VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO
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1. INTRODUÇÃO
Um dos fundamentos da teoria da Dinâmica de Máquinas e Sistemas é o estudo das vibrações livres e forçadas em sistemas mecânicos. Este estudo inicia-se através de modelos simples com um grau de liberdade (1GL). Estes modelos são úteis pois, estabelecem definições básicas básicas e podem também corresponder a muitas muitas situações reais, especialmente especialmente quando se trata de análises dinâmicas numa faixa estreita de frequências. São aplicados também nos estudos mais avançados de vibrações mecânicas através do desacoplamento modal de modelos com vários graus de liberdade (NGL). Os parâmetros de massa, de rigidez e de amortecimento destes modelos são determinados a partir da aplicação das leis da dinâmica nos problemas de engenharia em estudo. Por isso para o estudo de vibrações mecânicas é requisito o conhecimento das leis de Newton e Euler. Para o equacionamento de modelos de sistemas mais complexos, com vários graus de liberdade, ou de modelos de sistemas com parâmetros distribuídos espacialmente, recomenda-se também o conhecimento das equações de Hamilton e de Lagrange.
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1.1 - MODELOS MATEMÁTICOS
Com a aplicação das leis do movimento, pode-se mostrar que muitos sistemas mecânicos possuem um modelo matemático simples representado pela equação m x c x
kx
f
(1.1)
onde
m é a massa do modelo; c é o coeficiente de amortecimento do modelo; k é o coeficiente de rigidez do modelo; x
x (t ) é o deslocamento da massa m;
x
x (t ) =
(t ) = x x
f
dx dt
é a velocidade da massa
d 2 x dt 2
m;
é a aceleração da massa m e
f (t ) é a força externa aplicada na massa m.
k m c
Figura 1.1 - Modelo elementar de 1 grau de liberdade.
Para se obter os parâmetros do modelo dado por (1.1) há vários procedimentos derivados das teorias da Mecânica Vetorial ou da Mecânica Clássica. Além disso, é necessário o conhecimento de métodos para a discretização dos sistemas deformáveis. Neste item será tratado apenas um método que é fundamental para o conhecimento de teorias mais avançadas.
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Dois tipos de problemas podem ser escritos como um modelo de um grau de liberdade. No primeiro tipo encontram-se casos onde o sistema físico é composto de partes rígidas apoiadas em molas e amortecedores ideais, com um grau de liberdade. Pode haver vários corpos interligados através de conexões cinemáticas que impõem um grau de liberdade apenas. O segundo tipo de problema tratado aqui corresponde a corpos deformáveis para os quais se admite uma função de forma para a deformação. Este método é conhecido como
método dos
modos assumidos. Os exemplos seguintes ilustram os dois casos apontados.
Exemplo 1:
Uma barra rígida de massa
m1 e comprimento l pode ter um movimento de oscilação
num plano horizontal xy em torno de
O. Está conectada a uma mola de constante de rigidez k 1
e a um amortecedor de constante de amortecimento
c1, conforme mostra a Figura 1.2. Em sua
extremidade A está presa uma massa rígida m2. Uma força externa f 1(t ) é aplicada na direção y no centro da barra. Deseja-se obter um modelo com 1GL que descreva o movimento para pequenos deslocamentos horizontais v da extremidade A desta barra.
y
v
f 1 m1 O
m2 A
k 1 l/2
x c1
l/2
Figura 1.2 - Modelo de 1 grau de liberdade: corpos rígidos.
VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO A um pequeno deslocamento horizontal
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v em A, na direção y, corresponde um
da barra AO. Esses deslocamentos podem ser relacionados de forma
deslocamento angular aproximada por: v
l
(1.2)
Na direção y, estão aplicadas na barra
OA a força de mola f mo, a força de amortecedor
f am, a força aplicada f 1 e a força do apoio O. Para um deslocamento pequeno v a partir da posição de equilíbrio, a equação de momentos aplicados na barra OA pode ser escrita como f 1
l
f mo
2
l 2
f am l
I O
onde I O é o momento de inércia da barra
(1.3)
OA e da massa m2 em relação a O e
é a aceleração
angular desta barra. As forças da mola e do amortecedor são dadas por
e
v
f mo
k 1
f am
c1 v
k 1
2
l
2
(1.4)
c1 l
(1.5)
O momento de inércia I O e a aceleração angular são dados por
m1 l 2
I O
12
e
m1
l 2
m1 l 2
2
m2 l
4
3
m2 l 2
(1.6)
(1.7)
Aplicando (1.4), (1.5), (1.6) e (1.7) em (1.3), obtém-se
f 1
l 2
k 1
l 2 4
2
c1l
m1l 2
3
m2l 2
(1.8)
Dividindo (1.8) por l , obtém-se f 1
k 1
2
4
Lembrando que v
l
c1l
l , resulta
m1 3
m2 l
(1.9)
VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO f 1
k 1
2
4
v
m1
c1 v
3
5
m2 v
(1.10)
ou seja mv cv
kv
f
(1.11)
onde os parâmetros deste modelo, semelhante ao modelo elementar dado em (1.1), são dados por m
m1 3
m2
; c
c1 ; k
k 1 4
e
f
f 1 2
Exemplo 2: Seja uma viga engastada, com seção transversal constante A, comprimento l , massa m e momento de segunda ordem de área igual a J , submetida a uma força p( x,t ). Está apoiada num amortecedor de constante
c1, localizado conforme mostrado na Figura 1.3. O material da viga
tem módulo de elasticidade E e massa por unidade de volume igual a
. Pretende-se obter um
modelo com 1GL para esta viga que descreva o movimento vertical de sua extremidade.
y
p( x,t )
v( x,t ) x c1
2l/3
l/3
Figura 1.3 - Modelo de 1 grau de liberdade: barra deformável.
O deslocamento na direção y desta viga é uma função da posição x e do tempo t , ou seja, v( x,t ). Seja esta função dada pelo produto de duas funções de uma variável,
v( x, t )
( x) q(t )
(1.12)
VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO No método que utilizaremos pode-se escolher qualquer função
6 ( x) que satisfaça as
condições de contorno no engastamento e de valor unitário para x = L, como por exemplo: ( x )
1 cos
x 2l
(1.13)
Com esta escolha a função q(t ) representa o deslocamento da extremidade da viga. Este é o procedimento do método aproximado denominado
método dos modos assumidos . Desta
forma, o sistema passa a ter um grau de liberdade, pois uma vez conhecido o movimento da extremidade da viga, todos os demais pontos têm seus movimentos conhecidos. A equação mais conveniente a ser aplicada neste caso é a equação de Lagrange para sistemas com um grau de liberdade na coordenada generalizada q, dada por:
d
T
T
V
dt
q
q
q
Q
(1.14)
onde
T é a energia cinética T T (q, q, t )
V é a energia potencial V V (q, t ) e Q é a força generalizada correspondente. As energias cinética de translação, potencial elástica de flexão da viga deste exemplo e o trabalho virtual da força generalizada são dadas por
T
V
1
l
A
20 1
l
20
v t 2
E J
v
x 2
2
dx
(1.15)
2
dx
(1.16)
l
Q
p( x, t )
q
v dx
c1v( 2l / 3, t ) v
0
Aplicando (1.12) em (1.15), (1.16) e (1.17) obtêm-se
(1.17)
VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO
T
V
e, como
v
7
l
1
A[ ( x )]2 dx [q (t )]2
2
(1.18)
0
l
1
E J [
2
2
2
( x )] dx [q(t )] onde
( x )
0
( x )
d 2 dx 2
(1.19)
q , resulta l
Q q
p( x, t ) ( x ) dx
c1
2
( 2l / 3) q (t )
q
(1.20)
0
Aplicando (1.18), (1.19) e (1.20) na equação de Lagrange (1.14), obtém-se mq k q
Q
mq c q
k q
Q p
Qc1
(1.21)
ou Q p
(1.22)
onde l
A [ ( x )]2 dx
m
(1.23a)
0
2
c
(2l / 3) c1
(1.23b)
l
k
E J [
( x )]2 dx
(1.23c)
0
l
e
Q p
p( x, t ) ( x ) dx
(1.24)
0
Para o caso particular da
( x) escolhida como exemplo, ver (1.13), os valores dos coeficientes
do modelo (1.22), calculados através das (1.23), são dados por m
0,2268 ρAl ; c
Tomando como exemplo, p( x, t ) Q p
0,25 c1 e k 3,044
E J l 3
p0 sen t com p0 constante, obtém-se de (1.24)
0,3634 p0 l sen t
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1.2 – MOVIMENTOS PERIÓDICOS
Nos estudos de dinâmica, os fenômenos físicos são descritos através de grandezas físicas que estão variando no tempo. Estas variações podem ocorrer de forma determinística ou aleatória. As variações determinísticas são aquelas que têm a sua descrição matemática feita através de funções que definem os seus valores em qualquer instante de tempo. As variações aleatórias são aquelas que podem ser descritas apenas por modelos estatísticos. Em geral toda grandeza física contém algum conteúdo aleatório. Entretanto, quando este conteúdo é pequeno em relação à descrição determinística, pode ser desprezado. Esta parcela aleatória da grandeza é às vezes denominada ruído. Entre os modelos matemáticos determinísticos, destacam-se as funções periódicas. Estas funções representam muitos fenômenos físicos da natureza e da tecnologia. A posição de um pêndulo em movimento livre, dos ponteiros de um relógio, dos pistões de um motor de veículos em velocidade constante são exemplos de grandezas físicas que realizam movimentos periódicos. Estes movimentos são chamados de forma geral por oscilações. Vibração mecânica é a denominação dada às pequenas oscilações de sistemas mecânicos e estruturas flexíveis. Esta distinção entre os conceitos de oscilação e de vibração muitas vezes não é feita na literatura do assunto. Para o estudo das vibrações mecânicas é importante se conhecer algumas propriedades das funções periódicas. Uma função periódica y(t ) pode ser dada por: y (t ) onde
y (t nT )
n
1 , 2 , 3 ,
(1.25)
T é o período de oscilação da função y(t ). Sendo o período T dado em segundos ( s), a
frequência f de oscilação é igual a f
1 T
em ciclos por segundo ( c/s) ou Hertz ( Hz), ou
(1.26)
VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO 2
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2 f
T
(1.27)
em radianos por segundo ( rad/s). A unidade
Hz é usual para apresentação de dados;
entretanto, nos cálculos da teoria de vibrações é obrigatória a aplicação da (1.27). A amplitude da oscilação de qualquer movimento periódico é dada por
y
ymax
ymin 2
(1.28)
y
Q
P r = t O
R
x
Figura 1.4 – Movimentos dos pontos P , Q e R.
A Figura 1.4 mostra o movimento circular uniforme de um ponto origem
O do sistema de coordenadas ao ponto Q realiza um movimento de rotação com
velocidade angular ponto
Q. A linha que une a
constante. Os movimentos dos pontos P e R, projeções ortogonais do
Q sobre os eixos y e x, respectivamente, são movimentos retilíneos oscilatórios. A
frequência
destes movimentos é igual à velocidade angular
. Assim, a posição y(t ) do
ponto P pode ser dada por y
r sen
r sen t
(1.29)
VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO
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O movimento do ponto P é retilíneo e oscilatório, denominado movimento harmônico simples cuja frequência é ω e cuja amplitude é o raio r . A velocidade deste ponto é dada por: y
dy
r cos t
dt
(1.30)
e a aceleração dada por y
d 2 y
2
r
2
dt
sen t
(1.31)
Observa-se a partir de (1.29) e (1.31) que y
2
y
0
(1.32)
O movimento harmônico pode ser obtido numa forma matemática mais geral que a (1.29) tomando um ângulo inicial diferente de zero, o que corresponde a uma posição inicial
y(0) diferente de zero. Portanto, de uma forma geral o movimento harmônico simples pode ser escrito por:
y
rsen (
y
a cos t b sen t
0
)
r sen( t
0
)
(1.33)
ou (1.34)
onde 2
r
a
2
2
b
(1.35)
e
0
tan
1
a b
(1.36)
Observe-se em (1.34) que a
y (0 )
(1.37)
e b
y (0 )
(1.38)
VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO
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4 3 2 1 ) t ( u
0 -1 -2 -3 -4 0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
t
Figura 1.5 – Movimento harmônico simples.
Os movimentos periódicos podem ser decompostos em movimentos harmônicos simples. Para movimentos contínuos, pode-se fazer uma decomposição através da série de Fourier. Seja dada uma função periódica contínua, conforme definição feita em (1.25). Esta função pode ser escrita então como y (t )
a n cos
a0 n 1
n
bn sen
t
n
t
(1.39)
n 1
onde 2 n n
T
(1.40)
Integrando ambos os lados da equação (1.39) na variável t obtém-se facilmente o termo que corresponde ao valor médio da função y(t ):
a0
1
T
T 0
y (t ) dt
(1.41)
VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO
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Multiplicando ambos os lados da equação (1.39) pelos fatores em seno e cosseno e integrando na variável t , obtêm-se os coeficientes dos outros termos da série de Fourier:
an
2
y (t ) cos
n
t dt
(1.42)
y (t ) sen
n
t dt
(1.43)
T 0 2
bn
T
T
T 0
A série de Fourier dada em (1.39) pode também ser representada por y (t )
c0
cn sen(
n
t
n
)
(1.44)
n 1
onde
c0
a0
cn
an2
n
tan
Os coeficientes coeficientes
(1.45)
n
bn2 1
an bn
(1.46)
(1.47)
cn correspondem às amplitudes das componentes harmônicas e os
são as fases correspondentes. O espectro em frequência de uma função
periódica é dado pela representação gráfica destes coeficientes em função da frequência, como mostrados na Figura 1.6. Estes “gráficos” não representam funções, pois são apenas indicações das amplitudes e das fases correspondentes a cada frequência da série de Fourier.
cn
n
n
n
Figura 1.6 – Espectro de uma função periódica.
