Vibraciones Mecánicas

ÍNDICE

pág.

INTRODUCCIÓN. ................................................................................................................................ 3 UNIDAD 1 CINEMATICA DE LA VIBRACION ........................................................................... 4 1.1-GRADO DE LIBERTAD. ....................................................................................................... 4 1.2 MOVIMIENTO ARMÓNICO Y SU REPRESENTACION. ................................................ 4 1.2.1 USO DE FASORES PARA LA SUMA RESTA MULTIPLICACION Y DIVISION. 5 1.3 SERIE DE FOURIER. ........................................................................................................... 5 1.3.1 METODO ANALITICO ................................................................................................... 6 1.3.2 METODO NUMERICO. ................................................................................................. 7 1.3.3 APLICACIÓN DEL ANÁLISIS ARMONICO ................................................................ 7 1.3.4 ANALISIS ESPECTRAL EN EL DOMINIO DEL TIEMPO Y LA FRECUENCIA. .. 8 UNIDAD 2: ESTADO GENERAL DE DEFORMACIONES ....................................................... 9 2.1 CONCEPTO DE DESPLAZAMIENTO DE UN CUERPO. ............................................... 9 2.1.2 ROTACION.................................................................................................................... 11 2.1.3 ALARGAMIENTO. ........................................................................................................ 11 2.2 ESTADO GENERAL DE DEFORMACIONES. ............................................................... 12 2.3DEFORMACION VOLUMETRICA. .................................................................................... 13 2.4 DISTORSION. ...................................................................................................................... 14 2.5.- DEFORMACIONES PRINCIPALES. .............................................................................. 14 2.6 CIRCULO DE MOHR PARA DEFORMACIONES. ......................................................... 15 UNIDAD 3.VIBRACIONES DE SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD CON EXCITACIÓNARMÓNICA……………………………………………………………………………………………………..17 3.1 ANÁLISIS DE UN SISTEMA SUJETO A FUERZA ARMÓNICA EXTERNA. ............. 17 3.2 DESBALANCEO ROTATORIO Y CABECEO DE ECHAS ROTATORIAS Y ELEMENTOS ROTATIVOS. ..................................................................................................... 18 3.3 EXCITACIÓN ARMÓNICA EN LA BASE......................................................................... 19 3.4 AISLAMIENTO DE LA VIBRACIÓN.................................................................................. 19 3.5.- INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN DE VIBRACIONES. .............................................. 20 UNIDAD 4.- BALANCEO DE ROTORES Y ELEMENTOS ROTATIVOS. ........................... 22 4.1 CONCEPTOS DE DESBALANCE, ROTOR RÍGIDO, FLEXIBLE Y SU TOLERANCIA. ............................................................................................................................ 22 4.2 BALANCEO ESTÁTICO. .................................................................................................... 23

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4.3 BALANCEO DINÁMICO EN UNO Y DOS PLANOS POR EL MÉTODO DE COEFICIENTES DE INFLUENCIA. ......................................................................................... 23 4.4 TOLERANCIA DE DESBALANCE. ................................................................................... 24 4.4.1.- TOLERANCIAS DE BALANCEO EN-TALLER...................................................... 25 4.4.2.- API STANDARDS 612 Y 617. .................................................................................. 25 4.4.3.- ISO STANDARDS 1940. ........................................................................................... 26 UNIDAD 5.- SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD. ......................................... 27 5.1 VIBRACION DE MODO NORMAL PARA SISTEMAS DE DOS GRADOS DE LIBERTAD ................................................................................................................................... 27 5. 2 ACOPLAMIENTO DE CORDENADAS. ......................................................................... 29 5.3 PROPIEDAES ORTOGONALES ...................................................................................... 30 5.4 MATRIZ MODAL. ................................................................................................................ 31 5.5 VIBRACIÓN LIBRE ............................................................................................................. 32 5.6 VIBRACION FORZADA Y ABSORCION DE VIBRACIONES. ..................................... 35 CONCLUSIONES. ......................................................................................................................... 37 BIBLIOGRAFÍA. ............................................................................................................................. 38

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INTRODUCCIÓN.

El estudio de las vibraciones mecánicas se ha convertido en algo esencial para el estudiante de ingeniería mecánica ya que el buen funcionamiento de maquinaria mecánica está relacionado en muchos casos con su comportamiento vibratorio. Es importante conocer la clasificación de las vibraciones mecánicas ya que nos presentan un panorama de los diferentes estudios. Otra herramienta importante en el estudio de las vibraciones mecánicas es el modelo matemático. Este procedimiento debe ser preciso ya que los errores producen información errónea .El estudio de las vibraciones mecánicas también llamado, mecánica de las vibraciones, es una rama de la mecánica, o más generalmente de la ciencia, estudia los movimientos oscilatorios de los cuerpos o sistemas y de las fuerzas asociadas con ella. Vibración: es el movimiento de vaivén que ejercen las partículas de un cuerpo debido a una excitación. Existe una relación entre el estudio de las vibraciones mecánicas del sonido, si un cuerpo sonoro vibra el sonido escuchado está estrechamente relacionado con la vibración mecánica, por ejemplo una cuerda de guitarra vibra produciendo el tono correspondiente al número de ciclos por segundo de vibración.

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UNIDAD 1 CINEMATICA DE LA VIBRACION 1.1-GRADO DE LIBERTAD. El número de grados de libertad en un sistema físico se refiere al número mínimo de números reales que es necesario especificar para determinar completamente el estado físico. El concepto aparece en mecánica clásica y en termodinámica. En mecánica, por cada partícula libre del sistema y por cada dirección en la que éstas son capaces de moverse, existen dos grados de libertad: uno relacionado con la posición y el otro con la velocidad (o el momento lineal). El número de grados de libertad de un sistema cuando existen ligaduras entre las partículas, será el número de grados de libertad del sistema sin ligaduras, menos el número de ligaduras que relacionan las variables. En mecánica hamiltoniana el número de grados de libertad de un sistema coincide con la dimensión topológica del espacio de fases del sistema. En mecánica lagrangiana el número de grados de libertad coincide la dimensión del fibrado tangente del espacio de configuración del sistema. Un conjunto de N partículas intereactuantes pero moviéndose sin restricciones en el espacio tridimensional tiene 6N grados de libertad (tres coordenadas de posición y tresvelocidades). Si el conjunto de partículas se mueve sobre un estado d-dimensional el número de grados de libertad es 2d·N. Si existen

ligaduras entre las partículas el número de grados de libertad será

1.2 MOVIMIENTO ARMÓNICO Y SU REPRESENTACION. El movimiento armónico simple es un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo oscila a un lado y a otro de su posición de equilibrio, en una dirección determinada, y en intervalos iguales de tiempo. Por ejemplo, es el caso de un cuerpo colgado de un muelle oscilando arriba y abajo. El objeto oscila alrededor de la posición de equilibrio, cuando se le separa de esta y se le deja en libertad. El movimiento armónico simple es un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo oscila a un lado y a otro de su posición de equilibrio, en una dirección determinada, y en intervalos iguales de tiempo.

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1.2.1 USO DE FASORES PARA LA SUMA RESTA MULTIPLICACION Y DIVISION. El movimiento armónico se puede representar de una manera más práctica por medio de un vector de magnitud A que gira a una velocidad angular constante ω. La proyección de la punta del vector sobre el eje vertical está dada por: y = A sin ωt Y su proyección sobre el eje horizontal por x = A cosωt Representación por medio de números complejos del movimiento armónico es más práctico representar el movimiento armónico por medio de números Complejos. Cualquier vector X en el plano xy se puede representar como un número Complejo: X = a + ib Si A indica el módulo o valor absoluto del vector X, y θ representa el argumento o ángulo entre el vector y el eje x, entonces X también puede expresarse como: X = A cos θ + iA sin θ

1.3 SERIE DE FOURIER. Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos (o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones sinusoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicó sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico. Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta.

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Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refiérase al uso de un analizador de espectros. Las series de Fourier tienen la forma:

Si

es una función (o señal) periódica y su período es

asociada a

Donde

,

, la serie de Fourier

es:

y

son los coeficientes de Fourier que toman los valores:

Por la identidad de Euler, las fórmulas de arriba pueden expresarse también en su forma compleja:

1.3.1 METODO ANALITICO El Método analítico es aquel método de investigación que consiste en la desmembración de un todo, descomponiéndolo en sus partes o elementos para observar las causas, la naturaleza y los efectos. El análisis es la observación y examen de un hecho en particular. Es necesario conocer la naturaleza del fenómeno y objeto que se estudia para comprender su esencia. Este método nos permite conocer más del objeto de estudio, con lo cual se puede: explicar, hacer analogías, comprender mejor su comportamiento y establecer nuevas teorías.

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Se distinguen los elementos de un fenómeno y se procede a ordenadamente cada uno de ellos por separado.

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La física, la química y la biología utilizan este método; a partir de la experimentación y el análisis de gran número de casos se establecen leyes universales. Consiste en la extracción de las partes de un todo, con el objeto de estudiarlas y examinarlas por separado, para ver, por ejemplo las relaciones entre las mismas. Estas operaciones no existen independientes una de la otra; el análisis de un objeto se realiza a partir de la relación que existe entre los elementos que conforman dicho objeto como un todo; y a su vez , la síntesis se produce sobre la base de los resultados previos del análisis.

1.3.2 METODO NUMERICO. Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas de tal forma que sean resueltas con operaciones aritméticas, Aunque hay muchos tipos de métodos numéricos todos comparten una característica común, llevan cabo un buen número de tediosos cálculos aritméticos.

1.3.3 APLICACIÓN DEL ANÁLISIS ARMONICO Una de las ramas más modernas del análisis armónico, que tiene sus raíces a mediados del siglo XX, es el análisis sobre grupos topológicos. El ideal central que lo motiva es la de las varias transformadas de Fourier, que pueden ser generalizadas a una transformación de funciones definidas sobre grupos localmente compactos. La teoría para los grupos localmente compactos abelianos se llama dualidad de Pontryagin, que se considera una proposición muy satisfactoria ya que explica las características envueltas en el análisis armónico. En su página se encuentra desarrollada en detalle. El análisis armónico estudia las propiedades de tal dualidad y la transformada de Fourier; y pretende extender tales características a otros marcos, por ejemplo en el del caso de los grupos de Lie no abelianos. Para grupos generales no abelianos localmente compactos, el análisis armónico está muy relacionado con la teoría unitaria de representación de grupos unitarios. Para grupos compactos, el Teorema de Peter-Weyl explica cómo se pueden conseguir armónicos extrayendo una representación irreducible de cada clase de equivalencia de representaciones.

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Esta elección de armónicos goza de algunas de las propiedades útiles de la transformada de Fourier clásica de forma que lleva convoluciones a productos escalares, o por otra parte mostrando cierta comprensión sobre la estructura de grupo subyacente.

1.3.4 ANALISIS ESPECTRAL EN EL DOMINIO DEL TIEMPO Y LA FRECUENCIA.

En el procesamiento de señales el análisis tiempo-frecuencia es un conjunto de técnicas para la caracterización y manipulación de señales cuyas estadísticas varían en el tiempo, como las señales transitorias. Es una generalización y perfeccionamiento del análisis de Fourier, en el que las frecuencias son constantes en el tiempo. Debido a que muchas señales de interés -como el habla, música, imágenes y señales de médicas- tienen frecuencias cambiantes, el análisis tiempo-frecuencia tiene un alcance amplio. Considerando que la técnica de la transformada de Fourier se puede ampliar para obtener el espectro de frecuencias de cualquier señal de crecimiento lento localmente integrable, esto requiere una descripción completa de la conducta de la señal a lo largo del tiempo. De hecho, se puede pensar en puntos en el dominio de la frecuencia (espectral) como manchas que acumulan información desde todo el dominio del tiempo. Sin embargo, a pesar de que matemáticamente esta técnica es elegante, no es apropiada para el análisis de una señal con comportamiento futuro indeterminado. Por ejemplo, en el análisis tiempo-frecuencia, se debería presuponer cierto grado de comportamiento futuro indeterminado en cualquier sistema de telecomunicaciones para lograr la entropía no nula (si ya se sabe lo que el otro va a decir, no se puede aprender nada). Para aprovechar el poder de una representación en frecuencia sin la necesidad de una caracterización completa en el dominio temporal, se obtiene primero la distribución tiempo-frecuencia de la señal, lo que representa la señal tanto en el dominio temporal como el de la frecuencia simultáneamente. En esta representación el dominio de la frecuencia sólo refleja el comportamiento de una versión localizada de la señal en el tiempo. Esto permite analizar de manera sensible señales cuyos componentes frecuenciales varían en el tiempo.

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UNIDAD 2: ESTADO GENERAL DE DEFORMACIONES DEFINICIONES DE DESPLAZAMIENTO Y DEFORMACIÓN. Si un cuerpo dado se sujeta a un sistema de fuerzas entonces los puntos individuales del cuerpo se pondrán en movimiento. El movimiento de un punto es una cantidad vectorial conocido como desplazamiento. Si varios puntos en el cuerpo sufren movimientos diferentes, cada uno puede ser representado por su propio vector de desplazamiento. Cada vector tiene sus componentes cartesianas representadas por u, v, y w que representan los desplazamientos sobre los ejes x, y, z, respectivamente. El movimiento del cuerpo se puede representar como la suma de dos partes: 1. La traslación y/o rotación del cuerpo en conjunto. 2. El movimiento relativo de los puntos del cuerpo con respecto a otros puntos del mismo cuerpo. La traslación o rotación del cuerpo en conjunto se conoce como movimiento de cuerpo rígido. Este tipo de movimiento se aplica a cuerpos rígidos idealizados o a cuerpos deformables. El movimiento relativo de los puntos del cuerpo se conoce como deformación y es obviamente sólo una propiedad de los cuerpos reales. Los movimientos de cuerpo rígido pueden ser grandes o pequeños. En general, las deformaciones son pequeñas excepto cuando los cuerpos son de materiales como el hule o estructuras con vigas largas y delgadas. La deformación es una cantidad geométrica que depende de los movimientos relativos de dos o tres puntos en el cuerpo y por consiguiente sólo está relacionado a los desplazamientos. Puesto que los desplazamientos de cuerpo rígido no producen deformación, estos de despreciaran.

2.1 CONCEPTO DE DESPLAZAMIENTO DE UN CUERPO. En mecánica, el desplazamiento es el vector que define lo que es la posición de un punto o partícula en relación a un origen A con respecto a una posición B. El vector se extiende desde el punto de referencia y se puede hasta la posición final. Cuando se habla del desplazamiento de un cuerpo en el espacio solo importa la posición inicial del cuerpo y la posición final, ya que la trayectoria que describe el cuerpo no es de importancia si se quiere hallar su desplazamiento. Esto puede observarse cuando un jugador de fútbol parte de un punto de la cancha y le da una vuelta entera para terminar en la misma posición inicial; para la física allí no hay desplazamiento porque su posición inicial es igual a la final. En la mecánica del punto material, se entiende por desplazamiento el vector o segmento recto orientado que une la posición inicial con otro punto genérico de la trayectoria. Este uso del vector desplazamiento permite describir en forma completa el movimiento y el camino de una partícula.

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En mecánica de medios continuos se entiende por desplazamiento el vector que va desde la posición inicial (antes de la deformación) a la final (después de la deformación) de un mismo punto material del medio continuo. Cuando el punto de referencia es el origen del sistema de coordenadas que se utiliza, el vector desplazamiento se denomina por lo general vector posición, que indica la posición por medio de la línea recta dirigida desde la posición previa a la posición actual, en comparación con la magnitud escalar "distancia recorrida" que indica solo la longitud del camino, obviamente en un espacio euclídeo se tiene:

La igualdad anterior sólo se cumpliría para un movimiento rectilíneo. Cuando el punto de referencia es la posición previa de la partícula, el vector desplazamiento indica la dirección del movimiento por medio de un vector que va desde la posición previa a la posición actual. Este uso del vector desplazamiento es útil para definir a los vectores velocidad y aceleración de una partícula definida.

2.1.1 TRASLACION. En física, la traslación es un movimiento en el cual se modifica la posición de un objeto, en contraposición a una rotación. Una traslación es la operación que modifica las posiciones de todos los cuerpos según la fórmula:

Donde es un vector constante. Dicha operación puede ser generalizada a otras coordenadas, por ejemplo la coordenada temporal. Para un objeto que no posee estructura, como por ejemplo un subconjunto del espacio, se considera el rango del subconjunto afectado por la transformación. En forma alternativa, es posible definir una traslación como una operación sobre los objetos, tal que todas sus propiedades como color, composición, etc. se corresponden. Pero no deben confundirse las dos: una traslación del espacio no posee puntos fijos, los puntos fijos de una traslación en el otro sentido son los objetos con sus correspondientes simetrías de traslación. De acuerdo con el teorema de Noether, la simetría de traslación es equivalente a la conservación del momento.

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2.1.2 ROTACION. Rotación es el movimiento de cambio de orientación de un cuerpo o un sistema de referencia de forma que una línea (llamada eje de rotación) o un punto permanece fijo. La rotación de un cuerpo se representa mediante un operador que afecta a un conjunto de puntos o vectores. El movimiento rotatorio se representa mediante el vector velocidad angular , que es un vector de carácter deslizante y situado sobre el eje de rotación. Cuando el eje pasa por el centro de masa o de gravedad se dice que el cuerpo «gira sobre sí mismo». La rotación también puede ser oscilatoria, como en el péndulo (izquierda). Los giros son completos sólo cuando la energía es lo suficientemente alta (derecha). El gráfico superior muestra la trayectoria en el espacio físico. En ingeniería mecánica, se llama revolución a una rotación completa de una pieza sobre su eje (como en la unidad de revoluciones por minuto), mientras que en astronomía se usa esta misma palabra para referirse al movimiento orbital de traslación de un cuerpo alrededor de otro (como los planetas alrededor del Sol).

2.1.3 ALARGAMIENTO. El alargamiento en tecnología de materiales también conocido como elongación es una magnitud que mide el aumento de longitud que tiene un material cuando se le somete a un esfuerzo de tracción antes de producirse su rotura. El alargamiento se expresa en cómo tanto por ciento (%) con respecto a la longitud inicial. En un material elástico, cuando el alargamiento no supera el límite elástico del material este recupera su longitud inicial cuando cesa el esfuerzo de tracción pero si supera el límite elástico ya no recupera su longitud inicial.

Ala de gran alargamiento, de superficie alar AAla de poco alargamiento, con la misma superficie alar A

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En el caso de la tecnología aeronáutica, el alargamiento o "aspecto ratio" de únala es el cociente de dividir la envergadura por la cuerda media. Es decir es la proporción entre la longitud y la anchura media del ala. Este valor es decisivo en el valor de la resistencia inducida, y por tanto del coeficiente de planeo o equivalente la eficiencia del ala.

2.2 ESTADO GENERAL DE DEFORMACIONES. Partimos de un cuerpo en un estado inicial libre de deformaciones y del cual conocemos su geometría. Este cuerpo B cuyos puntos materiales designaremos como P que referidos a un sistema coordenado cartesiano estarán definidos por el vector X XT= (X1, X2, X3). Denominaremos al cuerpo B y a la posición de los puntos en esta configuraciónindeformada como la configuración de referencia. Debido a alguna acción externa el cuerpo B cambiará de forma y ocupará una forma distinta que denominaremos con b. Los puntos materiales P pasaránA ocupar posiciones diferentes que denotaremos por el vector x xT= (x1, x2, x3) Resulta inmediato introducir los desplazamientos u como la diferencia entre la posición final y La inicial por lo cual es posible escribir X(X1, X2, X3)= X + u (X) Sencillamente esto expresa que la nueva posición x de un punto material P está dada por la posición original X más los desplazamientos u que sufre en el proceso de deformación. El campo de desplazamientos u debe ser continuo para asegurar que el cuerpo deformado b sea continuo es decir que no aparezcan brechas o solapamientos. Objetivo:Conocido entonces el campo de desplazamientos, es decir conocidos la posición original y deformada de cada punto material P que conforman el cuerpo B interesa poder medir las deformaciones que ocurren en el entorno de un punto cualquiera. Básicamente las deformaciones que nos interesa conocer son:  Cambio de volumen  Cambio de la longitud de una fibra, originalmente en una dirección cualquiera νCambio de ángulo entre dos fibras, originalmente en dos direcciones cualesquiera ν y µ (enParticular nos interesarán dos fibras que originalmente sean ortogonales, es decir µ · ν =0

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Metodología:Para medir deformaciones en el entorno de un punto mediremos longitudes, ángulos y volúmenes Antes y después del movimiento. La comparación adecuada entre magnitudes originales y finalesPermite evaluar deformaciones.

2.3DEFORMACION VOLUMETRICA. La energía de deformación es el aumento de energía interna acumulado en el interior de un sólido deformable como resultado del trabajo realizado por las fuerzas que provocan la deformación. Cuando un sólido se deforma parte aumenta su energía interna, este aumento de energía puede ocasionar cambios termodinámicos reversibles y/o cambios termodinámicos irreversibles. Por tanto la energía de deformación admite la siguiente descomposición:

Donde el primer sumando es la energía invertida en provocar sólo transformaciones reversibles comúnmente llamada energía potencial elástica. El segundo sumando representa la energía invertida en diversos procesos irreversibles como: plastificar, fisurar o romper, etc. el sólido. En el caso general de un sólido isótropo elástico, durante un proceso de deformación reversible a temperatura constante, los incrementos de energía potencial elástica w, de energía interna u y de energía libre de Helmont f = u + Ts por unidad de volumen son iguales:

De hecho la energía libre de Helmont f por unidad de volumen está relacionada con las componentes εij del tensor deformación mediante la siguiente relación:

Y la conexión entre tensores y deformaciones viene dada por relaciones termodinámicas, en concreto, si derivamos la energía libre de Helmont respecto a las componentes de deformación, llegamos a las ecuaciones de Hooke-Lamé en función de los coeficientes de Lamé:

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2.4 DISTORSION. Se entiende por distorsión la diferencia entre la señal que entra a un equipo o sistema y la señal que sale del mismo. Por tanto, puede definirse como la "deformación" que sufre una señal tras su paso por un sistema. La distorsión puede ser lineal o no lineal. Si la distorsión se da en un sistema óptico recibe el nombre de aberración.

Distorsiones lineales  Ganancia de inserción, que es la diferencia de amplitud entre la entrada y la salida del sistema.  Respuesta de frecuencias, cómo responde el sistema a diferentes frecuencias.  Respuesta transitoria con señales largas (>64μS), que nos da idea del comportamiento del sistema a baja frecuencia.  Respuesta transitoria a señales cortas o impulsivas, nos da idea de la respuesta del sistema a altas frecuencias.  Diferencia de ganancia crominancia luminancia, cómo se comporta el sistema para la señal de color y la de luz.  Diferencia del tiempo de propagación, retardo del sistema para la señal de color y de luz.

2.5.- DEFORMACIONES PRINCIPALES. Deformaciones principales Una deformación físicamente admisible de un sólido deformable viene caracterizada por un difeomorfismo TD cuyo jacobiano DTD(x,y,z) es positivo en todo instante y para todos los puntos del cuerpo. A partir de esta deformación admisible podemos construir el campo vectorial de desplazamientos y a partir de sus derivadas primeras construimos el llamado tensor deformación. Puede demostrarse que fijado un punto de un sólido deformable, toda deformación físicamente admisible puede aproximarse localmente por tres alargamientos (o acortamientos) εi según direcciones perpendiculares, el valor de estos alargamientos εi puede determinarse resolviendo para cada punto la siguiente ecuación:

Las tres direcciones según las cuales se producirían estos alargamientos son precisamente las rectas que pasan por el punto considerado y son paralelas a 14

cada uno de los vectores ni. Si para una determinada dirección principal εi > 0 entonces en esa dirección tenemos alargamiento, mientras que εi < 0 corresponde a direcciones principales donde existe acortamiento.

2.6 CIRCULO DE MOHR PARA DEFORMACIONES. El Círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería y geofísica para representar gráficamente un tensor simétrico (de 2x2 o de 3x3) y calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las características de una circunferencia (radio, centro, etc.). También es posible el cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformación máxima absoluta. Este método fue desarrollado hacia 1882 por el ingeniero civil alemán Christian Otto Mohr (1835-1918).

En dos dimensiones, la Circunferencia de Mohr permite determinar la tensión máxima y mínima, a partir de dos mediciones de la tensión normal y tangencial sobre dos ángulos que forman 90º:

 NOTA: El eje vertical se encuentra invertido, por lo que esfuerzos positivos van hacia abajo y esfuerzos negativos se ubican en la parte superior.  Usando ejes rectangulares, donde el eje horizontal representa la tensión normal y el eje vertical representa la tensión cortante o tangencial para cada uno de los planos anteriores. Los valores de la circunferencia quedan representados de la siguiente manera:



Centro del círculo de Mohr:



Radio de la circunferencia de Mohr: 15

Las tensiones máximas y mínima vienen dados en términos de esas magnitudes simplemente por:

Estos valores se pueden obtener también calculando los valores propios del tensor tensión que en este caso viene dado por:

Caso tridimensional El caso del estado tensional de un punto P de un sólido tridimensional es más complicado ya que matemáticamente se representa por una matriz de 3x3 para la que existen 3 valores propios, no necesariamente diferentes.

En el caso general, las tensiones normal (σ) y tangencial (τ), medidas sobre cualquier plano que pase por el punto P, representadas en el diagrama (σ,τ) caen siempre dentro de una región delimitada por 3 círculos. Esto es más complejo que el caso bidimensional, donde el estado tensional caía siempre sobre una única circunferencia. Cada uno de las 3 circunferencias que delimitan la región de posibles pares (σ, τ) se conoce con el nombre de circunferencia de Mohr.

Circunferencia de Mohr para momentos de inercia Para sólidos planos o casi-planos, puede aplicarse la misma técnica de la circunferencia de Mohr que se usó para tensiones en dos dimensiones. En muchas ocasiones es necesario calcular el momento de inercia alrededor de un eje que se encuentra inclinado, la circunferencia de Mohr puede ser utilizado para obtener este valor. También es posible obtener los momentos de inercia principales.

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Unidad 3. Vibraciones de sistemas de un grado de libertad con excitación armónica. 3.1 ANÁLISIS DE UN SISTEMA SUJETO A FUERZA ARMÓNICA EXTERNA. Se dice que un sistema mecánico o estructural experimenta vibración forzada siempre que se suministra energía externa al sistema durante la vibración. La energía externa se puede suministrar ya sea mediante una fuerza aplicada o por una excitación de desplazamiento impuesta. La fuerza aplicada o la excitación de desplazamiento pueden ser armónica, no armónica pero periódica, no periódica, o aleatoria. La respuesta de un sistema a una excitación armónica se llama respuesta armónica. La excitación no periódica puede ser de larga o de corta duración. La respuesta de un sistema dinámico a excitaciones no periódicas repentinamente aplicadas se llama respuesta transitoria. Ecuación de movimiento. Si una fuerza F(t) actúa en un sistema de resorte-masa viscosamente amortiguado, la ecuación de movimiento se puede obtener aplicando la segunda ley de Newton:

Como esta ecuación no es homogénea, la suma de la solución homogénea xh(t) y la solución particular, xp(t) proporciona la solución general. La solución homogénea, la cuál es la solución de la ecuación homogénea.

Representa la vibración libre del sistema. Esta vibración libre s e reduce con el tiempo en cda una de las tres posibles condiciones de amortiguamiento (subamortiguamiento, amortiguamiento crítico y sobreamortiguamiento) y en todas las posibles condiciones iníciales. Por tanto, la solución general se reduce en último término a la solución partícula xp(t), la cual representa la vibración de estado estable. El movimiento de estado estable está presente mientras la función forzada está presente. La parte de movimiento que se reduce a causa del amortiguamiento (la parte de vibración libre) se llama transitoria. El ritmo al cual el movimiento transitorio se reduce depende de los valores de los parámetros del sistema k, c y m.

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3.2 DESBALANCEO ROTATORIO Y CABECEO DE ECHAS ROTATORIAS Y ELEMENTOS ROTATIVOS. El desbalance en una maquinaria rotatoria es una de las causas principales de vibración. En la figura 3.1 se muestra un modelo simplificado de una máquina como esa. La masa total de la máquina es M, y tiene dos masas excéntricas m/2 que giran en direcciones opuestas con una velocidad angular ω constante. La fuerza centrífuga (meω2)/2 producida por cada masa excitará la masa M. Consideramos dos masas iguales m/2 que giran en direcciones opuestas de modo que los componentes horizontales de la fuerza de excitación de las dos masas se eliminan entre sí. Sin embargo, los componentes verticales de excitación se suman a lo largo del eje de simetría A-A de la figura. Si la posición angular de las masas se mide con respecto a la posición horizontal, el componente vertical total de la excitación siempre es F(t) = meω2 sin (ωt). La ecuación de movimiento se deriva por medio del procedimiento usual: Mx¨ + cx˙ + kx = meω2 sin (ωt) La solución particular de esta ecuación es: xp(t) = meω2 [(k − Mω2 ) 2 + (cω) 2 ] 1/2 sin ωt − arctancω k − Mω2

si las características de la señal se repiten de igual característica después de cierto intervalo de tiempo entonces la vibración será del tipo periódica, si la señal de vibración de un sistema se asemeja a una señal del tipo senoide, entonces se dice que la vibración es senoidal. Una señal compleja a simple vista no se puede representar por medio de una ecuación matemática, pero si esta es del tipo periódica puede ser descompuesta enseñales del tipo senoides y/o cosenoides, según el teorema de Fourier. La figura 6 muestra un ejemplo de como una señal compleja llamada total puede ser descompuesta en suma de señales senoidales y/o cosenoidales llamados componentes armónicos; en este caso, la señal total es la ecuación: y(x) = sen(x) + sen(3x) + sen(5x),

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3.3 EXCITACIÓN ARMÓNICA EN LA BASE. En ocasiones la base o soporte de un sisttema de resorte-masa-amortiguador experimenta movimiento armónico, como se muestra en la figura 3.2(a). Sea y(t) el desplazamiento de la base y x(t) el desplazamiento de la masa con respecto a su posición de equilibrio estático en el tiempo t. Entonces el alargamiento neto del resorte es x−y, y la velocidad relativa entre los dos extremos del amortiguador es x˙ −y˙. Del diagrama de cuerpo libre obtenemos la ecuación de movimiento: m x¨ + c( ˙x − y˙) + k(x − y) = 0 Si las señales pueden ser representadas por medio de una ecuación matemática y si cumple con algunos requisitos, entre ellos ser periódica, entonces los armónicos pueden obtenerse mediante un procedimiento matemático conocido como serie de Fourier; para el caso en que su representación matemática sea problemático, existe otro método en el cuál se pueden calcular los términos armónicos mediante un procedimiento de muestreo de la señal y es conocido como Transformada rápida de Fourier El principio del análisis de vibración consiste en hacer uso de un instrumento de medición llamado precisamente analizador de vibraciones con el fín de registrar y estudiar esta señal(señal total) y por medio de un procedimiento de filtrado que el mismo analizador dispone filtrar esta señal en sus componentes armónicos, posteriormente mediante el estudio del comportamiento tanto de la señal total así como de los componentes armónicos poder predecir la falla. Este tipo de análisis se le conoce como análisis de la amplitud en función del tiempo, pero existe otro análisis en función de la frecuencia, ambos serán detallados en forma posterior. Estas causas como se puede suponer son fuerzas que cambian de dirección o de intensidad, estas fuerzas son debidas al movimiento rotativo de las piezas de la máquina, aunque cada uno de los problemas se detecta estudiando las características de vibración.

3.4 AISLAMIENTO DE LA VIBRACIÓN El aislamiento de la vibración es un procedimiento mediante el cual se reducen los efectos indeseables de vibración. Básicamente, implica la inserción de un miembro elástico (o aislador) entre la masa vibratoria (equipo o carga útil) y la fuente de vibración de modo que se logre una reducción de la respuesta dinámica del sistema sometido a condiciones específicas de excitación por vibración. Se dice que un sistema de aislamiento es activo o pasivo según si se requiere o no potencia externa para que el aislador realice su función. Un aislador pasivo se compone de un miembro elástico (rigidez) y un disipador de energía (amortiguamiento). Algunos ejemplos de aisladores pasivos comprenden 19

resortes metálicos, corchos, fieltro, resortes neumáticos y resortes elastoméricos (caucho). Un aislador activo se compone de un servomecanismo con un sensor, un procesador de señales y un actuador. El aislamiento de vibración se puede utilizar en dos tipos de situaciones. En el primer tipo, el cimiento o base de una máquina vibratoria se protege contra grandes fuerzas desbalanceadas. En el segundo tipo, el sistema se protege contra el movimiento de su cimiento o base. El primer tipo de aislamiento se utiliza cuando una masa (o máquina) se somete a una fuerza o excitación. Por ejemplo, en prensas de forja y estampado, grandes fuerzas impulsoras actúan en el objeto que se está formando o estampando. Estos impactos se transmiten a la base o cimiento pero también a las estructuras o máquinas circundantes o cercanas. También pueden provocar incomodidad a los operarios de máquinas. Asimismo, en el caso de máquinas reciprocantes y rotatorias, las fuerzas desbalanceadas inherentes se transmiten a la base o cimiento de la máquina. En tales casos, la fuerza transmitida a la base, Ft(t) varía armónicamente, y los esfuerzos resultantes en los pernos también varían armónicamente, lo que podría provocar fallas por fátiga.

3.5.- INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN DE VIBRACIONES. Las mediciones que se van a medir pueden clasificarse como a).- Periódicas b).- De choque De estos movimientos el periódico es el más conocido, y los instrumentos utilizados para medir la frecuencia, amplitud, velocidad, aceleración, o pendiente de onda, están bien desarrollados. En la medición de choques, solamente son de interés los valores pico. En el caso de los movimientos casuales, es deseable el espectro de frecuencia del valor cuadrático medio, siendo los instrumentos utilizados para estas mediciones de gran complejidad y de reciente desarrollo. La medición de la Vibración también se puede definir como el estudio de las oscilaciones mecánicas de un sistema dinámico. Las mediciones de vibración deben ser hechas con la finalidad de producir los datos necesarios, para realizar significativas conclusiones del sistema bajo prueba. Estos datos pueden ser usados para minimizar o eliminar la vibración, y por tanto eliminar el ruido resultante.

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En algunas aplicaciones, el ruido no es el parámetro a controlar, sino la calidad del producto obtenido por el sistema. Un sistema de medición y procesamiento de señales de vibración por computadora típica, está formado por:  Los transductores de vibraciones (Acelerómetros, LVDTs, Sondas de Corriente Eddy) los cuales son los encargados de transformar las vibraciones en señales eléctricas.  Un sistema de acondicionamiento de señal, el cual se encarga de recoger las diferentes señales, amplificarlas y llevarlas a los niveles de tensión aceptados por el sistema de adquisición de datos.  La tarjeta de adquisición de datos, la cual se encarga de digitalizar la señal, realizando para ello, un muestreo discreto de la señal analógica proveniente del acondicionamiento de señal, y de introducirla al computador donde se realizan diferentes tipos de procesamiento para obtener toda la información que se requiere para el análisis y monitoreo de las vibraciones de las máquinas.

Los parámetros característicos de las vibraciones son:  Desplazamiento: Indica la cantidad de movimiento que la masa experimenta con respecto a su posición de reposo.  Periodo: Es el tiempo que tarda masa en realizar un ciclo completo.  Frecuencia: Es el número de ciclos que ocurren en una unidad de tiempo.  Velocidad: Se refiere a la proporción del cambio de velocidad con respecto al tiempo  Aceleración: Proporciona la medida del cambio de la velocidad respecto al tiempo

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UNIDAD 4.- BALANCEO DE ROTORES Y ELEMENTOS ROTATIVOS. 4.1 CONCEPTOS DE DESBALANCE, ROTOR RÍGIDO, FLEXIBLE Y SU TOLERANCIA. El desbalance se puede definir de manera simple, como una distribución no uniforme de la masa de un rotor alrededor de su eje axial o de rotación, lo cual produce una desviación del centro de masa y/o del eje principal de inercia con respecto a su eje de rotación. Dinámicamente, el centro de masa de un cuerpo se define como el punto en el cual se supone concentrada la masa, de tal manera que su efecto sea el mismo que el de la masa distribuida cuando el cuerpo se encuentra en movimiento de traslación. De manera similar, el eje principal de inercia es el eje alrededor del cual la masa está uniformemente distribuida y es el eje alrededor del cual tiende a rotar un cuerpo libremente en el espacio. Adicionalmente, el eje principal de inercia de un cuerpo siempre pasa por su centro de masa. Por naturaleza, solo existen dos tipos de desbalance: Estático y Dinámico. El desbalance estático se produce cuando el centro de masa del rotor está desviado de su eje de rotación, pero el eje principal de inercia se mantiene paralelo al eje de rotación. Mientras que el desbalance dinámico ocurre cuando el eje principal de inercia está desviado angularmente con respecto al eje de rotación y el centro de masa se mantiene sobre el eje de rotación. Muchos elementos de máquinas son diseñados perfectamente simétricos y concéntricos con el eje de rotación, pero, debido a las tolerancias de maquinado y de montaje, se puede perder ligeramente la simetría y concentricidad causando desbalance; por ejemplo: cubos de acoplamiento, engranajes, poleas, impulsores de bombas y compresores centrífugos, ruedas de álabes de turbinas y compresores axiales.

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4.2 BALANCEO ESTÁTICO. Se debe recordar que el desbalance estático tiene dos efectos, uno realmente estático y otro dinámico, y que la terminología de desbalance estático se basa en que puede ser corregido estáticamente, sin poner el eje en rotación. Existen métodos de balanceo en Un-Plano que requieren poner el eje en rotación para localizar y corregir la excentricidad del centro de masa; sin embargo, ellos solo permiten hacer un balance estático, ya que no permiten localizar y corregir la desviación angular del eje principal de inercia. Entonces, el desbalance estático se puede corregir estática o dinámicamente, midiendo y reduciendo el efecto estático o el efecto dinámico, respectivamente. En ambos casos, se debe determinar primero la posición angular del lado pesado y luego la cantidad de masa se ajusta para reducir el efecto a niveles aceptables. El principio del balanceo estático es que el centro de masa del rotor siempre buscará la posición de más bajo nivel, cuando el rotor se monta de tal manera que pueda girar libremente. Así, se puede ubicar la posición del peso de corrección, pero la cantidad de peso se debe estimar por ensayo y error. Dinámicamente, el desbalance estático se puede corregir montando el rotor en una máquina balanceadora (en taller) o dejando el rotor en su propia instalación (en sitio). En ambos casos el rotor se pone a girar a una velocidad dada y se mide el efecto dinámico que produce. A diferencia del balanceo estático, dinámicamente se mide la amplitud y ángulo de fase de la respuesta, con lo cual se puede calcular tanto la posición angular como la cantidad de peso de corrección requerido.

4.3 BALANCEO DINÁMICO EN UNO Y DOS PLANOS POR EL MÉTODO DE COEFICIENTES DE INFLUENCIA. Aunque no es esencial saber si un rotor presenta desbalance estático o dinámico para resolver el problema, es obvio que todos los problemas de desbalance no se pueden resolver colocando masas de corrección en un solo plano de balanceo. Una guía práctica para determinar cuándo balancear en uno o dos planos, es la relación longitud a diámetro (L/D) del rotor, esta relación se calcula usando las dimensiones del rotor solamente, sin el eje donde va montado. En la tabla se presenta un criterio para seleccionar balanceo en Un-Plano vs. Balanceo en DosPlanos, basada en la relación (L/D) y la velocidad de operación del rotor.

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 Cuando la relación L/D es menor que 0.5 el balanceo en Un-Plano es suficiente Para rotores que operan hasta 1000 RPM, pero a velocidades mayores que 1000 RPM el rotor requiere ser balanceado en Dos-Planos.  Cuando la relación L/D es mayor que 0.5 el balanceo en Un-Plano es suficiente solo hasta 150 RPM, los rotores que operan a más de 150 RPM requieren se balanceados en dos planos. Esto es solo una guía práctica, no se puede esperar que sea válida en todos los casos. Por ejemplo, la experiencia indica que el balanceo en Un-Plano es aceptable para rotores tales como poleas, ruedas de esmerilar y partes similares, aunque su velocidad de operación pueda ser mayor que 1000 RPM.

4.4 TOLERANCIA DE DESBALANCE. Idealmente, un rotor se encuentra perfectamente balanceado cuando su eje principal de inercia, pasando por el centro de masa, coincide con el eje axial o de rotación de diseño. En la práctica, un rotor nunca es balanceado perfectamente, por distintas razones, y además es antieconómico intentarlo. Lo que si es posible, es disminuir la carga dinámica sobre los cojinetes y la vibración sincrónica a niveles aceptables.

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Las tolerancias de balanceo en taller de rotores rígidos son expresadas en términos del desbalance residual permisible, mientras que las tolerancias de balanceo en sitio de rotores flexibles se expresan en términos de límites permisibles o tolerancias de vibración. Primero se discutirán las tolerancias de balanceo en taller y luego las tolerancias de balanceo en sitio.

4.4.1.- TOLERANCIAS DE BALANCEO EN-TALLER. El grado de calidad o tolerancia de balanceo requerido en una aplicación para un rotor rígido depende de:    

La función Tipo Velocidad de operación Peso del rotor

Varias Organizaciones han publicado recomendaciones relacionadas con la calidad de balanceo de rotores rígidos, tomando en cuenta los factores anteriores, particularmente en términos del desbalance residual permisible como una función de la velocidad de rotación.

4.4.2.- API STANDARDS 612 Y 617. Las Normas API 612 para turbinas de vapor y API 617 para compresores centrífugos, especifican que “la fuerza de desbalance máximo permisible en un cojinete a la velocidad máxima de operación continúa no debe exceder del 10% de la carga estática del cojinete. m * e = F / K * N2 Donde, m*e: desbalance residual máximo, gr-cm (oz-in) F: 10% del peso del rotor en cada cojinete, Kg (lbs) N: velocidad máxima de operación continua, RPM/1000 K: constante, 0.011 (1.77)

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4.4.3.- ISO STANDARDS 1940. Esta Norma fue desarrollada inicialmente por la Sociedad de Ingenieros Alemanes como VDI 2060, posteriormente fue adoptada internacionalmente como la Norma ISO 1940- 1973 “Calidad de Balanceo de Cuerpos Rígidos Rotativos”. La Norma relaciona el desbalance residual permisible a la máxima velocidad de servicio del rotor, para varios tipos de rotores representativos, con grados de calidad recomendados. En general, entre mayor sea la masa del rotor, mayor será el desbalance residual permisible, por consiguiente, es lógico relacionar el desbalance máximo residual con la masa del rotor. En las recomendaciones el desbalance residual permisible se especifica en términos de: E = me/W Donde, W es el peso del rotor en Kg (Lbs), me es el desbalance máximo residual en gr-cm (oz-in) y E es equivalente a la excentricidad del centro de masa del rotor (desbalance estático) o a la desviación del eje principal de inercia con respecto al eje de rotación en el plano de cada cojinete. Por otra parte, la experiencia ha demostrado que para rotores del mismo tipo, en general, el desbalance máximo residual varía inversamente con la velocidad de rotación W dentro del rango considerado para el tipo de rotores, y data empírica estadística ha indicado que el producto “EW” es constante para un grupo de rotores del mismo tipo. En base a lo anterior se han definido “Grados de Calidad de Balanceo” (G), correspondientes a diferentes grupos de rotores del mismo tipo.

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UNIDAD 5.- SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD. 5.1 VIBRACION DE MODO NORMAL PARA SISTEMAS DE DOS GRADOS DE LIBERTAD Los sistemas con dos grados de libertad presentan importantes diferencias respecto a los sistemas con 1 grado; de hecho, su comportamiento es cualitativamente muy similar al de un sistema con Números grados de libertad. Sin embargo, si bien los conceptos matemáticos y físicos que aparecen en los sistemas con dos grados de libertad son idénticos a los de sistemas con números de dos l, tienen la ventaja de que sus ecuaciones algebraicas son todavía relativamente manejables y los ejemplos de dos grados de libertad cesibles. Permiten, por ello, una formulación analítica sencilla y no dependiente del álgebra matricial. Figura 1 – Sistemas mecánicos. Se verá como si un sistema con dos grados de libertad sin amortiguamiento es desplazado de su posición de equilibro y dejado en libertad, no siempre realiza un movimiento armónico y ni tan siquiera periódico, sino sólo para determinadas formas de perturbar el equilibrio. Sólo para dos tipos de perturbaciones el movimiento subsiguiente es armónico y, en general, con distinta frecuencia para cada tipo de perturbación. Un sistema con dos grados de libertad tendrá, por lo tanto, dos frecuencias naturales y, sometido a una excitación armónica, llegará a la condición de resonancia para dos frecuencias de excitación diferentes. El estudio del comportamiento dinámico de este tipo de sistemas facilitará la introducción de conceptos como respuesta síncrona, frecuencias y modos naturales de vibración y análisis modal. La figura n. 1 sistemas con dos grados de libertad.

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Ecuaciones del movimiento:

Formulación matricial

Sea el sistema discreto con 2 grados de libertad de la Figura 2. a. En este caso tan sencillo, las ecuaciones diferenciales del movimiento pueden obtenerse aplicando a cada una de las masas el Principio de D’Alembert y estableciendo el equilibrio de fuerzas en la dirección del movimiento.

La figura 2 sistemas con dos grados de libertad

Así, teniendo en cuenta que la fuerza en el resorte y amortiguador centrales dependen de la posición y velocidad relativas entre ambas masas, estableciendo el equilibrio de fuerzas en dirección x (Fig.2.b) resulta: −m1_x_1 − k1x1 − c1x_1 + k2 ⋅(x2 − x1)+ c2 ⋅(x_ 2 − x_1)+ F1(t)=0 −m2_x_2 − k3x2 − c3x_ 2 − k2 ⋅(x2 − x1)− c2 ⋅(x_ 2 − x_1)+ F2 (t)=0

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5. 2 ACOPLAMIENTO DE CORDENADAS. Un acoplamiento de cordenadas es una serie de acoplamientos rígidos con ligamentos que forman una cadena cerrada, o una serie de cadenas cerradas. Cada ligamento tiene uno o más ligas, y éstas tienen diferentes grados de libertad que le permiten tener movilidad entre los ligamentos. Un acoplamiento mecánico es llamado mecanismo si dos o más ligas se pueden mover con respecto a un ligamento fijo. Los acoplamientos mecánicos son usualmente designados en tener una entrada, y producir una salida, alterando el movimiento, velocidad, aceleración, y aplicando una ventaja mecánica. Los acoplamientos de cordenadas son una parte fundamental del diseño de máquinas, y los más simples acoplamientos no fueron ni inventados ni siquiera entendidos hasta el siglo XIX. Toma en cuenta un simple palo: tiene seis grados de libertad, tres de los cuales son las coordenadas de su centro en el espacio, los otros tres describen su rotación. Una vez unido entre un bloque de piedra y un punto de apoyo y es consignada a un movimiento particular, actuando como una palanca para mover el bloque. Cuando más uniones son añadidas en varios modos su movimiento colectivo se define mayor precisión. Movimientos muy complicados y precisos pueden ser diseñados en un acoplamiento con sólo unas partes.  Acoplamiento de coordenadas de Coordenadas Dado un vector O_P y un sistema de de referencia definido en el espacio (incluyendo el origen y sus direcciones de referencia), el siguiente paso es definir un sistema de coordenadas para describir el vector. Para esto existen diversos métodos o sistemas alternativos. A veces resulta conveniente describir matemáticamente el vector O_P con distancias a los ejes o planos de referencia. Otras veces lo describiremos mediante algunos ángulos, o con una combinación de distancias y ’ángulos. En fin, lo importante es reconocer aquí que para describir un mismo vector tendremos a nuestra disposición una variedad de sistemas o métodos alternativos, algunos de los cuales presentaremos a continuación. El objeto de aprender a utilizar estos varios sistemas es que cuando nos enfrentemos a un problema particular seamos capaces de reconocer y aplicar el sistema que simplifique su solución.

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5.3 PROPIEDAES ORTOGONALES Una propiedad ortogonal es una matriz cuadrada cuya matriz inversa coincide con su matriz traspuesta El conjunto de matrices ortogonales constituyen una representación lineal del grupo ortogonal Geométricamente las matrices ortogonales representan transformaciones en espacios vectoriales reales llamadas justamente, transformaciones ortogonales. Estas transformaciones son internos del espacio vectorial en cuestión. En el caso real dichas transformaciones pueden ser rotaciones, reflexiones especulares o inversiones y son usadas extensivamente en computación gráfica. Por sus propiedades, también son usadas para el estudio de ciertos fibrados y en física se las usa en el estudio del movimiento de cuerpos rígidos y en la formulación de ciertas teorías de campo PROPIEDADES DE LAS MATRICES ORTOGONALES. 1) Si A y B son ortogonales entonces A.B y B.A son ortogonales. 2) En general si A y B son ortogonales entonces A +B no es ortogonal y k A no es Ortogonal MATRICES IDEMPOTENTES, NILPOTENTES Y UNIPOTENTES. Definiciones: Sea A una matriz cuadrada de orden n: 1) Diremos que A es IDEMPOTENTES si y solo si A.A=A2=A 2) Diremos que A es UNIPOTENTE si y solo si A.A=A2=In 3) Diremos que A es NILPOTENTE si y solo si A.A=A2=0 (Matriz nula orden n)

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5.4 MATRIZ MODAL. La matriz modal es aquella cuyas columnas son los vectores característicos.para determinar la respuesta dinámica de una estructura de varios grados de libertad se puede utilizar el procedimiento de análisis modal. Se obtiene la respuesta máxima por separado para cada modo, modelando cada uno de ellos como un sistema de simple grado de libertad. Debido a que los valores máximos no pueden ocurrir simultáneamente, estos valores son combinados estadísticamente para obtener la respuesta total. El método de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados, SRSS, es aplicable para estructuras bidimensionales cuando la relación entre los periodos de cualquier modo alto con cualquier modo bajo es 0.75 o menor, y la relación de amortiguamiento no excede el 5%. El análisis modal puede ser enfocado mediante métodos matriciales, numéricos o métodos iterativos El objetivo la matriz modal en la mecánica es determinar las frecuencias naturales y modos de vibrar de un objeto o estructura durante vibración libre. Es común utilizar el Método de los elementos finitos (MEF, o FEM por sus siglas en inglés) para desarrollar el análisis porque, como en otros cálculos usando el MEF, el objeto que se analiza puede tener formas arbitrarias y los resultados de los cálculos son aceptables. Los tipos de ecuaciones que surgen del análisis modal son vistas en Sistemas propios.

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La interpretación física de los valores propios y vectores propios, los cuales vienen de resolver el sistema, representa las frecuencias y modos de vibrar correspondientes. A veces, los únicos modos deseados son los correspondientes a las menores frecuencias porque pueden ser los modos predominantes en la vibración del objeto. También es posible determinar las frecuencias naturales y modos de vibrar de un objeto mediante ensayos experimentales. En este caso, el procedimiento se denomina análisis modal experimental. Los resultados de las pruebas experimentales pueden usarse para calibrar un modelo de elementos finitos para determinar si las hipótesis subyacentes hechas fueron correctas (Por ejemplo, propiedades correctas de materiales y condiciones de borde consideradas en el modelo

5.5 VIBRACIÓN LIBRE Cualquier sistema elástico puede tener una vibración libre a consecuencia de un impulso inicial, donde el movimiento es mantenido únicamente por las fuerzas de restitución inherentes al mismo. El sistema bajo vibración libre vibrará en una o más de sus frecuencias naturales, dependientes de la distribución de su masa y rigidez. Vibración libre no amortiguada. u

T n = 2n

u·(0) b

u(0)

Amplitud u0 a

(a)

c

e t

 n d

u0

u0

(b) a

c

b

d

e

Figura 4.1 Sistema SDF: vibración libre sin amortiguamiento

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La ecuación que representa el movimiento de un sistema lineal SDF sin amortiguamiento y que no está sometido a la acción de una fuerza externa es:

m  u  k  u  0

u   n2  u  0 dondewn es la frecuencia natural en vibración libre del sistema y es igual a:

n 

k

m

El desarrollo de la ecuación diferencial 4.1 se expone en el Apéndice I, y su solución es:

u (t )  A  cos  n t  B  sen n t u

Las constantes A y B se hallan a partir de las condiciones iniciales: u(0) y (0) , el desplazamiento y la velocidad iniciales respectivamente. Obteniéndose por lo tanto: u ( t )  u ( 0 )  cos  n t 

 ( 0) u

n

sen  n t

Las Figuras 4.1(a) y 4.1(b) ilustran el movimiento de la masa durante un ciclo de vibración libre del sistema para la ecuación 4.5. A partir de estas figuras se observa que el tiempo requerido de un sistema no amortiguado para completar un ciclo de vibración libre es denominado periodo natural de vibración, Tn, y es: Éstas son propiedades naturales del sistema cuando éste está en estado de vibración libre. El movimiento representado por la ecuación 4.5 puede también ser expresado en la forma:

u (t )  u 0 cos n t   

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Imaginario u0 cos(nt-) u·(0) sennt u(0) cosnt n n

u(0)

nt



Real

nt

u0 u·(0) n

Figura 4.2 Vibración libre, representación vectorial

Donde u0 es la magnitud del desplazamiento máximo y es llamada amplitud de movimiento, la cual está dada por:  u ( 0)  u 0  u ( 0) 2      n 

2

Y el ángulo de fase f está dado por:   artg

u ( 0)

 n u ( 0)

En la Figura 4.2 está representada vectorialmente la ecuación de movimiento, donde la respuesta está dada por la parte real o proyección horizontal de los dos vectores de rotación; y el ángulo de fase representa la distancia angular de retraso en la respuesta del término del coseno.

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5.6 VIBRACION FORZADA Y ABSORCION DE VIBRACIONES.

Vibración forzada Es la vibrura o un sistema en respuesta a una fuerza aplicada. Si el sistema es lineal, la vibración estará a la misma frecuencia que la fuerza pero si es no lineal, la vibración ocurrirá a otras frecuencias, especialmente en los armónicos de la frecuencia forzada. La vibración de máquinas es una vibración forzada, y las fuerzas son el resultado de fenómenos como el desbalanceo y la desalineación de partes rotativas y fallas en rodamientos etc.

Ejemplode vibraciones forzadas:

Absorcion de vibraciones

Se dividen en doscategorías:  Aquellos disenados para reducir los niveles de vibracióna lo largo del fuselaje  Aquellos disenados para producir una reducción en la vibración en una zona localizada del fuselaje.

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Los métodos pasivos de la primera categoría –reducen niveles vibración todo fuselaje- son:  La cabeza del rotor está montado en un sistema que absorbe la vibración, de los cuales existen dos tipos: -

El absorbedor pendular centrifugo (bifilar) desarrollado por Sikorsky. La rigidez del muelle requerida se consigue por fuerza centrífuga. La frecuencia natural del dispositivo varia con la velocidad de giro delrotor, como la frecuencia forzadora.

Un absorbedor del tipo pendular centrífugo se monta en la paladel rotor. -

Este tipo de absorbedor se ha usado en el BO105 y en el Hughes 500. En el caso del Hughes 500 la instalación consiste en absorbedoressintonizados a 3+ y 5+ para la versión de 4 palas: reducir la respuesta del 2 y 3 tercer modo de flexión de la pala a la 3+ y 5+frecuencia oscilatoria de cargas aerodinámicas en el sistema rotatorio

Métodos pasivos de la segunda categoría -reducción en la vibración en una zona localizada del fuselaje. El fuselaje montado en un sistema clásico masa-muelle. Implica el montaje de un sistema con una masa relativamente pesada (por ejemplo, la batería o masas parasitas), generalmente en la zona de operación de la tripulación y los pasajeros, Sintonizado a las frecuencia forzadora.

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CONCLUSIONES. En este tema abordamos distintos tipos de conceptos o definiciones de las cuales aprendimos cosas nuevas en cada una de ellas como por ejemplo como captamos o como captan los profesionales los sismos de acuerdo a su nivel de vibración que en el actúa también aprendimos sobre los niveles o los tipos de vibraciones que existen sus conceptos y como se desarrolla durante un sismo. También existen fórmulas ya establecidas para poder determinar el tamaño o potencia de un sismo en fin pudimos comprender distintos conceptos que nos es de gran importancia en un futuro próximo para poder interpretar o poder resolver distintos tipos de problemas que pudiéramos tener o tal vez no resolverlo pero si tener una idea sobre de que nos hablan.

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BIBLIOGRAFÍA.  Mecánica vectorial para ingenieros dinámica beer, johnstone mc grawhill  http://www.monografias.com/trabajos81/vibraciones-mecanicas/vibracionesmecanicas3.shtml#bibliograa#ixzz35CkKCiGV  http://es.scribd.com/doc/85148216/Introduccion-a-Las-VibracionesMecanicas  http://www.buenastareas.com/ensayos/Introduccion-a-VibracionesMecanicas/3522491.html  http://www.monografias.com/trabajos/vibramec/vibramec.shtml

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