Estatica
2016
Tema: Cantidades Vectoriales Profesor: M.sC Tito Vilchez Vilchez
Competencias a lograr en la clase 1.- Utilizar y relacionar las cantidades vectoriales 2.- Aplicar las relaciones entre fuerzas y Momentos sobre cuerpos considerados como partículas. 3.- Resolver problemas de vectores 4.- Trabajar en equipo
PORQUE AHORA? UN CAMBIO DE CULTURA?
¿Porque esperar el Ultimo momento? ¿ ¿ Porque??
Actua ahora. Hoy el Mundo es de los veloces
4
COMPETENCIAS A LOGRAR EN EL CURSO Es esencial que cualquier producto, maquina o estructura sea seguro y estable cuando se somete a cargas ejercidas en el, durante cualquier uso predecible. El análisis y diseño de semejantes dispositivos o estructuras para garantizar la seguridad es el objetivo primordial de este curso. La falla de un componente de una estructura puede ocurrir de varias maneras:
1.- El material del componente podría fracturarse por completo. 2.- El material puede deformarse excesivamente bajo carga, de modo que el componente no es adecuado para ese propósito.
3.- La estructura podría volverse inestable y pandearse, y por lo tanto seria incapaz de soportar las cargas pretendidas.
PREVENCION DE FALLAS En la figura se muestra dos varillas que soportan una pesada pieza fundida. Como se deben de diseñar esas varillas. Las varillas deben ser lo suficientemente fuertes de modo que no se rompan y dejen caer la pieza fundida, lo que posiblemente podría provocar danos y lesiones a las personas.
Usted como diseñador de las varillas, que información requeriría y que decisiones de diseño tiene que tomar: 1.- Cual es el tamaño y peso de la pieza fundida 2.- Donde esta su centro de gravedad. Esto es importante para decidir donde colocar los puntos de sujeción de las varillas a la pieza fundida.
PREVENCION DE FALLAS 3.- Como se unirán las varillas a la pieza fundida y al sistema de soporte por la parte superior
4.- De que material se harán las varillas. Cual es su resistencia? 5.- Cual será la forma y la sección transversal de las varillas? 6.- Como se aplicara inicialmente la carga de la pieza fundida a las varillas: Lentamente, con choque o impacto, o con un movimiento de tirón? 7.- Se utilizaran las varillas para muchos ciclos de carga durante su vida esperada?
Objetivos de estudiar Vectores.- Las cantidades vectoriales se utilizan en el diseño de mecanismos como partes iniciales del calculo. En el ejemplo mostramos la influencia de la determinación del calculo vectorial en el calculo de los Mecanismos. El sistema motriz O2B tiene 2= 5 rad/s, cte. Calcule: a.- La expresión vectorial de BA.(cm) b.- El vector unitario del vector CB. c.- La magnitud del vector CB.(cm) d.- La magnitud del vector PC.(cm) e.- La velocidad del bloque C.(m/s) f.- La aceleración del bloque A.(m/s2) g.-. La aceleración del bloque C.(m/s2)
P
Del Polígono OO BA: 2
200 ˆj 110(Cos30iˆ Sen30 ˆj) c 170iˆ
200 ˆj 110(0,866iˆ 0,5 ˆj) c 170iˆ c 74,74iˆ 255 ˆj
O
74,74iˆ 255 ˆj ˆC 0,2812iˆ 0,9596 ˆj 265,7274
c
Del Polígono O PCB: 2
250 ˆj a b 110(Cos30iˆ Sen30 ˆj) a b 95,26iˆ 195 ˆj
ˆC
a (Cos30iˆ Sen30 ˆj ) bˆ C 95, 26iˆ 195 ˆj 0,866aiˆ 0,5ajˆ 0,2812biˆ 0,9596bjˆ 95,26iˆ 195 ˆj
0,866a 0,2812b 95,26
b
0,5a 0,9596b 195
a 52,9791cm b 175, 6048cm
P
RA / C 1, 2412iˆ 4, 2351 ˆj ( m)
a
RB / C 0, 4938iˆ 1, 6851 ˆj ( m)
VECTORES
A
A
B
B
B
B A
B A
A
A
B
Suma de vectores
C
A
B
B
C
A
B
A
C
C A B
B A C
A B C
C A B
C
A
B
C
A
B
A B C
A
B
B A
D
R
R
C
D
B
C
D
R A B C D
C
A
R B C A D
j
j
i
i
BY
AX
R ( A BX ) B 2
R
2 Y
A B 2 AB cos( ) 2
2
A
AY
BX
A
BY
B
C
B BX
A Ax i Ay j
B Bx i B y j
C A B
si : A B C 0,
B
C
C
A B C sen() sen() sen()
B
A
Producto de vectores
Escalar A
Vectorial
C
B
B
A
A B ABcos()
A B A x B x A y B y A z B z
A
A B C
A B ABsen( )
Bases para el estudio del movimiento mecánico Sistema de Referencia:
Cuerpos que se toman como referencia para describir el movimiento del sistema bajo estudio.
Se le asocia
y y(t)
x(t) x z(t)
z
• Observador • Sistema de Coordenadas • Reloj
En el Movimiento plano Se utilizan las Coordenadas Cartesianas y (m) (x,y) P (8,3)
Q (-2,2) O
origen
x (m)
abcisa
Movimiento plano También las Coordenadas Polares
(r,)
O
origen
Relacion entre (x,y) y (r,) y (m) (x,y)
j
Y
r
X
O
origen
x r cosθ y rsen θ
x (m)
abcisa
i
r x y 2
2
y tan θ x
VECTOR Todo vector tiene las siguientes características:
SENTIDO
En el caso de las fuerzas, también tienen un punto de aplicación.
Vectores en el espacio y en el plano
z A
y
θ
y
Ap
x
x
Notación
A
Módulo o valor ó Norma
Dirección θ,
A A 0
Propiedades de Vectores
A
C • Dados A y B, si A = B entonces
B
A = B
• Todo vector se puede desplazar paralelamente a si mismo
ABC
Importante: En la cabeza de flecha del primer vector se coloca el origen del segundo vector y así sucesivamente los vectores que siguen.
Suma de Vectores
A
A
C
C
B
B
Ley del polígono
R El vector resultante será la distancia neta desde el origen del primer vector hasta la cabeza de flecha del ultimo vector.
El vector resultante es aquel que va desde el origen del primer vector hasta el extremo del ultimo
Entonces si se tiene los siguientes vectores
A
D
B
C
El vector resultante de la suma de todos ellos será:
B
A
C
R R A B C D
D
Propiedades de Vectores Opuesto o negativo Nulo Vector unitario
A ˆ
-A
0 = A + ( -A ) A μˆ A A ˆ A
Ley Conmutativa
Propiedades de la suma de Vectores Vector Diferencia
R A- B
R A (- B)
R A B B A
Ley Asociativa
R A (B C) (A B) C A
B
R
-B A
Ley conmutativa (Método paralelogramo)
A
B
B
B
A Los vectores A y B pueden ser desplazados paralelamente para encontrar el vector suma
R A B 2 A.BCos 2
Analíticamente se cumple:
R
2
2
A B 2 A.BCos 2
2
Método del triangulo A
Se cumplen dos leyes:
Ley de senos
A B R Sen Sen Sen Ley de Cosenos
R A B 2 A.BCos 2
2
2
B
A
2
A R B 2 R.BCos 2
B
2
B 2 R 2 A2 2 RACos
R A B B A
Multiplicación de un vector por un escalar donde N Dado dos vectores A y B
Se dicen que los vectores A y B son: A B
si 0 A B si 0 A B si 1 A B
A y B son proporcionales y en el mismo sentido. Paralelos. A y B son proporcionales y en sentido contrario. Antiparalelos. A y B son iguales.
A
1 B A 2
B A
B
1 B A 4
Ejemplo 8:
Hallar el vector resultante de la suma de los siguientes vectores
A
B C
B
A C
C
R A B C C C 2C
VECTORES UNITARIOS • Vector cuya magnitud o módulo es 1, se utiliza para definir la orientación de las cantidades físicas vectoriales. uA =
Vectores unitarios: i, j, k A=A i +A j+A k X
k
z
Z
A = A uA
z A
j
i
Y
A A
y
x
y uA
x
A A
uA a
A X i AY j AZ k
A X Ay AZ 2
2
2
PROPIEDAD DEL VECTOR UNITARIO Caracteristica fundamental: El tamano del vector unitario es uno o la unidad u A uB
uC
u 1
1º A y B son paralelos y colineales. 2º- A y C son paralelos y colineales 3º- B y C son paralelos y colineales
• • • • •
OBSERVACIONES
u uA
uB
A
1º- El vector unitario del vector A = (uA) es colineal al mismo sentido del vector A 2º-El vector unitario del vector B = (uB) es colineal al mismo sentido del vector B 3º- El vector unitario del vector C = (uC) es colineal al mismo sentido del vector C
C
A B C A B C
CONCLUSIÓN : Si 2 vectores son colineales o paralelos y del mismo sentido, entonces sus vectores sus vectores unitarios son iguales
uˆA uˆB uˆC
uC
Vectores unitarios en el plano
y
ˆj
ˆi ˆj
iˆ
x
Vector unitario en la dirección del eje x+ Vector unitario en la dirección del eje y+
Vectores unitarios en el espacio
z
kˆ
ˆj iˆ x
y
z
Representación de un vector
AZ
θ AX
AZ ACos
AX ASenCos AY ASenSen
A ASen
AY
y
x
A Ax i Ay j Az k 2 2 2 A A Ax Ay Az
Observaciones: Las componentes rectangulares de un vector dependen del sistema coordenado elegido. La magnitud del vector no cambia. Permanece invariante en cualquier sistema coordenado
Determine la resultante de los siguientes vectores Importante: En la cabeza de flecha del primer vector se coloca el origen del segundo vector y así sucesivamente. El vector resultante será la distancia neta desde el origen del primer vector hasta la cabeza de flecha del ultimo vector.
4u
A
3u
B R A B 7u
A 8u
B +
4u
=
R A B
4u
Observamos que, cuando los vectores están en la misma dirección podemos determinar fácilmente su magnitud
¿Que sucede si los vectores no están en la misma dirección ? , ¿ podremos determinar directamente su magnitud?
A
R A B
B
La magnitud en este caso no puede determinarse directamente , por lo que debemos tratar de buscar otra forma de determinarla. Analiticamente se cumple:
Ley de Cosenos
R A B 2 A.BCos 2
2
2
A R B 2R.BCos 2
2
2
B A R 2 A.RCos 2
2
Ley de Senos
2
A B R sen sen sen
A
3u
Ax
B
Ay
By
4u
i
Bx
j 6u
3u A Ax Ay 4u
Ax
A y
A 4iˆ 3 ˆj
Vectorialmente:
By
B B B x y B 6iˆ 8 ˆj
Bx R 10iˆ 5 ˆj
6u
10u
Ax Bx 5u
Ay By
R Ax Bx Ay By Por pitagoras podemos ahora determinar la magnitud del vector resultante
R 10 5 5 5u 2
2
Ay Cy
By
Ax Cx
Bx Dy Dx
Rx
15 u 5u
R Rx Ry R 5 10
Ry
Rx Ax Bx Cx Dx Ry Ay By Cy Dy
En la armadura mostrada, determine: a.- El vector LH.(m) b.- El vector CG.(m) c.- La expresión vectorial de la fuerza de tensión del cable pequeño que actúa sobre la estructura.(kN) d.- La expresión vectorial de la fuerza de tensión del cable grande que actúa sobre la estructura.(kN)
EJEMPLO
VECTOR GEOMETRICO Es aquel vector que se construye en funcion de sus coordenadas
A z
(x1,y1,z1)
x
(x2,y2,z2)
y
Dados los puntos indicados, el vector que los une esta representado por:
A (x2 x1)ˆi (y2 y1)ˆj (z2 z1)kˆ
a.- Hallar el vector EB. b) Hallar el vector BC
VECTOR FISICO Es aquella cantidad vectorial que se determina en funcion a su magnitud y a su vector unitario. Si es paralelo a un vector geometrico, los dos tienen en comun el mismo vector unitario.
A
z
x Donde:
F
(x2,y2,z2)
(x1,y1,z1)
F FXˆi FYˆj FZkˆ
y
F F F F
A F u ˆ A F
Representado por sus componentes:
2 X
2 Y
ˆ F Fu
2 Z
Primera Propiedad
Producto escalar de dos vectores
A B ABcosθ AB Cos A.B Componente de A sobre B
AB ACosθ Componente de B sobre A
BA BCosθ
iˆ iˆ 1 ˆj ˆj 1
iˆ ˆj 0 ˆi kˆ 0
kˆ kˆ 1
ˆj kˆ 0
Segunda Propiedad A iˆ Ax A ˆj Ay A kˆ Az A B AX BX AY BY AZBZ
propiedad Primera
Producto vectorial de dos vectores
C AB
C ASegunda xB propiedad AB sen θ ˆi ˆi 0
ˆj ˆj 0 kˆ kˆ 0
iˆ ˆj kˆ
ˆj iˆ kˆ
ˆj kˆ iˆ
kˆ ˆj iˆ
kˆ iˆ ˆj
iˆ kˆ ˆj
El modulo del producto vectorial de dos vectores representa el area del paralelogramo. Por lo cual, el area del triangulo sera la mitad de la que corresponde al paralelogramo
axb
a.b senθ ATrian g u lo 2 2
Producto Vectorial: AxB
i AxB A B
X
X
j A B
Y
Y
k A B
Z
Z
Demostrar:
ˆ (B ˆi B ˆj B k) ˆ C A B (Axˆi Ayˆj Azk) x y z
CX AY BZ AZ BY
Cy Az Bx Ax Bz Cz Ax By Ay Bx
ANGULOS DIRECTORES , y Son aquellos que definen la direccion de un vector en el espacio Sea (alfa) el angulo que forma el eje X positivo con el vector A Sea (beta) el angulo que forma el eje Y positivo con el vector A Sea (gamma) el angulo que forma el eje Z positivo con el vector A Sea: A = AX i + AY j + AZ k A A ( AX ) 2 ( AY ) 2 ( AZ ) 2
AZ z
Propiedad 1:
A
AX
x
A A Co s X X A A
Propiedad 2:
A A Co s Y Y A A
A A Cos Z Z A A
Vector unitario
AX AY AZ A i j k Cos .i Cos . j Cos .k A A A
AY
y Siendo:
Propiedad 3:
uA
A A
Cos2 Cos2 Cos2 1 uA a
A X i AY j AZ k
A X Ay AZ 2
2
2
Ejemplo 1: Determinese la suma de los siguientes vectores:
A 3ˆi 8ˆj 5kˆ B -5ˆi 2ˆj 3kˆ C 4ˆi 7ˆj 2kˆ
ˆ ˆ R 2i+3j
Ejemplo 2:
Determine la suma de los vectores indicados z
5m
ˆ ˆ R 8i+10j-10k
B 8m x
C
10m y
A
Ejemplo Dados los vectores:
A 3iˆ 3 ˆj 5kˆ B 4iˆ 5 ˆj 3kˆ
A B 42m
2
ˆ ˆ A B 16i-11j+3k
24,91 ˆ ˆ ˆ ˆ A 0, 458i+0,458j-0,763k
Determine : a) El producto escalar entre ellos. b) El producto vectorial entre ambos c) El ángulo que forman entre sí. d) El vector unitario de A. e) El vector unitario de A B
Vector Proyeccion de A sobre B
A
P
θ
z
u
B
B A
B
A B Co s A.B
y
x
A B A B Comp ACos A. A . B B A B
B P Comp .u ACos . B A
B
A
B
B
A B A B A B B A B P Comp .u A( )u .u ( ). ( ). B 2 A.B B B B B A
B
A
B
B
B
B
P ( A uˆB ).uˆB A B
Ejemplo: B -5ˆi 2ˆj 3kˆ
C 4ˆi 7ˆj 2kˆ
A 3ˆi 8ˆj 5kˆ
1. Determine la Componente de A sobre B
2. El vector Proyección de B sobre C
Comp 2, 271 A B
P 1,6231iˆ 2,8495 ˆj 0,8116kˆ B C
Calcule.. X , si.se.sabe.que, es. perpendicular.los. vectores.F 2i 3 j k ... y..G i 2 j 3k . y.satisface.la.condicion :. X (2i j k ) 6.
La fuerza F = 500 N actua en A, tal como se muestra en la figura. Calcule las componentes de esta fuerza a lo largo de los ejes AB y AC. Sustente su respuesta.
THE END!
Higher Education: Let’s make it all that it can be and needs to be! Vamos a hacer todo lo que puede ser y debe ser! Profesor: M.Sc Tito Vilchez