7
1.2.2.3.2. DISEÑO DE LAS VIGAS POSTENSADA L=37 m.
Propiedades de la sección neta (viga)
:=
n
Numero de Puntos
13
i := 0 .. n
1
0.5
0
−1
y
−0.28 −0.28 −0.10 −0.10 −0.325 −0.325
0
i
1.5
yi
:=
x
− 1 Rango de 0 a n-1
0
i
:=
0.145 0.33 1.685 1.73 1.85
0.325
1.85
0.325
1.73
0.10
1.685
0.10
0.33
0.28
0.145
0.28
0
−0.28
0
0
0
1
xi
h
:=
m
1.85
bt
:=
0.65 m
n− 2
x + xi i+ 1 A := − y −y ⋅ ( i+ 1 i) 2 i =0 n− 2 y −y
∑
xbar :=
ybar :=
1
− ⋅ A
1
A
Ix
:=
∑
∑
i =0 n− 2 x
⋅
∑
i n− 2
i+ 1
=0
i+ 1
wb
:=
wt
:=
8
− xi
Ixbar ybar Ixbar h − ybar
(xi+ 1 − xi)
=
0.51963 m
2
2
2 ⋅ ( xi+ 1 + xi) +
2
⋅ ( yi+ 1 + yi) +
y + yi i+ 1 x −x ⋅ ⋅ ( i+ 1 i) 24
=0 2 Ixbar := Ix − A⋅ ybar i
8
i
A
xbar = 0
2 − y ) 3
( yi+ 1
3
2
i
ybar = 0.899
(yi+ 1 + yi) + (yi+ 1 − yi)
2
Ix
=
0.627
m
m
4
Ixbar = 0.207 m wb
=
0.231 m
wt
=
0.218 m
3
3
4
Resumen de Propiedades viga Simple: 2
= 0.5196 m yt = 0.951 m yb = 0.899 m 4 I = 0.2072 m 3 w t = 0.21782 m 3 w b = 0.2306 m
A
:= h − ybar yb := ybar I := Ixbar yt
Area de Sección Neta viga Distancia c.d.g. de la seccion neta a la fibra superior Distancia c.d.g. de la seccion neta a la fibra inferior Momento de Inercia de seccion neta Modulo resistente seccion neta superior Modulo resistente seccion neta inferior
Rendimiento de la seccion I
r :=
r = 0.632
A
radio de giro 2
r
ρ :=
rendimiento es:
ρ
=
> ρ< ρ
yt
yb
0.5
vale para secciones esbeltas
0.4
secciones pesadas
0.466
Por tanto el rendimiento de la seccion es optima PROPIEDADES DE LA SECCION COMPUESTA
El ancho efectivo del patín (be) será el menor de: L := 36.40 m
be
:=
L 4
:= 12⋅ t + bt be := S be
entonces
:= 0.18 m S := 2.4 m
Siendo L la longitud de la viga t el espesor de la losa y S la separación entre vigas, todo en metros.
t
be
=
9.1
L 4 N := 12⋅ t + bt S
m
= 2.81 m be = 2.4 m be := min ( N) be
be
=
2.40
Resistencia a la rotura de la losa:fcL := 21 MPa Resistencia a la rotura de la viga:fcv := 35 MPa Factor de Corrección de resistencia: η :=
fcL fcv
η
=
0.775
Area Efectiva de la losa: AL
:= η⋅ be ⋅ t
AL
=
0.3346 m
2
m
9.1 N
=
2.81
2.4
m
La Inercia de la losa homogenizada será: IL
:= η⋅ be ⋅
t
3
IL
12
=
m
0.0009
4
Tomando como referencia la linea superior de la losa se optiene los datos de la sección compu Brazo = distancia de linea superior de losa al eje neutro del Item Item
t
Brazo t
Losa
yL
:=
Viga
yv
:= yt + t
:=
0.18 m
m
2
m
espesor de losa yL
=
0.09 m
yv
=
1.131 m
Σ A
:= AL + A 2 m Σ A = 0.854
Σ Ay
:= AL⋅ y L + A⋅ yv 3 m Σ Ay = 0.618
:= IL + I 4 ΣIo = 0.208 m
Σ Ay2
:= AL⋅ y L2 + A⋅ yv 2 4 Σ Ay2 = 0.668 m
ΣIo
Yt :=
Σ Ay
Yb := h
=
Yt
Σ A
+ t − Yt
=
Yb
0.723 m
Distancia c.d.g. de la seccion compuestas a la fibra superio
1.307 m
Distancia c.d.g.de la seccion compuesta a la fibra inferior
El momento de inercia de la sección compuesta según Steiner esta dado por: It := ΣIo
2
+ Σ Ay2 − Yt ⋅ Σ A
It
=
0.42888 m
4
Módulo Resistente de la sección compuesta: Wb
:=
Wt
:=
It Yb It Yt
Wb
=
0.3283 m
Wt
=
0.5928 m
3
Modulo resistente seccion compuesta superior
3
Modulo resistente seccion compuesta inferior
Excentricidad aproximada: e := yb
− 0.1 ⋅ h
e
=
0.714 m
Resumen de Propiedades Seccion Compuesta: Σ A = 0.854 m Yt = 0.723 m Yb It
=
Wb
=
4
0.3283 m
= 0.5928 m e = 0.714 m
Wt
Area de la seccion compuesta. Distancia c.d.g. de la seccion compuestas a la fibra superior Distancia c.d.g.de la seccion compuesta a la fibra inferior
1.307 m
0.42888 m
=
2
Momento de Inercia de seccion compuesta 3
Modulo resistente seccion compuesta superior
3
Modulo resistente seccion compuesta inferior Excentricidad aproximada:
Cálculo del preesfuerzo Resumen de solicitaciones
:= 2076.55 kN⋅m Mlh := 1790.65 kN⋅ m Md := 148.30 KN⋅ m . Mvi := 2203.72 KN⋅ m Msup := 712.73 KN⋅ m
Momento Peso propio
Mpp
Momento Losa humeda + capa de rodadura Momento de Diafragmas Momento Carga viva+Impacto Momento Postes, barandado, acera y bordillos
Cálculo de tensiones para cada caso a) Tensiones por cargas permanentes (pesos propios)
Las tensiones correspondientes a los momentos: Mpp, Mlh y Md, se calculan tomando los mó resistentes de la sección prefabricada. M1
:= Mpp + Mlh + Md
M1
=
KN⋅ m
4015.5
fibra superior: f t1
:=
M1 wt
N f t1
=
18.435
f b1
=
17.413
mm
(+)
2
fibra inferior: f b1 :=
M1 wb
N mm
2
(-)
b) Tensiones debidas a las cargas vivas y complementos
En este caso la sección resistente pasa a ser la compuesta por la viga y la losa, por lo tanto deb tomarse en cuenta los módulos resistentes de esta sección. M2
:= Mvi + Msup
M2
=
2916.45
N⋅ mm
fibra superior: f t2
:=
M2 Wt
f t2
=
4.92
N mm
2
(+)
fibra inferior: f b2 :=
M2 Wb
f b2
=
8.885
N mm
2
(-)
c) Tensiones por pretensión
La fuerza de pretensión inicial necesaria se rá calculada para una tensión nula en la fibra inferi tomando en cuenta todas las cargas actuantes.
f b =
Po A
+
Po⋅ e
Po := A⋅ w b⋅
wb
− f b1 − f b2 siendo f b :=
0
+ f b1 + f b2 w b + e⋅ A
f b
Por lo tanto: Po
=
5239.633
kN
Características de los cables de preesfuerzo
Cables de siete alambres Diámetro nominal
12.7 m
Au := 98.7 mm
Area nominal del cable Peso por 1000 pies
2
2333.26 N
Resistencia a la rotura
fs1
:=
1860 Mpa
Resistencia a la Fluencia
fsy
:=
0.9 ⋅ fs1
fsy
=
mm
Esfuerzo de diseño: 1o Posibilidad
fs
:=
0.6 fs1
fs
=
1116
fs
:=
0.8 ⋅ fsy
fs
=
1339.2
2
N mm
Usar:
fs
:=
2
N mm
2o Posibilidad
N
1674
2
N
1116
mm
2
2.3.9.5 Número de cables necesarios Anec
:=
Ncables Areal
Po⋅ 1000 fs Anec Au
:=
Anec
=
4695.012 mm
Ncables
⋅ Au Areal = := Ncables
=
Usar: Ncables := 48
47.569
4737.6 m
2
2
Número y disposición de vainas
Según sistema Freyssinet, las características y dimensiones de los ductos para cables o torones 1/ plg 2
de 7 alambres, de 8 a 12 torones Φext = 65 mm
Según el reglamento el diámetro interior de las vainas será por lo menos de 1/4 plg mayor que diámetro del cable, aspecto que se cumple con: 4 vainas de 2 7/8 plg = 73 mm para alojar 48 cables Φ1/2 plg. grado 270 ksi, 12 en la vaina 1, 1 en las vainas 2, 3 y 4 contando de abajo hacia arriba. Momento estático
Posición de las vainas en el centro de la viga: El recubrimiento mínimo de las vainas no pued e ser menor de 5 centímetros por lo que podem mejorar la excentricidad para un mejor funcionamiento de preesfuerzo.
con:
Areal
=
4737.6 mm
A1 := 12⋅ Au
A1
=
1184.4 mm
A4 := 12⋅ Au
A4
=
mm 1184.4
Areal⋅ e = A1⋅ ( yb
yb
=
e := e
=
2
2
e
=
0.714
A2 := 12⋅ Au
m
A2
=
1184.4 mm
2
A3 := 12⋅ Au A3
=
1184.4 mm
2
2
− 312.5 ) + A2⋅ ( yb − 237.5 ) + A3⋅ ( yb − 162.5 ) + A4⋅ ( yb − 87.5)
898.611 mm
A1⋅ ( yb
− 312.5 ) + A2⋅ ( yb − 237.5 ) + A3⋅ ( yb − 162.5 ) + A4⋅ ( yb − 87.5) Areal
698.61 mm
Posición de las vainas en el apoyo: La separación mínima entre conos de anclaje debe ser de 30 m. para un buen trabajo del gato
ΣMo = 0
d
:=
300
A1⋅ y = A2⋅ ( d
− y) + A3⋅ ( 2d − y) + A4⋅ ( 3 ⋅ d − y)
A2 + 2 ⋅ A3 + 3⋅ A4 y := d⋅ A1 + A2 + A3 + A4
y
=
450
m
La fuerza de pretensión inicial necesaria será entonces: Po := A⋅ w b⋅ Po
=
+ f b1 + f b2 w b + e⋅ A
f b
5308.43
kN
Tensión efectiva de los cables Pc :=
Tv
:=
Po Ncables Pc⋅ 1000 Au
Pc
=
110.592
Tv
=
1120.489
kN N mm
2
< fs Ok!
Determinación de pérdidas de preesfuerzo
Pérdidas por fricción de los cables Las pérdidas de fricción en los miembros postensados aparecen por el cambio de angular en cables plegados y por la excentricidad de los ductos. Las pérdidas por frición se basarán en l coefientes experimentales K yµ, para el cálculo de las pérdidas por fricción se tiene: k ⋅ L+ μ ⋅ α To = Tv⋅ e
Para cables de alambre y ducto en contacto directo con el hormigón se tiene los siguientes va k := 0.004922
μ
:=
0.25
k = Coeficiente de fricción en tramos rectos o coeficiente de curvatura secundaria por metro longitud.
µ = Coeficiente de fricción por curvatura. To = Tensión del cable en el extremo del gato Tv = Tensión del cable en un punto cualquiera x L = Longitud del cable desde el gato hasta el punto x
α = Variación total angular de la trayectoria del cable en radianes, desde el extremo del gato hasta un punto x. Ecuación de la parábola:
2
X = L
2
⋅ + 1 Y
e
donde:
=
e
0.699
m
Derivando la ecuación se tiene: 2
2 XdX =
L ⋅ dY
dY
4e
dX
X
= 8e⋅
L
2
= tan( α)
Para X=L/2 tan ( α) = 4 ⋅
e L
e
atan 4 ⋅ α :=
L
α
=
0.077
rad
Tesado un lado k⋅
L
+ μ⋅ α =
2
FR
+ k⋅ L + μ⋅ α 2
To := Tv ⋅ 1
0.109
:= To − Tv
%FR :=
FR
=
%FR
Tv
=
=
1242.326
N
121.837
mm
FR⋅ 100
To
2
10.874 %
Pérdidas por hundimiento en los anclajes Los hundimientos (h), en los clásicos anclajes Freyssinet para cables 12/5 y 12/7 son de 4 a 6 respectivamente. En general: a) Los cables largos se tesan de dos lados y no existe pérdida th a medio cable. b) Los cables cortos se tesan de un lado y existe un valor de th a medio cable. Es := 191590
N mm
Es⋅ 6 ⋅ X :=
th
:=
L ⋅ 1000 2
FR
2 ⋅ Es ⋅ 6
%th :=
2
X
− 2 ⋅ FR
th⋅ 100 Tv
X
=
13104
th
%th
mm
menor a
= −68.227 = −6.089
Acortamiento elástico del Concreto (ES)
L⋅ 1000 2
=
18200 mm
ES = 0.5 ⋅
:=
Ppi
f cpi f g
⋅ f cir
Eci
0.63⋅
Ppi
:=
:=
Es
fs1 ⋅ Areal Ppi
1000
Ppi ⋅ e
+
A Mpp⋅ e
f g
kN/m2
7000.485
Ec
Tv
:=
fc
2
⋅ 0.043 fcv
ES
%ES :=
23758.448
1.5
Es
0.5 ⋅
=
=
N mm
:=
kN
kN/m2
f cir = 16757.963 kN/m2
Es := 191590
ES
f cpi
I
− f g
Ec := 2400
5551.52
2
I
f cir := f cpi
=
⋅ f cir
ES
⋅ 100
=
Ec
=
%ES
29910.202 N/mm2
53.672
=
N/mm2
24.5
4.79
N/mm2
%
Contracción del Concreto (SH) SH = 0.8 ⋅ ( 117.18
− 1.033⋅ RH ) N/mm2
RH := 60 % La humedad relativa media anual de Morochata SH
:=
0.8 ⋅ ( 117.18
%SH :=
SH Tv
− 1.033 RH ⋅ )
⋅ 100
%SH
SH
=
=
44.16
N/mm2
3.941 %
Fluencia del Concreto (CRc) Para miembros pretensados y postensados CRc = 12⋅ f cir − 7 ⋅ f cds f cds
:= Mlh⋅
CRc
:=
%CRc
e
+ Md ⋅
I
e
f cds
I
12⋅ f cir − 7⋅ f cds
:=
CRc Tv
⋅ 100
CRc
:=
137.9
CRs
=
39.98
− 0.3 FR ⋅ − 0.4 ⋅ ES − 0.2 ⋅ ( SH + CRc ) N/mm2
=
%CRc
Relajación de los cables (CRs) CRs
=
6536.606
kN/m2
155.339
=
13.86 %
N/mm2
%CRs
CRs
:=
Tv
⋅ 100
%CRs
=
3.568 %
Pérdidas totales Según la norma AASTHO(art. 9.16.2.2) una estimación total de pérdidas de 227.36 N/mm2 puede usarse, este valor no toma en cuenta la pérdida por fricción.
En nuestro caso: Σ
:= SH + ES + CRc + CRs
Σ
=
N/m m2
293.15
muy cercano al recomendado y por lo tanto usamos el valor calculado. ∆f s := SH
+ ES + CRc + CRs + FR + th ∆f s = 346.76 N/mm2 %∆f s := %SH + %ES + %CRc + %CRs + %FR + %th %∆f s = %∆f s
Preesfuerzo Final
+
Pf := Tv ⋅ 1
%∆f sm Pfmi
%∆f s 100
N
Pf = 1467.25
mm
2
:=
∆f s Tv
⋅ 100
30.95 %
%∆f s
= 0.78 fs1<0.8fs1
=
30.95 %
Ok!
:= %SH + %ES + %CRc + %CRs
:= Tv + 0.8Σ
Pfmi
=
N
1355.01
mm
2
Para miembros postensados segun AASHTO (art. 9.15.1) una tensión a 0.8 fs1 es permitido p compensar las pérdidas por hundimiento de anclajes y fricción, este esfuerzo es conocido com esfuerzo máximo temporal; pero el esfuerzo de servicio no debe exceder de 0.7 fs1 después de todas las pérdidas.
Las pérdidas por acortamiento elástico tomará lugar gradualmente, si aun quedan tendones po tesar, por lo que se deduce el factor de 0.5 usado en la fórmula para el cálculo de esta pérdida. Pn := Pf −
%FR⋅ Pf + %ES⋅ Pf + %th 100
Pn
=
1237.5
N mm
2
= 0.69 fs1<0.7fs1
VERIFICACION DE TENSIONES DEL CONCRETO
P = Fuerza de presfuezo inicial antes de que se produzcan las pérdidas: P := P
=
Pf 1000
⋅ Ncables⋅ Au
6951.247 kN
Ok!
P1 = Fuerza de preesfuerzo después de las perdidas por fricción, anclaje y acortamiento elásti Pn
P1 := P1
=
1000
⋅ Ncables⋅ Au
5862.722 kN
P2 = Fuerza de presfuezo final después de todas las pérdidas: P2 := Po P2
=
kN
5308.43
Verificación para t=0 := 35 Mpa fci := 0.8 ⋅ fc fci = fc
28 Mpa 0.79⋅
máxima tracción permisible:
fci
=
N
4.18
mm 0.55⋅ fci
Máxima compresión permisible:
=
(-) 2
N
15.4
mm
(+) 2
Fibra superior: fct
:=
P A
− P⋅
e
+
wt
Mpp
fct
wt
=
N
0.616
mm
fct
<
0.79
fci
Correcto
2
Fibra Inferior: fcb
:=
P A
+ P⋅
e wb
−
Mpp
fcb
wb
=
25.431
N mm
2
fcb
>
0.55fci
Incorrecto
Debido al sobretensión que se produce en la fibra inferior (compresión) se opta por preesforza dos etapas. El primer preesfuerzo aplicado a la viga se lo realizará en las vainas 1 y 2; este pre debe ser capaz de resistir el peso propio de la viga;losa y diafragmas dejando un segundo pree para resistir las demas cargas. P3 = Fuerza de preesfuerzo en la 1o etapa. P3 := P3
=
Pf 1000
⋅ 24⋅ Au
3475.623
kN
La excentricidad de las dos vainas es:
:= e2 := e1
e0
:=
1349 mm 1049 mm
e1
+ e2 2
e0
=
1o PREESFUERZO
1199
mm
Verificación para t = 0 fibra superior: fct
P3
:=
A
− P3⋅
e0
+
wt
Mpp
fct
wt
N
= −2.91
mm
2
(+)
fct
<
fci
0.79
Correcto
Fibra Inferior:
:=
fcb
P3
+ P3⋅
A
e0 wb
Mpp
−
fcb
wb
=
N
15.755
mm
2
(+)
fcb < 0.55fci
=
15.4
Correcto
2o PREESFUERZO
Verificación para t = Intermedio En esta etapa se considera la pérdia de fricción y acortamiento elástico (no existe pérdida por hundimiento de anclaje a medio tramo) en las vainas 1 y 2 y se añade el preesfuerzo en la vai y 4 . Para esto calculamos la nueva fuerza P4 P4 := Pn⋅ 24⋅ Au + Pf ⋅ 24⋅ Au
P4
=
N
6406984.52
fibra superior: fct
:=
P4 A
− P4⋅
e wt
+
M1
fct
wt
=
N
10.216
mm
2
Correcto
(+)
Fibra Inferior: fcb
:=
P4 A
+ P4⋅
e wb
−
M1
fcb
wb
=
N
14.327
mm
2
(+)
fcb
<
Correcto
0.55fci
Verificación para t = oo 1.6 ⋅
máxima tracción permisible:
fc
=
9.466
kN m
Máxima compresión permisible: 0.45⋅ fc = 15.75
kN m
M3
:= M1 − Mpp
= M2 =
M3
Mpp
2
2
(-)
(+)
1938950000 N⋅ mm 2916450000 N⋅ mm
=
2076550000 N⋅ mm
fibra superior: fct
:=
P2 A
− P2⋅
e wt
+
Mpp wt
+
M3 Wt
+
M2 Wt
fct
=
10.914
N mm
2
(+)
fct
<
0.45fc
Correcto
Fibra Inferior: fcb
P2
:=
+ P2⋅
A
e
Mpp
−
wb
wb
M3
−
−
Wb
M2 Wb
fcb
=
N
2.501
mm
2
(+)
>
fcb
1.6 ⋅
Verificación de la losa fctlosa := η⋅ fct
η
=
fctlosa
0.775
=
N
<0.45fclosa = 10.98
8.454
mm
2
Ok!
Pérdidas por Fricción y Elongación de los torones en cada vaina
Vaina 1 Pérdida por fricción: 2
X = L
2
⋅ + 1 Y
e
donde:
e1
=
m
1349
Derivando la ecuación se tiene: 2
2 XdX =
L ⋅ dY
dY
4e
dX
L
Para X=L/2 tan ( α) = 4 ⋅
X
= 8e⋅
e
atan 4 ⋅ α :=
L
2
= tan ( α)
e1 1000
L
α
=
0.147
rad
Tesado por un lado k⋅
L 2
FR1
+ μ⋅ α =
0.126
+ k⋅ L + μ⋅ α 2
To := Tv ⋅ 1
:= To − Tv
%FR1 :=
X :=
2 ⋅ Es ⋅ 6
%th1 :=
%FR1
1262.089
N
141.599
=
=
2
12.637 %
L ⋅ 1000 2
FR1
X
=
mm
FR1⋅ 100 Tv
Es⋅ 6 ⋅
th1 :=
FR1
To
X
− 2 ⋅ FR1
th1⋅ 100 Tv
=
12155.335 mm
th1
%th1
menor a
= −94.057 = −8.394
L⋅ 1000 2
=
18200 mm
fc
Correcto
Tensión para el gato de la vaina 1 es: T1
:= Tv + FR1
T1
=
N/mm2
1262.089
= 0.79 fs1
Alargamiento:
L1 := 1
8 ⋅ e 1
+
∆L1
3 ⋅ L
2
2
⋅L
36.533
L1⋅ 1000 ⋅ T1
:=
=
L1
=
∆L1
Es
240.66 mm
Vaina 2 Pérdida por fricción: 2
X = L
2
⋅ + 1 Y
e
donde:
e2
=
1049
m
Derivando la ecuación se tiene: 2
2 XdX =
L ⋅ dY
dY
4e
dX
Para X=L/2 tan ( α) = 4 ⋅
e
X
= 8e⋅
L
atan 4 ⋅ α :=
L
2
= tan( α)
e2 1000
L
To := Tv ⋅ 1
+ k⋅
α
=
rad
0.115
Tesado por un lado k⋅
L 2
FR2
+ μ⋅ α =
0.118
:= To − Tv
FR2
=
L 2
+ μ⋅ α
FR2 ⋅ 100 Tv
Es⋅ 6 ⋅ X :=
th2 :=
%th2
2 ⋅ Es ⋅ 6
:=
=
1253.012
2
11.827 %
L⋅ 1000 2
FR2
X
%FR2
=
N
132.523
mm %FR2 :=
To
X
− 2 ⋅ FR2
th2⋅ 100 Tv
=
12564.7
th2
%th2
mm
menor a
= −82.067 = −7.324
L⋅ 100 2
=
1820 m
Tensión para el gato de la vaina 2 es: T2
:= Tv + FR2
T2
=
N/mm2
1253.012
= 0.79fs1
Alargamiento:
L2 := 1
+
8 ⋅ e 2
∆L 2
3 ⋅ L
2
2
⋅L
36.481
L⋅ 1000 ⋅ T2
:=
=
L2
=
∆L2
Es
238.059 mm
Vaina 3 Pérdida por fricción: 2
X = L
2
⋅ + 1 Y
e
donde:
e3
:=
749
mm
Derivando la ecuación se tiene: 2
2 XdX =
L ⋅ dY
dY
4e
dX
L
Para X=L/2 tan ( α) = 4 ⋅
X
= 8e⋅
e
atan 4 ⋅ α :=
L
2
= tan( α)
e3 1000
L
α
=
0.082
rad
Tesado por ambos lados k⋅
L 2
FR3
+ μ⋅ α =
0.11
+ k⋅ L + μ⋅ α 2
To := Tv ⋅ 1
:= To − Tv
%FR3 :=
th3 :=
123.378
%FR3
=
=
1243.868
kN 2
11.011 %
L ⋅ 100
FR3 2 ⋅ Es ⋅ 6
X
=
m
FR3 ⋅ 100 Tv
Es⋅ 0.6 ⋅ X :=
FR3
To
2
X
− 2 ⋅ FR3
=
1302.202
th3
=
mm
menor a
1518.776
L⋅ 1000 2
=
18200 mm
th3⋅ 100 Tv
:=
%th3
=
%th3
135.546
Tensión para el gato de la vaina 3 es: T3
:= Tv + FR3
T3
=
N/mm2
1243.868
= 0.79fs1
Alargamiento:
L3 := 1
8 ⋅ e 3
+
∆L3
3 ⋅ L
2
2
⋅L
36.441
L3⋅ 1000 ⋅ T3
:=
=
L3
=
∆L 3
Es
236.588 mm
Vaina 4 Pérdida por fricción: 2
X = L
2
⋅ + 1 Y
e
donde:
e4
:=
449
mm
Derivando la ecuación se tiene: 2
2 XdX =
L ⋅ dY
dY
4e
dX
L
Para X=L/2 tan ( α) = 4 ⋅
X
= 8e⋅
e
atan 4 ⋅ α :=
L
2
= tan( α)
e4 1000
L
α
=
0.049
rad
Tesado por ambos lados k⋅
L 2
FR4
+ μ⋅ α =
0.102
+ k⋅ L + μ⋅ α 2
To := Tv ⋅ 1
:= To − Tv
%FR4 :=
th4 :=
114.184
%FR4
=
=
1234.673
kN 2
10.191 %
L ⋅ 100
FR4 2 ⋅ Es ⋅ 6
X
=
m
FR4 ⋅ 100 Tv
Es⋅ 0.6 ⋅ X :=
FR4
To
2
X
− 2 ⋅ FR4
=
1353.614
th4
=
mm
menor a
1470.107
L⋅ 1000 2
=
18200 mm
%th4
:=
th4⋅ 100 Tv
=
%th4
131.202
Tensión para el gato de la vaina 4 es:
:= Tv + FR4
T4
T4
=
N/mm2
1234.673
= 0.79fs1
Alargamiento:
L4 := 1
+
8 ⋅ e 4
:=
∆L4
3 ⋅ L
2
2
⋅L
L4
=
36.415
L4⋅ 1000 ⋅ T4
∆L 4
Es
=
mm
234.67
Verificación de los momentos
Momento Último Actuante MD
:= Mpp + Mlh + Md + Msup
MD
=
4728.23
kN⋅ m
ML
:= Mvi
ML
=
2203.72
kN⋅ m
Mua := 1.3( M D
+ 1.67⋅ M L)
Mua
=
kN⋅ m
10931
Según norma AASHTO (art. 9.17.4), se tiene: b := be ⋅ η⋅ 1000
b
=
1859.032 mm
d := yt
d
=
1830
ρ
=
0.00139
+e+t
Areal ρ := b⋅ d fsy
=
N
1674
mm fsu1
mm
2
:= fsy⋅ 1 − 0.5 ⋅ ρ⋅
fsy fc
fsu1
=
1618.25
N mm
2
Momento Último Resistente t1
:=
1.4 ⋅ d ⋅ ρ⋅
fsy fc
t1
=
170.642 mm
t
=
180 mm
t1
Según norma AASHTO (art. 9.17.2):
Mur := Areal ⋅
fsy
⋅ d⋅
1000
fsu1 1 − 0.6 ⋅ ρ⋅ fc
Mur = 13952579 N⋅ m
Mur > Mua Ok!
Máximo porcentaje de acero de preesfuerzo
La norma AASHTO en su artículo 19.8.1 señala que los miembros de hormigón pretensado s diseñarán de manera que el acero entre en fluencia mientras se acerca su capacidad última, el la armadura será tal que: ρ⋅
fsu1 fc
<
ρ⋅
0.3
fsu1 fc
=
0.064
0.057
<
0.3
Por tanto la falla se producirá en el acero en primera instancia Análisis de fuerza cortante en las vigas
La fuerza cortante será analizado en dos tramos, para los cuartos exteriores y el centro Por carga muerta: qpp := 12.89 kN m
peso propio:
losa+rodadura: qg
qlh
:=
10.46
postes, barandado, aceras, bordillos:
qsup
kN m
:= qpp + qlh + qsup
qg
=
kN
27.65
m
Cortante producido por la carga uniforme será: para L
Qg1 :=
qg⋅ L
Qg1
2
=
503.23 kN
Cortante producida por los diafragmas será: Qg2 := 8.02
kN
Cortante total será: Qg
:= Qg1 + Qg2
Qg
=
511.25
kN
a h/2 la fuerza cortante será: Vg1 := Qg − qg⋅ 0.029 ⋅ L Vg1 = 482.063 a L/4 la fuerza cortante será: Vg2 := Qg − qg⋅
L 4
Vg2
=
259.635 kN
kN
:=
4.30
kN m
a L/2 la fuerza cortante será: Vg3 := 0 Por Carga viva:
La fuerza cortante máximo calculado en programa es: Para camión tipo HS20-44 para h/2
q v1
:=
143.55 kN
para L/4
q v2
:=
107.60 kN
para L/2
q v3
:=
67.55 kN
cortante producido por la sobrecarga en las aceras 2
qsobrecarga := 2.90⋅ 0.60⋅
q sobrecarga
2
para h/2
Qs1
:= qsobrecarga⋅ 0.471⋅ L
para L/4
Qs2
:=
para L/2
Qs3 = 0
=
kN
1.74
qsobrecarga⋅ L 4
m
Qs1
=
29.831 kN
Qs2
=
15.834 kN
por tanto la fuerza cortante debido a la carga viva será: para h/2
Vv 1
:= qv1 + Qs1 Vv 1 =
173.381 kN
para L/4
Vv 2
:= qv2 + Qs2 Vv 2 =
123.434 kN
para L/2
Vv 3
:= qv3
67.55
Vv 3
=
kN
Por impacto:
para h/2
VI1
:=
0.3 ⋅ Vv 1
VI1
=
52.014
kN
para L/4
VI2
:=
0.3 ⋅ Vv 2
VI2
=
37.03
kN
para L/2
VI3
:=
0.3 ⋅ Vv 3
VI3
=
20.265
kN
Cortante Último
(
+ VI1)Vmax1 =
1116.015 kN
(
+ VI2)Vmax2 =
685.893
kN
(
+ VI3)Vmax3 =
190.646
kN
para h/2
Vmax1
:=
⋅ Vv 1 1.3 ⋅ Vg1 + 1.67
para L/4
Vmax2
:=
⋅ Vv 2 1.3 ⋅ Vg2 + 1.67
Vmax3
:=
⋅ Vv 3 1.3 ⋅ Vg3 + 1.67
para L/2
Cortante Debido al Preesfuerzo La componente transversal del preefuerzo en los cables, ocasionan esfuerzos cortantes favor que contrarestan las ocasionadas por las cargas exteriores. La ecuación de la parábola es: 2
X = L
⋅ + 1 Y
2
e
donde:
=
e
698.611 mm
Derivando la ecuación se tiene: 2
2 XdX =
L ⋅ dY
dY
4e
dX
= 8e ⋅
X L
Para X=h/2
2
= tan ( α)
tan ( α) = 3.769 ⋅
e
VD1 :=
P2 1000
L
⋅ sin ( α)
VD1
=
Para X=L/4
e
tan ( α) = 2 ⋅
P2
VD2 :=
para L/2
VD3 := P2⋅ 0
VD3
α
L
⋅ sin ( αV) D2 =
1000
=
0.072 rad
kN
382.995
1000
para L/4
α
e
atan 2 ⋅ α :=
L
1000
atan 3.769 ⋅ α :=
L
para h/2
e
=
203.615 0
=
0.038 rad
kN
kN
Cortante Absorbido por el Concreto con: j :=
7 8
Vc := 0.06⋅ b ⋅ admVc
:=
b
1000
1000
d
:= yt + e
d
=
1650
⋅ j⋅d
⋅ b⋅ j ⋅ d
Vc
=
545.737
admVc
=
kN
4584.195 kN
Vc < admVc
Cortante Último Actuante para h/2 para L/4
mm
fc
=
35
N mm
fc
17.64
mm := 180
Vu1 := Vmax 1
− VD1 Vu1 = Vu2 := Vmax 2 − VD2 Vu2 =
733.02 482.278
kN kN
2
Vu3 := Vmax 3
para L/2
− VD3 Vu3 =
190.646
kN
Armadura Resistente al Corte Los miembros sujetos a cortante pueden ser diseñados con:
≤ ϕ ( Vc + Vs) ϕ := 0.85 Vu
donde: Vu = es la fuerza cortante factorada en la sección de análisis Vc = es la fuerza cortante nominal absorvida por el hormigón Vs = es la fuerza cortante nominal resistida por el acero de refuerzo (estribos) Vs =
Av ⋅ fy⋅ j ⋅ d S
Av = area del acero de refuerzo S = separación entre aceros de refuerzo. Para los cuartos exteriores de la viga: N
con: fy := 420
mm
Vu1
Vs :=
ϕ
2
para las barras de acero
− Vc Vs =
316.639 kN
mm := 157 S := 100 mm
Av
asumiendo Φ10 y una separación
2
dos ramas
tenemos: Vsi
:=
Av⋅ fy⋅ j ⋅ d S⋅ 1000
Vsi
=
Vs
952.009kN >
=
316.639
kN
USAR eΦ 10c/10 S := 150
Para los cuartos interiores de la viga: Vs := Vsii
Vu2
ϕ
=
− Vc Vs =
634.673 kN
kN
21.648
> Vs
=
21.648
Vsii
:=
Av⋅ fy ⋅ j ⋅ d S⋅ 1000
kN
Según ACI (11.5.5.3) AASHTO (9.20.3.3) el área mínima de refuerzo por cortante para ele presforzados y no preesforzados se deberá calcular por medio de: Avmin
:=
b⋅ S
0.35⋅
fy
Avmin
=
22.5 mm
2
ACI (115.5.4) Para elementos preesforzados que tengan una fuerza de preesfuerzo efectiva n menor del 40 % de la resistencia a la tensión del acero de refuerzo por flexión, el área del ac refuerzo por cortante no debe ser menor que el menor valor de Avmin dado por la ecuación a y la siguiente: Aps = área del acero preesforzado en la zona de tensión, m2 fpu = resistencia especificada a la tensión de los cables de preesfuerzo, kN/m2 Aps := Ncables ⋅ Au fpu
= 4737.6 m kN fpu = 1860 Aps
:= fs1
m
:=
Avmin
Aps⋅ fpu ⋅ S ⋅ 80⋅ fy ⋅ d
USAR eΦ10 C/25
d b
2
2
Avmin
=
72.185 m
2
estribos U
Para la mitad del tramo: Vs :=
Vu3
ϕ
− Vc Vs = −321.448 kN
por lo tanto disponer de armadura mínima. USAR eΦ10 C/25
estribos U
Conectores de Corte En la construcción mixta, el esfuerzo cortante ν entre las porciones precoladas y coladas en se calcula basándose en la teoría elástica ordinaria, a través de la fórmula: ν=
V⋅ Q Ib
donde: V = esfuerzo cortante total aplicado después de que ha sido colada la porción en el lugar; Q = momento estático del área de la sección transversal de la porción colada en el lugar con al eje centroidal de la sección compuesta; I = momento de inercia de la sección compuesta; y b = ancho del área de contacto entre las porciones precoladas y coladas en el lugar. Para los cuartos exteriores V := Vu1
V
=
kN
733.02
b := 63.5 m I
:= It
Q
I
=
:= η⋅ 250⋅ 19⋅ 48.677 +
m
0.429
2
19
Q
=
4
214052.625
m
3
:=
ν
V⋅ Q
=
ν
I ⋅b
kN
5761432.703
m
2
Se utilizarán los siguientes valores para la resistencia a la ruptura por adherencia en las super contacto: Cuando se llenan los requisitos mínimos de amarre del acero de (*) 75 lb/plg2 (5.27 kN/m2) Cuando se llenan los requisitos mínimos de amarre del acero de (*) y la superficie de contact hace rugosa artificialmente, 150 lb/plg2 (10.5 kN/m2) Cuando los amarres de acero en exceso de llos requisitos de (*) se proporcionan y la superfic contacto del elemento precolado se hace rugosa artificialmente, 225 lb/plg2 (1.548 N/mm2). (*) Todo el refuerzo del alma se extenderá dentro de cubiertas coladas en el lugar. El espacia de los amarres verticales no será mayor a cuatro veces el espesor mínimo de cualquiera de lo elementos compuestos y, en ningún caso, mayor a 24 plg (60.96 m). El área total de los amar verticales no será menor que el área de dos varillas del numero 3 (10 mm) espaciadas a 12 pl (30.48).
Por tanto para la tercera condición la resistencia llega a ser ampliamente favorable por lo que deberá extender los estribos U calculados anteriromente. USAR eΦ 10c/25
continuamos con la separación de estribos anteriormente calculados
Para los cuartos interiores V := Vu2 b := 200 I
V
=
kN
482.278
mm
:= It⋅ 1000000000000
Q
:= η⋅ be ⋅ t⋅ Yb +
ν
:=
V⋅ 1000 ⋅ Q I⋅ b
I
t
=
428876618427.896
Q
2
ν
=
2.628
=
467319068.2
mm mm
4
3
N mm
2
Por tanto para la tercera condición la resistencia llega a ser ampliamente favorable por lo que deberá extender los estribos U calculados anteriromente. USAR eΦ 10c/25
Trayectoria de los cables
La ecuación general es: Y=
2
L
2
2
⋅ ( Ya − 2 ⋅ Yb + Yc) ⋅ X +
1
L
⋅ ( −3 ⋅ Ya + 4 ⋅ Y b − Yc)⋅ X + Ya
A continuación se presenta las coordenas correspondientes a las vainas, ques son redondeadas dos decimales.
Progresiva cada 1.0 m. m. 0.00 0.85 1.85 2.85 3.85 4.85 5.85 6.85 7.85 8.85 9.85 10.85 11.85 12.85 13.85 14.85 15.85 16.85 17.85 18.35 18.85 19.85 20.85 21.85 22.85 23.85 24.85 25.85 26.85 27.85 28.85 29.85 30.85 31.85 32.85 33.85 34.85 35.85 36.70
Vaina 1 cm 0.15 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00 11.00 12.00 13.00 14.00 15.00 16.00 17.00 18.00 18.50 19.00 20.00 21.00 22.00 23.00 24.00 25.00 26.00 27.00 28.00 29.00 30.00 31.00 32.00 33.00 34.00 35.00 36.00 36.85
Ordenada (cm.) Vaina 2 cm 134.90 125.30 115.05 105.20 95.97 87.35 79.35 71.96 65.19 59.03 53.49 48.56 44.26 40.56 37.48 35.02 33.17 31.94 31.33 31.25 31.33 31.94 33.17 35.02 37.48 40.56 44.26 48.56 53.49 59.03 65.19 71.96 79.35 87.35 95.97 105.20 115.05 125.52 134.90
Vaina 3 cm 104.90 97.56 89.36 81.65 74.42 67.67 61.41 55.62 50.32 45.50 41.16 37.31 33.93 31.04 28.63 26.70 25.26 24.29 23.81 23.75 23.81 24.29 25.26 26.70 28.63 31.04 33.93 37.31 41.16 45.50 50.32 55.62 61.41 67.67 74.42 81.65 89.36 97.56 104.90
Vaina 4 cm 74.90 69.59 63.67 58.10 52.87 47.99 43.47 39.29 35.45 31.97 28.83 26.05 23.61 21.52 19.78 18.38 17.34 16.64 16.29 16.25 16.29 16.64 17.34 18.38 19.78 21.52 23.61 26.05 28.83 31.97 35.45 39.29 43.47 47.99 52.87 58.10 63.67 69.59 74.90
Determinación de Flechas
El cálculo de las deflexiones debidas a las cargas externas es similar al de las vigas no preesforzadas. Mientras el concreto no se agriete, la viga puede tratarse como un cuerpo homogeneo y se le aplica la teoría elástica usual para el cálculo de deflexiones. Deflexión Admisible L
=
36400
mm
δ
:=
L
δ
1000
=
36.4
mm
Se pueden considerar dos etapas principales de deformación, en las que se considera la deformación originada por las cargas actuantes en el proceso de tesado de los cables y la que produce posterior a las pérdidas de preesfuezo y cargas adicionales. Primera Etapa Deflexión Inicial
Tomese el concreto como un cuerpo libre y sustituyase los cables 1 y 2 con fuerzas que actu el concreto.La carga uniforme que actúa a lo largo de la viga será: 8 ⋅ F ⋅ e
w=
L
2
Los cables 1 y 2 tendrán una excentricidad e0
= 1199 mm F := Pn⋅ 24⋅ Au 8 ⋅ F ⋅ e0 w := e0
L
2
F
=
2931361.19 N
w
=
21.22
N mm
Mediante la fórmula de deflexión: δ=
5⋅ w ⋅ L
4
384 ⋅ Ec ⋅ I
donde: Ec = módulo de elasticidad del concreto I = momento de inercia de a sección Ec
=
29910.202
N mm
I
2
=
428876618428
mm
4
por tanto la deflexión originada por la fuerza de preesfuerzo será: δp1 :=
5 ⋅ w ⋅ L
4
384 ⋅ Ec ⋅ I
δp1
=
37.82
mm hacia arriba
Además, habrá dos cargas excentricas actuando en los extremos de la viga y cada una produc
un momento M: M
F
:=
2
F
⋅ 403 +
2
⋅0
=
M
590669279.15
N⋅ mm
Los momento en los extremos producen una deflexión que vale: M⋅ L
:=
δm
2
=
δm
8 ⋅ Ec ⋅ I
mm hacia abajo
7.626
El peso propio de la viga es: qpp
=
12.89
N
mm
El peso propio de la viga produce una flecha igual a: δg
5 ⋅ q pp⋅ L
:=
4
δg
384⋅ Ec ⋅ I
=
22.969 mm
hacia abajo
Por tanto la deflexión total inicial será: δini1
:= δp1 − δm − δg
δini1
=
7
hacia arriba
mm
Segunda Etapa Deformación Inicial
Tomese el concreto como un cuerpo libre y sustituyase los cables 1, 2 y 3 con fuerzas que ac sobre el concreto. F = 5862722.37 N := Pn⋅ Ncables ⋅ Au 8 ⋅ F ⋅ e N w := w = 24.73 F
L
mm
2
La deflexión originada por la fuerza de preesfuerzo será: δp2 :=
5 ⋅ w ⋅ L
4
δp2
384 ⋅ Ec ⋅ I
=
44.1 mm
hacia arriba
deflexión originada por preesfuerzo, peso propio y se elimina el momento en los extremos. δini2
:= δp2 − δg
δini2
=
21.1
hacia arriba
mm
Deformación secundaria
Tomando el preesfuerzo efectivo se calcula: w
:=
8 ⋅ P2 ⋅ e
L
δpe :=
w
2
5 ⋅ w ⋅ L
=
22.39
N mm
4
384 ⋅ Ec ⋅ I
δpe
=
39.9 mm
hacia arriba
deflexión originada por peso de la losa+capa de rodadura: w
δlh
:=
5 ⋅ w ⋅ L
:=
17.08
kN m
4
δlh
384⋅ Ec ⋅ I
=
30.44 mm
hacia abajo
deflexión originada por peso de los diafragmas Pd := 8.02 kN
δd
:=
23⋅ Pd ⋅ L
3
δd
648⋅ Ec ⋅ I
=
1.07 mm
hacia abajo
deflexión originada por peso del bordillo, acera pos te y baranda: wsup
δsup
:=
5 ⋅ wsup ⋅ L
:=
14.76
kN m
4
384⋅ Ec ⋅ I
δsup
=
26.3 mm
hacia abajo
deflexión originada por peso de los diafragmas δsec2 := δpe − δlh
− δd − δsup
δsec2
= −18 mm
hacia arriba
Deformación final δfinal
:= δsec2
δfinal
= −18 mm
hacia arriba
Bloques finales de anclaje
La zona de anclaje es geométricamente definido como el volúmen de concreto através del cu fuerza de pretensión concentrada en el aparato de anclaje propaga tranversalmente a una dist de esfuerzo lineal através de toda la sección transversal. Los bloques extremos tendrán el área suficiente para permitir el espaciamiento del acero de preesfuerzo. Preferiblemente, serán tan anchos como el patín mas angosto de la viga. Tendrá longitud de por lo menos igual a las tres cuartas partes del peralte de la viga y en ningún cas (60.96m). En los miembros postensados se colocará una malla espaciada cercanamente, tanto las barras verticales como horizontales, cerca de la cara del prisma (bloque) extremo para resistir el reventamiento y se colocará un refuerzo espaciado cercanamente, tanto vertical como horizontalmente, a través de la longitud del prisma.
Para la mayoría de los casos se ha demostrado suficiente suministrar acero para una tensión transversal total de 0.03F (Y Guyon). Para el postensado, este acero se coloca tan cerca del extremo como sea posible. Se pueden utilizar mallas de alambre o varillas de acero. Para soportar la tensión en la zona de desgarramiento se pueden usar estribos o acero en espi Para el refuerzo local bajo el anclaje se adoptan espirales de 9.53 mm (3/8plg) con un paso d mm (11/2 plg) La determinación de las tensiones cerca a los anclajes es un problema dificil pra el cual un m aproximado de cálculo como el de Morsch puede ser utilizado. d T=
P 2
⋅ tan ( α)
=
P 2
⋅
4
d1
−
4
d 2
T=
P 4
⋅
d − d1 P d1 = ⋅ 1− d 4 d
siendo: d1/d = Factor de concentración de carga. (0.53) P = Fuerza total de preesfuerzo por cable. d1 = ancho del cono de anclaje (16 m) d = ancho de distribución (30 m) con: P2 = 5308429.96 N P2
P :=
T := fy
=
3
P 4
⋅ ( 1 − 0.53)
=
1769476.65 N
T
=
207913.51
N
kN
420
mm As :=
P
2
T
As
fy
=
495.03
mm
2
USAR 5 ESTRIBOS EN U Φ 10 mm El area requerida de acero de refuerzo en la parilla será: As :=
0.03⋅ P2
fy
USAR Φ 12c/10
As
=
379.174 cm
2
Horizontal y Verticalmente
DATOS PARA LA FICHA DE TESADO
Se usara el sistema freyssinet con tendones 10φ1/2" - 270k Carga minima de rotura 1836.2 kN/tendon Area del tendon
At := 987 mm
2
Tension minima de rotura:
fs1
Tension de trabajo admisible:
fsu
=
kN
1860
m
=
1884.5
kN m
0.76⋅ fs1
Tension temporal maxima: Fuerza final de tesado:
P2 P2
Tension de trabajo en CL:
Ncables⋅ Au
= =
=
2
2
1413.6
5308429.96
1120.489
N N mm
2
OEFICIENTES ADOPTADOS
k := 0.004922
μ := 0.25
Gato freyssinet (USA) TIPO L :
Area de piston: Coeficiente de fricción:
Es
=
Ap := 34900 mm C
191590
Hundimiento del cono:
hc
:=
6
mm
Colocacion de marcas a 20 cm del anclaje con presion inicial de 50 Presion de cuña en anclaje activo 6500 Psi Humedad Relativa Ambiente de 57°
:=
1.07
2
