Vectores deslizantes

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Vectores deslizantes

Vectores deslizantes Marcos H. Giménez, Jaime Riera y Ana Vidaurre 1. Vectores libres, fijos y deslizantes Se denomina punto de aplicación de un vector el punto en el que actúa. Por ejemplo, los puntos de aplicación de los vectores , y de la figura 1 son P1, P2 y P3 respectivamente. Se denomina línea de acción de un vector la línea recta sobre la que está situado. En el ejemplo de la figura, E1 es la línea de acción de , y E2 la de y . Evidentemente, la línea de acción de un vector es paralela al mismo y pasa por su punto de aplicación.

Figura 1.- Punto de aplicación y línea de acción de diversos vectores.

Atendiendo a la significación del punto de aplicación, los vectores se pueden clasificar en los tres tipos que se describen a continuación: - Vector libre. Es aquél cuyos módulo, dirección y sentido describen completamente la magnitud que representa, siendo irrelevante el punto de aplicación. Entendidos como libres, los tres vectores iguales de la figura 1 serían representaciones de un mismo vector. - Vector fijo. También se le denomina vector ligado. Es aquél que debe situarse en un punto de aplicación concreto para describir completamente la magnitud que representa. Entendidos como fijos, los tres vectores de la figura 1 son distintos. Podemos interpretarlos, por ejemplo, como la representación de la velocidad del aire en distintos puntos de una habitación. Así, , y son las velocidades en los puntos P1, P2 y P3, y por tanto representan conceptos distintos. - Vector deslizante. Es aquél que debe situarse en una línea de acción concreta para describir completamente la magnitud que representa. Se trata por tanto de un caso intermedio: a diferencia del vector libre, la línea de acción es relevante; a diferencia del vector fijo, no importa el punto de aplicación concreto, siempre que esté sobre la línea de acción. Entendidos como deslizantes, los vectores y de la figura 1 son iguales, pero distintos de . Podemos interpretarlos, por ejemplo, como la representación de fuerzas aplicadas sobre un sólido rígido. Así, las fuerzas y producirían los mismos efectos, pero no así .

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El presente tema se centra en los vectores deslizantes y en un concepto asociado a los mismos, el de momento, ampliamente utilizado en la Física.

Ejemplo 3.1: Sea el vector deslizante cuya línea de acción pasa por el punto . Obténgase la ecuación de dicha línea en forma paramétrica. Sea un punto cualquiera de la línea de acción. Obviamente, el vector es paralelo a dicha línea, por lo que se puede expresar en la forma , donde λ es un parámetro que caracteriza cada punto Q concreto. A partir de aquí resulta:

Por tanto, la ecuación de la línea de acción es:

3.2. Momento de un vector deslizante respecto a un punto Sea un vector deslizante cuya línea de acción pasa por el punto P, tal y como se muestra en la figura 2. Se define el momento del vector deslizante respecto a un punto A, y se denota por , como: (1) En el caso concreto en que A es el origen de coordenadas O(0,0,0), el resultado obtenido recibe el nombre de momento principal del vector deslizante, o simplemente momento del vector deslizante, y se denota por o por .

Figura 2.- Momento de un vector deslizante respecto a un punto.

Puesto que se obtiene mediante un producto vectorial, el momento respecto a un punto es un vector. Su dimensión es la del propio vector por la de , que es una longitud; por ejemplo, en el caso del momento de una fuerza sería [MF]=[F]L. Recordemos que P no es un punto concreto, sino uno cualquiera de la línea de acción del vector deslizante. Así, hay una aparente incoherencia en la definición dada por la expresión (1), ya

Figura 3.- Utilización de puntos diferentes de la línea de acción.

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que si el cálculo se efectúa con dos puntos diferentes P1 y P2 de la línea de acción, se obtendrán en principio resultados diferentes:

P1 y P2 pertenecen, como se ha dicho, a la línea de acción de , de modo que, como se muestra en la figura 3, los vectores y son paralelos. En consecuencia:

Por tanto, la elección de uno u otro punto de la línea de acción para calcular el momento de un vector deslizante no afecta al resultado, y la definición dada por la expresión (1) es coherente. Los momentos de un vector deslizante respecto a distintos puntos son en general diferentes, pero no independientes. Considérense por ejemplo los momentos respecto a dos puntos A y B. Es:

y puesto que

es el momento respecto a B, resulta: (2)

Un caso de especial interés es aquél en que el punto A está situado sobre la propia línea de acción del vector deslizante. Como se muestra en la figura 4, en ese caso los vectores y son paralelos, de modo que:

Figura 4.- Momento respecto a un punto de la línea de acción.

esto es, el momento de un vector deslizante respecto a cualquier punto de su línea de acción es el vector cero.

Ejemplo 3.2: Sea el vector deslizante cuya línea de acción pasa por el punto . Obténganse sus momentos principal y respecto al punto . El vector

es:

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y por tanto el momento principal es:

Por su parte, el vector

es:

y por tanto el momento respecto al punto A es:

Un método alternativo de obtener este segundo momento es utilizando la expresión (2):

Ejemplo 3.3: Sea un vector deslizante no nulo. Se ha indicado que si un punto A pertenece a la línea de acción, el correspondiente momento es el vector cero. Demuéstrese la implicación recíproca, esto es, que si el momento respecto a un punto A es el vector cero, entonces A pertenece a la línea de acción. Puesto que , sólo existen dos posibilidades de que el producto vectorial sea el vector cero: - Que sea . En tal caso, A coincide con P, por lo que es evidente que pertenece a la línea de acción. - Que y sean paralelos. En tal caso, puesto que es paralelo a la línea de acción y P está sobre ella, también ha de estarlo A.

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Ejercicio:

Utilizando la expresión (2), dedúzcase qué condición han de satisfacer dos puntos A y B para que un vector deslizante tenga el mismo momento respecto a ambos.

Ejercicio:

Considérese un vector deslizante nulo, esto es, . Demuéstrese que su momento respecto a cualquier punto es el vector cero.

3.3. Interpretación geométrica del momento respecto a un punto Aunque la forma más cómoda de obtener un producto vectorial es utilizando su expresión analítica, no debe olvidarse que se define a partir de un módulo, una dirección y un sentido. Y puesto que el momento es precisamente un producto vectorial, este punto de vista puede proporcionar una interpretación más geométrica y por tanto más fácil de visualizar. Se denomina brazo de un vector deslizante respecto a un punto A a la distancia entre dicho punto y la línea de acción del vector. Por ejemplo, en la figura 5(i) el brazo es la distancia representada por la letra d. Si θ es el ángulo que forman los vectores y , de la figura 5(ii) se deduce que dicha distancia es: Figura 5.- Brazo de un vector deslizante y su relación con el momento.

El módulo de

es, por definición de producto vectorial:

y por tanto: (3) Así pues, el módulo del momento de un vector deslizante respecto a un punto es igual al módulo del vector por su brazo respecto a dicho punto. En ocasiones se da este resultado como si fuera la definición de momento, pero no es correcto. En efecto, el producto vd da como resultado un escalar, mientras que el momento es un vector, del que dicho producto es, insistimos, el módulo. Nótese que si A está situado en la línea de acción, entonces el brazo es cero, y de acuerdo con la expresión (3) el módulo del momento es también cero. Por tanto, el momento respecto a un punto de la línea de acción es el vector cero, como ya conocíamos.

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Por lo que respecta a la dirección del momento, la misma ha de ser, por definición de producto vectorial, perpendicular a los vectores multiplicados, y . Como puede observarse en la figura 6, esto significa que el momento es perpendicular al plano que definen la línea de acción del vector y el punto A respecto al que se toma. Nótese que en efecto una línea y un punto siempre definen un plano, con una excepción: que el punto estuviese situado sobre la propia línea. Sin embargo, sabemos que en este caso el momento es el vector cero, por lo que carece de dirección, no existiendo en consecuencia ninguna indefinición. Por último, vamos a proporcionar un método para deducir el sentido del momento. Supongamos que existe una barra con un extremo situado en el punto A y el otro en el punto de aplicación del vector , tal y como se muestra en la figura 7. Se considera que el extremo A es fijo, y la barra gira respecto a él como si el vector tirara de ella. Aplicando al sentido de este giro la regla de Maxwell, el correspondiente sentido de avance es también el sentido del momento. Por ejemplo, puede comprobarse que el sentido así obtenido en la figura 7 coincide con el que debe tener el producto vectorial .

Figura 6.- Dirección del momento.

Figura 7.- Sentido del momento.

Ejemplo 3.4: Sea el vector deslizante de la figura 8. Obténganse el módulo, la dirección y el sentido de su momento respecto al punto A. El módulo es: Figura 8.- Ejemplo cálculo del momento.

de

La dirección es perpendicular al plano que definen y A, es decir, al papel. Por último, supongamos una barra entre A y P, siendo A un punto fijo. Cuando el vector tira de ella, esta barra gira en el sentido de las agujas del reloj. Por tanto, de acuerdo con la regla de Maxwell, el sentido del momento es hacia dentro del papel.

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3.4. Momento de un vector deslizante respecto a un eje Sea un vector deslizante cuya línea de acción pasa por el punto P, tal y como se muestra en la figura 9. Sea también un eje E definido por un punto A y un vector unitario . Se define el momento del vector deslizante respecto al eje E, y se denota por , como: (4)

Figura 9.- Momento de un vector deslizante respecto a un eje.

Un vector unitario es el cociente entre un vector y su módulo, y por tanto es adimensional. En consecuencia, la dimensión del momento respecto a un eje es la misma que la del momento respecto a un punto, esto es, la del propio vector por una longitud. Es importante destacar que mientras que el momento respecto a un punto es un vector, el momento respecto a un eje (también denominado momento áxico) es, de acuerdo con su definición, un escalar. Recordemos que A no es un punto concreto, sino uno cualquiera del eje E. Así, hay una aparente incoherencia en la definición dada por la expresión (4), ya que si el cálculo se efectúa con dos puntos diferentes A1 y A2 del eje, se obtendrán en principio resultados diferentes: Figura 10.- Utilización de puntos diferentes del eje.

A1 y A2 pertenecen, como se ha dicho, al eje E, de modo que, como se muestra en la figura 10, los vectores y son paralelos. Así, utilizando la expresión (7), y sabiendo que el producto mixto de tres vectores coplanarios es cero, resulta:

Por tanto, la elección de uno u otro punto del eje para calcular el momento de un vector deslizante no afecta al resultado, y la definición dada por la expresión (4) es coherente. Ejemplo 3.5: Sea el vector deslizante cuya línea de acción pasa por el punto . Obténgase su momento respecto al eje E definido por el punto y el vector . El momento respecto al punto A perteneciente al eje ya se obtuvo en el ejemplo 3.2, y es:

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Un vector unitario paralelo al eje es:

Por tanto, el momento respecto al eje es:

Ejercicio:

Utilizando las expresiones (1) y (4), dedúzcase qué condición ha de satisfacer un eje para que el momento respecto al mismo de un vector deslizante sea cero.

3.5. Interpretación geométrica del momento respecto a un eje Una de las propiedades del producto escalar es la siguiente: si es un vector unitario, es la proyección de sobre la dirección de . De acuerdo con esta propiedad, la definición (4) equivale a decir que el momento respecto a un eje se obtiene siguiendo los siguientes pasos: - Se obtiene el momento respecto a cualquier punto del eje. - Se proyecta dicho momento sobre el propio eje. - El momento áxico es igual, salvo el signo, a la longitud de esa proyección (véase la figura 11).

Figura 11.- Interpretación geométrica del momento respecto a un eje.

El comentario respecto al signo se refiere a que si la longitud de la proyección es por ejemplo 4, el momento áxico puede ser, bien 4, bien -4. El signo correcto depende del vector unitario que se ha tomado para el eje. En efecto, todo eje tiene dos vectores unitarios paralelos, opuestos entre sí. Si se toma el que tiene el mismo sentido que la proyección, el momento áxico es positivo; si se utiliza el que tiene sentido contrario, el momento áxico es negativo. Para estudiar este punto con mayor detalle, véase el ejemplo 3.6. Se ha indicado que el momento áxico no depende del punto del eje que se utilice para calcularlo. Desde el punto de vista geométrico, esto implica una interesante propiedad: los momentos respecto a distintos puntos del mismo eje son en general diferentes, como se muestra en la figura 12, pero sus proyecciones son iguales.

Figura 12.- Invarianza de la proyección de los momentos sobre un eje.

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Ejemplo 3.6: Repítase el cálculo realizado en el ejemplo 3.5, pero utilizando el otro posible vector unitario. Justifíquese el diferente resultado obtenido. El otro vector unitario paralelo al eje es:

Utilizando este vector, el momento respecto al eje es:

Nótese que, salvo el signo, el resultado coincide con el obtenido en el ejemplo 3.5. En realidad, ambos resultados tienen la misma interpretación geométrica: de acuerdo con el ejemplo 3.5, se tiene una proyección de 6 unidades en el sentido del vector (0,-0'8,0'6); de acuerdo con el ejemplo 3.6, se tiene una proyección de -6 unidades en el sentido del vector (0,0'8,-0'6), esto es, de 6 unidades en el sentido contrario.

3.6. Sistemas de vectores deslizantes Un conjunto de vectores deslizantes, como el que se muestra en la figura 13, recibe el nombre de sistema de vectores deslizantes. El número de vectores del sistema puede ser cualquier entero no negativo, como por ejemplo dos, tres, o un trillón. Es posible tener un sistema de un solo vector deslizante, e incluso de cero, como se comentará posteriormente. La descripción de un sistema se realiza indicando qué vectores deslizantes lo constituyen. Por tanto, deben proporcionarse las componentes de dichos vectores, y un punto de la línea de acción de cada uno de ellos.

Figura 13.- Sistema de vectores deslizantes.

Sea un sistema constituido por N vectores deslizantes cuyas líneas de acción pasan por los puntos . Se define la resultante del sistema, y se denota por , como: (5)

Por tanto, la resultante de un sistema es la suma de los vectores que lo constituyen. Nótese que en su definición no intervienen las líneas de acción de dichos vectores. 9

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Dos casos particulares de interés son los siguientes: si el sistema tiene un único vector, su resultante es el propio vector; si el sistema tiene cero vectores, su resultante es el vector cero.

Ejemplo 3.7: Sea un sistema constituido por los vectores deslizantes , y , cuyas líneas de acción pasan respectivamente por los puntos , y . Obténgase su resultante. La resultante del sistema es:

3.7. Momento de un sistema respecto a un punto Sea un sistema constituido por N vectores deslizantes cuyas líneas de acción pasan por los puntos . Se define el momento del sistema respecto a un punto A, y se denota por , como: (6)

Por tanto, el momento de un sistema respecto a un punto es la suma de los momentos, respecto al mismo punto, de los vectores que lo constituyen. En el caso concreto en que A es el origen de coordenadas O(0,0,0), el resultado obtenido recibe el nombre de momento principal del sistema, o simplemente momento del sistema, y se denota por o por . Dos casos particulares de interés son los siguientes: si el sistema tiene un único vector, sus momentos son los del propio vector; si el sistema tiene cero vectores, todos sus momentos son el vector cero. Los momentos de un sistema respecto a distintos puntos son en general diferentes, pero no independientes. Considérense por ejemplo los momentos respecto a dos puntos A y B. Es:

Teniendo en cuenta que el primero de los sumatorios es la resultante del sistema, y el segundo es su momento respecto a B, resulta:

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(7) Obsérvese que esta expresión es formalmente análoga a la ecuación (2), sin más que sustituir en ésta el vector individual y sus momentos por la resultante del sistema y los suyos. Más aún, la aplicación de la expresión (7) a sistemas de un único vector conduce directamente a la ecuación (2).

Ejemplo 3.8: Sea un sistema constituido por los vectores deslizantes , y , cuyas líneas de acción pasan respectivamente por los puntos , y . Obténganse sus momentos principal y respecto al punto . El momento principal es:

Por su parte, el momento respecto al punto A es:

Un método alternativo y más rápido de obtener este segundo momento es utilizando la expresión (7):

Ejemplo 3.9: Como ya se indicó, existen puntos respecto a los cuales el momento de un único vector deslizante es el vector cero. En cambio, en el caso de los sistemas no existe en general ningún punto de este tipo. Sea por ejemplo el sistema constituido por los vectores deslizantes y , cuyas líneas de acción pasan respectivamente por los puntos y 11

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. Demuéstrese que no existe ningún punto respecto al que su momento sea el vector cero. El momento respecto a un punto cualquiera A(x,y,z) es:

Para que el momento del sistema respecto a un punto sea el vector cero, las coordenadas de dicho punto deben satisfacer las siguientes ecuaciones:

Sin embargo, este sistema carece de solución: la primera ecuación requiere que y=1; la tercera, que y=0. En consecuencia, no existe ningún punto respecto al cual el momento del sistema sea el vector cero.

Ejercicio:

Utilizando la expresión (7), dedúzcase qué condición han de satisfacer dos puntos A y B para que un sistema de vectores deslizantes tenga el mismo momento respecto a ambos.

3.8. Momento de un sistema respecto a un eje Sea un sistema constituido por N vectores deslizantes cuyas líneas de acción pasan por los puntos . Sea también un eje E definido por un punto A y un vector unitario . Se define el momento del sistema respecto al eje E, y se denota por , como: (8)

esto es, el momento de un sistema respecto a un eje es la suma de los momentos, respecto al mismo eje, de los vectores que lo constituyen.

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A partir de esta definición, es posible obtener una expresión más sencilla del momento áxico. En efecto, es:

y por tanto: (9)

Dos casos particulares de interés son los siguientes: si el sistema tiene un único vector deslizante, sus momentos áxicos son los del propio vector; si el sistema tiene cero vectores, todos sus momentos áxicos son cero.

Ejemplo 3.10: Sea un sistema constituido por los vectores deslizantes , y , cuyas líneas de acción pasan respectivamente por los puntos , y . Obténgase su momento respecto al eje E definido por el punto y el vector . El momento del sistema respecto al punto A perteneciente al eje ya se obtuvo en el ejemplo 3.8, y es:

Un vector unitario paralelo al eje es:

Por tanto, el momento del sistema respecto al eje es:

3.9. Sistemas equivalentes Se dice que dos sistemas de vectores deslizantes son equivalentes si tienen la misma resultante y el mismo momento respecto a cualquier punto del espacio. Nótese que por el contrario no es preciso que estén constituidos por el mismo número de vectores. Aparentemente, la tarea de comprobar si dos sistemas son equivalentes es descomunal, pues deben coincidir los momentos respecto a los infinitos puntos posibles. Sin embargo, es 13

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suficiente verificar que ambos sistemas tienen la misma resultante y el mismo momento respecto a un único punto. En efecto, sean dos sistemas S1 y S2 que tienen igual resultante, y cuyos momentos respecto a un determinado punto B coinciden, esto es:

De acuerdo con la expresión (7), el momento del primer sistema respecto a cualquier otro punto A es:

En consecuencia, tal y como se había indicado, si dos sistemas tienen en común la resultante y un momento, entonces todos los demás momentos también coinciden, de modo que dichos sistemas son equivalentes. Esta propiedad no sólo proporciona un método sencillo de comprobar si dos sistemas son o no equivalentes (véase el ejemplo 3.11), sino que permite describir un sistema con un mínimo de información: su resultante y su momento respecto a un punto dado. Es cierto que existen infinitos sistemas de vectores deslizantes para una misma combinación resultante-momento, y que no se puede invertir el proceso y averiguar cuál de estos sistemas era el original. Sin embargo, es irrelevante identificar este original, puesto que los infinitos sistemas posibles son equivalentes. Como ejemplo de lo anterior, considérese el caso de las fuerzas aplicadas a un sólido rígido. Si dos sistemas de fuerzas son equivalentes, el sólido se comporta exactamente de la misma manera. Por tanto, basta conocer la resultante y un momento para determinar cómo se comportará el cuerpo, sin que importe qué sistema de fuerzas concreto de los infinitos equivalentes es el que está actuando. Nótese que como consecuencia de la expresión (9), dos sistemas equivalentes tienen también el mismo momento respecto a cualquier eje.

Ejemplo 3.11: Un sistema S1 está constituido por los vectores deslizantes , y , cuyas líneas de acción pasan respectivamente por los puntos , y . Otro sistema S2 cuenta con los vectores y , pasando sus líneas de acción por los puntos y . Determínese si ambos sistemas son o no equivalentes. La resultante y el momento principal del sistema S1 ya se obtuvieron en los ejemplos 3.7 y 3.8 respectivamente, y son:

La resultante del sistema S2 es: 14

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y su momento principal es:

Por tanto, los dos sistemas son equivalentes. La elección del origen de coordenadas para comparar momentos ha sido arbitraria, puesto que podía haberse elegido cualquier otro punto.

Ejercicio:

Compruébese que los dos sistemas equivalentes del ejemplo 3.11 tienen el mismo momento respecto al punto .

Ejercicio:

Verifíquese que la relación entre sistemas de vectores equivalentes es efectivamente una relación de equivalencia, esto es, que satisface las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.

3.10. Sistemas de vectores deslizantes de especial interés 3.10.1. Par de vectores Se denomina par de vectores a un sistema constituido por dos vectores opuestos con líneas de acción diferentes. Como consecuencia de esta definición, su resultante es cero. En efecto:

Otra consecuencia expresión (7):

se

deduce

a

partir

de

la

Figura 14.- Par de vectores.

Por tanto, el momento es el mismo respecto a cualquier punto. Por este motivo se hace referencia al momento del par, sin especificar punto, y se denota simplemente por . Se denomina brazo del par de vectores a la distancia entre sus líneas de acción. Por ejemplo, en la figura 15(i) el brazo es la distancia representada por la letra d. Si θ es el 15

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ángulo que forman los vectores y , de la figura 15(ii) se deduce que dicha distancia es:

El brazo está relacionado con la interpretación geométrica del momento del par, como se verá a continuación. Dicho momento, calculado utilizando por ejemplo el punto P1, es:

El módulo de

Figura 15.- Brazo de un par de vectores y su relación con el momento.

es, por definición de producto vectorial:

donde no se especifica un subíndice de v por tener los dos vectores del par el mismo módulo. En consecuencia: (10) Así pues, el módulo del momento de un par de vectores es igual al módulo de los mismos por su brazo. Por lo que respecta a la dirección del momento, la misma ha de ser, por definición de producto vectorial, perpendicular a los vectores multiplicados, y . Como puede observarse en la figura 16, esto significa que el momento es perpendicular al plano que definen los vectores del par. Por último, vamos a proporcionar un método para deducir el sentido del momento. Supongamos que existe una barra con sus extremos situados en los puntos de aplicación de los vectores, tal y como se muestra en la figura 17, y que dicha barra gira como si los vectores tiraran de ella. Aplicando al sentido de este giro la regla de Maxwell, el correspondiente sentido de avance es también el sentido del momento.

Figura 16.- Dirección del momento.

Figura 17.- Sentido del momento.

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Por ejemplo, puede comprobarse que el sentido así obtenido en la figura 17 coincide con el que debe tener el producto vectorial .

3.10.2. Sistema de vectores concurrentes en un punto Sea un sistema constituido por N vectores deslizantes cuyas líneas de acción concurren en un punto P, tal y como se muestra en la figura 18 (téngase en cuenta que no se exige que sean coplanarios, aunque aparezcan así en la figura, por ser ésta bidimensional). Puesto que P pertenece a todas las líneas de acción, el momento respecto a dicho punto de cualquiera de los vectores del sistema es el vector nulo. En consecuencia:

Figura 18.Sistema de vectores concurrentes en un punto.

Considérese ahora un sistema constituido por un único vector, que es precisamente la resultante del sistema anterior, y cuya línea de acción pasa precisamente por P. Así pues, ambos sistemas tienen la misma resultante, , y el mismo momento respecto a P, . Por tanto, ambos sistemas son equivalentes. Este resultado es conocido como teorema de Varignon, y se enuncia como sigue: Teorema de Varignon: Un sistema de vectores deslizantes concurrentes en un punto es equivalente a su resultante pasando por el mismo punto.

3.10.3. Sistema de vectores paralelos Sea un sistema constituido por N vectores deslizantes paralelos , tal y como se muestra en la figura 19 (téngase en cuenta que no se exige que sean coplanarios, aunque aparezcan así en la figura, por ser ésta bidimensional). Vamos a verificar si existe un sistema equivalente constituido por un único vector. Para que coincidan las resultantes, dicho vector ha de ser precisamente la resultante del sistema original. Así, el problema se reduce a averiguar por qué punto, si lo hay, ha de pasar la línea de acción para que también coincidan los momentos.

Figura 19.- Sistema de vectores paralelos.

Sea un vector unitario paralelo a los vectores del sistema, tal y como se muestra en la figura. Cualquier vector del sistema se puede expresar en la forma , donde es 17

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el "módulo con signo", siendo este signo positivo si y tienen el mismo sentido, y negativo en caso contrario. Esto permite expresar la resultante en la forma:

Este resultado expresa matemáticamente lo que cabía esperar: la resultante tiene la misma dirección que los vectores del sistema, y su módulo se obtiene sumando los mencionados "módulos con signo". Por lo que respecta al momento principal, su valor es:

Considérese ahora un sistema constituido únicamente por el vector , y cuya línea de acción pasa por un cierto punto C. El momento principal de este sistema sería:

Se pretende seleccionar C de modo que ambos momentos principales coincidan, y así los sistemas sean equivalentes. Comparando las dos expresiones, se deduce que se puede obtener una solución haciendo:

de donde resulta:

(11)

Por tanto, un sistema de vectores deslizantes paralelos es equivalente a su resultante pasando por el punto cuyas coordenadas se obtienen a partir de la expresión (11). En realidad, la solución obtenida no es única ( no implica necesariamente que ), pero esto no es de extrañar, ya que la línea de acción pasa por infinitos puntos, y el objetivo planteado era determinar las coordenadas de uno de ellos. Es de destacar que existe un caso en que la equivalencia antes indicada no es posible: cuando la resultante del sistema de vectores paralelos es el vector cero. En efecto: 18

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y por tanto el denominador de la expresión (11) es cero, no existiendo el punto C buscado.

Ejemplo 3.12: Un sistema S1 está constituido por los vectores deslizantes paralelos , y , cuyas líneas de acción pasan respectivamente por los puntos , y . Obténgase un sistema equivalente de un solo vector. Un vector unitario paralelo a los vectores del sistema es:

Utilizando este vector, los "módulos con signo" se obtienen como sigue:

La resultante del sistema original es:

mientras que la aplicación de la expresión (11) da como resultado:

Por tanto, el sistema S1 es equivalente al formado únicamente por el vector con su línea de acción pasando por el punto .

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Un aspecto que conviene puntualizar es lo que hubiera sucedido si se hubiera tomado como vector unitario . En tal caso, sería v1=-2, v2=-3, v3=1, y al sustituir en la expresión (11) todos los términos, tanto del numerador como del denominador, cambiarían de signo. En consecuencia, se obtendría el mismo resultado.

Ejercicio:

Compruébese que el sistema S1 del ejemplo 3.12 y el equivalente allí obtenido tienen el mismo momento principal.

3.10.4. Sistema nulo Se denomina sistema nulo de vectores deslizantes aquél en el que tanto su resultante como todos sus momentos son el vector cero, esto es: (12)

Como consecuencia de esta definición, es evidente que un sistema nulo es equivalente a un sistema de cero vectores deslizantes. En el caso de las fuerzas aplicadas a un sólido rígido, esto significa que si se trata de un sistema nulo, el cuerpo se comporta exactamente de la misma manera que si no actúa fuerza alguna. Aunque estos sistemas constituyen un caso muy particular, y pueda parecer que carecen de interés, lo cierto es que caracterizan el estado de equilibrio, y por tanto son la base de la Estática. Aparentemente, la tarea de comprobar si un sistema es nulo es descomunal, pues deben ser cero los momentos respecto a los infinitos puntos posibles. Sin embargo, es suficiente comprobar que son cero su resultante y su momento respecto a un único punto. En efecto, sea un sistema en el que:

De acuerdo con la expresión (7), el momento del sistema respecto a cualquier otro punto A es:

y por tanto se trata de un sistema nulo.

Ejemplo 3.13: Un sistema está constituido por los vectores deslizantes , y , cuyas líneas de acción pasan respectivamente por los puntos , y . Determínese si el sistema es o no nulo. La resultante del sistema es: 20

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y su momento principal es:

Por tanto, el sistema es nulo. La elección del origen de coordenadas para comprobar si el momento es el vector cero ha sido arbitraria, puesto que podía haberse elegido cualquier otro punto.

Ejercicio:

Compruébese que el momento del sistema del ejemplo 3.13 respecto al punto es el vector cero.

3.11. Reducción de un sistema de vectores deslizantes Se denomina reducción de un sistema de vectores deslizantes al proceso de obtener un sistema equivalente constituido por el menor número de vectores posible. No es el objetivo de este texto indicar cuál es el procedimiento general para llevar a cabo esta reducción, pero sí resulta de interés indicar hasta dónde se puede llegar con ella. Omitiendo la demostración, podemos afirmar que: - Siempre es posible reducir un sistema a otro equivalente constituido por como mucho dos vectores deslizantes. Como ejemplo de la utilidad de este resultado, considérese el caso de los sistemas de fuerzas aplicadas a un sólido rígido. Siempre es posible, incluso si el número de fuerzas es infinito, encontrar un sistema equivalente constituido por a lo sumo dos fuerzas, e incluso en ciertos casos por una o ninguna. Basta con pensar en la simplificación conceptual y de cálculo que esto supone. Para saber si el sistema se puede reducir a cuál es el resultado de multiplicar escalarmente su punto. Como paso previo, vamos a demostrar que elegido. En efecto, utilizando la expresión (7), y vectores coplanarios es cero, se obtiene:

menos de dos vectores, hay que analizar resultante por su momento respecto a un ese resultado es independiente del punto sabiendo que el producto mixto de tres

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A la vista de este resultado, en lo sucesivo haremos referencia a este producto escalar como , sin especificar el punto respecto al que se calcula el momento. A continuación vamos a indicar los posibles casos que se pueden dar, y el número de vectores de los correspondientes sistemas reducidos. Posteriormente se analizará uno a uno cada uno de esos casos. a) Es . En este caso el sistema se puede reducir a otro constituido por dos vectores deslizantes. No es posible una reducción mayor. b) Es con . En este caso el sistema se puede reducir a otro constituido por un único vector deslizante. c) Es con y . En este caso el sistema se puede reducir a otro constituido por dos vectores deslizantes. No es posible una reducción mayor. d) Es con y . En este caso el sistema se puede reducir a otro constituido por cero vectores deslizantes. Caso a) Vamos a comprobar que en efecto un sistema de este tipo no se puede reducir a otro con menos de dos vectores. En primer lugar, si fuera equivalente a un sistema de cero vectores, su resultante y sus momentos serían cero, y por tanto tendría , lo que no es el caso. En segundo lugar, si fuera equivalente a un sistema de un vector, existirían puntos en los que el momento sería cero (los de la línea de acción del vector único equivalente), y por tanto sería , lo que, de nuevo, no es el caso. Es interesante mencionar las siguientes propiedades de este tipo de sistemas: - No hay una reducción única. De hecho, para cualquier sistema de este tipo existe un número infinito de sistemas equivalentes con dos vectores. - Los dos vectores del sistema reducido siempre se cruzan. En efecto, si se cortaran se podrían reducir a un único vector, de acuerdo con el teorema de Varignon, y lo mismo podría hacerse si fueran paralelos. Caso b) Es evidente que no se puede reducir aún más, pues para ello debería ser un sistema nulo, lo que requeriría que la resultante fuera el vector cero. A diferencia de lo que ocurre en el caso a), la reducción es única. En efecto: - El vector del sistema reducido ha de ser necesariamente la resultante del sistema original (en caso contrario no serían equivalentes). 22

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- Tampoco se puede cambiar la línea de acción, ya que cambiarían los momentos (por ejemplo, los de la línea de acción anterior, que eran cero, dejarían de serlo), y no coincidirían con los del sistema original. Ya conocemos dos tipos característicos de sistemas que, salvo que su resultante sea nula, se pueden reducir a un único vector: los de vectores concurrentes en un punto y los de vectores paralelos. Como se demuestra en el ejemplo 3.16, esto también se aplica a los sistemas de vectores coplanarios, esto es, aquéllos en los que todas las líneas de acción están contenidas en un mismo plano. Caso c) En este tipo de sistemas, el momento es el mismo respecto a cualquier punto. En efecto, utilizando la expresión (7) se obtiene:

Puesto que este momento constante es no nulo, es evidente que el sistema no se puede reducir aún más, ni a otro de cero vectores (los momentos deberían ser cero), ni de uno (habría momentos nulos en la línea de acción). Dado que el sistema reducido ha de tener la misma resultante que el original, esto es el vector cero, los dos vectores que lo forman han de ser opuestos. En consecuencia, el sistema reducido ha de ser un par de vectores. En cualquier caso, no hay una reducción única. De hecho, para cualquier sistema de este tipo existe un número infinito de pares de vectores equivalentes. Caso d) Se trata del caso de los sistemas nulos, ya estudiados anteriormente.

Ejemplo 3.14: En el apartado 3.10.2 se demostró que un sistema de vectores concurrentes en un punto es equivalente a un único vector, por lo que debe corresponder al caso b). Demuéstrese que en efecto es . Puesto que todas las líneas de acción pasan por el punto P de concurrencia, el momento principal es:

Utilizando este resultado, y sabiendo que el producto mixto de tres vectores coplanarios es cero, se obtiene: 23

Física


Puesto que en el cálculo de no influye el punto respecto al que se obtiene el momento, existe una demostración incluso más sencilla que utiliza el punto P. En efecto, puesto que, como ya sabemos, el momento del sistema en ese punto es el vector cero, resulta:

Ejemplo 3.15: En el apartado 3.10.3 se demostró que un sistema de vectores paralelos con resultante no nula es equivalente a un único vector, por lo que debe corresponder al caso b). Demuéstrese que en efecto es . Sea un vector unitario paralelo a los vectores del sistema. En el apartado ya mencionado se demostró que la resultante y el momento principal son:

De acuerdo con la definición de producto vectorial, el contrario, y son paralelos. En consecuencia, y y su producto escalar es cero.

es perpendicular a . Por son perpendiculares entre sí,

Ejemplo 3.16: Demuéstrese que un sistema de vectores coplanarios con resultante no nula puede ser reducido a un único vector. Sea π el plano en el que están contenidas todas las líneas de acción del sistema. Esto significa que tanto los vectores como los puntos están en π. Si A es un punto cualquiera del plano, éste también contendrá los vectores . Sea un vector unitario perpendicular a π. De acuerdo con la definición de producto vectorial, el vector es perpendicular al plano que definen y , esto es, a π. En consecuencia, es paralelo a , lo que permite escribir:

donde ki es un escalar. Por tanto, el momento del sistema respecto al punto A es:

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Física


donde para abreviar se denomina k a la suma de los valores ki. Nótese que esto significa que el momento respecto a un punto de π es perpendicular al propio π. De esta forma:

Puesto que los vectores por lo que resulta:

están contenidos en π, han de ser perpendiculares a

,

También se puede llegar a este resultado desde un punto de vista geométrico: la resultante, como suma de vectores contenidos en π, también está en π, mientras que , como ya se ha dicho, es perpendicular; por tanto, su producto escalar ha de ser cero.

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Vectores deslizantes

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