2
Vectores en R y en R
ˆ y B 1. Sea A = 4iˆ + 3 ˆj + 2 k
3
= −3iˆ − 4 ˆj + 5k ˆ . Hallar los ángulos directores de
Rpta: α = 81,95º , β = 98,05º , γ = 11, 11, 47º
a) A + B b) A − B .
Rpta: α = 47, 41º 41º , β = 47, 41º 41º , γ = 106,86º
2. Una persona se desplaza 30m hacia el oeste, luego 100m hacia el sur, después 120m hacia el oeste, a continuación 40m hacia el sur y por último 70m hacia el este. Determinar el módulo del desplazamiento total y su dirección con respecto al sentido positivo del eje X.
Rpta: D = 161 161,, 25 m , α x
3. Si a
= 240,26º
=
3iˆ + ( m − 5 ) ˆj + 4kˆ , b = −6iˆ − mˆj + 3kˆ , hallar los valores de m sabiendo que a y
b son perpendiculares. Rpta: m1
= 2 , m2 = 3
4. La resultante de dos vectores tiene una dirección de 30º y su módulo es 20u. Uno de los vectores tiene una dirección de 0º y su módulo es 25u. Calcular el módulo y dirección del otro vector.
Rpta: v2 = 12,65 u , α x
= 127,77º
5. Se tiene un paralelepípedo recto de aristas 3, 4 y 5m con un vértice en el origen tal como muestra la figura. Se tiene así mismo un punto P que está en la perpendicular levantada del P
centro de la base OABC y a 10 m de ésta. Hallar :
a)Los vectores: PD , PE , PF , PG , PA , PB , PC , PO b) El ángulo θ que forma las diagonales OG y BE c) La proyección de la diagonal OG sobre BE
E
D
d) La proyección de la diagonal BE sobre OG. OG.
e)La proyección de OP sobre OX
G
F
5
O
4
C
3 A
B
DOCENTE: Lic. Fís. Aníbal Ascate Pérez
Rpta:
PE = ( −1,5; ,5; −2; −5 ) , PG = (1,5;2; ,5;2; −5 ) , ,5; −2; −5 ) , PF = (1,5;
PD = ( −1,5;2; ,5;2; −5 ) ,
a)
PA = (1,5; ,5; −2; −10 ) ,5; −2; −10 ) , PB = (1,5;2; −10) , PC = ( −1,5;2; −10) , PO = ( −1,5;
b) θ = 90º c) 0 d) 0 e) 1, 5iˆ
6. Hallar el área del paralelogramo cuyas diagonales son los vectores d
= 3iˆ − ˆj + kˆ ,
d ' = 7iˆ − 3 ˆj + 5kˆ ¨ Rpta: 3 2 u 2 7. Hallar el (los) vector(es) unitario(s) paralelo(s) al plano YZ y perpendicular al vector a = iˆ + 4 ˆj − 3kˆ
3 4 Rpta: uˆ = ± 0, , 5 5
8. Los vectores a = −2iˆ + 11 ˆj − 3kˆ y b = −4iˆ + 8 ˆj + 3kˆ tienen como origen común al punto
M(6;-5;1). Hallar la distancia del punto N(9;-7;5) al plano determinado por los vectores a y
b Rpta: 3,75 u
ˆ 5iˆ − 3 ˆj − 2 k
9. Una partícula partiendo del punto P, experimenta el desplazamiento
ubicándose en el punto(2 ; 1; 6). ¿Cuál es el vector posición de su punto de partida?
Rpta: r p
= ( −3,4,8)
10. Dados los vectores: a = ( 2;0;2 ) , b = ( 0;0;2 ) y c = ( 2;2;0 ) . Hallar
( )
A) a − b c
(
)
E) a b c
( ) × c
(
B) a + b
(
F) a × b
C) a × b
) × (b × c )
(
)
×c
)
(
)
D) a × b c
G) a × b b c
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Rpta:
( −8,8,4)
A) 4 B)
E) ( 8,8,0 ) F) ( 0,0, −16 ) G) 0
C) ( 0,0,8) D) −8
11. Se tienen los vectores unitarios uˆ1 , uˆ2 , uˆ3 situados respectivamente en los planos XY, YZ, ZX. El primero en una dirección de 30º con el eje Y, el segundo en una dirección de 45º con el eje Z y el tercero en una dirección θ con el eje X. Si ( uˆ1 uˆ3 )( uˆ2 uˆ3 )
Rpta: θ 1
= 30º , θ 2
=
=
6 16
. Hallar θ
60º
12. Calcular la resultante de las 4 fuerzas tangenciales a la circunferencia que se muestran en la figura, si F
= 10 3N F
Rpta: R = 43,36 N F
F
60º
F
13. Sean los puntos M(2;-3;5) , N(5;2;6). Hallar el vector de posición del punto P que está entre M y N en la recta que une estos puntos a 5m de M.
Rpta: r p = 2 +
3 35 ˆ 5 35 ˆ 35 ˆ i + −3 + j + 5 + k 7 7 7
14. Los vectores A = ( 2;3;4 ) , B = ( 5;0;2) y C son las aristas de un paralelepípedo de 100u
de volumen . Si el vector A × B forma un ángulo de 60º con el vector
3
C . Calcular el
módulo de C .
Rpta: C
15. Si u1
= 8,8 u
= miˆ − mjˆ + nkˆ
, u2
= niˆ + mjˆ + mkˆ
y u3
= miˆ + njˆ − mkˆ
son vectores unitarios
mutuamente perpendiculares, hallar el valor de m y n
Rpta:
m = −
2 3
, n = −
1 3
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ˆ . De dos maneras ˆ , B = 2tiˆ + ( 3t − 2 ) ˆj + 4tk 16. Dados los vectores A = 5t + 1 iˆ − 3tjˆ + 2tk
(
2
)
diferentes encontrar:
d A B dt
(
a)
)
b)
d A × B dt
(
)
2 2 2 30t − 2t + 8 b) ( −36t + 4 ) iˆ + −60t + 8t − 4 ˆj + 45 t −8 t + 3 kˆ
(
Rpta: a)
)
(
)
17. Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos D(3;2;-2) E(2;5;1), F(2 ; 3; 4)
Rpta: 7, 7 u
2
18. Hallar el vector V sabiendo que V = 10u y la relación de sus cosenos directores son:
cos α
2
=
cos β
2
,
cos α cos γ
= 1 ,
cos β cos γ
= 2
Rpta: V = 5iˆ + 5 2 ˆj + 5 kˆ
ˆ , B 19. Si A = 3iˆ + 2 ˆj + k
= 2iˆ − 4 ˆj + k ˆ , C = −5iˆ + mjˆ − 3kˆ . Hallar el valor de m sabiendo que A
, B y C son coplanares.
Rpta: m = 18 20. Si E ( x, y, z ) = 2 x y − 5 y z , hallar el gradiente de E en el punto P(2; 2;1) 2
2 3
Rpta: (16, −12, −60 )
= 2 x 2 ziˆ − 3 y 2 z 2 ˆj + xyz 2 kˆ , hallar:
21. Si F
a)
∇ F
b)
∇ × F
(1;1;2)
(divergencia de F en el punto (1;1;2))
(1;1;2)
Rpta: a) -12
(rotor o rotacional de F en el punto (1;1;2) )
b) (16,-2,0)
22. La figura muestra un exágono regular de lado L. Calcular la resultante de los vectores que allí se indica, además de la dirección de la resultante con respecto a la línea punteada.
Rpta: R =
3L , α = 30º
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L
23. En la figura se muestran seis vectores cuyos módulos se indican. Cada vector forma 60º con el vector adyacente. Calcular el módulo de la resultante y su dirección respecto al vector de 7u.
Rpta: R = 8 u , α = 0º 7u
6u
5u
u 3u
ˆ , B 24. Dados los vectores A = 4iˆ + 3 ˆj − k
2u
= −2iˆ + 6 ˆj + 3k ˆ . Hallar :
a) El área del paralelogramo de lados A y B
b) El ángulo entre A y B
c)El vector C de 7 unidades, perpendicular a A y B
d)Los cosenos directores de A + B
Rpta: a) 35u
2
b) 78,69º c) C = 3iˆ − 2 ˆj + 6 kˆ d) cos α =
2 89
, cos β =
9 89
, cos γ =
2 89
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ˆ , B = iˆ + 3 ˆj − 3k ˆ , C = 3iˆ + mjˆ + 5kˆ . Hallar el valor de “m” sabiendo que A , 25.Si A = miˆ − ˆj + k
B y C son coplanares.
= −5 , m2 = −
Rpta: m1
1 3
ˆ 26. Hallar un vector unitario paralelo al plano XY y que sea perpendicular al vector A = 2iˆ + ˆj − k
5 2 5 5 , − 5 , 0
Rpta: uˆ = ±
ˆ . Hallar la distancia del punto 27. Desde el origen de coordenadas se traza el vector A = 3iˆ + 2 ˆj + k P(-2;1;2) al vector.
Rpta: 2,95 u
ˆ , B 28.Dados los vectores A = 3iˆ + 15 ˆj − 4 k
= −8iˆ + 7 ˆj − 5k ˆ . Hallar la proyección de A sobre B
ˆ Rpta: −5, 9iˆ + 5, 2 ˆj − 3, 7k ˆ partiendo del punto A(3;5;7). Hallar 29. Una partícula efectúa un desplazamiento de 6iˆ − 4 ˆj + 3k las coordenadas de su nueva posición.
Rpta: B ( 9,1,10 )
ˆ, 30.Hallar el área del triángulo formado por los vectores A = 2iˆ + ˆj + 2 k
ˆ, B = 2iˆ + 2 ˆj − k
ˆ C = − ˆj + 3k 65
Rpta:
2
31. Si P
u
2
= aiˆ + bjˆ − 3kˆ , Q = ( a + b ) iˆ + bjˆ − ckˆ , R = 5iˆ − ( a + b − c ) ˆj + k ˆ . Calcular el valor de a,
b y c sabiendo que 2 R
Rpta: a =
25 3
, b = −
20 3
= P +Q.
, c = −5
32. En la figura se muestra un paralelepípedo recto de aristas 4m , 6m y 12m ubicado a 10m del
origen de sus ejes. Hallar la expresión vectorial para V 1 y V 2 sabiendo que los módulos de estos vectores son respectivamente 10,5 m y 9 m.
Rpta: V1
= −3iˆ + 9 ˆj + 4,5kˆ , V 2 = 5iˆ + 7,5k ˆ
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Z
4
V 2
V 1
6
10
Y
12
X
2 2 2 ˆ 33.Hallar el rotor o rotacional de A = 2 x y iˆ − 3xzjˆ + yz k
3 2 ˆ Rpta: ∇ × A = z + 3 x iˆ + −3 z − 4 x y k
(
) (
)
34.Hallar la ecuación del plano determinado por los puntos P1 ( 3;1;1) , P2 (1;2;3) , P3 ( 2;2;5 )
Rpta: P: 2 x + 6 y − z = 11
35. Dados los vectores a y b que se ubican en el primer cuadrante, cuyos módulos son 12 y 10 unidades respectivamente y cuyas direcciones respecto al eje X son 12º y 72º respectivamente. Hallar :
a) R
= a+b
b) Dirección de R respecto al vector a
c) Dirección de R respecto al eje X
d) D
=
a −b
e)Dirección de D al vector a
f) Dirección de D al eje X
Rpta: a) 19,1 u b) 26,96º
c) 38,96º d) 11,13 u e) 51º f)
−39º
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36. Las dimensiones del paralelepípedo son 3, 4 y 5 unidades. Encontrar:
a) La expresión del vector T de módulo 10 unidades que está en la diagonal BE con origen en B
b) La expresión del vector V de módulo 5 unidades que está en la diagonal CA con origen en C.
c) Los ángulos directores de T y V
Z
E
3
T
5 4
C
Y
V A
B
X
Rpta:
a) T = −4 2iˆ − 5 2 ˆj + 3 2 kˆ
b) V = 3,12iˆ − 3,90 ˆj c) α T
α V
= 124,4º ,
=
β T = 135º , γ T = 64,9º
51,34º , β V = 141,34º , γ V = 90º
ˆ y C = iˆ + ˆj − 3kˆ . Hallar ˆ , B = 8iˆ − 2 ˆj + k 37. Los lados del paralelepípedo son A = 5iˆ + 4 ˆj − 3k su volumen.
Rpta: 95 u
3
38. Calcule el ángulo agudo que forman dos diagonales de un cubo.
Rpta: 70º32'
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ˆ y B 39. Suponga que A = 2iˆ + ˆj − 3k
= iˆ − 2 ˆj + k ˆ . Encuentre un vector de magnitud 5 que sea
perpendicular tanto a A como a B
Rpta: V = ±
5 3 ˆ ˆ ˆ i + j +k 3
(
)
(
)
40. Demuestre que el valor absoluto del producto triple A B × C es el volumen de un
paralelepípedo con lados A , B y C .
41. Dos vectores forman un ángulo de 110 º. Uno de ellos tiene 20 unidades de longitud y hace un ángulo de 40º con el vector suma de ambos. Encontrar la magnitud del segundo vector y la del vector suma.
Rpta: v2 = 13,7 u , R = 20 u 42. El vector resultante de dos vectores tiene 10 unidades de longitud y hace un ángulo de 35º con uno de los vectores componentes, el cual tiene 12 unidades de longitud. Encontrar la magnitud del otro vector y el ángulo entre ellos.
Rpta: v2 = 6,89 u , α = 123,55º 43. El vector resultante de dos vectores tienen 30 unidades de longitud y hacen ángulos de 25 º y 50º. Hallar la magnitud de los dos vectores
Rpta: v1 = 23,8 u , v2 = 13,2 u
(
44. Dados los vectores: A = iˆ + 2 ˆj , B = 3iˆ + 4 ˆj , C = 2iˆ + 3 ˆj .Calcular : C ⋅ A × B
)
Rpta: 0
45.Si A = miˆ − 2 ˆj + k ˆ , B = 2miˆ + mjˆ − 4k ˆ .¿Para qué valores de “m” los vectores A y B son perpendiculares?
Rpta: m1
= 2 , m2 = −1
46. Encontrar la proyección del vector (2;3;-1) sobre un eje en la dirección de (-1;-2;2)
10 20 20 , ,− 9 9 9
Rpta:
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47.Sean los vectores A , B , C de longitudes 2 , 3 y 4 respectivamente y tal que A + B + C = 0 .Hallar
A ⋅ B
Rpta:
3 2
48.Sean A = ( 2;2;2 ) , B = ( 0;3;1) , C = (1;1;3 ) ,los vectores de posición de los puntos A, B, y C respectivamente. En qué vértice se encontrará el ángulo recto del triángulo ABC?
Rpta: Vértice A
49.Se tiene el vector A = 5iˆ + 7 ˆj y el vector B = −5iˆ − 7 ˆj − 3k ˆ ¿Cuál es el ángulo que forma el vector
( A + B ) con el eje
+Z?
Rpta: θ = 180º 50. Dado un vector unitario uˆ´1 =
1 2
(1; −1;0 ) , se construyeron otros dos vectores unitarios
uˆ3 ,de manera que los tres, son perpendiculares entre sí. Hallar x, si x = ( uˆ1 × uˆ2 uˆ3 )
uˆ2 y
2
Rpta: x = 1 51. Hallar el vector unitario normal a la superficie inclinada ABC de la figura
Rpta: uˆn
=±
1 99,4
(
80iˆ + 46 ˆj + 36,8kˆ
)
Z
C
10
8 O
B
Y
150º
A
X
52. Dado el punto P(1;2;1) en metros, externo al plano determinado por los puntos A(1;1;0), B(3;3;1) y C(0;1;2) en metros. Uniendo P con A, calcular el ángulo que forma el segmento AP con el plano.
Rpta: 45º
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53. Calcular la distancia desde el punto P de coordenadas (4 ; 5;-6)en cm a la recta que pasando por
ˆ el punto Q de coordenadas (-3;5;7) es paralela al vector A = 4iˆ − ˆj + 3k Rpta: 14,6 cm
54. Hallar el vector x que sea perpendicular a los vectores a = ( 2;3; −1) y b
= (1;2; −3) y satisfaga
la condición: x ⋅ ( 2; −1;1) = −6
Rpta: x1
= ( −3,3,3) ;
55. Dados a
Rpta: 16 u
x2 =
1 3
( −7,5,1)
= 10 u , b = 2 u , a ⋅ b = 12 u 2 . Hallar: a × b
2
56.Exprese el vector x en función de A y B . Considere G , baricentro del triángulo PMN
Rpta: x
=
A + B 6
57.Se tiene dos vectores A y B tal como se muestra en la figura, si A
=
20 u ¿Qué valor tiene la
resultante de estos vectores, si se sabe que es mínima?
Rpta: Rmín
= 16 u
58. En el sistema de vectores mostrados, su resultante es nula para cualquier instante; el vector A es constante mientras que los otros pueden variar su módulo, pero no su dirección. El módulo
del vector D depende del tiempo según D
= ( 5t + 75) u ; donde se expresa t en segundos. Si
para el instante t=0 el módulo del vector C es cero ¿Para qué instante el módulo del vector
B es cero? Rpta: t = 15 s
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59. La figura representa una placa sobre la cual actúan cuatro fuerzas coplanares. Determine el módulo de la resultante de estas cuatro fuerzas.
Rpta: R = 30 17 N
60. En la figura, los vectores dados están relacionados entre sí por C
= mA + nB , donde m y n
son números reales. Determine m y n
Rpta: m = −
8 11
, n = −
2 11
61. A partir del gráfico, determine el vector unitario del vector A
Rpta: uˆ A = −
1
5iˆ + 3 ˆj ) ( 34
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62. Una mosca luego de pasar por el origen de coordenadas sigue el trayecto mostrado para detenerse en P. Si OM = 15 , MN = 8 3 y NP = 4 3 , determine su desplazamiento de O hacia P.
Rpta: d = ( 21,12 )
63.Halle el módulo de la fuerza resultante; si F1
=
30 N ; F2
= 18 N ,
en el sistema de vectores
mostrados
Rpta: F R
= 21( k + 1)
64.La figura OABC es un cuadrado, donde M, N y P son puntos medios de AB, BC y OC,
respectivamente. Si se verifica BT
Rpta:
β α
+ OS = α OA + β PC , determine
β α
= −1
65. Se muestran tres vectores A , B y C que verifican A
= B =
C 2
.Si la resultante de los tres
vectores toma su menor valor, determine el valor del ángulo α y el valor de la resultante
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Rpta: Rmín
= 25 , α = 14º
66. Find the scalar product A ⋅ B of the two vectors in fig. The magnitudes of the vectors are A=4 u and B= 5 u (SEARS - ZEMANSKY)
Answer: 4,50
67. Find the angle between the two vectors
ˆ and B = −4iˆ + 2 ˆj − k ˆ A = 2iˆ + 3 ˆj + k
(SEARS - ZEMANSKY) Answer: 100º
68. Vector A has magnitude 6 units and is in the direction of the +X axis. Vector B has magnitude 4 units and lies in the XY plane, making and angle of 30 º with the +X axis. Find the vector product
A × B .(SEARS - ZEMANSKY)
ˆ Answer: 12k 69. Use vector components to find the magnitude and direction of the vector needed to balance the two vectors shown in figure. Let the 625 N vector be along the –Y axis and let the +X axis be perpendicular to it toward the right (SEARS - ZEMANSKY)
Answer: Magnitude: 781 N , Direction: 166,1º counterclockwise from the +X axis
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70.For the two vectors in Fig. (a)Find the magnitude and direction of the vector product A × B
(b)Find the magnitude and direction of B × A (SEARS - ZEMANSKY)
Answer: 2 ˆ a) −4,61 cm k 2 ˆ b) 4,61 cm k
71. Sabiendo que A + 2B = 5 u
y
3 A + 5B = 6 u .Calcular 5 A + B
Rpta: 8 u
72. La figura muestra tres vectores de módulos iguales .Hallar el valor del ángulo θ tal que la resultante sea mínima.
Rpta: θ = 22,5º
73. Encontrar una expresión para el vector x en función de los vectores A y B .La figura es un paralelogramo
Rpta: x =
1
( A + 2B ) 4
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74. El vector AC se ha descompuesto en 2 vectores paralelos a AM y AN ,siendo M y N puntos
medios . ¿Cuál es la magnitud del vector paralelo a AM ?
Rpta: 20/3
75. Determinar la expresión vectorial para el vector V ,si V = 75 u
Rpta: V = 36iˆ − 27 ˆj + 60 kˆ
76. Hallar el módulo del vector resultante del conjunto de vectores mostrados
Rpta: R =20
77. Determinar una expresión vectorial para Q , sabiendo que Q = 30 N
(
)
Rpta: Q = 20iˆ − 20 ˆj + 10kˆ N
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78. Hallar F , si F = T + P , sabiendo que T = 50 N , P = 52 N
(
)
Rpta: F = −24iˆ + 18 ˆj + 48kˆ N
79. Hallar el módulo y los cosenos directores del vector a que va desde (1;-1;3) al punto medio del segmento comprendido entre el origen y el punto (6;-6;4). Rpta: a = 3 , cos α = 2 / 3 , cos β = −2 / 3 , cos γ = −1 / 3
ˆ , B = 2iˆ − 2 ˆj , y C = 10 2 80. Hallar el vector resultante si A = 6iˆ + 10 ˆj + 16 k
ˆ Rpta: R = 18iˆ + 30 ˆj + 25k
81.Si a=b=c =60 , determinar la resultante del conjunto de vectores mostrados
DOCENTE: Lic. Fís. Aníbal Ascate Pérez
82. Hallar la expresión vectorial de la fuerza resultante de F y T , si F = 25 N y T = 50 N
Rpta:
(
)
R = 5iˆ − 40 ˆj + 20kˆ N
(
)
83. Determinar el coseno del ángulo que forman los vectores PM y PT + PU .Sabiendo que ST = SU y mTSU = 74º
Rpta:
cosθ = 0, 984
84. Un vector P tiene una dirección perpendicular al triángulo ABC, y posee un módulo de 8 61
.Determinar una expresión vectorial cartesiana para P
Rpta:
P = 32iˆ + 48 ˆj + 24 kˆ
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85.Calcular la mínima distancia existente entre el punto P(2;3;-1) y el plano que contiene a los puntos A , B y C ,siendo sus coordenadas (-4;3;-2) , (1;1;0) y (2;-3;1) respectivamente
Rpta: d mín = 0,937
86. Un clavo empotrado en el techo es jalado por las fuerzas F 1 de módulo 120 N y F 2 según se
muestra el gráfico. Determine el módulo de F 2 , de tal manera que dicho clavo salga verticalmente.
Asimismo, determine el módulo de la fuerza resultante debido a F 1 y F 2
Rpta: F2 = 75 N ; F R = 148,9 N
ˆ , sabiendo que su proyección 87. Exprese el vector A en función de los vectores unitarios iˆ , jˆ , k
2 2
5
sobre el eje X es de 20 u . cos α =
;cos β =
2
2
(
)
Rpta: A = 20iˆ + 25 ˆj + 15kˆ u
88. Se muestra un conjunto de vectores dispuestos sobre un cubo cuya arista mide a .Determine el
módulo de K , sabiendo que K = A + B − C
Rpta: K =
a 6 2
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89. En el gráfico se muestran dos vectores que representan aceleraciones y una tangente a una curva . Si la pendiente de la recta tangente es 0,75 . Determine el módulo de la aceleración resultante en la dirección tangente y normal a la curva para cada caso
Rpta:
90. Determine y grafique el vector unitario de la resultante de los vectores que se muestran. Considere a= 6 u y b = 16 u
Rpta:
91. Si P y Q son puntos medios de los segmentos AB y BC respectivamente, determine PQ
Rpta:
PQ = ( −2;2 )
92. Un buque navega mar adentro con rumbo al sur; después de desplazarse 23 km cambia de rumbo E 16º N avanzando 25 km . ¿Cuál es el módulo del desplazamiento efectivo del buque?
Rpta: 8 5 km
DOCENTE: Lic. Fís. Aníbal Ascate Pérez
93. Determine x en función de A y B , sabiendo que PM = 5MQ y G es el baricentro del triángulo PQR
Rpta:
x =
3 B − A 6
94. Se muestra el triángulo ABC ,siendo el punto G su baricentro .Demostrar que la resultante del conjunto de vectores es nula.
95. Se muestra un sistema de vectores dispuestos sobre un hexágono regular de lado 5 u ¿Qué módulo tiene la resultante del sistema de vectores mostrado?
Rpta: 30 u
96. Se muestra tres vectores concurrentes A , B y C cuyos módulos son 75 u , 15 5 u y 10 2 u respectivamente .Determine el módulo de la resultante de los tres vectores, si se sabe que es
mínima. α =
Rpta: Rmín
=
53º
2
65 2 u
DOCENTE: Lic. Fís. Aníbal Ascate Pérez
97. Si la resultante del sistema de vectores mostrados es 2
(
)( )
3 + 1 − ˆj u , determine el módulo del
3 −1 5 P
vector D , si verifica D = C +
Rpta: 2 5 u
98. En la figura se muestra tres vectores
P , Q y S , donde P
=
3u y Q = 2 10u .Determine el
valor de m si se verifica mP + 3Q = nS .Considere tan θ = 1 / 3
Rpta: m=16/3
99. Se muestra un vector A constante ¿Cuál es el menor valor de un vector
B que hay que
sumarle al vector A tal que la resultante esté sobre el eje X?
Rpta: 2 cm
100. En la figura se muestra dos vectores dispuestos sobre un cubo .Determine en qué relación se
encuentran los módulos de los vectores A + B y A − B
Rpta: 3
DOCENTE: Lic. Fís. Aníbal Ascate Pérez
101.En la figura mostrada, determinar el vector unitario que representa el vector de la superficie rectangular inclinada
Rpta: uˆ =
ˆ jˆ + 2k 5
102. El gráfico muestra tres vectores coplanares. Si los vectores a y b son unitarios, determine el módulo de la mayor resultante horizontal que se puede obtener.
Rpta: tg
θ
2
103. Exprese el vector A en términos de los vectores unitarios uˆ1 y uˆ2 .Si A =
10 5
A
Rpta: A = 5 2 ( uˆ¨1 − uˆ2 )
uˆ1 37º
uˆ2
DOCENTE: Lic. Fís. Aníbal Ascate Pérez
104. La armella roscada de la figura está sometida a dos fuerzas F 1 y F 2 .Determine la magnitud y dirección de la fuerza resultante. Rpta: F R
= 213 N , φ = 54,8º
105. Determine la magnitud de la fuerza componente F y la magnitud de la fuerza resultante F R si
F R está dirigida a lo largo del eje Y positivo. Rpta: F
= 245 lb , F R = 273 lb
106. Se requiere que la fuerza resultante que actúa sobre la armella roscada de la figura esté
dirigida a lo largo del eje positivo X y que F 2 tenga una magnitud mínima. Determine esta magnitud, el ángulo θ y la magnitud de la fuerza resultante correspondiente. Rpta : θ = 90º , F R
= 400 N , F2
=
693 N
DOCENTE: Lic. Fís. Aníbal Ascate Pérez
107. Determine las componentes x y y y de F 1 y F 2 que actúan sobre la barra mostrada en la figura. Exprese cada fuerza como un vector cartesiano.
Rpta : F1
= ( −100iˆ + 173 ˆj ) N , F 2 = ( 240iˆ − 100 ˆj ) N
108. La armella que se muestra en la figura está sometida a las dos fuerzas F 1 y F 2 . Determine la fuerza resultante y su magnitud, además de la dirección.
Rpta: F R
= ( 236,8iˆ + 582 ˆj ) N
F R = 629 N , θ = 67,9º
109. El extremo O mostrada en la figura está sometido a tres fuerzas coplanares concurrentes. Determine la magnitud y dirección de la fuerza resultante. Rpta: F R
= 485 N ; θ = 142,2º
DOCENTE: Lic. Fís. Aníbal Ascate Pérez
110. Exprese la fuerza mostrada como un vector cartesiano
(
)
Rpta: F = 100, 0iˆ + 100, 0 ˆj + 141, 4kˆ N
DOCENTE: Lic. Fís. Aníbal Ascate Pérez
