Vibraciones Forzadas de Un Grado de Libertad

DEPARTAMENTO ACADEMICO DE ESTRUCTURAS

INDICE CAPITULO I: INTRODUCCION CAPITULO II: MARCO TEORICO 2.1 VIBRACIONES FORZADAS DE UN GRADO DE LIBERTAD 2.1.1 Respuesta a una excitación armónica 2.1.2 Respuesta a una función impulso, a una función escalón y a una función rampa 2.1.2.1 Carga Rampa-constante 2.2 FACTOR DE AMPLIFICACIÓN DINÁMICA

CAPITULO III: RESPUESTA 3.1 DATOS 3.2 CASOS 3.2.1 Grafica del desplazamiento en función del tiempo t iempo 3.2.2 Grafica de la velocidad en función del tiempo 3.2.3 Grafica de la aceleración en función del tiempo 3.2.4 Grafica del FAD (Factor de Amplificación Dinámica).

CAPITULO IV: CONCLUSIONES CAPITULO V: BIBLIOGRAFIA

1

VIBRACIONES FORZADAS DE UN GRADO DE LIBERTAD


CAPITULO I: INTRODUCCION

Para el estudio de la vibración de sistemas estructurales es necesario hacer uso de a lgunos conceptos relativos a la respuesta de sistemas de un grado de libertad (1 GDL) que son aplicables a sistemas de muchos grados de libertad como son las estructuras de edificios por lo que es imprescindible comenzar por una revisión de estas ideas. La utilidad de un sistema tan simple reside en que permite establecer de manera muy directa y sencilla diversos conceptos útiles en la comprensión de sistemas dinámicos más complejos. Asimismo muchas estructuras simples pueden ser representadas razonablemente como un sistema de 1 GDL. La solución de sistemas complejos puede obtenerse reduciendo el problema a uno de 1 GDL, así como ser parte de la solución de problemas con mayor número de variables que pueden reducirse a una combinación de sistemas de un GDL.

"Un sistema de un grado de libertad (1 GDL) se define como aquel en que sólo es posible un tipo de movimiento, o sea, la posición del sistema en cualquier instante puede ser definida por la de una sola coordenada"

2



Capítulo II:

MARCO TEORICO

2.1 VIBRACIONES FORZADAS DE UN GRADO DE LIBERTAD La cuestión de fondo que se plantea es cómo caracterizar o definir el comportamiento dinámico de un sistema mecánico. Si no se tiene este problema resuelto, no será posible comprobar los resultados teóricos obtenidos sobre un modelo matemático, con resultados experimentales obtenidos sobre el modelo real. Lo ideal sería comprobar un modelo con las solicitaciones reales a que va a estar sometido. Sin embargo, en la mayoría de los casos esto no es posible por lo variables y complejas que pueden llegar a ser. Las condiciones que las solicitaciones de prueba o de test deben reunir son las de ser universales (servir para el mayor número y tipo posible de sistemas), fáciles de realizar y de reproducir (en el laboratorio y sobre el papel) y representativas del comportamiento dinámico del sistema en la práctica. Estas características deseables conducen a los casos siguientes:

2.1.1 Respuesta a una excitación armónica : Las fuerzas que varían armónicamente son fáciles de reproducir físicamente y de estudiar teóricamente. Además, estudiando la respuesta del sistema para toda una gama de frecuencias de excitación, se tiene caracterizado su comportamiento dinámico. 2.1.2 Respuesta a una función impulso, a una función escalón y a una función rampa:

Son

las funciones más simples y relativamente fáciles de reproducir en un laboratorio o taller. También caracterizan el comportamiento dinámico del sistema totalmente. Las vibraciones forzadas están gobernadas por la ecuación diferencial:

La solución de esta ecuación diferencial se obtendrá sumando a la solución general de la ecuación homogénea (problema ya resuelto en el apartado de

vibraciones libres:

Una solución particular de la ecuación complet

3



En este caso detallaremos mas en cuanto al método que utilizaremos de acuerdo al tipo de fuerza excitadora rampa-constante.

2.1.2 Respuesta a una función impulso, a una función escalón y a una función rampa: 2.1.2.1 Carga Rampa-constante.- Lo constituye una carga que varía linealmente hasta alcanzar todo su valor en un tiempo

 (este tipo de carga es otro caso de interés). La respuesta

debe ser obtenida en dos etapas, o sea: Considerando que

u(t)=U

donde U esta en metros DONDE: K= CONSTANTE ELASTICA (N/m) M=MASA (Kg) F=FUERZA (N) U=DESPLAZAMIENTO (m)

FIG(1): EC. DIFERENCIAL

4



Por lo tanto como desplazamiento dinámica tenemos a:

 =  −   =  −  − (

(

sin

(

)

)+

(

≤  ≤   ≤ 

0 )

Cuando la relación del tiempo de subida de la fuerza al período es grande (

 / T = 5 / 2), el

sistema vibra relativamente rápido y la respuesta simplemente sigue a la curva estática de carga. Por consiguiente la máxima respuesta dinámica difiere muy poco de la respuesta estática a



(FAD = 1). Por otro lado, si la relación es pequeña (

 / T = 1 / 4) el sistema responde lentamente debido al

período largo. Esto resulta en un primer retraso, y después en un " sobrepasar " a la curva estática de carga. La respuesta dinámica es considerablemente mayor que la estática. Esta es una observación importante, ya que los esfuerzos en un sistema resistente son proporcionales al Factor de Amplificación Dinámica.

FIG(2): FAD

5



2.2 FACTOR DE AMPLIFICACIÓN DINÁMICA Una forma conveniente de a dimensionar la respuesta consiste en expresarla en términos de un factor de amplificación dinámica, FAD

en forma resumida.

El FAD es la relación (cociente) entre la respuesta y la deformación (desplazamiento) estática que sería causada por F1, o sea:

Por consiguiente para el caso anterior, de la fuerza aplicada súbitamente:

La fuerza en el resorte será 2 F1. Para este caso entonces, la variación en el tiempo del FAD será:

Cualquier fuerza aplicada súbitamente y que se mantiene constante sobre un sistema da como resultado, como máximo una amplificación de 2.

6



RESPUESTA

CAPITULO III: 3.1 DATOS

Los datos con las que vamos a trabajar para nuestra prueba son las siguientes: Resto de dividir el número de letras del primer nombre entre 4: Nombre: Christian Cantidad de letras: 9 Resto: 1 Tipo de Fuerza Excitadora: Rampa – constante Resto de dividir el número de letras del segundo apellido entre 5: 2º apellido: Gutiérrez Cantidad de letras: 9 Resto: 1 Relación de

 / T: 0.75, 2 y 5

Numero de letras del primer apellido expresado en toneladas (fuerza) 1º apellido: Sánchez Cantidad de letras: 7 Fuerza: 7 toneladas fuerza Considerando

 = 4/3 s



podemos determinar los valores de T y .

Según la relación

 = 1   = 4.712   = 4.712  2)  = 2.6  3)  = 6.6  s  = 4.712    Conociendo la relación de  =  y dando un  = 0.1576     Por último también consideraremos para un  = 3.5  1)

7



Sabiendo la ecuación diferencial de desplazamiento:

− sin )  =  (  ) +  (− )  =  (−(  Reemplazando los datos que tenemos obtenemos la siguiente tabla:

3.2 CASOS:

a) Los intervalos son b) Los intervalos son

c) Los intervalos son

1



2 3 1

 

2 3 1

 

2 3

8

 − sin4.7) 0.16(4.7  − sin4.7) 0.06(4.7  − sin4.7) 2 − 2cos 4.7 0.76 − 0.76cos 4.7 0.3 − 0.3cos 4.7 9.4 sin4.7 3.6 sin4.7 1.4 sin4.7 0.42(4.7

≤≤1 0 ≤  ≤ 2.6 0 ≤  ≤ 6.6 0

≤ 2.6 ≤  6.6 ≤  1

 − sin4.7 + sin4.7 − 4.7) 0.16(4.7  − sin4.7 + sin4.7 − 12.2) 0.06(4.7  − sin4.7 + sin4.7 − 31.02) 2cos4.7 − 4.7 − 2cos (4.7 ) 0.76 cos4.7 − 12.2 − 0.76cos (4.7 ) 0.3 cos 4.7 − 31.02 − 0.3cos (4.7 ) 9.4(sin4.7 − sin4.7 − 4.7) 3.6(sin4.7 − sin4.7 − 12.2) 1.4(sin4.7 − sin4.7 − 31.02) 0.42(4.7



Realizando las graficas de la posición, velocidad y aceleración del caso (a)

3.2.1 GRAFICA DEL DESPLAZAMIENTO EN FUNCIÓN DEL TIEMPO.

Desplazamiento vs Tiempo 15 ) 10 s o r t e m 5 ( o t n 0 e i m 0 a z -5 a l p s e D -10

1

2

-15

3

4

5

6

Tiempo (segundos)

3.2.2 GRAFICA DE LA VELOCIDAD EN FUNCIÓN DEL TIEMPO.

Velocidad vs Tiempo 15 ) s o d10 n u g e s / 5 s o r t e m ( 0 d a d 0 i c o l e -5 V

1

2

3

4

-10 -15

9

Tiempo (segundos)


5

6


3.2.3 GRAFICA DE LA ACELERACIÓN EN FUNCIÓN DEL TIEMPO.

Aceleracion vs Tiempo 15 ) 2 s o 10 d n u g e s / 5 s o r t e m ( 0 n o i 0 c a r e -5 l e c a

1

2

3

4

-10

-15

10

Tiempo (segundos)


5

6


3.2.4 GRAFICA DEL FAD (FACTOR DE AMPLIFICACIÓN DINÁMICA).

Ahora determinando el FAD (FACTOR DE AMPLIFICACIÓN DINÁMICA)

  =   Donde:

 =  =    =  =   Nota: recordar que el FAD, por ser una relación de desplazamientos, no tiene unidades.

1)

2)

3)

11

 = 0.21(4.7 − sin4.7) FAD=0.21(4.7  − sin4.7 + sin4.7 − 4.7)  = 0.08(4.7 − sin4.7)  = 0.08(4.7 − sin4.7 + sin4.7 − 12.2)  = 0.03(4.7 − sin4.7)  = 0.03(4.7 − sin4.7 + sin4.7 − 31.02)


≤≤1 1≤ 0 ≤  ≤ 2.6 2.6 ≤  0 ≤  ≤ 6.6 6.6 ≤  0


PARA CASO (1) LA GRAFICA CORRESPONDIENTE ES:

FAD vs TIEMPO 1.4 1.2 1 0.8

D A 0.6 F 0.4 0.2 0 0

1

2

3

4

5

6

TIEMPO (s)


FAD vs TIEMPO 1.4 1.2 1 0.8

D A 0.6 F 0.4 0.2 0 0

2

4

6

8

10

12

TIEMPO (s)

12


14

16



FAD vs TIEMPO 1.4 1.2 1

D A F

0.8 0.6 0.4 0.2 0 0

5

10

15

20

25

TIEMPO (s)

13


30

35

40


CAPITULO IV:



CONCLUSIONES

Recordar que el FAD, por ser una relación de desplazamientos, no tiene unidades.



Cualquier fuerza aplicada súbitamente y que se mantiene constante sobre un sistema da como resultado, como máximo una amplificación de 2.



Los esfuerzos en un sistema resistente son proporcionales al Factor de Amplificación Dinámica.



Notamos que mientras menor sea el periodo mas oscilaciones tiene la curva de desplazamiento, por ende también posee mas oscilaciones el FAD.

14



CAPITULO V:

BIBLIOGRAFIA



INGENIERÍA SISMORRESISTENTE (Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO)



WWW.UNAV.ES/ADI/USERFILES/FILE/1000104940/APUNTESTEORM AQCAP9.PDF



WWW.IMEM.UNAVARRA.ES/WEB_IMAC/PAGES/.../VIB/VIB_PORTA DAINDICE.PDF



PROF.USB.VE/SDIAZ/INDEX_FILES/MC2415.PDF



WWW.ING.UCV.VE/WEB_INGENIERIA...10/.../4832_VIBRACIONES_M ECANICA.PDF



15

WWW.MTY.ITESM.MX/DIA/DEPTOS/IM/M95864/P3.PDF


Vibraciones Forzadas de Un Grado de Libertad

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