilidad anterior pudo haberse planteado de la siguiente forma: 6
P( X > 6) = 1 − P( X ≤ 6) = 1 −
1
∫2e
− x / 2
dx ≈ 0,0498
0
Ejemplo: Un estudiante toma un bus para ir a la Universidad. Este bus pasa cada 5 minutos. El estudiante no sale todos los días a la misma hora, por lo que el tiempo de espera puede ser considerado como una variable aleatoria X, en el intervalo [0,5] minutos. Se ha encontrado la siguiente función de densidad para X :
1 ,0 ≤ x ≤ 5 f X ( x ) = 5 0, e.o.c a) Verificar que se trata de una función de densidad b) Calcule la probabilidad de que el tiempo de espera esté entre 2 y 3 minutos c) Calcule la probabilidad de que el tiempo de espera sea superior a 4 minutos. Edmundo Peña Rozas, Juan Garcés Seguel
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Desarrollo: ∞
a) Es efectivamente una fdp, ya que f X ( x ) ≥ 0
∀ x , y además
∫
5
f X ( x )dx =
−∞
3
3
∫
b) Se pide calcular P( 2 ≤ X ≤ 3) = f X ( x )dx = 2 5
c) Se pide calcular P( X > 4) = f X ( x )dx = 4
∫ 5 dx = 1 0
1
∫ 5 dx =0,2 2
∞
∫
1
1
∫ 5 dx =0,2 4
Función de Distribución Acumulada Para una variable aleatoria X , se define la Función De Distribución Acumulada:
F X (t ) = P( X ≤ t ),
t ∈ℜ
Es importante notar que esta función está definida en todo el conjunto de los números reales. • Si X es una variable aleatoria discreta, entonces:
F X (t ) =
∑p
X
( x), ∀t ∈ ℜ
x ≤t
•
Si X es una variable aleatoria continua, entonces: t
F X (t ) =
∫
f X ( x) dx,
∀t ∈ ℜ
−∞
Observaciones: i) F es no decreciente. X ii) lim F X (t ) = 0 , y lim F X (t ) = 1 t →−∞
t →∞
Ejemplo: Para la siguiente distribución de Probabilidad, encontrar la función de distribución acumulada de la variable aleatoria X :
Para t < 2, F X (t ) = 0 Para 2 ≤ t < 3, F X (t ) = 0 + Para 3 ≤ t < 4, F X (t ) = 0 + Para t > 4, F X (t ) = 0 +
1 4
+
1 4 1
= +
1 4 1
4 2 1 1 +
2
4
=
3 4
=1
En resumen la función de distribución acumulada para la variable aleatoria X queda definida de la siguiente forma:
0, t < 2 1/ 4, 2 ≤ t ≤ 3 , F X (t ) = ≤ ≤ 3 / 4, 3 4 t 1, t ≥ 4 la cual se puede representar gráficamente:
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Como se puede apreciar, se trata de una función “escalón”. Siempre, cuando se tiene una variable aleatoria discreta, la función de distribución acumulada tiene esta forma.
Ejemplo: Sea una variable aleatoria X , con función de densidad de probabilidad definida por:
2 x, 0 ≤ x ≤ 1
f X ( x) =
0, e.o.c
Encuentre la función de distribución acumulada.
Desarrollo: Aplicando la definición, se tiene: t
Para t < 0, F X (t ) =
t
∫
∫
f X ( x)dx = 0dx =0
−∞
−∞
t
Para 0 ≤ t ≤ 1, F X (t ) =
∫
f X ( x )dx =
−∞
t
Para t > 1, F X (t ) =
∫ −∞
t
0
∫ 0dx + ∫ 2xdx =t −∞
0
2
0 1
t
∫
∫
∫
−∞
0
1
f X (x )dx = 0dx + 2 xdx + 0dx = 1
Por lo tanto, la función de distribución acumulada para la variable aleatoria está definida por:
0, t < 0 F X (t ) = t 2 , 0 ≤ t ≤ 1 1, t > 1 Cálculo de Probabilidades usando Función de distribución acumulada Es ocasiones, sólo se dispone de la función de distribución acumulada asociada a una variable aleatoria X . Si bien es relativamente sencillo obtener la función de densidad o de probabilidad (según sea el caso) a partir de la función de distribución acumulada, es posible obtener las probabilidades para cualquier intervalo, utilizando directamente esta función. En efecto, se puede verificar lo siguiente:
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Esperanza de una Variable Aleatoria Se ha visto que una variable aleatoria puede caracterizarse a partir de su función de probabilidad o densidad, o de su función de distribución acumulada. Cabe señalar que también es posible obtener constantes que permiten hacerse una idea rápida acerca de una variable aleatoria. Una de esas constantes es la Esperanza, o Valor Esperado, y se denota por E[ X ] o µ X . Sea X una variable aleatoria. Se define la esperanza de X , en el caso discreto, de la siguiente forma:
E[ X ] =
∑ xp
X
( x)
x∈R X
y en el caso continuo: ∞
∫ xf
E[ X ] =
X
( x) dx
−∞
Ahora, de forma más general, Sea X una variable aleatoria y H( X ) una función de esta variable aleatoria X . La esperanza de H( X ) una variable aleatoria se define, en el caso discreto, de la siguiente forma:
E[ H ( X )] =
∑ h( x) p
X
x∈R X
( x) =
∑ h( x) P( X = x)
x∈RX
y en el caso continuo: ∞
E[ H ( X )] =
∫ H ( x) f
X
( x) dx
−∞
Notar que es posible encontrar el valor esperado sólo si la serie converge, o la integral existe, según sea el caso.
Propiedades: Sea X una variable aleatoria, H( X ) y G( X ) funciones de la variable aleatoria, y k una constante. Entonces:
Ejemplo: Calcule el valor esperado de la variable aleatoria cuya distribución de probabilidad está dada por:
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E[ X ] = 2 ⋅
1 4
+ 3⋅
Ahora, sea Y =H( X )= X 2. Calcule el valor esperado de H( X ). 2
E[ H ( X )] = 2 ⋅
1 4
1 2
1
+4⋅
2
+3 ⋅
1 2
4
=3
2
+4 ⋅
1 4
=
19 2
Ejemplo: Calcule el valor esperado de la variable aleatoria cuya función de densidad está dada por:
f X ( x ) =
1 2
e − x / 2 , x > 0
∞
E[ X ] =
∞
∫
∫
xf X ( x)dx = x
−∞
0
1 2
e − x /2 dx = 2
Ahora, sea Y =H( X )=3 X . Calcule el valor esperado de H( X ). Por propiedades de la esperanza, se tiene que E[ H ( X )] = E[3 X ] = 3E[ X ] = 3 ⋅ 2 = 6
Ejemplo: Calcular el valor esperado de una variable aleatoria cuya función de densidad está dada por:
1 ,0 ≤ x ≤ 5 f X ( x ) = 5 0, e.o.c ∞
E[ X ] =
5
∫ xf
X
−∞
1 ( x)dx = x dx = 2,5 5 0
∫
Si ahora se tiene que Y =H( X )=3 X 2+1, calcule la esperanza de H( X ). Un camino puede ser el siguiente:
E[ H ( X )] = E[3 X 2 + 1] = E[3 X 2 ] + E[1] = 3 E[ X 2 ] + E [1] ∞
2
Donde E[ X ] =
∫
5
2
∫
x f X ( x) dx = x 2
−∞
0
1 5
dx =
25 3
. Por lo tanto, volviendo a la expresión anterior: 2
E[ H ( X )] = 3 E[ X ] + E [1] = 3 ⋅
25 3
+ 1 = 26 .
Otra forma puede haber sido calcular la integral que aparece al a plicar directamente la definición de esperanza.
Varianza o Dispersión 2
La varianza o dispersión de una variable aleatoria X se denota por σ X o Var ( X ) , y se define por: σ X = E ( X − µ X ) 2
2
También se define la desviación típica o estándar de X , como la raíz cuadrada positiva de la varianza, es decir: σ X =
2 E ( X − µ X )
La varianza es un indicador respecto de qué tan dispersos están los valores de la variable aleatoria. Para su cálculo, puede resultar más práctico usar la siguiente expresión: σ X = E X 2
2
− ( E [ X ])
2
La varianza presenta las siguientes propiedades: Edmundo Peña Rozas, Juan Garcés Seguel
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Ejemplo: Encuentre la varianza de la variable aleatoria X , cuya distribución de probabilidad está definida por:
Como se calculó anteriormente:
E[ X ] = 2 ⋅ Ahora σ X = E X 2
2
1 4
− ( E [ X ])
2
1
+ 3⋅ =
2
19
+4⋅
1 4
2
= 3 , y E[ X ] =
22 ⋅
1 4
2
+3 ⋅
1 2
2
+4 ⋅
1 4
=
19 2
2
− ( 3) = 0, 5
2
Ejemplo: Calcular la varianza de una variable aleatoria X , cuya función de densidad está dada por:
1 ,0 ≤ x ≤ 5 f X ( x ) = 5 0, e.o.c Desarrollo. Se tiene que: ∞
E[ X ] =
∫ xf
X
−∞
Entonces: σ X = E X 2
2
5
∞
5
1 25 ( x) dx = x dx = 2,5 y E[ X ] = x f X ( x)dx = x 2 dx = 5 5 3 −∞ 0 0
− ( E [ X ])
1
∫
2
=
25 3
2
2
− ( 2,5 ) =
∫
2
25 12
Edmundo Peña Rozas, Juan Garcés Seguel
∫