UNIDAD III.- SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD CON EXCITACIÓN ARMONICA Un sistema forzado es aquel que se encuentra sujeto a fuerzas o excitaciones externas. Estas excitaciones pueden ser 1.- Armónicas 2.- Periódicas 3.- Constantes 4.- Aleatorias 5.- Choques Las fuerzas armónicas son de las más comunes, y se representan por F (t ) Fo sen t .
La fuente más común de excitación armónica es el desbalance en las máquinas rotatorias. La excitación armónica puede ocurrir en la forma de una fuerza o desplazamiento de algún punto del sistema. fuerza armónica externa . 3.1.- Análisis de un sistema sujeto a fuerza En general un sistema en vibración forzada se representa como sigue:
La ecuación diferencial para el sistema anterior es mx cx kx Fo sen t -------------- (3.1)
La solución general de esta ecuación es x x H xP
en donde
--------------------------------------------------------------- (3.2)
x H = solución homogénea conocida xP = solución particular a determinar
Para la solución particular supondremos lo siguiente: xP Xsen(t )
----------------------- (3.3)
en donde X y son incógnitas a determinar, siendo X la amplitud de oscilación, mientras que es la fase del desplazamiento respecto a la fuerza excitatriz. La amplitud y la fase de excitación se calculan sustituyendo la ecuación (3.3) en la ecuación (3.1). Recordando que en el movimiento armónico la velocidad y la aceleración se encuentran adelantadas con respecto al desplazamiento en 90 o y 180o respectivamente, los términos de la ecuación diferencial se pueden representar gráficamente por:
Del diagrama anterior encontramos que
Fo2 kX m 2 X
2
F o
X
k m c tan
c X 2
( k m ) X
tan1
2
2 c
----------------- (3.4)
2
2
2 c X X 2 k m 2
c 2
k m
2
c k m 2
----------------------- (3.5)
Las expresiones anteriores se pueden representar en forma adimensional considerando que F o k , 2 c y X n m n m est k . Sustituyendo en (3.4) y (3.5) se obtiene lo siguiente: X X est
1 2
---------------- (3.6)
1( / )2 (2 / )2 n n
tan1
2 / n 1( / n )
2
---------------------------------- (3.7)
Las ecuaciones (3.6) y (3.7) se representan gráficamente como se indica a continuación:
Figura (3.1) Las curvas anteriores nos muestran que el factor de amortiguamiento tiene gran influencia sobre la amplitud y el ángulo de fase, en la región de la frecuencia próxima a la resonancia ( / n 1) . De acuerdo con lo anterior se tienen tres casos límite: a).- / n 1 , ( 0o ) En este caso las fuerzas de inercia y amortiguamiento son pequeñas, por lo que se traduce en un pequeño ángulo de fase , siendo la magnitud de la fuerza global casi igual a la fuerza del resorte, por lo que F kx . b).- / n 1 , ( 90o ) En este caso la fuerza de inercia que ahora es mayor, es equilibrada por la fuerza de resorte; mientras que la fuerza aplicada supera la fuerza de amortiguación. La amplitud de resonancia se determina por la ecuación (3.6) quedando X res
Fo c
F o 2 k
------------------- (3.8)
c).- / n 1, ( 180o ) En este caso la inercia se encarga de equilibrar la fuerza, por lo que
F mx .
En resumen la solución general de la ecuación diferencial (3.1) es x(t ) X1e
nt
xtran X1e xestac
sen
nt
F o k
1 nt 1
1 2 nt 1
sen
2
sen(t )
2
F o k
sen(t )
2
----------------- (3.9)
1 / 2 2 / 2 n n
------------------------------------------------------ (3.10)
----------------------------------------------------------- (3.11)
1 / 2 2 / 2 n n
3.2.- Desbalance rotatorio. El desbalance rotatorio es una de las causas más comunes de vibración en las máquinas, y se debe a que el centro de gravedad no coincide con el eje de rotación. Esto se puede observar en la siguiente figura:
Consideremos el siguiente sistema resorte-masa restringido a moverse en la dirección vertical y excitado por una masa rotatoria no balanceada tal y como se muestra en la siguiente figura:
De la figura tenemos que
m = masa que gira Movimiento de m : x e sen t M m = masa que no gira Movimiento de M m : x
La ecuación diferencial del movimiento es: ( M m) x m
2
d
2
dt
( x e sen t ) kx cx
2 ( M m) x mx kx cx me sen t
k x Mc x M x
m e 2 sen t M
----------------------- (3.12)
Esta ecuación tiene una excitación armónica de amplitud
2
me
.
La solución estacionaria de la ecuación (3.12) se representa por 2
X
me
2
k M (c ) 2
M X m e
/ n
tan
--------------------- (3.13) 2
2
2
-------- (3.13.1)
1 / 2 2 / 2 n n 2 / n 1( / n )
2
----------------------------- (3.14)
Las gráficas de las ecuaciones anteriores se representan como sigue:
Figura (3.2)
La solución de la ecuación diferencial (3.12) es x(t ) X1e
sen 1 2nt 1
nt
2
me sen(t ) 2
k M (c ) 2
-------------- (3.15) 2
3.3.- Cabeceo de flechas rotatorias . El cabeceo ( whirling ) es la rotación del plano realizado por el eje flexionado con respecto a la línea de centros de los cojinetes. Esto puede representarse como sigue:
Analizando el disco de masa
m
de la figura anterior tenemos:
Posición de s : ( xs , ys ) Posición de G : ( xs e cos t , ys e sen t ) En el cabeceo sincronizado
O,s
y G se mantienen fijos entre sí para constante.
Ecuación del movimiento en dirección de
x :
m
d 2 dt 2
( xs e cos t ) kxs cxs
mxs cxs kxs me 2 cos t -------------- (3.16) k = constante elástica debida a la flexión en la flecha
Ecuación del movimiento en dirección de
y : m
d 2 2
dt
( ys esen t ) kys cys
mys cys kys me 2 sen t --------------- (3.17)
La solución estacionaria para las ecuaciones anteriores es: X s
Y s
me 2 cos(t ) 2
k m (c ) 2
me 2sen(t ) 2
k m (c ) 2
Por otro lado r r
2
---------- (b) 2
X s2 Y s2
me 2
k m (c ) 2
--------- (a) 2
----------- (3.18) 2
r no depende del tiempo
3.4.- Excitación armónica en la base . Cuando un sistema dinámico es excitado en la base, se tiene lo siguiente:
y Ysen t = movimiento prescrito de la base Y
y son valores conocidos
El diagrama de cuerpo libre del sistema anterior es
La ecuación diferencial del movimiento es mx cx kx cy ky
----------------- (3.19)
Usando el álgebra compleja se tiene que y Ye j t
----------- ( i )
j t ) ( ii ) Xe jt e j -------- x Xe (
X
y son parámetros a determinar
Sustituyendo ( i ) y ( ii ) en (3.19) se obtiene j t ) (k jc )Ye j t X (k m 2 jc) Xe ( Y X Y
X Y
2
k (c )
2
----------- ( iii )
2
1 2 / n
2
( k m ) j c
2
k m (c ) 2
( k j c )e j
2
2
1( / )2 (2 / )2 n n
---------------- (3.20)
Esta expresión representa la magnitud de estado estacionario. Sabiendo que e j cos jsen , y sustituyendo en la ecuación ( iii ), ordenando y reduciendo, se obtiene lo siguiente tan tan
mc 3
k k m
2
(c )2
3
2 ( / n ) 2
1( /n ) (2 /n )
2
------------------ (3.21)
Las ecuaciones (3.20) y (3.21) se representan gráficamente como sigue.
Figura (3.3)
3.5.- Aislamiento de vibración y cimentación de maquinaria . Las fuerzas vibratorias generadas por máquinas y motores son a menudo inevitables, sin embargo su efecto en un sistema dinámico puede reducirse considerablemente mediante resortes diseñados apropiadamente, llamados aisladores Consideremos la siguiente figura:
Figura (3.4).- Fuerza perturbadora transmitida por los resortes y el amortiguador.
La fuerza transmitida a través de los resortes y del amortiguador es 2 2 kX c X kX
FT
FT
kX
1 c / k
2
2
1 c / k
F T
2
---------- (a)
1 2 / n
Por otro lado X X est
2
2
1( / ) (2 / ) n n
2
F o
kX
Fo / k
X
1
2
2
1( / ) (2 / ) n n
2
--------------- (b)
2
1 / 2 2 / 2 n n
Igualando (a) y (b) y ordenando se obtiene la siguiente expresión: F T F o
1 2 / n
2
2
-------------- (3.22)
1 / 2 2 / 2 n n
Esta relación se conoce como “transmisibilidad ” de fuerza ( TR ). La comparación de las ecuaciones (3.22) y (3.20) nos indica que FT / F o es idéntica a X / Y , por lo que el problema de aislar una masa del movimiento del punto de soporte es idéntico al de aislar fuerzas perturbadoras. Las curvas mostradas en la figura (3.3) muestran que la transmisibilidad es menor que la unidad solo para / n 2 , por lo que el aislamiento vibratorio solo es posible bajo ésta condición. Es posible reducir la amplitud de la vibración apoyando la máquina de masa masa M como se muestra en la siguiente figura:
m , sobre una gran
Cuando el amortiguamiento es despreciable, la ecuación de a transmisibilidad se reduce a T R
1
/ n 2 1
------------ (3.23)
en donde se entiende que el / n 2 .
3.6.- Instrumentos de medición de vibraciones . Las mediciones que se van a medir pueden clasificarse como a).- Periódicas b).- De choque c).- Casual o aleatoria De estos movimientos el periódico es el más conocido, y los instrumentos utilizados para medir la frecuencia, amplitud, velocidad, aceleración, o pendiente de onda, están bien desarrollados. En la medición de choques, solamente son de interés los valores pico. En el caso de los movimientos casuales, es deseable el espectro de frecuencia del valor cuadrático medio, siendo los instrumentos utilizados para estas mediciones de gran complejidad y de reciente desarrollo. El elemento básico de muchos instrumentos de medición es la unidad sísmica que se describe a continuación:
La ecuación diferencial del movimiento es mx c( x y) k ( x y) mx c( x y) k ( x y) 0
------------- (3.24)
Si z es el movimiento relativo (lectura directa), y hacemos z x y , entonces x z y , por lo que m( y z) cz kz 0 mz cz kz my
-------------------------- (3.25)
Suponiendo un movimiento sinusoidal ecuación:
y Ysen t del
cuerpo vibrante, se obtiene la siguiente
2 mz cz kz mY sen t ---------------- (3.26)
Esta ecuación es idéntica al caso de desbalance rotatorio, si se cambia a por me 2 .
z
por x y a
2
mY
La solución estacionaria es z Zsen(t ) , en donde la amplitud Z
mY 2 2 2 2 ( k m ) (c )
Y ( / n )
Z
2
2
2
--------------- (3.27)
1 / n 2 /n 2
El ángulo de fase se determina por tan tan
c k m 2
2 / n 2
1 / n
--------------------- (3.28)
A partir de las ecuaciones anteriores se obtienen las siguientes gráficas:
Sismómetro .
Es un instrumento de n pequeña con respecto a la frecuencia de vibración que se va a medir; esto es / n 1, por lo que Z / Y 1.0 , sin importar el valor del amortiguamiento. La masa m permanece entonces estacionaria mientras que la caja portante se mueve con el cuerpo vibrante. Una desventaja del sismómetro es su gran tamaño. Como Z Y , el movimiento relativo de la masa sísmica debe ser del mismo orden de magnitud que el de la vibración que se va a medir. El movimiento relativo z es generalmente convertido en un voltaje haciendo que la masa sísmica sea un magneto que se mueve relativamente a bobinas fijas a la caja. Como el voltaje generado es proporcional a la razón de corte del campo magnético, la salida del instrumento es proporcional a la velocidad del cuerpo vibrante, razón por la cual se les conoce como velómetros. El voltaje de salida se determina por Es Sv S ( z)
en donde
----------- (3.29)
S = sensibilidad v z = velocidad del cuerpo vibrante
Un sismómetro tiene las siguientes características: Frecuencia natural: n (1 a 5 Hz) Rango útil de frecuencias: 10 a 2000 Hz Sensibilidad: 20 mV/cm/s a 350 mV/cm/s
Acelerómetro.
Es un instrumento de alta frecuencia natural comparada con la de la vibración que se va a medir, por lo que indica aceleración. Un examen de la ecuación (3.27) muestra que el factor para / n 0 , de modo que 2
(aceleración)
n
n
Z 2Y
2
------------- (3.30)
2
1 / 2 2 / 2 1 n n
Acelerómetros de cristal piezoeléctrico .
Este tipo de acelerómetros utilizan cristales de cuarzo o titanato de bario, y se utilizan para medidas de alta frecuencia natural. Los cristales están montados de manera que bajo aceleraciones, se comprimen o se reflectan para generar carga eléctrica. La frecuencia natural de tales acelerómetros puede hacerse muy alta ( f n 50,000 Hz ), lo que permite medidas hasta de 3000 g . (g=gravedad). El tamaño del acelerómetro es muy pequeño, cerca de 1 cm de diámetro y de altura, siendo muy resistente ya que puede soportar choques hasta de 10,000 g. La sensibilidad S del acelerómetro está dada en términos de carga (picocoulombs/g), o en términos del voltaje (milivolts/g). Si S Q (carga en coulombs), y C T es la capacitancia del cristal, incluyendo la capacitancia “ Shunt ” del cable conector, entonces la salida de voltaje en el
circuito abierto se reduce a E s S
S C1C 2
en donde
S = sensibilidad del acelerómetro C 1 = capacitancia del cristal
CT
----------------- (3.31)
C 2 = capacitancia del cable E s = voltaje de salida en mV/g (milivolts/gravedad)
Ejemplo 1.- Un medidor de vibraciones tiene una sensibilidad S 30 mV/cm/s . Suponiendo que la precisión límite del aparato es de 3 mV (rms), determinar el límite superior de frecuencia del instrumento para una excitación de una gravedad ( 1 g). ¿Qué voltaje debe generarse a 200 Hz? Solución: Aceleración: a g 981 cm/s2 Sensibilidad: S 30 mV/cm/s En el límite de precisión vlím
g
E
Es S ( z ) z s 3 z 0.1 cm/s = vlím S 30
g
2 f f 2 981 1561.31 cps (0.1)
f 1561.31 cps
Para
f 200 cps , v
981 2 (200)
0.78065 cm/s
Es Sv 30 0.78065 23.42 mV E s 23.42 mV
Ejemplo 2.- Un motor de 100 kg está montado sobre cuatro resortes, cada uno de constante k 90 kN/m , y está conectado al suelo por medio de un amortiguador con c 6500 N.s/m . El motor está restringido a moverse verticalmente, y se observa que la amplitud de su movimiento es de 2.1 mm a una velocidad de 1200 rpm. Si la masa del rotor es de 15 kg, determinar la distancia entre el centro de masa del rotor y el eje de la flecha.
40 rad/s Solución: M 100 kg , m 15 kg , x 2.1 mm , 1200 30 Constante elástica equivalente: k e 4 90 360 kN/m k e M
n
n
360,000 100
40 60
2.094
60 rad/s 2
n
4.38648
6,500
c 0.54167 2n M 210060 2
M X m e
e
/ n
2
2
e
2
2 2 MX 1 /n 2 /n
1 / n 2 /n
1000.0021
2
14.386482 20.541672.094392 154.38648
m / n
2
0.01301 m
e 13.01 mm
Ejemplo 3.- Un vibrómetro cuyo amortiguamiento es despreciable, tiene una frecuencia natural de 31.4 rad/s y se emplea para medir la amplitud de vibración de una máquina. Si el vibrómetro da una lectura del desplazamiento relativo de 0.08 pul, ¿Cuál es la amplitud de vibración de la parte de la máquina considerada, si se encuentra girando a 200 rpm? Solución: n 31.4 rad/s , Z
Y ( / n ) 2
2
1 / 2 2 / 2 n n
Y 0.09981 pul
2 200 60
20.9438 rad/s ,
2
n
0.44489 , 0
Y 0.08 0.09981 pul 10.44489 Y 0.5551 0.44489 0.44489
Ejemplo 4.- Una parte de una máquina de masa m 4 kg , vibra en un medio viscoso. Determine el coeficiente de amortiguamiento c , si una fuerza excitatriz armónica de 30 N genera una amplitud de resonancia de 1.5 cm, con periodo de 0.3 seg. Encontrar el valor de k . Solución: Para
n
1 , X res 1.5 cm = 0.015 m , n
2
2 20.944 rad/s 0.3
k m n2 4(20.944) 2 1754.59 N/m k 1754.59 N/m X res
Fo c
c
F o X res
20.944300.015 95.5 c 95.5 N.s/m
Ejemplo 5.- Obtenga la constante del resorte equivalente para la base de una rectificadora de corriente directa que gira a 300 rpm y pesa 50 lb, la cual reduciría la fuerza transmitida a la base a una quinta parte de su valor. Suponga 0 . Solución:
m 50 1.55279 lb.s2 /pie (slugs) , 2 300 31.4159 rad/s , 32.2
60
T R 1 0.2 5
Para 0 , T R
2
1 2 / n 1
/ n 1 T 1 / n 1 5 R
n 31.4159 12.825 rad/s 6
2 2 k m n 1.55279 (12.825) 255.4 lb/pie k 255.4 lb/pul
Ejemplo 6.- Un sistema resorte masa es excitado por una fuerza F Fo sen t . En resonancia la amplitud medida es de 0.6 pul. A 0.5 de la frecuencia de resonancia, la amplitud es 0.4 pul. Hallar el factor de amortiguamiento del sistema. Solución: A resonancia X res A 0.5 de resonancia
X o 2
X X o
X o 2 X res 2 (0.6) X o 1.2 ------- (a)
X o 0.4 0.5625 2
X o 0.4 1 0.52
1
1
2
2
(2 / ) n
2
2
2 0.5
2
n
----------- (b)
Igualando (a) y (b) se obtiene lo siguiente: 0.23717 1.2 0.4 0.5625 2 9 2 0.5625 2 2 0.05625
Ejemplo 7.- Una máquina que pesa 200 lb es soportada por cuatro resortes de rigidez k lb/pul cada uno. Si la unidad opera a 1200 rpm, ¿cual debe ser el valor de la constante k si solo el 20% de la fuerza excitatriz de la unidad debe ser transmitida a la estructura que lo soporta? Solución: 0 , T R
m 200 0.5181347 lb.s2 / pul , 2 1200 125.6636 rad/s 386
60
2
1 2 / n 1
1 6 / 2.44949 51.3 rad/s / n 1 0.2 n n
2 2 kT m n 0.5181347 (51.3) 1363.57 lb/pul
k 1363.57 340.89 lb/pul k 340.89 lb/pul
La rigidez para cada resorte es
4
Ejemplo 8.- Un medidor de vibraciones sin amortiguamiento, con una frecuencia natural de 1 cps es utilizado para medir vibraciones armónicas de 4 cps. Si la amplitud indicada por el medidor (amplitud relativa entre la masa del medidor y el marco) es 0.052 cm, ¿Cuál es la amplitud correcta? Solución: Z 0.052 cm , 0 Z
Y ( /n )2
2
( /n ) Y
2
2 1 / 2 2 / 2 1 / n n n
Y Z
2
n
2 Z 1 / n
Y
( / n )
2
1 2 1 0.052 1 0.04875 cm Y 0.04875 cm 4
Ejemplo 9- Un instrumento sensible de 113 kg debe instalarse en un sitio donde la aceleración es de 15.24 cm/s 2 a una frecuencia de 20 cps. El instrumento se coloca en una cama de caucho con las siguientes propiedades: k 2802 N/cm y 0.1, ¿Qué aceleración se transmite al instrumento? Solución: n n
125.6636 49.796
k m
280200 113
2.52356 ,
49.796 rad/s , 2
n
1 2 / n 2
2
1( / )2 (2 / )2 n n
2 20 125.6636 rad/s
6.3684
Aceleración 2Y 15.24 cm/s 2 Y X Y
15.24 (125.6636)2
0.000965 cm
1 20.12.52356
2
16.3864 2 (20.12.52356)2
0.207
X 0.207Y 0.207 0.000965 0.000199772 cm
Aceleración transmitida al instrumento: 2 2 2 2 atrans X (125.6636) 0.000199772 3.15468 cm/s atrans 3.15468 cm/s
Ejemplo 10- Para el sistema mostrado, determinar la amplitud de la vibración, y el ángulo de fase, de acuerdo con los siguientes datos: k 800 N/m , m 8 kg , c 20 N.s/m
Solución: Ecuación diferencial del movimiento: mx cx kx Fo sen t n
k m
2n
800 8
c m
10 rad/s
20 210 0.125 8
Fo / k
X 1
2
2
(2 / ) n
n
2
2
1 20 10 20.12520/10
20.1252 0.16666 tan 14 1 2
n
n
2
0.00411 m X 4.11 mm
10/800 2
9.46o
2
