Viga Continua Por El Metodo de Cross

viga continua por el metodo de cross Si las cargas y luces difieren bastante podemos emplear el metodo de cross que nos proporciona solo los momentos de apoyo. Es mas laborioso pero muy exacto. Despues calculamos todos los demas valores. El metodo de cross es muy usual que se aplique en vigas y en losas. El metodo de cross fue desarrollado por el ingeniero de estructuras estadounidense Hardy Cross. El metodo de cross hizo posible el diseño eficiente y seguro de un gran numero de construcciones de concreto armado durante mucho tiempo. ara utilizar el metodo de cross como para otros metodos es necesario conocer los momentos de empotramiento perfecto y reacciones de las vigas! esto segun el tipo de carga y formas de los apoyos. las mas comunes en la practica p ractica del calculo estructural esta en la siguiente tabla"

de don donde de las tre tress pri primer meras as col column umnas as cor corres respon ponden den a car cargas gas uni unifor formem mement ente e rep repart artida idas" s" en voladizo! doble empotrada y empotrada y apoyada. las dos ultimas columnas corresponden a cargas puntuales en viga doble empotrada y empotrada y apoyada.

ejemplo de viga continua por metodo de cross: este es un e#emplo con los casos de cargas mas comunes en la practica con todos los valores hasta obtener los momentos definitivos de apoyos. las filas del siguiente e#emplo son" a$ rigideces de las vigas b$ los coeficientes de distribucion c$ los momentos isostaticos de apoyo d$ los procesos de aproximacion sucesiva e$ los momentos definitivos de apoyo

ahora se desarrollara paso a paso para saber de donde procede cada valor"

de don donde de las tre tress pri primer meras as col column umnas as cor corres respon ponden den a car cargas gas uni unifor formem mement ente e rep repart artida idas" s" en voladizo! doble empotrada y empotrada y apoyada. las dos ultimas columnas corresponden a cargas puntuales en viga doble empotrada y empotrada y apoyada.



obtencion de reacciones definitivas" una vez obtenidos los momentos definitivos de apoyo se procede a calcular los momentos maximos de tramo! para obtener la armadura final de las vigas a la flexion. las filas de la figura muestran los siguientes valores"

acontinuacion calcularemos los momentos maximos de tramo"

asi quedan los diagramas de corte y momentos flectores"

viga continua por el metodo de cross viga continua por el metodo de cross Si las cargas y luces difieren bastante podemos emplear el metodo de cross que nos proporciona solo los momentos de apoyo. Es mas laborioso pero muy exacto. Despues calculamos todos los demas valores. El metodo de cross es muy usual que se aplique en vigas y en losas. El metodo de cross fue desarrollado por el ingeniero de estructuras estadounidense Hardy Cross. El metodo de cross hizo posible el diseño eficiente y seguro de un gran numero de construcciones de concreto armado durante mucho tiempo. ara utilizar el metodo de cross como para otros metodos es necesario conocer los momentos de empotramiento perfecto y reacciones de las vigas! esto segun el tipo de carga y formas de los apoyos. las mas comunes en la practica del calculo estructural esta en la siguiente tabla"

de donde las tres primeras columnas corresponden a cargas uniformemente repartidas" en voladizo! doble empotrada y empotrada y apoyada. las dos ultimas columnas corresponden a cargas puntuales en viga doble empotrada y empotrada y apoyada.



obtencion de reacciones definitivas" una vez obtenidos los momentos definitivos de apoyo se procede a calcular los momentos maximos de tramo! para obtener la armadura final de las vigas a la flexion. las filas de la figura muestran los siguientes valores"

acontinuacion calcularemos los momentos maximos de tramo"

asi quedan los diagramas de corte y momentos flectores"

Método de distribución de momentos Este artículo o sección tiene un estilo difícil de entender para los lectores interesados en el tema. Si puedes! por favor ed%talo y contribuye a hacerlo m&s accesible para el p'blico general! sin eliminar los detalles t(cnicos que interesan a los especialistas.

El Método de redistribución de momentos o método de Cross) es un m(todo de an&lisis estructural para vigas est&ticamente indeterminadas y marcos*p+rticos planos! desarrollado por Hardy Cross. ,ue publicado en )-/ en una revista de la 0SCE. El m(todo solo calcula el efecto de los momentos flectores e ignora los efectos axiales ycortantes! lo cual es suficiente para fines pr&cticos en barras esbeltas. Desde )-/ hasta que las computadoras comenzaron a ser ampliamente usadas en el diseño y an&lisis de estructuras! el m(todo de redistribuci+n de momentos fue el m&s usado en la pr&ctica. osteriormente otros m(todos como el m(todo matricial de la rigidez que se puede programar de manera m&s sencilla han llegado a ser m&s populares que el m(todo de redistribuci+n de momentos de Cross. Índice 1ocultar 2 •

)3ntroducci+n

•

43mplementaci+n o

4.)5omentos de empotramiento en extremos fi#os

o

4.46igidez a la ,lexi+n

o

4.Coeficientes de distribuci+n

o

4.7Coeficientes de transmisi+n

o

4.8Convenci+n de signos

o

4.9Estructuras de marcos E#emplo

•

o

.)5omentos en Extremos ,i#os

o

.4Coeficientes de 6eparto

o

.Coeficientes de transmisi+n

o

.7Distribuci+n de 5omentos

o

.86esultados

•

76eferencias

•

8:(ase tambi(n

Introducción1editar 2 En el m(todo de redistribuci+n de momentos! para analizar cada articulaci+n o nodo de la estructura! se considera fi#a en una primera fase a fin de desarrollar los Momentos en los Extremos Fijos. Despu(s cada articulaci+n fi#a se considera liberada secuencialmente y el momento en el extremo fi#o ;el cual al momento de ser liberado no est& en equilibrio$ se
Implementación1editar 2 En disposici+n de aplicar el m(todo de redistribuci+n de momentos para analizar una estructura! lo siguiente debe ser considerado.

Momentos de empotramiento en extremos fijos1editar 2 5omentos de empotramiento en extremos fi#os son los momentos producidos al extremo del miembro por cargas externas cuando las #untas est&n fi#as.

igidez a la !lexión1editar 2 =a rigidez a la flexi+n es la propiedad que tiene un elemento que le permite resistir un l%mite de esfuerzos de flexi+n sin deformarse. =a rigidez flexional ;E3*=$ de un miembro es representada como el producto del m+dulo de elasticidad ;E$ y el Segundo momento de &rea! tambi(n conocido como 5omento de 3nercia ;3$ dividido por la longitud ;=$ del miembro! que es necesaria en el m(todo de distribuci+n de momentos! no es el valor exacto pero es la 6az+n aritm(tica de rigidez de flexi+n de todos los miembros.

Coeficientes de distribución1editar 2 =os coeficientes de distribuci+n pueden ser definidos como las proporciones de los momentos no equilibrados que se distribuyen a cada uno de los miembros. >n momento no equilibrado en un nudo! es distribuido a cada miembro concurrente en (l! esta distribuci+n se hace directamente proporcional a la rigidez a la flexi+n que presenta cada uno de estos miembros.

Coeficientes de transmisión1editar 2 =os momentos no equilibrados son llevados sobre el otro extremo del miembro cuando se permite el giro en el apoyo. =a raz+n de momento acarreado sobre el otro extremo entre el momento en el extremo fi#o del extremo inicial es el coeficiente de transmisi+n. ?:alores t%picos"

•

•

/!8 para nodos sin empotramiento

•

/ para nodos empotrados

Convención de signos1editar 2

>n momento actuando en sentido horario es considerado positivo. Esto difiere de la 1convenci+n de signos2 usual en ingenier%a! la cual emplea un sistema de coordenadas cartesianas con el e#e positivo @ a la derecha y el e#e positivo A hacia arriba! resultando en momentos positivos sobre el e#e B siendo antihorarios.

Estructuras de marcos1editar 2 Estructuras de marcos con o sin ladeo pueden ser analizadas utilizando el m(todo de distribuci+n de momentos.

Ejemplo1editar 2

Example.

=a viga est&ticamente indeterminada mostrada en la figura ser& analizada. •

5iembros 0! C! CD tienen la misma longitud .

•

=as rigideces flexionales son EI ! 4EI ! EI respectivamente.

•

Cargas concentradas de magnitud act'an a una distancia desde el soporte 0.

•

Carga uniforme de intensidad act'a en C.

•

5iembro CD est& cargado a la mitad de su claro con una carga concentrada de magnitud .

En los siguientes c&lculos! los momentos antihorarios son positivos.

Momentos en Extremos !ijos1editar 2 Coeficientes de eparto1editar 2

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=os coeficientes de reparto de las #untas 0 y D son .

Coeficientes de transmisión1editar 2 =os coeficientes de transmisi+n son ;porque la secci+n es constante$! excepto para el factor de acarreo desde D ;soporte fi#o$ a C el cual es cero.

istribución de Momentos1editar 2 'meros en gris son momentos balanceadosI flechas ;  * G $ representan el acarreo de momento desde un extremo al otro extremo de un miembro.

esultados1editar 2 5omentos en articulaciones! determinados por el m(todo de distribuci+n de momentos. =a convenci+n de signos usual en ingenier%a es usada aqu%! i.e. =os momentos positivos causan elongaci+n en la parte inferior de un elemento de viga. •

ara prop+sitos de comparaci+n! los siguientes son los resultados generados! usando un m(todo matricial. ota que en el an&lisis superior! el proceso iterativo fue llevado a J/./) de precisi+n. El hecho de que el resultado de an&lisis de matriz y el resultado de an&lisis de distribuci+n de momentos iguale a /.//) de precisi+n es mera coincidencia. •

5omentos en articulaciones determinados por el m(todo matricial

=os diagramas completos de cortante y momento flector son como sigue. ota que el m(todo de distribuci+n de momentos solo determina los momentos en las #untas. Desarrollando diagramas de momentos flextores completos requiere de c&lculos adicionales usando los momentos determinados en las articulaciones y el equilibrio inter no de la secci+n. DEC

;osible correcci+n en esfuerzo d en lugar de .F7! y ?7.)9 en lugar d Diagrama de esfuerzos cortantes. El 5(todo de Distribuci+n de 5omentos ;no confundir con redistribuci+n de momentos$ o m(todo de Cross es un m(todo de an&lisis estructural para vigas est&ticamente indeterminadas y marcos! desarrollado por Hardy Cross. ,ue publicado en )-/ en una revista de la 0SCE. El m(todo s+lo calcula el efecto de los momentos flectores e ignora los efectos axiales y cortantes! lo cual es suficiente para fines pr&cticos. Desde )-/ hasta que la s computadoras comenzaron a ser ampliamente usadas en el diseño y an&lisis de estructuras! el m(todo de distribuci+n de momentos fue el m&s ampliamente usado en la pr&ctica. En el m(todo de distribuci+n de momentos! cada articulaci+n de la estructura a ser analizada! es fi#ada a fin de desarrollar los 5omentos en los Extremos ,i#os. Despu(s cada articulaci+n fi#a es secuencialmente liberada y el momento en el extremo fi#o ;el cual al momento de ser liberado no

est& en equilibrio$ son distribuidos a miembros adyacentes hasta que el Equilibrio es alcanzado. El m(todo de distribuci+n de momentos en t(rminos matem&ticos puede ser demostrado como el proceso de resolver una serie de sistemas de ecuaciones por medio de iteraci+n. El m(todo de distribuci+n de momentos cae dentro de la categor%a del 5(todo de Desplazamiento de an&lisis estructural.

/mplementación En disposici+n de aplicar el m(todo de distribuci+n de momentos para analizar una estructura! lo siguiente debe ser considerado.

Momentos de empotramiento en extremos fijos 5omentos de empotramiento en extremos fi#os son los momentos producidos al extremo del miembro por cargas externas cuando las #untas est&n fi#as.

igidez a la !lexión =a 6igidez a la ,lexi+n ;E3*=$ de un miembro es representada como el producto del 5+dulo de Elasticidad ;E$ y el Segundo momento de &rea! tambi(n conocido como 5omento de 3nercia ;3$ dividido por la longitud ;=$ del miembro! que es necesaria en el m(todo de distribuci+n de momentos! no es el valor exacto pero es la 6az+n aritm(tica de rigidez de flexi+n de todos los miembros.

!actores de istribución =os factores de distribuci+n pueden ser definidos como las proporciones de los momentos no balanceados llevados por cada uno de los miembros.

!actores de 0carreo 12ransporte3 =os momentos no balanceados! son llevados sobre el otro extremo del miembro cuando la #unta es liberada. =a raz+n de momento acarreado sobre el otro extremo! al momento en el extremo fi#o del extremo inicial es el factor de acarreo. >n momento actuando en sentido horario es considerado positivo. Esto difiere de la 1convenci+n de signos2 usual en ingenier%a! la cual emplea un sistema de coordenadas cartesianas con el e#e positivo @ a la derecha y el e#e positivo A hacia arriba! resultando en momentos positivos sobre el e#e B siendo antihorarios.

Estructuras de Marcos Estructuras de marcos con o sin sidesKay pueden ser analizadas utilizando el m(todo de distribuci+n de momentos.

Ejemplo: =a viga est&ticamente indeterminada mostrada en la figura sera analizada. L 5iembros 0! C! CD tienen la misma longitud = M )/ N m . L =as rigideces a ,lexion son E3! 4E3! E3 respectivamente.

L Cargas concentradas de magnitud udl M )/ N O act'an a una distancia a M  N m desde el soporte 0. L Carga uniforme de intensidad q M ) N O*m act'a en C. L 5iembro CD est& cargado a la mitad de su claro con una carga concentrada de magnitud  M )/ N O . En los siguientes c&lculos! los momentos antihorarios son positivos. 5omentos en Extremos ,i#os 1editar2 5 PQ0R f M NfracQb4a RQ=4R M NfracQ)/ Ntimes 4 Ntimes RQ)/4R M ? )7.// N ONcdot m 5 PQ0R f M ? NfracQa4bRQ=4R M ? NfracQ)/ Ntimes 4 Ntimes RQ)/4R M T 9.// N ONcdot m 5 PQCR f M NfracQq=4RQ)4R M NfracQ) Ntimes )/4RQ)4R M ? F. N ONcdot m 5 PQCR f M ? NfracQq=4RQ)4R M ? NfracQ) Ntimes )/4RQ)4R M T F. N ONcdot m 5 PQCDR f M NfracQ=RQFR M NfracQ)/ Ntimes )/RQFR M ? )4.8// N ONcdot m 5 PQDCR f M ? NfracQ=RQFR M ? NfracQ)/ Ntimes )/RQFR M T )4.8// N ONcdot m ,actores de Distribuci+n 1editar2 DPQ0R M NfracQNfracQE3RQ=RRQNfracQE3RQ=RTNfracQ7Ntimes 4E3RQ=RR M NfracQNfracQRQ)/RRQNfracQR Q)/RTNfracQFRQ)/RR M /.44 DPQCR M NfracQNfracQ7Ntimes 4E3RQ=RRQNfracQE3RQ=RTNfracQ7Ntimes 4E3RQ=RR M NfracQNfracQFRQ)/RRQNfracQR Q)/RTNfracQFRQ)/RR M /.4 DPQCR M NfracQNfracQ7Ntimes 4E3RQ=RRQNfracQ7Ntimes 4E3RQ=RTNfracQ7E3RQ=RR M NfracQNfracQFRQ)/RRQNfracQFR Q)/RTNfracQ7RQ)/RR M /.999 DPQCDR M NfracQNfracQ7E3RQ=RRQNfracQ7Ntimes 4E3RQ=RTNfracQ7E3RQ=RR M NfracQNfracQ7RQ)/RRQNfracQFR Q)/RTNfracQ7RQ)/RR M /. =os factores de distribuci+n de las #untas 0 y D son D0 M DDC M ). ,actores de 0carreo ;Uransporte$ 1editar2 =os factores de acarreo son NfracQ)RQ4R ! excepto para el factor de acarreo desde D ;soporte fi#o$ a C el cual es cero. Distribuci+n de 5omentos 1editar2 5omentDistribution5ethod4.#pg 0rticulaci+n 0 0rticulaci+n  0rticulaci+n C 0rticulaci+n D ,actores de Distribuci+n / ) /.44 /.4 /.999 /. / / 5omentos en Extremos ,i#os )7.// ?9.// F. ?F. )4.8// ?)4.8// aso ) ?)7.//  ?.8/ aso 4 ).78/ .F9  ).-7 aso  ?4./7 G ?7./9 ?4./7  ?)./) aso 7 /.888 ).7-  /.aso 8 ?/.479 G ?/.7- ?/.479  ?/.)4 aso 9 /./9 /.)-  /./-/ aso  ?/.// G ?/./9/ ?/.//  ?/./)8 aso F /.//F /./44  /./)) aso - ?/.//7 G ?/.// ?/.//7  ?/.//4 aso )/ /.//) /.// Suma de 5omentos / ?)).89- )).89- ?)/.)F9 )/.)F9 ?).98 'meros en gris son momentos balanceadosI flechas ;  * G $ representan el acarreo de momento desde un extremo al otro extremo de un miembro.

6esultados 1editar2 L 5omentos en articulaciones! determinados por el m(todo de distribuci+n de momentos. 5P0 M / N O Ncdot m 5P M ?)).89- N O Ncdot m 5PC M ?)/.)F9 N O Ncdot m 5PD M ?).98 N O Ncdot m =a convenci+n de signos usual en ingenier%a es usada aqu%! i.e. =os momentos positivos causan elongaci+n en la parte inferior de un elemento de viga. ara prop+sitos de comparaci+n! los siguientes son los resultados generados! usando un 5(todo de 5atriz. ota que en el an&lisis superior! el proceso iterativo fue llevado a J/./) de precisi+n. El echo de que el resultado de an&lisis de matriz y el resultado de an&lisis de distribuci+n de momentos iguale a /.//) de precisi+n es mera coincidencia. L 5omentos en articulaciones determinados por el m(todo de matriz 5P0 M / N O Ncdot m 5P M ?)).89- N O Ncdot m 5PC M ?)/.)F9 N O Ncdot m 5PD M ?).98 N O Ncdot m =os diagramas completos de cortante y momento flextor son como sigue. ota que el m(todo de distribuci+n de momentos solo determina los momentos en las #untas. Desarrollando diagramas de momentos flextores completos requiere de c&lculos adicionales usando los momentos determinados en las articulaciones y el equilibrio interno de la secci+n. L D,C y D5, ublicado por =eonel =iriano en )/"88

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Método de distribución de momentos Este artículo o sección tiene un estilo difícil de entender para los lectores interesados en el tema. Si puedes! por favor ed%talo y contribuye a hacerlo m&s accesible para el p'blico general! sin eliminar los detalles t(cnicos que interesan a los especialistas.

El Método de redistribución de momentos o método de Cross) es un m(todo de an&lisis estructural para vigas est&ticamente indeterminadas y marcos*p+rticos planos! desarrollado por Hardy Cross. ,ue publicado en )-/ en una revista de la 0SCE. El m(todo solo calcula el efecto de los momentos flectores e ignora los efectos axiales ycortantes! lo cual es suficiente para fines pr&cticos en barras esbeltas. Desde )-/ hasta que las computadoras comenzaron a ser ampliamente usadas en el diseño y an&lisis de estructuras! el m(todo de redistribuci+n de momentos fue el m&s usado en la pr&ctica. osteriormente otros m(todos como el m(todo matricial de la rigidez que se puede programar de manera m&s sencilla han llegado a ser m&s populares que el m(todo de redistribuci+n de momentos de Cross.

Vndice 1ocultar 2 •

)3ntroducci+n

•

43mplementaci+n o

4.)5omentos de empotramiento en extremos fi#os

o

4.46igidez a la ,lexi+n

o

4.Coeficientes de distribuci+n

o

4.7Coeficientes de transmisi+n

o

4.8Convenci+n de signos

o

4.9Estructuras de marcos E#emplo

•

o

.)5omentos en Extremos ,i#os

o

.4Coeficientes de 6eparto

o

.Coeficientes de transmisi+n

o

.7Distribuci+n de 5omentos

o

.8 6esultados

•

76eferencias

•

8:(ase tambi(n

Introducción4editar 5 En el m(todo de redistribuci+n de momentos! para analizar cada articulaci+n o nodo de la estructura! se considera fi#a en una primera fase a fin de desarrollar los Momentos en los Extremos Fijos. Despu(s cada articulaci+n fi#a se considera liberada secuencialmente y el momento en el extremo fi#o ;el cual al momento de ser liberado no est& en equilibrio$ se
Implementación4editar 5 En disposici+n de aplicar el m(todo de redistribuci+n de momentos para analizar una estructura! lo siguiente debe ser considerado.

5omentos de empotramiento en extremos fi#os 1editar 2 5omentos de empotramiento en extremos fi#os son los momentos producidos al extremo del miembro por cargas externas cuando las #untas est&n fi#as.

6igidez a la ,lexi+n1editar 2 =a rigidez a la flexi+n es la propiedad que tiene un elemento que le permite resistir un l%mite de esfuerzos de flexi+n sin deformarse. =a rigidez flexional ;E3*=$ de un miembro es representada como el producto del m+dulo de elasticidad ;E$ y el Segundo momento de &rea! tambi(n conocido como 5omento de 3nercia ;3$ dividido por la longitud ;=$ del miembro! que es necesaria en el m(todo de distribuci+n de momentos! no es el valor exacto pero es la 6az+n aritm(tica de rigidez de flexi+n de todos los miembros.

Coeficientes de distribuci+n1editar 2 =os coeficientes de distribuci+n pueden ser d efinidos como las proporciones de los momentos no equilibrados que se distribuyen a cada uno de los miembros. >n momento no equilibrado en un nudo! es distribuido a cada miembro concurrente en (l! esta distribuci+n se hace directamente proporcional a la rigidez a la flexi+n que presenta cada uno de estos miembros.

Coeficientes de transmisi+n 1editar 2 =os momentos no equilibrados son llevados sobre el otro extremo del miembro cuando se permite el giro en el apoyo. =a raz+n de momento acarreado sobre el otro extremo entre el momento en el extremo fi#o del extremo inicial es el coeficiente de transmisi+n. ?:alores t%picos"

•

•

/!8 para nodos sin empotramiento

•

/ para nodos empotrados

Convenci+n de signos1editar 2 >n momento actuando en sentido horario es considerado positivo. Esto difiere de la 1convenci+n de signos2 usual en ingenier%a! la cual emplea un sistema de coordenadas cartesianas con el e#e positivo @ a la derecha y el e#e positivo A hacia arriba! resultando en momentos positivos sobre el e#e B siendo antihorarios.

Estructuras de marcos 1editar 2

Estructuras de marcos con o sin ladeo pueden ser analizadas utilizando el m(todo de distribuci+n de momentos.

Ejemplo4editar 5

Example.

=a viga est&ticamente indeterminada mostrada en la figura ser& analizada. •

5iembros 0! C! CD tienen la misma longitud .

•

=as rigideces flexionales son EI ! 4EI ! EI respectivamente.

•

Cargas concentradas de magnitud act'an a una distancia desde el soporte 0.

•

Carga uniforme de intensidad act'a en C.

0rticulaci+n 0

Coeficientes de reparto

"#

0rticulaci+n 

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5omentos en Extremos ,i#os

aso )

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•

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5iembro CD est& cargado a la mitad de su claro con una carga concentrada de magnitud .

En los siguientes c&lculos! los momentos antihorarios son positivos.

)#

)#

5omentos en Extremos ,i#os 1editar 2 Coeficientes de 6eparto 1editar 2 =os coeficientes de reparto de las #untas 0 y D son .

Coeficientes de transmisi+n 1editar 2 =os coeficientes de transmisi+n son ;porque la secci+n es constante$! excepto para el factor de acarreo desde D ;soporte fi#o$ a C el cual es cero.

Distribuci+n de 5omentos1editar 2 'meros en gris son momentos balanceadosI flechas ;  * G $ representan el acarreo de momento desde un extremo al otro extremo de un miembro.

6esultados1editar 2 5omentos en articulaciones! determinados por el m(todo de distribuci+n de momentos. =a convenci+n de signos usual en ingenier%a es usada aqu%! i.e. =os momentos positivos causan elongaci+n en la parte inferior de un elemento de viga. •

ara prop+sitos de comparaci+n! los siguientes son los resultados generados! usando un m(todo matricial. ota que en el an&lisis superior! el proceso iterativo fue llevado a J/./) de precisi+n. El hecho de que el resultado de an&lisis de matriz y el resultado de an&lisis de distribuci+n de momentos iguale a /.//) de precisi+n es mera coincidencia. •

5omentos en articulaciones determinados por el m(todo matricial =os diagramas completos de cortante y momento flector son como sigue.

ota que el m(todo de distribuci+n de momentos solo determina los momentos en las #untas. Desarrollando diagramas de momentos flextores completos requiere de c&lculos adicionales usando los momentos determinados en las articulaciones y el equilibrio inter no de la secci+n. DEC

;osible correcci+n en esfuerzo d en lugar de .F7! y ?7.)9 en luga Diagrama de esfuerzos cort

Referenc ias4editar 5 ). :olver arriba W Xfinalca* Santa Ueresa del Uuy

Viga Continua Por El Metodo de Cross

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