Investigación de Análisis Estructural II: “Método de la Viga Conjugada” Universidad Católica Santa María La Antigua Facultad de Ingeniería y Tecnología Escuela de Ingeniería Civil Profesora: Tatiana Encalada Presentado or: María !anela "ara#ona $% $&'%())' Isa*el Ingra+ '%',-%)$'. /lvaro Polo .%$0'%)$(& 1lga Tre2os '%'$)%(-'3ruo 4&-
Índice Pags Introducción………………………………………………………………………..2 Definiciones………………………………………………………………………..3 Marco Teórico……………………………………………………………………..4-7 Ejemplos…………………………………………………………………………...8-7 !onclusiones………………………………………………………………………8 "i#lio$raf%a………………………………………………………………………....&
Introducción El presente tra#ajo se #asa en la in'esti$ación para conocer un poco m(s so#re otro de los m)todos *ue permiten determinar la pendiente + el despla,amiento en cual*uier punto de la el(stica en una 'i$a me refiero al m)todo de la 'i$a conju$ada. En este tra#ajo daremos a conocer so#re la definición de este m)todo para *u) nos sir'e como es su proceso aplicati'o en *u) tipo de estructura es aplica#le este m)todo *u) es una 'i$a ficticia + *u) relaciones $uarda con una 'i$a real la diferencia de este m)todo con el *ue +a estudiamos anteriormente /(reamome moment nto0 o0 + por por 1lti 1ltimo mo proc proced eder erem emos os a reso resol' l'er er los los pro# pro#le lema mas s dado dados s conociendo los aspectos m(s #(sicos de la teor%a. En la defin definici ición ón epli eplica carem remos os a *u) *u) se le llama llama 'i$a 'i$a conju conju$a $ada da en *u) *u) fundamentos teóricos se #asa *ue tiene la 'entaja de *ue no necesita conocer pre' pre'ia iame ment nte e un punt punto o de tan$ tan$en ente te cero cero por por lo cual cual se pued puede e a'er a'eri$ i$ua uar r directamente la pendiente + defleión en cual*uier punto de la cur'a el(stica + *ue se utili,a en 'i$as + columnas est(ticamente determinadas. Tam#i)n aprenderemos a tra')s de un $r(fico *ue una 'i$a ficticia es a*uella *ue se car$a con el dia$rama de momentos reducidos de la 'i$a real + por consi$uiente consi$uiente $uardan relación de donde se o#tiene las analo$%as *ue se utili,an para resol'er los ejercicios. 5a con'ención de si$nos en este m)todo se fundamenta en el resultado de 6a#er encontrado encontrado el momento o la fuer,a cortante de la 'i$a ficticia pues se$1n
sea el si$no de la respuesta se sa#r( el si$no de la flec6a o del $iro en la 'i$a real. or 1ltimo despu)s de 6a#er conocido todos estos conceptos #(sicos para poder resol'er los ejercicios procederemos a desarrollar dic6os pro#lemas aplicando todo lo aprendido de la teor%a para lle'arlos a la pr(ctica.
Definiciones . Viga: Elemento ar*uitectónico r%$ido $eneralmente 6ori,ontal pro+ectado para soportar + transmitir las car$as trans'ersales a *ue est( sometido 6acia los elementos de apo+o.
2. Viga conjugada (método): consiste en cam#iar el pro#lema de calcular las pendientes + defleiones causadas en una 'i$a por un sistema de car$as aplicadas por otro pro#lema en *ue se a'eri$uan las fuer,as de corte + momentos de una 'i$a especial llamada 'i$a conju$ada *ue est( car$ada con el dia$rama MEI de la 'i$a ori$inal.
3. Momento: es la suma de los productos de cada elemento de un cuerpo por su distancia a un eje.
4. Empotramiento: es un tipo de unión entre sólido resistente + otro sólido inmó'il respecto a un sistema referencia tam#i)n inmó'il *ue elimina por completo la posi#ilidad de mo'imiento de un sólido respecto al otro en los puntos del empotramiento.
9. Pasador: El pasador utili,ado en estructuras es un elemento -estructuralde inercia pe*ue:a *ue atra'iesa la superficie *ue se 6a desli,ado + ;cosen; el terreno despla,ado al terreno *ue es esta#le.
=. Rodillo:
Marco eorico El m)todo de la 'i$a conju$ada fue primero presentado por >tto Mo6r en 8=?. Esencialmente re*uiere la misma cantidad de c(lculos *ue los teoremas de (rea-momento para la determinación de la pendiente o la defleión de una 'i$a sin em#ar$o este m)todo se #asa sólo en principios de la el(stica + por lo tanto su aplicación ser( mas familiar. 5a #ase del m)todo se deri'a de la semejan,a entre dos ecuaciones@ 2 dV dM d M =V o =−w ¿ *ue relacionan la fuer,a cortante + el / A -B0 + / 2 dx dx dx
momento con su car$a aplicada. 5as si$uientes ecuaciones relacionan la pendiente + la defleión de su cur'a el(stica con el momento interno di'idido entre EI. 2
d v
(dθ ⁄ dx = M ⁄ EI )
+
M = 2 d x EI 0. ¿
ara encontrar esta semejan,a podemos escri#ir estas ecuaciones@ 2
dV =−w dx
d M 2
dx
2
dθ M d v M = = dx EI d x 2 EI
o inte$rando
CA -
∫ [ −∫ w dx ] dx ∫ wdxM=
[
M dx v = dx ∫ ( M ∫ ∫ EI ) EI
θ=
]
dx
=−w
<*u% la fuer,a cortante C se compara con la pendiente θ el momento M se compara con el despla,amiento ' + la car$a eterna B se compara con el dia$rama MEI.
odemos esta#lecer dos teoremas relati'os a la 'i$a conju$ada estos son@
eorema !: 5a pendiente en un punto en la 'i$a real es i$ual a la fuer,a cortante en el punto correspondiente en la 'i$a conju$ada.
eorema ": El despla,amiento de un punto en la 'i$a real es i$ual al momento en el punto correspondiente en la 'i$a conju$ada.
#oportes de la $iga conjugada !omo cada una de las ecuaciones anteriores re*uiere inte$ración es importante usar las condiciones de frontera apropiadas cuando se inte$re. I$ualmente cuando se di#uje la 'i$a conju$ada es importante *ue la fuer,a cortante + el momento desarrollados e*ui'al$an a la correspondiente pendiente + despla,amiento de la 'i$a real en sus soportes lo *ue es una consecuencia de los teoremas + 2.
Procedimiento de an%lisis
El si$uiente procedimiento proporciona un m)todo *ue puede usarse para determinar el despla,amiento + la pendiente en un punto so#re la cur'a el(stica de una 'i$a usando el m)todo de la 'i$a conju$ada.
Paso ! & Viga 'onjugada: di#ujar la 'i$a conju$ada para la 'i$a real. Esta 'i$a tiene la misma lon$itud *ue la 'i$a real + los correspondientes soportes de acuerdo con la ta#la 8-2. 5a 'i$a conju$ada se car$a con el dia$rama MEI de la 'i$a real. e supone *ue esta car$a esta distri#uida so#re la 'i$a conju$ada + esta diri$ida 6acia arri#a cuando MEI es positi'o + 6acia a#ajo cuando MEI es ne$ati'o.
ota: i el soporte real permite una pendiente el soporte conju$ado de#e poder desarrollar una fuer,a cortante + *ue si el soporte real permite un despla,amiento el soporte conju$ado de#e poder desarrollar un momento.
Paso " E*uili+rio: sando las ecuaciones de e*uili#rio determine las reacciones en los soportes de la 'i$a conju$ada. 5ue$o seccione la 'i$a θ + el conju$ada en el punto en *ue de#en determinarse la pendiente despla,amiento ∆ de la 'i$a real. En la sección muestre la fuer,a cortante CF + el momento MF desconocidos *ue act1an en sus sentidos positi'os. Determine la fuer,a cortante + el momento usando las ecuaciones de e*uili#rio. CF + MF e*ui'alen a θ y ∆ respecti'amente para la 'i$a real. i estos 'alores son positi'os la pendiente es en sentido contrario a las manecillas del reloj + el despla,amiento es 6acia arri#a.
Ejemplos
Ejemplo !, (-.) Determine la pendiente + la defleión en el punto " de la 'i$a de acero mostrada en la fi$ura 8-2 a. 5as reacciones +a se 6an calculado. E A 2&/ 103 ¿ Gsi I A 8?? ¿4
#iguiendo el procedimiento de an%lisis tenemos:
Paso ! & Viga conjugada:
En donde los soportes
Paso " & E*uili+rio
θB y ∆ B de#emos calcular
Dado *ue se desea terminar conju$ada.
V B ' y M B ' en la 'i$a
θ
-umatoria de fuer,as en + A ? para o#tener la pendiente 2
562.5 k − ft
+ ↓ Σ F y =0 θB =V B ' A
(¿¿ B) ¿
H V B ' A ?
EI
−562.5 k −ft 2 EI
−562.5 k − ft 2 4 2 1 ft 3 2 4 ¿ 29 ( 10 ) k /¿ 144 2 800 ¿ ( 4 4 ) 12 ¿ ft
(
θB
A
θB
/ 0,0012. rad
)
-umatoria de momentos A? para o#tener el despla,amiento ↶
+ Σ M B ' =0
∆ B= M B ' A
∆ B=
∆B
2
562.5 k − ft
EI
(∆ B )
( 25 ft ) + M B ' A ?
−14,062.5 k −ft 3 EI
−14,062.5 k − ft 3 29 ( 10
3
) ( 144 ) k / ft [ 800 ] ft 2
4
12
4
/ 0,0-31 ft / !,04 in para terminar el pro#lema di#ujamos nuestra
cur'a elastica *ue nos permite 'isuali,ar los si$nos.
5os si$nos ne$ati'os indican *ue la pendiente de la 'i$a de mide en sentido contrario a las manecillas del reloj + *ue el despla,amiento es 6acia a#ajo.
Ejemplo ", (-!0)
olución@ 5a 'i$a conju$ada car$ada con el dia$rama MEI se o#ser'a a continuación. 5a car$a distri#uida act1a 6acia arri#a de#ido a *ue el dia$rama MEI es positi'o.
'()*+ , &
- , ".#1 /
− 45 + EI
[ ( )] 1 2
+
2 X
EI
x =0
0&-%/ 4
sando el 'alor de la defleión m(ima corresponde al momento MF. or esto@
5')M , &
− 45 ( EI
[(
6.71 ) +
1 2 ( 6.71 ) 2
EI
) ] 6.71
−201.2 KN ∙ m EI
6/á-. , M7 ,
1 3
( 6.71 ) − M ' =0
3
−201.2 KN ∙ m3 ,
(
KN 200 × 10 2 m 6
)[ (
6
60 × 10 mm
4
)
(
1m
4
4
1000 mm
A J?.?=8 m A J=.8 mm KEl si$no ne$ati'o indica *ue la defleión es 6acia a#ajo.
4
)]
Ejemplo 1, (-!!)
(a)
(+)
#olución: 5a cur'a de la 'i$a el(stica en la figura + se muestran las pendientes desconocidas /L "05 + /L"0 a la i,*uierda + a la derec6a del pasador + el despla,amiento desconocido N " Tenemos el dia$rama de la 'i$a conju$ada en la figura c, ara simplificar los c(lculos el dia$rama MEI se 6a di#ujado en partes usando el principio de superposición descrito anteriormente. ara 6acerlo as% la 'i$a real se considera como una 'i$a en 'oladi,o desde el soporte i,*uierdo. e indican el dia$rama de momentos para la car$a 8G la fuer,a reacti'a ! + A2G + el momento concentrado de 3? G ft. 5as re$iones ne$ati'as d este dia$rama desarrollan una car$a distri#uida *ue act1a 6acia a#ajo + 'ice'ersa.
(c)
(d)
5as reacciones eternas en "F + en !F se calculan primero + los resultado se indican en la figura d. ara determinar /L "0 la 'i$a conju$ada se secciona justo a la derec6a de "F + se calcula la fuer,a cortante /C "0 (figura d),
Ʃ Fy
=0 −225 3.6 − = 0 EI EI
/C"0
/L"0 A /C"0
A
¿
228.9 k ∙ f t
EI 228.6 k ∙ft
[ 29 ( 10 ) ( 144 ) k / ft ] [ 30 /( 12 )] ft 3
2
4
4
/ 0,013- rad
(e)
El momento interno en "F da el despla,amiento del pasador entonces Ʃ Fy
=0
M B +
225
EI
∆ B= M B=
¿
( 10 ) + 3.6 ( 15 ) =0 EI
−2304 k ∙ f t EI
−2304 k ∙ f t [ 29 ( 103 ) ( 144 ) k / ft 2 ] [ 30 /( 12 4) ] ft 4
/ 0,1-! ft, / 2,4- in, 5a pendiente /L "05 puede encontrarse de una sección de 'i$a justo a la i,*uierda de " figura f asi Ʃ Fy
= 0;
/C"05
−228 225 3.6 − − = 0 EI EI EI
(56)7 / (V6)7 / 0 Est( claro *ue N " A M" pues este se$mento es el mismo pre'iamente conocido +a *ue los #ra,os de momento son sólo li$eramente diferentes en la figura f,
(f)
Ejemplo 2, (-!") 5a tra#e de la fi$ura est( 6ec6a con una 'i$a continua refor,ada en su posición central con cu#replacas *ue incrementan el momento de inercia. 5os se$mentos etremos de 2 ft tienen un momento de inercia de I A 49? in 4 + la porción central tiene un momento de inercia de IF A &?? in 4 . determinar su defleión en el centro del claro !. !onsidere E A 2&O? 3 Gsi. 5as reacciones +a se 6an calculado.
Dia$rama de momento
Ci$a conju$ada
IF A 2I
eacciones eternas
eacciones internas
↺ ∑ M c =0
1116
EI
( 18 )− 720 ( 10 )− 360 (3 )− 36 ( 2 ) + Mc =0 EI
Mc=
EI
EI
−11.736 k∙ft 3 EI
eempla,ando los 'alores de EI
−11.763 k∙ft 3 ( 1728 ¿ 3 / ft 3 ) c = Mc= =−1.55 ∈¿ ( 29 × 103 k /¿2 ) ( 450 ¿ 4 )
'onclusión
6i+liograf8a
5i#ro de
