Vedrana Kozulic - Gradjevinska statika I

Prof. dr. sc. Vedrana Kozulić

GRAĐEVINSKA STATIKA 1

Predavanja

Akad. god. 2007/08

Građevinski fakultet Sveučilišta u Rijeci

Literatura

V. Simović: Građevna statika I, Građevinski institut, Zagreb, 1988. I. P. Prokofjev: Teorija konstrukcija I, Građevinska knjiga, Beograd, 1966. I. P. Prokofjev: Teorija konstrukcija II, Građevinska knjiga, Beograd, 1968. V. Andrejev: Mehanika II - kinematika, Tehnička knjiga, Zagreb, 1973. W. Wagner, G. Erlhof: Praktična građevinska statika I, 1979. H. Werner: Tehnička mehanika, 1986. M. Đurić: Statika konstrukcija, Građevinska knjiga, Beograd, 1979. M. Đurić, P. Jovanović: Teorija okvirnih konstrukcija, Građevinska knjiga, Beograd, 1977. J. C. McCormac: Structural Analysis, 1966. S. P. Timoshenko, D. H. Young: Theory of structures, McGraw-Hill, New York, 1988.

Vedrana Kozulić

Građevinska statika 1 – Uvod. Struktura konstrukcije

2

ZADAĆA GRAĐEVINSKE STATIKE Građevinska statika jedan je od kolegija mehanike konstrukcija. Osnovni zadatak - projektiranje stabilnih građevina nosivi sklop - konstrukcija •

Pretpostavka da su vanjske i unutrašnje sile u ravnoteži na nedeformiranom nosaču ⇒ linearnost uvjeta ravnoteže

•

Pretpostavka o malim pomacima ⇒ linearnost veza deformacijskih veličina i pomaka

Postupci proračuna: •

analitički

•

grafički

•

grafo-analitički

Konstrukcija: geometrija + opterećenja -

Proračunski modeli (sheme) konstrukcije

VRSTE KONSTRUKCIJA (1) Podjela konstrukcija prema obliku nosivih dijelova: - Linijske (štapne) konstrukcije: lančanice, lančani poligoni, rešetke, grede, stupovi, okviri, lukovi, roštilji - Plošne (površinske) konstrukcije: stijene (zidovi), ploče, membrane, ljuske, naborane konstrukcije - Masivne konstrukcije

Vedrana Kozulić


3

(2) Podjela konstrukcija prema nivou kinematičke stabilnosti: - Geometrijski promjenljivi sustavi - Geometrijski nepromjenljivi sustavi: • Statički određene konstrukcije • Statički neodređene konstrukcije Za rješavanje statički određenih sustava koriste se samo jednadžbe ravnoteže: ∑x = 0 ; ∑ y = 0 ; ∑M = 0

Za rješavanje statički neodređenih sustava koriste se: jednadžbe ravnoteže + dodatne jednadžbe (3) Podjela konstrukcija prema položaju konstrukcije u prostoru: •

•

ravninske konstrukcije

prostorne konstrukcije

VRSTE OPTEREĆENJA 1) Po promjenljivosti u vremenu: •

statička opterećenja

•

dinamička opterećenja

2) Po načinu prijenosa na konstrukciju: •

koncentrirano opterećenje

•

kontinuirano opterećenje

3) Statička opterećenja dijele se na: •

Stalno opterećenje – mrtvi teret

•

Pokretno ili povremeno opterećenje: živi teret na cestovnim mostovima, živi teret na željezničkim mostovima, pokretni teret u zgradama, teret snijega i leda i dr.

•

Dopunska opterećenja: opterećenja vjetrom, temperaturna opterećenja, djelovanje skupljanja i puzanja materijala, slijeganje ili pomicanje ležajeva, potresne sile i dr.

Vedrana Kozulić


4

STRUKTURA KONSTRUKCIJE Konstrukcija = tijela + veze Unutrašnje veze: veze kojima se jednostavna tijela međusobno spajaju u sustav tijela Vanjske veze: veze tijela s podlogom

Unutrašnje veze Četiri osnovna tipa: a) štapna veza – štap b) zglobna veza – zglob c) kruta veza – uklještenje d) kruta pomična veza – pomično uklještenje a) štapna veza – štap

- kinematička karakteristika veze: oduzima 1 stupanj slobode; sprječava translacijski pomak dva tijela u smjeru štapa, omogućava translaciju u drugom smjeru i rotaciju tijela - statička karakteristika štapne veze: preuzima jednu unutrašnju silu (na pravcu štapa)

I

II

I

II

b) zglobna veza – zglob Jednostruki zglob II

I

- kinematička karakteristika veze: oduzima 2 stupnja slobode; sprječava translacijske pomake dvaju tijela, omogućava samo rotaciju tijela - statička karakteristika zglobne veze: preuzima dvije unutrašnje sile

E

A

B

A

C

materijalni zglob

Vedrana Kozulić

C

B

D

nematerijalni zglob


5

Višestruki zglob

Kolikostruki zglob:

i = n − 1 ; n je broj zglobno spojenih elemenata

Broj stupnjeva slobode koji oduzima višestruki zglob: O s = 2 ( n − 1) = 2 i c) kruta veza – uklještenje I

II

•

kinematička karakteristika uklještenja: sprječava sva tri pomaka

•

statička karakteristika uklještenja: može prenositi silu bilo kojeg pravca djelovanja kroz točku spoja i moment V M

M

H H V

Kruta veza dvaju elemenata ekvivalentna je vezi s tri štapa. Ako je kruta veza višestruka, onda je ekvivalentna vezi s 3 ( n − 1) štapova, n – broj priključenih elemenata

d) kruta pomična veza – pomično uklještenje •

kinematička karakteristika pomičnog uklještenja: oduzima dva stupnja slobode kretanja

•

statička karakteristika veze: može prenositi silu okomito na pravac mogućeg pomaka i moment

Vedrana Kozulić


6

Pomično uklještenje ekvivalentno je vezi s dva paralelna štapa.

Vedrana Kozulić


7

Vanjske veze Oslonac ili veza

Reakcija

Broj nepoznanica

1

Valjci

Valjkasti oslon sa zglobom

Glatka površina

Sila s poznatim pravcem djelovanja

1 Kratko uže

Kratki štap

Sila s poznatim pravcem djelovanja

ili

2 α Osovina bez trenja ili zglob

Hrapava površina

Sila s nepoznatim pravcem djelovanja

ili

3 α Nepomični oslonac

Vedrana Kozulić

Sila i moment


8

Najčešći tipovi ležajnih veza:

Pomični zglobni ležaj (klizni ležaj) - dva stupnja slobode, jedna sila veze

F Fx Fy M

Nepomični zglobni ležaj - jedan stupanj slobode, dvije sile veze Upeti nepomični ležaj - nema niti jedan stupanj slobode, tri sile veze (dvije sile i moment upetosti)

Fx Fy

Upeti pomični ležaj - jedan stupanj slobode (translacijski), dvije sile veze (jedna sila i moment)

Vedrana Kozulić


9

KINEMATIČKA STABILNOST Vezivanje točke i tijela s podlogom i međusobno Vezivanje materijalne točke

M

M

U ravnini

U prostoru

Treba paziti na raspored veza! Npr., vezivanje točke u ravnini:

nužan uvjet kinematičke stabilnosti:

točka se mora vezati sa 2 štapa

dovoljan uvjet kinematičke stabilnosti:

štapovi ne smiju ležati na istom pravcu

C

C A

B

ispravno

A

B

neispravno mehanizam - geometrijski promjenljiv sustav

Vezivanje tijela

U ravnini

U prostoru

Treba paziti na raspored veza! Npr., vezivanje tijela u ravnini:


tijelo mora imati 3 štapne veze s podlogom


štapovi se ne smiju sjeći u istoj točki

Primjeri neispravno vezanog tijela (geometrijski promjenljivi sustavi):

Vedrana Kozulić


10

– mogu imati pomake tj. mogu mijenjati oblik bez deformacija elemenata

Geometrijski promjenljivi sistemi

Geometrijski nepromjenljivi sistemi – može doći do pomaka samo uslijed deformacije elemenata

Slučaj geometrijske promjenljivosti:

Vezivanje dva tijela (diska) u ravnini

a) trima štapovima;

b) kombinacijom štapa i zgloba;

I

c) krutom vezom

II

I

II

a)

b)

I

II

c)

Treba paziti na raspored veza!


tijela se moraju međusobno vezati s 3 štapne veze


štapovi se ne smiju sjeći u istoj točki (ne smiju biti tri paralelne veze)

- geometrijski promjenljivo povezivanje dvaju diskova:

I

I

II

II

Vedrana Kozulić


11

Postupno spajanje diskova

I

II

III

IV

Utvrđivanje geometrijske nepromjenljivosti konstruktivnih sustava Da bi sustav međusobno vezanih tijela činio konstruktivni nosivi sustav, mora biti vezan s podlogom. jedno tijelo (disk) → 3 stupnja slobode → 3 veze s podlogom → geometrijski nepromjenljiv sustav C

dva diska → 2×3 = 6 stupnjeva slobode → 4 vanjske veze (po dvije u svakom osloncu A i B) i 2 unutrašnje veze (jednostruki zglob u točki C); ukupno 6 veza → geometrijski nepromjenljiv sustav → statički određen sustav

B A

jedan disk → 3 stupnja slobode → 4 vanjske veze (po dvije u svakom osloncu) → geometrijski nepromjenljiv sustav → jedna veza više od minimalno potrebnog broja → statički neodređen sustav

C

I

dva diska međusobno spojena zglobom C i štapom DE → 3 stupnja slobode → 3 veze s podlogom → geometrijski nepromjenljiv sustav → statički određen sustav

II D

E B

A

C

A

D

I

Vedrana Kozulić

II E

F

B

dva diska su međusobno spojena samo sa dva štapa CD i EF ⇒ geometrijski promjenljiv sistem


12

Provjera geometrijske nepromjenljivosti može se provesti pomoću formule: s = 3n d + 2n č − n š − 2 ∑ i n zi − n l s - broj stupnjeva slobode konstruktivnog sustava n d - broj diskova; n č - broj čvorova; n š - broj štapova; n l - broj ležajnih veza; n zi - broj zglobova (i označava koliko-struki je zglob) n

2 ∑ i n zi = 2 n z1 + 4 n z 2 + 6 n z3 + K i =1

s = 0 : sustav ima minimalno potreban broj veza → statički određen sustav s < 0 : sustav ima suvišnih veza → statički neodređen sustav

s > 0 : sustav ima manjak veza → geometrijski promjenljiv sustav (mehanizam) Napomena: s≤0:

ispunjen je nužan uvjet geometrijske nepromjenljivosti (ali ne i dovoljan); treba provjeriti raspored veza

geometrijski promjenljivi sustavi (kinematički labilni)

s = −1

Vedrana Kozulić


13

Primjer 1:

B

A

C E

D

G

F

Analiza 1.

Analiza 2.

broj diskova broj čvorova broj štapova broj jednostrukih zglobova broj ležajnih veza

nd = 2 n č = 2 (točke F i G) nš = 5 n z1 = 1 (točka B) nl = 3

Broj stupnjeva slobode:

s = 3 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 − 5 − 2 ⋅1 − 3 = 0

broj diskova broj čvorova broj štapova broj jednostrukih zglobova broj dvostrukih zglobova broj trostrukih zglobova broj ležajnih veza

nd = 7 nč = 0 nš = 0 n z1 = 2 (točke D i E) n z 2 = 2 (točke F i G) n z3 = 1 (točka B) nl = 3


s = 3 ⋅ 7 − 2 ⋅ 2 − 4 ⋅ 2 − 6 ⋅1 − 3 = 0

Primjer 2: B 2

I 1

3

II 4

A

C III


nd = 3 nč = 0 nš = 4 n z1 = 3 ( točke A, B, C) nl = 3


s = 3 ⋅ 3 − 4 − 2 ⋅ 3 − 3 = −4 (sustav ima četiri suvišne veze)

Vedrana Kozulić


14

Primjer 3:

E 1

F

3

A

5

4

2

C

B I

II

D III


nd = 3 n č = 2 (točke E i F) nš = 5 n z1 = 2 (točke B i C) nl = 3


s = 3 ⋅ 3 + 2 ⋅ 2 − 5 − 2 ⋅ 2 − 3 = 1 (nedostaje jedna veza)

Primjer 4: i

nč = 8 n š = 13 nl = 3 k

s = 2 ⋅ 8 − 13 − 3 = 0

P

s = 0 ⇒ ispunjen je nužan uvjet geometrijske nepromjenljivosti Statički postupak ispitivanja geometrijske nepromjenljivosti sistema: čvor i

čvor k V

V

V=0

P

V=P

Zaključak: Ako u nekom statičkom sustavu s minimalnim brojem veza nije moguće odrediti vanjske i/ili unutrašnje sile pomoću jednadžbi ravnoteže, sustav je geometrijski promjenljiv.

Vedrana Kozulić


15

KLASIFIKACIJA RAVNINSKIH ŠTAPNIH KONSTRUKTIVNIH SUSTAVA Statički određeni sustavi s=0 Statički određeni sustav je geometrijski nepromjenljivi sustav koji može ostati u stanju ravnoteže za proizvoljno opterećenje u ravnini sustava, a sve vanjske i unutrašnje sile mogu se odrediti iz uvjeta ravnoteže. Prema strukturi elemenata mogu biti: • punostjeni: sastoje se od čvrstih tijela, greda, diskova • rešetkasti : sastoje se samo od štapova • kombinirani: grede (diskovi) + štapovi Vrste statički određenih sustava Konzola Konzolni stup Konzolna greda Konzola proizvoljnog oblika

Prosta greda

Greda s prepustom

Greda spojena s podlogom s tri štapa

Greda s dva prepusta

Poluokviri

Vedrana Kozulić


16

Okviri

Trozglobni štapni sistemi

trozglobni luk

trozglobni okvir Indirektno opterećena greda

Gerberov nosač

Ojačana greda

Ojačana greda s prepustima

Okvir sa zategom

Vedrana Kozulić

Luk sa zategom


17

Okviri sa zategama

Poduprte grede

Vedrana Kozulić


18

Statički neodređeni sustavi s<0 Statički neodređeni sustav je geometrijski nepromjenljivi sustav koji može ostati u stanju ravnoteže za proizvoljno opterećenje u ravnini sustava, a sve vanjske i unutrašnje sile ne mogu se odrediti iz uvjeta ravnoteže. Da bi se odredile sve reakcije i rezne sile, potrebne su dodatne jednadžbe. Vrste statički neodređenih sustava

Obostrano upeta greda Obostrano upeti poluokvir

Obostrano upeti okvir Obostrano kruto spojen luk, ili obostrano upeti luk, naziva se i samo: upeti luk

Kontinuirana greda

Kontinuirani okvir sa zglobnim ležajevima

Kontinuirani okvir s upetim stupovima

Vedrana Kozulić


19

Ojačane grede

Okviri i lukovi sa zategama

Poduprte grede

Vedrana Kozulić


20

OPĆE KARAKTERISTIKE STATIČKI ODREĐENIH NOSAČA 1.

Kod statički određenih nosača rješenja za reakcije i unutrašnje sile su jednoznačna.

2.

Kod statički određenih nosača reakcije i unutrašnje sile ne ovise o obliku i veličini poprečnog presjeka elemenata niti o materijalu iz kojeg su napravljeni pojedini elementi nosača.

3.

Kod statički određenih sustava ne pojavljuju se reakcije i unutrašnje sile zbog djelovanja promjene temperature, popuštanja oslonaca ili uslijed netočno izvedenog pojedinog elementa u sustavu.

4.

Ako se kod statički određenog sustava opterećenje na dijelu jednog diska zamijeni statički ekvivalentnim opterećenjem, neće doći do promjene reakcija kao ni unutarnjih sila na ostalom dijelu sustava izvan tog područja. P

p

A

B

M

+

5.

Statički određeni nosači nemaju rezervu u pogledu stabilnosti ako dođe do raskida neke vanjske ili unutrašnje veze. Ako dođe do popuštanja na mjestu jedne veze, dolazi do gubitka stabilnosti sustava ili dijela sustava.

Vedrana Kozulić


21

SILE U KONSTRUKTIVNIM SUSTAVIMA Vanjske sile: vanjske aktivne sile i vanjske reaktivne sile P1

q2

P2

C

P3

q1

P4

AH

A

BH

B

AV

BV

Unutrašnje sile: - unutrašnje sile u vezama ili reakcije veza - unutrašnje sile u osnovnim nosivim elementima ili sile u presjeku

q A

D

I

C

F

P1

II

B

E

q AH

DV

A

P2 DH

D

CH

C

F

CV

CH

DH D DV

AV

S

CV C

P1 BH

P2

III

S

B E

BV

Vedrana Kozulić


22

Određivanje reaktivnih sila Sustav

Štapni model

F

Prosta greda

F A

C

B

L1

A

C

Zglobni ležaj (dvije veze)

B

Klizni ležaj (jedna veza)

L3

L2

A

Grafičko uravnoteženje

C

F

A B

B

F

Trokut sila

Analitičko rješenje

Fy

1. ∑ X i = 0 → A x = Fx

Fx

Ax Ay a

b L

Vedrana Kozulić

B

2. ∑ M B = 0 : L ⋅ A y − b ⋅ Fy = 0 → A y = b ⋅ Fy L 3. ∑ M A = 0 : − L ⋅ B + a ⋅ Fy = 0 → B = a ⋅ Fy L

---------------------------------------------------------------Kontrola: ∑ Yi = 0


23

Unutrašnje sile u presjecima Unutrašnje sile u presjeku predstavljaju ukupnu silu kojom u jednom presjeku jedan dio sustava djeluje na drugi. F2

1

Trokut sila F1 F2

F3

F1 1

F3

Presjek

F2

F1-1

F1

M1-1 F3

M1-1

F1-1 F2

T1-1

M1-1 N1-1

N1-1 F1

M1-1

Tri unutrašnje sile u presjeku:

F3 T1-1

uzdužna sila (N) - normalna sila poprečna sila (T) - transverzalna sila moment savijanja (M)

Veličine unutrašnjih sila dobivaju se iz uvjeta ravnoteže dijela sustava. Definicije unutrašnjih sila u presjeku

U z d u ž n a s i l a u presjeku jednaka je algebarskoj sumi projekcija svih sila koje djeluju s jedne ili s druge strane presjeka na tangentu na os elementa u točki presjeka. P o p r e č n a s i l a u presjeku jednaka je algebarskoj sumi projekcija svih sila koje djeluju s jedne ili s druge strane presjeka na okomicu (normalu) na os elementa u točki presjeka. M o m e n t s a v i j a n j a u presjeku jednak je algebarskoj sumi momenata svih sila koje djeluju s jedne ili s druge strane presjeka na točku presjeka u osi elementa.

Vedrana Kozulić


24

Dogovor o predznacima unutrašnjih sila (konvencija) Klasična (na elementu):

M

M

N

N T Pozitivni smjerovi

T

Uzdužna sila N smatra se pozitivnom ako u presjeku elementa izaziva vlak. Poprečna sila T je pozitivna ako dio sistema na koji djeluje nastoji zaokrenuti u smjeru kretanja kazaljke na satu. Moment savijanja M je pozitivan kada izaziva vlak u donjim rubnim vlakancima a tlak u gornjim vlakancima elementa. Suvremena (u presjeku): (kompjutorske metode)

T

M

N

Os elementa

Presjek

u skladu s orjentacijom desnog koordinatnog sustava

Pozitivni smjerovi: u smjeru pozitivnih koordinatnih osi

Vedrana Kozulić


25

Dijagrami unutrašnjih sila To su grafički prikazi promjena unutrašnjih sila uzduž elemenata sustava. Dijagrami unutrašnjih sila crtaju se ili uzduž osi elemenata sustava ili na njihovim projekcijama. F2

F1x

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

F1

F3y

F1y

F3x F3

Nx

F1x

F1y

F3x

−

F2

+

Tx −

F3y

Mx +

Vedrana Kozulić


26

OSNOVNE JEDNADŽBE GRAĐEVINSKE STATIKE Za svaki presjek treba naći: tri unutrašnje sile – moment savijanja M, poprečnu silu T i uzdužnu silu N tri deformacijske veličine – relativnu promjenu kuta odnosno zakrivljenosti κ, relativno produljenje ε i relativno klizanje odnosno deformaciju uslijed posmika γ tri pomaka – translatorni pomak uzduž osi u, poprečno na os elementa v i kut zaokreta ϕ •

jednadžbe ravnoteže

•

jednadžbe uzajamnosti deformacija i pomaka

•

fizikalne jednadžbe

Jednadžbe ravnoteže – sadržavaju statički dio zadaće građevinske statike - veze između unutrašnjih sila i opterećenja:

dN x dx

= −n x ;

dTx dx

= −px ;

dM x dx

= Tx

Jednadžbe uzajamnosti – geometrijske jednadžbe – veze između deformacijskih veličina i pomaka:

ε=

du ; dx

γ =ϕ−

dv ; dx

κ=

dϕ dx

Fizikalne jednadžbe – veze između sila i deformacijskih veličina:

ε= N ; EA

κ=

M ; EI

γ=k T GA

Pretpostavka da vrijedi Hookeov zakon.

Vedrana Kozulić


27

Diferencijalne jednadžbe ravnoteže grede j

q m dx

i

Mi

Rj

dy

ds

Mj

Ri

q − kontinuirano opterećenje; m − kontinuirani momenti Ri, Rj, Mi i Mj − sile i momenti na krajevima promatranog dijela zakrivljene grede Diferencijalno mali element grede duljine ds: dx

1. qx

M .

H

2.

V+dV

qy m 2

.

H+dH

M

dy

m

T

1

M+dM

qn

M+dM .

qt 2

N+dN

.

1

T+dT

N V

ρ

ρ dα

dα

Uvjeti ravnoteže postavljaju se na nedeformiranoj gredi uz zanemarivanje beskonačno malih veličina drugog reda. 1. Uvjeti ravnoteže ∑ x = 0 , ∑ y = 0 , ∑ M 2 = 0 :

∑x = 0 ∑y = 0

→

dH + q x ⋅ dy = 0

→

dV + q y ⋅ dx = 0

∑ M2 = 0

→

dM − H ⋅ dy − V ⋅ dx − m = 0

2. Iz sume projekcija sila na pravac sile N + dN dobiva se: N + dN − N ⋅ cos dα − T ⋅ sin dα + q t ⋅ ds ⋅ cos (dα 2) = 0 cos dα = 1 ; sin dα = dα ⇒ dN − T ⋅ dα + q t ⋅ ds = 0 Iz sume projekcija sila na pravac sile T + dT dobiva se: T + dT − T ⋅ cos dα + N ⋅ sin dα + q n ⋅ ds ⋅ cos (dα 2) = 0 ⇒ dT + N ⋅ dα + q n ⋅ ds = 0 Iz sume momenata na točku 2 dobiva se:

M + dM − M − T ⋅ ds − m ⋅ ds = 0

Vedrana Kozulić

⇒

dM − T ⋅ ds − m ⋅ ds = 0


28

Ako se tri gornje jednadžbe podijele sa ds dobivaju se opće jednadžbe ravnoteže grede: dN T − + qt = 0 ds ρ dT N + + qn = 0 ds ρ dM −T−m = 0 ds

Veza između komponenata sila N i T i komponenata sila H i V: T

M

V

H

M

N

H M

α

M

α

α

R

T .

N

H

T

.

N

V

α

V

N = H ⋅ cos α − V ⋅ sin α

H = N ⋅ cos α + T ⋅ sin α

ili

T = H ⋅ sin α + V ⋅ cos α

V = T ⋅ cos α − N sin α

Jednadžbe ravnoteže elementa ravne grede

i

j 1

dx

2

Nx

Rj

Ri

mx

Mx 1

Tx

px

nx

Mx+dMx Nx+dNx

2

dx

Tx+dTx

ds ↔ dx ; q t ↔ n x ; q n ↔ p x ; ρ = ∞ ⇒ dN x + nx = 0 dx

dTx + px = 0 dx

dM x − Tx − m x = 0 dx

U slučaju da nema opterećenja mx: Diferencijalna veza između poprečne sile i opterećenja:

dTx = −px dx

Diferencijalna veza između momenta savijanja i poprečne sile:

dM x = Tx dx

Diferencijalna veza između momenta savijanja i opterećenja:

d2Mx = −px dx 2

Vedrana Kozulić


29

•

Tangens kuta nagiba tangente na funkciju poprečne sile u nekoj točki grede jednak je negativnoj vrijednosti intenziteta kontinuiranog opterećenja u toj točki.

•

Tangens kuta nagiba tangente na funkciju momenta savijanja u nekoj točki grede jednak je poprečnoj sili u istoj točki.

Veza između poprečne sile i opterećenja kada je opterećenje koncentrirana sila Mi Ni

l

Pi

Mi

l

d

Ni l

Ti

Ti

Suma projekcija sila na pravac djelovanja sile Pi mora biti jednaka nuli:

d

d

l

l

d

Ti − Ti − Pi = 0 ⇒

d

Ti − Ti = ∆Ti

∆Ti = Pi

Skok u dijagramu poprečnih sila pojavljuje se samo na mjestu djelovanja koncentrirane sile. Na tom mjestu u dijagramu momenata savijanja pojavljuje se lom. P

P

T

P

T +

T P

+

P

M

Vedrana Kozulić

−

M +

+

P

−

M +


+

30

Skok u dijagramu momenata savijanja pojavljuje se samo na mjestu gdje djeluje koncentrirani moment. MO

MO

T

T +

+

M

M +

+

MO MO

U području konstantnog vertikalnog kontinuiranog opterećenja ( p x = konst. ): q a

T +

q. a −

M

+

Mmax

Lom u dijagramu poprečnih sila pojavljuje se samo na mjestu na kojemu se mijenja intenzitet kontinuiranog opterećenja. pL

T

pD

pL ≠ pD

⇒

dTL dTD ≠ dx dx

TL = TD

⇒

dM L dM D = dx dx

ML = MD M

Vedrana Kozulić


31

Integralne veze između opterećenja i sila presjeka dTx = −p x dx

1.

→

x=x2

x2

x = x1

x1

∫ dTx = Tx = x 2 − Tx = x1 = Tx 2 − Tx1 = − ∫ p x dx x2

T2 = T1 −

∫ p x dx

x1

1 424 3

površina ispod dijagrama p x

dM x = Tx dx

2.

→

x=x2

x2

x = x1

x1

∫ dM x = M x = x 2 − M x = x1 = M x 2 − M x1 = ∫ Tx dx

M 2 = M1 +

x2

∫ Tx dx

x1

1 424 3

površina ispod dijagrama Tx

Različiti slučajevi opterećenja:

px = 0 :

Tx = T0 = konst.

−

konstanta, funkcija 0. stupnja

M x = M0 + c x

−

pravac, funkcija 1. stupnja (linearna funkcija)

p x = p (konstanta, funkcija 0. stupnja):

Tx = T0 + b x

−

pravac, funkcija 1. stupnja (linearna funkcija)

M x = M 0 + c1 x + c 2 x 2

−

funkcija 2. stupnja (kvadratna parabola)

p x = p 0 + a x (pravac, funkcija 1. stupnja - linearna funkcija):

Tx = T0 + b1 x + b 2 x 2

−

funkcija 2. stupnja (kvadratna parabola)

M x = M 0 + c1 x + c 2 x 2 + c3 x 3 − funkcija 3. stupnja (kubna parabola) p x = p 0 sin α x (trigonometrijska funkcija):

Tx = T0 + p 0 ⋅ α cos α x M x = M 0 + T0 x + p 0 ⋅ α 2 sin α x

Vedrana Kozulić


32

Primjer: Na gredi AB zadan je dijagram momenata savijanja. Potrebno je naći opterećenje. M

MB

− MC A

d/2

D

C

MD

a

−

E

+

b

B

ME

0

parabola 2

c

d

T d

TC TA

l

+

TD

l

TC

−

PA

−

PC

PD

q

TB

PB MB

Prvo treba naći dijagram poprečnih sila. l

-- na dijelu AC:

TA = TC = −

-- na dijelu CD:

TC = TD =

-- na dijelu DE:

TDE = 0

d

l

MC a

MC + MD b

-- na dijelu EB poprečna sila je linearna funkcija: TE = 0 ,

TB = −

ME + MB M + MB = −2 E d2 d

Opterećenje grede: -- u točkama A, C, D i B djeluju koncentrirane sile: l

d

l

PA = TA ; PC = TC + TC ; PD = TD ; PB = TB -- na dijelu EB djeluje jednoliko kontinuirano opterećenje q: q=

TB d

-- u točki B djeluje koncentrirani moment M = M B Vedrana Kozulić


33

Vedrana Kozulic - Gradjevinska statika I

Recommend Documents