CAPÍTULO 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8
VELOCIDAD
Introducción Análisis de la velocidad Centro Instantáneo de Rotación Determinación de Centros Instantáneos de Rotación Análisis de la velocidad mediante CIR Curvas Polares Polígono de velocidades Análisis analítico de la velocidad
2 4 6 9 12 12 13 15
CAPÍTULO 3. 3.1
VELOCIDAD
INTRODUCCIÓN. Dado que el movimiento es inherente a las máquinas, las velocidades y aceleraciones son
muy importantes tanto en el diseño como en el análisis de los componentes de las máquinas. Velocidad es la relación entre el cambio de posición de un punto y el tiempo invertido en tal cambio. Dado su carácter de magnitud dirigida, resulta tener las propiedades inherentes a un vector. Cuando se trata de un cambio discreto de posición, donde el tiempo no es muy reducido, se denomina velocidad media. En cambio, si la medición se realiza en un intervalo muy corto de tiempo tendiendo a cero, la velocidad resulta entonces instantánea. En este curso la velocidad que se empleará será siempre esta última. La velocidad de un punto puede ser absoluta o relativa, según que se refiera a un punto o sistema fijo, en el primer caso; o a un punto o sistema móvil, en el segundo. No es necesario que los sistemas de referencia estén completamente en reposo, ya que esto ocurrirá muy pocas veces para determinar una velocidad absoluta. Si los puntos que se suponen fijos de un mecanismo, generalmente unidos a una estructura o armazón, se mueve porque la estructura lo hace, pueden considerarse absolutas las velocidades de los puntos móviles del mecanismo con relación a sus puntos fijos. Las velocidades, como ha quedado dicho, son magnitudes vectoriales, y por ello, sometidas a sus conocidas reglas de adición y sustracción. Supóngase un punto A con un movimiento plano en el plano XY, Figura 3.1 que en el instante inicial se encuentra en A, cuando t = t1 y pasará ocupar la posición A’, cuando t = t2. Los vectores r y r’ que definen ambas posiciones, tiene de módulos r y r’.
2
El desplazamiento efectuado por el punto A se mide por el vector ∆r, que como se ve, es ∆r = r’ - r y se admitirá que se trata de un desplazamiento elemental, lo que equivale a considerar que el ángulo ∆θ es muy pequeño. A la vista de la Fig. 3.1 se observa que: ∆a + ∆b = ∆r
(3.1)
donde los vectores ∆a e ∆b están indicados en el dibujo de la figura 3.1. Cuando ∆θ 0, el ángulo α que forman los vectores ∆a e ∆b tiende a π /2. La velocidad VA del punto A, queda V A = lim
∆r ∆a ∆b = lim + lim ∆t ∆t ∆t
(3.2) donde
∆t = t2 - t1. Ahora puede ponerse que
∆ a ∆ t → 0 ∆ t
lim
=
lim
∆ t →
0
r
∆ θ ∆ t
u
t
d
= r
θ
u
∆ t
(3.3)
t
ya que el límite la cuerda AB y el arco AB, cuando ∆θ tiende a cero, son ambos iguales. A la relación (dθ /dt) se denomina velocidad angular y su unidad en todos los sistemas es el rad/s y se
ut
suele utilizar la letra griega ω para su designación. Por su parte,
es un vector unitario
perpendicular a r. El segundo término de la ecuación (3.2), de forma análoga a la descrita para el primero, puede desarrollarse para ∆t→0, siendo además ∆θ→0, verificándose que
lim
∆b ∆t
r ' − r
= lim
∆ t
u
r
=
dr
∆t
u
r
(3.4)
siendo en esta ecuación ur un vector unitario de la dirección de r. Sustituyendo (3.3) y (3.4) en (3.2) resulta la velocidad del punto A
V A =
⎛ dr ⎞ ⎟ u r ⎝ dt ⎠
( r ω ) u t + ⎜
(3.5)
que muestra que la velocidad del punto A tiene dos componentes ortogonales; la primera, (rω) esta originada por el cambio de posición (giro) del vector r, y la segunda (dr/ dt) debida al cambio del módulo del mismo vector de posición.
3
3.2. ANÁLISIS DE LA VELOCIDAD En esta sección se realizará un análisis del vector velocidad observando las propiedades de sus componentes. Sea un cuadrilátero articulado ABCD, mostrado en la Fig. 3.2, tal que la manivela de entrada o impulsora AB (eslabón 1) gira con velocidad angular ω1. El punto B tendrá una velocidad tangencial dad por
VB = ω1r1
(3.6)
y que será perpendicular al eslabón AB. Esta velocidad puede descomponerse en V’BC y V“BC, de modo que tales componentes sean respectivamente de la dirección del acoplador BC (eslabón 2) y normal a éste. Es decir:
VB = V’BC + V“BC
(3.7)
Como el punto B pertenece también al eslabón 2, que al igual que los restantes es rígido, todos los puntos del segmento BC de esta barra tendrán la misma componente de la velocidad según la dirección BC. En particular, el punto C gozará de tal propiedad. Ahora bien, el punto C también pertenece al eslabón 3 y ha de girar en torno al punto D, con velocidad absoluta normal a CD. Por tanto, llevando V’CB = V’ BC y trazando por el extremo de V’CB una perpendicular a BC, se obtiene VC.
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La determinación de la velocidad del punto E del acoplador puede hallarse de forma parecida. Descompóngase VB en dos componentes: una de la dirección BE y la otra normal a ella. La componente V ’BE se traslada a E, ya que V’EB = V’BE, por ser BE indeformable (el mismo eslabón 2). De igual manera, de la velocidad VC se encuentra la componente V’CE paralela a la dirección CE y se traslada al punto E. La velocidad absoluta del punto, VE, se encontrará en la intersección de las dos perpendiculares por los extremos de los vectores V’EC y V’EB, respectivamente a EC y EB. Como práctica podemos intentar averiguar la a velocidad del punto E (figura 3.2). Según las construcciones realizadas en los diversos eslabones, se llegará a la conclusión que en una misma barra la velocidad de un punto cualquiera (por ejemplo, el C) relativa a otro punto de su propio eslabones (por ejemplo, el B) es siempre perpendicular al segmento que une dichos puntos (en este caso, normal a BC). Aislando el eslabón BC con las velocidades obtenidas anteriormente VB y VC (figura 3.3) se transporta a C el vector VB. Como la proyección sobre BC de ambas velocidades ha de ser la misma, se llega al resultado que la diferencia de estos dos vectores ha de ser normal a la recta que une los dos puntos. Si se denomina velocidad de B respecto a C mediante la notación VBC, se tiene VBC = VB – VC
(3.8)
Esta velocidad relativa, como se ve en la Fig. 3.3 es normal a BC. El giro de la barra BC está originado por la existencia de velocidad relativa no nula de un punto con relación a otro del mismo eslabón. Si se hubiese hallado la velocidad relativa VCB, ésta sería de sentido opuesto a la encontrada VBC.
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La velocidad angular ω2, con que el eslabón 2 está girando con relación al fijo 4, se obtiene siempre dividiendo el módulo de la velocidad relativa de un punto extremo de la barra con relación al del otro extremo, por las distancia entre ambos puntos. Tal como se observa en la figura 3.3, ω2 es del sentido de la agujas del reloj tal como se desprende de los sentidos de las velocidades relativas VBC ó VCB y, por lo dicho, su módulo es ω 2
=
V CB
BC
=
V CB
(3.9)
r 2
Si, de forma análoga, se desea determinar la velocidad angular del eslabón 3, al ser VC la velocidad absoluta de C y siendo VD = 0, VC es también la velocidad relativa de C con respecto a D; esto es, VC = VCD. En consecuencia, la velocidad angular ω3 (figura 3.2) resulta ser ω 3
=
V CD
CD
=
V C r 3
(3.10)
De igual modo se puede deducir la velocidad angular de cualquier eslabón del mecanismo.
3.3
CENTRO INSTANTÁNEO DE ROTACIÓN Tal como sugirió Reuleaux a mediados del siglo XIX, los eslabones se pueden considerar
que en cada instante realizan un giro alrededor de un centro. Dicho centro se llama centro instantáneo de rotación o polo de velocidades. Cuando un eslabón está efectuando una traslación en un momento dado, su centro instantáneo de rotación se encuentra en el infinito y en una dirección perpendicular al movimiento del eslabón. Esto se denota fácilmente porque las velocidades de todos sus puntos son iguales y sus vectores paralelos. Imagínese un cuadrilátero articulado ABCD (figura 3.4), donde se han determinado las velocidades VB y VC, tal como se describió en la sección anterior. El eslabón 1 tiene un punto A fijo, luego el centro instantáneo de rotación del eslabón 1, con relación al eslabón fijo 4 se indicará por la notación P14 y se confunde con el punto A. Análogamente ocurre con el eslabón 3, y será P3D. Por su parte, el punto B es la articulación de los eslabones 2 y 1; luego P12 ≡ B. Por la misma razón P23 coincide con el punto C. Debe observarse que, cuando se determina el centro instantáneo de rotación con relación al eslabón fijo 4, las velocidades de sus puntos son normales a los radios considerados. Así VB es normal a BA y VC lo es a CD. 6
Para hallar el centro instantáneo de rotación del eslabón 2 con relación al eslabón fijo 4, bastará trazar por B y C sendas rectas perpendiculares a las velocidades en tales puntos y su intersección proporcionará el punto P24. El eslabón 2 es como si en la posición mostrada en la Fig. 3.4 estuviera girando alrededor del punto P24. Si por el punto C se llevan las velocidades VC y VB se tiene un triángulo CFE que es semejante al P24BC (por tener sus lados homólogos ortogonales) y, por lo tanto, se puede escribir que:
CF CE
=
P24 C
V C
P24 B
V B
=
r C r B
(3.11)
de donde resulta que las velocidades (de los puntos B y C, en este caso) son proporcionales a sus distancias respectivas al centro instantáneo de rotación (polo P24). De aquí se deduce que el eslabón 2 está rotando alrededor de P24 con velocidad angular ω 2
=
V C
rC
=
V B r B
(3.12)
El punto P24 centro instantáneo de rotación del eslabón 2 con relación al eslabón 4, tiene la misma velocidad por ambos eslabones y por lo tanto, por ser fijo el eslabón 4, resulta que el punto 7
P24 no se mueve. Lo mismo ocurre respecto a coincidencia de velocidades con los restantes centros encontrados y siempre estos puntos representan la superposición de otros dos, uno de cada eslabón. Tales puntos tienen gran utilidad para la localización de velocidades de otros puntos, pero ha de tenerse en cuenta que tales polos de velocidades solo pueden emplearse en una concreta posición del mecanismo, ya que un instante después estos puntos pueden ser sustituidos por otros distintos, y de hecho generalmente lo son. Por último, resta encontrar el centro de rotación del eslabón 3 con relación al eslabón 1. Para determinarlo se supondrá realizada una inversión del mecanismo de la Fig. 3.4, admitiéndose que el eslabón 1 es fijo; esto es, los puntos A y B son las articulaciones unidas al bastidor del mecanismo. Si B y A fuesen fijos, los puntos C y D tendrían velocidades normales, respectivamente, a BC y AD, y sus rectas perpendiculares CB y AD se cortarían en el punto P31 que es el centro instantáneo de rotación buscado. El número de centros instantáneo existentes en un mecanismo con n barras o eslabones vendrá dado por la expresión N =
n (n −
1)
(3.13)
2
que representaría las combinaciones binarias posibles entre eslabones. Hay una regla práctica para la localización de centros instantáneos. Obsérvese en la Fig. 3.4que están alineados los cuatro grupos siguientes de puntos para un cuadrilátero articulado:
1)
P31
P14
P34
2)
P31
P21
P23
3)
P24
P23
P34
4)
P24
P21
P14
Conocidos 2 de los tres puntos de una alineación es posible encontrar al tercero, ya que ha de estar alineado con los dos anteriores. Esta propiedad se denomina regla de los tres centros o
Teorema de Aronhold-Kennedy que dice: “Cuando tres cuerpos cualesquiera tienen movimiento relativos plano sus tres centros instantáneos (o centros de rotación relativa), están en línea recta”.
De otra forma podemos decir que en todo mecanismo cada grupo de tres eslabones con tres centros con "parentesco" entre sí están situados sobre una misma recta.
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Fig. 2 Para demostrarlo, fijémonos en la figura-2 en la que representamos tres cuerpos designados con los números 1,2 y 3, cada uno de ellos con movimiento plano. Si suponemos que el cuerpo 1 es estacionarlo y el 2 y 3 están articulados a este, las articulaciones 12 y 13 serán centros puesto que en ambos casos. la velocidad lineal absoluta es la misma, en este caso cero. Supongamos que el tercer centro el 23 estuviese en la posición del punto A. Es evidente que en esta posición coinciden dos puntos, uno de cada eslabón y cada uno de ellos tiene una velocidad lineal absoluta. Pero veamos como son dichas velocidades. Hemos supuesto que el eslabón 2 gire al rededor del punto 1, luego la velocidad del punto A como perteneciente a 2 será perpendicular al radio 12-A. Así mismo la velocidad lineal de A como perteneciente al eslabón 3 será perpendicular al radio 13-A, puesto que dicho eslabón gira alrededor de 13. Independientemente de cual sea su magnitud -que podría ser igual- está claro que las direcciones de ambas velocidades no coinciden, luego el punto A no puede ser centro de 23. Prescindiendo de magnitud, lo que queda claro es que para que las direcciones de la velocidad del punto A con perteneciente al eslabón 2 y al 3 coincidan, dicho punto A tiene que estar situado en la recta 12- 13 como queríamos demostrar.
3.4
DETERMINACIÓN DE CENTROS INSTANTÁNEOS Para localizar los CIR seguimos el siguiente método: 1)
Hallar el número de centros (N = 4 (4 - 1)/2 = 6).
2)
Determinar los inmediatos por simple inspección.
3)
Localizar el resto mediante la ley de los tres centros.
En la figura 3.6 muestra un mecanismo de biela-manivela donde se han numerado los eslabones desde el 1 hasta el 4. Al disponer de 4 eslabones, el numero de centros a localizar es de N = 4 (4 - 1)/2 = 6. Con objeto de no omitir ninguno de los polos, se suele trazar un polígono auxiliar de n = 4 vértices (a la derecha de la figura) y se construyen con trazo lleno los centros inicialmente 9
conocidos o inmediatos. Los polos conocidos son P12, P23 y P14 que se determinan de forma inmediata una vez construida la figura.
Todos los centros instantáneos localizados en primera instancia se han detectado por las articulaciones de los eslabones 1 y 2, 2 y 3, así como 1 y 4. El polo P24 se determina en la línea AB, donde se hallan P12 y P14 y por aplicación de la regla de Aronhold-Kennedy. El polo P34 se deberá situar en línea con P23 y P24 y está en el infinito puesto que el eslabón 3 realiza una traslación. Por último, el polo P31 se encuentra donde se corten las rectas definidas por los puntos A y P34, por una parte, y C y B, por otra. Otro mecanismo de corredera está representado en la figura 3.7, que dispone también de cuatro eslabones con un par prismático entre los elementos 1 y 2. La construcción auxiliar de los eslabones está realizada, en la parte derecha de la figura y se muestra que inicialmente son inmediatos la localización de los polos P14, P34 y P23; restando encontrar otros tres polos más. El polo P12, al ser el elemento 2 prismático que se desplaza por el eslabón 1, se encontrará en el infinito en la dirección ortogonal a la barra 1. El centro instantáneo de rotación P13 se encuentra como la intersección de las líneas definidas por los polos P12 y P 23, de un lado y P14 con P34, de otro. El centro que resta, P24, se encuentra en la recta BC y en la perpendicular por A al eslabón 1. De esta forma quedan establecidas las posiciones de todos los centros instantáneos de rotación, y a partir de ellos cabe encontrar velocidades en todo el mecanismo.
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La figura 3.8 representa una cadena cinemática de 6 eslabonamientos y con N = n (n - 1)/2 = 6 x 5 / 2 = 15 centros instantáneos de rotación, los cuales quedan representados.
11
3.5
ANÁLISIS DE LA VELOCIDAD MEDIANTE LOS CIR Cuando se conocen los centros instantáneos de rotación de un mecanismo resulta inmediato
determinar la velocidad de cualquier punto del mismo, sin necesidad de calcular primero las velocidades de otros puntos. Con el método de los CIR, no es necesario calcular la velocidad de un punto que una físicamente dos barras, sino que calculando la velocidad del CIR relativo de dos eslabones podemos considerar que conocemos la velocidad de un punto que pertenece indistintamente a cualquiera de los dos eslabones. Es importante resaltar que el CIR se comporta como si perteneciera simultáneamente a ambos eslabones, por tanto su velocidad debe ser la misma si la obtenemos en base a uno u otro eslabón. Para calcular las velocidades por CIR seguiremos los pasos siguientes: 1. Identificar los eslabones a los que pertenecen: a) El punto de velocidad conocida. b) El punto de velocidad desconocida. c) El eslabón de referencia o barra fija. 2. Se hallan los tres CIR relativos correspondientes a las barras, que estarán en línea recta según nos indica el Teorema de Kennedy. 3. Se calcula la velocidad del CIR relativo de los dos eslabones no fijos, considerándolo como un punto perteneciente a la barra de velocidad conocida. 4. Se considera la velocidad hallada como la de un punto del eslabón cuya velocidad queremos hallar. Conociendo la velocidad de un punto del eslabón (CIR) y su centro de giro podemos encontrar la de cualquier otro punto del mismo.
3.6
•
Aplicación de los CIR a un mecanismo de cuatro barras.
•
Aplicación de los CIR a un mecanismo de biela - manivela.
CURVAS POLARES Una curva polar es el lugar geométrico de todas las posiciones alcanzadas por el centro
instantáneo de rotación, o polo de velocidades, de un eslabón con respecto a otro. La figura 3.9a muestra la curva polar correspondiente a diversas posiciones del mecanismo de 4 barras y generada por el punto P24. Como tal punto tiene la misma velocidad, tanto si se considera del eslabón 2 como si se hace del 4, se desprende que tal punto no tiene velocidad. Por tal razón a esta curva polar se denomina curva polar fija, o base.
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Debe tenerse especial cuidado en no confundir la curva polar con la trayectoria de ningún punto cuando evoluciona el mecanismo. Piénsese que el punto P24 es centro instantáneo solo para una posición; al moverse el cuadrilátero articulado, otros puntos irán sucediéndose como centros instantáneos y configurarán la curva polar. Cuando se realiza la inversión del mecanismo, tal como refleja la figura 3.9b, se obtiene otra curva polar que se denomina móvil, o ruleta y que se ha generado por el mismo punto P24. Ambas curvas, según se va moviendo el cuadrilátero, se mantienen tangentes en todo momento. Para una posición cualquiera el punto de tangencia es el polo de velocidades actual a tal posición.
3.7
POLÍGONO DE VELOCIDADES Uno de los medios más eficaces y rápidos para el análisis de las velocidades de un
mecanismo lo ofrece el polígono de velocidades. Además, como se verá en el siguiente capítulo, este método proporciona datos fundamentales para el análisis de la aceleración, como son las velocidades relativas. La construcción de velocidades de forma gráfica realmente se funda en la ecuación vectorial
VX = VA + VXA
(3.14)
donde Vx es la velocidad, en general desconocida, de un punto X cualquiera del mecanismo; VA, es la velocidad conocida de otro punto del mismo eslabón al que pertenece X y por último, VXA es la velocidad relativa de X con respecto a A. como quiera que la velocidad relativa Vxa es normal a la recta XA, el trazado de los polígonos de velocidades se realizará por aplicación de las propiedades descritas. En la figura 3.10 puede verse un mecanismo de 4 barras con un punto E de acoplador y se pretende encontrar las velocidades de los puntos C y E, así como las velocidades relativas de los puntos B, C y E, partiendo de la velocidad VB. 13
a) Cálculo de VC, VCB, ω2 y ω3. La ecuación (3.14)se escribirá para este caso mediante
VC = VB + VCB
(3.15)
Por un punto O cualquiera se lleva el vector VB y por su extremo se traza una perpendicular a BC (dirección del vector VCB) y por O una recta normal a CD (dirección de V C). Estas rectas se cortan cerrando el triángulo de los vectores implicados en la ecuación (3.15), determinándose VC y VCB. La velocidad angular ω2 se obtiene por aplicación de la expresión
ω 2
=
V CB BC
y la velocidad angular ω3, se hallaría directamente por medio de ω 3
=
V C CD
b) Cálculo de VE, VEB y VCE. En esta ocasión la ecuación (3.14) se desdobla en las dos siguientes
VE = VB + VEB
(3.16)
VE = VC + VEC
(3.17)
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de las cuales son vectores conocidos VB y VC y de los vectores VEB y VEC son también datos sus direcciones (por ser ortogonales respectivamente a las EB y EC). Del vector VE no se conoce ni dirección ni módulo. Por el extremo del vector VB se traza una perpendicular a BE (dirección de VEB)y por el extremo del vector VC se construye una recta normal a CE (soporte de la velocidad VEC). Donde ambas rectas se encuentran (punto E’) se obtiene el extremo del vector VE buscando. Los restantes vectores, VEB y VEC, forman los triángulos correspondientes en los polígonos de velocidades para que se verifiquen las relaciones (3.16) y (3.17), como puede comprobar el lector. El triángulo E’B’C’ es semejante al EBC del acoplador, tal como se evidencia de forma inmediata, ya que ambas figuras tienen sus lados respectivos perpendiculares entre sí. Esta propiedad general tiene interesantes aplicaciones en el análisis gráfico de velocidades.
3.8
ANÁLISIS ANALÍTICO DE LA VELOCIDAD Cuando se realiza el estudio del mecanismo por el método analítico, en general un eslabón
vendrá expresado por un vector en forma compleja, tal como se vio en el epígrafe 1.9.
R = Re jθ
(3.18)
La velocidad puede determinarse mediante la deriva de (3.18) con relación al tiempo.
R’ = Re jθ (jθ) + R’e jθ = jω Re jθ + R’e jθ
(3.19)
donde: j = − 1 , θ representa el ángulo que el vector R forma con el eje x (de sentido contrario al horario), θ’ = ω, es la velocidad angular del vector R, y R, por último, indica la derivada del módulo con relación al tiempo. Si el eslabón tiene el módulo constante, R = 0, y la ecuación (3.2619) se simplifica a
R’ = jωRe jθ
(3.20)
Supóngase un mecanismo biela-manivela, del que se pretende encontrar la velocidad del eslabón 3 (punto C) por el método analítico, supuesto conocido el valor de la velocidad angular del eslabón 1, ω1, así como la posición θ1. Realizando el cierre de la cadena, tal como muestra la Fig. 3.11, se observa que →
AB
→
+ BC
→
= AC
(3.21)
15
Ahora se puede asignar en notación compleja a los vectores anteriores la nomenclatura ya conocida, →
AB = R 1 e
j θ 1
→
/ BC = R 2 e
J θ 2
→
/ AC = R (θ = 0 )
(3.22)
y sustituyendo en la ecuación (3.21), queda la ecuación de cierre
R1e jθ1 + R2e jθ2 =R
(3.23)
Derivando la ecuación (3.23) con relación al tiempo, resulta
jω1R1e jθ1 + jω2R2e jθ2 = R’
(3.24)
Sustituyendo las expresiones exponenciales por trigonométricas, queda
jω1R1(cosθ1 + jsenθ1) + jω2R2(cosθ2 + jsenθ2) = R’
(3.25)
que separando las partes real e imaginaria
ω1R1cosθ1 + ω2R2cosθ2 = 0
(3.26)
-ω1R1senθ1 - ω2R2senθ2 = R’
(3.27)
De la primera de estas ecuaciones se encuentra la velocidad angular ω2 ω 2
= −
R 1 R 2
cos cos
θ 1 θ 2
ω 1
(3.28)
16
Llevando este último valor a la ecuación (3.27), se puede encontrar la velocidad del eslabón 3 en función de los parámetros conocidos
V C =
sen (θ 2 − θ 1 )
cos θ 2
ω 1 R1
=
sen (θ 2 − θ 1 )
cos θ 2
V B
(3.29)
El ángulo θ2 se determina por los métodos expuestos en el capítulo precedente; aunque cabría emplear la relación
R2 sen θ 1
=
R1 sen θ 2
(3.30)
para establecer su valor en cada momento.
17
