VIGAS DE TIMOSHENKO La teo teoría ría de viga vigas s de Timo imoshen shenk ko fue fue desar esarrrolla ollada da por el ingeniero ucraniano ucraniano--estadounidense Stephen Timoshenko , esta stableciéndose como un modelo matemático riguroso ampliamente utilizado para describir la vibración transversal de vigas, postulado en la década de !"#$ También denominada la teoría teoría de vigas gruesas$ gruesas$ %istóricamen %istóricamente te el primer modelo de viga importante fue la Teoría de &igas &igas de de 'uler-(ernoulli 'uler-(ernoulli o teoría clásica clás ica de vigas como consecuencia de las obras de (ernoulli )*acob + ani aniel el + 'ule 'uler, r, crea creado do en el a.o a.o de /00 /00$$ 'n !" !" + !"" !"",, Timoshenko Timoshenko propuso una me1ora al a.adir el efecto de deformación de corte$ 2ostró, a través del e1emplo de una viga apo+ada sencilla, 3ue la corrección frente a cortante es cuatro vec veces más más impo import rtan ante te debi debido do a la iner inerci cia a de rotac otació ión n en comparación con la teoría de 'uler-(ernoulli 'uler-(ernoulli La viga de timoshenko tiene en cuenta la deformación por cortante + los efectos de inercia rotacional, haciéndola adecuada para describir el comportamiento de vigas altas$ La viga de timoshenko es menos rígida 3ue la de 'uler-(ernoulli 'uler-(ernoulli + por tanto tiene ma+ores de4e5iones verticales ba1o una carga estática + tiene frecuencias de vibración menores para las mismas condiciones de frontera$ Si , la viga viga se vuelve vuelve in6nit in6nitame amente nte rígida rígida a cortan cortante te + esta esta teoría coincide con la de 'uler-(ernou 'uler-(ernoulli$ lli$ La viga de Timoshenko apro5ima me1or la deformación real de la sección transversal de vigas de gran canto 3ue la teoría de 'uler(ernoulli$ 7 medida 3ue la relación longitud8altura disminu+e, las secciones transve sversa rsales de1an de conser servarse plana anas despu spués de la deformación$ -
Los Los desp despla laza zami mien ento tos s vert vertic ical ales es )4echa )4echas s de todo todos s los los punt puntos os de una sección transversal son pe3ue.os e iguales a los del e1e de la viga$
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'l desp despla laza zami mien ento to later lateral al es nulo nulo )esto )esto es el coe6 coe6ci cien ente te de 9oisson 9oisson se asume cero en cuanto a la deformación deformación lateral: lateral: G puede ser diferente de '8"$
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'l desp despla laza zami mien ento to later lateral al es nulo nulo )esto )esto es el coe6 coe6ci cien ente te de 9oisson se asume cero en cuanto a la deformación lateral: G puede ser diferente de E8"$
La teoría de vigas de Timoshenko introduce los efectos de primer orden por cortante se consideran las deformaciones transversales por cortante transversal, mediante el supuesto 3ue Las secciones se mantienen planas, pero no necesariamente normales al e1e neutro deformado, ;ig$$<$
La descripción del comportamiento de la viga involucra dos variables independientes en cada punto del e1e neutro, la de4e5ión transversal ω, + la rotación de la sección transversal Ɵ, por lo 3ue la deformación por cortante en cada punto a lo largo del e1e de la viga está dado en la ec$ 3ue se muestra a continuación, por la diferencia entre la rotación de la sección transversal + la pendiente del e1e neutro$
Ɵ j = ω’ j + ϒ 'l campo de ecuaciones 3ue de6ne el 9&;) problemas de valores de frontera en
de la teoría de las vigas de Timoshenko son>
a ?ompatibilidad cinemática
b ?ompatibilidad constitutiva
c '3uilibrio interno
d '3uilibrio e5terno
e ?ondiciones esenciales de frontera
La rotación @, de la sección transversal + la curvatura, longitudinal deformado son>
, del e1e
La compatibilidad co!tit"ti#a en la ec$ )b está dada por las relaciones momento-curvatura + las relaciones cortante-deformación>
onde & es la fuerza cortante transversal, ϒ el promedio de las deformaciones por cortante en la sección transversal, A es el módulo de rigidez a cortante + 7 S = K A es el área efectiva de cortante$ 'l factor considera en promedio la corrección de distribución por cortante hecha para distribución de las deformaciones por cortante sobre el espesor de la sección transversal, e$g$, para las vigas de sección transversal rectangular el valor de es usualmente B8C$
La! $c"acio$! d$ $%"ilib&io it$&o , ec$ )c, se de6nen por las siguiente relaciones>
EL MODELO DE 'LE(I)N* TEO,A DE TIMOSHENKO 'ste modelo permite me1orar la respuesta de la teoría de (ernouilli-'uler cuando la razón entre la longitud de la viga + la principal dimensión de la sección comienza a ser cada vez más pe3ue.a$ 'sto signi6ca vigas de aspecto más robusto como se pueden ver en la ;igura D$DC$ La teoría de Timoshenko se basa en las mismas hipótesis 3ue la teoría de (ernouilli 'uler, aun3ue con el agregado de algunas adicionales a saber> - Se supone la presencia de un estado de t ensiones cortantes en la sección de la viga. - La rotación flexional se considera como una variable independiente no asociada con los desplazamientos flexionales.
9ara simpli6car el proceso deductivo, 3ue se dará en forma completa a partir de suponer el campo de desplazamientos, se procederá a reducir el problema 4e5ional a un solo plano, para ir 61ando ideas en el plano EF, + posteriormente se e5tenderá el problema 4e5ional a dos planos$ 9ara deducir las ecuaciones de e3uilibrio de 4e5ión segGn la teoría de Timoshenko se empleará el principio de traba1os virtuales considerando los desplazamientos virtuales como entidades arbitrarias$ 7hora bien, de acuerdo con las hipótesis de la teoría, el campo de desplazamiento para una viga en 4e5ión se puede reducir a las siguientes e5presiones>
HHH$ )7I
HHH$ )(I
'n la '5presión )(I se utiliza el apóstrofo para indicar la derivación con respecto a la variable 5$ ?on la descripción cinemática puesta en evidencia en las e5presiones )7I + )(I es claro 3ue plano de la sección transversal )3ue se mantiene siempre plana de la viga, no es perpendicular al e1e neutro una vez deformada la misma$ 9ara ello se puede ver la comparación entre las teorías (ernoulli-'uler + Timoshenko
9or otro lado recuérdese 3ue segGn la teoría de 4e5ión clásica )iTeoría de (ernoulli-'uler, la deformación a5ial es proporcional a la derivada de la rotación 4e5ional de6nida en función de la primer derivada del desplazamiento 4e5ional del e1e neutro, + en consecuencia de la tangente de la curva de deformación del e1e neutro$ 7dicionalmente de la )(I se tiene 3ue la deformación por corte transversal no es nula + en consecuencia la tensión cortante no es nula$
ELEMENTOS 'INITOS DE DOS NODOS -AA LA 'LE(I)N DE VIGAS DE TIMOSHENKO ?onsiderando el elemento de viga de viga de timoshenko de dos nodos$ 7 diferencia de la teoría de 'uler-(ernoulli, la 4echa ω + el giro Ɵ son ahora variables independientes + de continuidad ? J 7sí, se puede interpolar por separado cada una de ella por
ec$ )7 ónde>
K, @ )M
+
K", @"
, son las 4echas + giros de los nodos + " del elemento
F ")M son la típicas funciones lineales
%aciendo uso de la ec$)7 , la curvatura se obtiene por>
ec)( F la deformación de cortante o cizalladura>
ec)? Ntilizando una formulación isoparametrica idéntica a la empleada para el elemento de barra de dos nodos se obtiene