VECTORES
SISTEMAS DE COORDENADAS Un sistema de coordenadas coordenadas que permita especifcar posiciones consta de: • Un punto de reerencia fjo, O, denominado origen
• Un conjunto de direcciones o ejes especifcados, especifcados, con una escala y unas etiquetas etiquetas apropiadas apropiadas sobre sus ejes. • Instrucciones que Instrucciones que indican como ubicar un punto en el espacio con respecto del origen y de los ejes.
COORDENADAS CARTESIANAS (U ORTOGONALES) Ejemplo en dos dimensiones (2!:
"a ubicaci#n ubicaci#n de un un punto cualquiera queda determinada mediante las coordenadas (x,y) x positi$as %acia la derec%a derec%a
y positivas hacia arriba
x negati$as %acia la
y negativas hacia abajo
SISTEMA DE COORDENADAS POLAR Ejemplo en dos dimensiones:
Un punto arbitrario se ubica mediante las coordenadas polares planas
(r, (r, ) r es la longitud de la lnea que une el origen con el
es el 'ngulo entre dic%a lnea y un eje fjo
RELACIÓN ENTRE COORDENADAS CARTESIANAS Y COORDENADAS POLARES
asumiendo que θ est' medida en sentido anti%orario con respecto al eje x positi$o
De polares a cartesa!as
De cartesa!as a polares
MAGNITUDES "#SICAS$ ESCALARES Y VECTORIALES MAGNITUD ESCALAR$
quedan completamente especifcadas mediante un n)mero, acompa*adas con la unidad apropiada. +)mero de patatas en un saco emperatura en un determinado punto del espacio -olumen de un objeto asa y densidad de un objeto
MAGNITUD VECTORIAL$
deben ser especifcadas mediante su m#dulo, direcci#n, sentido y una unidad adecuada. /osici#n de una partcula espla&amiento de un partcula (defnido como la $ariaci#n de la posici#n! 0uer&a aplicada sobre un objeto
REPRESENTACIÓN TIPOGR%"ICA DE UN VECTOR CONVENCIONES PARA REPRESENTAR UNA MAGNITUD VECTORIAL EN UN TE&TO
CONVENCIONES PARA REPRESENTAR EL MÓDULO DE UNA MAGNITUD VECTORIAL EN UN TE&TO
El módulo de un vector siempre es positivo, y especifca las unidades de la magnitud que el vector representa
'ASE CARTESIANA PARA LA REPRESENTACIÓN DE VECTORES EN D. En 0sica a un $ector de m#dulo uno se le denomina versor
'ase orto!oral e! el espaco D$ res $ectores de m#dulo unidad que, adem's son perpendiculares entre s.
COMPONENTES CARTESIANAS DE UN VECTOR
COSENOS DIRECTORES
%LGE'RA VECTORIAL ADICIÓN DE DOS VECTORES Vector
Copo!e!tes *el +ector e! ! Sstea *e coor*e!a*as *a*o
"a suma de dos $ectores es otro $ector
1uyas componentes en un sistema de coordenadas particular $ienen dadas por la suma de las componentes de los dos $ectores en el mismo sistema de coordenadas
%LGE'RA VECTORIAL PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE VECTORES
Prope*a* co!tat+a
Prope*a* asocat+a
SIGNI"ICADO GEOM-TRICO DE LA SUMA DE VECTORES
"os $ectores se pueden sumar de esta orma sin %acer reerencia a los ejes de coordenadas
%LGE'RA VECTORIAL MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR POR UN ESCALAR Vector
Copo!e!tes e! ! sstea *e coor*e!a*as partclar
El resultado de multiplicar un $ector por un escalar es otro $ector cuyas componentes en un sistema de coordenadas particular $ienen dadas por el producto de las componentes por el escalar
%LGE'RA VECTORIAL SUSTRACCIÓN DE VECTORES e defne de la misma manera que la adici#n, pero en $e& de sumar se restan las componentes
%LGE'RA VECTORIAL MULTIPLICACIÓN DE VECTORES
PRODUCTO ESCALAR$
el resultado es un
escalar
PRODUCTO VECTORIAL$ el resultado es un vector PRODUCTO MI&TO$ escalar
el resultado es un
%LGE'RA VECTORIAL PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES
El producto escalar de dos $ectores se representa poniendo un punto, $ectores
, entre los dos
El resultado de esta operaci#n es un escalar , es decir una cantidad que no tiene direcci#n. "a respuesta es la misma en todo conjunto de ejes
Al producto escalar también se le conoce como producto interno, escalar o punto
%LGE'RA VECTORIAL PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES PROPIEDAD CONMUTATIVA$ PROPIEDAD ASOCIATIVA$ PROPIEDAD DISTRI'UTIVA$ Pro*cto escalar *e los +ectores *e la .ase orto!oral ca!/!ca
%LGE'RA VECTORIAL DE"INICIÓN GEOM-TRICA DEL PRODUCTO ESCALAR
SIGNI"ICADO GEOM-TRICO DEL PRODUCTO ESCALAR0 LA PROYECCIÓN DE UN VECTOR SO'RE LA DIRECCIÓN DEL OTRO0
UTILI1ACIÓN DEL PRODUCTO ESCALAR PARA SA'ER SI DOS VECTORES SON ORTOGONALES ENTRE S#
S el pro*cto escalar *e *os +ectores es cero, 2 el /*lo *e los *os +ectores es *st!to *e cero, e!to!ces los *os +ectores so! perpe!*clares e!tre s30
E4UIVALENCIA ENTRE LAS DOS DE"INICIONES DE PRODUCTO ean dos $ectores como los de la fgura. ESCALAR i tomamos el origen de coordenadas en el origen de los $ectores, podemos calcular la distancia al cuadrado entre sus e3tremos como
"a misma distancia puede obtenerse de manera geom4trica a partir del teorema del coseno eorema del coseno: ado un tri'ngulo 561, siendo 7, 8, 9, los 'ngulos, y a, b, c, los lados respecti$amente opuestos a estos 'ngulos, se cumple
E4UIVALENCIA ENTRE LAS DOS DE"INICIONES DE PRODUCTO ESCALAR ean dos $ectores como los de la fgura. i tomamos el origen de coordenadas en el origen de los $ectores, podemos calcular la distancia al cuadrado entre sus e3tremos como
"a misma distancia puede obtenerse de manera geom4trica a partir del teorema del coseno (particulari&ando la anterior e3presi#n a nuestro caso concreto! gualando las dos ecuaciones y operando
COMO 5ALLAR EL MÓDULO DE UN VECTOR0 VECTORES UNITARIOS 5plicando la defnici#n de producto escalar, podemos calcular 'cilmente el m#dulo de un $ector
MAGNITUDES "#SICAS EN LAS 4UE INTERVIENE EL PRODUCTO ESCALAR TRA'A6 O FLUJO DE UN CAMPO VECTORIAL
LEY DE GAUSS PARA CAMPOS EL-CTRICOS A st*e!t7s 8*e to Ma9:ell7s e;ato!s Da!el "lesc< Ca.r*8e U!+erst2 Press (Ne: Yor=, >??@)
%LGE'RA VECTORIAL PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORES
1uyas componentes $ienen dadas por
%LGE'RA VECTORIAL PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORES 1uyas componentes $ienen dadas por
El resultado de esta operaci#n es un $ector, es decir una cantidad que s tiene direcci#n. 5l producto $ectorial tambi4n se le conoce como producto externo, o producto
MÓDULO DEL VECTOR PRODUCTO VECTORIAL
El m#dulo del $ector producto $ectorial coincide con el 'rea del paralelogramo defnido por los dos $ectores
DIRECCIÓN DEL VECTOR PRODUCTO VECTORIAL
SENTIDO DEL VECTOR PRODUCTO VECTORIAL
1on los tres dedos consecuti$os de la mano derec%a, empe&ando con el pulgar, ndice y, fnalmente, el dedo medio, los cu'les se posicionan apuntando a tres dierentes direcciones perpendiculares. e inicia con la palma %acia arriba, y el pulgar determina la primera direcci#n $ectorial, el ndice la segunda y el cora&#n nos indicar' la direcci#n del tercero.
E4UIVALENCIA EN LAS DE"INICIONES DEL MÓDULO DEL VECTOR PRODUCTO i tomamos como defnici#n de producto $ectorial de dos $ectores VECTORIAL
Entonces podemos deducir la equi$alencia entre las dos maneras de calcular el m#dulo del $ector producto $ectorial
Operando 5 student;s guide to -ectors and ensors aniel 0leisc% 1ambridge Uni$ersity /ress (+e< =or>, 2??@!
%LGE'RA VECTORIAL PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORES PROPIEDAD ANTICONMUTATIVA S
PROPIEDAD DISTRI'UTIVA CON RESPECTO A LA SUMA PRODUCTO DE UN ESCALAR CON RESPECTO A UN PRODUCTO VECTORIAL PRODUCTOS VECTORIALES ENTRE LOS VECTORES DE
%LGE'RA VECTORIAL PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORES Utili&aci#n del producto $ectorial para saber si dos $ectores son paralelos
MAGNITUDES "#SICAS 4UE SE PUEDEN DE"INIR COMO EL PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES MOMENTO ANGULAR Fuerza de Lorentz
PRODUCTO TRIPLE$ TRIPLE PRODUCTO ESCALAR El resultado es un $ector.
/recauci#n:
Ejemplo:
PRODUCTO TRIPLE$ e defnePRODUCTO como el producto $ectorial de un $ector por el producto $ectorial de otros TRIPLE dos VECTORIAL El resultado es un $ector.
El triple producto escalar cumple la #rmula de "agrange
/recauci#n
/AOU1O A/"E: /AOU1O BO E e defne como el producto escalar de un $ector por el producto $ectorial de otros -E1OAE dos El resultado es un escalar i los tres $ectores $ienen dados en coordenadas cartesianas se calcula
/ropiedad geom4trica: el $olumen del paraleleppedo defnido por estos tres $ectores es igual al $alor absoluto de su producto mi3to
REGLAS DE LA MULTIPLICACIÓN USANDO PRODUCTOS ESCALARES Y VECTORIALES
DERIVADA DE UN VECTOR I!sta!te Posc/! t t’
