vectores introduccion

CAPITULO 2 MATEMÁTICAS PARA LA FÍSICA

2.1

Vectores. Vectores.

2.1.1

Introducción.

2.1.2

Vector.

Lo definiremos como elementos que

Cuando queremos referirnos al tiempo que demanda un suceso determinado, nos

poseen tres atributos: magnitud, dirección

y sentido

basta con una magnitud (se demoró 3

Los vectores son elementos abstractos,

segundos, saltó durante 1 minuto, volverá

pero pueden representarse en el espacio a

el próximo año, etc.). Existen muchas

través de segmentos dirigidos (flechas)

magnitudes físicas que pueden describirse

cuya longitud es proporcional a la del

perfectamente de esta manera simple, y

vector representado.

que reciben el nombre de escalares. A

Son escalares el tiempo, la masa, la densidad, el volumen, la temperatura y origen

otras magnitudes que luego definiremos apropiadamente.

Fig 2. 1

extremo

Representación gráfica de un vector

También existen magnitudes como el desplazamiento, la fuerza, la aceleración y otras, que para quedar perfectamente descritas necesitan dirección, además de la magnitud (¡camine 5 metros !,!, es una solicitud muy ambigua que puede conducir a una posición final distinta para cada persona que la reciba; en cambio, ¡ camine 5 metros por Alameda hacia el Este !

2.1.3

Vectores equipolentes.

Dos vectores son equipolentes si son iguales

sus

magnitudes

se

denominan

vectoriales, y operan según el Álgebra Vectorial que recordaremos brevemente a continuación.

17/04/2006 Jorge Lay Gajardo. [email protected]

magnitudes

direcciones y sentidos. Esta definición, que implica que un vector puede estar en cualquier punto del espacio sin alterar sus características, define a los vectores libres.

producirá exactamente el efecto requerido). Estas

respectivas

C B

A D 

Fig 2. 2

Vectores equipolentes: equipolentes:







A=B=C=D

64

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2.1.4

Vectores opuestos.

En

el

caso

de

procedimiento Dos vectores son opuestos cuando sus

dos

vectores

produce

un

este

triángulo

formado por los vectores y la resultante.

magnitudes y sus direcciones son iguales y sus sentidos son opuestos.

Otra forma gráfica de sumar dos vectores consiste en unir los orígenes y trazar líneas auxiliares paralelas a los vectores, que

A

pasen por el extremo del otro. B 

Fig 2. 3

Vectores opuestos:

La resultante es el vector que une los



A=- B

orígenes comunes con la intersección de

2.1.5

las

Ponderación de Vectores.

paralelas

auxiliares

(método

del

paralelogramo).

El producto entre un escalar m y un vector 

A se conoce como ponderación del vector.

R

A

A

B B

Fig 2. 6 

Fig 2. 4

A

Ponderación de vectores:

Resultante: Método del Paralelogramo



B=2A Note que el orden de la suma no afecta el resultado, mostrando que es conmutativa: 







Suma gráfica de vectores.

A + B =B +A

Gráficamente la suma o RESULTANTE de

Si sumamos los vectores A, B y C de la

vectores se obtiene uniendo sucesivamente

figura anterior a través del método del

los extremos y orígenes de ellos, como se

paralelogramo, veremos claramente que:

2.1.6



muestra en la figura.





El vector vector suma suma o

( A + B ) + C = A + ( B + C) 

resultante se obtiene uniendo el primer











origen con el último extremo. Mostrando que la suma es asociativa (se B

recomienda comprobarlo gráficamente). C

A

Por otra parte, es innecesaria la definición R





de resta, pues claramente A-B es la suma 












A- B = A + ( -B ) 









1 A Aˆ = A = A A 

-B

R`

A

A= AA

A



Fig 2. 9 Fig 2. 7

Vector Unitario en la dirección de

A

Resta de vectores = suma del opuesto

Si consideramos el paralelogramo que 



resulta de los vectores A y B y las

2.1.8

Vector nulo.

paralelas auxiliares, observamos que la suma y la resta de ambos vectores constituyen gráficamente las diagonales

Vector

cuya

magnitud

es

cero.

Gráficamente es representado por un punto.

mayor y menor respectivamente. A+ B

2.1.9 A

La proyección ortogonal de un vector sobre una recta es una cantidad que se denomina

A- B

componente (es un escalar).

B Fig 2. 8

Componente de un vector.

Esta se determina como la magnitud del

Suma y resta gráfica de vectores.

segmento de la recta comprendido entre

2.1.7

dos rectas perpendiculares a ella, y que

Vector unitario.

pasan por el origen y el extremo del vector

Se define como un vector cuya magnitud es

respectivamente.

la unidad y cuya dirección y sentido son las A

del vector sobre el que está definido. 

Si consideramos un vector A

cuya

L



magnitud es A, existe un vector unitario A 

en la dirección de A , tal que: A = AAˆ

AL 



Fig 2. 10

Componente de

A sobre la recta L










2.1.10 Vectores en el plano coordenado cartesiano.

2.1.11 Vectores unitarios en el plano Resulta útil definir vectores unitarios cuyas

Un vector puede definirse en el plano

direcciones y sentidos sean las de los

cartesiano, conformado por dos líneas

semiejes positivos del plano cartesiano

perpendiculares denominadas ejes.

(versores), direcciones que ocuparemos como referencia en el futuro.

Al eje horizontal se le denomina ABSCISA y se identificará con una letra mayúscula

Al vector unitario en dirección de +X se le

(usualmente X, aunque en física será una

define como î , mientras mientras que al vector vector

letra que represente una magnitud física),

unitario en dirección de +Y se le define

mientras

como jˆ .

que

al

eje

vertical

se

le

denominará ORDENADA (identificado por la letra Y, o una magnitud física). Y

2.1.12 Vectores en el espacio coordenado cartesiano.

Y1

En el espacio un vector tiene tres

Y0

X

Fig 2. 11

Vector en cartesiano

componentes, pues a las anteriores debe

X1

X0 el

agregarse aquella que proyectará en el plano

coordenado

tercer eje, denominado eje Z. El espacio coordenado cartesiano está

El dibujo anterior muestra el primer

conformado

por

tres

rectas

cuadrante de este plano (que contiene los

perpendiculares entre sí (trirectangulares),

semiejes positivos de X e Y), dividido en

como se muestra en la figura siguiente. Allí

cuatro partes.

se muestra el primer octante (las tres rectas dividen el espacio en 8 partes

Note que (X1 –X0) es la componente del

iguales), octante denominado positivo,

vector sobre el eje X; y que (Y 1 –y0) es la

pues contiene los tres semiejes positivos.

componente del vector sobre el eje Y. Z

El origen del vector puede indicarse con

AZ

propiedad a través de su ubicación en el

A

plano, pues se encuentra en el punto AX

(X0,Y0), mientras el extremo se encuentra en el punto (X 1, Y1).

X

A Y










Como se ve en esta figura, un vector que no se encuentra ubicado en alguno de los

2.1.13 Componentes cartesianas de un vector.

planos cartesianos (XY, XZ o YZ), proyecta tres componentes, cuyas magnitudes son:

Ahora

estamos

encontrar AX=(X1 – X0),

en

relaciones

condiciones analíticas

de para

trabajar con los vectores, prescindiendo de las representaciones gráficas, que si bien

AY = (Y1 – Y0)

es cierto prestan mucha ayuda didáctica, nos confundirán cuando trabajemos con

AZ = (Z1 – Z0)

magnitudes físicas, pues se tiende a

Note que aquí el plano XY se encuentra en

relacionar la longitud del dibujo de un

el piso.

vector con su magnitud.

Finalmente, se puede definir un vector

Consideremos un vector libre en el plano

unitario en dirección y sentido del semieje

XY,

positivo de Z, que se define usualmente

origen

como kˆ .

coordenadas para simplificar el análisis;

representado con su origen en el del

sistema

cartesiano

de

representemos gráficamente además, sus Este versor, junto a los versores î, ˆj del

componentes cartesianas y sus versores:

plano XY forma un trío de versores

Y

trirectangulares.

A

Z AY

j

k

X

i i

j

AX

Fig 2. 14

X

Fig 2. 13

Y

Vector en el plano; componentes y versores

Versores trirectangulares

En virtud de lo previamente definido, se puede suponer la existencia de dos vectores ficticios (que llamaremos vectores componentes), tales que sumados tengan 

al vector A como resulta resultante. nte.










El vector componente situado en la abscisa

2.1.14

Suma de Vectores en función de sus componentes.

tiene magnitud equivalente a A X y dirección î , mientras el vector componente componente situado





en la ordenada tiene magnitud equivalente

Supongamos la los vectores A y B en el

a Ay y dirección jˆ .

plano XY como en la figura siguiente. Como son vectores libres, los hemos

Y

dibujado de manera tal que el extremo de 



A coincida con el origen de B , con lo que

A

la suma de ambos se puede obtener

AY



gráficamente uniendo el origen de A con

X



el extremo de B , como ya sabemos. A esta

AX



Fig 2. 15

resultante le denominaremos R .

Vectores componentes

Y

A = A X + AY 

Aquí resulta claro que:





Y si recordamos nuestra definición de versor tenemos que:

BY

B

RY

A

AY

R

X



î= A X AX

por lo que

A X =A x î 

AX

BX RX



ˆ AY j= AY

por lo que

Entonces el vector

A Y =A Y ˆj 

Fig 2. 16

Suma de componentes

vectores

y

sus



A puede escribi escribirse rse 

Entonces las componentes de R son son la la

como:

suma aritmética de las componentes de los A = A X î + A Y ˆj 





vectores A y B .

( A = A X î + A Y ˆj + A Z kˆ ; En el espacio)

R X = A X + BX

Esta nos será muy útil para encontrar una

RY = A Y + BY



forma más analítica de sumar vectores, como se verá a continuación.

Por lo que:











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Si el vector estuviese en el espacio, por

Pues la resta no es más que la suma del

extensión, se encuentra que:

opuesto.

R = ( A X + B X )î + ( A Y + BY )j )ˆj + ( A Z + BZ )kˆ 

c)

2A = 6î + 8ˆj + 4kˆ 

Esta expresión es válida para la suma de varios vectores, pues en ese caso a cada dimensión se le agregarán los términos correspondientes a las componentes de los nuevos vectores.

2.1.15 Notación polar. En

muchas

ocasiones

nos

veremos

enfrentados a la necesidad de calcular o

Del mismo modo, la expresión permite

referirnos a los vectores en función de su

restar vectores, pues como hemos visto, la

magnitud y dirección directamente. Para

resta corresponde a la suma del opuesto.

ello recurriremos a la notación polar, que da cuenta de su magnitud a través de su

Ejemplo 2.1

módulo y a su dirección a través de un ángulo respecto de una recta de referencia.

Sean

los

A = 3î + 4ˆj + 2kˆ ; 

siguientes

vectores:

B = î + 3ˆj - 5kˆ 

Consideremos un vector en el plano coordenado cartesiano, como se ve en la

Encontrar: 







figura siguiente: Y

a) A + B b) A − B AY



c) 2A

θ

Solución: a) A + B = ( 3 + 1) î + ( 4 + 3 ) ˆj + ( 2 - 5 ) kˆ 

A



X

AX

Fig 2. 17

Componentes cartesianas y polares









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Las componentes cartesianas se pueden

Y

encontrar fácilmente a través de las polares

A =5

mediante las expresiones:

3

AX = A cos θ 37 º

X

AY = A sen θ 4

Del

mismo

componentes

modo,

conocidas

cartesianas,

se

las

pueden

Fig 2. 18

Representación gráfica del vector del ej. 2.2

calcular las polares a través de las expresiones:

Note que si el origen del vector estuviera A2 = AX2 + AY2 θ= arctg

AY AX

por ejemplo, en el punto (2,1), entonces el extremo estaría en el punto (6,4) pues sus componentes cartesianas son AX=4

y

AY=3.

Ejemplo 2.2

Y 4



Sea A un vector de módulo 5 y dirección 37º respecto de +X situado en el plano XY.

3

Encontrar sus componentes cartesianas.

X 2 4

Solución: Se tiene que A=5 y θx=37º. Por tanto: AX=5cos37º=5(0,8)=4 AY=5sen37º=5(0,6)=3

6

Fig 2. 19

Componentes del vector del ej. 2

Ejemplo 2.3 Sea



B un vector cuyas cuyas componentes componentes










2.1.16 En el espacio En

el

espacio

determinada

AX = A cos θX

la

cuando

dirección se

AY = A cos θY

queda

conocen

los

ángulos respecto de los tres ejes. La figura siguiente muestra los ángulos directores:

AZ = A cos θZ Dadas las componentes cartesianas se pueden conocer la magnitud y los ángulos directores a través de las siguientes relaciones, provenientes también de los cosenos directores:

Fig 2. 20

Un vector en el espacio.

Aquí se ve que los ángulos directores θX,

θX = arccos

AX A

θY = arccos

AY A

θZ = arccos

AZ A

θY, θZ determinan la dirección. La magnitud

El módulo se puede calcular a través de la

corresponde el módulo del vector (A).

expresión:

El

vector

se

puede

A2=AX2+AY2+AZ2

representar

analíticamente a través de su módulo A y de sus ángulos directores θX; θY; θZ

Ejemplo 2.4 Muy

importantes

son

las

siguientes

relaciones extraídas de la figura anterior: A cos θX = X A

Consideremos el vector C = 3î - 6ˆj + 2kˆ 

ubicado

cartesiano. dirección.

A

en

el

espacio

coordenado

Encontrar su magnitud y










3 θx=arcos =64,6º 7

θy=arcos

3.- m ( A • B ) = ( mA ) • B = A • ( mB) siendo m 









un escalar.

−6 =149 º 7

Aplicaciones: 1.- A • A = A 2 

θz=arcos



2 =73,4º 7



El producto escalar entre un vector y si mismo, constituye el cuadrado del vector, y

2.1.17 Productos entre Vectores. Existen dos formas de multiplicar vectores,

corresponde al cuadrado de su módulo. Esto se debe a que si aplicamos la definición, tenemos:

siendo una denominada producto escalar

A • A =AAcos0º=AA( =AAcos0º=AA(1)=A 1)=A2 

(interno o de punto) y la otro producto vectorial (exterior o de cruz), puesto que ofrecen como resultado un escalar y un vector respectivamente.





escalar se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman. 

kˆ • kˆ =1

ˆj • ˆj =1

3.- Si dos vectores son perpendiculares,

Dados dos vectores A y B , su producto



2.- î • î =1

Por las razones expuestas en el punto 1.

Producto Escalar.

A • B =ABc =ABcos osθ



entonces según la definición se tiene: A • B =ABcos90º=AB(0)= 0 



Esta es condición de perpendicularidad. (π≥θ≥0)

La definición de producto escalar tiene

4.- De acuerdo a lo anterior, entonces: î • ˆj =0

jˆ • kˆ =0

î • kˆ =0

aplicaciones muy relevantes, pues permite expresar magnitudes muy importantes para

pues los vectores unitarios î jˆ kˆ form forman an










A = A x î + A y ˆj + A z kˆ ; B = Bx î + By ˆj + Bz kˆ 

A •B =ABc =ABcos os θ







Si queremos multiplicarlos escalarmente,

Donde θ   es el ángulo entre los vectores

tenemos, recordando la propiedad de

que nos solicitan. Por lo tanto:

distributividad

del

producto

escalar A •B θ=arcos AB 

respecto de la suma de vectores: A • B = ( A x î + A y ˆj + A z kˆ ) • ( Bx î + By ˆj + Bz kˆ ) 



A • B = A x Bx ( î • î ) + A x By ( î • ˆj ) + A x Bz (î • kˆ ) + 

note que aquí AB es el producto entre las magnitudes de los vectores



A



y B



+ A yBx ( ˆj • î ) + A y By ( ˆj • ˆj ) + A y Bz (ˆj • kˆ ) + + A zBx ( kˆ • î ) + A zBy ( kˆ • ˆj ) + A z Bz ( kˆ • kˆ ) Por tanto: 

respectivamente.

Entonces:

A2=32+42+22

A=5,4

B2=12+32+(-5)2

B=5,9





A • B =5 Así que:

θ=arcos

Ejemplo 2.5 Sean

los

ˆ B = î + 3jˆ -5k. 

vectores:

5

( 5, 4 ) (5, 9 )

=arcos0,16=81º

A = 3î + 4ˆj + 2kˆ ; 

En Encontrar

su

producto

escalar.

Solución: De acuerdo a la definición, se tiene: 

según según el ejerci ejercicio cio 2.5. 2.5.



A • B = A xB x + A yB y + A zB z





A B =(3)(1)+(4)(3)+(2)(-5)=5

Producto Vectorial Sean los vectores





A y B ; entonces entonces su

producto vectorial se define como: A X B = (ABse (ABsen nθ)   u  ˆ  



(π≥θ≥0)












AXB

Aplicaciones:

A u





1.- Si los vectores A y B son paralelo paralelos, s, B

entonces, por definición: A × B =(ABsen  θ)   uˆ = 0 

Fig 2. 21

Producto vectorial





Esta es condición de paralelismo. 



Entonces el vector A × B es un vector libre, perpendicular al plano AB, cuya magnitud es

2.- î X î = 0 ; jˆ X jˆ = 0 ; kˆ X kˆ = 0 





(A B sen θ) . Según la aplicación anterior. 







Los vectores A , B y A × B forman un trío a derechas (un sistema dextrosum), lo 



que quiere decir que la dirección A × B es la que indica el dedo pulgar de la mano derecha cuando esta se cierra desde el 



vector A hacia el el vector vector B , en el plano AB. AB. AXB

3.- También se tiene aplicando la definición que: î X jˆ ={(1)(1)(s ={(1)(1)(sen90º) en90º)}} kˆ = kˆ ˆ X kˆ ={(1)(1)(sen90º)} î = î kˆ X î ={(1)(1)(s ={(1)(1)(sen90º) en90º)}} jˆ = jˆ










reemplazando los productos vectoriales

k

entre paréntesis, se tiene: ˆ ˆ A × B =AXBY kˆ +AXBZ(- j)+A YBX(- k )+ 



+AYBZ î +AZBX jˆ +AZBY(- î ) i

A × B =( =(AYBZ –AZBY) î +(AZBX –AXBZ) jˆ + 

Fig 2. 23

Producto vectorial entre versores.



+(AXBY-AYBX) kˆ Note que el producto vectorial entre

2

versores es el tercer versor, y es positivo

Que equivale al desarrollo del determinante siguiente:

cuando el producto sigue la dirección de las flechas en el gráfico, es decir, cuando el sentido es contrario al movimiento de las manecillas de un reloj (sentido antihorario).

î ˆj AxB = A x A y 



Bx

By

kˆ Az Bz

4.- Ahora estamos en condiciones de encontrar una expresión que permita encontrar

para

5.- La magnitud del producto vectorial es

vectores que están expresados en función

numéricamente igual que el área del

de

paralelógramo formado por los vectores

sus

el

producto

componentes

vectorial

rectangulares

(cartesianas) y sus respectivos versores.

multiplicados y las paralelas que pasan por










El área de este paralelógramo se calcula multiplicando la base (B)

Ejemplo 2.8

por la altura Encontrar un vector unitario perpendicular

(Asenθ):

al plano formado por los vectores del ejemplo 7.

Area=BAsenθ Que es igual a la magnitud del producto 



vectorial entre los vectores A y B .

Solución: Según la definición de producto vectorial se tiene que: AXB = AXB uˆ 

Note que el área del triángulo formado por







los vectores y alguna de sus diagonales es justamente la mitad del área calculada.

A ×B -26î + 17ˆj + 5kˆ uˆ = = 6 7 6 + 2 89 + 2 5 A ×B

Ejemplo 2.7 Encontrar el producto vectorial entre los vectores: A = 3î + 4ˆj + 2kˆ ; 

De donde:

B = î + 3ˆj - 5kˆ .









-26î + 17ˆj + 5 kˆ uˆ = = −0, 83î + 0, 54 ˆj + 0,16kˆ 31,5



Que es el vector solicitado, cuya magnitud es 1 y dirección es la del vector A × B . 

Solución: de acuerdo a la definición se












2.1.18

Ejercicios resueltos.

D=3,2 



Dos vectores A y B Ejercicio 2.1.de 3 y 5 unidades de magnitud respectivamente, forman un ángulo de 37º. Determine analíticamente la magnitud de la resultante y de la diferencia entre ambos vectores.

Hallar







La resultante ( R = A + B ) así como la





vector 

resultante entre los vectores A y B de 4 y 3 unidades de magnitud respectivamente, que forman un ángulo de 60º entre ellos.

o

la

suma

del

opuesto

En la siguiente figura se observan los vectores y sus ángulos:

( D = A - B ) se se pue puede de ver ver en form forma a gráf gráfic ica a 

el

Solución:

Solución:

diferencia

Ejercicio 2.2.-



R = A+ B

en la figura siguiente: A

120º

A 37º

B B

A

B

La magnitud de la resultante se puede calcular con el teorema del coseno:

37º

B R = A +

2

2

2










Ejercicio 2.3.- Un avión se mueve hacia el norte con una rapidez de 30

Km , cuando h

es sometido a la acción del viento que sopla con rapidez de 40

Km en dirección h

Km V = ( 40î + 30ˆj ) h 

Cuya magnitud es V2=(40

este. Encontrar el movimiento resultante del avión.

V=50

Km 2 Km 2 ) + (30 ) h h

Km . h

Solución: Que es la rapidez resultante con que se En este problema se trabaja con la

moverá realmente el avión.

magnitud vectorial denominada velocidad. La dirección de la velocidad resultante Para nosotros sin embargo, solo será un

será:

vector en este momento, y por tanto, la velocidad resultante no será más que la suma

de

los

vectores

velocidad

θ=arctg

VA 30 kph =arctg =36,9º 40 kph VV

correspondiente al movimiento del avión propiamente tal, y la velocidad del viento.

Es decir, la velocidad resultante tiene una dirección de 36,9º medidos desde el este

En la siguiente figura se ilustra el ejemplo:

hacia el norte (E36,9ºN).












•

Día 1: caminamos 30 kilómetros en línea

•

recta

hacia

el

norte;

R = D1 + D2 + D3 







no

encontramos agua.

R = 12Km î + 26Kmˆj ´

Día 2: hoy solo hemos logrado caminar

Cuya magnitud es:



20 kilómetros en línea recta, en dirección norte 37º hacia el este (N37ºE); nos encontramos extenuados. No encontramos agua.

•

Día 3: Por fin hemos encontrado agua.

R2=(12Km)2+(26Km)2 R=28,6Km y cuya dirección es:

El feliz hecho ocurrió hoy a las 16:00 horas, luego de caminar en línea recta

θ=arctg

26 Km =arctg2,17=65,3º 12 Km

durante 20 kilómetros hacia el sur. Nos encontramos a salvo.

En otras palabras, si nuestros viajeros










Ejercicio 2.6.-

Hallar la proyección

del vector A = î - 2ˆj + kˆ 

a) Un vector unitario en la dirección del

B = 4î - 4ˆj + 7kˆ



vector A + B - 3C . 

sobre el vector





b) Un vector perpendicular al plano 



formado por los vectores B y C .

Solución:



En la figura se observa la proyección

c) Área del paralelogramo formado formado por por A

pedida



y B.

Solución:

A B AB = A cos cos

a) A + B - 3 C 3î - 4ˆj - 2kˆ 3î - 4ˆj - 2kˆ uˆ = = = 5,39 9 + 16 + 4 A + B - 3C 



De la definición de producto escalar se


















Ejercicio 2.9.siguientes:

b) Calcular A • (BXC ) 





Solución:

ˆ ˆ a) 2jX3k

a) Para ser perpendiculares deben cumplir 



con la condición A • B = 0 

Solución:

Luego no son perpendiculares. b) La única interpretación posible de este producto, denominado producto triple (y geométricamente

b) 3iX 3iˆX ( -2kˆ ) c) ( 2ˆjX jXî ) - 3k 3kˆ



A • B =3–6 =3–6+8 +8=5 =5

que

Hallar los productos

representa

el

volumen del paralelogramo cuyas aristas

a) 2ˆjX3kˆ = 6î b) 3îX ( -2kˆ ) = ( 3 ) ( -2 ) îXkˆ = 6kˆ

(

ˆ ˆ)

ˆ

( ˆ)

ˆ

ˆ










En segundo lugar, para que sea rectángulo,























CXA + CXB + CXC = 0

el producto escalar entre dos de ellos debe ser nulo.

CXA + CXB = 0







son un triángulo y A • C =6–2–4= 0 

( iii )



En nuestro ejemplo, A + B = C po por lo que 





De (i): AXB = CXA 





por lo 











De (ii): BXA=CXB



que A ⊥ C .



De (iii): CXA = BXC

Ejercicio 2.11.del seno. Solución:

Deducir el teorema

Pues

el

producto

anticonmutativo. De donde se tiene:

vectorial

es










Ejercicio 2.12.del coseno.

Deducir el teorema

Solución: Suponer que se tiene un triángulo formado por los vectores de la figura.

C

B

A

Entonces:







C = A -B

vectores introduccion

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