MATEMATICA BASICA II
R. FIGUEROA G. Y
B a ,2
• a 1n
°21 a 22
. a 2n
^11
a 31 31 a 32 32
X
Eóitomí AMERICA
a n, a n2 n2
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LIM LI M A - PERU
MATEMATICA BASICA II
R. FIGUEROA G. Y
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LIM LI M A - PERU
MATEMATICA BASICA 2
VEE C T O R E S Y M A T R I C E S V Primera E dición dic ión : Segunda Edición:
Marzo 1985 1985 Marzo 1988 1988
Reimpresión de la Segunda E dición dic ión : Agosto 1990 1990 Agosto 1992 1992 Agosto 1993 1993
Impreso por:
EDICIONES E IMPRESIONES GRAFICAS AMERICA S.R.L Jr. Loreto Nro. 1696 Breña (Lima 5). Telefax 325827
Revisado por: RICARDO RICARDO FIGUEROA FIGUE ROA GARCIA Egresado de la Universidad Nacional de Ingenería Facultad de Mecánica
Todos Todos los derechos reservados reserva dos conforme al Decreto Ley Ley Nro Nro 19437 Queda prohibido la reproducción por cualquier medio, total o parcialmente, sin permiso escrito del autor.
III
PROLOGO
Dada la acogida que le dispensaron los estudiantes a las ediciones ciones preliminar preli minares es de esta obra obra, , explic exp lica a la aparición aparic ión de esta esta nueva edición amplia ampliada, da, en la que se han hecho las la s modifi mo dificac cacioiones necesarias con el propósito de hacer más asequible su lectura, pues la obra proporciona una excelente preparación para el estudio de cursos superiores como el Análisis Matemático y sobre todo, el Algebra Lineal. El estudiante que ha llegado a este curso ya tiene conocimiento del del Algebra Algebr a y la Geometría Geometr ía Elemental. En el primer prim er capítulo capítulo se desarrolla la relación que existe entre estos dos grandes cam pos de de la matemática; matemáti ca; esto es es, el estudi est udio o de la técnica técn ica de de
los
vectores. Los sistemas de coordenadas que se utilizan, primero el bidimensional (plano) se extiende después al tridimensional (espacio), indicando claramente el camino para generalizar los conceptos a otras dimensiones, y luego lue go finalizar, finalizar , haciendo hac iendo
un
breve estudio de los espacios vectoriales. En el segundo capítulo se hace referencia al estudio de las ma trices de acuerdo con su dimensión o tamaño y sus aplicaciones a la solución de ecuaciones lineales. En el tercer capítulo se expone la teoría de los determinantes, de particular importancia en la teoría de las matrices y sus numerosas aplicaciones. . Con este este libro se tiene la inte in tensi nsión ón de d esar es arro roll llar ar la capac cap aciidad del estudiante y crear en él hábitos de rutina matemática; esto es, la exposición teórica es acompañada de numerosos ejemplos y ejercicios con sus sus respuesta respu estas s adjuntas, los cuale cuales, s, in du dablement dablemente, e, ayudarán al al estudiante estudian te a adqui rir destre de streza za y afirmar el dominio dominio de la materia. materia. Por ello, ello, recomi rec omiend endo o que los ejercicios ejercici os propuestos propuest os se resuelvan sistemática si stemáticamente, mente, toda tod a vez que que su su solución obedece a un criterio de aprendizaje progresivo.
IV
PÁóíogo
Mi reconocimiento a todos los amigos profesores que tuvieron la gentileza de hacerme llegar sus sugerencias y observaciones a las ediciones preliminares. Sus críticas constructivas hicieron posible corregir, corregir, mej mejor orar ar y amplia am pliar r esta nueva edición. * • Ricardo Figueroa García
CONTENIDO (g VECTORES 1.1 1.3 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.9 1.10 1.10 1.11 1.11 1.12 1.12 1.13 1.13 1.14 1.15 1.15 1.16 1.17 1.17 1.18 1.19 1.19 1.20 1.23 1.24 1.25 1.25
Introducción. Introd ucción. 1.2 Coordena Coor denadas das Cartesinas Cartesi nas Vectores Vectore s en el plano. Representación geométrica geom étrica de un vector. Magnitud de un vector. Propiedades. Dirección de un vector vect or en R2 Vector Vecto r Unitario. Adición de Vectores. Vectore s. Propiedades. Representación Representa ción gráfica de la adición de vectores. Sustracción de vectores. Multiplicación Multiplic ación de un escalar por un vector. Representación Representac ión gráfica. Propiedades. Vectores Vecto res Paralelos. Producto escalar esca lar de vectores. Vectores Vectore s ortogonales. ortogon ales. Angulo formado por dos vector vectores. es. Descomposición Descompo sición de vectores. Proyección Proyecc ión Ortogonal. Compone Com ponentes ntes Escalares. Area del paralelogra paral elogramo mo y del triángulo. Descomposición Descom posición Lineal. 1.21 1.21 Independencia Lineal. 1.22 Criterio de Independencia Independ encia Lineal. Lineal. Regla de comparac com paración ión de coeficientes. Aplicación Aplicac ión de ios ios vectores vectore s a la Geometría Elemental. Elemental. Aplicación Aplica ción de los vectores vectore s a la Físic Física. a.
1
4 5 9 1 0 fc 11 13 14 15 25 26 33 34 45 53 55 56 69 77 78 91 99
ECUACIONES VECTORIALES DE LA RECTA 1.26 1.27 1.28 1.28 1.29 1.29 1.30 1.30
Rectas Rect as en el piano. Segmentos Segm entos de recta. recta. División de de un un segmento segm ento en una razón dada. dada. Puntos que están sobre una recta. recta. Pendientes Pendie ntes de una recta. Rectas paralelas y ortogonales.
107 108 110 115 120
Con ten ido ido
VI
ECUACIONES CARTESIANAS CARTESIA NAS DE LA LA RECTA RECTA 1.31 1.31
Forma general genera l de la ecuació ecu ación n de una recta. recta.
128
1.32 1.32 1.33 1.33 1.34 1.34
Forma PuntoPendient PuntoP endiente. e. Forma Pendien Pen diente te y Ordena Ord enada da en el origen origen. . Forma Form a abscisa absci sa yorde or dena nada da en el origen.
1 3° 131 132
1.35 1.35
Forma For ma Simétrica.
1^2
RELACIONES ENTRE RECTAS
%
1.36
Distan Dis tancia cia de un
1.37 1.38 1.38
Inters Int ersecc ección ión derectas. Angulo entre rectas.
“U 1 149
EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL TRIDIME NSIONAL
159 159
1.39 1.39 1.40 1.40 1.41 1.41 1.42 1.42 1.43 1.43 1.45 1.45 1.46 1.46 1.47 1.47 1.48 1.48 1.49 1.49 ^ 1.50 1.50 1.51 1.51 1.52 1.52 1.53 1.53 1.54 1.54 1.55 1.55 1.56 T.57 T.57 1.58 1.58 1.60 1.60
punto punt o a una recta dada dada. .
VECTORES VECTO RES EN EL ESPACI ESP ACIO O Direcc Dir ección ión de un vector vec tor en R 3. Vectores Paralelo Para lelos s y Perpendiculare Perpend iculares s Proyec Pro yecció ción n Ortogonal. Componentes. Combinación Lineal. 1.44 Dependencia Dependenci a e Independencia Independ encia Lineal. Base y Coorde Coo rdenad nadas as de un vector vect or en R 3. EL PRODUCT PROD UCTO O VECTORIAL VECTO RIAL Propiedades Propie dades del producto produ cto vectorial. vectorial. Interpretaci Interp retación ón geométrica del producto vector vec torial ial.t .t PRODUCTO MIXTO DE VECTORES. VECTORES. Propiedades Propieda des e interpreta ción ción geométrica. RECTAS EN EL ESPACIO. Posici Pos icione ones s relati rel ativas vas de rectas en el espacio^ espacio^ Distanc Dist ancia ia de un punto punt o a una recta. recta. Distanci Dist ancia a entre dos rectas rec tas en el espacio. espacio. PLANOS EN EL ESPACIO. Ecuación Ecuaci ón vectorial vecto rial del plano. Dist Di stan anci cia a de un punto pu nto a uli plano. Intersecció Inter sección n de planos. Angulo Angul o diedro entre dos planos. 1.59 Angulo entre una recta y un plano. Proyección Proyec ción ortogonal de una recta sobre sobre un plano.
135
160 160 167 170 170 177 181 182 187 189 189 192 192
201 20 1 209 212 217 219 223 224 229 233 237 238
Conu'r.itio
1.61 1.61 Intersecc Inter sección ión de rectas rect as y planos. 1.62 1.62 Vectoie Vec toiess de n dimensiones. dimensi ones. 1.63 1.63 ESPACIOS VECTORIALES. VECTOR IALES. 1.64 1.64 Subespacíos vectoriales. 1.65 1.65 Independencia Lineal. 1.66 Bases y dimensione dime nsioness de un espacio vectorial. 1.67 Suma de subespacíos.
g
MATR MATRIICES CES
2.1 2.1 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10
Introducción. Introduc ción. 2.2 Definición. Definic ión. Orden de una matriz. Tipos de Matrices. Igualdad de Matrices. Suma de Matrices. Propiedades. Diferencia de Matrices. Producto de un escalar esca lar por unamatriz. una matriz. Propiedades. Propiedad es. Multiplicación de Matrices. Propiedades de la Multiplicación de Matrices.
yjj
241 241 251 251 253 258 264 269 276
281 281 282 283 284 285 286 286 289 293
MATRICES CUADRADAS ESPECIALES 2.11 2.12 2.13 2.14 2.16 2.19 2.20 2.21 2.22
Matriz Simétrica. Simétrica . Matriz Antisimétrica. Antisim étrica. Matriz Identidad. Matriz Diagonal. 2.15 Matriz Escalar. Matriz Triangular Superior. Superior. 2.17 Matriz Triangular Triang ular Inferior. Inferior. 2 18 Matriz Periódica. Periód ica. Matriz Transpuesta. Transpu esta. Matriz Hermitiana. MATRIZ MATR IZ INVERSA INVER SA Inversa de una Matriz Triangular.
2.23 TRANSFORMACIONES TRANSFORM ACIONES ELEMENTALES. ELEME NTALES. Transformación elemental fila. Matriz Escalonada Matrices Equivalentes. Rango de una Matriz. Matrices Elementales. INVERSA DE UNA MATRIZ por el método de
305 306 307 309 310 314 316 317 319 327 327
VIH
Contenido
Gauss-Jordan. 2.24 Sistemas de Ecuaciones Ecuacion es Lineales 2.25 Rango de un Sistema de Ecuaciones Lineales. Lineales. 2.26 Sistemas Homogéneos Homogé neos de Ecuaciones Lineales. Lineales.
343 351 351 359
[§) DETERMINANTES 3.1 3.2 3.3 3.4 3.4 3.5 3.6 3.7
Definición. Definic ión. Propiedades. Propiedad es. Existencia de los Determinantes. Menor de una componentes comp onentes.. Cofactor de una componente. Cálculo de determinantes determ inantes de cualquier cualquie r orden. Otras aplicaciones aplicacion es y Propiedades de los determinantes. 3.7.1 3.7.1 Regla de Sarrus. Sarrus . 3.7.2 Cálculo Cálculo de determinantes determ inantes mediante reducción reducción a laforma laforma escalonada 3.7.3 3.7.3 Propiedades Multiplicativas. 3.7.4 Rango de una Matriz. Matriz . * 3.7.5 Adjunta Adjun ta de una Matriz. 3.7.6 Inversa de una Matriz. 3.7.7 Matrices no singulares. singulares . 3.7.8 Resolución de sistemas sistema s de ecuaciones ecuacion es de dosvariables. dosvariables. 3.7.9 Resolución de sistemas sistema s de ecuaciones ecuacio nes en tresvariables. tresvariables. 3.7.10 3.7.10 REGLA DE CRAMER. CRAME R.
367 368 375 376 377 381 381 401 402 412 416 422 424 436 441 442 443
VECTORES 1.1
INTRODUCCION . Hace muchos años los griegos desarrollaron la
geometría elemental. Crearon una manera siste aática de analizar las propiedades de los puntos, las rectas, las triángulos, las circunferencias y otras configuraciones. Todo su trabajo fue sintetizado en "Los elementos de Euclides" , que han constituido las bases de la geometría plana y del espacio hasta nustros días. En tiempos recientes, se han agregado otros conjuntos de axiomas y postulados, cuyo efecto han sido mejorar la es tructura lágica, pero, en esencia, la materia ha permanecido idén tica. En 1637, el filésofo y matemático francés Rene Descartes re voluciono la matemática de su época al crear la Geometría Analíti ca introduciendo las coordenadas rectangulares, llamadas también en su memoria, coordenadas cartesianas; logrando así algebrizar las ideas geométricas de sus antecesores. LJLi.á.ea_ua_eate aátodo consiste en traducir, nediante.un sistema de coordenadas, los con ceptos y relaciones geométricos a conceptos y relaciones algebrai cas, y viceversa. En este capítulo estudiaremos el método anlíti co para lo cual precisamos familiarizarnos con el concepto de vec tor, un instrumento de gran valor en la matemática moderna.
1.2
COORDENADAS RECTANGULARES
En estudios anteriores de matemáticas definimos el producto ♦ cartesiano A*B, de los conjuntos A y B, como el conjunto de todos los pares ordenados (x,y) en los cuales la p/iimena componente, x , es elemento de A y la segunda componente y, es elemento de B. Por ejemplo, si A={2,3,5} y B={1,3), entonces: A*B = {(2,1),(2,3),(3*1),(3,3),(5,1),(5,3)) Un conjunto de pares ordenados AxB se puede visualizar como una red de puntos, tal como se indica en la Figura 1.
Vk.cto/L*ó
Come los pares ordenados de números reales sea elementos del prQ ducto cartesiano R*R, a este conjunto se le denota por R 2, es dg eir: R 2 = RxR = {(x,y)/xeR , yeR}
Figura t
Figura 2
Obsérvese, en la Figura 2, que cada par ordenado (a,b) en R 2 se puede asociar en forma única con un punto P del plano mediante un sistema de coordenadas rectangulares, al que se llama también * i*tema de coordenada* canteóia.no. El asociar a cada par ordenado (a,b) un punto P se lleva a cabo como sigue: a) Por un punto que corresponde al número a sobre el eje horizontal (eje de abscisas) se traza una recta paralela al eje verti cal. b) Por el punto que corresponde al número b sobre el eje vertical (eje de ordenadas) se traza una recta paralela al eje horizontal. c) Al punto de intersección P de estas rectas se le asocian las coordenada* (a,b). P se llama "la gráfica de (a,b)lf o simplemente "el punto (a,b)". En adelante, a los elementos de R 2 los denotaremos con letras mayúsculas: A,B,C, etc. Por ejemplo: A=(ax,a2), B(bx,b2). DEFINICION 1.
Dados dos pares ordenados A=(ax,a2) y B=(blfb2) en R 2, la suma de A y B, denotado por A+B, está defi-
nido por:
3
Ve.c£o/ie~¿
A+E = (a i,a 2)+ (bi,b2) (ei+bi , a 2+b2) Se puedeobservar que la adición de dos pares ordenados ros reales es otro par ordenado de números reales.
de núme-
Por ejemplo, si A=(2,~5) y B=(2,3)t entonces: A+B = (2,5)+(2,3) = (2+2,5+3) =
(4,2)
DEFINICION2.
Dado un número real r, llamado escalar y el par or denado A=(ai,a2), se denomina producto del escalar r por A, al par ordenado: rA = r(ai,a2) = (ralfra2) Obsérvese también que rA^R2. Por ejemplo, si r=2 y A=(1,3), entonces: rA = 2(1,3) = [(2)(l).(2)(3)] ■ (2,6) Dados los pares ordenados A,B,CeR 2 y los escalares r,seR, se cumplen las siguientes propiedades para la adición de pares ordenados y la multiplicación de escalares por pares ordenados: PROPOSICION 1.1
Ai: Si A,BeR 2 +•
(A+B)eR 2
(Clausura)
A 2: Si A,BeR 2 *■ A+B = B+A
(Conmutatividad)
Aj: Si A,B,CeR 2
(A+B)+C = A+(B+C)
A),: 5í0eR 2 /A+9 = 0+A = A, ¥AeR 2 Pi: Si reR yÁeR 2 ►
(Asociatividad) (Elemento identidad para la adición de pares)
rAeR 2
P 2: r(A+B) =rA+rB ,
¥reR ,¥A,3 e R 2
P s: (r+s)A =rA+sA ,
¥ r fseR , ¥AeR 2
P*: (rs)A = r(sA) , ¥r,seR , ¥AeR 2 P 5 : 3UR/1A = A , ¥AeR 2 A 5•: ¥AeR2, 3 lAeR 2/A+(A) = (A)+A = 6
(Elemento inverso nara la adición de pares)
Se recomienda al lector demostrar cada una de estas propiedades haciendo uso de las propiedades respectivas de los números reales.
4
Ve.ctosie.4
El conjunto R 2 de pares ordenados de números reales, junto con las operaciones de suma y producto definidas anteriormente recibe el nombre de e. 4 pac¿o vectorial tidiaie.nAÍonat sobre el conjunto de los números reales R y se denota por V 2. A los elementos de un es pació vectorial se les llama vectores; por tanto, podemos afirmar que el par ordenado (x,y) es un vector.
1.3
VECTORES EN EL PLANO
Un vector en el plano es un par ordenado de números . reales (x,y), donde x recibe el nombre de primera componente.(coordenada) e y se llama segunda componente. A los vectores en el plano se les denota por letras minúsculas o mayúsculas con una flecha en la parte superior. Por ejemplo: a , í , c , t. , S , etc. Dado dos vectores en V 2: a=(xi,yi) y í=(x 2 ,y2), podemos definir i) Si a = t
Xi = x 2
1 yx = ya ii) a + S = (xi+x 2 , yi+y 2 ) i ü ) ra = (rx i,ry i) jemplo 1 . Solución,
(Igualdad de vectores) (Def. 1) (def. 2 )
Si a=(2,3) y ?=(4»1), hallar el vector v=2a+3?. v = 2(2f3) + 3(4,1) = (*4,6) + (12,3) = (4+12 , 63)
(Def. 2) (Def. 1)
= (8,3) Ejemplo 2 . Solución.
Hallar el vector x en la ecuación: 2(1,2)+3x=(4,5) Supongamos que: x = (xi,x2)
»■ 2(1,2) + 3(xi,x2) = (4,5) + (2,4) + (3xx,3x2) = (4,5) -*■ (-2+3xi , 4+3x2) = (4,5) Por la igualdad de vectores se tiene: 2+3xi = 4 «*• xi=2 4+3x 2 = 5 ++ X2=3 Por tanto, el vector buscado es: x = (2,3)
(Def. 2) (Def. 1)
5
Vectoneó
Ejemplo 3.
Hallar todos los números reales r y s tales que: r U , 6 ) + s(5,2) = (7,6)
Solución.
(¿r, 6r) + (5s,2s) = (7,6)
(Def. 2)
U r + 5 s , 6r2s) = (7,6)
(Def: 1)
Por la igualdad de vectores:
4r+5s = 7 6r 2 s = 6
Resolviendo el sistema obtenemos: r=2 , s=3
1.4
REPRESENTACION GEOMETRICA DE U N VECTOR EN EL PLAN O Geométricamente un vector v=(x,y) se representa en el plano
mediante un segmento de recta dirigido o una flecha. La flecha se llama vecto/i geomát^iico . Un vector veR 2 puede interpretarse como • ► una traslación descrita por un par ordenado de números reales (x,y), la primera componente indica un desplazamiento paralelo al eje X y la segunda un desplazamiento paralelo al eje Y. Considerando que una traslación tiene un punto da S del plano, y un punto
Inicial o de pa/iti
inat o de llegada en T, cada vector
v=(x,y) tiene un número infinito de representaciones geométricas en el plano, todas elljté son paralelas, de^ igual longitud e igual sentido. (Figura 3)y '
La flecha asociada al par (x,y) que tiene un punto inicial en el origen se denomina /iepne¿entación ondinasiia de (x,y) y se dice que la flecha o vector tiene posición ordinaria o estandard.
DEFIÍJICIOM 3*
VECTOR LOCALIZADO
Un vector localizado en P.a es una pareja de puntos Pi y P 2 que se indican con PiP 2 para los cuales Fi es el punto de partida o inicial y P 2 es el punto de llegada c final (Figura ¿). Si una flecha tiene coco punto inicial a Piín.yi) y a P 2 (x2 fy2) * c o d o punto final, entonces la flecha PiP 2 es una representación geométrica del vector v =(xfy), donde: (x Fy ) = (X2 X 1 , y 2y 1 )
(1)
Si consideramos a los puntos Pi y F2como radio vectores entonces, según la definición 3: v = PjP2 =
*"*■ ? 2 =
+ v
«
(2 )
Esta ecuación nos permite conocer analíticamente el punto final P 2 del vector v conociendo, desde luego, el punto inicial y las componentes del vecor v. DEFINICION 4.
VECTOR DE POSICION
Todo vector que tiene posición ordinaria, es decir, al vector que tiene su punto inicial en el erigen se llama uecioe de posición o ziadío vector. Observaciones: %
1.
2.
El vector localizado Px P 2 es equivalente al vector de posición v=? 2 ?i. La ley del parlelograno hace evidente esta equi valencia. (Figura 5) La notación P(x,y) identifica un punto en el plano y sus coor denadas (x,y) identifican a un vector o a su representación
Figura ¿
Figura 5
Veciore* Ejemplo 1
Hallar el vector de posición de P 1P 2 si Pi(5»2) y P 2 (2 ,3 ). Interpretar geométricamente el resultado.
Solución.
Según la definición 3: V = Pl P2
= ?.?! = (2,3)(5,2)
= (25, 3+2)
► x
= (3,3)
Ejemplo 2.
Un vector que va de R(3,5) a S(x,y) representa al mi mo vector que va de S(x,y) a T(8,1). Hallar S(x,y).
Solución.
Sean: a = R S = 2 & =
(xfy)(3,5) = (x3,y5)
t = ST = f 3 = (8,1)(x,y) = (8 x,1y) Si a=1>
(x3.y5) = (8x, 1y)
x 3 = 8x
*■ x = 1 1 / 2
y5=1y
y=3
Por tanto, el punto buscado es: S(11/2,3) Ejemplo 3.
En la figura adjunta se tiene: OP=x 3 y OQ=x 2y. Si a=S, siendo
£=(y 3+19» 6+x y2). Halla r el valor de x+y. Solución.
La.s componentes del vector a son OP y OQ
Luego, si a=S
+
a= (x s,x2y)
c3 = y 3+19 x 2y = 6 +x y 2
+
(1 )
x 3 y 3=19 x 2yxy 2 =6
+
(2)
Multiplicando por 3 la ecuación (2) y restando de (1) se tiene: x 3 3x 2 y+ 3 xy 2 y 3= 1
(xy) 3=1 , de donde: x=y +1
(3)
Sustituyendo (3) en (1) obtenemos: y 2 +y 6=0
y= - 3
ó
y =2
Descartamos la segunda alternativa ya que en la figura dada, OP es negativo. Luego, en (3): x=3+1=2 .\ x+y= 5
r
o
Ve.ciosi&¿
EJERCICIOS 1.
Dados: a=(3,4), £=(8,1) y c=(2,5), hallar el vector v si: a) v = 3a
2Í + c
Rp. v=(9,5)
b) v = ¿a
+ ^(£c)
Rp. v=(17,19)
c) v = 2(aS) + 3c 2.
Rp.
v =('-16,9)
Hallar elvector x en las siguientes ecuaciones: a) 3(0,2)+2x5(1,3) = (3,5) b) (15.12)+2 ( 6 ,5)+x
= ¿(1;2)
*
Rp. x=( 1 ,8 ) Rp. x=(|,2)
♦
3. En las siguientes relaciones hallar, si existen, todos los números reales r y s. a) r(2,3)s(8, 1 ) = (16,15) b) r(5,1)+s(3f5) = (2,8) c) r(2, 3) + s(4,6) = (0,2)
Rp. s=3 Rp. r=1/2, s=3/2 Rp. ^r,s
4. Dados los vectores a=(3x5,x2y+2) y í=(xy2,32y), hallar x e y de modo que: 3a=4b Rp. x=5, y=9/2 5. Si a=(2m3n,4nm) y £=(2,3), hallar los valores de m y n que hacen que: a=5^. Rp. m=1, n =- 4
6 . SI vector v=(3,2) es el vector de posición del segmento AB, cuyo punto medie es C(3,1). Hallar las coordenadas de los extremos del segmento A3. Rp. A(3/2,0), B(9/2,2) 7
Sean los puntos ?(5/2,5), QO/3,13/4), R(l6/5,7/2) y S(x,y) Si PQ y RS representan al mismo vector, calcular el valor de 30x+80y Rp. 21
8 . Sea v=(7,ó) el vector de posición del segmento AB y C(|,3) el punto de trisección más cercano de B, de dicho segmento. Hallar las coordenadas de A y B. Rp. A(3,7), B(4,1) 9.
Sean A(a,2), ‘B(2,4)„ C(8,3) y D= (x,y)/y=2x+1 . Si AB=GI)) hallar el valor de ax. Rp. 8
10. En la figura adjunta se tiene: 0P=x 3 y 0Q=6x Hallar a, si $=(9xyy 3,y) y a=t.
o/
VectoneA
1.5
MA GN ITUD DE UN VECTOR Para cada vector veR2, v=(x,y), existe un escalar o número
llamado nonma, módulo o magnitud de v, denotado por ||v||,
tal
que: (3)
= /x 2+y 2 La fórmula (3) es coincidente con la
(x.y)
noción intuitiva de longitud de un segmento derivada del Teorema de Fi tágoras. La Figura 6 ilustra esta pro piedad. Figura 6
Ejemplo 1.
Hallar la magnitud del vector de extremos A(1,3) B(2,7).
Solución.
Si v es el vector que va de A a B, entcnces: v = AB = 5í = (2+1f 7 - 3 ) = ( - 3 , 4 )
Luego, según ( 3 ) :
|| v ||
= / ( - 3 ) 2+ ( 4 ) 2 = 5
PROPIEDADES DE LA NORMA DE UN VECTOR EN R 2. Nií ¥acR 2 , ||a||>0 N 2 : ||a||=0
a = 0
.
n f
)
N 32 ¥teR , ¥aeR2, ||ra|| = |r|||a|| N*: ¥a,í>eR2 , | |a+í| | ^||a|| + | |1>| |
(Desigualdad triang.)
Demostración de Ni: En efecto, si a=(x,y) Si x^O e y^O
+
*■
||a| | = / x 2 +y 2
||a|| ¿ 0.
Sabemos que si existe la raiz cuadrada de un número, esta es positiva, por lo tanto,
||a||> 0 .
Demostración de N 2: (0 Si a =6 («) Si ||a||=0
a=(0,0)
►
| |a| | = /O^+O 2 = 0
# ||a|| = / x 2 +y 2 = 0 . La igualdad es váli
si x=y= 0 , esto es, a= ( 0 ,0 )= 0
||a | | = 0 «*■ a =0
10
Vcctc
Demostración de N$: En efecto, si a=(x,y)
* ra=(rx,ry)
y ||ra|| = /(rx) 2+(ry ) 2 * /r 2 (x2 +y2) Por consiguiente i 1.6
= /r 2 /x 2 +y 2
||ra|| * |r|.||a||
DILECCION DE UN VECTOR EN R 2.
A cada vector no nulo, v=(x,y)eR2, le corresponde una direc ción dada por la medida del ángulo a (ángulo de dirección de v), que forma el vector con el semieje positivo de les X, para el cual: Sena =
11*11
/x2*y
11*11
/x*+y
<*)
Cosa = y 0o i m(o) í 360°.
De las ecuaciones (¿) se sigue que: v = (x,y ) = ||v||(Cos a,Sena )
(5)
Por tanto, un vector queda determinadc por su magnitud y su dirección. Observación.
La dirección m(a) del vectcr v se obtiene de la ma ñera siguiente: Mediante un ángulo de referencia ai y haciendo uso de una tabla de valores se halla el valor de C x<0 x<0 x>0
P P
y>0 y >0
y <0 y<0
a(a) m(a) m(a) m(a)
= * = *
m(ai) 180°ic(ai) 18C°+m(ax) 360 °o(ai)
(Cuadrante (Cuadrante (Cuadrante (Cuadrante
I) II) III) IV)
Desde luego, si x~0 pero y¿0, entonces m(a)=9C° ó m(a)»27C° res pectivamente para y >0 ó y< 0 . Ejemplo 2 .
Hallar la magnitud y dirección del vector v=( 3 ,¿).
11
Ve c.to/Le¿
Solución,
Según (3)» la magnitud del vector v es:
llvll = Á - 3 ) 2 + U ) 2 = 5 Por las ecuaciones (4) la dirección del vector está dada por: Sena = 4 o Dado que Sena>0 y Ccsa<0, entonces a está en el II cuadrante Angulo de referencia:
Tgai = \~^\ - ^
ai = 53 0 8*
Por tanto:
m(a) = 180°53o 8' = 126°52*
Ejemplo 3.
Expresar el vector v=(3,3/3) en términos de su mag nitud y de su ángulo de dirección.
Según (3): ||v|| = /(3) 2 +(3/3 ) 2 = 6 y por las ecuaciones (¿): /"3 i Sena = — ^ y Cosa = -g
Solución.
Como Sena<0 y Cosa>0, entonces a está situado en el IV cuadrante. Angulo de referencia: Tgai = |^| = /3 de donde: m(ai)=60° + m(a)= 360 o 60°= 30 0 ° Por tanto, según la ecuación (5): v = 6(Cos300°,Sen300°)
1.7
VECTOR UN ITA RiO
Dado un vector no nulo v= (x ry), llamamos vecto/i uniianio a un vector u que tiene la misma dirección de v para el cual: -+• ■+ x % y V (6) u = ) = ( ■y -y v V o bien: (7) u = (Cosa , Sena) Ejemplo 4
Hallsr un vector unitario que tiene la misma direc ción y sentido del vector v=(3»/7)
SoluciÓn.
Según (3):
l|v|| = /(3) 2 +(/7 ) 2 = 4
12
Vcctosie.*
_ (3,/7) _ ¡ 3 , - 7 ) y por (6 ;: u* ------ j-------( - 7 Ejemplo 5 .
Hallar un vector de modulo 10 , que tenga la misma dirección y sentido opuesto al vector que va de
S U , 2) a T( 1,6 ). Soíucíin. ~
Sea v=ST=$§=(14,62) = (3. ¿) Un vector unitario en I b . dirección de v es: . Luego, el vector tuscado es: v = ||v||u
v = (6 ,- 8 )
EJERCICIOS En los ejercicios del 1 el i, se dan las coordenadas de los puntos A y B. Expresar cada vector v=AB en términos de su magnitud y de su ángulo de dirección. 1.
A (.-3,1) , 3(5,6)
R. v=2/2(Cos135°,Sen135°)
2 . A(/l2,3) , B(/27,¿)
R.
v=2(Cos330°,Sen330°)
3.
A (5/3,4) , B(/4?,5)
R.
v=2(Cos150°,Sen150°)
A.
A(3/5>/i5) » B(/2Ó,/60)
R. v=2/3(Cos2A0°,Sen240°)
5. Hallar un vector v cuya magnitud es igual a la del vector . . a“(4.,3) y cuya dirección es la misma que la del vector
t - (1 l/5 )-
Hp. ? . ( | . ^ 2 )
6 . Hallar un vector de modulo 10 que forma un ángulo de 37° con eleje X positivo. (Sug. Cos37°=4/4) Rp, v=( 8 ,±6 ) 7.
Hallar un vector de módulo 15 que forma un con el eje Y positivo. (Sug. Cos53°=3/5)
ángulo de 53° Rp. v=(12,9)
S.jj^Hallar un vector que tenga la misma magnitud del vector que * va de A(2,3) a B(5»4) y que tenga el sentido opuesto al vector que va de S(9.1) a T(12,7). Rp. v*/5(1,2) 9".?Hallar un vector v de longitud 6/3 y que tiene la misma dirección de un vector que forma un ángulo de 30° con el sentido positivo del eje X. Rp. v = (9,t3v^3)
Ve.ci.o/ie.6
13
OPERACIONES VECTORIALES 1.8
ADIC IO N DE VECTORES EN EL PLANO
Dados dos vectores a y $ en R 2 tal que a=(xi,yi) y $=(x 2 ,y2), definimos la adición del modo siguiente: a+S = (xi,yi)+(x 2 ,y2 ) = (xi+x 2 ,yi+y2) Por ejemplo, si a=(5,7) y $=(3,2), entonces: a+$ = (53.7+2) = (2,5) PROPIEDADES DE LA ADICION VECTORIAL.
Si a,í> y c son vectores en R 2, entonces se cum-
plen las siguientes propiedades: Ai: (a+b)eR 2
Clausura
A 2 : a + í = í +a
Conmutatividad
A a: (a + í) + c= a + (S + c) A*: 30 eR 2 , ¥aeR 2/a+0=9+a = a
Asociatividad Elemento neutro para la adición
A$: VaeR 2 , 3 (a)eR2/a+(a)= (a)+a = 0
Opuesto de un vector
Demostración de Ai: En efecto, si a=(xi,yi) y Í=(x 2 ,y2 ), entonces: a + .% = (xi+x2,yi+'y2 ) Puesto que la adición es cerrada en R ► (xi+x2)eR y (yi+y2)eR Por tanto: (xi+x 2 ,yi+y 2 )eR2 %
(Def.1)
(a+b)eR 2
Demostración de A 2: Consta de dos partes: Existencia y Unicidad. Existencia.
Unicidad.
Si a=(x¡,yi), se tiene: a + 0= (xifyi)+( 0 ,0 ) = (xi+ 0 ,yi+0 ) = (xi,yi) = a Análogamente: 0 + a = a Sea 9i otro elemento de R 2 que tambiéncumple
a + 6 i = 6 1 + a = a Esta igualdad es cierta ¥aeR2, en particular si a=9, entonces:
u
Ve.cio/te.4
6 + 0i = 0i + 0 0 Análogamente, haciendo a= 6 i en Ai» se tiene que: 0 i + 0 = 0 + 0 i = 0a Por lo que las dos igualdades anteriores prueban que
0i = 0 Se deja al lector demostrar las propiedades A 2,A 3 y uso de las propiedades que cumple la adición en R.
1.9
As haciendo
REPRESENTACION GRAFICA DE LA ADICIO N DE VECTORES EN EL PLANO
Dados a y íeR2, la flecha que representa a la suma í+íl se obtiene de la manera siguiente: Representamos una traslación a lo largo de una flecha cualquiera que represente al vector a=(xi,yj) seguida de una traslación del punto final de esta flecha a lo largo de la flecha que representa al vector Í=(x 2 »y2 )* La traslación total correspondiente al vector a+t, es una flecha que tiene como punto inicial el del vector a y como punto final el del vector í. (Figura 7)
En esta construcción los vectores a y b son lados adyacentes de un paralelogramo y la suma a+b es la diagonal correspondiente. La obtención de la suma de vectores siguiendo este procedimiento recibe el nombre de te.y det payiate.togA.amo, que se ilustra en el siguiente ejemplo.
V&ctonc*
15
Ejemplo 1.
Dados los vectores * a= (1,4) y S=(3»2), hallar a+S y construir una gráfica que muestre las representacio nes ordinarias correspondientes a los vectores. Solución.
Por definición: a+? = (1+3,4+2)
= ( 2, 6) Observemos que la flecha que va de S a T representa al vector a y la flecha que va de R a T representa a 1>. (Por segmentos de paralelas)
DEFINICION 5.
NEGATIVO DE UN VECTOR EN R 2
Si ae R2 , tal que'a=(x,y), se denomina negativo inverso aditivo de a al vector: a = (x,y)
o
Por ejemplo, el negativo del vector a=( 3 ,2 ) es a=( 3 ,2 ) Observación.
Dado el vector aeR2, su negativo aeR 2 es colineal, de la misma magnitud; es to es: |a|=|a|, pero de sentido o puesto que el vector a.
1.10 SUSTRACCION DE VECTORES Dados dos vectores a,SeR2, tal que a=(xx,yi) y í= (x 2 ,y2), definimos la diferencia aí> del modo siguiente: a í = a + (Í) = (xi,y i) + (x 2 ,y2) a í> = (xxx 2 ,yiy2) Ejemplo 2,
(8 )
Si a=(4,2) y S=(3>3)> hallar la diferencia aS y tra zar una gráfica que muestre la representación ordinaria de los tres vectores. óvluci&n.
Por definición:
aí = (U, 2)(3»3) = (á,2)+(3,3) = U+ 3,23) •= (7,1)
16
Vecto/ie¿
La representación ordinaria de cada uno de ios vectores se muestran en la Figura 8 . Debemos destacar que, el inverso aditi vo de (-3,3) es (3 , 3 ) (negativo del vector í¡), que es colineal y de la misma magnitud que ( 3 »3 ) pero de sentido opuesto. La representación geométrica de aS puede obtenerse aplicando la regla del paralelogramo a la suma a+(?>). La Figura 9 nos mu estra otra manara de representar la diferencia a^. /■ y (3 ,3 )
J
X
L ' 2)
\
S
0
V o sa_D ^ ''i71) ■
(3 , 3 )
Figura 8
Figura 9
Observaciones: 1
Si a, S e R2, entonces la diferencia aS satisface la condición í+(ab)«S, lo que explica porque algunas veces se dice que la diferencia a*S ®^_el^vector^ que v.a de $ a^ a.
2.
El vector diferencia une los puntos finales de los vectores S y a (Figura 9)
3*
Si a, ícR2, son vectores no nulos, entonces aS ¿ Sa
Ejemplo 3.
Sea x un vector tal que (3, i)=x+(1,6 ). Si (3,2 )=tx+r( 1 ,1 ), hallar el valor de 3r+ 6t.
ScCución.
En la primera ecuación se tiene:
(3,¿)(1,6) = x + (1,6) (1,6) + (31,4.+6) = x + 0
+ (2,2) = x Luego, si (3,2) = t(2,2)+r( 2 ,1 )
+ (3,2) = (2t+2r,2t+r) Por igualdad de vectores: 3=2t+2r y 2 =2 t+r Resolviendo el sistema obtenemos: r= 5/3 y t=l /6 •\ 3r+6t = - 6
(AJ
17
Vcctoneó \
Ejemplo 4.
Dados: a=(2,2), ?>=(3,2) y c=(1,l), resolver la e cuación: 3 a 2 [3 (t>2 c) + 2 aJ + 3x = 2 c + x.
Solución *
Restando 2c+x a cada ext remo de la ecu ación dada tiene:
3a6 (S 2c) 4a +3x (2c +x)
se
= (2e+x)(2c+x)
a 6l>+1 2 c+ 3x 2 cx = 0 de donde: 2x = a+ 6Í10c = (2 ,2) + 6(3»2) 10(1,1) = (2 +18+10 , 27210) = (26,20) ••
Ejemplo 5.
x = (13,10)
Mediante segmentos orientados demostrar la propieaad Aa: (a+S)+c = a+(S+c). 1
De.mc¿¿/iación,
En efecto, sean los segmentos orientadas: PT = a , TS = S , SR = o PR = x Por la interpretación gráfica de la suma de vectores se tiene: En el APTS: P S = P T + TS = a + í> En el ATSR: TR = TS + S R = í ¡ + c En el ¿PSR: PR = PS + SR *■ x = (a + S) + c (1 ) En el APTR:
PR = PT + TR x = a + (S + c)
(2 )
Por tanto, de (1) y (2) se sigue que: (a+í) + c = a+*($+c) Ejemplo 6.
Sean a=(2,3) y í=(4,3). Un segmento dirigido, que 2“* 1^ tiene por punto inicial representa a (•jagb)
S(5,3/2); hallar el punto final. Solución,
Sea T(x,y) el punto final del segmento ST. Si ST = |a g1> ►
Entonces:
(x5.y + 4)
= (2,í)
Por tanto, el punto final es:
ÍS = §(2,3) gU,3)
{
x5 = - 2
►
y+3/2 = 5/2
T(3»1)
x=3
=1
18 Ejemplo 7.
!/ecto*.e.¿
Se tiene: 2(2,3)+c = (3,5)+(a,7) y c está sobre la recta L:y=x+2. Si A(3.5) y B(2.6), hallar el punto
P tal que PC = AB. Solución,
Si ceL
+
e=(x,x+2) 2(2,3) + (x,x+2) = (3» "5) + (a+7> x = a- 1
{
x +2 = 8
Luego, c=(6 ,8) . Si P(xi,yi) y PC=AB (6xi,8yi) = (5.1)
'*“*■
x =6
► c-P = (BA) = A B 6xi = 5 * xi=1
8y i = -1
*■ y =9
p(i,9) Ejemplo 8
Los vectores a,S y ceR2, cumplen que: a+2 Í=c y a3Í=2c. Siendo a un vector unitario, hallar la ñor
ma de ?>+c* Solución• Luego,
De las ecuaciones dadas se tiene
c2Í¡ 2c+3Í
í>+c = ^a
•*
¿ 7
(2 )
% ~ ^a
ií+cii = 4 ii¡n
Como a es un vector unitario Ejemplo 9.
(1)
= 5$
Sustituyendo en (1) obtenemos: Entonces:
a = c-2$ a = 2c+3Í
=1
|í+c
En la figura adjutíta se tiene: 5 y 0L=27/2 OM = |x .
Si a=(2x3»lx 2 +4y2) y $=(^xy2, |xy), hallar xy de modo que: Solución•
* x
2 s = (j)a2 o.
Las componentes de s son OM y ÓL + s
27
Luego: 2(|x,¿|) = ^(2x3,¿x 2 U y 2) 2 (^xy 2, |xy) <5x,27) = (|x9 |xy2, j x 2+ j y 2+ |xy)
5x = | x 3 ycyz 27 = |x2+ *|xy + |y2
19
Ve.cto/ie.4> ( 1)
if = (x+y) (xy) = (x+y)z
+
(2 )
(x+y) = ¿
Sustituyendo (2) en (1) se tiene:
¿(xy) =
12 2
xy = | B
Ejemplo 10.
Sea el exágono regular.de lado a, mostrado en la figura. Al sumar BA, AC, DC y AE se obtiene un vector s; hallar la norma de s. Solución•
Por geometría elemental sabemos que Jl$=r=a y ¿ 3=r/ 3 * entonces: ||AC ||=||AE||=a/J , por ser lados de un triángulo equilátero. Trasladamos los vectores indicados a un sistema bidimensional con origen en A cu yo eje X siga la dirección de AD, y apli cando la ecuación (5 ) tenemos: BÁ =
|1BA | |(Cos240o ,Sen2¿0o )= aíj,*^)
AC =
|1AC ||(Cos30°,Sen30°) = a / 5 ( ^ ,
= a
DC =
||DC||(Cos120°,Sen120°) = a( ~ ,
)
¿1 =
||ÁE| |(Cos330°,Sen330°) = a/5(¡^| , - \ ) = a(|
Luego,
, &)
s = BA + AC + DC + AE = (2a,0) .% Ilíll 2 a
Ejemplo 11.
En la figura adjunta se tiene: IIa II=3. M$||= 2 ||c||=2/ÍÓ , Tga=l/3 y Tg8=3. Hallar el valor de m de mo do que: * ■* + J_ 3oí ma b = nc Solución,
Si Tga=1/3 Tg6=3
+
Sena=1//Í0 SenB=3//10
y y
Cosd=3/*/T0 CosB=1//Í0
Un vector unitario en el sentido de a es (1,0)
a=3(1,0)
Ve.ct.OA*ró
S = ||S| |(Cosa,Sena) = 2/TÜ(3//T?J,1//Tü) = (6,2) c = 11 c| |(CosB.Senfí) = /Tü( 1//TÜ*, 3//TU) = (1,3) Entonces, si m(3 #0 ) + 3 (6 ,2 ) * n(l,3) Sustituyendo en (1) obtenemos:
3m 18 = n (1) 0 6 * 3n ► n =-2
m16/3
Ejemplo 12
En el gráfico se presenta una pirámide regular cuyas aristas laterales miden 2a. Si el lado de la base cuadrada mide a, calcular: ||?i + falJ. Solución..
En el plano BVD se tiene: fi = BP + PV ?2=DP+PV=PD+PV=3P+PV Luego:
+ f* = 2PV ► ||?i + ?a|I = 2| |PV||
1 I?» + f.l I 2 h = 2 A z I y T ^ y
de donde: ||?i + ? 2 || a/TZ Ejemplo 13.
La figura adjunta es un tetrao dro regular de arista a, M es ci unto medio de AC Si s=vi+V2+V 3+v*, hallar la norma de s. Solución.
En el ABVC: CB = v* + v 2 En el AAVM: AM = vj + íj
Efectuando la suma se tiene: s = C B + A M = C B + M C = M B *** IIa I | = ||MB |I (Altura de un triángulo equilátero de lado a)
Ejemplo 1^.
I ls il = En el
triángulo ABC, M es un
punto
de ÁC tal que ÁM = ^MC
Si la norma del vector BM es 2, hallar la norma del vector: v = 2BÁ + 3BC. »
Solución.
En el AAMB: BÁ=BMÁM = BM |mc En el ABMC: BC = BM + MC
21 Luego:
v = 2(BM ^MC) + 3(BM + MC), de donde:
v = 5BM
/. IIvf | = 51 |BMI I = 10 ' Ejemplo 15.
En la figura adjunta, el trián gulo OAB es isósceles con 0A=AB y PH es perpendicular a 0B y mide 6 unidades Si I IAQI |=21 |QB||, hallar ||PQ| |. Solución,
Sea 0H=x
+
AOMA * AOHP
P(x, 6 ) AM PH
8
2
x
z
PA = Í? = (2 ,8)(|,6 ) = (^.2 )
Luego: P(^ ( 1 . 6)
Además: AB = í-t = U , 0 ) - ( 2 , 8 ) Si I|AQI|=2 ||QB|| En la figura:
OM OH
= (2,-8)
ÁQ = |ÁB = |(2,8)
PQ = PÁ + AQ = ( ^ , 2 ) + | ( 2 , - 8 )
IiPQl I = 4 /(11 ) 2 + (2 C) 2
1
= - g ( 11 f - 2 0 )
/521
Ejemplo 16.
La figura es un prisma rectangular de altura 3h y sus bases son triángulos equiláteros de lado 2h. P es punto medio de AB, Q es punto medio de FE ; hallar la norma de PQ. Solución,
Si por P trazamos PM||BC, entonces: I |PM|| = 1 \ |BC|| = h
Por el teorema de Pitágoras:
||PQ||a= I|PM | | 2 +| |MO | |
+ I |PQ | | 2 = h 2 +(3h ) 2 = 10h2
II PQ I I =’ h/TO
Ejemplo 17.
En la figura adjunta, si P es tal que el área del trián guio APC es el doble del área del triángulo CPB; hallar ||CP||. Solución,
Por geometría elemental sabe mos que:. a(AAPC) _ AP x PC _ AP _ a(ACPB) PB x PC PB
Victo**.*
de donde: ♦
£ 1 = 2 (S £)
AP * 2PB
x+4 ® 2(2-x) y-2 = 2(10-y)
(x U. y -2 ) = 2(2-*, 10-y)
Enton ces : CP *
* (0,-2— )-(2,2) * ^(- 3,8 )
Por consiguientes
11CP11 = ^ /( 3) 2 +8a 3 ^ /73
Ejempl o 18.
y=22/3
Si ABCDEF es un exág ono regular cuyo lado aide a unidades, cal
cu la r el v alor de: Solución*
x=0
| |*jAE + ^ 5 f ||.
Trasladan do los vec tor es a un sis tema cartesiano de origen A y eje
X sobre AD, tenenos: ÁÉ = | |1É| |(Co8330°,Sen330°) =
- ■£)
.* F _ = §(3,/3) CF = ||C?||(Cos2A0o .Sen2AQ°) = 2a(--|, - ^ ) -
CF = a(-1 ,-/3)
Luego:
-^AE + ^CF = ^( 3, -/ 3) + ^ a ( - 1,-/5) = -g( - 1, - 5/3) 5/3) 2 = | / T3
Ejemp lo 19.
En el rombo de dia gon ale s D y d tal como se indica en la figura, hallar la norma del vector: p < V V j
+ V 2 + V,+
V %
donde los vectores v 1, v a, v 3 y
llegan
j
a los pun tos medios de los lad os del rom I bo. k Solución.
Consi deran do un sis tem a cartesiano con sus ejes X e 1 sobre las diagonales PR y SQ, respectivamente, teñe-
mos:
vi = Rí ? í «
vi
I
PQ
v«
' i ’ - f r K
Vzc tone.*
23
/D d\ = QH = Í $ - ^ ’~ v - (o , ) 2 »• Luego: v * Vi + V 2 V3 Vi, = (0 ,d) v
.
«i
fa,
• t i tV 1 I = d
EJERCICIOS 2 ^ 4a En los ejercicios del 1 al $, si a,o y c son vectores en E , demuestre la validez de cada afirmación. «
1. 2. 3. l, 5.
a + S = í + a a + (a) = (a) + a = 0 Si a + í = c a = c í> Si a + S = S > a = 6 Si a + í = 0 +■ a =
^
(Propiedad conmutativa: A2) (Inverso aditivo: A$) (Unicidad del‘idéntico aditivo) (Unicidad del inverso aditivo)
6 . Mediante segmentos orientados demuestre la oropiedad k 2i a+S = % + t . 7.
Dado el triángulo ABC, demostrar que: AB + BC + CA = 6 . (Sug. Usar la def.3: AB=§Í)
8 . Dados los vectores a=(5»2), 1>=(3»A) y c=(7,¿); resolver la ecuación: 2 x tpa 3% = 4c. Rp. x=( 3 >9 ) 9. Sea x un vector en R 2 tal que: (5,2)=2x+(1, 8 ). Si (5»3)=tx+r(2,1), hallar el valor de 2t+r.
Rp. 2
10. Dados los puntos A(5,1)> B(2,3), C(3»2) y D(1,4); determinar el punto X(x,y) de modo que: 3ABXD = 3AX ^CD + BC. Rp. X (2,17/2) 11. Se tiene 2 [(5,1)+?J =3( 1 ,3 )(1, a). Si A(2,3), B(3,1) y el punto final del vector c, en posición ordinaria, está sobre el conjunto P={(x,y)/y=x 2 1); hallar las coordenadas de un punto P tal que: AP+2PC=AB. Rp. p(9,9) 12. En el exágono regular ABCDEF, de lado a, hallar la norma de s, sabiendo que: s = §(AD + ¿DE) + ^EB.
Rp. 2a
Ve.ctoA.A-6
Siendo a=(5,2), í=(2,5) y c( 3 ,1 ), hallar un vector uni tario en la dirección y sentido de v= 2 a 3Í+ 4c. Rp. ♦ U = / ( 8 , 15 17 ) La base de la pirámide regular de la fi gura es un exágono regular de lado a. Si VÁ=VB=VC=VD=VÍ=VF=bF hallar la norma de s, si s = VÁ+VB+VC+VD+VÉ+VF. Rp. 6»/b2a 2 Dados los vectores a=(5#2) y 1>=(3»¿}f hallar un vector u nitario de sentido opuesto al vector a^í. Rp, u=(5»3/5) En la figura adjunta, P es un punto tal que el triángulo de área Ai es tres veces el área del triángulo de área A 2 . Hallar la norma del vector v. Rp. ¿ /T 7
0, 8)
(-6, 0)
Los vectores a,1¡ y c en R 2, cumplen que: 2a3Í=c y 3a2Í=5c Siendo a un vector unitario, calcular la norma de bc. Rp. 2/13 Se ¿lene un prisma rectangular de altura 2 h y cuyas bases son triángulos equiláteros de lado h. Si A y B son puntos medios de PQ y RS respectivamente, hallar ||AB|| Rp. | /T7 En la figura adjunta, OABC es un cuadra do* P#Q»R y S son puntos medios de I 03 lados OA,AB,BC y CD respectivamente. Ha llar ||ST + BH|| si T es punto medio de PQ y H es punto medio de QR. Rp; 2/2 Sean a y t vectores en R 2 tales que í> es el opuesto de a. Si í> tiene el mismo sentido que el vector c=(1/3,1/4) y la norma de a es 5, hallar el vector x=2S+a. Rp. x={¿,3)
Vectoee*
25
1.11 MULTIPLICACION DE UN ESCALAR POR UN VECTOR Dado un vector v=(x,y)eR 2 y un escalar reR, el producto del escalar por el vector es otro vector rv para el cual: rv = r(x,y) = (rx,ry) La magnitud de rv es ||rv¡|= |r|||v|| y su dirección es la misma que la de v, aunque su sentido puede ser opuesto, es decir, los vectores v y rv son paralelos. Nota.
Al vector rv se denomina máítipío e¿ca¿ae de v.
REPRESENTACION GRAFICA.
Según que r sea positivo o negativo la / gráfica de rv puede ser:
*■x
r>0
r<0
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION DE UN ESCALAR POR UN VECTOR SÍ a y 5 son vectores en R 2 y r,seR (escalares), se cumplen las siguientes propiedades: raeR (rs)a := r (sa) la = a •f ra = 0 ++ r =0 ó a= 9 M 5 : la = ■a + M 6: r(a+£) = ra + rS Mi: M2 : M 3: M* :
.
+ + (r+s)a = ra +■ sa M 7 : llrall = Ir |. Ma||
Clausura Asociatividad Neutro multiplicativo Cero multiplicativo Inverso aditivo Distribuidad respecto a la adición de vectores. Distribuidad respecto a la adición de escalares Magnitud respecto a múl tiplos escalares.
Vectoee*
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1.11 MULTIPLICACION DE UN ESCALAR POR UN VECTOR Dado un vector v=(x,y)eR 2 y un escalar reR, el producto del escalar por el vector es otro vector rv para el cual: rv = r(x,y) = (rx,ry) La magnitud de rv es ||rv¡|= |r|||v|| y su dirección es la misma que la de v, aunque su sentido puede ser opuesto, es decir, los vectores v y rv son paralelos. Nota.
Al vector rv se denomina máítipío e¿ca¿ae de v.
REPRESENTACION GRAFICA.
Según que r sea positivo o negativo la / gráfica de rv puede ser:
*■x
r>0
r<0
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION DE UN ESCALAR POR UN VECTOR SÍ a y 5 son vectores en R 2 y r,seR (escalares), se cumplen las siguientes propiedades: raeR (rs)a := r (sa) la = a •f ra = 0 ++ r =0 ó a= 9 M 5 : la = ■a + M 6: r(a+£) = ra + rS Mi: M2 : M 3: M* :
.
+ + (r+s)a = ra +■ sa M 7 : llrall = Ir |. Ma||
Clausura Asociatividad Neutro multiplicativo Cero multiplicativo Inverso aditivo Distribuidad respecto a la adición de vectores. Distribuidad respecto a la adición de escalares Magnitud respecto a múl tiplos escalares.